文档内容
2015年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．5 B． C．﹣ D．25
2．（3分）下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若y＝ 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠4 B．x≤4 C．x≥4 D．x＜4
4．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．三角形任意两边之差小于第三边
5．（3分）某校开展“中国梦•快乐阅读”的活动，为了解某班同学寒假的阅读情况，随
机调查了10名同学，结果如下表：
阅读量/本 4 5 6 9
人数 3 4 2 1
关于这10名同学的阅读量，下列说法正确的是（ ）
A．众数是9本 B．中位数是5.5本
C．平均数是5.3本 D．方差是3
6．（3分）如图，在 ▱ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，DE平分∠ADC交BC于点E，则
△CDE的周长为（ ）A．4 +8 B．4 +4 C．2 +8 D．2 +4
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）的图象如图所示，下列结论
正确的是（ ）
A．2a+b＜0
B．4a+2b+c＞0
C．m（am+b）＞a+b（m为大于1的实数）
D．3a+c＜0
8．（3分）如图，点O在线段AB上，AO＝1，OB＝2，OC为射线，且∠BOC＝120°，动
点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速直线运动，设运动时间
为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（ ）
A．t＝1 B．t＝1或
C．t＝ D．t＝1或
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）据有关部门统计，2014年全国骚扰电话高达270亿通，数据270亿可用科学记
数法表示为 ．
10．（3分）分解因式：m3﹣2m2+m＝ ．
11．（3分）一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是 ．
12．（3分）近年来食品安全问题备受人们的关注，某海关想检验一批进口食品的防腐剂
含量是否符合国家标准，这种调查适用 （填“全面调查”或“抽样调查”）．13．（3分）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．
（结果保留 ）
π
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，O是AD的中点，连接OB，OC，
点E在线段BC上（点E不与B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，
则EM+EN的值为 ．
15．（3分）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边
作正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）第一象限的图象上，
连接AD．若OA2﹣AD2＝20，则k的值为 ．
16．（3分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，
D，E在同一直线上，AG是∠DAE的平分线，分别交DE，BC于点F，G，连接CE，∠GAC＝25°，下面结论正确的是 （填序号）．
①∠BAD＝∠CAE；
②tan∠ABE＝ ；
③AG∥CE；
④2AF+CE＝BE；
⑤AD＝CG．
三、解答题（共10小题，满分102分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（8分）已知 是锐角，且cos（ ﹣15°）＝ ，计算 ﹣6cos +（3﹣ ）0﹣tan
α α α π α
﹣（ ）﹣1的值．
18．（8分）现在人们学习、工作、生活压力较大，身体常常处于亚健康状态，为了缓解
压力，人们往往会通过不同的方式减压，某高校学生社团对本校部分老师的减压方式进
行了调查（教师可根据自己的情况必选且只选其中一项），并将调查结果分析整理后制
成了统计图：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名教师？
（2）请补全条形统计图．
（3）请计算，扇形统计图中，“K歌”所对应的圆心角是多少度？
（4）请根据调查结果估计该校550名教师采用“美食”减压的人数是多少？19．（10分）在一个不透明的盒子里，装有五个乒乓球，分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，
﹣ ，﹣ ，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同，先从盒子中随机摸出一个乒乓
球，记下数字不放回，再从剩下的乒乓球中随机摸出一个，记下数字．
（1）用画树状图或列表的方法，求出两次摸出的数字之积不大于1的概率；
（2）若直线y＝﹣x﹣3与两个坐标轴围成△AOB，请直接写出以第一次摸出的数字为横
坐标，第二次摸出的数字为纵坐标的点在△AOB内部（不包括边界）的概率．
20．（10分）如图， ▱ABCD的对角线相交于点O，点E，F，P分别是OB，OC，AD的中
点，分别连接EP，EF，PF，EP与AC相交于点G，且AC＝2AB．
（1）求证：△APG≌△FEG；
（2）求证：△PEF为等腰三角形．
21．（10分）近两个月，由于受到“中东呼吸综合症”的影响，赴韩旅游的人数明显减少．
某旅行社为了吸引游客，决定将赴韩旅游的人均费用下调300元．下调后，总费用同样
是25200元，赴韩旅游的人数却可以比过去增加2人．求该旅游社下调后的赴韩旅游的
人均费用是多少元？
22．（10分）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，测得A地在观测站B的南偏东45°方向
上，在观测站C的南偏西60°方向上，观测站B在观测站C的正西方向，此时A地与观
测站B的距离为20 海里．（1）求A地与观测站C的距离是多少海里？
（2）现收到故障船D的求救信号，要求巡逻船从A地马上前去救援（C，A，D共线）．
已知D船位于观测站B的南偏西15°方向上，巡逻船的速度是12海里/小时，求巡逻船
从 A 地到达故障船 D 处需要多少时间？（结果保留小数点后一位，参考数据
≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
23．（10分） O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，BE是 O的切线交DC
的延长线于⊙点E． ⊙
（1）求证：BE⊥CE；
（2）若BC＝ ， O的半径为 ，求线段CD的长度．
⊙
24．（10分）某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需
90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．
（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？
（2）若该文具店要购进A，B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A种钢笔
的数量少于B种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？
（3）文具店以每支30元的价格销售B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进
价不变的基础上再购进一批B种钢笔，涨价卖出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每
月可卖68支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B种钢笔每支涨价a
元（a为正整数），销售这批钢笔每月获利W元，试求W与a之间的函数关系式，并且求出B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？
25．（12分）如图1所示，在菱形ABCD和菱形AEFG中，点A，B，E在同一条直线上，
P是线段CF的中点，连接PD，PG．
（1）若∠BAD＝∠AEF＝120°，请直接写出∠DPG的度数及 的值．
（2）若∠BAD＝∠AEF＝120°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，使菱形ABCD的对角
线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是
否发生改变？写出你的猜想并加以说明．
（3）若∠BAD＝∠AEF＝180°﹣2 （0°＜ ＜90°），将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到
α α
图3的位置，求出 的值．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与
x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），动点
E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动．
（1）求抛物线解析式和顶点D的坐标；
（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点 G，交直线BC于点
H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；
（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x＝3向上运动，且速度均为
每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t
秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．
