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2016 年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20
分）
1．（2分）下列各数是无理数的是（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
2．（2分）如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房
源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（
）
A．0.54×107 B．54×105 C．5.4×106 D．5.4×107
4．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y= （x＞0）图象上的一
点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为
3，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
5．（2分）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
第1页（共32页）A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
6．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．x4+x4=2x8 B．x3•x2=x6
C．（x2y）3=x6y3 D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2
7．（2分）已知一组数据：3，4，6，7，8，8，下列说法正确的是（ ）
A．众数是2 B．众数是8 C．中位数是6 D．中位数是7
8．（2分）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（ ）
A．x =2，x =﹣6 B．x =﹣2，x =6
1 2 1 2
C．x =﹣2，x =﹣6 D．x =2，x =6
1 2 1 2
9．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（ ）
A． B．4 C．8 D．4
10．（2分）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x ，
1
y ），B（x ，y ）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x ＜x ≤0，则下列结论正
1 2 2 1 2
确的是（ ）
A．y ＜y B．y ＞y
1 2 1 2
C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2= ．
12．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形．
13．（3分）化简：（1﹣ ）•（m+1）= ．
第2页（共32页）14．（3分）三个连续整数中，n是最大的一个，这三个数的和为 ．
15．（3分）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两
车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车
到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间（t h）之
间的函数关系如图表示，当甲车出发 h时，两车相距350km．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，
点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN
与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是 ．
三、解答题
17．（6分）计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（ ）﹣2+ ．
第3页（共32页）18．（8分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料
有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材
料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把
这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小
明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从
中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
（1）小明诵读《论语》的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．
19．（8分）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：
（1）∠CEB=∠CBE；
（2）四边形BCED是菱形．
20．（8分）我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种
第4页（共32页）项目的活动，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校 m名学生
最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种），并将调
查结果绘制成如下的不完整的统计图表：
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目 学生数（名） 百分比
丢沙包 20 10%
打篮球 60 p%
跳大绳 n 40%
踢毽球 40 20%
根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ，p= ；
（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大
绳．
21．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，
第5页（共32页）BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求 的长（结果保留π）．
22．（10分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器
材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每
种型号健身器材必须整套购买．
（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种
型号健身器材各购买多少套？
（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型
号健身器材至少要购买多少套？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐
标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E
第6页（共32页）在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．
（1）线段OC的长为 ；
（2）求证：△CBD≌△COE；
（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O B D E ，其中点O，B，D，E的
1 1 1 1
对应点分别为点O ，B ，D ，E ，连接CD ，CE ，设点E 的坐标为（a，0），其中
1 1 1 1 1 1 1
a≠2，△CD E 的面积为S．
1 1
①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；
②在平移过程中，当S= 时，请直接写出a的值．
24．（12分）在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得
到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点
第7页（共32页）E，连接BD，BE．
（1）如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．
①求证：△ABD是等边三角形；
②求证：BF⊥AD，AF=DF；
③请直接写出BE的长；
（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当
∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正
半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y= x2﹣3x+m与y轴相交于点
第8页（共32页）A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．
（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．
①点B的坐标为（ 、 ），BK的长是 ，CK的长是 ；
②求点F的坐标；
③请直接写出抛物线的函数表达式；
（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连
接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合）
连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E
开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分
别表示为S 和S ，在点M的运动过程中，S •S（即S 与S 的积）的值是否发生
1 2 1 2 1 2
变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．
第9页（共32页）2016 年辽宁省沈阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20
分）
1．（2分）下列各数是无理数的是（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
【考点】26：无理数．
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【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：0，﹣1， 是有理数， 是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无
限不循环小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个
0）等形式．
2．（2分）如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图
是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】画出从上往下看的图形即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图为 ．
故选：A．
第10页（共32页）【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通
过仔细观察和想象，再画它的三视图．
3．（2分）在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房
源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（
）
A．0.54×107 B．54×105 C．5.4×106 D．5.4×107
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1
时，n是负数．
【解答】解：5400000用科学记数法表示为5.4×106，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y= （x＞0）图象上的一
点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为
3，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
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【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即
S=|k|．再由函数图象所在的象限确定k的值即可．
【解答】解：∵点P是反比例函数y= （x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x
第11页（共32页）轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，
∴矩形OAPB的面积S=|k|=3，
解得k=±3．
又∵反比例函数的图象在第一象限，
∴k=3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点
引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了
数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
5．（2分）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【考点】X1：随机事件．
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【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确
定事件，
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一
定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事
件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件
6．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．x4+x4=2x8 B．x3•x2=x6
C．（x2y）3=x6y3 D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2
【考点】4I：整式的混合运算．
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【专题】2C：存在型．
【分析】先计算出各个选项中式子的正确结果，即可得到哪个选项是正确的，本题
得以解决．
【解答】解：∵x4+x4=2x4，故选项A错误；
∵x3•x2=x5，故选项B错误；
∵（x2y）3=x6y3，故选项C正确；
第12页（共32页）∵（x﹣y）（y﹣x）=﹣x2+2xy﹣y2，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方
法．
7．（2分）已知一组数据：3，4，6，7，8，8，下列说法正确的是（ ）
A．众数是2 B．众数是8 C．中位数是6 D．中位数是7
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数和中位数的定义求解．
【解答】解：数据：3，4，6，7，8，8的众数为8，中为数为6.5．
故选：B．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中
位数定义．
8．（2分）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（ ）
A．x =2，x =﹣6 B．x =﹣2，x =6
1 2 1 2
C．x =﹣2，x =﹣6 D．x =2，x =6
1 2 1 2
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
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【专题】11：计算题；521：一次方程（组）及应用．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，
分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，
解得：x =﹣2，x =6，
1 2
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是
解本题的关键．
9．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（ ）
A． B．4 C．8 D．4
第13页（共32页）【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】根据cosB= 及特殊角的三角函数值解题即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，
cosB= ，
即cos30°= ，
∴BC=8× =4 ；
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟
练掌握．
10．（2分）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x ，
1
y ），B（x ，y ）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x ＜x ≤0，则下列结论正
1 2 2 1 2
确的是（ ）
A．y ＜y B．y ＞y
1 2 1 2
C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；H7：二次函数的最值．
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【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行
解答．
【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），
则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．
又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．
A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y 与y 的大小，故本选项
1 2
错误；
第14页（共32页）B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y 与y 的大小，故本选项
1 2
错误；
C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；
D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利
用了“数形结合”的数学思想．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2= 2 （ x﹣1 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：
（a±b）2=a2±2ab+b2．
【解答】解：2x2﹣4x+2，
=2（x2﹣2x+1），
=2（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点
在于需要进行二次分解因式．
12．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 五 边形．
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°=540°，
解得n=5，
故答案为：五．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键．
13．（3分）化简：（1﹣ ）•（m+1）= m ．
【考点】6C：分式的混合运算．
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【专题】11：计算题；513：分式．
第15页（共32页）【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到
结果．
【解答】解：原式= •（m+1）=m，
故答案为：m
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）三个连续整数中，n是最大的一个，这三个数的和为 3n﹣3 ．
【考点】32：列代数式．
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【专题】12：应用题．
【分析】先利用连续整数的关系用n表示出最小的数和中间的整数，然后把三个
数相加即可．
【解答】解：这三个数的和为n﹣2+n﹣1+n=3n﹣3．
故答案为3n﹣3．
【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和
运算符号的式子表示出来，就是列代数式．本题的关键是表示出最小整数．
15．（3分）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两
车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车
到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间（t h）之
间的函数关系如图表示，当甲车出发 h时，两车相距350km．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】根据图象，可得A与C的距离等于B与C的距离，根据行驶路程与时间的
关系，可得相应的速度，根据甲、乙的路程，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由题意，得
AC=BC=240km，
第16页（共32页）甲的速度240÷4=60km/h，乙的速度240÷3=80km/h．
设甲出发x小时甲乙相距350km，由题意，得
60x+80（x﹣1）+350=240×2，
解得x= ，
答：甲车出发 h时，两车相距350km，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用题意找出等量关系是解题关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，
点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN
与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是 或 ．
【考点】KX：三角形中位线定理．
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【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据 = 计算即可
②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得 = 计算即可．
【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，DE= BC=10，
∵DN′∥EF，
∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，
∴四边形DEFN′是矩形，
∴EF=DN′，DE=FN′=10，
∵AB=AC，∠A=90°，
第17页（共32页）∴∠B=∠C=45°，
∴BN′=DN′=EF=FC=5，
∴ = ，
∴ = ，
∴DO′= ．
当∠MON=90°时，
∵△DOE∽△EFM，
∴ = ，
∵EM= =13，
∴DO= ，
故答案为 或 ．
【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性
质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于
中考常考题型．
三、解答题
17．（6分）计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（ ）﹣2+ ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数
值．
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【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值、负
整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．
第18页（共32页）【解答】解：原式=1+3﹣ ﹣4+3 ，
=2 ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质进而化简是解题关键．
18．（8分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料
有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材
料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把
这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小
明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从
中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
（1）小明诵读《论语》的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．
【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．
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【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多
少即可．
【解答】解：
（1）∵诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种，
∴小明诵读《论语》的概率= ，
故答案为： ；
（2）列表得：
小明 A B
小亮
C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有
6种．
第19页（共32页）所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率= ．
【点评】本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点．
19．（8分）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：
（1）∠CEB=∠CBE；
（2）四边形BCED是菱形．
【考点】KA：全等三角形的性质；L9：菱形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．
（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．
【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC=∠ABD，
∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠DBE，
∴∠CEB=∠CBE．
（2））∵△ABC≌△ABD，
∴BC=BD，
∵∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB，
∴CE=BD
∵CE∥BD，
∴四边形CEDB是平行四边形，
∵BC=BD，
∴四边形CEDB是菱形．
第20页（共32页）【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟
练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，
属于中考常考题型．
20．（8分）我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种
项目的活动，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校 m名学生
最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种），并将调
查结果绘制成如下的不完整的统计图表：
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目 学生数（名） 百分比
丢沙包 20 10%
打篮球 60 p%
跳大绳 n 40%
踢毽球 40 20%
根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）m= 20 0 ，n= 8 0 ，p= 3 0 ；
（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大
绳．
【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．
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【分析】（1）利用20÷10%=200，即可得到m的值；用200×40%即可得到n的值，
用60÷200即可得到p的值．
第21页（共32页）（2）根据n的值即可补全条形统计图；
（3）根据用样本估计总体，2000×40%，即可解答．
【解答】解：（1）m=20÷10%=200；n=200×40%=80，60÷200=30%，p=30，
故答案为：200，80，30；
（2）如图，
（3）2000×40%=800（人），
答：估计该校2000名学生中有800名学生最喜欢跳大绳．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、概率公式，读懂统计图，从统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的
数据．
21．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，
BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求 的长（结果保留π）．
【考点】MC：切线的性质；MN：弧长的计算．
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【分析】（1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可
得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线
的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥AC；
（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再结合OB=OD可得出
第22页（共32页）△OBD是等边三角形，根据弧长公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴ 的长= = = π．
【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以
及等边三角形的判断，解题的关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出
△OBD是等边三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过角
的计算找出90°的角是关键．
22．（10分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器
材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每
第23页（共32页）种型号健身器材必须整套购买．
（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种
型号健身器材各购买多少套？
（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型
号健身器材至少要购买多少套？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
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【分析】（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据：“A，B
两种型号的健身器材共50套、共支出20000元”列方程组求解可得；
（2）设购买 A 型号健身器材 m 套，根据：A 型器材总费用+B 型器材总费用
≤18000，列不等式求解可得．
【解答】解：（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．
（2）设购买A型号健身器材m套，
根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000，
解得：m≥33 ，
∵m为整数，
∴m的最小值为34，
答：A种型号健身器材至少要购买34套．
【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意得到
相等关系或不等关系是解题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐
标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E
在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．
（1）线段OC的长为 ；
第24页（共32页）（2）求证：△CBD≌△COE；
（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O B D E ，其中点O，B，D，E的
1 1 1 1
对应点分别为点O ，B ，D ，E ，连接CD ，CE ，设点E 的坐标为（a，0），其中
1 1 1 1 1 1 1
a≠2，△CD E 的面积为S．
1 1
①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；
②在平移过程中，当S= 时，请直接写出a的值．
【考点】LO：四边形综合题．
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【分析】（1）由点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），利用勾股定理即可求
得AB的长，然后由点C为边AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边
的一半，可求得线段OC的长；
（2）由四边形OBDE是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得
BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可证得：△CBD≌△COE；
（3）①首先根据题意画出图形，然后过点C作CH⊥D E 于点H，可求得△CD E 的
1 1 1 1
高与底，继而求得答案；
②分别从1＜a＜2与a＞2去分析求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），
∴OA=4，OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴AB= = ，
∵点C为边AB的中点，
∴OC= AB= ；
故答案为： ．
第25页（共32页）（2）证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，
∴OC=BC= AB，
∴∠CBO=∠COB，
∵四边形OBDE是正方形，
∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，
∴∠CBD=∠COE，
在△CBD和△COE中，
，
∴△CBD≌△COE（SAS）；
（3）①解：过点C作CH⊥D E 于点H，
1 1
∵C是AB边的中点，
∴点C的坐标为：（2， ）
∵点E 的坐标为（a，0），1＜a＜2，
1
∴CH=2﹣a，
∴S= D E •CH= ×1×（2﹣a）=﹣ a+1；
1 1
②当1＜a＜2时，S=﹣ a+1= ，
解得：a= ；
当a＞2时，同理：CH=a﹣2，
∴S= D E •CH= ×1×（a﹣2）= a﹣1，
1 1
∴S= a﹣1= ，
第26页（共32页）解得：a= ，
综上可得：当S= 时，a= 或 ．
【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾
股定理、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题．注意掌握辅助线的作
法，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
24．（12分）在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得
到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点
E，连接BD，BE．
（1）如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．
①求证：△ABD是等边三角形；
②求证：BF⊥AD，AF=DF；
③请直接写出BE的长；
（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当
∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．
【考点】KY：三角形综合题．
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【分析】（1）①由旋转性质知AB=AD，∠BAD=60°即可得证；②由BA=BD、EA=ED根
第27页（共32页）据中垂线性质即可得证；③分别求出BF、EF的长即可得；
（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、
∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5、
AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．
【解答】解：（1）①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形；
②由①得△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
又∵AC=BC，
∴EA=ED，
∴点B、E在AD的中垂线上，
∴BE是AD的中垂线，
∵点F在BE的延长线上，
∴BF⊥AD，AF=DF；
③由②知BF⊥AD，AF=DF，
∴AF=DF=3，
∵AE=AC=5，
∴EF=4，
∵在等边三角形ABD中，BF=AB•sin∠BAF=6× =3 ，
∴BE=BF﹣EF=3 ﹣4；
（2）如图所示，
第28页（共32页）∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，
又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，
∴∠BAE=∠ABC，
∵AC=BC=AE，
∴∠BAC=∠ABC，
∴∠BAE=∠BAC，
∴AB⊥CE，且CH=HE= CE，
∵AC=BC，
∴AH=BH= AB=3，
则CE=2CH=8，BE=5，
∴BE+CE=13．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的性质、三
角形内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正
半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y= x2﹣3x+m与y轴相交于点
A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．
（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．
①点B的坐标为（ 1 0 、 0 ），BK的长是 8 ，CK的长是 1 0 ；
②求点F的坐标；
③请直接写出抛物线的函数表达式；
第29页（共32页）（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连
接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合）
连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E
开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分
别表示为S 和S ，在点M的运动过程中，S •S（即S 与S 的积）的值是否发生
1 2 1 2 1 2
变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）①根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题．
②在RT△BKF中利用勾股定理即可解决问题．
③设OA=AF=x，在RT△ACF中，AC=8﹣x，AF=x，CF=4，利用勾股定理即可解决问题．
（2）不变．S •S =289．由△GHN∽△MHG，得 = ，得到GH2=HN•HM，求出GH2，
1 2
根据S •S = •OG•HN• •OG•HM即可解决问题．
1 2
【解答】解：（1）如图1中，①∵抛物线y= x2﹣3x+m的对称轴x=﹣ =10，
∴点B坐标（10，0），
∵四边形OBKC是矩形，
∴CK=OB=10，KB=OC=8，
故答案分别为10，0，8，10．
②在RT△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8，
∴FK= =6，
第30页（共32页）∴CF=CK﹣FK=4，
∴点F坐标（4，8）．
③设OA=AF=x，
在RT△ACF中，∵AC2+CF2=AF2，
∴（8﹣x）2+42=x2，
∴x=5，
∴点A坐标（0，5），代入抛物线y= x2﹣3x+m得m=5，
∴抛物线为y= x2﹣3x+5．
（2）不变．S •S =289．
1 2
理由：如图2中，在RT△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8，
∴DG= = =15，
∴CG=CD﹣DG=2，
∴OG= = =2 ，
∵GP⊥OM，MH⊥OG，
∴∠NPM=∠NHG=90°，
∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM，
∴∠HGN=∠NMP，
∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM，
∴△GHN∽△MHG，
∴ = ，
∴GH2=HN•HM，
∵GH=OH= ，
∴HN•HM=17，
∵S •S = •OG•HN• •OG•HM=（ •2 ）2•17=289．
1 2
第31页（共32页）【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、翻折变换相似三角形的判定和性
质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△GHN∽△MHG求出HN•HM的值，
属于中考压轴题．
第32页（共32页）
