文档内容
2015 年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分，只有一个答案是正确的）
1．（3分）（2015•沈阳）比0大的数是（ ）
A．﹣2 B． C．﹣0.5 D．1
﹣
2．（3分）（2015•沈阳）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体
的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2015•沈阳）下列事件为必然事件的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．明天一定会下雨
C．抛出的篮球会下落
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
4．（3分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上
一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
5．（3分）（2015•沈阳）下列计算结果正确的是（ ）
A．a4•a2=a8 B．（a5）2=a7 C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（ab）2=a2b2
6．（3分）（2015•沈阳）一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（ ）
A．3.5，5 B．4，4 C．4，5 D．4.5，47．（3分）（2015•沈阳）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边
形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
8．（3分）（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）（2 a≠0）的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（每小题4分，共32分）
9．（4分）（2015•沈阳）分解因式：ma2﹣mb2= ．
10．（4分）（2015•沈阳）不等式组 的解集是 ．
11．（4分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以
3cm为半径作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切．
12．（4分）（2015•沈阳）某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数
为602cm，若甲跳远成绩的方差为S 2=65.84，乙跳远成绩的方差为S
甲 乙
2=285.21，则成绩比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
13．（4分）（2015•沈阳）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球，每个
球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为 ，那么袋中的黑球有
个．
14．（4分）（2015•沈阳）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC
的面积等于△DEF面积的 ，则AB：DE= ．15．（4分）（2015•沈阳）如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部
分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的
高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要
s能把小水杯注满．
16．（4分）（2015•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形
BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为 ，
则AK= ．
三.解答题
17．（8分）（2015•沈阳）计算： +| ﹣2|﹣（ ）﹣2+（tan60°﹣1）0．18．（8分）（2015•沈阳）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC
分别与AD相交于点F、G．求证：
（1）△EAB≌△EDC；
（2）∠EFG=∠EGF．
19．（10分）（2015•沈阳）我国是世界上严重缺失的国家之一，全国总用水量逐年
上升，全国总用水量可分为农业用水量、工业用水量和生活用水量三部分．为了
合理利用水资源，我国连续多年对水资源的利用情况进行跟踪调查，将所得数据
进行处理，绘制了2008年全国总用水量分布情况扇形统计图和2004﹣2008年全
国生活用水量折线统计图的一部分如下：
（1）2007年全国生活用水量比2004年增加了16%，则2004年全国生活用水量为
亿m3，2008年全国生活用水量比2004年增加了20%，则2008年全国生活用水量
为 亿m3；
（2）根据以上信息，请直接在答题卡上补全折线统计图；
（3）根据以上信息2008年全国总水量为 亿；
（4）我国2008年水资源总量约为2.75×104亿m3，根据国外的经验，一个国家当年
的全国总用水量超过这个国家年水资源总量的20%，就有可能发生“水危机”．
依据这个标准，2008年我国是否属于可能发生“水危机”的行列？并说明理由．20．（10分）（2015•沈阳）高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平
均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km，高速铁路列车比普通
铁路列车少运行了4.6h，求高速铁路列车的平均速度．
21．（10分）（2015•沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．
（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2 ，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）
22．（10分）（2015•沈阳）如图，已知一次函数y= x﹣3与反比例函数y= 的图象
相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）填空：n的值为 ，k的值为 ；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D
的坐标；
（3）考察反比函数y= 的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．23．（12分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是
坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，
∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过
点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设
点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；
（3）当m=35时，请直接写出t的值；
（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接
写出满足条件的点M的坐标．24．（12分）（2015•沈阳）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边
AB上的一点，点F是边CD上一点，将 ▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，
点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．
（1）当点H与点C重合时．
①填空：点E到CD的距离是 ；
②求证：△BCE≌△GCF；
③求△CEF的面积；
（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接
写出△MEF的面积．
25．（14分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2﹣ x+2与x
轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（
， ），点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为
（ ， ）；
（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；
②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接
写出线段EF的长；
③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动
点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．
2015 年辽宁省沈阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共24分，只有一个答案是正确的）
1．（3分）（2015•沈阳）比0大的数是（ ）
A．﹣2 B． C．﹣0.5 D．1
﹣
考点： 有理数大小比较．菁优网版权所有
分析： 正实数都大于0，负实数都小于0，据此判断即可．
解答： 解：A、B、C都是负数，故A、B、C错误；
D、1是正数，故D正确；
故选D．
点评： 本题考查了有理数比较大小，正数大于0是解题关键．2．（3分）（2015•沈阳）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体
的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析： 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视
图中．
解答： 解：从左面看易得第一层有4个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选A．
点评： 本题考查了三视图的知识．注意左视图是指从物体的左边看物体．
3．（3分）（2015•沈阳）下列事件为必然事件的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．明天一定会下雨
C．抛出的篮球会下落
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
考点：随机事件．菁优网版权所有
分析：根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、经过某一有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，故本选项错
误；
B、明天可能是晴天，也可能是雨天，属于不确定性事件中的可能性事件，
故本选项错误；
C、在操场上抛出的篮球会下落，是必然事件，故本选项正确；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数为不确定事件，即随机事件，故本选项错误；
故选：C．
点评：本题考查的是事件的分类，即事件分为确定事件和不确定事件（随机事
件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，熟知以上知识是解答此题的
关键．
4．（3分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上
一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
考点：平行线的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
分析：先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A
的度数即可．
解答：解：∵DE∥BC，∠AED=40°，
∴∠C=∠AED=60°，
∵∠B=40°，
∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°．
点评：本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求
出∠C的度数是解答此题的关键．
5．（3分）（2015•沈阳）下列计算结果正确的是（ ）
A．a4•a2=a8 B．（a5）2=a7 C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（ab）2=a2b2
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式．菁优网版权所有
分析：运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式运算即可．
解答：解：A．a4•a2=a6，故A错误；
B．（a5）2=a10，故B错误；C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误；
D．（ab）2=a2b2，故D正确，
故选D．
点评：本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指
数的变化是解题的关键．
6．（3分）（2015•沈阳）一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（ ）
A．3.5，5 B．4，4 C．4，5 D．4.5，4
考点：众数；中位数．菁优网版权所有
分析：先把数据按大小排列，然后根据中位数和众数的定义可得到答案．
解答：解：数据按从小到大排列：2、3、4、4、5、5、5，
中位数是4；
数据5出现3次，次数最多，所以众数是5．
故选C．
点评：本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后
再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字
即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出
现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
7．（3分）（2015•沈阳）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边
形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
考点：中点四边形．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四
边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱
形即可得证．
解答：解：菱形，理由为：
如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF= AC，
同理HG∥AC，HG= AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵EH= BD，AC=BD，
∴EF=EH，
则四边形EFGH为菱形，
故选B
点评：此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形
中位线定理是解本题的关键．
8．（3分）（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）（2 a≠0）的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
考点：二次函数的图象．菁优网版权所有
分析：根据二次函数y=a（x﹣h）（2 a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x
轴上，即可解答．
解答：解：二次函数y=a（x﹣h）（2 a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴
上，
故选：D．
点评：本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．二.填空题（每小题4分，共32分）
9．（4分）（2015•沈阳）分解因式：ma2﹣mb2= m （ a+ b ）（ a﹣ b ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
分析：应先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：ma2﹣mb2，
=m（a2﹣b2），
=m（a+b）（a﹣b）．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利
用平方差公式进行因式分解．
10．（4分）（2015•沈阳）不等式组 的解集是 ﹣ 2≤ x ＜ 3 ．
考点：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解答：
解： ，
由①得：x＜3，
由②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
故答案为：﹣2≤x＜3
点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（4分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以
3cm为半径作⊙A，当AB= 6 cm时，BC与⊙A相切．考点：切线的判定．菁优网版权所有
分析：当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
解答：解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD= AB，即AB=2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
点评：本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角
形的性质得到AB的长度的．
12．（4分）（2015•沈阳）某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数
为602cm，若甲跳远成绩的方差为S 2=65.84，乙跳远成绩的方差为S
甲 乙
2=285.21，则成绩比较稳定的是 甲 ．（填“甲”或“乙”）
考点：方差．菁优网版权所有
分析：根据方差的意义进行判断．
解答：解：∵S 2=65.84，S 2=285.21，
甲 乙
∴S 2＜S 2，
甲 乙
∴甲的成绩比乙稳定．
故答案为甲．
点评：本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，
则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散
程度越小，稳定性越好．13．（4分）（2015•沈阳）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球，每个
球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为 ，那么袋中的黑球有 4
个．
考点：概率公式．菁优网版权所有
分析：
首先设袋中的黑球有x个，根据题意得： = ，解此分式方程即可求得
答案．
解答：解：设袋中的黑球有x个，
根据题意得： = ，
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解．
即袋中的黑球有4个．
故答案为：4．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
14．（4分）（2015•沈阳）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC
的面积等于△DEF面积的 ，则AB：DE= 2 ： 3 ．
考点：位似变换．菁优网版权所有
分析：由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性
质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积= ，得到AB：
DE═2：3．
解答：解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=（ ）2= ，
∴AB：DE=2：3，
故答案为：2：3．
点评：此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等
于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
15．（4分）（2015•沈阳）如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部
分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的
高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要 5
s能把小水杯注满．
考点：一次函数的应用．菁优网版权所有
分析：一次函数的首先设解析式为：y=kx+b，然后利用待定系数法即可求得其解
析式，再由y=11，即可求得答案．
解答：解：设一次函数的首先设解析式为：y=kx+b，
将（0，1），（2，5）代入得：
，
解得： ，
∴解析式为：y=2x+1，
当y=11时，2x+1=11，
解得：x=5，
∴至少需要5s能把小水杯注满．
故答案为：5．点评：此题考查了一次函数的实际应用问题．注意求得一次函数的解析式是关
键．
16．（4分）（2015•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形
BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为 ，
则AK= 2 ﹣3 ．
考点：旋转的性质．菁优网版权所有
分析：连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的
性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明
Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH= ∠ABE=30°，AH=EH，由三角
函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．
解答：解：连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH= ∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=AB•tan∠ABH= × =1，
∴EH=1，
∴FH= ﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，
∴KH=2FH=2（ ﹣1），
∴AK=KH﹣AH=2（ ﹣1）﹣1=2 ﹣3；
故答案为：2 ﹣3．
点评：本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角
函数；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，并能进行推理计算是解决问
题的关键．
三.解答题
17．（8分）（2015•沈阳）计算： +| ﹣2|﹣（ ）﹣2+（tan60°﹣1）0．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权
所有
分析：先算立方根，绝对值，负整数指数幂和0指数幂，再算加减，由此顺序计算
即可．
解答：解：原式=3+ ﹣2﹣9+1
= ﹣7．
点评：此题考查实数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
18．（8分）（2015•沈阳）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC
分别与AD相交于点F、G．求证：
（1）△EAB≌△ EDC；
（2）∠EFG=∠EGF．考点：全等三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：（1）先由四边形ABCD是矩形，得出AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．由
EA=ED，得出∠EAD=∠EDA，根据等式的性质得到∠EAB=∠EDC．然后利
用SAS即可证明△EAB≌△EDC；
（2）由△EAB≌△EDC，得出∠AEF=∠DEG，根据三角形外角的性质得出
∠EFG=∠EAF+∠AEF，∠EGF=∠EDG+∠DEG，即可证明∠EFG=∠EGF．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠EAB=∠EDC．
在△EAB与△EDC中，
，
∴△EAB≌△EDC（SAS）；
（2）∵△EAB≌△EDC，
∴∠AEF=∠DEG，
∵∠EFG=∠EAF+∠AEF，∠EGF=∠EDG+∠DEG，
∴∠EFG=∠EGF．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三
角形外角的性质以及等式的性质，证明出△EAB≌△EDC是解题的关键．
19．（10分）（2015•沈阳）我国是世界上严重缺失的国家之一，全国总用水量逐年
上升，全国总用水量可分为农业用水量、工业用水量和生活用水量三部分．为了合理利用水资源，我国连续多年对水资源的利用情况进行跟踪调查，将所得数据
进行处理，绘制了2008年全国总用水量分布情况扇形统计图和2004﹣2008年全
国生活用水量折线统计图的一部分如下：
（1）2007年全国生活用水量比2004年增加了16%，则2004年全国生活用水量为
625 亿m3，2008年全国生活用水量比2004年增加了20%，则2008年全国生活
用水量为 75 0 亿m3；
（2）根据以上信息，请直接在答题卡上补全折线统计图；
（3）根据以上信息2008年全国总水量为 500 0 亿；
（4）我国2008年水资源总量约为2.75×104亿m3，根据国外的经验，一个国家当年
的全国总用水量超过这个国家年水资源总量的20%，就有可能发生“水危机”．
依据这个标准，2008年我国是否属于可能发生“水危机”的行列？并说明理由．
考点：折线统计图；扇形统计图．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：（1）设2004年全国生活用水量为x亿m3，利用增长率公式得到x•
（1+16%）=725，解得x=625，然后计算用（1+20%）乘以2004的全国生活用
水量得到2008年全国生活用水量；
（2）补全折线统计图即可；
（3）用2008年全国生活用水量除以2008年全国生活用水量所占的百分比
即可得到2008年全国总水量；
（4）通过计算得到2.75×104×20%=5500＞5000，根据题意可判断2008年我
国不属于可能发生“水危机”的行列．
解答：解：（1）设2004年全国生活用水量为x亿m3，根据题意得x•（1+16%）=725，解得x=625，
即2004年全国生活用水量为625亿m3，
则2008年全国生活用水量=625×（1+20%）=750（亿m3）；
（2）如图：
（3）2008年全国总水量=750÷15%=5000（亿）；
（4）不属于．理由如下：
2.75×104×20%=5500＞5000，
所以2008年我国不属于可能发生“水危机”的行列．
故答案为625，750，5000．
点评：本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量
的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降
来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够
清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．
20．（10分）（2015•沈阳）高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平
均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km，高速铁路列车比普通
铁路列车少运行了4.6h，求高速铁路列车的平均速度．
考点：分式方程的应用．菁优网版权所有
分析：设高速铁路列车的平均速度为xkm/h，根据高速铁路列车比普通铁路列车
少运行了4.6h列出分式方程，解分式方程即可，注意检验．
解答：解：设高速铁路列车的平均速度为xkm/h，
根据题意，得： ，去分母，得：690×3=690+4.6x，
解这个方程，得：x=300，
经检验，x=300是所列方程的解，
因此高速铁路列车的平均速度为300km/h．
点评：本题考查了分式方程的应用；根据时间关系列出分式方程时解决问题的关
键，注意解分式方程必须检验．
21．（10分）（2015•沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．
（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2 ，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）
考点：扇形面积的计算；圆内接四边形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
分析：（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据
∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC
得到∠OAC=∠OCA=30°；
（2）首先根据∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，从而得到∠COB为直角，
然后利用S =S ﹣S 求解．
阴影 扇形OBC △OEC
解答：解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°；（2）∵∠COB=3∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，
∴∠AOB=30°，
∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=2 ，
∴OE=OC•tan∠OCE=2 •tan30°=2 × =2，
∴S = OE•OC= ×2×2 =2 ，
△OEC
∴S = =3π，
扇形OBC
∴S =S ﹣S =3π﹣2 ．
阴影 扇形OBC △OEC
点评：本题考查了扇形面积的计算，院内接四边形的性质，解直角三角形的知
识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积
的和或差．
22．（10分）（2015•沈阳）如图，已知一次函数y= x﹣3与反比例函数y= 的图象
相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）填空：n的值为 3 ，k的值为 1 2 ；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D
的坐标；
（3）考察反比函数y= 的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．
考点：反比例函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）把点A（4，n）代入一次函数y= x﹣3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数y= ，得到k的值为8；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作
AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到
AB= ，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的
性质可得点D的坐标；
（3）根据反比函数的性质即可得到当y≥﹣2时，自变量x的取值范围．
解答：
解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y= x﹣3，可得n= ×4﹣3=3；
把点A（4，3）代入反比例函数y= ，可得3= ，
解得k=12．
（2）∵一次函数y= x﹣3与x轴相交于点B，
∴ x﹣3=0，
解得x=2，
∴点B的坐标为（2，0），
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵A（4，3），B（2，0），
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，
在Rt△ABE中，
AB= = = ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC= ，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE与△DCF中，
，∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴OF=OB+BC+CF=2+ +2=4+ ，
∴点D的坐标为（4+ ，3）．
（3）当y=﹣2时，﹣2= ，解得x=﹣6．
故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0．
故答案为：3，12．
点评：本题考查了反比例函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，菱形的
性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，
综合性较强，有一定的难度．
23．（12分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是
坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，
∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过
点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设
点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；
（3）当m=35时，请直接写出t的值；
（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接
写出满足条件的点M的坐标．考点：一次函数综合题．菁优网版权所有
分析：（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理结合B点坐标得出A，C点坐
标；
（2）利用锐角三角函数关系结合（1）中所求得出PR，QP的长，进而求出即
可；
（3）利用（2）中所求，利用当0＜t＜30时，当30≤t≤60时，分别利用m与t
的关系式求出即可；
（4）利用相似三角形的性质，得出M点坐标即可．
解答：解：（1）如图1，过点A作AD⊥OB，垂足为D，过点C作CE⊥OB，垂足为
E，
∵OA=AB，
∴OD=DB= OB，
∵∠OAB=90°，
∴AD= OB，
∵点B的坐标为：（60，0），
∴OB=60，
∴OD= OB= ×60=30，
∴点A的坐标为：（30，30），
∵直线l平行于y轴且当t=40时，直线l恰好过点C，
∴OE=40，
在Rt△OCE中，OC=50，
由勾股定理得：
CE= = =30，
∴点C的坐标为：（40，﹣30）；（2）如图2，∵∠OAB=90°，OA=AB，
∴∠AOB=45°，
∵直线l平行于y轴，
∴∠OPQ=90°，
∴∠OQP=45°，
∴OP=QP，
∵点P的横坐标为t，
∴OP=QP=t，
在Rt△OCE中，
OE=40，CE=30，
∴tan∠EOC= ，
∴tan∠POR= = ，
∴PR=OP•tan∠POR= t，
∴QR=QP+PR=t+ t= t，
∴当0＜t＜30时，m关于t的函数关系式为：m= t；
（3）由（2）得：当0＜t＜30时，m=35= t，解得：t=20；
如图3，当30≤t≤60时，∵OP=t，则BP=QP=60﹣t，
∵PR∥CE，
∴△BPR∽△BEC，
∴ = ，
∴ = ，
解得：PR=90﹣ t，
则m=60﹣t+90﹣ t=35，
解得：t=46，综上所述：t的值为20或46；
（4）如图4，当∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周长为60时，此时t=40，直
线l恰好经过点C，
则∠MBP=∠COP，
故此时△BMP∽△OCP，
则 = ，
即 = ，
解得：x=15，
故M （40，15），同理可得：M （40，﹣15），
1 2
综上所述：符合题意的点的坐标为：M （40，15），M （40，﹣15）．
1 2点评：此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理
等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
24．（12分）（2015•沈阳）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边
AB上的一点，点F是边CD上一点，将 ▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，
点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．
（1）当点H与点C重合时．
①填空：点E到CD的距离是 2 ；
②求证：△BCE≌△GCF；
③求△CEF的面积；
（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接
写出△MEF的面积．
考点：四边形综合题．菁优网版权所有
分析：（1）①解直角三角形即可；
②根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠B=∠G，∠BCE=∠GCF，
BC=GC，然后根据AAS即可证明；③过E点作EP⊥BC于P，设BP=m，则
BE=2m，通过解直角三角形求得EP= m，然后根据折叠的性质和勾股定
理求得EC，进而根据三角形的面积就可求得；（2）过E点作EQ⊥BC于Q，通过解直角三角形求得EP= n，根据折叠的
性质和勾股定理求得EH，然后根据三角形相似对应边成比例求得MH，从
而求得CM，然后根据三角形面积公式即可求得．
解答：解：（1）如图1，①作CK⊥AB于K，
∵∠B=60°，
∴CK=BC•sin60°=4× =2 ，
∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，
∴点E到CD的距离是2 ，
故答案为2 ；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，
由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，
∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，
∴∠BCE=∠GCF，
在△BCE和△GCF中，
，
∴△BCE≌△GCF（AAS）；
③过E点作EP⊥BC于P，
∵∠B=60°，∠EPB=90°，
∴∠BEP=30°，
∴BE=2BP，
设BP=m，则BE=2m，
∴EP=BE•sin60°=2m× = m，
由折叠可知，AE=CE，
∵AB=6，
∴AE=CE=6﹣2m，
∵BC=4，
∴PC=4﹣m，在RT△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（ m）2=（6﹣2m）2，解得m= ，
∴EC=6﹣2m=6﹣2× = ，
∵△BCE≌△GCF，
∴CF=EC= ，
∴S = × ×2 = ；
△CEF
（2）①当H在BC的延长线上时，如图2，过E点作EQ⊥BC于Q，
∵∠B=60°，∠EQB=90°，
∴∠BEQ=30°，
∴BE=2BQ，
设BQ=n，则BE=2n，
∴QE=BE•sin60°=2n× = n，
由折叠可知，AE=HE，
∵AB=6，
∴AE=HE=6﹣2n，
∵BC=4，CH=1，
∴BH=5，
∴QH=5﹣n，
在RT△EHQ中，由勾股定理得（5﹣n）2+（ n）2=（6﹣2n）2，解得n= ，
∴AE=HE=6﹣2n= ，
∵AB∥CD，
∴△CMH∽△BEH，
∴ = ，即 = ，
∴MH= ，
∴EM= ﹣ =
∴S = × ×2 = ．
△EMF②如图3，当H在BC的延长线上时，过E点作EQ⊥BC于Q，
∵∠B=60°，∠EQB=90°，
∴∠BEQ=30°，
∴BE=2BQ，
设BQ=n，则BE=2n，
∴QE=BE•sin60°=2n× = n，
由折叠可知，AE=HE，
∵AB=6，
∴AE=HE=6﹣2n，
∵BC=4，CH=1，
∴BH=3
∴QH=3﹣n
在RT△EHQ中，由勾股定理得（3﹣n）2+（ n）2=（6﹣2n）2，解得n=
∴BE=2n=3，AE=HE=6﹣2n=3，
∴BE=BH，
∴∠B=60°，
∴△BHE是等边三角形，
∴∠BEH=60°，
∵∠AEF=∠HEF，
∴∠FEH=∠AEF=60°，
∴EF∥BC，
∴DF=CF=3，
∵AB∥CD，
∴△CMH∽△BEH，
∴ = ，即 = ，
∴CM=1
∴EM=CF+CM=4
∴S = ×4×2 =4 ．
△EMF
综上，△MEF的面积为 或4 ．点评：本题是四边形综合题，考查了解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性
质勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形面积等，熟练掌握性
质定理是解题的关键．
25．（14分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2﹣ x+2与x
轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．
（1）填空：点A的坐标为（ 0 ， 2 ），点B的坐标为（ ﹣ 3 ， 0 ），点C
的坐标为（ 1 ， 0 ），点D的坐标为（ ﹣ 1 ， ）；
（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；
②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接
写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动
点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．
考点：二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）令x=0，求得A（0，2），令y=0，求得B（﹣3，0），C（1，0），由y=﹣ x2﹣
x+2转化成顶点式可知D（﹣1， ）；
（2）①设P（n，0），则E（n，﹣ n2﹣ n+2），根据已知条件得出﹣ n2﹣
n+2=1﹣n，解方程即可求得E的坐标；
②根据直线ED和EA的斜率可知直线与坐标轴的交角相等，从而求得与
坐标轴构成的三角形是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得EF
的长；
③根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O
重合时，周长最小，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，
连接EF交AB于Q，交AC于R，此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，然
后求得E、F的坐标，根据勾股定理即可求得．
解答：解：（1）令x=0，则y=2，
∴A（0，2），
令y=0，则﹣ x2﹣ x+2=0，解得x =﹣3，x =1（舍去），
1 2
∴B（﹣3，0），C（1，0），
由y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ （x+1）2+ 可知D（﹣1， ），
故答案为0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、 ；
（2）①设P（n，0），则E（n，﹣ n2﹣ n+2），∵PE=PC，
∴﹣ n2﹣ n+2=1﹣n，解得n =﹣ ，n =1（舍去），
1 2
∴当n=﹣ 时，1﹣n= ，
∴E（﹣ ， ），
②如图1，设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于
K，
根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为 ，根据E、A的坐标求得直线EA
的斜率为﹣ ，
∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰
三角形，
∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，
根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐标轴的距离，
∴EF= 或 ；
（3）根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与
O重合时，周长最小，
如图2，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交
AB于Q，交AC于R，
此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，
∵A（0，2），B（﹣3，0），C（1，0），
∴AB= = ，AC= = ，
∵S = × OE×AB= OA•OB，
△AOB
∴OE= ，∵△OEM∽△ABO，
∴ = = ，即 = = ，
∴OM= ，EM=
∴E（﹣ ， ），
同理求得F（ ， ），
即△PQR周长的最小值为EF= = ．
点评：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，角平分线的性质，等
腰三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题，（3）根据对称
的性质确定出三角形周长最小时满足的图形，找出点P关于直线AB的对
称点E，关于AC的对称点F，再根据两点之间线段最短得到BEF即为
PQ+QR+PR的最小值是解题的关键．
