文档内容
2014年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）
1．（3分）2014的相反数是（ ）
A．﹣2014 B．2014 C． D．﹣
2．（3分）如图，由4个相同的小立方块组成一个立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）为迎接“2014丹东港鸭绿江国际马拉松赛”，丹东新区今年投入约4000万元用于
绿化美化．4000万用科学记数法表示为（ ）
A．4×106 B．4×107 C．4×108 D．0.4×107
4．（3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上
B．打开电视，正在播放广告
C．体育课上，小刚跑完1000米所用时间为1分钟
D．袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点
E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．70° B．80° C．40° D．30°
第1页（共26页）6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣1＝﹣3 B．x3•x4＝x7
C． • ＝ D．﹣（p2q）3＝﹣p5q3
7．（3分）如图，反比例函数y ＝ 和一次函数y ＝k x+b的图象交于A、B两点．A、B两点的
1 2 2
横坐标分别为2，﹣3．通过观察图象，若y ＞y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．0＜x＜2 B．﹣3＜x＜0或x＞2
C．0＜x＜2或x＜﹣3 D．﹣3＜x＜0
8．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆
心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1＝35°，则∠2＝ ．
10．（3分）一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ．
第2页（共26页）11．（3分）若式子 有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：x3﹣4x2y+4xy2＝ ．
13．（3分）不等式组 的解集是 ．
14．（3分）小明和小丽到文化用品商店帮助同学们买文具．小明买了3支笔和2个圆规共花
19元；小丽买了5支笔和4个圆规共花35元．设每支笔x元，每个圆规y元．请列出满足
题意的方程组 ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，
分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为
2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝ ，连
接AB，过AB中点C 分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是点A 、B ，连接A B ，再过A B
1 1 1 1 1 1 1
中点C 作x轴和y轴的垂线，照此规律依次作下去，则点 的坐标为 ．
2 n
∁
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）计算： ．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C
（1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
第3页（共26页）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A B C ，并直接写出点A旋转
2 2 2
到点A 所经过的路径长．
2
四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；
B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取
了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两个统计图．请结合图中的信息解答下
列问题：
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整．
（3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？
20．（10分）某服装厂接到一份加工3000件服装的订单．应客户要求，需提前供货，该服装厂
决定提高加工速度，实际每天加工的件数是原计划的1.5倍，结果提前10天完工．原计划
每天加工多少件服装？
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）甲、乙两人用如图的两个分格均匀的转盘A、B做游戏，游戏规则如下：分别转动
第4页（共26页）两个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字（若指针停止在等份线上，那么重转一次，
直到指针指向某一数字为止）．用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积
是偶数，则乙获胜．请你解决下列问题：
（1）用列表格或画树状图的方法表示游戏所有可能出现的结果．
（2）求甲、乙两人获胜的概率．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的 O与AC边交于点D，过点D
的直线交BC边于点E，∠BDE＝∠A． ⊙
（1）判断直线DE与 O的位置关系，并说明理由．
⊙
（2）若 O的半径R＝5，tanA＝ ，求线段CD的长．
⊙
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B
两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向
前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈ ，cos27°≈ ，tan27°≈ ，sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）
第5页（共26页）24．（10分）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，
如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致
销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）
元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
[参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是 ]．
七、（本题12分）
25．（12分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向
旋转得到△C OD ，旋转角为 （0°＜ ＜90°），连接AC 、BD ，AC 与BD 交于点P．
1 1 1 1 1 1
（1）如图1，若四边形ABCDθ是正方形θ．
求证：△AOC ≌△BOD ．
1 1
①请直接写出AC
1
与BD
1
的位置关系．
（②2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝5，BD＝7，设AC
1
＝kBD
1
．判断AC
1
与BD
1
的位
置关系，说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC＝5，BD＝10，连接DD ，设AC ＝kBD ．请
1 1 1
直接写出k的值和AC 2+（kDD ）2的值．
1 1
第6页（共26页）八、（本题14分）
26．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P
为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．
（2）如图1，当点P的横坐标为 时，求证：△OBD∽△ABC．
（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE＝2PE时，求△POD的面积．
（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．
第7页（共26页）2014年辽宁省丹东市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）
1．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：2014的相反数是﹣2014，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，下面是三个正方形，上面是一个正方形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意能看到的棱用实线画出．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于4000万有8位，所以可以确定n＝8﹣1＝7．
【解答】解：4000万＝40 000 000＝4×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，故A不符合题意；
B、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，故B不符合题意；
C、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，故C不符合题意；
D、袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球，是必然事件，故D符合题意．
故选：D．
【点评】考查了随机事件，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，
理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生
的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．【分析】由等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂
直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE＝BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝ ＝70°，
第8页（共26页）∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
故选：D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意
掌握数形结合思想的应用．
6．【分析】根据负指数幂、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、幂的乘方进行解答．
【解答】解：A、3﹣1＝ ≠﹣3，故A选项错误；
B、x3•x4＝x3+4＝x7，故B选项正确；
C、 • ＝ ＝ ≠ ，故C选项错误；
D、﹣（p2q）3＝﹣p2×3q3≠﹣p5q3，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了负指数幂、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、幂的乘方，是基础题．
7．【分析】根据两函数的交点A、B的横坐标和图象得出答案即可．
【解答】解：∵反比例函数y ＝ 和一次函数y ＝k x+b的图象交于A、B两点，
1 2 2
A、B两点的横坐标分别为2，﹣3，
∴通过观察图象，当y ＞y 时x的取值范围是0＜x＜2或x＜﹣3，
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的理解能力
和观察图形的能力，用了数形结合思想．
8．【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH ＝S四边形
，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
DMCN
【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴DC＝ AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝ ．
则扇形FDE的面积是： ＝ ．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
第9页（共26页）∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠GDH＝∠MDN＝90°，
∴∠GDM＝∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（ASA），
∴S四边形DGCH ＝S四边形DMCN ＝ ．
则阴影部分的面积是： ﹣ ．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明
△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH ＝S四边形DMCN 是关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】根据平角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠3．
【解答】解：如图，∵∠1＝35°，
∴∠3＝180°﹣35°﹣90°＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
故答案为：55°．
第10页（共26页）【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
10．【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
【解答】解：利用平均数的计算公式，得（2+3+x+5+7）＝4×5，
解得x＝3，
则这组数据的众数即出现最多的数为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个．
11．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x≠0，
解得x≤2且x≠0．
故答案为：x≤2且x≠0．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12．【分析】先提取公因式x，然后利用完全平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：x3﹣4x2y+4xy2＝x（x2﹣2xy+4y2）＝x（x﹣2y）2．
故答案是：x（x﹣2y）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行
二次分解，注意分解要彻底．
13．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
解不等式 得，x＞1，
解不等式①得，x＜2，
所以，不②等式组的解集是1＜x＜2．
故答案为：1＜x＜2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求
不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
14．【分析】设每支笔x元，每个圆规y元，根据买3支笔和2个圆规共花19元；买5支笔和4
第11页（共26页）个圆规共花35元，列方程组．
【解答】解：设每支笔x元，每个圆规y元，
由题意得， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
15．【分析】延长AB至M，使BM＝AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角
形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．
【解答】
解：延长AB至M，使BM＝AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°
∴AB＝AD，∠A＝60°，
∵BM＝AE，
∴AD＝ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE＝∠DFE＝60°，DE＝EF＝FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠MEF＝∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中，
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°，
又∵BM＝AE，
∴△BMF是等边三角形，
第12页（共26页）∴BF＝AE，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BC＝CF+BF＝2t+t＝3t，
∵BC＝4，
∴3t＝4，
∴t＝
故答案为： ．
或连接BD．根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，列出方程即可．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知
识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形．
16．【分析】首先利用三角形中位线定理可求出B C 的长和C A 的长，即C 的横坐标和纵坐
1 1 1 1 1
标，以此类推即可求出点 的坐标．
n
【解答】解：∵过AB中点∁ C
1
分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是点A
1
、B
1
，
∴B C 和C A 是三角形OAB的中位线，
1 1 1 1
∴B C ＝ OA＝ ，C A ＝ OB＝ ，
1 1 1 1
∴C 的坐标为（ ， ），
1
同理可求出B C ＝ ＝ ，C A ＝ ＝
2 2 2 2
∴C 的坐标为（ ， ），
2
…以此类推，
可求出B ＝ ， A ＝ ，
n n n n
∁ ∁
∴点 的坐标为 ，
n
∁
故答案为： ．
第13页（共26页）【点评】本题考查了规律型：点的坐标的求解，用到的知识点是三角形中位线定理，解题的
关键是正确求出C 和C 点的坐标，由此得到问题的一般规律．
1 2
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三
项化为最简二次根式，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝1+3 ﹣2 +2﹣ ＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A 、B 、C 的位置，然后顺次连
1 1 1
接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、CABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点A 、B 、C 的位置，
2 2 2
然后顺次连接即可，再利用勾股定理列式求出OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求；
2 2 2
由勾股定理得，OA＝ ＝ ，
点A旋转到点A 所经过的路径长为： ＝ ．
2
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结
构准确找出对应点的位置是解题的关键．
四、（每小题10分，共20分）
19．【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，利用A组频数80除以A组频率40%，即可得
到该校本次调查中，共调查了多少名学生；
第14页（共26页）（2）利用（1）中所求人数，减去A、B、D组的频数即可的C组的频数；B组频数除以总人数
即可得到B组频率；
（3）用1200乘以抽查的人中喜欢篮球运动项目的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）80÷40%＝200（人）
故本次共调查200名学生．
（2）200﹣80﹣30﹣50＝40（人），
30÷200×100%＝15%，
补全如图：
（3）1200×15%＝180（人）
故该学校喜欢篮球项目的学生约有180人．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是
解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．【分析】设原计划每天加工x件衣服，则实际每天加工1.5x件服装，以时间做为等量关系
可列方程求解．
【解答】解：该服装厂原计划每天加工x件服装，则实际每天加工1.5x件服装，根据题意，
得
解这个方程得 x＝100
经检验，x＝100是所列方程的根．
答：该服装厂原计划每天加工100件服装．
【点评】本题考查了分式方程的应用，关键是时间做为等量关系，根据效率提高了1.5倍，
结果提前10天完工，可列出方程求解．
第15页（共26页）五、（每小题10分，共20分）
21．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）找出积为奇数与积为偶数的情况数，分别求出甲乙两人获胜的概率即可．
【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：
4 5 6 7
1 （1，4） （1，5） （1，6） （1，7）
2 （2，4） （2，5） （2，6） （2，7）
3 （3，4） （3，5） （3，6） （3，7）
（2）从上面的表格（或树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出
现的可能性相同，其中积是奇数的结果有4种，即5、7、15、21，积是偶数的结果有8种，即
4、6、8、10、12、14、12、18，
∴甲、乙 两人获胜的概率分别为：
P（甲获胜）＝ ＝ ，
P（乙获胜）＝ ＝ ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
22．【分析】（1）连接OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OD⊥DE，进而得出答
案；
（2）得出△BCD∽△ACB，进而利用相似三角形的性质得出CD的长．
【解答】解：（1）直线DE与 O相切．
理由如下：连接OD． ⊙
∵OA＝OD
∴∠ODA＝∠A
又∵∠BDE＝∠A
∴∠ODA＝∠BDE
∵AB是 O直径
∴∠ADB⊙＝90°
即∠ODA+∠ODB＝90°
∴∠BDE+∠ODB＝90°
∴∠ODE＝90°
第16页（共26页）∴OD⊥DE
∴DE与 O相切；
⊙
（2）∵R＝5，
∴AB＝10，
在Rt△ABC中
∵tanA＝ ＝
∴BC＝AB•tanA＝10× ＝ ，
∴AC＝ ，
∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠BCD＝∠ACB
∴△BCD∽△ACB
∴
∴ ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和圆周角定理等知识，
得出△BCD∽△ACB是解题关键．
六、（每小题10分，共20分）
23．【分析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD＝x海里，得出AD＝（99﹣x）海里，在
Rt△BCD中，根据tan53°＝ ，求出CD，再根据 x＝ （99﹣x），求出BD，在Rt△BCD
第17页（共26页）中，根据cos53°＝ ，求出BC，从而得出答案．
【解答】解：如图，根据题意可得，在△ABC中，AB＝99海里，∠ABC＝53°，∠BAC＝27°，
过点C作CD⊥AB，垂足为点D．
设BD＝x海里，则AD＝（99﹣x）海里，
在Rt△BCD中，tan53°＝ ，
则tan27°＝ ，
CD＝x•tan53°≈ x（海里）．
在Rt△ACD中，则CD＝AD•tan27°≈ （99﹣x），
则 x＝ （99﹣x），
解得，x＝27，
即BD＝27．
在Rt△BCD中，cos53°＝ ，
则BC＝ ＝ ＝45，
45÷2＝22.5（海里/时），
则该可疑船只的航行速度约为22.5海里/时．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，
关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
24．【分析】（1）根据销售量＝240﹣（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关
第18页（共26页）系即可；
（2）根据月销售额＝月销售量×销售单价＝14000，列方程即可求出销售单价；
（3）设一个月内获得的利润为w元，根据利润＝1套球服所获得的利润×销售量列式整理，
再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1） ，
∴y＝﹣4x+480（x≥60）；
（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）＝14000，
解得，x ＝70，x ＝50（不合题意舍去），
1 2
∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．
（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得
w＝（x﹣40）（﹣4x+480），
＝﹣4x2+640x﹣19200，
＝﹣4（x﹣80）2+6400，
当x＝80时，w的最大值为6400
∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，并涉及到了根据二次函数
的最值公式，熟练记忆公式是解题关键．
七、（本题12分）
25．【分析】（1） 如图1，根据正方形的性质得OC＝OA＝OD＝OB，AC⊥BD，则∠AOB＝
∠COD＝90°，①再根据旋转的性质得OC ＝OC，OD ＝OD，∠COC ＝∠DOD ，则OC ＝
1 1 1 1 1
OD ，利用等角的补角相等得∠AOC ＝∠BOD ，然后根据“SAS”可证明
1 1 1
△AOC ≌△BOD ；
1 1
由∠AOB＝90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD ＝90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC ＝90°，
1 1
②则∠APB＝90°所以AC ⊥BD ；
1 1
（2）如图2，根据菱形的性质得OC＝OA＝ AC，OD＝OB＝ BD，AC⊥BD，则∠AOB＝
∠COD＝90°，再根据旋转的性质得OC ＝OC，OD ＝OD，∠COC ＝∠DOD ，则OC ＝
1 1 1 1 1
第19页（共26页）OA，OD ＝OB，利用等角的补角相等得∠AOC ＝∠BOD ，加上 ，根据相似三角
1 1 1
形的判定方法得到△AOC ∽△BOD ，得到∠OAC ＝∠OBD ，由∠AOB＝90°得
1 1 1 1
∠OAB+∠ABP+∠OBD ＝90°，则∠OAB+∠ABP+∠OAC ＝90°，则∠APB＝90°，所以
1 1
AC ⊥BD ；然后根据相似比得到 ＝ ＝ ＝ ，所以k＝ ；
1 1
（3）与（2）一样可证明△AOC ∽△BOD ，则 ＝ ＝ ＝ ，所以k＝ ；根据旋转
1 1
的性质得OD ＝OD，根据平行四边形的性质得OD＝OB，则OD ＝OB＝OD，于是可判断
1 1
△BDD 为直角三角形，根据勾股定理得BD 2+DD 2＝BD2＝100，所以（2AC ）2+DD 2＝
1 1 1 1 1
100，于是有AC 2+（kDD ）2＝25．
1 1
【解答】（1） 证明：如图1，
∵四边形ABCD①是正方形，
∴OC＝OA＝OD＝OB，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C OD ，
1 1
∴OC ＝OC，OD ＝OD，∠COC ＝∠DOD ，
1 1 1 1
∴OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ＝90°+∠AOD ，
1 1 1 1 1
在△AOC 和△BOD 中
1 1
，
∴△AOC ≌△BOD （SAS）；
1 1
AC ⊥BD ；
1 1
②
（2）AC ⊥BD ．
1 1
理由如下：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
第20页（共26页）∴OC＝OA＝ AC，OD＝OB＝ BD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C OD ，
1 1
∴OC ＝OC，OD ＝OD，∠COC ＝∠DOD ，
1 1 1 1
∴OC ＝OA，OD ＝OB，∠AOC ＝∠BOD ，
1 1 1 1
∴ ，
∴△AOC ∽△BOD ，
1 1
∴∠OAC ＝∠OBD ，
1 1
又∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD ＝90°，
1
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC ＝90°，
1
∴∠APB＝90°
∴AC ⊥BD ；
1 1
∵△AOC ∽△BOD ，
1 1
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴k＝ ；
（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC ∽△BOD ，
1 1
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴k＝ ；
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C OD ，
1 1
∴OD ＝OD，
1
而OD＝OB，
∴OD ＝OB＝OD，
1
第21页（共26页）∴△BDD 为直角三角形，
1
在Rt△BDD 中，
1
BD 2+DD 2＝BD2＝100，
1 1
∴（2AC ）2+DD 2＝100，
1 1
∴AC 2+（kDD ）2＝25．
1 1
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质、旋
转的性质；会运用三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质．
八、（本题14分）
26．【分析】（1）待定系数法即可求得；
（2）先把P点的横坐标代入直线 ，求得DE＝ ，从而求得DE＝OE，得出
∠EOD＝45°，因为∠OAC＝∠EOD＝45°，∠OBD＝∠ABC，即可求得△OBD∽△ABC；
第22页（共26页）（3）分三种情况：当OD＝CD时，则 m2﹣m+1＝ m2，当OD＝OC时，则 m2﹣m+1＝1，
当OC＝CD时，则 m2＝1，分别求解，即可求得．
【解答】方法一：
解：（1）由抛物线y＝ax2+bx﹣1可知C（0，﹣1），
∵y＝ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，
∴ ，
解得
∴抛物线表达式： ；
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得 ．
∴直线BC的表达式： ．
故抛物线表达式： ；直线BC的表达式： ．
（2）如图1，当点P的横坐标为 时，把x＝
代入 ，
得 ，
∴DE＝
又∵OE＝ ，
第23页（共26页）∴DE＝OE
∵∠OED＝90°
∴∠EOD＝45°
又∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°
∴∠OAC＝45°
∴∠OAC＝∠EOD
又∵∠OBD＝∠ABC
△OBD∽△ABC．
（3）如图2，设点P的坐标为P（x， ）
∴OE＝x，PE＝ ＝
又∵OE＝2PE
∴
解得 ， （不合题意舍去），
∴P、D两点坐标分别为 ， ，
∴PD＝
OE＝
∴ ，
（4）P（1，﹣1）， ， ， ．
1
设D（m， m﹣1），
则OD2＝m2+（ ﹣1）2＝ m2﹣m+1，
OC2＝1，CD2＝m2+（﹣1﹣ m+1）2＝ m2，
第24页（共26页）当OD＝CD时，则 m2﹣m+1＝ m2，解得m ＝1，
1
当OD＝OC时，则 m2﹣m+1＝1，解得m ＝ ，
2
当OC＝CD时，则 m2＝1，解得m ＝ ，m ＝﹣ ，
3 4
∴P （1，﹣1）， ， ， ．
1
方法二：
（1）略．
（2）∵l ：y＝ x﹣1，把x＝ 代入，
BC
∴y＝﹣ ，即D（ ，﹣ ），
∵O（0，0），
∴tan∠EOD＝（ ）÷（ ）＝1，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣1），
∴tan∠OAC＝1，
∴∠EOD＝∠OAC，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
（3）设P（t， ），E（t，0），
∵OE＝2PE，
∴t＝2×（0﹣ ），
解得：t ＝ ，t ＝﹣ （舍），
1 2
∴P、D两点坐标分别为 ， ，
∴PD＝
OE＝
第25页（共26页）∴ ．
（4）设P（t， ），D（t， t﹣1），O（0，0），C（0，﹣1），
∵△OCD是等腰三角形，
∴OC＝OD，OC＝CD，OD＝CD，
（0﹣0）2+（﹣1﹣0）2＝（t﹣0）2+（ t﹣1）2，∴t ＝0（舍），t ＝ ，
1 2
（0﹣0）2+（﹣1﹣0）2＝（t﹣0）2+（ t﹣1+1）2，∴t ＝ ，t ＝﹣ ，
1 2
（t﹣0）2+（ t﹣1）2＝（t﹣0）2+（ t﹣1+1）2，∴t＝1，
∴P （1，﹣1）， ，p （ ， ），p （﹣ ， ）．
1 3 4
【点评】本题考查了待定系数法求解析式、三角形相似的判定以及分类讨论的思想的应用．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/14 12:32:00；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第26页（共26页）
