文档内容
2011 年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入括号内，
每小题3分，共24分）
1．（3分）国家统计局发布的第六次全国人口普查公报显示，我国总人口约为1 370 000 000
人，1 370 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．13.7×108 B．1.37×108 C．1.37×109 D．1.371×10﹣9
2．（3分）下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）不等式 x﹣1≤0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC＝70°，则∠EOF等于
（ ）
A．10° B．20° C．30° D．70°
5．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．x2+3x+2＝x（x+3）+2
C．x2﹣y2＝（x﹣y）2 D．x2+2x+1＝（x+1）2
6．（3分）有 、 、 、 、 五张不透明卡片，它们除正面的运算式不同外，其余完全相同，
将卡片正①面朝②下，③洗匀④后，⑤从中随机抽取一张，抽到运算结果正确的卡片的概率是（ ）
第1页（共26页）A． B． C． D．
7．（3分）在同一个直角坐标系中，函数y＝kx和 的图象的大致位置是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）某乡镇决定对一段长6 000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工
时增加了施工人员，每天修建的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．设原
计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（ ）
A． +4＝ B． ＝ ﹣4
C． ﹣4＝ D． ＝ +4
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）8的平方根是 ．
10．（3分）函数 的自变量的取值范围是 ．
11．（3分）数学小组五名同学在一次测试中的数学成绩分别为98，96，97，100，99，则该小组
五名同学该次测试数学成绩的方差为 ．
12．（3分）现有一圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接
缝忽略不计），则围成的圆锥的高为 cm．
13．（3分）如图所示，以边长为2的等边△ABO的顶点O为坐标原点，点B在x轴上，则经过
点A的反比例函数的表达式为 ．
第2页（共26页）14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作
DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为 ．
15．（3分）如图， ▱ABCD中，E、F分别为AD、BC上的点，且DE＝2AE，BF＝2FC，连接BE、
AF交于点H，连接DF、CE交于点G，则 ＝ ．
16．（3分）如图，从内到外，边长依次为2，4，6，8，…的所有正六边形的中心均在坐标原点，
且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A …
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
表示，那么顶点A 的坐标是 ．
62
三、（每小题8分，共16分）
17．（8分）化简求值： + ÷ ，从0，1，2三个数中选择一个合适的数值作为x
第3页（共26页）值代入求值．
18．（8分）如图：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，四边形ABCD和四
边形A B C D 的顶点均在格点上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系．
1 1 1 1
（1）画出四边形ABCD沿y轴正方向平移4格得到的四边形A B C D ，并求出点D 的坐
2 2 2 2 2
标．
（2）画出四边形A B C D 绕点O逆时针方向旋转90°后得到的四边形A B C D ，并求出
1 1 1 1 3 3 3 3
A 、B 之间的距离．
2 3
四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）为迎接中国共产党建党90周年，某校举办“红歌伴我成长”歌咏比赛活动，参赛
同学的成绩分别绘制成频数分布表和频数分布直方图（均不完整）如下：
分数段 频数 频率
80≤x＜85 9 0.15
85≤x＜90 m 0.45
90≤x＜95 ■ ■
95≤x＜100 6 n
（1）求m，n的值分别是多少；
（2）请在图中补全频数分布直方图；
（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
第4页（共26页）20．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以边AB为直径的 O经过点C，E是 O上
的一点，且∠BEC＝45°． ⊙ ⊙
（1）试判断CD与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝8cm，⊙ sin∠BCE＝ ，求 O的半径．
⊙
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）数学学习小组在学习“轴对称现象”内容时，老师让同学们寻找身边的轴对称现
象，小张同学拿出三张拼图模板，它们的正面与背面完全一样，形状如图：
（1）小张从这三张模板中随机抽取一张，抽到的是轴对称图形的概率是多少？
（2）小李同学也拿出同样的三张模板，他们分别从自己的三张模板中随机取出一个，则可
以拼出一个轴对称图形的概率是多少？（用画树状图或列表法求解，模板名称可用字母表
示）
22．（10分）某段限速公路m上规定小汽车的行驶速度不得超过70千米/时，如图所示，已知
测速站C到公路m的距离CD为30 米，一辆在该公路上由北向南匀速行驶的小汽车，
在A处测得测速站在汽车的南偏东30°方向，在B处测得测速站在汽车的南偏东60°方向，
此车从A行驶到B所用的时间为3秒．
第5页（共26页）（1）求从A到B行驶的路程；
（2）通过计算判断此车是否超速？
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）某工厂第一次购买甲种原料60盒和乙种原料120盒共用21 600元，第二次购买
甲种原料20盒和乙种原料100盒共用16 800元．
（1）求甲、乙两种原料每盒价钱各为多少元；
（2）该工厂第三次购买时，要求甲种原料比乙种原料的2倍少200盒，且购买两种原料的
总量不少于1 010盒，总金额不超过89 200元，请你通过计算写出本次购买甲、乙两种原
料的所有方案．
24．（10分）已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜
边的等腰直角三角形，连接DE、DF．
求证：DE＝DF．
七、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为 ，点A在y轴正半轴上，
点B在x轴负半轴上，B（﹣1，0），C、D两点在抛物线y＝ x2+bx+c上．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）正方形ABCD沿射线CB以每秒 个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B
1
点，试判断B 点是否在抛物线上，并说明理由；
1
（3）正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A B C D ，A 点在x轴正半轴上，求正方形
2 2 2 2 2
第6页（共26页）ABCD的平移距离．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，
8），顶点A的坐标为（﹣6，0），边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，
且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A
沿折线A﹣B﹣C﹣F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求直线EF的表达式及点G的坐标；
（2）点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S（P不与F重合），试求S与t的函数关系式；
（3）在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形？若存在，请直接写出所
有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共26页）2011 年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入括号内，
每小题3分，共24分）
1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1 370 000 000用科学记数法表示为1.37×109．
故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【分析】俯视图是从上面所看到的图形，可根据各几何体的特点进行判断．
【解答】解：A、正方体的三视图均为正方形，故A错误；
B、圆柱的俯视图是圆，故B错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故C正确；
D、球体的三视图均为圆，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．
3．【分析】先求出x的取值范围，再在数轴上表示出来即可选出答案．
【解答】解； x﹣1≤0，
x≤1，
x≤2，
在数轴上表示：
故选：D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集及解一元一次不等式，熟知不等式的基
本性质是解答此题的关键．
第8页（共26页）4．【分析】延长AC交OF于G．先根据直角三角形的性质求出∠ACB＝20°，再根据矩形的性
质由等角的余角相等的知识将求∠EOF转化即可求解．
【解答】解：延长AC交OF于G．
∵四边形ABCD是矩形，∠BAC＝70°，
∴∠B＝90°，∠ACB+∠OCG＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣70°＝20°，
∵AC⊥OF，
∴∠AGO＝90°，
∴∠GOC+∠OCG＝90°，
∵∠ACE＝∠GCD，
∴∠EOF＝∠ACB＝20°．
故选：B．
【点评】考查了矩形的性质和直角三角形的性质，解题的关键是求出∠ACB＝20°及的知识
点的运用．
5．【分析】要首先提取多项式中的公因式，然后再考虑公式法分解，注意分解因式后结果都是
积的形式，分解要彻底．
【解答】解：A、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）分解不彻底，故此选项错误；
B、x2+3x+2＝x（x+3）+2的结果不是积的形式，故此选项错误；
C、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y），故此选项错误；
D、x2+2x+1＝（x+1）2故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，关键是熟记平方差公式与完全平
方的公式特点注意结果要分解彻底．
6．【分析】首先根据有理数的乘方法则、合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方
与积的乘方法则、同底数幂的除法法则对各式的运算进行判断，然后根据概率的求法，找
准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
① ②
第9页（共26页）【解答】解： x•x＝x2，计算错误；
（﹣2）3＝①﹣8，计算错误；
②（2x）2＝4x2，计算正确；
③x2÷x2＝1，计算错误；
④2x与3y不是同类项，不能合并，故错误．
⑤
5个算式有一个正确，随机抽取一张，抽到运算结果正确的卡片的概率是 ．
故选：A．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
7．【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象性质并结合其系数作答．
【解答】解：由于正比例函数和反比例函数的比例系数相同，所以它们经过相同的象限，因
而一定有交点，排除A，C；
又因为正比例函数一定经过原点，所以排除D．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的
取值确定函数所在的象限．
8．【分析】求的是工作效率，工作总量是6000，则是根据工作时间来列等量关系．关键描述语
是提前4天完成，等量关系为：原计划时间﹣实际用时＝4，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设原计划每天修建x米，因为每天修建的公路比原计划增加了50% 所以现在
每天修建x（1+50%）m，
﹣ ＝4，
即： ﹣4＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本
题应用的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工效．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的
平方根，由此即可解决问题．
第10页（共26页）【解答】解：∵（±2 ）2＝8，
∴8的平方根是±2 ．
故填±2 ．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平
方根是0；负数没有平方根．
10．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以
求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故答案为x≥1且x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11．【分析】先根据平均数的定义求出改组数据的平均数，平均数是指在一组数据中所有数据
之和再除以数据的个数；再根据方差公式求方差，方差公式为s2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）
1 2
2+…+（x ﹣ ）2]．
n
【解答】解：这组数据的平均数＝（98+96+97+100+99）÷5＝98，
方差＝ [（98﹣98）2+（96﹣98）2+（97﹣98）2+（100﹣98）2+（99﹣98）2]＝2．
∴该小组五名同学该次测试数学成绩的方差为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，
然后再根据方差公式求解．
12．【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得．
【解答】解： ＝2 R，
π
解得R＝3cm，
再利用勾股定理可知，
高＝6 cm．
故答案为：6 ．
第11页（共26页）【点评】解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后再利用勾
股定理可求得值．
13．【分析】过A作AM⊥BO于点M，根据等边三角形的性质和B点坐标求出A点坐标，然后
用待定系数法求出解析式．
【解答】解：过A作AM⊥BO于点M，
∵△ABO为等边三角形，
∴AB＝BO＝AO＝2，
∵AM⊥BO，
∴OM＝ BO＝1，
∴AM＝ ＝
则点A的坐标为（﹣1， ）
则这个反比例函数的解析式为y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，以及待定系数法求函数关系式，解决问题的
关键是根据等边三角形的性质求出A点的坐标．
14．【分析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出
OB，然后利用平行四边形的判定及性质就可以求出△BDE的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝13，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝5，
∴OB＝ ＝12，BD＝2OB＝24，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
第12页（共26页）∴CE＝AD＝BC＝13，DE＝AC＝10，
∴△BDE的周长是：BD+BC+CE+DE＝24+10+26＝60．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决问题，关键是根
据菱形的性质得出AC⊥BD，从而利用勾股定理求出BD的长度，难度一般．
15．【分析】根据DE＝2AE，BF＝2FC，找出各边的比值，然后利用三角形和平行四边形的面
积公式求解即可．
【解答】解：∵DE＝2AE，BF＝2FC，
∴BF＝2AE，ED＝2CF，
即有△AHE∽△FHB，△CFG∽△EGD，
则 ＝ ，同理 ＝
∴S△BFH ＝ S△ABF ＝ × × ×S
▱ABCD
，
S△CFG ＝ S△CFD ＝ × S
▱ABCD
，
故S四边形EHFG ＝S△BCE ﹣S△BFH ﹣S△CFG ＝ S
▱ABCD
﹣ S
▱ABCD
S
▱ABCD
＝ S
▱ABCD
．
故答案为：
【点评】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，难度适中，解题关键是
熟练掌握并灵活应用三角形和平行四边形的面积公式．
16．【分析】 ＝10余2，顶点A 所在的正六边形的边长为（10+1）×2＝22，顶点A 在第三
62 62
象限，继而即可得出答案．
【解答】解：∵ ＝10余2，
∴顶点A 所在的正六边形的边长为（10+1）×2＝22，
62
且顶点A 在第三象限，
62
其横坐标为﹣ ＝﹣11，纵坐标＝﹣ ×cot60°＝﹣ ＝﹣11 ，
故顶点A 的坐标是（﹣11，﹣11 ）．
62
故答案为：（﹣11，﹣11 ）．
第13页（共26页）【点评】本题考查坐标与图形的性质，难度适中，解题关键是首先找出A 所在的正六边形
62
的边长．
三、（每小题8分，共16分）
17．【分析】先算除法，再算加法，最后把x＝2代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：原式＝ + × ＝ + ＝ ，
当x＝2时，原式＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是注意通分以及分式分子分母的因式分
解．
18．【分析】（1）将四边形ABCD沿y轴正方向平移4格得到的四边形A B C D ，平移四个顶
2 2 2 2
点得出各点的坐标即可．
（2）将图形各顶点绕点O逆时针方向旋转90°后得出图形即可．
【解答】解：（1）如图．
D （1，3）．
2
（2）如图．
A B ＝ ＝2 ．
2 3
【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转，根据已知得出对应点变化的位置是解题关键．
四、（每小题10分，共20分）
19．【分析】（1）根据统计表中，频数与频率的比值相等，可得关于m、n的关系式；进而计算
第14页（共26页）可得m、n的值；
（2）根据（1）的结果，可以补全直方图；
（3）根据中位数的定义判断．
【解答】解：（1）根据统计表中，频数与频率的比值相等，
即有 ＝ ＝
解可得：m＝27，n＝0.1；
（2）图为：
；
（3）根据中位数的求法，先将数据按从小到大的顺序排列，
读图可得：共60人，第30、31名都在85分～90分，
故比赛成绩的中位数落在85分～90分．
【点评】本题考查条形统计图、图表等知识．结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中
获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度
不大．
20．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BEC＝90°，再根据平行四边形的
性质可得AB∥CD，则∠OCD＝∠BOC＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到CD与
O相切；
⊙
（2）连接AE，根据圆周角定理及其推论得∠AEB＝90°，∠EAB＝∠BCE，而sin∠BCE＝
，则sin∠EAB＝ ，根据三角函数的定义易求出AB，即可得到圆的半径．
【解答】解：（1）相切．理由如下：
第15页（共26页）连接OC，如图，
∵∠BEC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠OCD＝∠BOC＝90°，
∴OC⊥CD．
∴CD为 O的切线；
⊙
（2）连接AE，如图，
∵AB为 O的直径，
∴∠AEB⊙＝90°，
∵∠EAB＝∠BCE，sin∠BCE＝ ，
∴sin∠EAB＝ ，
∴ ＝ ，
∵BE＝8，
∴AB＝10，
∴AO＝ AB＝5，
∴ O的半径为5 cm．
⊙
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．
也考查了圆周角定理及其推论、平行四边形的性质以及三角函数的定义．
五、（每小题10分，共20分）
21．【分析】（1）找到沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，再根据概率公
第16页（共26页）式计算即可解答；
（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，解题时要注意是
放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验．
【解答】解：（1） （4分）
（2）树状图法略，列表法如下：
小张 A B C
小李
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
（8分）
一共有9种结果，每种结果出现的可能性是相同的，而其中可以拼成轴对称图案的结果有
5种，分别是（A，A），（B，B），（C，C），（B，C），（C，B），所以可以拼成一个轴对称图案的概
率是 ．（10分）
【点评】本题考查了轴对称的知识，用到的知识点为：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合的图形叫轴对称图形；两个图形组成轴对称图形，对称轴需重合．
22．【分析】（1）在Rt△ACD中，根据BC＝ 可得出BC的值，再由三角形外角的性
质求出∠BCA的度数，由等腰三角形的性质即可求出AB的长；
（2）根据从A到B的时间为3秒可求出小汽车的速度，再与70千米/时进行比较即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，
∵∠CDA＝90°，CD＝30 ，∠CBD＝60°，
∴BC＝ ＝30 × ＝60．（2分）
∵∠BAC＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠BCA＝∠BAC＝60°﹣30°＝30°．（4分）
∴AB＝BC＝60．
答：从A到B行驶的路程为60米．（6分）
第17页（共26页）（2）∵从A到B的时间为3秒，
∴小汽车行驶的速度为v＝ ＝20（米/秒）＝72（千米/时）．（8分）
∵72千米/时＞70千米/时，
∴小汽车超速．（10分）
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用及等腰三角形的性质、三角形外角的性质、特
殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
六、（每小题10分，共20分）
23．【分析】（1）设甲、乙两种原料的价钱分别为x元/盒，y元/盒，根据两次购买所花的钱数可
分别得出方程，联立求解即可．
（2）设购买乙种原料m盒，则购买甲种原料为（2m﹣200）盒，从而根据两种原料的总量不
少于1 010盒，总金额不超过89 200元可建立不等式组，求解即可，得出m的值后要分类
讨论．
【解答】解：（1）设甲、乙两种原料的价钱分别为x元/盒，y元/盒，
根据题意，得 ，
解得 ．
答：甲、乙两种原料的价钱分别为40元/盒、160元/盒．
（2）设购买乙种原料m盒，则购买甲种原料为（2m﹣200）盒，
由题意，得 ，
解得403 ≤m≤405．
∵m取整数，
∴m＝404或m＝405，
当m＝404时，2m﹣200＝608；
当m＝405时，2m﹣200＝610；
所以购买方案为 购买甲种原料608盒，乙种原料404盒； 购买甲种原料610盒，乙种
原料405盒． ① ②
【点评】此题考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，属于应用类题目，与实际
结合比较紧密，是中考的热点，解答本题需要仔细审题，得出等量关系及不等关系，利用
第18页（共26页）方程组的思想进行解答．
24．【分析】分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，利用在直角三角形中：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形MDNC为平行四边形，
再利用平行四边形的性质和已知条件证明△EMD≌△DNF即可．
【解答】证明：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，
∵D为AB中点，∠AEC＝90°，∠BFC＝90°，
∴EM＝ AC，FN＝ BC，
∵D是△ABC中AB边上的中点，
∴DN是△ABC的中位线．
∴DN＝ AC，
∴EM＝DN＝ AC，FN＝MD＝ BC，
∵DN∥CM且DN＝CM，
∴四边形MDNC为平行四边形，
∴∠CMD＝∠CND．
∵∠EMC＝∠FNC＝90°，
∴∠EMC+∠CMD＝∠FNC+∠CND，
即∠EMD＝∠FND，
∴△EMD≌△DNF（SAS）．
∴DE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形
的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，题目难度中等综合性不小．
七、（本题12分）
25．【分析】（1）首先作出辅助线证明Rt△BCE≌Rt△ABO，进而得出CE＝BO，BE＝AO，同
理可得△ADF≌△ABO，再求出C（1，﹣1）、D（2，1）即可求出抛物线解析式；
第19页（共26页）（2）根据题意，得 1 秒后点 B 移动的长度为，则 BB ＝ ，进而求出
1
Rt△ABO≌Rt△BB N，从而得出B 坐标，得出答案即可；
1 1
（3）首先证明△A BB ∽△BAO，再求出正方形ABCD平移的距离．
2 2
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．
∵正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝90°，
即∠OBC+∠ABO＝∠BAO+∠ABO＝90°．
∴∠OBC＝∠BAO．
在Rt△BCE和Rt△ABO中，
∵∠OBC＝∠BAO，BC＝AB，∠CEB＝∠BOA＝90°，
∴Rt△BCE≌Rt△ABO（AAS）．
∴CE＝BO，BE＝AO．
∵B（﹣1，0），
∴BO＝1．
∵AB＝ ，
∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO＝ ＝ ＝2．
∴CE＝1，BE＝2．
∴OE＝BE﹣BO＝1．
∴C（1，﹣1）．
同理可得△ADF≌△ABO．
∴DF＝AO＝2，AF＝BO＝1．
∴OF＝AO﹣AF＝2﹣1＝1．
∴D（2，1）．
将C（1，﹣1）、D（2，1）分别代入y＝ x2+bx+c中，
可得
解得
∴此抛物线的表达式为y＝ x2+ x﹣2．
第20页（共26页）（2）点B 在抛物线上．
1
理由：根据题意，得1秒后点B移动的长度为，
×1＝ ，
则 BB ＝ ．
1
如图，过点B 作B N⊥x轴于点N．
1 1
在Rt△ABO与Rt△BNB 中，
1
∵∠AOB＝∠BNB ＝90°，
1
∠2＝∠B BN＝90°﹣∠ABO，AB＝B B，
1 1
∴Rt△ABO≌Rt△BB N．
1
∴B N＝BO＝1，NB＝AO＝2．
1
∴NO＝NB+BO＝2+1＝3．
∴B （﹣3，1）．
1
将点B （﹣3，1）代入y＝ x2+ x﹣2中，可得点B （﹣3，1）在抛物线上．
1 1
（3）如图，设正方形ABCD沿射线BC平移后的图形为正方形A B C D ．
2 2 2 2
∵∠OBC＝∠BAO，∠BB A ＝∠AOB，
2 2
∴△A BB ∽△BAO．
2 2
∴ ＝ ．
∵AO＝2，BO＝1，A B ＝ ，
2 2
即 ＝ ，
∴BB ＝2 ．
2
∴正方形ABCD平移的距离为2 ．
第21页（共26页）【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及全等三角形的应用和相似三角形的应用，
熟练利用判定得出点的坐标是解题关键．
八、（本题14分）
26．【分析】（1）根据点C的坐标可求出点F的纵坐标，结合题意可得出点F的坐标，过点E
作EH⊥x轴于点H，利用△AHE∽△AOD，可求出点E的坐标，从而利用待定系数法可确
定直线EF的解析式，令x＝0，可得出点G的坐标．
（2）延长HE交CD的延长线于点M，讨论点P的位置， 当点P在AB上运动时， 当点
P在BC边上运动时， 当点P在CF上运动时，分别利①用面积相减法可求出答案②．
（3）很明显在BC上③存在两个点使△PGF为直角三角形，这两点是通过 过点G作
GP⊥EF， 过点F作FP⊥EF得出来的． ①
【解答】解②：（1）∵C（8，8），DC∥x轴，点F的横坐标为3，
∴OD＝CD＝8．
∴点F的坐标为（3，8），
∵A（﹣6，0），
∴OA＝6，
∴AD＝10，
过点E作EH⊥x轴于点H，
则△AHE∽△AOD．
又∵E为AD的中点，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
∴AH＝3，EH＝4．
∴OH＝3．
∴点E的坐标为（﹣3，4），
设过E、F的直线为y＝kx+b，
第22页（共26页）∴
∴
∴直线EF为y＝ x+6，
令x＝0，则y＝6，即点G的坐标为（0，6）．
（2）延长HE交CD的延长线于点M，
则EM＝EH＝4．
∵DF＝3，
∴S△DEF ＝ ×3×4＝6，
且S平行四边形ABCD ＝CD•OD＝8×8＝64．
当点P在AB上运动时，如图3，
①S＝S平行四边形ABCD ﹣S△DEF ﹣S△APE ﹣S四边形PBCF ．
∵AP＝t，EH＝4，
∴S△APE ＝ ×4t＝2t，
S四边形PBCF ＝ （5+8﹣t）×8＝52﹣4t．
∴S＝64﹣6﹣2t﹣（52﹣4t），
即：S＝2t+6．
当点P在BC边上运动时，
②S＝S平行四边形ABCD ﹣S△DEF ﹣S△PCF ﹣S四边形ABPE ．
过点P作PN⊥CD于点N．
∵∠C＝∠A，sin∠A＝ ＝ ，
∴sin∠C＝ ．
∵PC＝18﹣t，
∴PN＝PC•sin∠C＝ （18﹣t）．
第23页（共26页）∵CF＝5，
∴S△PCF ＝ ×5× （18﹣t）＝36﹣2t．
过点B作BK⊥AD于点K．
∵AB＝CD＝8，
∴BK＝AB•sin∠A＝8× ＝ ．
∵PB＝t﹣8，
∴S四边形ABPE ＝ （t﹣8+5）× ＝ t﹣ ．
∴S＝64﹣6﹣（36﹣2t）﹣（ t﹣ ），
即 S＝﹣ t+ ．（8分）
当点P在CF上运动时，
③∵PC＝t﹣18，
∴PF＝5﹣（t﹣18）＝23﹣t．
∵EM＝4，
∴S△PEF ＝ ×4×（23﹣t）＝46﹣2t．
综上：S＝
（3）存在．
P （ ， ）．
1
P （ ， ）．
2
第24页（共26页）第25页（共26页）【点评】此题考查了一次函数的综合应用，综合了平行四边形、待定系数法及直角三角形
的性质，难度较大，关键是仔细审题，理解每一问要求的问题，对于第二问要分类讨论点P
的位置，不要遗漏．
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