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2016 年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
2．（3分）2016年1月19日，国家统计局公布了2015年宏观经济数据，初步核算
全年国内生产总值为676000亿元．676000用科学记数法表示为（ ）
A．6.76×106 B．6.76×105 C．67.6×105 D．0.676×106
3．（3分）如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是（ ）
A．8，6 B．7，6 C．7，8 D．8，7
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a8÷a4=a2 B．a2•a3=a6
C．（a3）2=a6 D．（﹣2a2）3=8a6
6．（3分）二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在 ▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD
于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
第1页（共35页）8．（3分）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与
FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；
③BC•AD= AE2；④S =4S ．其中正确的有（ ）
△ABC △ADF
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：xy2﹣x= ．
10．（3分）不等式组 的解集为 ．
11．（3分）一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意
摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
12．（3分）反比例函数y= 的图象经过点（2，3），则k= ．
13．（3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该
公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 ．
14．（3分）观察下列数据：﹣2， ，﹣ ， ，﹣ ，…，它们是按一定规律排列
的，依照此规律，第11个数据是 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线
于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，
第2页（共35页）OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等
（点P与点O不重合），则点P的坐标为 ．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）计算：4sin60°+|3﹣ |﹣（ ）﹣1+（π﹣2016）0．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为
1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB C ，并直接写出点
2 2
B 、C 的坐标．
2 2
第3页（共35页）四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体
育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）
为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，
绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）此次共调查了多少人？
（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？
20．（10分）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分
别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表
法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
第4页（共35页）（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则
乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购
买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价
各为多少元？
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点
D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰
望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰
角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2）
第5页（共35页）24．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果
多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降
低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系
如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
第6页（共35页）七、（本题12分）
25．（12分）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条
直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与
MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若
不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写
出PM与PN的数量关系，并加以证明．
第7页（共35页）八、（本题14分）
26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的
对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P
的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角
形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
第8页（共35页）2016 年辽宁省丹东市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
【考点】17：倒数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】利用倒数的定义，直接得出结果．
【解答】解：∵﹣3×（﹣ ）=1，
∴﹣3的倒数是﹣ ．
故选：C．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是负数的倒数还是负数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）2016年1月19日，国家统计局公布了2015年宏观经济数据，初步核算
全年国内生产总值为676000亿元．676000用科学记数法表示为（ ）
A．6.76×106 B．6.76×105 C．67.6×105 D．0.676×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将676000用科学记数法表示为6.76×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图所示几何体的左视图为（ ）
第9页（共35页）A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小
正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看看得到的图形是左视图．
4．（3分）一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是（ ）
A．8，6 B．7，6 C．7，8 D．8，7
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8，
8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；
最中间的数是7，
则这组数据的中位数是7．
故选：D．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做
众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶
数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a8÷a4=a2 B．a2•a3=a6
C．（a3）2=a6 D．（﹣2a2）3=8a6
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
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【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相
第10页（共35页）加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a8÷a4=a4，故A错误；
B、a2•a3=a5，故B错误；
C、（a3）2=a6，故C正确；
D、（﹣2a2）3=﹣8a6，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练
掌握运算性质和法则是解题的关键．
6．（3分）二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【考点】97：二元一次方程组的解．
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【分析】根据加减消元法，可得方程组的解．
【解答】解：
①+②，得 3x=9，
解得x=3，
把x=3代入①，
得3+y=5，
y=2，
所以原方程组的解为 ．
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．本题还可
以根据二元一次方程组的解的定义，将四个选项中每一组未知数的值代入原
方程组进行检验．
7．（3分）如图，在 ▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD
于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（ ）
第11页（共35页）A．8 B．10 C．12 D．14
【考点】L5：平行四边形的性质．
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【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理
可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6，
同理可证：DE=DC=6，
∵EF=AF+DE﹣AD=2，
即6+6﹣AD=2，
解得：AD=10；
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四
边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与
FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；
③BC•AD= AE2；④S =4S ．其中正确的有（ ）
△ABC △ADF
第12页（共35页）A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD= AB，证明△ABE是等腰直角三
角形，得出AE=BE，证出FE= AB，延长FD=FE，①正确；
证出 ∠ABC=∠C，得出 AB=AC ，由等腰三角形的 性质 得出 BC=2CD ，
∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；
证明△ABD～△BCE，得出 = ，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质
和三角形的面积得出BC•AD= AE2；③正确；
由F是AB的中点，BD=CD，得出S =2S =4S ．④正确；即可得出结论．
△ABC △ABD △ADF
【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD= AB，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵点F是AB的中点，
∴FE= AB，
∴FD=FE，①正确；
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH和△BEC中，
第13页（共35页），
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ = ，即BC•AD=AB•BE，
∵ AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，
∴BC•AD= AE2；③正确；
∵F是AB的中点，BD=CD，
∴S =2S =4S ，④正确．
△ABC △ABD △ADF
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三
角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难
度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：xy2﹣x= x （ y﹣ 1 ）（ y + 1 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣x，
=x（y2﹣1），
=x（y﹣1）（y+1）．
故答案为：x（y﹣1）（y+1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式
首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直
到不能分解为止．
10．（3分）不等式组 的解集为 2 ＜ x ＜ 6 ．
第14页（共35页）【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，由①得，x＞2，由②得，x＜6，
故不等式组的解集为：2＜x＜6．
故答案为：2＜x＜6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小
大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（3分）一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意
摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵一个袋中装有两个红球、三个白球，
∴球的总数=2+3=5，
∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现
的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
12．（3分）反比例函数y= 的图象经过点（2，3），则k= 7 ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一
元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象经过点（2，3），
∴k﹣1=2×3，
解得：k=7．
故答案为：7．
第15页（共35页）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题
的关键是得出k﹣1=2×3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根
据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数 k是关
键．
13．（3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该
公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 6 0（ 1 + x ） 2 =100 ．
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】123：增长率问题．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业
额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意可得：60（1+x）2=100．
故答案为：60（1+x）2=100．
【点评】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道4月份的钱数和增长两个月
后6月份的钱数，列出方程．
14．（3分）观察下列数据：﹣2， ，﹣ ， ，﹣ ，…，它们是按一定规律排列
的，依照此规律，第11个数据是 ﹣ ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
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【分析】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是
连续正整数的平方加1，进而得出答案．
【解答】解：∵﹣2=﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…，
∴第11个数据是：﹣ =﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关
键．
15．（3分）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线
第16页（共35页）于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为 6 ．
【考点】LE：正方形的性质．
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【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线
的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，
可得EF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，
∴AC=3 ，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE=∠E，
∴∠CAE=∠E，
∴CE=CA=3 ，
∵FA⊥AE，
∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，
∴∠FAC=∠F，
∴CF=AC=3 ，
∴EF=CF+CE=3 =6 ，
故答案为：6 ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质等，利用等角对等边是解
答此题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，
OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等
（点P与点O不重合），则点P的坐标为 （ 3 ， 4 ）或（ ， ）或（﹣ ， ） ．
第17页（共35页）【考点】D5：坐标与图形性质；KB：全等三角形的判定．
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【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边，且△AOB为直角三角形，当△AOB
和△APB全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出
P点的坐标．
【解答】解：如图所示：
①∵OA=3，OB=4，
∴P （3，4）；
1
②连结OP ，
2
设AB的解析式为y=kx+b，则
，
解得 ．
故AB的解析式为y=﹣ x+4，
则OP 的解析式为y= x，
2
联立方程组得 ，
解得 ，
则P （ ， ）；
2
③连结P P ，
2 3
第18页（共35页）∵（3+0）÷2=1.5，
（0+4）÷2=2，
∴E（1.5，2），
∵1.5×2﹣ =﹣ ，
2×2﹣ = ，
∴P （﹣ ， ）．
3
故点P的坐标为（3，4）或（ ， ）或（﹣ ， ）．
故答案为：（3，4）或（ ， ）或（﹣ ， ）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，做这种题要求对全
等三角形的判定方法熟练掌握．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）计算：4sin60°+|3﹣ |﹣（ ）﹣1+（π﹣2016）0．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数
值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出
算式4sin60°+|3﹣ |﹣（ ）﹣1+（π﹣2016）0的值是多少即可．
【解答】解：4sin60°+|3﹣ |﹣（ ）﹣1+（π﹣2016）0
第19页（共35页）=4× +2 ﹣3﹣2+1
=2 +2 ﹣4
=4 ﹣4
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，
再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到
右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a﹣p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指
数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为
正指数．
（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数
值．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为
1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB C ，并直接写出点
2 2
B 、C 的坐标．
2 2
第20页（共35页）【考点】Q4：作图﹣平移变换；R8：作图﹣旋转变换．
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【专题】13：作图题．
【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A 、B 、C 的坐标，然后描
1 1 1
点即可得到△A B C ；
1 1 1
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B 、C ，从而得到△AB C ，再
2 2 2 2
写出点B 、C 的坐标．
2 2
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△AB C 即为所求，点B （4，﹣2），C （1，﹣3）．
2 2 2 2
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于
旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的
线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体
育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）
为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，
绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
第21页（共35页）（1）此次共调查了多少人？
（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）根据体育人数80人，占40%，可以求出总人数．
（2）根据圆心角=百分比×360°即可解决问题．
（3）求出艺术类、其它类社团人数，即可画出条形图．
（4）用样本百分比估计总体百分比即可解决问题．
【解答】解：
（1）80÷40%=200（人）．
∴此次共调查200人．
（2） ×360°=108°．
∴文学社团在扇形统计图中所占
圆心角的度数为108°．
（3）补全如图，
（4）1500×40%=600（人）．
第22页（共35页）∴估计该校喜欢体育类社团的学生有600人．
【点评】此题主要考查了条形图与统计表以及扇形图的综合应用，由条形图与扇
形图结合得出调查的总人数是解决问题的关键，学会用样本估计总体的思想，
属于中考常考题型．
20．（10分）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分
别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表
法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则
乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
【考点】X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．
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【分析】（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：
从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取
相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为： ；
（2）不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍
数有3种，
所以甲获胜的概率为： ，乙获胜的概率为： ．
∵ ＞ ，
∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
第23页（共35页）【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要用树状图或列表
法计算每个事件的概率，比较两者的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用
到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购
买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价
各为多少元？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【专题】12：应用题；522：分式方程及应用．
【分析】设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，根据购买240元甲商品的
数量比购买300元乙商品的数量多15件列出方程，求出方程的解即可得到结
果．
【解答】解：设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，
根据题意，得 ﹣ =15，
解这个方程，得x=6，
经检验，x=6是所列方程的根，
∴2x=2×6=12，
答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元．
【点评】此题考查了分式方程的应用，找出题中的等量关系“购买240元甲商品
的数量比购买300元乙商品的数量多15件”是解本题的关键．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点
D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
第24页（共35页）（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．
【考点】MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，
得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰三角形的性质得到
∠ADO=∠A，即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，
根据相似三角形的性质得到 ，解方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC=90°，
即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ODB+∠ADO=90°，
∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A，
∴∠BDC=∠A；
（2）∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∵∠BDC=∠A，
第25页（共35页）∴∠A=∠DCE，
∵∠E=∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴ ，
∴EC2=DE•AE，
∴16=2（2+AD），
∴AD=6．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练
掌握切线的性质是解题的关键．
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰
望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰
角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣
BD可得关于AB 的方程，解方程可得．
第26页（共35页）【解答】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°
在Rt△ADB中，tan64°= ，
则BD= ≈ AB，
在Rt△ACB中，tan48°= ，
则CB= ≈ AB，
∴CD=BC﹣BD
即6= AB﹣ AB
解得：AB= ≈14.7（米），
∴建筑物的高度约为14.7米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是利用数形
结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
24．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果
多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降
低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系
如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．
第27页（共35页）（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．
（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），
得 ，
解得 ，
∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，
（2）根据题意，得，
（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，
解得，x =10，x =70
1 2
∵投入成本最低．
∴x =70不满足题意，舍去．
2
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．
（3）根据题意，得
w=（﹣0.5x+80）（80+x）
=﹣0.5 x2+40 x+6400
=﹣0.5（x﹣40）2+7200
∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值
∴当x=40时，w最大值为7200千克．
∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题
的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问
题，属于中考常考题型．
七、（本题12分）
25．（12分）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条
直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与
MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若
第28页（共35页）不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写
出PM与PN的数量关系，并加以证明．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根
据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；
（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；
（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、
N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM= BD，PN= AE，进而可证明PM=kPN．
【解答】解：
（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM= BD，PN= AE，
∴PM=PN，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
第29页（共35页）∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM= BD，PM∥BD；
PN= AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．
∴∠MPN=90°．
∴PM⊥PN．
（3）PM=kPN
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，
第30页（共35页）∴ =k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD=kAE．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM= BD，PN= AE．
∴PM=kPN．
【点评】本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等
三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理的运
用，熟记和三角形有关的各种性质定理是解答此题的关键．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的
对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
第31页（共35页）（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P
的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角
形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC
的面积；
（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣
m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；
（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理
求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．
【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，
得 解得： ，
∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；
（2）点C的坐标为（3，3），
又∵点B的坐标为（1，3），
∴BC=2，
∴S = ×2×3=3；
△ABC
（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D，
设点P（m，﹣m2+4m），
根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，
∴S =S +S ﹣S ，
△ABP △ABH 四边形HAPD △BPD
6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m），
∴3m2﹣15m=0，
m =0（舍去），m =5，
1 2
第32页（共35页）∴点P坐标为（5，﹣5）．
（4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，
则△CBM≌△MHN，
∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，
∴M（1，2），N（2，0），
由勾股定理得：MC= = ，
∴S = × × = ；
△CMN
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两
直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，
得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴EM=CD=5，MD=NE=2，
由勾股定理得：CM= = ，
∴S = × × = ；
△CMN
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线
同理得：CN= = ，
∴S = × × =17；
△CMN
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN=
= ，
∴S = × × =5；
△CMN
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形，如图6；
综上所述：△CMN的面积为： 或 或17或5．
第33页（共35页）第34页（共35页）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，
考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质；本题的一般思路为：①根
据函数的表达式设出点的坐标，利用面积公式直接表示或求和或求差列式，求
出该点的坐标；②利用等腰直角三角形的两直角边相等，构建两直角三角形全
等，再利用全等性质与点的坐标结合解决问题．
第35页（共35页）
