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2019 年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 十年来，我国知识产权战略实施取得显著成就，全国著作权登记量已达到274.8万件．数据274.8万用
科学记数法表示 为（ ）
A. 2.748×102 B. 274.8×104 C. 2.748×106 D. 0.2748×107
3. 如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 下面计算正确的是（ ）
A. 3a﹣2a＝1 B. 2a2+4a2＝6a4
C. （x3）2＝x5 D. x8÷x2＝x6
5. 如图，点C在∠AOB 的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中， 是（ ）
A. 以点C为圆心、OD的长为半径的弧
B. 以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C. 以点E为圆心、DM的长为半径的弧
D. 以点E为圆心、OD的长为半径的弧
6. 在从小到大排列的五个整数中，中位数是2，唯一的众数是4，则这五个数和的最大值是（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
7. 等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则
k的值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12
8. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x，m），B（x，m）是抛物线上的两点，当x＝x+x 时，y＝c；
1 2 1 2
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值
范围为a≥1；
⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x，x，且x＜x，则﹣2≤x＜x＜4．
1 2 1 2 1 2
其中结论正确的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 分解因式2x3﹣8x2+8x＝_____．
10. 函数y= 的自变量x的取值范围是_____．
11. 有5张无差别的卡片，上面分别标有﹣1，0， ， ，π，从中随机抽取1张，则抽出的数是无理数
的概率是_____．
12. 关于x的不等式组 的解集是2＜x＜4，则a的值为_____．
13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝1，则BC的
长是_____．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
14. 如图，点A在双曲线y＝ （x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝
1：2，双曲线y＝ （x＞0）经过点C，则k＝_____．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D
为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析
式为_____．
16. 如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAAB，并使∠AOB＝
1
60°，再以对角线OA 为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA AB ，再依次作菱形OA AB ，
1 1 2 1 2 3 2
OA AB ，……，则过点B ，B ，A 的圆的圆心坐标为_____．
3 4 3 2018 2019 2019【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. 先化简，再求代数式的值： ，其中x＝3cos60°．
18. 在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点
的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标．
（2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′．
（3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长．
四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
19. 为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛．比赛设置一等、二等、
三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如图所示 的两幅不完整的统
计图．根据图中信息解答下列问题：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）本次抽样调查学生的人数为 ．
（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数．
（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数．
20. 如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和1等份，并在每一份内标上数
字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字
之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个
数字使游戏公平（不需要说明理由）．
五、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
21. 甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行
800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙
骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边
AC相交于点G，且 ＝ ，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求证：①AO＝AG，②BF是⊙O 的切线．
（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．
六、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
23. 如图，在某街道路边有相距10m、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，
在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为14°，向前行走25m到达B处，在地面测得路灯MN的顶端仰角为
24.3°，已知点A，B，Q，N在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确
到0.1m．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，
cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）
24. 某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件
60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元
时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，
平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
25. 已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF．以EF为直角边构
造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC．
求证：①△AEF≌△CGF；②四边形BGCE是平行四边形．
（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：
如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC
的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出 的
值及∠DEF的度数．
（3）小颖受到启发也做了探究：
如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝
90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角
度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出 的值，并用含α的代数式
直接表示∠DEF的度数．
八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y
＝﹣ x+2经过A，C两点，抛物线 的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交
于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求点N的坐标．
（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝ 时，求点F的坐标．
（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个
单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t
（0≤t≤ ），请直接写出S与t的函数关系式．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
