文档内容
2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
2．（2分）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办
法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税70%以上，将数据6500用科学
记数法表示为（ ）
A．6.5×102 B．6.5×103 C．65×103 D．0.65×104
3．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲 2＝0.1，S乙 2＝0.04，则乙组数据较稳定
B．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨
C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D．早上的太阳从西方升起是必然事件
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．2m3+3m2＝5m5 B．m3÷m2＝m
C．m•（m2）3＝m6 D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2
6．（2分）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：
年龄（岁） 12 13 14 15 16
人数 3 1 2 5 1
第1页（共28页）则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15岁和14岁 B．15岁和15岁
C．15岁和14.5岁 D．14岁和15岁
7．（2分）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则
△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
8．（2分）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＜﹣1 C．k＜1 D．k＞﹣1
9．（2分）如图，AB是 O的直径，点C和点D是 O上位于直径AB两侧的点，连接AC，
AD，BD，CD，若 ⊙O的半径是13，BD＝24，则⊙sin∠ACD的值是（ ）
⊙
A． B． C． D．
10．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0
第2页（共28页）二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝ ．
12．（3分）二元一次方程组 的解是 ．
13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均
匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100
次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有 个白球．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝
BC＝2 ，则四边形EGFH的周长是 ．
15．（3分）如图，正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y ＝ （x＞0）的图象相交于点A（
1 1 2
，2 ），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面
积是 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线
上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线
于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 ．
第3页（共28页）三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：（﹣ ）﹣2+2cos30°﹣|1﹣ |+（ ﹣2019）0．
π
18．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了
多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字
母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的
卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是 ．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随
机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的
卡片中有一张是科技社团D的概率．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，
且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若tan∠CAB＝ ，∠CBG＝45°，BC＝4 ，则 ABCD的面积是 ．
▱
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能
及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设
被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：
A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果
制成如下两幅不完整的统计图：
第4页（共28页）根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m的值是 ，类别D所对应的扇形圆心角的度数是 度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做
家务的总时间不低于20小时．
21．（8分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两
种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每
棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
五、（本题10分）
22．（10分）如图，AB是 O的直径，BC是 O的弦，直线MN与 O相切于点C，过点B作
BD⊥MN于点D． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；
（2）若BC＝4 ，CD＝4，则 O的半径是 ．
⊙
第5页（共28页）六、（本题10分）
23．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．
（1）k的值是 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求 OCED的周长；
① ▱
当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为 ，请直接写出点
②
C的坐标．
七、（本题12分）
24．（12分）思维启迪：
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳
子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接
BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长
线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 米．
思维探索：
（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将
△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点
B和点D位于AC的两侧），设旋转角为 ，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，
PE． α
如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是
①；
如图3，当 ＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并
②证明你的结论α；
当 ＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．
③ α
第6页（共28页）八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点
A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一
象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M
在点N的上方），且MN＝2 ，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点
A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
第7页（共28页）2019 年辽宁省沈阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
【解答】解：﹣5的相反数是5，
故选：A．
2．（2分）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办
法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税70%以上，将数据6500用科学
记数法表示为（ ）
A．6.5×102 B．6.5×103 C．65×103 D．0.65×104
【解答】解：6500＝6.5×103，
故选：B．
3．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．
故选：A．
4．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲 2＝0.1，S乙 2＝0.04，则乙组数据较稳定
B．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨
第8页（共28页）C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D．早上的太阳从西方升起是必然事件
【解答】解：A、∵S甲 2＝0.1，S乙 2＝0.04，∴S甲 2＞S乙 2，∴乙组数据较稳定，故本选项正确；
B、明天降雨的概率是50%表示降雨的可能性，故此选项错误；
C、了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故本选项错误；
D、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故本选项错误；
故选：A．
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．2m3+3m2＝5m5 B．m3÷m2＝m
C．m•（m2）3＝m6 D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2
【解答】解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；
B．m3÷m2＝m，正确；
C．m•（m2）3＝m7，故错误；
D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．
故选：B．
6．（2分）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：
年龄（岁） 12 13 14 15 16
人数 3 1 2 5 1
则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15岁和14岁 B．15岁和15岁
C．15岁和14.5岁 D．14岁和15岁
【解答】解：在这12名队员的年龄数据里，15岁出现了5次，次数最多，因而众数是145
12名队员的年龄数据里，第6和第7个数据的平均数 ＝14.5，因而中位数是14.5．
故选：C．
7．（2分）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则
△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．
故选：C．
第9页（共28页）8．（2分）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＜﹣1 C．k＜1 D．k＞﹣1
【解答】解：∵观察图象知：y随x的增大而减小，
∴k+1＜0，
解得：k＜﹣1，
故选：B．
9．（2分）如图，AB是 O的直径，点C和点D是 O上位于直径AB两侧的点，连接AC，
AD，BD，CD，若 ⊙O的半径是13，BD＝24，则⊙sin∠ACD的值是（ ）
⊙
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵ O的半径是13，
∴⊙AB＝2×13＝26，
由勾股定理得：AD＝10，
∴sin∠B＝ ＝ ＝ ，
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝ ，
故选：D．
10．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
第10页（共28页）A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0
【解答】解：由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a＜0；
∴abc＞0，A错误；
由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，C错误；
∵b＝﹣2a，D正确；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝ ﹣（ x ﹣ 2 y ） 2 ．
【解答】解：﹣x2﹣4y2+4xy，
＝﹣（x2+4y2﹣4xy），
＝﹣（x﹣2y）2．
12．（3分）二元一次方程组 的解是 ．
【解答】解： ，
+ 得：4x＝8，
①解得②x＝2，
把x＝2代入 中得：2+2y＝5，
解得y＝1.5，②
所以原方程组的解为 ．
第11页（共28页）故答案为 ．
13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均
匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100
次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有 3 个白球．
【解答】解：由题意可得，红球的概率为70%．则白球的概率为30%，
这个口袋中白球的个数：10×30%＝3（个），
故答案为3．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝
BC＝2 ，则四边形EGFH的周长是 4 ．
【解答】证明：∵E、G是AB和AC的中点，
∴EG＝ BC＝ × ＝ ，
同理HF＝ BC＝ ，
EH＝GF＝ AD＝ ＝ ．
∴四边形EGFH的周长是：4× ＝4 ．
故答案为：4 ．
15．（3分）如图，正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y ＝ （x＞0）的图象相交于点A（
1 1 2
，2 ），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面
积是 2 ．
第12页（共28页）【解答】解：（1）∵正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y ＝ （x＞0）的图象相交于
1 1 2
点A（ ，2 ），
∴2 ＝ k ，2 ＝ ，
1
∴k ＝2，k ＝6，
1 2
∴正比例函数为y＝2x，反比例函数为：y＝ ，
∵点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，
∴y＝ ＝2，
∴B（3，2），
∴D（1，2），
∴BD＝3﹣1＝2．
∴S△AOB ＝S△ABD +S△OBD ＝ ×2×（2 ﹣2）+ ×2×2＝2 ，
故答案为2 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线
上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线
于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 ．
第13页（共28页）【解答】解：如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5 ，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝ ，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4 ，AE＝ ，
∴EH＝5 ，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5 ）2+（ ）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴ ＝ ，
∴EF2＝EC•EP，
∴EP＝ ＝ ．
故答案为 ．
第14页（共28页）三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：（﹣ ）﹣2+2cos30°﹣|1﹣ |+（ ﹣2019）0．
π
【解答】解：原式＝4+2× ﹣ +1+1
＝6．
18．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了
多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字
母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的
卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是 ．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随
机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的
卡片中有一张是科技社团D的概率．
【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝ ；
（2）列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为
6种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为 ＝ ．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，
且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若tan∠CAB＝ ，∠CBG＝45°，BC＝4 ，则 ABCD的面积是 2 4 ．
▱
第15页（共28页）【解答】（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE﹣EF＝CF﹣EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵CG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∵∠CBG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵BC＝4 ，
∴BG＝CG＝4，
∵tan∠CAB＝ ，
∴AG＝10，
∴AB＝6，
∴ ABCD的面积＝6×4＝24，
故▱答案为：24．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能
及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设
被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：
A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果
第16页（共28页）制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 5 0 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m的值是 3 2 ，类别D所对应的扇形圆心角的度数是 57. 6 度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做
家务的总时间不低于20小时．
【解答】解：（1）本次共调查了10÷20%＝50（人），
故答案为50；
（2）B类人数：50×24%＝12（人），
D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），
（3） ＝32%，即m＝32，
第17页（共28页）类别D所对应的扇形圆心角的度数360°× ＝57.6°，
故答案为32，57.6；
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．
800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名），
答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
21．（8分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两
种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每
棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x元，根据题意得：
，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
答：甲种树苗每棵40元；
（2）设购买乙中树苗y棵，根据题意得：
40（100﹣y）+36y≤3800，
解得：y≥33 ，
∵y是正整数，
∴y最小取34，
答：至少要购买乙种树苗34棵．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，AB是 O的直径，BC是 O的弦，直线MN与 O相切于点C，过点B作
BD⊥MN于点D． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；
（2）若BC＝4 ，CD＝4，则 O的半径是 5 ．
⊙
第18页（共28页）【解答】（1）证明：连接OC，
∵MN为 O的切线，
∴OC⊥M⊙N，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝∠BCO．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC．；
（2）解：连接AC，
在Rt△BCD中，BC＝4 ，CD＝4，
∴BD＝ ＝8，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AB＝10，
∴ O的半径是5，
故⊙答案为5．
第19页（共28页）六、（本题10分）
23．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．
（1）k的值是 ﹣ ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求 OCED的周长；
① ▱
当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为 ，请直接写出点
②
C的坐标．
【解答】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
（2） 由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣ x+4．
①
当x＝0时，y＝﹣ x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∵点E为OB的中点，
第20页（共28页）∴BE＝OE＝ OB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴ ＝ ＝1，
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CE＝ OA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE．
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE＝ ＝2 ，
∴C平行四边形OCED ＝2（OD+DE）＝2（4+2 ）＝8+4 ．
设点C的坐标为（x，﹣ x+4），则CE＝|x|，CD＝|﹣ x+4|，
②
∴S△CDE ＝ CD•CE＝|﹣ x2+2x|＝ ，
∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0．
方程x2+8x+33＝0无解；
解方程x2+8x﹣33＝0，得：x ＝﹣3，x ＝11，
1 2
∴点C的坐标为（﹣3， ）或（11，﹣ ）．
第21页（共28页）七、（本题12分）
24．（12分）思维启迪：
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳
子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接
BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长
线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 20 0 米．
思维探索：
（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将
△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点
B和点D位于AC的两侧），设旋转角为 ，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，
PE． α
如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 PC ＝
①PE ， PC ⊥ PE ． ；
如图3，当 ＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并
②证明你的结论α；
当 ＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．
③ α
第22页（共28页）【解答】（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，
在△ABP和△DCP中，
，
∴△ABP≌△DCP（SAS），
∴DC＝AB．
∵AB＝200米．
∴CD＝200米，
故答案为：200．
（2） PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．
理由如①下：如解图1，延长EP交BC于F，
同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS），
∴PF＝PE，BF＝DE，
又∵AC＝BC，AE＝DE，
∴FC＝EC，
又∵∠ACB＝90°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴PC＝PE，PC⊥PE．
PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．
②理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，
同 理，可知△FBP≌△EDP（SAS），
①
第23页（共28页）∴BF＝DE，PE＝PF＝ ，
∵DE＝AE，
∴BF＝AE，
∵当 ＝90°时，∠EAC＝90°，
∴EDα∥AC，EA∥BC
∵FB∥AC，∠FBC＝90，
∴∠CBF＝∠CAE，
在△FBC和△EAC中，
，
∴△FBC≌△EAC（SAS），
∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝90°，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴CP⊥EP，CP＝EP＝ ．
如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延
③长线于H点，
当 ＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，
∴∠αFBC＝∠EAC＝ ＝150°
同 可得△FBP≌△αEDP（SAS），
②
同 △FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝ ，
②
在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，
∴HE＝ ，AH＝ ，
又∵AC＝AB＝3，
第24页（共28页）∴AH＝3+ ，
∴EC2＝AH2+HE2＝
∴PC2＝ ＝ ．
第25页（共28页）八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点
A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一
象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M
在点N的上方），且MN＝2 ，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点
A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
【解答】解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得： ，解得： ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+2，
第26页（共28页）同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1… ；
（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴①交BF于点H，
将点FB代入一次函数表达式，
同理可得直线BF的表达式为：y＝﹣ x+1，
设点P（x，﹣ x2+ x+2），则点H（x，﹣ x+1），
S四边形OBPF ＝S△OBF +S△PFB ＝ ×4×1+ ×PH×BO＝2+2（﹣ x2+ x+2+ x﹣1）＝7，
解得：x＝2或 ，
故点P（2，3）或（ ， ）；
（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），
过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，
此时，点Q运动的路径最短，
∵MN＝2 ，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），
第27页（共28页）A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3… ，
联立 得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1）， ②
由中①点坐②标公式得：点A″（3，0），
同理可得：直线AP″的表达式为：y＝﹣3x+9… ，
③
联立 并解得：x＝ ，即点M（ ， ），
①③
点M沿BD向下平移2 个单位得：N（ ，﹣ ）．
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