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辽宁省阜新市 2021 年中考数学试题
一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1. 计算： ，其结果等于（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的加减运算即可求解．
【详解】 =2
故选A．
【点睛】此题主要考查有理数的加法运算，解题的关键是熟知其运算法则．
2. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图的定义即可求解．
【详解】由图可知左视图是
故选B．
【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义．
3. 在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相
同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要
知道这15个参赛班级成绩的（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差【答案】B
【解析】
【分析】由于比赛取前7名参加决赛，共有15名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有7个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
4. 不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，从而可以解答本题．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
故原不等式组的解集为： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确解不等式组
的方法．
5. 已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ， 的关系是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断两个点是否在同一象限内，然后根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】∵点 ， 都在反比例函数 的图象上，∴ ，图象位于第二、
四象限内，且 随 增大而增大，
∵ ，
∴点 在第四象限，点 在第二象限，
∴ ，
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，并
会用数形结合的思想解决问题．
6. 小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和
一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列表法或树状图即可解决．
【详解】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列
表如下：
R B W
r rR rB rW
b bR bB bW
则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红
色帽子和红色围巾的概率是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解．
7. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若 ，则 的度数是（ ）A. 40° B. 35° C. 30° D. 25°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】∵ ，
∴ =
故选B．
【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质．
8. 在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121
万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据从七年级 每年100万字增加到九年级的每
年121万字，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
依题意得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，二次函数 的图象与x轴交于A， 两点，则下列说法正确的是（ ）A. B. 点A的坐标为
的
C. 当 时，y随x 增大而减小 D. 图象的对称轴为直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．
【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；
∵解析式为 ，故对称轴为直线x=-2，D正确
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B错误；
的
由图可知当 时，y随x 增大而减小，故C错误；
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
10. 如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在 ．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的
路径长为 时，圆心的横坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出一个周期圆心走的路程，即可求出圆心经过的路径长为 时圆心的位置，故可求解．【详解】如图，圆心在 ，可得r=2
∴OA= ，AB=2r=4，BC= ， = =
∴一个周期圆心经过的路径长为OA+ +BC=4 ，
∴C（4+2 ，0），
故当圆心经过的路径长为 时，
÷4 =505…1
∴圆心的横坐标是505×（4+2 ）+ =
故选D．
【点睛】此题主要考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径长．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 计算： _______．
【答案】
【解析】
【分析】直接计算求解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，负指数幂的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键．
12. 如图，直线 ，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分 ，则
的度数为_________°．【答案】60
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可求出 的度数，即可得到 的度数，再利用平行线的性质即可
解决问题．
【详解】 一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，
，
平分 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则 与 的周长比为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，可得到 ，在网格图中，利用锐角三角函数值得到 ，继而 ，可得到 ，证得
，然后分别求出 、 ，即可解答．
【详解】如图，
设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，
∴ ,
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由图可知： ，
∴ ，
即 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比．
14. 如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为
_________ m（结果精确到1m， ）．【答案】57
【解析】
【分析】根据题意画出下图： ， ，垂足分别为点 、点 ， ，
， ， ，垂足为点 ，可得四边形 是矩形，继而得到
，在 中，可求出 ，然后在 中，求出 ，即可求解．
【详解】解：根据题意画出下图： ， ，垂足分别为点 、点 ， ，
， ， ，垂足为点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即乙楼高度约为57 ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的应用中仰角俯角问题，解题的关键是明确题意构造直角三角形，并
结合利用锐角三角函数解直角三角形．
15. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知 ， ．
当折痕GH最长时，线段BH的长为_________．
【答案】 （或6.8）
【解析】
【分析】根据题意确定点 E与点D重合时，折痕 GH最长，根据翻折变换的性质得出 ，设
，则 在 中根据勾股定理列出方程，解方程即可，再用 即
可求出答案．
【详解】当点E与点D重合时，GH最长，如图所示，
由折叠可知：设 ，则
∵四边形ABCD为矩形，
∴
在 中，
∵
∴ ，
解得：
∴
故填： （或6.8）．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于
轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，解题关键是确定折痕最长时E点的位置，
根据题意列出方程求解．
16. 育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名
联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t
（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了 第一次返回到自己班级，则七（2）班需要
_________ h才能追上七（1）班．
【答案】2
【解析】
【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为 图中 表示联络员追上七（1）班，用时 h，可以算出联络员与七（1）班的速度差
那么联络员的速度为 联络员用了 第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用
走的路程等于七（2）班 走的路程与联络员 走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，
即可计算出追上七（1）班所需时间．
【详解】解：由题意得：
七（1）班的速度为：
联络员与七（1）班的速度差为：
即联络员的速度为：
当七（2）班出发 时，
联络员用 走的路程等于七（2）班 走的路程与联络员 走的路程之和，
设七（2）班的速度为
列出方程：
，
解得：
即七（2）班的速度为 ，
则七（2）班追上七（1）班需要的时间为：故填：2．
【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的
速度．
三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，
最后代入计算即可．
详解】原式
【
当 时，
原式 ．
【点睛】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意
运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式．
18. 下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为 ，关于 轴的对
称图形为 ．则将图形 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形 ．
（2）在图2中分别画出G关于 y轴和直线 的对称图形 ， ．将图形 绕____点（用坐标表
示）顺时针旋转______度，可以得到图形 ．
（3）综上，如图3，直线 和 所夹锐角为 ，如果图形G关于直线 的对称图形为
，关于直线 的对称图形为 ，那么将图形 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用 表
示），可以得到图形 ．
【答案】（1）O，180；（2）图见解析， ，90；（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据图形可以直接得到答案；
（2）根据题意画出图形，观察图形，利用图形旋转的性质得到结论；
（3）从（1）（2）问的结论中得到解题的规律，求出两个函数的交点坐标，即可得出答案．
【详解】解：（1）由图象可得，图形 与图形 关于原点成中心对称，
则将图形 绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形 ；
故答案为：O，180；
（2） ， 如图；由图形可得，将图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形 ，
故答案为： ，90；
（3）∵当G关于y轴的对称图形为 ，关于 轴的对称图形为 时， 与 关于原点（0,0）对称，即
图形 绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形 ；
当G关于 y轴和直线 的对称图形 ， 时，图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转90度，
可以得到图形 ，点（0,1）为直线 与 y轴的交点，90度角为直线 与 y轴夹角的两倍；
又∵直线 和 的交点为 ，夹角为 ，
∴当直线 和 所夹锐角为 ，图形G关于直线 的对称图形为 ，关于直线 的
对称图形为 ，那么将图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转 度（用 表示），可以得到图
形 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了图形的对称性与旋转的性质，关键在于根据题意正确的画出图形，得出规律．
19. 育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称
《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了
解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在
对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：（1）参与这次学校调查的学生家长共_________人；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一
共约有多少人？
【答案】（1）150 ；（2）见解析；（3）1120人
【解析】
【分析】（1）观察两幅统计图中A分别是30人，其所占的百分比为20%，则可求得参与这次学校调查的
学生家长总人数；
（2）在求得了参与调查的学生家长总人数的情况下，根据A、B、D的人数，即可求得C的人数，从而可
把条形统计图补充完整；
（3）可求得该校参与调查的学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的百分比，用此百分比作为该
校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的百分比，其与2000的积便是所求的结果．
【详解】解：（1）由条形统计图知，A所占的人数为30人，由扇形统计图知，A所占的百分比为20%，
所以参与这次学校调查的学生家长共有：30÷20%=150（人）．
故答案为：150 ；
（2）C选项人数为 ： （人）
补充条形统计图如下图所示．（3） （人）
所以估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有1120人．
【点睛】本题综合考查了两种统计图：条形统计图和扇形统计图，用样本的百分比估计总体的百分比，关
键是读懂两个统计图，并能从统计图中获取有用的信息．
20. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安
装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同
样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安
装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
【答案】（1）甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；（2）12天
【解析】
【分析】（1）设乙公司每天安装 间教室，则甲公司每天安装 间教室，根据题意列出分式方程，故
可求解；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作 天，根据题意列出不等式，故可求解．
【详解】解：（1）设乙公司每天安装 间教室，则甲公司每天安装 间教室，
根据题意，得
解这个方程，得 ．
经检验， 是所列方程的根．（间），
所以，甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室．
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作 天，根据题意，得
解这个不等式，得 ．
所以，最多安排甲公司工作12天．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解．
21. 在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学
结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且
．
（1）如图2，求证： ；
（2）若直线AC与EF相交于点G，如图3，求证： ；
（3）设正方形ABCD的中心为O， ，用含 的式子表示 的度数（不必证明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α．
【解析】
【分析】（1）四边形 ABCD 是正方形， ， ，又知道 ，可得到
即可求解；
（2）作 交AC于点H,则 ,知道四边形ABCD是正方形可得 ，推出 ， ， ， ， ，得到
， ，又知道 得到 即可求解
（3）分三种情况①点E在线段AB上、②点E在线段BA的延长线上、③点E在线段AB的延长线上，逐一
进行讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2）（解法一）作 交AC于点H，如图1．则 ．
图1
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
由（1）同理可得 ，
∴ ．
（解法二）作 交AC于点H ，如图2．
图2
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．连接CE，FH ．
又∵ ．
∴四边形CEHF是平行四边形．
∴ ．
由（1）同理可得 ，
∴ ．
（3）解：①当点E在线段AB上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵ ，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
即∠EDF=90°，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDF=∠2=45°，
∴∠1=45°-∠3，
∵∠BCD=90°，
∴∠3+∠2+∠CFE=90°，
∴∠3=90°-45°-α=45°-α，
∴∠1=45°-∠3=α，
∵∠DGO=∠ACD+∠1，
∴∠DGO=α+45°；②当点E在线段BA的延长线上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=45°，
∵ ，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
即∠EDF=90°，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDF=∠GFD=∠BDC=45°，
∴∠1=∠2，
∵∠BCD=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵∠3=∠CFE-∠GFD=α-45°，
∴∠2=90°-α+45°=135°-α，
∴∠1=∠2=135°-α，
∴∠DGO=90°-∠1=α-45°；
③当点E在线段AB的延长线上时，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ACD=45°，∠ABC=∠ADC=90°，
∵ ，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
即∠EDF=90°，
∴∠2=∠3，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDE=∠DEG=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CFE+∠2+∠DEG=90°，
∵∠CFE-∠2=45°，
∴∠CFE=∠1=α，
∴∠DGO+∠1=∠ACD=45°，
∴∠DGO=45°-α．
综上：∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判
定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得DE=DF，利用等腰直角三角形的性质求
解．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于点 ， ，过点B的直线交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2） 若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求 面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直
线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或 或
或
【解析】
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，得关于a、b的二元一次方程组，解方程
组即可求得a、b，从而可求得抛物线的函数解析式；
（2）过点P作 轴，交x轴于点D，交BC于点E，作 于点F，连接PB，PC，则有
，设 ，则可得E点坐标，从而可分别求得PE、DE，从而求得
PE，解由二次函数与一次函数组成的方程组，可求得点C的坐标，
进而求得△PBC的面积关于m的函数，求出函数的最值即可；
（3）设点M的坐标为(p,q)，分别求出直线OM、ON的解析式，再求得ON与直线 的交点N的
坐标，根据OM=ON，即可求出p与q的值，从而求得点M的坐标．
【详解】（1）将点 ， 代入 中，得：解得
∴该抛物线表达式为 ．
（2）过点P作 轴，交x轴于点D，交BC于点E，作 于点F，连接PB，PC，如图．
设点 ，则点 ．
∵点P、E均位于直线 的下方
∴P、E两点的纵坐标均为负
∴ ，
∴
∵点C的坐标为方程组 的一个解
∴解这个方程组，得 ，
∵点B坐标为∴点C的横坐标为
∴
∴
．（其中 ）
∵
∴这个二次函数有最大值，且当 时， 的最大值为 ．
（3）存在
设M(p,q)，其中 ，且p≠0， 则直线OM的解析式为：
由于ON⊥OM，则直线ON的解析式为：
解方程组 ，得 ，
即点N的坐标为∴
∵ ，且OM=ON
∴
∴
即 或
把 代入两式中并整理，得： 或
解方程得： ， ， ， (舍去)
当 时， ；当 时， ；当 时，
故点M的坐标分别为： 或 或
当p=0时，则q=－3，即M(0,－3)，而 ，且OM⊥OB
即此时点M也满足题意
综上所述，满足题意的点M的坐标为 或 或 或
．
【点睛】本题是二次函数的压轴题，也是中考常考题型，它考查了待定系数法求二次数解析式，二次函数
的图象，求二次函数的最值，平面直角坐标系中图象旋转问题，解方程组，勾股定理等知识，运算量较大，
这对学生的运算能力提出了更高的要求；求三角形面积时用到图形的割补方法，这是在平面直角坐标系中
求图象面积常用的方法．
