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2011 年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择題（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题3分，共24分）
1．（3分）用科学记数法表示310000，结果正确的是（ ）
A．3.1×104 B．3.1×105 C．31×104 D．0.31×106
2．（3分）在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，其中5个红球，3个黑球，
2个白球，从中任意摸出一球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗
杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（ ）
A．1.25m B．10m C．20m D．8m
4．（3分）将多项式x3﹣xy2分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x2﹣y2） B．x（x﹣y）2
C．x（x+y）2 D．x（x+y）（x﹣y）
5．（3分）一个正方体的每一个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中
和“城”字相对的字是（ ）
A．丹 B．东 C．创 D．联
6．（3分）反比例函数y＝ 的图象如图所示，则一次函数y＝kx+k的图象大致是（ ）
A． B．
第1页（共21页）C． D．
7．（3分）如果一组数据x ，x ，…，x 的方差是3，则另一组数据x +5，x +5，…，x +5的方差是
1 2 n 1 2 n
（ ）
A．3 B．8 C．9 D．14
8．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC＝9，
则AE的值是（ ）
A．6 B．4 C．6 D．4
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）不等式组 的整数解是 ．
11．（3分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有 对．
12．（3分）按一定规律排列的一列数，依次为1，4，7，…，则第n个数是 ．
13．（3分）一组数据：12，13，15，14，16，18，19，14．则这组数据的极差是 ．
14．（3分）如图，将半径为3cm的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则
这个圆锥的高是 ．
第2页（共21页）15．（3分）已知：线段AB＝3.5cm， A和 B的半径分别是1.5cm和4cm，则 A和 B的位
置关系是 ． ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
16．（3分）已知：如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点
Q，那么S△DPQ ：S△ABC ＝ ．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．（8分）计算：|2﹣2|+4sin45°﹣ +（ ﹣ ）0．
18．（8分）每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，梯形ABCD在平面直角坐标系
中的位置如图所示．
（1）在平面直角坐标系中画出梯形ABCD关于直线AD的轴对称图形AB C D；
1 1
（2）点P是y轴上一个动点，请直接写出所有满足△P0A是等腰三角形的动点P的坐标．
19．（10分）某学校为了解学生每周在饮料方面的花费情况进行了抽样调查，调查结果制成了
条形统计图和扇形统计图．请你结合图中信息完成下列问题：
第3页（共21页）（1）补全条形统计图．
（2）本次抽样调查了多少名学生？
（3）请求出抽样调查的数据的平均数，并直接写出中位数和众数．
（4）扇形统计图中，花费20元的人数所在扇形圆心角度数为多少度？
20．（10分）数学课堂上，为了学习构成任意三角形三边需要满足的条件．甲组准备3根木条，
长度分别是3cm、8cm、13cm；乙组准备3根木条，长度分别是4cm、6cm、12cm．老师先从
甲组再从乙组分别随机抽出一根木条，放在一起组成一组．
（1）用画树状图法（或列表法）分析，并列出各组可能．（画树状图或列表以及列出可能时
不用写单位）
（2）现在老师也有一根木条，长度为5cm，与（1）中各组木条组成三角形的概率是多少？
21．（10分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m，经测量，得
到其它数据如图所示．其中∠CAH＝30°，∠DBH＝60°，AB＝10m．请你根据以上数据计算
GH的长．（ ≈1.73，要求结果精确到0.1m）
22．（10分）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作 O交AB于点D．
⊙
（1）若tan∠ABC＝ ，AC＝6，求线段BD的长．
（2）若点E为线段BC的中点，连接DE．求证：DE是 O的切线．
⊙
第4页（共21页）23．（10分）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现
每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数
量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
24．（10分）某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y 与包装盒数x满足如图1所示的函数
1
关系．
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与
2
包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出y 、y 与x的函数关系式．
1 2
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
25．（12分）已知：正方形ABCD．
（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE＝AF．此时，线段BE、DF的数量关系
和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
第5页（共21页）（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠ ，当0°＜ ＜90°时，连接
BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如α果不成立α，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠ ，当a＝90°时，连接BE、
DF，猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分αBE．请直接写出结论．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠ ，当90°＜ ＜180°时，连接
BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEαF各边中点α所组成的四边形
是什么特殊四边形？请直接写出结论．
26．（14分）已知：二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作
QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
第6页（共21页）2011 年辽宁省丹东市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择題（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题3分，共24分）
1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：用科学记数法表示数310 000为3.1×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【分析】先求出袋子中球的总个数及红球的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，其中5个红球，从中
任意摸出一球是红球的概率是 ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
3．【分析】设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度
与其影长的比相等，即有1.6：0.4＝x：5，然后解方程即可．
【解答】解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4＝x：5，
解得x＝20（m）．
即该旗杆的高度是20m．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．
4．【分析】先提取公因式x，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a﹣b）
（a+b）．
【解答】解：x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），
故选：D．
第7页（共21页）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二
次分解，注意分解要彻底．
5．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．方法比较灵活可让“城”字面不动，分别
把各个面围绕该面折成正方体，这需要空间想象能力，如果想象不出就动手操作，或者拿
手边的正方体展成该形状观察．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“城”与面“创”相对，
面“丹”与面“四”相对，面“东”与面“联”相对．
故选：C．
【点评】本题考查生活中的立体图形与平面图形，注意正方体的空间图形，从相对面入手，
分析及解答问题．
6．【分析】根据反比例函数y＝ 的图象所在的象限确定k＞0．然后根据k＞0确定一次函数y
＝kx+k的图象的单调性及与y轴的交点的大体位置，从而确定该一次函数图象所经过的
象限．
【解答】解：根据图示知，反比例函数y＝ 的图象位于第一、三象限，
∴k＞0，
∴一次函数y＝kx+k的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，且该一次函数在定义域内是增
函数，
∴一次函数y＝kx+k的图象经过第一、二、三象限；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．反比例函数y＝ 的图象是双曲线，当k
＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四
象限．
7．【分析】根据题意得；数据x ，x ，…，x 的平均数设为a，则数据x +5，x +5，…，x +5的平均
1 2 n 1 2 n
数为a+5，在根据方差公式进行计算：S2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…（x ﹣ ）2]即可得到
1 2 n
答案．
【解答】解：根据题意得；数据x ，x ，…，x 的平均数设为a，则数据x +5，x +5，…，x +5的
1 2 n 1 2 n
平均数为a+5，
第8页（共21页）根据方差公式：S2＝ [（x ﹣a）2+（x ﹣a）2+…（x ﹣a）2]＝3．
1 2 n
则；S2＝ {[（x +5）﹣（a+5）]2+[（x +5）﹣（a+5）]2+…（x +5）﹣（a+5）]}2，
1 2 n
＝ [（x ﹣a）2+（x ﹣a）2+…（x ﹣a）2]，
1 2 n
＝3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运
用方差公式进行计算即可．
8．【分析】由角平分线的定义得到∠CBE＝∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA
＝EB，则∠A＝∠ABE，可得∠CBE＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE
＝2EC，即AE＝2EC，由AE+EC＝AC＝9，即可求出AC．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠ABE，
∴∠CBE＝30°，
∴BE＝2EC，即AE＝2EC，
而AE+EC＝AC＝9，
∴AE＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：
分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
第9页（共21页）10．【分析】可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，根据x是整数解得出不等式组的
整数解．
【解答】解：不等式组 ，
解得，﹣ ＜x≤2，
不等式组的整数解是0、1和2；
故答案为0、1、2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得
出x的整数解，然后代入方程即可解出a的值．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大
取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
11．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出DF∥BC，则△EFD∽△EBC，AB∥CD，得
△EFD∽△BFA，从而得出△ABF∽△CEC．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥BC，AB∥CD，
∴△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，
∴△ABF∽△CEB．
共3对．
故答案为3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．
12．【分析】观察依次为1，4，7，…，的一列数，分析找出规律，是首项为1，公差为3的等差数
列，据此求出第n个数．
【解答】解：通过观察得出：依次为1，4，7，…，的一列数是首项为1，公差为3的等差数列，
所以第n个数为：1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，
故答案为：3n﹣2．
【点评】此题考查的知识点是数字的变化类问题，解题的关键是分析一列数找出规律，按
规律求解．
13．【分析】根据极差的定义用一组数据中的最大值减去最小值即可求得．
【解答】解：由题意可知，极差为19﹣12＝7．
故答案为7．
【点评】本题考查了极差的定义，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
14．【分析】算出围成圆锥的扇形的弧长，除以2 即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求
第10页（共21页）
π得圆锥的高．
【解答】解：∵将半径为3cm的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，
∴围成圆锥的弧长所对圆心角度数是 ×360°＝240°
围成圆锥的弧长为 ＝4 cm，
π
∴圆锥的底面半径为4 ÷2 ＝2cm，
∴圆锥的高为 π＝π cm．
故答案为 cm．
【点评】考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；用到的知识点为：圆
锥的底面周长等于侧面展开图的弧长．
15．【分析】由线段AB＝3.5cm， A和 B的半径分别是1.5cm和4cm，根据两圆位置关系与
圆心距d，两圆半径R，r的数⊙量关⊙系间的联系得出 A和 B的位置关系．
【解答】解：∵ A和 B的半径分别是1.5cm和4⊙cm，线⊙段AB＝3.5cm，
又∵4﹣1.5＝2.5⊙，4+1.⊙5＝5.5，
∴2.5＜AB＜5.5，
∴ A和 B的位置关系是相交．
故⊙答案为⊙：相交．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r
的数量关系间的联系是解此题的关键．
16．【分析】连接PA，由题意可知2DE＝BC；4DP＝2DE＝BC；推出S△ADE ：S△ABC ＝1：4，由
△DPQ∽△BCQ，推出4QD＝QB，2QD＝QA，因此S△DPQ ：S△APQ ＝1：2，由于S△APD ＝
S△APE ，所以S△DPQ ：S△ADE ＝1：6，即S△DPQ ：S△ABC ＝1：24．
【解答】解：如图，连接PA．
∵DE是中位线，P是DE中点，
∴2DE＝BC；4DP＝2DE＝BC，S△ADE ：S△ABC ＝1：4，
∵DE∥BC，
∴△DPQ∽△BCQ，
∴4QD＝QB，
∵D是AB中点，
∴BD＝AD＝3DQ，
第11页（共21页）∴2QD＝QA，
∴S△DPQ ：S△APQ ＝1：2，
∵S△APD ＝S△APE ，
∴S△DPQ ：S△ADE ＝1：6，
∴S△DPQ ：S△ABC ＝1：24．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质、三角形中位线性
质，解题的关键在于求出相关线段的比值，以此求出S△DPQ ：S△APQ ＝1：2，
推出S△DPQ ：S△ADE ＝1：6，因此S△DPQ ：S△ABC ＝1：24．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．【分析】根据零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值5个考点．
在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝ +4× ﹣2 +1
＝1 ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等
考点的运算．
18．【分析】（1）由梯形ABCD关于直线AD的轴对称图形AB C D，即可在直角坐标系中画出
1 1
梯形AB C D；
1 1
（2）分为OP＝OA，PA＝PO与OA＝AP三种情况去分析，小心别漏解．
【解答】解：（1）如图：
（2）如图：当OP＝OA＝5时，可得P （0，5），P （0，﹣5）；
1 2
当PA＝PO时，
∵设点P（0，a），
则OP＝a，PA＝ ，
第12页（共21页）∴a2＝9+（4﹣a）2，
解得：a＝ ，
∴P （0， ）；
3
当OA＝AP时，
设点P（0，b），
可得：9+（4﹣b）2＝25，
解得：b＝8或b＝0（舍去）；
∴P （0，8）．
4
∴满足△P0A是等腰三角形的动点P的坐标为：P （0，5），P （0，﹣5），
1 2
P （0， ），P （0，8）．
3 4
【点评】此题考查了轴对称图形的作法与等腰三角形的性质．题目难度适中，解题的关键
第13页（共21页）是分类讨论思想与数形结合思想的应用．小心别漏解．
19．【分析】（1）根据5元人数为15人，圆心角度数为54°，求出总人数，可以得出其他各组人
数；
（2）根据5元的人数和圆心角的度数即可解答；‘
（3）利用平均数、中位数、众数的求法解答即可；
（4）用花费20元的人数除以总人数再乘以360度即可解答．
【解答】解：（1）15÷ ＝100人，花费10元人数100× ＝20人，花费25元人数100×
＝10人，画图如下：
（2）15÷ ＝100人，即总人数为100人．
（3）平均数为（5×15+10×20+15×25+20×30+25×10）÷100＝15元，
中位数为15元，
众数为20元．
（4）30÷100×360°＝108°，即花费20元的人数所在扇形圆心角度数为108°．
【点评】此题主要考查了条形图的应用以及中位数、众数、平均数和扇形图统计图的应用，
利用图形获取正确信息以及扇形图与条形图相结合是解决问题的关键．
20．【分析】（1）根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）首先由树状图，求得长度为5cm，与（1）中各组木条组成三角形的情况，然后由概率公
第14页（共21页）式即可求得长度为5cm，与（1）中各组木条组成三角形的概率．
【解答】解：（1）画树状图、列表得：
甲 4 6 12
乙
3 （3，4） （3，6） （3，12）
8 （8．，4） （8，6） （8，12）
13 （13，4） （13，6） （13，12）
∴一共有9种等可能的结果，
各组可能为：（3，4），（3，6），（3，12），（8，4），（8，6），（8，12），（13，4），（13，6），（13，
12）；
（2）与（1）中各组木条组成三角形的有：（3，4），（3，6），（8，4），（8，6），（8，12），（13，12）
共6种情况，
∴与（1）中各组木条组成三角形的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．注意树状图法与列表法可以不重不
漏地表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．【分析】首先构造直角三角形，得出AE＝ （x+2），BE＝ x，进而求出x的长，进而得
出GH的长．
【解答】解：根据已知画图，过点D作DE⊥AH于点E，
设DE＝x，则CE＝x+2，
在Rt△AEC和Rt△BED中，有tan30°＝ ，
tan60°＝ ，
∴AE＝ （x+2），BE＝ x，
∴ （x+2）﹣ x＝10，
第15页（共21页）∴x＝5 ﹣3，
∴GH＝CD+DE＝2+5 ﹣3＝5 ﹣1≈7.7（m）
答：GH的长为7.7m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得出DE的长是
解题关键．
22．【分析】（1）根据锐角三角函数和勾股定理求出BC、AB，根据切割线定理求出BD即可；
（2）连接OD、CD，根据圆周角定理求出∠CDA＝∠BDC＝90°，根据直角三角形的性质和
等腰三角形的性质求出∠ECD＝∠EDC，∠OCD＝∠ODC即可．
【解答】（1）解：∵tan∠ABC＝ ，AC＝6，
∴BC＝8，
由勾股定理得：AB＝10，
∵∠ACB＝90°，AC为直径，
∴BC是圆O的切线，
∵BDA是圆的割线，
∴BC2＝BD×AB，
∴BD＝6.4，
答：线段BD的长是6.4．
（2）证明：连接OD、CD，
∵AC为圆O的直径，
∴∠CDA＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，
∵E为BC的中点，
∴DE＝ BC＝CE，
∴∠ECD＝∠EDC，
第16页（共21页）∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠ECD+∠DCO＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是 O的半径，
∴DE是圆⊙0的切线．
【点评】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，
切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进
行推理是解此题的关键．
23．【分析】（1）设第一次购进x件文具，则第二次就购进2x件，根据第二次购进时发现每件
文具进价比第一次上涨了2.5元，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，可列方程
求解．
（2）利润＝售价﹣进价，根据（1）算出件数，然后算出总售价减去成本即为所求．
【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，则第二次就购进2x件文具，由题意得：
＝ ﹣2.5
解之得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，
2x＝2×100＝200
答：第二次购进200件文具．
（2）（100+200）×15﹣1000﹣2500＝1000（元）．
答：盈利1000元．
第17页（共21页）【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出数量，以价格做为等量关系列方程求解，然
后根据利润＝售价﹣进价，求出利润即可．
24．【分析】（1）根据图象1可知100个盒子共花费500元，据此可以求出盒子的单价；
（2）根据图2可以知道租赁机器花费20000元，根据图象所经过的点的坐标求出盒子的单
价即可；
（3）根据图象经过的点的坐标用待定系数法求得函数的解析式即可；
（4）求出当x的值为多少时，两种方案同样省钱，并据此分类讨论最省钱的方案即可．
【解答】解：（1）500÷100＝5，
∴方案一的盒子单价为5元；
（2）根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20000元，
盒子的单价为（30000﹣20000）÷4000＝2.5，
故盒子的单价为2.5元；
（3）设图象一的函数解析式为：y ＝k x，
1 1
由图象知函数经过点（100，500），
∴500＝100k ，
1
解得k ＝5，
1
∴函数的解析式为y ＝5x；
1
设图象二的函数关系式为y ＝k x+b
2 2
由图象知道函数的图象经过点（0，20000）和（4000，30000）
∴ ，
解得： ，
∴函数的解析式为y ＝2.5x+20000；
2
（4）令5x＝2.5x+20000，
解得x＝8000，
∴当x＝8000时，两种方案同样省钱；
当0＜x＜8000时，选择方案一；
第18页（共21页）当x＞8000时，选择方案二．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，并利
用函数的知识解决实际问题．
25．【分析】（1）根据正方形的性质，AB＝AD，由AE＝AF，可得BE＝DF且BE⊥DF；
（2）通过证明△DFA≌△BEA，可得（1）中的结论依然成立；
（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE＝BD，BD＝ AD，解答出即可；
（4）如图，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF＝BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组
成的四边形的形状；
【解答】解：（1）BE＝DF且BE⊥DF；
（2）在△DFA和△BEA中，
∵∠DAF＝90°﹣∠FAB，∠BAE＝90°﹣∠FAB，
∴∠DAF＝∠BAE，
又AB＝AD，AE＝AF，
∴△DFA≌△BEA，
∴BE＝DF；∠ADF＝∠ABE，
∴BE⊥DF；
（3）AE＝（ ﹣1）AD；
（4）正方形．
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线及正方形
的性质，本题的综合性较强，掌握并熟练应用以上性质是解答本题的关键．
26．【分析】（1）解一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0可求A、B两点坐标；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y＝ax2+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可
求对称轴及顶点坐标；
第19页（共21页）（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接
CP，P点即为所求；
（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式
表示△ACQ的面积，根据S△CDQ ＝S△ABC ﹣S△BDQ ﹣S△ACQ ，运用二次函数的性质求面积最
大时，m的值．
【解答】解：（1）A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y＝ax2+bx+6，得
，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+2x+6，
∵y＝﹣ （x﹣2）2+8，
∴抛物线对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，8）；
（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，
连接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y＝ax+b，则
，
解得 ，
∴y＝x+2，当x＝2时，y＝4，
即P（2，4）；
（4）依题意，得AB＝8，QB＝6﹣m，AQ＝m+2，OC＝6，则S△ABC ＝ AB×OC＝24，
∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，
第20页（共21页）∴ ＝（ ）2＝（ ）2，
即S△BDQ ＝ （m﹣6）2，
又S△ACQ ＝ AQ×OC＝3m+6，
∴S＝S△ABC ﹣S△BDQ ﹣S△ACQ ＝24﹣ （m﹣6）2﹣（3m+6）＝﹣ m2+ m+ ＝﹣ （m﹣2）
2+6，
∴当m＝2时，S最大．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛
物线的对称性，相似三角形的知识解题．
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日期：2020/9/14 12:32:22；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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