文档内容
2011 年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣ C．﹣2 D．
2．（3分）随着2011年“毒馒头、毒豆芽”等事件的曝光，人们越来越关注健康的话题．关于
甲醛污染问题也一直困扰人们．我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接
触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000 075千克以下，将0.000 075用科学
记数法表示为（ ）
A．0.75×10﹣4 B．7.5×10﹣4 C．7.5×10﹣5 D．75×10﹣6
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．3﹣1＝ C．﹣2+|﹣2|＝0 D．3 + ＝4
4．（3分）如图所示，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体的小正
方体的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（3分）如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的平分线，∠2＝70°，则∠1的度数为（ ）
A．100° B．125° C．130° D．140°
6．（3分）反比例函数y＝ 与y＝ 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线
分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
第1页（共21页）A． B．2 C．3 D．1
7．（3分）一组数据3，x，4，5，8的平均数为5，则这组数据的众数、中位数是（ ）
A．5，6 B．4，4.5 C．5，5 D．5，4.5
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一
点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）掷一枚均匀的正方体，6个面上分别标有数字1，2，3，4，4，6，随意掷出这个正方体，
朝上的数字不小于“3”的概率为 ．
11．（3分）如图，晚上小亮站在与路灯底部M相距3米的A处，测得此时小亮的影长AP为1
米，已知小亮的身高是1.5米，那么路灯CM高为 米．
12．（3分）如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB＝
2DE，∠E＝18°，则∠⊙AOC的度数为 ⊙ 度．
13．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0
的解集是 ．
第2页（共21页）14．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为 边形．
15．（3分）甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千
米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时行x千米，
根据题意列出的方程是 ．
16．（3分）如图， A与x轴相切于点O，点A的坐标为（0，1），点P在 A上，且在第一象限，
∠PAO＝60°，⊙ A沿x轴正方向滚动，当点P第n次落在x轴上时⊙，点P的横坐标为
． ⊙
三、解答题（每题10分，共20分）
17．（10分）计算：﹣12011+ +（ ）﹣1﹣2cos60°．
18．（10分）先化简，再求值：（ ﹣2）÷ ，其中x＝ ﹣4．
四、解答题（每题10分，共20分）
19．（10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格，直角梯形ABEF的顶点均在格点上，请
按要求完成下列各题：
（1）请在图中拼上一个直角梯形，使它与梯形ABEF构成一个等腰梯形ABCD；
（2）将等腰梯形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A B CD ；
1 1 1
（3）求点A旋转到点A 时，点A所经过的路线长．（结果保留 ）
1
π
第3页（共21页）20．（10分）不透明的盒中装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外均相同），其中红
球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，是蓝球的概率为 ．
（1）求盒中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球放回后，第二次再任意摸一个球，请用列表或树状图，求两次
都摸出红球的概率．
五、解答题（每题12分，共24分）
21．（12分）如图，△ABC内接于 O，AB为 O直径，AC＝CD，连接AD交BC于点M，延长
MC到N，使CN＝CM． ⊙ ⊙
（1）判断直线AN是否为 O的切线，并说明理由；
⊙
（2）若AC＝10，tan∠CAD＝ ，求AD的长．
22．（12分）电信公司最近推出多种话费套餐，小亮为帮助爸爸选择哪种套餐更合算，将爸爸
上月的手机费中各项费用情况绘制成两幅统计图（不完整）：
（1）上月爸爸一共消费多少元话费？
（2）补全两幅统计图；
（3）若接听免费，长途话费0.6元/分，求爸爸长途通话时间为多少分钟？
第4页（共21页）六、解答题（本题12分）
23．（12分）随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐
年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙
两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：
类别 甲 乙
进价（万元/台） 10.5 6
售价（万元/台） 11.2 6.8
（1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？
（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．
（注：其他费用不计，利润＝售价﹣进价）
七、解答题（本题12分）
24．（12分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，
连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理
由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成
立，请说明理由．
第5页（共21页）八、解答题（本题14分）
25．（14分）如图，抛物线y＝ x2+x﹣ 与x轴相交于A、B两点，顶点为P．
（1）求点A、B的坐标；
（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件
的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写
出所有符合条件的点F的坐标．
第6页（共21页）2011 年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣ ．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣ ．
故选：B．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 075＝7.5×10﹣5．
故选：C．
【点评】此题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．【分析】根据同底数幂的乘法的性质，绝对值的性质、负整数指数幂的定义、二次根式的加
减法法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2•x3＝x2+3＝x5，故本选项符合题意；
B、3﹣1＝ ，故本选项不符合题意；
C、﹣2+|﹣2|＝﹣2+2＝0，故本选项不符合题意；
D、3 + ＝4 ，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，绝对值的性质、负整数指数幂的定义、二次根式的加
减法法则以及有理数的加法，解题时要认真计算才行．
4．【分析】根据该几何体的俯视图可确定该几何体共有两行三列，再结合主视图，即可得出该
几何体的小正方体的个数．
第7页（共21页）【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有2+1+1＝4个小正方体，
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1＝5个．
故选：B．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象
能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容
易得到答案．
5．【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BOM的度数，又由OM是
∠BOF的平分线，即可求得∠BOF的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得
∠1的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠2＝70°，
∴∠BOM＝∠2＝70°，
∵OM是∠BOF的平分线，
∴∠BOF＝2∠BOM＝140°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BOF＝140°．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意
掌握两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等定理的应用．
6．【分析】分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根
据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可
得出结论．
【解答】解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，
∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC ＝6，S△AOE ＝3，S△BOC ＝ ，
∴S△AOB ＝S四边形OEAC ﹣S△AOE ﹣S△BOC ＝6﹣3﹣ ＝ ．
故选：A．
第8页（共21页）【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y＝ 图象中任取一
点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比
例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形
的面积是 ，且保持不变．
7．【分析】根据平均数先求出x，再根据众数、中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵一组数据3，x，4，5，8的平均数为5，
∴（3+x+4+5+8）÷5＝5，
∴x＝5，
∴这组组数据的众数为5；
这组数据按从小到大的顺序排列为：3、4、5、5、8，
∴中位数是5，
故选：C．
【点评】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．一
组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就
是这组数据的中位数．另外，还涉及到了平均数的知识．
8．【分析】作点 E 关于直线 CD 的对称点 E′，连接 AE′交 CD 于点 F，再根据
△CE′F∽△BE′A即可求出CF的长，进而得出DF的长．
【解答】解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，
∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，
∴BE＝CE＝CE′＝4，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝6﹣2＝4．
故选：D．
第9页（共21页）【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出
E点关于直线CD的对称点，再根据轴对称的性质求出CE′的长，利用相似三角形的对应
边成比例即可得出结论．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列不等式组求解集即可．
【解答】解：由题意得： ，
解得：x≥2且x≠3，
故答案为：x≥2且x≠3．
【点评】考查求函数自变量的取值范围；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非
负数；分式有意义，分母不为0．
10．【分析】根据概率的求法，找准两点：
全部情况的总数；
①符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【②解答】解：∵投掷一次会出现1，2，3，4，5，6共六种情况，并且出现每种情况都是等可能
的，
其中不小于3的情况有3，4，5，6四种，
∴朝上的数字不小于3的概率是 ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题主要考查了概率的计算公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况
数之比，难度适中．
11．【分析】利用相似三角形对应线段成比例解答此题即可．
【解答】解：根据题意，设路灯高度为x米，
则 ，
解得x＝6
故答案为6．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方
程，通过解方程求解即可．
12．【分析】根据AB＝2DE得DE等于圆的半径，在△EDO和△CEO中，根据三角形的一个外
第10页（共21页）角等于和它不相邻的两个内角的和求解．
【解答】解：连接OD，∵AB＝2DE，
∴OD＝DE，
∴∠E＝∠EOD，
在△EDO中，∠ODC＝∠E+∠EOD＝36°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝36°，
在△CEO中，∠AOC＝∠E+∠OCD＝18°+36°＝54°．
【点评】本题主要利用三角形的外角性质求解．
13．【分析】根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y＜0，即可求出答案．
【解答】解：∵直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），
∴y随x的增大而增大，
当x＜﹣2时，y＜0，
即kx+b＜0．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和
掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
14．【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，
然后列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的
关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
15．【分析】若设乙每小时行x千米，根据甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景
第11页（共21页）区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，可列出方程．
【解答】解：设乙每小时行x千米，
根据题意列出的方程： ﹣ ＝ ．
故答案为： ﹣ ＝ ．
【点评】本题考查理解题意的能力，设出乙的速度，可表示出甲的速度，路程已知，以时间
差作为等量关系列方程．
16．【分析】首先根据弧长公式求得弧OP的长，则点P第1次落在x轴上时，点P的横坐标即
为弧OP的长；点P第2次落在x轴上时，点P的横坐标即为圆周长加上弧OP的长，以此
推广即可求解．
【解答】解：根据弧长公式，得
弧OP的长＝ ＝ ，圆周长是2 ，
π
则点P第1次落在x轴上时，点P的横坐标是 ，点P第2次落在x轴上时，点P的横坐
标是2 + ＝ ，
π
以此类推，点P第n次落在x轴上时，点P的横坐标是2（n﹣1） + ＝ ．
π π
故答案为： ．
π
【点评】此题考查了弧长公式以及规律的推广．
三、解答题（每题10分，共20分）
17．【分析】分别根据数的乘方、二次根式的化简、负整数指数幂及特殊角的三角函数值计算
出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+2 +2﹣2×
＝﹣1+2 +2﹣1
＝2 ．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方、二次根式的化简、负整数指数幂的运算
法则，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
18．【分析】根据运算顺序先计算括号里的，所以把括号里的两项进行通分，使分母变为x﹣
第12页（共21页）2，然后利用分母不变，只把分子相减，计算出结果，接着把除式的分子分母分别利用平方
差公式及提公因式法分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数，把除法变为
乘法运算，约分即可得到最简结果，最后把x的值代入化简的式子中，合并后分母有理化
即可得到值．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ ÷
＝ •
＝ •
＝﹣ ，
当x＝ ﹣4时，原式＝﹣ ＝﹣ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，解此类型题时，先弄清运算顺序，利用法则、定律、分
解因式及公式简化运算，化为最简后，再代值．
本题应该注意的地方有三处：
1、对括号里同分母分式相减时注意去括号法则，不要把符合弄错；
2、在进行约分时，应对﹣x+4提取﹣1后，方可约分；
3、代值求解时，也要将求出的值化为最简．
四、解答题（每题10分，共20分）
19．【分析】（1）以EF所在直线为对称轴，画出梯形ABEF的对称图形即可得到等腰梯形
ABCD；
（2）将A、B、D等关键点绕点C旋转90°，再连接各点即可得图形A B CD ；
1 1 1
（3）点A旋转到点A 时，划过的路线为扇形的弧，求出弧长即可．
1
【解答】解：（1）如图所示：
第13页（共21页）（2）如图所示：
（3）连接CA，则CA＝ ＝ ，
由于从A旋转到A ，旋转角为90°，
1
则点A所经过的路线长为以C为圆心，以 为半径的扇形弧长，
为l＝ ＝ ．
π
【点评】本题考查了作图﹣﹣旋转变换，涉及直角梯形、等腰梯形的性质、弧长的计算等，
第14页（共21页）较为复杂，作图时要仔细．
20．【分析】（1）根据蓝球的概率为 及蓝球个数求出所有球的个数，然后利用概率公式解
答；
（2）利用列表法列举出所有结果，进而求出两次都摸出红球的概率即可．
【解答】解：（1）∵摸到蓝球的概率为 ，蓝球有1个，
∴所有球共有1 ＝4个，
∴黄球有4﹣1﹣2＝1个；
（2）根据题意，如图所示：
红一 红二 黄 蓝
红一 （红一，红一） （红二，红一） （黄，红一） （蓝，红一）
红二 （红一，红二） （红二，红二） （黄，红二） （蓝，红二）
黄 （红一，黄） （红二，黄） （黄，黄） （蓝，黄）
蓝 （红一，蓝） （红二，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝）
∴两次都摸出红球的概率是： ＝ ．
【点评】此题考查列表法求概率以及概率公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些
事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
五、解答题（每题12分，共24分）
21．【分析】（1）由MC＝CN，且得出AC垂直于MN，则△AMN是等腰三角形，所以∠CAN＝
∠DAC，再由AC＝DC，则∠D＝∠DAC，根据同弧所对的圆周角相等得出∠B＝∠D，从而
得出∠B＝∠NAC，即可得出∠BAN＝90°；
（2）等腰三角形ACD中，两腰AC＝CD＝10，且已知底角正切值，过点C作CE⊥AD，底边
长AD可以求出来．
【解答】解：（1）直线AN是 O的切线，理由是：
∵AB为 O直径， ⊙
∴∠ACB⊙＝90°，
∴AC⊥BC，
第15页（共21页）∵CN＝CM，
∴∠CAN＝∠DAC，
∵AC＝CD，
∴∠D＝∠DAC，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠NAC，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠NAC+∠BAC＝90°，
∴OA⊥AN，
又∵点A在 O上，
∴直线AN是⊙ O的切线；
⊙
（2）过点C作CE⊥AD，
∵tan∠CAD＝ ，
∴ ＝ ，
∵AC＝10，
∴设CE＝3x，则AE＝4x，
在Rt△ACE中，根据勾股定理，CE2+AE2＝AC2，
∴（3x）2+（4x）2＝100，
解得x＝2，
∴AE＝8，
∵AC＝CD，
∴AD＝2AE＝2×8＝16．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理以及解直角三角形，是基础知识比较
简单．
第16页（共21页）22．【分析】（1）由于长途话费为72元，占的比例为45%，所以上月爸爸一共消费手机话费＝
72÷45%＝160元；
（2）根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系，本地话费所占的百分比＝1﹣18.75%﹣
6.25%﹣45%＝30%；
（3）利用图中爸爸所用的长途话费，再与长途话费0.6元/分进行相除，即可得出答案．
【解答】解：（1）上月爸爸一共消费话费＝72÷45%＝160元；
（2）表示本地话费所占的百分比＝1﹣18.75%﹣6.25%﹣45%＝30%；
（3）72÷0.6＝120（分）
答：爸爸长途通话时间为120分钟．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
六、解答题（本题12分）
23．【分析】（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，根据：用不低于228万元
且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车，列不等式组，求x的取值范围，
再求正整数x的值，确定方案；
（2）根据：利润＝（售价﹣进价）×辆数，总利润＝甲轿车的利润+乙轿车的利润，列出函数
关系式，根据x的取值范围求最大利润．
【解答】解：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，依题意，得
228≤10.5x+6（30﹣x）≤240，
第17页（共21页）解得10 ≤x≤13 ，
∴整数x＝11，12，13，
有三种进货方案：购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆；
购进甲款轿车12辆，购进乙款轿车18辆；
购进甲款轿车13辆，购进乙款轿车17辆．
（2）设总利润为W（万元），则W＝（11.2﹣10.5）x+（6.8﹣6）（30﹣x）＝﹣0.1x+24，
∵﹣0.1＜0，W随x的减小而增大，
∴当x＝11时，即购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆，利润最大，
最大利润为W＝﹣0.1×11+24＝22.9万元．
【点评】本题考查了一次函数的应用．关键是明确进价，售价，购进费用，销售利润之间的
关系，利用一次函数的增减性求解．
七、解答题（本题12分）
24．【分析】（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE＝
PD；
（2）利用三角形全等得出，BP＝PD，由PB＝PE，得出PE＝PD，要证PE⊥PD；从三方面
分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC
中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；
（3）利用PE＝PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆
心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．
【解答】解：（1）当点P在线段AO上时，
在△ABP和△ADP中 ，
∴△ABP≌△ADP，
∴BP＝DP，
∵PB＝PE，
∴PE＝PD，
过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，
∵PB＝PE，PN⊥BE，
∴BN＝NE，
∵BN＝DM，
第18页（共21页）∴DM＝NE，
在Rt△PNE与Rt△PMD中，
∵PD＝PE，NE＝DM，
∴Rt△PNE≌Rt△PMD，
∴∠DPM＝∠EPN，
∵∠MPN＝90°，
∴∠DPE＝90°，
故PE⊥PD，
PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE＝PD，PE⊥PD；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，
∵PA＝PA，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB＝PD，
又∵PB＝PE，
∴PE＝PD．
（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（ii）当点E在BC的延长线上时，如图．
∵△ADP≌△ABP，
∴∠ABP＝∠ADP，
∴∠CDP＝∠CBP，
∵BP＝PE，
∴∠CBP＝∠PEC，
∴∠PEC＝∠PDC，
∵∠1＝∠2，
∴∠DPE＝∠DCE＝90°，
第19页（共21页）∴PE⊥PD．
综合（i）（ii），PE⊥PD；
（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD＝PE．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，
此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．
八、解答题（本题14分）
25．【分析】（1）令y＝0，则 x2+x﹣ ＝0，解方程即可得到点A、B的坐标；
（2）先利用对称性得到顶点P的坐标，然后根据△ABP的面积等于△ABE的面积得到点E
坐标为（a，2），再把E（a，2）代入抛物线的解析式得到关于a的方程，解方程即可确定E
点坐标；
（3）分类讨论：分别以AB、PA、PB为平行四边形的对角线，根据平行四边的性质易确定点
F的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，则 x2+x﹣ ＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；
（2）存在．
第20页（共21页）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝﹣1，则y＝ ﹣1﹣ ＝﹣2，
∴P点坐标为（﹣1，﹣2），
∵△ABP的面积等于△ABE的面积，
∴点E到AB的距离等于2，
设E（a，2），
把E（a，2）代入抛物线的解析式得， a2+a﹣ ＝2，解得a＝﹣1﹣2 或﹣1+2 ，
∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2 ，2）或（﹣1+2 ，2）．
（3）所有符合条件的点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）．
【点评】本题考查了解二次函数的综合题的方法：先通过二次函数的解析式确定各特殊点
的坐标，得到有关线段的长，然后利用几何性质（如三角形面积公式，平行四边形的性质）
去确定其他点的坐标．
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