文档内容
【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
2019 年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用倒数的定义进而得出答案．
【详解】∵ ×( )=1，
∴ 的倒数 .
故选B.
【点睛】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
2. 十年来，我国知识产权战略实施取得显著成就，全国著作权登记量已达到274.8万件．数据274.8万用
科学记数法表示为（ ）
A. 2.748×102 B. 274.8×104 C. 2.748×106 D. 0.2748×107
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原
数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：数据274.8万用科学记数法表示为274.8×104＝2.748×106．
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形，
故选:D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4. 下面计算正确的是（ ）
A. 3a﹣2a＝1 B. 2a2+4a2＝6a4
C. （x3）2＝x5 D. x8÷x2＝x6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【详解】解：∵3a﹣2a＝a，故选项A错误；
∵2a2+4a2＝6a2，故选项B错误；
∵（x3）2＝x6，故选项C错误；
∵x8÷x2＝x6，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5. 如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中， 是（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. 以点C为圆心、OD的长为半径的弧
B. 以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C. 以点E为圆心、DM的长为半径的弧
D. 以点E为圆心、OD的长为半径的弧
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．
【详解】解：由作图可知作图步骤为：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．
②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．
③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．
④过点N作射线CP．
根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．
故选C．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
6. 在从小到大排列的五个整数中，中位数是2，唯一的众数是4，则这五个数和的最大值是（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中位数和众数的定义分析可得答案．
【详解】解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是2，这组数据的唯一众数是4．
所以这5个数据分别是x，y，2，4，4，且x＜y＜4，
当这5个数的和最大时，整数x，y取最大值，此时x＝0，y＝1，
所以这组数据可能的最大的和是0+1+2+4+4＝11．
故选A．
【点睛】主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新
排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一
定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．
如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7. 等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
k的值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36−4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2＋3＞3，
∴k＝9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根，
代入得4−12＋k＝0，
∴k＝8，
∴x2−6x＋8＝0
求出另外一根为：x＝4，
∵2＋2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．
8. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x，m），B（x，m）是抛物线上的两点，当x＝x+x 时，y＝c；
1 2 1 2
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值
范围为a≥1；
⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x，x，且x＜x，则﹣2≤x＜x＜4．
1 2 1 2 1 2
其中结论正确的有（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】
①由图象可知a＞0，c＜0，根据对称轴 ，得到b<0，即可判断；
②由对称轴 得，b＝﹣2a，然后把x＝﹣2代入解析式，整理后即可判断；
③根据抛物线的对称性，得x+x=2，然后把x＝2代入解析式，即可判断；
1 2
④由点M，N是抛物线与x轴的两个交点，则抛物线的顶点到x轴的距离不小于3，则有 ，
结合②的结论，即可求得a的取值范围；
⑤由图像可知，与x轴的两个交点为（-2，0），（4，0），此时y=0，则当y=2时，x＜﹣2＜4＜x，即
1 2
可得到答案.
【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，故②错误；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
③∵A（x，m），B（x，m）是抛物线上的两点，
1 2
由抛物线的对称性可知：x+x＝1×2＝2，
1 2
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即 ，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴ ，
解得： ，故④错误；
⑤易知抛物线与x轴 的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x，x，
1 2
则x、x 为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
1 2
∵x＜x，
1 2
∴x＜﹣2＜4＜x，故⑤错误；
1 2
故选A．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 分解因式2x3﹣8x2+8x＝_____．
【答案】2x（x﹣2）2
【解析】
【分析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式＝2x（x2﹣4x+4）＝2x（x﹣2）2，
故答案为2x（x﹣2）2【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10. 函数y= 的自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≤ 且x≠0
【解析】
【分析】
【详解】根据题意得x≠0且1﹣2x≥0，
所以 且 ．
故答案为 且 ．
11. 有5张无差别的卡片，上面分别标有﹣1，0， ， ，π，从中随机抽取1张，则抽出的数是无理数
的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先找出无理数的个数，再根据概率公式可得答案．
【详解】解：在﹣1，0， ， ，π中，无理数有 ，π，共2个，
则抽出的数是无理数的概率是 ．
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查了概率公式和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P
（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
12. 关于x的不等式组 的解集是2＜x＜4，则a的值为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于a的方程，解之可得．
【详解】解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，
解不等式a﹣x＞﹣1，得：x＜a+1，
∵不等式组的解集为2＜x＜4，
∴a+1＝4，即a＝3，
故答案为3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝1，则BC的
长是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角的性质求出∠DAB
＝∠B，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出∠B＝30°，再根据直角三角形30°角所
对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠DAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝BD+CD＝1+2＝3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直
角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键．
14. 如图，点A在双曲线y＝ （x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝
1：2，双曲线y＝ （x＞0）经过点C，则k＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【详解】解：连接OC，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵点A在双曲线y＝ （x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，
∴S ＝ ×6＝3，
△OAB
∵BC：CA＝1：2，
∴S ＝3× ＝1，
△OBC
∵双曲线y＝ （x＞0）经过点C，
∴S ＝ |k|＝1，
△OBC
∴|k|＝2，
∵双曲线y＝ （x＞0）在第一象限，
∴k＝2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几
何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D
为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析
式为_____．
【答案】y＝﹣2x+8
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的值最小，求得直线CD的解析式为y＝﹣ x+4，由于直线OB的解析式为y＝x，解方程组得到P（ ，
），由待定系数法即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCO是正方形，
∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于P，连接PA，PD，
则此时，PD+AP 的值最小，
∵OC＝OA＝AB＝4，
∴C（0，4），A（4，0），
∵D为AB的中点，
∴AD＝ AB＝2，
∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣ x+4，
∵直线OB的解析式为y＝x，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
解得：x＝y＝ ，
∴P（ ， ），
设直线AP的解析式为：y＝mx+n，
∴ ，
解得： ，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，
故答案为y＝﹣2x+8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的找
出点P的位置是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAAB，并使∠AOB＝
1
60°，再以对角线OA 为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA AB ，再依次作菱形OA AB ，
1 1 2 1 2 3 2
OA AB ，……，则过点B ，B ，A 的圆的圆心坐标为_____．
3 4 3 2018 2019 2019
【答案】（-（ ）2018，（ ）2019）
【解析】
【分析】
过A 作AC⊥x轴于C，由菱形的性质得到OA＝AA ＝1，∠AAC＝∠AOB＝60°，根据勾股定理得到
1 1 1 1【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
OA ＝ ，求得∠AB A ＝60°，解直角三角形得到B A ＝2 ，AA ＝3，求得OA
1 2 1 3 1 3 2 3 3
＝OB +B A ＝3 ＝（ ）3得到菱形 OA AB 的边长＝3＝（ ）2，设 B A 的中点为 O ，连接
1 1 3 2 3 2 1 3 1
OA，OB ，推出过点B ，B ，A 的圆的圆心坐标为O（0，2 ），以此类推，于是得到结论．
1 2 1 2 1 2 2 1
【详解】解：过A 作AC⊥x轴于C，
1 1
∵四边形OAAB是菱形，
1
∴OA＝AA ＝1，∠AAC＝∠AOB＝60°，
1 1
∴AC＝ ，AC＝ ，
1
∴OC＝OA+AC＝ ，
在Rt△OA C中，OA ＝ ，
1 1
∵∠OA C＝∠B AO＝30°，∠AAO＝120°，
2 1 2 3 2
∴∠AAB ＝90°，
3 2 1
∴∠AB A＝60°，
2 1 3
∴B A＝2 ，AA＝3，
1 3 2 3
∴OA ＝OB +B A＝3 ＝（ ）3
3 1 1 3
∴菱形OA AB 的边长＝3＝（ ）2，
2 3 2
设B A 的中点为O，连接OA，OB ，
1 3 1 1 2 1 2【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
于是求得，OA＝OB ＝OB ＝ ＝（ ）1，
1 2 1 2 1 1
∴过点B ，B ，A 的圆的圆心坐标为O（0， ），
1 2 2 1
∵菱形OA AB 的边长为3 ＝（ ）3，
3 4 3
∴OA ＝9＝（ ）4，
4
设B A 的中点为O，
2 4 2
连接OA，OB ，
2 3 2 3
同理可得，OA＝OB ＝OB ＝3＝（ ）2，
2 3 2 3 2 2
∴过点B ，B ，A 的圆的圆心坐标为O（﹣3，3 ），…以此类推，菱形OA A B 的边长为（
2 3 3 2 2019 2020 2019
）2019，
OA ＝（ ）2020，
2020
设B A 的中点为O ，连接O A ，O B ，
2018 2020 2018 2018 2019 2018 2019
求得，O A ＝O B ＝O B ＝（ ）2018，
2018 2019 2018 2019 2018 2018
∴点O 是过点B ，B ，A 的圆的圆心，
2018 2018 2019 2019
∵2018÷12＝168…2，
∴点O 在射线OB 上，
2018 2
则点O 的坐标为（﹣（ ）2018，（ ）2019），
2018
即过点B ，B ，A 的圆的圆心坐标为：（﹣（ ）2018，（ ）2019），
2018 2019 2019
故答案为（﹣（ ）2018，（ ）2019）．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. 先化简，再求代数式的值： ，其中x＝3cos60°．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】 ， .
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用锐角三角函数值得出x的值，继而代入计算可得．
【详解】解：原式＝
＝
＝ ，
当x＝3cos60°＝3× ＝ 时，
原式＝ ＝ ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18. 在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点
的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标．
（2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′．
（3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】（1）见解析，A点坐标为（﹣2，3）；（2）见解析；（3）点A所经过的路径长＝ .
【解析】
【分析】
（1）利用B、C点的坐标建立直角坐标系，然后写出A 点坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B'C′；
（3）先利用勾股定理计算出OA，然后利用弧长公式计算点A所经过的路径长．
【详解】解：（1）如图，A点坐标为（﹣2，3）；
（2）如图，△A′B′C′为所作；
（3）如图，OA＝ ，
所以点A所经过的路径长＝ ．
.
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相
等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的
图形．也考查了弧长公式．
四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
19. 为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛．比赛设置一等、二等、
三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统
计图．根据图中信息解答下列问题：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）本次抽样调查学生的人数为 ．
（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数．
（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数．
【答案】（1）40；（2）见解析，18°；（3）获得三等奖的有210人．
【解析】
【分析】
（1）根据B的人数和所占的百分比可以求得本次抽样调查学生人数；
（2）根据统计图中的数据和（1）中的结果可以将统计图中所缺的数据补充完整并计算出扇形统计图中A
所对应扇形圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出获得三等奖的人数．
【详解】解：（1）本次抽样调查学生的人数为：8÷20%＝40，
故答案为40；
（2）A所占的百分比为： ×100%＝5%，
D所占的百分比为： ×100%＝50%，
C所占的百分比为：1﹣5%﹣20%﹣50%＝25%，
获得三等奖的人数为：40×25%＝10，
补全的统计图如图所示，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是360°×5%＝18°；
（3）840×25%＝210（人），
答：获得三等奖的有210人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结
合的思想解答．
20. 如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和1等份，并在每一份内标上数
字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字
之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个
数字使游戏公平（不需要说明理由）．
【答案】（1）见解析，甲获胜概率为 ；（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平，将转盘A上的数字2
改为1，则游戏公平．
【解析】
【分析】
（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）先计算出数字之积为偶数的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平．
【详解】解：（1）列表如下：
﹣2 ﹣3 2 3
1 ﹣2 ﹣3 2 3
2 ﹣4 ﹣6 4 6
3 ﹣6 ﹣9 6 9
由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果，
所以甲获胜概率为 ；
（2）∵指针所在区域的数字之积为偶数的概率为 ，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，
将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平．
【点睛】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就
不公平，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
五、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
21. 甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行
800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙
骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．
【答案】乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m．
【解析】
【分析】
设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是8x米/分钟，根据题意列方
程即可得到结论．
【详解】解：（1）设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是8x
米/分钟，
根据题意得：
解得x＝80．经检验，x＝80是原分式方程的解．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
所以2.5×8×80＝1600（m）
答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边
AC相交于点G，且 ＝ ，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF
（1）求证：①AO＝AG，②BF是⊙O的切线．
（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）S ＝ ．
阴影
【解析】
【分析】
（1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝∠AGO，即可
得出结论；
②先判断出△AOG是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝60°，得出
△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出OB＝2BE，建立方程6+r＝2r，继而求出AG＝6，AB＝18，AC＝
9，CG＝3，再判断出△OGE是等边三角形，得出GE＝OE＝6，进而利用根据勾股定理求出CE＝3 ，
即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：①如图1，连接OE，
∵⊙O与BC相切于点E，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴∠OEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OEB，
∴AC∥OE，
∴∠GOE＝∠AGO，
∵ ＝ ，
∴∠AOG＝∠GOE，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AO＝AG；
②由①知，AO＝AG，
∵AO＝OG，
∴∠AO＝OG＝AG，
∴△AOG是等边三角形，
∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，
∴∠BOF＝∠AOG＝60°，
由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FOB＝∠EOB，
∵OF＝OE，OB＝OB，
∴△OFB≌△OEB（SAS），
∴∠OFB＝∠OEB＝90°，
∴OF⊥BF，
∵OF是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接GE，
∵∠A＝60°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∴OB＝2BE，
设⊙O的半径为r，
∵OB＝OD+BD，
∴6+r＝2r，
∴r＝6，
∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，
∴AC＝ AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，
由（1）知，∠EOB＝60°，
∵OG＝OE，
∴△OGE是等边三角形，
∴GE＝OE＝6，
根据勾股定理得，CE＝ ，
∴S ＝S ﹣S ＝ （6+3）× ．
阴影 梯形GCEO 扇形OGE
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，
等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出⊙O的半径是解本
题的关键．
六、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
23. 如图，在某街道路边有相距10m、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，
在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为14°，向前行走25m到达B处，在地面测得路灯MN的顶端仰角为
24.3°，已知点A，B，Q，N在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确
到0.1m．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，
cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）
【答案】路灯的高度约为8.4m．
【解析】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】
设PQ＝MN＝xm，根据正切的定义分别用x表示出AQ、BN，根据题意列式计算即可．
【详解】解：设PQ＝MN＝xm，
在Rt△APQ中，tanA＝ ，
则AQ＝ ≈ ＝4x，
在Rt△MBN中，tan∠MBN＝ ，
则BN＝ ≈ ＝ ，
∵AQ+QN＝AB+BN，
∴4x+10＝25+ ，
解得，x≈8.4，
答：路灯的高度约为8.4m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键．
24. 某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件
60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元
时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，
平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；（2）当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利
1800元；（3）当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
【解析】
【分析】
（1）当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
20件．从而用60减去x，再除以10，就是降价几个10元，再乘以20，再把80加上就是平均月销售量；
（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程
即可；
（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求
得取最大利润时的x值及最大利润．
【详解】解：（1）由题意得：y＝80+20×
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）
（2）由题意得：
（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800
解得x＝55，x＝75（不符合题意，舍去）
1 2
答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．
（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵﹣2＜0
∴当x≤65时，w随x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当x＝60时，w ＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950
最大
答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性．
七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
25. 已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC．
（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF．以EF为直角边构
造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC．
求证：①△AEF≌△CGF；②四边形BGCE是平行四边形．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：
如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC
的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出 的
值及∠DEF的度数．
（3）小颖受到启发也做了探究：
如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝
90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角
度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出 的值，并用含α的代数式
直接表示∠DEF的度数．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） ＝ ；（3）cos∠DEF＝ ．
【解析】
【分析】
（1）①根据SAS即可证明三角形全等．
②想办法证明BE＝CG，BE∥CG即可．
（2）如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．证明△CGF∽△AEF，推出
，∠CFG＝∠AFE，推出∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90°，推出
tan∠DEF＝ ，可得∠DEF＝30°即可解决问题．
（3）如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．作EH⊥AB于H，连接FD．想办法证明
∠AEH＝∠DEF，利用勾股定理求出EH，即可解决问题．
【详解】（1）证明：①如图1中，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵△EFC与△AFC都是等腰直角三角形，
∴FA＝FC，FE＝FG，∠AFC＝∠EFG＝90°，
∴∠AFE＝∠CFG，
∴△AFE≌△CFG（SAS）．
②∵△AFE≌△CFG，
∴AE＝CG，∠AEF＝∠CGF，
∵△AEB是等腰直角三角形，
∴AE＝BE，∠BEA＝90°，
∴CG＝BE，
∵△EFG是等腰直角三角形，
∴∠FEG＝∠FGE＝45°，
∴∠AEF+∠BEG＝45°，
∵∠CGE+∠CGF＝45°，
∴∠BEG＝∠CGE，
∴BE∥CG，
∴四边形BECG是平行四边形．
（2）解：如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵∠EDB＝∠GDC，
∴EB＝GC，∠EBD＝∠GCD，
在Rt△AEB与Rt△AFC中，
∵∠EAB＝∠FAC＝30°，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠EBD＝∠2+60°，
∴∠DCG＝∠2+60°，
∴∠GCF＝360°﹣60°﹣（∠2+60°）﹣∠3
＝360°﹣120°﹣（∠2+∠3）
＝360°﹣120°﹣（180°﹣∠1）
＝60°+∠1，
∵∠EAF＝30°+∠1+30°＝60°+∠1，
∴∠GCF＝∠EAF，
∴△CGF∽△AEF，
∴ ，∠CFG＝∠AFE，
∴∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90°，
∴tan∠DEF＝ ，
∴∠DEF＝30°，
∴FG＝ EG，
∵ED＝ EG，
∴ED＝FG，
∴ ．
（3）如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．作EH⊥AB于H，连接FD．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDG，DE＝DG，
∴△CDG≌△BDE（SAS），
∴CG＝BE＝AE，∠DCG＝∠DBE＝α+∠ABC，
∵∠GCF＝360°﹣∠DCG﹣∠ACB﹣∠ACF＝360°﹣（α+∠ABC）﹣∠ACB﹣（90°﹣α）＝270°﹣
（∠ABC+∠ACB）＝270°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC＝∠EAF，
∴△EAF≌△GCF（SAS），
∴EF＝GF，∠AFE＝∠CFG，
∴∠AFC＝∠EFC，
∴∠DEF＝∠CAF＝90°﹣α，
∵∠AEH＝90°﹣α，
∴∠AEH＝∠DEF，
∵AE＝m，AH＝ AB＝ n，
∴EH＝ ，
∵DE＝DG，EF＝GF，
∴DF⊥EG，
.
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形
解决问题，属于中考压轴题．
八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y
＝﹣ x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交
于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求点N的坐标．
（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝ 时，求点F的坐标．
（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个
单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t
（0≤t≤ ），请直接写出S与t的函数关系式．
【答案】（1）y＝﹣ x2+ x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（ ，
﹣ ）；（4） ．
【解析】
【分析】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）抛物线的对称轴为：x＝ ，点N的横坐标为： ，即可求解；
（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；
（4）分0≤t≤ 、当 ＜t≤ 、 ＜t≤ 三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）直线y＝﹣ x+2经过A，C两点，则点A、C 的坐标分别为（0，2）、（4，0），
则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣ x2+bx+2，
将点C坐标代入上式并解得：b＝ ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+2…①；
（2）抛物线的对称轴为：x＝ ，
点N的横坐标为： ，
故点N的坐标为（5，-3）；
（3）∵tan∠ACO＝ ＝tan∠FAC＝ ，
即∠ACO＝∠FAC，
①当点F在直线AC下方时，
设直线AF交x轴于点R，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，
设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝ ，
即点R的坐标为：（ ，0），
将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得： ，
解得： ，
故直线AR的表达式为：y＝﹣ x+2…②，
联立①②并解得：x＝ ，故点F（ ，﹣ ）；
②当点F在直线AC的上方时，
∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，
则点F′（3，2）；
综上，点F的坐标为：（3，2）或（ ，﹣ ）；
（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝ ，则sinα＝ ，cosα＝ ；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
①当0≤t≤ 时（左侧图），
设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，
则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，
则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，
则DT＝ ，DS＝ ，
S＝S ＝ DT×DS＝ ；
△DST
②当 ＜t≤ 时（右侧图），
同理可得：
S＝ ＝ DG×（GS′+DT′）＝ 3+（ + ﹣ ）＝ ；
③当 ＜t≤ 时，同理可得S= ；
综上，S＝ ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
