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辽宁省沈阳市2018年中考数学真题试题
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题2分，共20分）
1．（2.00分）下列各数中是有理数的是（ ）
A．π B．0 C． D．
2．（2.00分）辽宁男蓝夺冠后，从4月21日至24日各类媒体体关于“辽篮CBA夺冠”的相
关文章达到81000篇，将数据81000用科学记数法表示为（ ）
A．0.81×104B．0.81×106C．8.1×104 D．8.1×106
3．（2.00分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2.00分）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A
的坐标是（ ）
A．（4，1）B．（﹣1，4）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣1，﹣4）
5．（2.00分）下列运算错误的是（ ）
A．（m2）3=m6B．a10÷a9=a C．x3•x5=x8 D．a4+a3=a7
6．（2.00分）如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数是（ ）
A．60° B．100° C．110° D．120°
7．（2.00分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
1B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．明天一定会下雨
8．（2.00分）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围
是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
9．（2.00分）点A（﹣3，2）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．﹣1 D．6
10．（2.00分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2 ，则 的长是（ ）
A．π B． π C．2π D． π
二、细心填一填（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，请把答案填在答題卷相应题号的
横线上）
11．（3.00分）因式分解：3x3﹣12x= ．
12．（3.00分）一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是 ．
13．（3.00分）化简： ﹣ = ．
14．（3.00分）不等式组 的解集是 ．
15．（3.00分）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．
已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB= m时，矩形土地ABCD的面积
最大．
216．（3.00分）如图，△ABC是等边三角形，AB= ，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，
连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH= ．
三、解答题题（17题6分，18-19题各8分，请认真读题）
17．（6.00分）计算：2tan45°﹣| ﹣3|+（ ）﹣2﹣（4﹣π）0．
18．（8.00分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D
作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 ．
19．（8.00分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相
同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直
行的概率．
四、解答题（每题8分，请认真读题）
20．（8.00分）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部
分九年级学生进行调查（每名学生必只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅
不完整的统计图．
3据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 名学生，m的值是 ．
（2）请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多
少名学生对数学感兴趣．
21．（8.00分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，
3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
五、解答题（本题10）
22．（10.00分）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE
延长线于点．
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
六、解答题（本题10分）
23．（10.00分）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直
4线l 经过点F和点E，直线l 与直线l 、y= x相交于点P．
1 1 2
（1）求直线l 的表达式和点P的坐标；
1
（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x
轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形
ABCD以每秒 个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞
0）．
①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l 或l 上，请直接写
1 2
出此时t的值；
②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l 于点N，交直线l 于点M．当△PMN的面积
1 2
等于18时，请直接写出此时t的值．
七、解答题（本题12分）
24．（12.00分）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N
在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交
射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．
（1）如图，当∠ACB=90°时
①求证：△BCM≌△ACN；
②求∠BDE的度数；
（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是 （用含α的代数式表示）
（3）若△ABC是等边三角形，AB=3 ，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点
F，请直接写出线段CF的长．
5八、解答题（本题12分）
25．（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣
1
1，﹣1），抛物线C：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C 交于点N，与抛物线C 交于点M．
2 1 2
（1）求抛物线C 的表达式；
1
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线C 与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C 上，连接AM交
1 2
y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写
出点Q的坐标．
6参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题2分，共20分）
1．（2.00分）下列各数中是有理数的是（ ）
A．π B．0 C． D．
【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案．
【解答】解：A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；
B、0是有理数，故本选项正确；
C、 是无理数，故本选项错误；
D、 无理数，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了有理数，有限小数或无限循环小数是有理数．
2．（2.00分）辽宁男蓝夺冠后，从4月21日至24日各类媒体体关于“辽篮CBA夺冠”的相
关文章达到81000篇，将数据81000用科学记数法表示为（ ）
A．0.81×104B．0.81×106C．8.1×104 D．8.1×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将81000用科学记数法表示为：8.1×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2.00分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
7A． B． C． D．
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则
可．
【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，视图中每一个闭合的线
框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
4．（2.00分）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A
的坐标是（ ）
A．（4，1）B．（﹣1，4）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣1，﹣4）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．
【解答】解：∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，
∴点A的坐标是：（4，1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
5．（2.00分）下列运算错误的是（ ）
A．（m2）3=m6B．a10÷a9=a C．x3•x5=x8 D．a4+a3=a7
【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法
则化简求出即可．
【解答】解：A、（m2）3=m6，正确；
B、a10÷a9=a，正确；
C、x3•x5=x8，正确；
D、a4+a3=a4+a3，错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法
8运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
6．（2.00分）如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数是（ ）
A．60° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据平行线的性质比较多定义求解即可；
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠EFH，
∵EF∥GH，
∴∠2=∠EFH，
∴∠2=∠1=60°，
∴∠2的补角为120°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质、补角和余角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
中考常考题型．
7．（2.00分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．明天一定会下雨
【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
【解答】解：A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项错误；
B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；
C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；
D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误；
故选：B．
9【点评】考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必
然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．（2.00分）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围
是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，
b＞0时图象在一、二、四象限．
9．（2.00分）点A（﹣3，2）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．﹣1 D．6
【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，此题得解．
【解答】解：∵A（﹣3，2）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
∴k=（﹣3）×2=﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满
足该函数的解析式．
10．（2.00分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2 ，则 的长是（ ）
10A．π B． π C．2π D． π
【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴ = = = ，
∴∠AOB= ×360°=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2 ）2，
解得：AO=2，
∴ 的长为 =π，
故选：A．
【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关
键．
二、细心填一填（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，请把答案填在答題卷相应题号的
横线上）
11．（3.00分）因式分解：3x3﹣12x= 3 x （ x + 2 ）（ x﹣ 2 ） ．
【分析】首先提公因式3x，然后利用平方差公式即可分解．
【解答】解：3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2）
故答案是：3x（x+2）（x﹣2）．
11【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因
式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．（3.00分）一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是 4 ．
【分析】根据众数的定义求解可得．
【解答】解：在这组数据中4出现次数最多，有3次，
所以这组数据的众数为4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那
个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
13．（3.00分）化简： ﹣ = ．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式= ﹣ = = ，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3.00分）不等式组 的解集是 ﹣ 2 ≤ x ＜ 2 ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求不等式组的公共解．
【解答】解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，
解不等式3x+6≥0，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
故答案为：﹣2≤x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小
中间找，大大小小解不了．
15．（3.00分）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．
已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB= 15 0 m时，矩形土地ABCD的面积
最大．
12【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积；即可解答本题．
【解答】解：（1）设AB=xm，则BC= （900﹣3x），
由题意可得，S=AB×BC=x× （900﹣3x）=﹣ （x2﹣300x）=﹣ （x﹣150）2+33750
∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，
∴AB=150m，
故答案为：150．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利
用二次函数的顶点式求函数的最值．
16．（3.00分）如图，△ABC是等边三角形，AB= ，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，
连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH= ．
【分析】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再
证明∠ABH=∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中利
用含30度的直角三角形三边的关系得到HE= AH，AE= AH，则CH= AH，于是在Rt△AHC
中利用勾股定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，AE=CH= ，BH=1，接下来在Rt△BFH
中计算出HF= ，BF= ，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到 =2，从而利用比例性
质可得到DH的长．
13【解答】解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，
∴∠ABH=∠CAH，
在△ABE和△CAH中
，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE=AH，AE=CH，
在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，
∴sin∠AHE= ，HE= AH，
∴AE=AH•sin60°= AH，
∴CH= AH，
在Rt△AHC中，AH2+（ AH）2=AC2=（ ）2，解得AH=2，
∴BE=2，HE=1，AE=CH= ，
∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，
在Rt△BFH中，HF= BH= ，BF= ，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴ = = =2，
∴DH= HF= × = ．
故答案为 ．
14【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中
已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方
法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性
质．
三、解答题题（17题6分，18-19题各8分，请认真读题）
17．（6.00分）计算：2tan45°﹣| ﹣3|+（ ）﹣2﹣（4﹣π）0．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的
性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2×1﹣（3﹣ ）+4﹣1
=2﹣3+ +4﹣1
=2+ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（8.00分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D
作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 4 ．
【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为
90度即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
15∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面积为： AC•BD= ×4×2=4．
故答案是：4．
【点评】考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平
行四边形，然后证明有一内角为直角．
19．（8.00分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相
同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直
行的概率．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根
据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，
所以两人之中至少有一人直行的概率为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再
16从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
四、解答题（每题8分，请认真读题）
20．（8.00分）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部
分九年级学生进行调查（每名学生必只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅
不完整的统计图．
据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 5 0 名学生，m的值是 1 8 ．
（2）请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 10 8 度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多
少名学生对数学感兴趣．
【分析】（1）根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得m
的值；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统
计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得“数学”所对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
【解答】解：（1）在这次调查中一共抽取了：10÷20%=50（名）学生，
m%=9÷50×100%=18%，
故答案为：50，18；
（2）选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3=15（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°× =108°，
17故答案为：108；
（4）1000× =300（名），
答：该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
21．（8.00分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，
3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于
x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x=0.05=5%，x=1.95（不合题意，舍去）．
1 2
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元
二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
五、解答题（本题10）
1822．（10.00分）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE
延长线于点．
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵ ，∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ ，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
19∴OA= OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE=2，
∴r= ，
解得：r=2，
∴⊙O的半径为2．
【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．
六、解答题（本题10分）
23．（10.00分）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直
线l 经过点F和点E，直线l 与直线l 、y= x相交于点P．
1 1 2
（1）求直线l 的表达式和点P的坐标；
1
（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x
轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形
ABCD以每秒 个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞
0）．
①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l 或l 上，请直接写
1 2
出此时t的值；
②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l 于点N，交直线l 于点M．当△PMN的面积
1 2
等于18时，请直接写出此时t的值．
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；
（2）①分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l 上或在直线l 上时的情况，利用
2 1
AD、AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；
②设点A坐标，表示△PMN即可．
20【解答】解：（1）设直线l 的表达式为y=kx+b
1
∵直线l 过点F（0，10），E（20，0）
1
∴
解得
直线l 的表达式为y=﹣ x+10
1
求直线l 与直线l 交点，得
1 2
x=﹣ x+10
解得x=8
y= ×8=6
∴点P坐标为（8，6）
（2）①如图，当点D在直线上l 时
2
∵AD=9
∴点D与点A的横坐标之差为9
∴将直线l 与直线l 交解析式变为
1 2
x=20﹣2y，x= y
∴ y﹣（20﹣2y）=9
解得
y=
则点A的坐标为：（ ， ）
则AF=
21∵点A速度为每秒 个单位
∴t=
如图，当点B在l 直线上时
2
∵AB=6
∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位
∴直线l 的解析式减去直线l 的解析式得
1 2
﹣ x+10﹣ x=6
解得x=
则点A坐标为（ ， ）
则AF=
∵点A速度为每秒 个单位
∴t=
故t值为 或
②如图，
设直线AB交l 于点H
2
设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9
由①中方法可知：MN=
22此时点P到MN距离为：
a+9﹣8=a+1
∵△PMN的面积等于18
∴
解得
a= ，a=﹣ （舍去）
1 2
∴AF=6﹣
则此时t为
当t= 时，△PMN的面积等于18
【点评】本题是代数几何综合题，应用待定系数法和根据函数关系式来表示点坐标，涉及到了
分类讨论思想和数形结合思想．
七、解答题（本题12分）
24．（12.00分）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N
在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交
射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．
（1）如图，当∠ACB=90°时
①求证：△BCM≌△ACN；
②求∠BDE的度数；
（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是 α 或 180°﹣α （用含α的代数式表
示）
（3）若△ABC是等边三角形，AB=3 ，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点
F，请直接写出线段CF的长．
23【分析】（1）①根据SAS证明即可；
②想办法证明∠ADE+∠ADB=90°即可；
（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AN的延长线上时，②如图3中，当点E
在NA的延长线上时，
（3）分两种情形求解即可，①如图4中，当BN= BC= 时，作AK⊥BC于K．解直角三角形即
可．②如图5中，当CN= BC= 时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H．
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵CA=CB，BN=AM，
∴CB﹣BN=CA﹣AM
即CN=CM，
∵∠ACN=∠BCM
∴△BCM≌△ACN．
②解：如图1中，
∵△BCM≌△ACN，
24∴∠MBC=∠NAC，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AG∥BC，
∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠NAC，
∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD，
∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，
∴∠BDE=90°．
（2）解：如图2中，当点E在AN的延长线上时，
易证：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，
∴∠BDE=∠ACB=α．
如图3中，当点E在NA的延长线上时，
25易证：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC，
∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，
∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，
∴∠BDE=180°﹣α．
综上所述，∠BDE=α或180°﹣α．
故答案为α或180°﹣α．
（3）解：如图4中，当BN= BC= 时，作AK⊥BC于K．
∵AD∥BC，
∴ = = ，
∴AD= ，AC=3 ，易证△ADC是直角三角形，则四边形ADCK是矩形，△AKN≌△DCF，
26∴CF=NK=BK﹣BN= ﹣ = ．
如图5中，当CN= BC= 时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H．
∵AD∥BC，
∴ = =2，
∴AD=6 ，易证△ACD是直角三角形，
由△ACK∽△CDH，可得CH= AK= ，
由△AKN≌△DHF，可得KN=FH= ，
∴CF=CH﹣FH=4 ．
综上所述，CF的长为 或4 ．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关
键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属
于中考压轴题．
八、解答题（本题12分）
25．（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣
1
1，﹣1），抛物线C：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C 交于点N，与抛物线C 交于点M．
2 1 2
（1）求抛物线C 的表达式；
1
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
27（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线C 与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C 上，连接AM交
1 2
y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写
出点Q的坐标．
【分析】（1）应用待定系数法；
（2）把x=t带入函数关系式相减；
（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．
（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条
件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）
1
∴
解得：
∴抛物线C：解析式为y=x2+x﹣1
1
（2）∵动直线x=t与抛物线C 交于点N，与抛物线C 交于点M
1 2
∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1
∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2
（3）共分两种情况
①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）
∴AN=t﹣（﹣2）=t+2
∵MN=t2+2
∴t2+2=t+2
∴t=0（舍去），t=1
1 2
∴t=1
②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）
28∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，
∵MN=t2+2
∴t2+2=t+2
∴t=0，t=1（舍去）
1 2
∴t=0
故t的值为1或0
（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：
易得K（0，3），B、O、N三点共线
∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）
∴点K、P关于直线AN对称
设⊙K与y轴下方交点为Q，则其坐标为（0，2）
2
∴Q 与点P关于直线AN对称
2
∴Q 是满足条件∠KNQ=∠BNP．
2
则NQ 延长线与⊙K交点Q，Q、Q 关于KN的对称点Q、Q 也满足∠KNQ=∠BNP．
2 1 1 2 3 4
由图形易得Q（﹣3，3）
1
设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知QN=NQ=BN=2
3 1
由∵⊙K半径为1
∴
解得 ，1
29同理，设点Q 坐标为（a，b），由对称性可知QN=NQ=NO=
4 4 2
∴
解得
，
∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、（ ， ）、（ ， ）
【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数
形结合以及构造数学模型等数学思想．
30
