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2017 年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个正确的，每小题3分，共30分.）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．±5 C． D．5
2．（3分）下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是（ ）
A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2xy）2=﹣4x2y2 B．x6÷x3=x2
C．（x﹣y）2=x2﹣y2 D．2x+3x=5x
4．（3分）为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了30户家庭的月用水量，
结果如下表：
月用水量/m3 4 5 6 8 9 10
户数 6 7 9 5 2 1
则这30户家庭的月用水量的众数和中位数分别是（ ）
A．6，6 B．9，6 C．9，6 D．6，7
5．（3分）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成
立的是（ ）
A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D． ＜0
6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶
点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2=115°，则∠1的
度数是（ ）
A．75° B．85° C．60° D．65°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作
Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ）
第1页（共39页）A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC
C．∠DEC=30° D．AB= CD
8．（3分）如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数y= 的
图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函
数解析式为（ ）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
9．（3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P
是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（3分）如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两
点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长
度的速度运动．它与 x 轴和 y 轴分别相交于 C，D 两点，运动时间为 t 秒
（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．
若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大
第2页（共39页）致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上）
11．（3分）随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预
计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元，将29150000000
用科学记数法表示为 ．
12．（3分）函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，
形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球
的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是 个．
14．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是 ．
15．（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置
AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为 ．
第3页（共39页）16．（3分）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计
划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列
方程为 ．
17．（3分）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，
使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为 ．
18．（3分）如图，点A（1， ）在直线l ：y= x上，过点A 作A B ⊥l 交直线l ：y=
1 1 1 1 1 1 2
x于点B ，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形 A B C ，再过点C 作
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A B ⊥l ，分别交直线l 和l 于A ，B 两点，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三
2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2
角形A B C ，…按此规律进行下去，则第n个等边三角形A B C 的面积为
2 2 2 n n n
．（用含n的代数式表示）
三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分.）
19．（10分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷（1﹣ ），其中x=（ ）﹣1
﹣（2017﹣ ）0，y= sin60°．
第4页（共39页）20．（10分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不
同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，
再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称
图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说
明理由（纸牌用A、B、C、D表示）．
四、解答题（21题12分，22小题12分，共24分）
21．（12分）某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校
随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图 1和图2
两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）这四个班参与大赛的学生共 人；
（2）请你补全两幅统计图；
第5页（共39页）（3）求图1中甲班所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若四个班级的学生总数是160人，全校共2000人，请你估计全校的学生中参
与这次活动的大约有多少人．
22．（12分）如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A
处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船
的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近
距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
第6页（共39页）五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
23．（12分）如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是 的中点，过点C作CD垂
直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD= ，BF=15，求AC的长．
24．（12分）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内
（含10天）完成任务．为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就
生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等
原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调
平均每台成本就增加20元．
（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x
的取值范围．
（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台
2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪
一天获得的利润最大，最大利润是多少．
第7页（共39页）六、解答题（本题满分14分）
25．（14分）在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，
且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形．
①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系 ；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数
量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺
时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并
直接写出AE'与DF'的数量关系．
第8页（共39页）七、解答题（本题满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P
作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，
是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？
若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】
第9页（共39页）2017 年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个正确的，每小题3分，共30分.）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．±5 C． D．5
【考点】14：相反数．
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【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的
相反数是0．
2．（3分）下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是（ ）
A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱
【考点】U1：简单几何体的三视图．
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【分析】分别写出各个立体图形的三视图，判断即可．
【解答】解：A、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确
B、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形；故本选项错误；
C、圆柱的主视图、左视图是矩形、俯视图是圆，故本选项错误；
D、三棱柱的主视图、左视图是三角形、俯视图三角形，但大小不一定相同，故本选
项正确．
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从
物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2xy）2=﹣4x2y2 B．x6÷x3=x2
C．（x﹣y）2=x2﹣y2 D．2x+3x=5x
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全
第10页（共39页）平方公式．
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【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式和合并同类项的运算法则
分别进行计算即可得出答案．
【解答】解：A、（﹣2xy）2=4x2y2，故本选项错误；
B、x6÷x3=x3，故本选项错误；
C、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故本选项错误；
D、2x+3x=5x，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式和合并同类项，熟
练掌握运算法则是解题的关键，是一道基础题．
4．（3分）为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了30户家庭的月用水量，
结果如下表：
月用水量/m3 4 5 6 8 9 10
户数 6 7 9 5 2 1
则这30户家庭的月用水量的众数和中位数分别是（ ）
A．6，6 B．9，6 C．9，6 D．6，7
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可
以不止一个．
【解答】解：表中数据为从小到大排列，数据6出现了9次最多为众数，
在第15位、第16位都是6，其平均数6为中位数，所以本题这组数据的中位数是
6，众数是6．
故选：A．
【点评】本题主要考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据
叫做众数，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均
数）叫做中位数．
5．（3分）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成
立的是（ ）
第11页（共39页）A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D． ＜0
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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【分析】由于一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，由此可以确定a＜0，b
＞0，然后一一判断各选项即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴a+b不一定大于0，故A错误，
a﹣b＜0，故B错误，
ab＜0，故C错误，
＜0，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是学会根据函数图
象的位置，确定a、b的符号，属于中考常考题型．
6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶
点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2=115°，则∠1的
度数是（ ）
A．75° B．85° C．60° D．65°
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】先根据平行线的性质，得出∠3的度数，再根据三角形外角性质进行计算
即可．
【解答】解：如图所示，∵DE∥BC，
∴∠2=∠3=115°，
又∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1=∠3﹣∠A=115°﹣30°=85°，
故选：B．
第12页（共39页）【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：
两直线平行，同位角相等．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作
Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC
C．∠DEC=30° D．AB= CD
【考点】KH：等腰三角形的性质；KX：三角形中位线定理．
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【分析】由 AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出
∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和
定 理 求 出 ∠ ACD=45° ， 根 据 等 角 对 等 边 得 出 AD=DC ， 那 么
∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；
根据三角形的中位线定理得到 FE= AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出
∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形
的性质得到 FD= AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到 FE=FD，再求出
∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；
由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错
误；
在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC= CD，又AB=AC，等量代换得到AB=
CD，从而判断D正确．
第13页（共39页）【解答】解：∵AB=AC，∠CAB=45°，
∴∠B=∠ACB=67.5°．
∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，AD=DC，
∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，不符合题意；
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE= AB，FE∥AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．
∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，
∴FD= AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∵AB=AC，
∴FE=FD，
∴∠FDE=∠FED= （180°﹣∠EFD）= （180°﹣135°）=22.5°，
∴∠FDE= ∠FDC，
∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；
∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，
∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；
∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，
∴AC= CD，
∵AB=AC，
∴AB= CD，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形
的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（3分）如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数y= 的
图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函
第14页（共39页）数解析式为（ ）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L8：菱形的性质；Q3：坐标与图形变
化﹣平移．
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【分析】过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数
分别表示出C，以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点
的坐标特征得到方程组求解即可．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于D，
设菱形的边长为a，
在Rt△CDO中，OD=a•cos60°= a，CD=a•sin60°= a，
则C（﹣ a， a），
点A向下平移2个单位的点为（﹣ a﹣a， a﹣2），即（﹣ a， a﹣2），
则 ，
解得 ．
故反比例函数解析式为y=﹣ ．
故选：A．
第15页（共39页）【点评】本题考查的是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、坐
标与图形性质、菱形的性质、平移的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
9．（3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P
是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】KW：等腰直角三角形；PA：轴对称﹣最短路线问题．
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【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连
接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由DC=1，BC=4，得到BD=3，连接BC′，
由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即
可得到结论．
【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于
P，连接CP．
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵BD=3，DC=1
∴BC=4，
∴BD=3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=4，
第16页（共39页）根据勾股定理可得DC′= = =5．
故选：B．
【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD的
值最小是解题的关键．
10．（3分）如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两
点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长
度的速度运动．它与 x 轴和 y 轴分别相交于 C，D 两点，运动时间为 t 秒
（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．
若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大
致是（ ）
A． B．
第17页（共39页）C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
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【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可判断．
【解答】解：当0＜t≤2时，S= t2，
当2＜t≤4时，S= t2﹣ （2t﹣4）2=﹣ t2+8t﹣8，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思
考问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上）
11．（3分）随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预
计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元，将29150000000
用科学记数法表示为 2.915 × 1 0 1 0 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1
时，n是负数．
【解答】解：29150000000=2.915×1010．
故答案为：2.915×1010．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）函数y= 中，自变量x的取值范围是 x ≥ 1 ．
第18页（共39页）【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，可知：x﹣
1≥0；分母不等于0，可知：x+1≠0，所以自变量x的取值范围就可以求出．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0且x+1≠0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】考查使得分式和二次根式有意义的知识．函数自变量的范围一般从三个
方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，
考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负
数．
13．（3分）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，
形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球
的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是 1 5 个．
【考点】X8：利用频率估计概率．
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【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，则摸
到蓝球的概率为75%，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．
【解答】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，
所以摸到蓝球的概率为75%，
因为20×75%=15（个），
所以可估计袋中蓝色球的个数为15个．
故答案为15．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个
固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可
以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用
频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
14．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是 k ＞ 且 k ≠ 1 ．
【考点】A1：一元二次方程的定义；AA：根的判别式．
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第19页（共39页）【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣
1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞ 且k≠1．
故答案为：k＞ 且k≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当
△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△
＜0，方程没有实数根．
15．（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置
AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为 π﹣2 ．
【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．
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【分析】先求出CE=2CD，求出∠DEC=30°，求出∠DCE=60°，DE=2 ，分别求出扇形
CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，CD=AB=2，∠BCD=∠ADC=90°，
∴CE=BC=4，
∴CE=2CD，
∴∠DEC=30°，
∴∠DCE=60°，
由勾股定理得：DE=2 ，
∴阴影部分的面积是S=S ﹣S = ﹣ ×2×2 = ，
扇形CEB′ △CDE
故答案为： ．
第20页（共39页）【点评】本题考查了扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题的
关键是能正确求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，题目比较好，难度适中．
16．（3分）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计
划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列
方程为 ﹣ =8 ．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
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【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，根据“原计划
所用时间﹣实际所用时间=8”列方程即可．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，
根据题意可得： ﹣ =8，
故答案为： ﹣ =8．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找到题目蕴含
的相等关系．
17．（3分）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，
使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为 3 或 6 ．
【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】由AD=8、AB=6结合矩形的性质可得出AC=10，△EFC为直角三角形分两种
情况：①当∠EFC=90°时，可得出AE平分∠BAC，根据角平分线的性质即可得出
= ，解之即可得出BE的长度；②当∠FEC=90°时，可得出四边形ABEF为
正方形，根据正方形的性质即可得出BE的长度．
【解答】解：∵AD=8，AB=6，四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=8，∠B=90°，
∴AC= =10．
△EFC为直角三角形分两种情况：
①当∠EFC=90°时，如图1所示．
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
第21页（共39页）∴点F在对角线AC上，
∴AE平分∠BAC，
∴ = ，即 = ，
∴BE=3；
②当∠FEC=90°时，如图2所示．
∵∠FEC=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠AEF=∠BEA=45°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE=AB=6．
综上所述：BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性
质以及勾股定理，分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的
关键．
18．（3分）如图，点A（1， ）在直线l ：y= x上，过点A 作A B ⊥l 交直线l ：y=
1 1 1 1 1 1 2
x于点B ，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形 A B C ，再过点C 作
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A B ⊥l ，分别交直线l 和l 于A ，B 两点，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三
2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2
第22页（共39页）角形A B C ，…按此规律进行下去，则第n个等边三角形A B C 的面积为
2 2 2 n n n
．（用含n的代数式表示）
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质．
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【专题】2A：规律型．
【分析】由点A 的坐标可得出OA =2，根据直线l 、l 的解析式结合解直角三角形可
1 1 1 2
求出A B 的长度，由等边三角形的性质可得出A A 的长度，进而得出OA =3，
1 1 1 2 2
通过解直角三角形可得出A B 的长度，同理可求出A B 的长度，再根据等边三
2 2 n n
角形的面积公式即可求出第n个等边三角形A B C 的面积．
n n n
【解答】解：∵点A （1， ），
1
∴OA =2．
1
∵直线l ：y= x，直线l ：y= x，
1 2
∴∠A OB =30°．
1 1
在Rt△OA B 中，OA =2，∠A OB =30°，∠OA B =90°，
1 1 1 1 1 1 1
∴A B = OB ，
1 1 1
∴A B = ．
1 1
∵△A B C 为等边三角形，
1 1 1
∴A A = A B =1，
1 2 1 1
∴OA =3，A B = ．
2 2 2
第23页（共39页）同理，可得出：A B = ，A B = ，…，A B = ，
3 3 4 4 n n
∴第n个等边三角形A B C 的面积为 × A B 2= ．
n n n n n
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及等边三角
形的性质，通过解直角三角形及等边三角形的性质，找出A B = 是解
n n
题的关键．
三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分.）
19．（10分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷（1﹣ ），其中x=（ ）﹣1
﹣（2017﹣ ）0，y= sin60°．
【考点】6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角
函数值．
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【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再计算出x、y的值代入即
可得．
【解答】解：原式=[ ﹣ ]÷
第24页（共39页）= •
=﹣ ，
当x=（ ）﹣1﹣（2017﹣ ）0=3﹣1=2，y= sin60°= × = 时，
原式=﹣ =﹣4．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是
解题的关键．
20．（10分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不
同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，
再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称
图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说
明理由（纸牌用A、B、C、D表示）．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形；X4：概率公式；X6：列表法与树状图法；
X7：游戏公平性．
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【分析】（1）首先根据题意结合概率公式可得答案；
（2）首先根据已知列表，求得摸出两张牌面图形的形状，继而求得小明赢与小亮
赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．
【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是
中心对称图形的纸牌的概率是 ；
第25页（共39页）（2）列表得：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有
6种，
∴P（两张都是轴对称图形）= ，因此这个游戏公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断，以及概率．判断游戏公平性就要计算每
个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
四、解答题（21题12分，22小题12分，共24分）
21．（12分）某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校
随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图 1和图2
两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）这四个班参与大赛的学生共 10 0 人；
（2）请你补全两幅统计图；
（3）求图1中甲班所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若四个班级的学生总数是160人，全校共2000人，请你估计全校的学生中参
与这次活动的大约有多少人．
第26页（共39页）【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）根据乙班参赛30人，所占比为20%，即可求出这四个班总人数；
（2）根据丁班参赛35人，总人数是100，即可求出丁班所占的百分比，再用整体1
减去其它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以参赛得总人数，即
可得出丙班参赛得人数，从而补全统计图；
（3）根据甲班级所占的百分比，再乘以360°，即可得出答案；
（4）根据样本估计总体，可得答案．
【解答】解：（1）这四个班参与大赛的学生数是：
30÷30%=100（人）；
故答案为100；
（2）丁所占的百分比是： ×100%=35%，
丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，
则丙班的人数是：100×15%=15（人）；
如图：
第27页（共39页）（3）甲班级所对应的扇形圆心角的度数是：30%×360°=108°；
（4）根据题意得：2000× =1250（人）．
答：全校的学生中参与这次活动的大约有1250人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（12分）如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A
处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船
的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近
距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
【考点】KU：勾股定理的应用；TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行
第28页（共39页）过程中与码头C的最近距离是CE，根据∠DAB=30°，AB=20，从而可求出BD、AD
的长度，进而可求出CE的长度．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，
由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，
AB=30× =20，
∵∠NAC=45°，∠NAB=75°，
∴∠DAB=30°，
∴BD= AB=10，
由勾股定理可知：AD=10
∵BC∥AN，
∴∠BCD=45°，
∴CD=BD=10，
∴AC=10 +10
∵∠DAB=30°，
∴CE= AC=5 +5≈13.7
答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里
【点评】本题考查解三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及勾
股定理，本题属于中等题型．
五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
第29页（共39页）23．（12分）如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是 的中点，过点C作CD垂
直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD= ，BF=15，求AC的长．
【考点】ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）连接OC，由点C是 的中点利用垂径定理可得出OC⊥BE，由AB是
⊙O 的直径可得出 AD⊥BE，进而可得出 AD∥OC，再根据 AD⊥CD 可得出
OC⊥CD，由此即可证出CD是⊙O的切线．
（2）过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，由点 C 是 的中点利用圆周角定理可得出
∠BAC=∠CAE，根据角平分线的定理结合 cos∠CAD= 可求出AB的长度，在
Rt△AOM中，通过解直角三角形可求出AM的长度，再根据垂径定理即可得出
AC的长度．解法二：连接BC，在Rt△ABC中，解直角三角形即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示．
∵点C是 的中点，
∴ = ，
∴OC⊥BE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BE，
∴AD∥OC．
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
第30页（共39页）（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．
∵点C是 的中点，
∴ = ，∠BAC=∠CAE，
∴ = ．
∵cos∠CAD= ，
∴ = ，
∴AB= BF=20．
在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO= AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD= ，
∴AM=AO•cos∠OAM=8，
∴AC=2AM=16．
解法二：如解图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由（1）知，
∴∠CAD=∠CAB，
又∵∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE=∠CAB=∠CAD，
∴cos∠CBE=cos∠CAB=cos∠CAD= ，
在Rt△ABC中，设AC=4k，AB=5k，由勾股定理，得BC=3k，
∴3k=12，k=4，
∴AC=16．
第31页（共39页）【点评】本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质、垂径定理、
圆周角定理以及角平分线的性质，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找出
OC⊥CD；（2）根据角平分线的性质求出AB的长度．
24．（12分）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内
（含10天）完成任务．为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就
生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等
原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调
平均每台成本就增加20元．
（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x
的取值范围．
（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台
2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪
一天获得的利润最大，最大利润是多少．
【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】（1）根据接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都
比前一天多2台，直接得出生产这批空调的时间为x天，与每天生产的空调为
y台之间的函数关系式；
（2）根据基本等量关系：利润=（每台空调订购价﹣每台空调成本价﹣增加的其他
费用）×生产量即可得出答案．
第32页（共39页）【解答】解：（1）∵接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都
比前一天多2台，
∴由题意可得出，第x天生产空调y台，y与x之间的函数解析式为：y=40+2x
（1≤x≤10）；
（2）当1≤x≤5时，W=（2920﹣2000）×（40+2x）=1840x+36800，
∵1840＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=5时，W =1840×5+36800=46000；
最大值
当5＜x≤10时，
W=[2920﹣2000﹣20（40+2x﹣50）]×（40+2x）=﹣80（x﹣4）2+46080，
此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随着x的增大而减小，又天数x为整数，
∴当x=6时，W =45760元．
最大值
∵46000＞45760，
∴当x=5时，W最大，且W =46000元．
最大值
综上所述：W= ．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及分段函数，如何分段，怎样表达每个
分段函数，并比较确定最大值是解本题的关键．
六、解答题（本题满分14分）
25．（14分）在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，
且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形．
①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系 DF = AE ；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数
量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺
时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并
直接写出AE'与DF'的数量关系．
第33页（共39页）【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BF= AB，再证
明△BEF为等腰直角三角形得到BF= BE，所以BD﹣BF= AB﹣ BE，从而得
到DF= AE；
②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，加上 = = ，则根据相似三角形的判定
可得到△ABE∽△DBF，所以 = = ；
（2）先画出图形得到图 3，利用勾股定理得到 BD= AB，再证明
△BEF∽△BAD 得到 = ，则 = = ，接着利用旋转的性质得
∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以 = = ，然后根据相似三角形
的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得 = = ．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BF= AB，
∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形，
BF= BE，
∴BD﹣BF= AB﹣ BE，
即DF= AE；
第34页（共39页）故答案为DF= AE；
②DF= AE．理由如下：
∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，
∴∠ABE=∠DBF，
∵ = ， = ，
∴ = ，
∴△ABE∽△DBF，
∴ = = ，
即DF= AE；
（2）如图3，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=mAB，
∴BD= = AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴ = ，
∴ = = ，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，
∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，
∴ = = ，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴ = = ，
即DF′= AE′．
第35页（共39页）【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形和正方形的性质；
灵活应用相似三角形的判定和性质，会利用相似比表示线段之间的关系．
七、解答题（本题满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P
作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，
是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？
若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，
于是列方程即可得到结论；
（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y= x﹣2，设D
第36页（共39页）（m，0），得到E（m， m﹣2），P（m， m2﹣ m﹣2），根据已知条件列方程得到
m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5， ），E（5， ），根据三角形的面积公式即
可得到结论；
（3）设M（n， n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，
求得n=4+ ，于是得到N（ ，﹣ ）；②以BD为边，根据菱形的性质得到
MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得
到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，
∴ ，解得： ，抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣2；
（2）令y= x2﹣ x﹣2=0，解得：x =﹣2，x =4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣
1 2
2），设BC的解析式为y=kx+b，则 ，解得： ，∴y= x﹣2，
设D（m，0），
∵DP∥y轴，
∴E（m， m﹣2），P（m， m2﹣ m﹣2），
∵OD=4PE，
∴m=4（ m2﹣ m﹣2﹣ m+2），
∴m=5，m=0（舍去），
∴D（5，0），P（5， ），E（5， ），
第37页（共39页）∴四边形POBE的面积=S ﹣S = ×5× ﹣ 1× = ；
△OPD △EBD
（3）存在，设M（n， n﹣2），
①以BD为对角线，如图1，
∵四边形BNDM是菱形，
∴MN垂直平分BD，
∴n=4+ ，
∴M（ ， ），
∵M，N关于x轴对称，
∴N（ ，﹣ ）；
②以BD为边，如图2，
∵四边形BDMN是菱形，
∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，
过M作MH⊥x轴于H，
∴MH2+DH2=DM2，
即（ n﹣2）2+（n﹣5）2=12，
∴n =4（不合题意），n =5.6，
1 2
∴N（4.6， ），
同理（ n﹣2）2+（4﹣n）2=1，
∴n =4+ （不合题意，舍去），n =4﹣ ，
1 2
∴N（5﹣ ，﹣ ），
③以BD为边，如图3，
过M作MH⊥x轴于H，
∴MH2+BH2=BM2，
第38页（共39页）即（ n﹣2）2+（n﹣4）2=12，
∴n =4+ ，n =4﹣ （不合题意，舍去），
1 2
∴N（5+ ， ），
综上所述，当N（ ，﹣ ）或（4.6， ）或（5﹣ ，﹣ ）或（5+ ， ），以点
B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求
一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根
据题意画出符合条件的图形是解题的关键．
第39页（共39页）
