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2021 年辽宁省沈阳市中考数学真题
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1. 9的相反数是（ ）
A. B. C. 9 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
【详解】解：9的相反数是 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了相反数，解题的关键是掌握相反数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数）的
概念．
2. 下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用主视图的定义进行判断即可，即从几何体的正面观察得出视图．
【详解】解：从几何体的正面看，底层是四个小正方形，上层的左端是一个小正方形．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题的关键．画简单组合体的三视
图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
3. 据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次，将数据3270000用科学
记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，且 比原来
的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解： ．
故选： ．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定 与
的值是解题的关键．
4. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则进行判断即
可得出结论．
【详解】解： ． ，故本选项错误；
． ，故本选项正确；
． ，故本选项错误；
． ，故本选项错误；
故选： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则
的运用，关键是掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不
变．
5. 如图，直线a，b被直线c所截，若 ， ，则 的度数是（ ）A. 70° B. 100° C. 110° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件 ，可得 ，由平角的性质可得 代入计算即可得出
答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
6. 信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/ ），数据整理如下：15，17，23，
15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 众数是17 B. 众数是15 C. 中位数是17 D. 中位数是18
【答案】A
【解析】
【分析】根据中位数、众数的概念求解可得．
【详解】解：以上数据重新排列为：15，15，17，17，17，18，19，21，21，23，众数为17、中位数为 ，
故选： ．
【点睛】本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键．
7. 如图， 与 位似，位似中心是点O，若 ，则 与 的周长
比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似图形的概念得到 △ ， ，进而得出 △ ，根据
相似三角形的性质解答即可．
【详解】解： 与△ 位似，
△ ， ，
△ ，
，
与△ 的周长比为 ，
故选： ．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应
边平行是解题的关键．8. 一次函数 的图象不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的图像与性质解答即可.
【详解】∵-3<0，1>0，
∴图像经过一、二、四象限，不经过第三象限.
故选C.
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b
的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的
图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．
的
9. 下列说法正确 是（ ）
A. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数
B. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
C. 了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据， ， ，则甲组数据更稳定
【答案】C
【解析】
【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】解： ．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；
．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；
．了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；
．若平均数相同的甲、乙两组数据， ， ，则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合
题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，
稳定性越好．10. 如图， 是 的内接三角形， ， ，连接 ， ，则 的长是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点 作 于 ，根据垂径定理求出 ，根据圆周角定理求出 ，根据正弦的
定义求出 ，根据弧长公式计算求解．
【详解】解：过点 作 于 ，
则 ，
由圆周角定理得： ，
，，
，
故选： ．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）
11. 分解因式：ax2+2ax+a=____________．
【答案】a（x+1）2
【解析】
【详解】ax2+2ax+a
=a（x2+2x+1）
=a（x+1）2．
12. 不等式组 的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13. 化简： __________．
【答案】1
【解析】
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．
【详解】解：
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．
14. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A分
别作 轴于点M， 轴于点N．若四边形 的面积为12，则k的值是__________．
【答案】-12
【解析】【分析】根据反比例函数的比例系数 的几何意义得到 ，然后根据反比例函数的性质确定 的值．
【详解】解： 四边形 的面积为12，
，
反比例函数图象在二四象限，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数函数 的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向
轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．
15. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，
这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能
使每天所获销售利润最大．
【答案】11
【解析】
【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：设销售单价定为 元 ，每天所获利润为 元，
则
，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数
的性质解答．
16. 如图， 中， ， ， ．四边形 是正方形，点D是直线 上一点，且 ．P是线段 上一点，且 ．过点P作直线l于 平行，分别交 ， 于点
G，H，则 的长是__________．
【答案】 或 ．
【解析】
【分析】结合勾股定理逆定理判断 是直角三角形，通过证明 ， ，
然后利用相似三角形的性质求解，然后分当点 位于 点左侧时，当点 位于 点右侧时，进行分类讨论．
【详解】解： 中， ， ， ，
， ，
，
为直角三角形，
①当点 位于 点左侧时，如图：
设直线 交 于点 ，，
， ，
又 四边形 是正方形，且 ，
， ，
即 ，
解得： ，
， ，
，
，
，
解得： ，，
，
，
，
，
，
，
解得： ；
②当点 位于 点右侧时，如图：
与①同理，此时 ，
，
解得： ，综上， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出 ，特
别注意分类思想的运用是解题关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17. 计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向
右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的化简，掌
握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题关键．
18. 如图，在菱形 中，点M，N分别是边 ， 上的点， ， ．连接
， ，延长 交线段 延长线于点E．（1）求证： ；
（2）若 ，则 的长是__________．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质可得 ， ，根据 ，
，可得 ，利用 即可证明；
（2）根据菱形的性质可证明 ，根据相似的性质可求得 的长度，进而可求 ．
【详解】解：（1）证明： 四边形 为菱形，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，（2） 四边形 为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到
是关键．
19. 某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型
号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可
能性均相同．（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是__________．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ，
故答案为： ；
（2）列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为 ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与
总情况数之比．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20. 学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知
识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整
理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了__________名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是__________度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．
【答案】（1）80；（2）见解析；（3）36；（4）600名
【解析】
【分析】（1）根据 等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出 等级的人数，然后即可将条形统计图补充
完整；
（3）根据 等级的人数以及抽取的学生数计算出 等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）求出 等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．
【详解】解：（1） （名 ，
故答案为：80；
（2） 等级的学生为： （名 ，
补全条形图如下，（3） 等级所对应的扇形圆心角的度数为： ；
（4） （名 ，
答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为 等级．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，用样本估计总体，理解两个统计图中数量关系是解决问题的
关键．
21. 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增
加了多少行或多少列？
【答案】增加了3行3列．
【解析】
【分析】设增加了 行，则增加的列数为 ，用增加后的总人数 原队伍的总人数 列出方程求解即可．
【详解】解：设增加了 行，则增加的列数为 ，
根据题意，得： ，
整理，得： ，
解得 ， （舍 ，
答：增加了3行3列．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
五、解答题（本题10分）
22. 如图， 是 的直径， 与 交于点A，点E是半径 上一点（点E不与点O，A重合）．
连接 交 于点C，连接 ， ．若 ， ．（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ， ，则 的长是__________．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得
，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形的判定可得 ，再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可．
【详解】解：（1） 是 的直径，
，
．
又 ，
，
又 ，
，即 ，
是 的切线；
（2）由（1）可得 ，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得，
，
， ，
，
，
即 ，
解得 ．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三
角形的判定和性质是解决问题的前提．
六、解答题（本题10分）
23. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 经过点 ，与x轴交于点A，
与y轴交于点B．线段 平行于x轴，交直线 于点D，连接 ， ．（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；
（2）求证：四边形 是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线 以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q
同时从点D出发，沿对角线 以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动
时间均为t秒．
①当 时， 的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形 为矩形时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1） ，5，0；（2）见解析；（3）①12；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）代入 点坐标即可得出 值确定直线的解析式，进而求出 点坐标即可；
（2）求出 点坐标，根据 ， ，即可证四边形 是平行四边形；
（3）①作 于 ，设出 点的坐标，根据勾股定理计算出 的长度，根据运动时间求出
的长度即可确定 的面积；
②根据对角线相等确定 的长度，再根据 、 的位置分情况计算出 值即可．
【详解】解：（1） 直线 经过点 ，，
解得 ，
即直线的解析式为 ，
当 时， ，
，
（2） 线段 平行于 轴，
点的纵坐标与 点一样，
又 点在直线 上，
当 时， ，
即 ，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（3）①作 于 ，点在直线 上，
设 点的坐标为 ，
， ，
由勾股定理，得 ，
即 ，
整理得 或8（舍去），
，
，
当 时， ，
，
② ，
当 时， ，
当 时， ，
当点 ， 运动至四边形 为矩形时， ，
，
当 时， ，
解得 ，当 时， ，
解得 ，
综上，当点 ， 运动至四边形 为矩形时 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质
是解题的关键．
七、解答题（本题12分）
24. 在 中， ， 中， （ ）， ， ，
，点B，C，E不共线，点P为直线 上一点，且 ．
的
（1）如图1，点D在线段 延长线上，则 ________， ________，（用含 代数式
表示）；
（2）如图2，点A，E在直线 同侧，求证： 平分 ；（3）若 ， ，将图3中的 绕点C按顺时针方向旋转，当 时，
直线 交 于点G，点M是 中点，请直接写出 的长．
【答案】（1） ， ；（2）见解析；（3） 的长为 或 ．
【解析】
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
（2）如图2中，连接 ．证明 ，可得结论．
（3）分两种情形：如图 中，设 交 于 ．图 中，设 交 于 ，当 时，
利用三角形的中位线定理，可得 ，求出 ，可得结论．
【
详解】（1）解：如图1中，
，，
，
，
，
，
，
，
，
（2）证明：如图2中，连接 ．
， ，
， ，
，
，
，
平分 ．
（3）解：如图 中，设 交 于 ．， ，
是等腰直角三角形，
， ，
垂直平分线段 ，
，
，
，
，
， 是等边三角形，
，
，
，
，
， ，
，，
，
．
如图 中，设 交 于 ，当 时，同法可证 ．
， ，
，
，
， ，
，
，
，，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角
形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是
利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
八、解答题（本题12分）
25. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，拋物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左侧），点B坐标是 ．拋物线与y轴交于点 ，点P是拋物线的顶点，连接 ．
（1）求拋物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线 与拋物线对称轴交于点D，点Q为直线 上一动点．
①当 的面积等于 面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于 ，直线 交直线l于点F，
点G在直线 上，且 时，请直接写出 的长．【答案】（1） ，顶点坐标为（1，4）；（2）（2，1）或 ；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）将 和 代入 利用系数法求函数解析式，然后将一般式化为顶点式
求顶点坐标；
（2）①求出 的面积，设 利用 求得；
②利用 列出方程，求出 点的坐标，根据联立直线 和 的关系式，求出 的坐标，从而
求得 ．
【详解】解（1）由题意得， ，
，
，
．
（2）①如图1，
作 于 ，
， ，
直线 ，
，可设 ，，
，
，
或 ．
或 ．
②如图2，
设 ，
由 得， ，
化简，得 ，
， ，
， ， ，作 于 ，
，
，
，
即： ，
，
， ，
设直线 是： ，
，解得
，
由 ，解得
，
，
，
综上， 的长为 或 ．【点睛】本题考查了二次函数，一次函数图象和性质及相似三角形等知识，解决问题的关键将点的坐标化
成长度，转化成图形的相似等知识．
