文档内容
2016年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的。每小题3分，共30分）
1．﹣23的相反数是（ ）
A．﹣8 B．8C．﹣6 D．6
2．如图所示的物体是由两个紧靠在一起的圆柱体组成，小明准备画出它的三视图，那么他所
画的三视图中的主视图应该是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k＞﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
4．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点
E，则∠DEO的度数为（ ）
A．85° B．70° C．75° D．60°
5．化简 + ﹣ 的结果为（ ）
A．0B．2C．﹣2 D．2
6．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（ ）
A．2B．3C．2 D．4
7．为了解某市参加中考的25000名学生的身高情况，抽查了其中1200名学生的身高进行统
计分析．下面叙述正确的是（ ）
A．25000名学生是总体
B．1200名学生的身高是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体
D．以上调查是全面调查8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于 AC）为半
径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结
论错误的是（ ）
A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCBD．∠A=2∠DCB
9．已知一次函数y=（a+1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜﹣1 C．a＞﹣1 D．a＜0
10．如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与平面直角坐标系的坐标原点O重合，AC，
BC分别在坐标轴上，AC=BC=1，△ABC在x轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动，在
滚动过程中，当点C第一次落在x轴正半轴上时，点A的对应点A 的横坐标是（ ）
1
A．2B．3C．1+ D．2+
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．在网络上搜索“奔跑吧，兄弟”，能搜索到与之相关的结果为35 800 000个，将35 800
000用科学记数法表示为 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，垂足为点E，连接OD、BC，若BC=1，则扇
形OBD的面积为 ．
13．已知一组数据：18，17，13，15，17，16，14，17，则这组数据的中位数与众数分别是 ．14．若分式 有意义，则a的取值范围是 ．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均
在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A B C ，使它与△ABC的相似比为
1 1 1
2，则点B的对应点B 的坐标是 ．
1
16．如图，四边形ABCD为正方形，点A、B在y轴上，点C的坐标为（﹣3，1），反比例函数y=
的图象经过点D，则k的值为 ．
17．下列图形中：①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形，既是轴对称图形又是中心对称
图形的有 个．
18．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴
是直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0）．下面的四个结论：
①AB=4；
②b2﹣4ac＞0；
③ab＜0；
④a﹣b+c＜0，
其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题19．先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中x=2+ ．
20．如图是一个转盘，转盘被平均分成4等份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别
标有数字1、2、3、4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一扇形的
机会均等（若指针恰好落在分界线上则重转）．
（1）图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转 度能与标有“4”的扇形的起始位置重合；
（2）现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢（赢的一方先看）．游戏规则是：姐妹
俩各转动一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所
指扇形上的数字之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表
法说明理由．
21．学校为了了解全校1600名学生对“初中学生带手机上学”现象的看法，在全校随机抽
取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了四种看法供学生选择，每人只能选一种，且不能
不选．将调查结果整理后，绘制成如图①、图②所示的条形统计图与扇形统计图（均不完整）．
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）估计全校有多少名学生对“初中学生带手机上学”现象持“不赞同”的看法．
22．某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑
坡，如图所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD=60°，．为防止滑坡，现对山坡进行改造，
改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC=20米．求斜坡BC的长是多少米？（结果精确到
0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）23．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于
点E，连接CA、CE、CB，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．
（1）求证：CA=CP；
（2）连接OF，若AC= ，∠D=30°，求线段OF的长．
24．谋划点准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若
购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．
（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？
（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿
出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，
求W与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，
且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种
方案获利最大？最大利润是多少元？
25．已知：如图①，将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平
移，得到△BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时
针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．
（1）①求证：∠ANB=∠AMC；
②探究△AMN的形状；
（2）如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他
条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请
写出变化后的结论并证明．26．如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y
轴正半轴于点E．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒 个单位的速度在直线BC上移动
（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在
点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接
写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．2016 年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的。每小题3分，共30分）
1．﹣23的相反数是（ ）
A．﹣8 B．8C．﹣6 D．6
【考点】相反数．
【分析】分析：数a的相反数是﹣a，即互为相反数两个数只差一个符号．注意：0的相反数是0
本身．
【解答】解：∵﹣23=﹣8
﹣8的相反数是8
∴﹣23的相反数是8．
故选：B
2．如图所示的物体是由两个紧靠在一起的圆柱体组成，小明准备画出它的三视图，那么他所
画的三视图中的主视图应该是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：圆柱从正面看是长方形，两个圆柱，看到两个长方形．
故选：A．
3．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k＞﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等
式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，
即：4+4k≥0，
解得：k≥﹣1，
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，
故选：C．4．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点
E，则∠DEO的度数为（ ）
A．85° B．70° C．75° D．60°
【考点】平行线的性质．
【分析】由平行线的性质求出∠AOC=120°，再求出∠BOC=30°，然后根据三角形的外角性质
即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥OC，∠A=60°，
∴∠A+∠AOC=180°，
∴∠AOC=120°，
∴∠BOC=120°﹣90°=30°，
∴∠DEO=∠C+∠BOC=45°+30°=75°；
故选：C．
5．化简 + ﹣ 的结果为（ ）
A．0B．2C．﹣2 D．2
【考点】二次根式的加减法．
【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．
【解答】解： + ﹣ =3 + ﹣2 =2 ，
故选：D．
6．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（ ）
A．2B．3C．2 D．4
【考点】矩形的性质．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的
对角线互相平分解答．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=2×2=4，
∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OA= AC=2．
故选A．
7．为了解某市参加中考的25000名学生的身高情况，抽查了其中1200名学生的身高进行统
计分析．下面叙述正确的是（ ）
A．25000名学生是总体
B．1200名学生的身高是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体
D．以上调查是全面调查
【考点】总体、个体、样本、样本容量．
【分析】依据总体、个体、样本以及全面调查和抽样调查的定义求解即可．
【解答】解：A、总体是25000名学生的身高情况，故A错误；
B、1200名学生的身高是总体的一个样本，故B正确；
C、每名学生的身高是总体的一个个体，故C错误；
D、该调查是抽样调查，故D错误．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于 AC）为半
径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结
论错误的是（ ）
A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCBD．∠A=2∠DCB
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC，故A正确，
∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，
∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，
故选D．
9．已知一次函数y=（a+1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是（ ）A．a＞1 B．a＜﹣1 C．a＞﹣1 D．a＜0
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据一次函数y=（a+1）x+b的图象所经过的象限来判断a+1的符号，从而求得a的取
值范围．
【解答】解：根据图示知：一次函数y=（a+1）x+b的图象经过第一、二、三象限，
∴a+1＞0，即a＞﹣1；
故选：C．
10．如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与平面直角坐标系的坐标原点O重合，AC，
BC分别在坐标轴上，AC=BC=1，△ABC在x轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动，在
滚动过程中，当点C第一次落在x轴正半轴上时，点A的对应点A 的横坐标是（ ）
1
A．2B．3C．1+ D．2+
【考点】坐标与图形变化-旋转；等腰直角三角形．
【分析】根据题意画出图形，结合旋转的性质及等腰直角三角形的性质即可得．
【解答】解：如图，
∵AC=BC=1，∠AOB=90°
∴OA′=B C =1，AB=A′B = ，∠A C B =∠AOB=90°，
2 2 2 1 3 2
∴点A 的横坐标为2+ ，
1
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．在网络上搜索“奔跑吧，兄弟”，能搜索到与之相关的结果为35 800 000个，将35 800
000用科学记数法表示为 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】分析：把一个数写成a×10n形式，就是科学记数法表示数，其中a为整数，且1≤|a|
＜10，n为整数．
【解答】解：35 800 000=3.5×107
故填：3.5×107
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，垂足为点E，连接OD、BC，若BC=1，则扇
形OBD的面积为 ．
【考点】扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．
【分析】由CD垂直平分OB，得到OE=EB，且OB⊥CD，再利用垂径定理得到CE=DE，利用
SAS得到三角形CEB与三角形DEO全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=BC=1，在
直角三角形OED中，根据直角边等于斜边的一半确定出∠EDO的度数，进而求出∠BOD度
数，利用扇形面积公式求出扇形OBD面积即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，
∴OE=EB，OB⊥CD，
∴CE=DE，
在△BEC和△OED中，
，
∴△BEC≌△OED（SAS），
∴OD=BC=1，
在Rt△OED中，OE= OB= OD，
∴∠ODE=30°，
∴∠BOD=60°，
则扇形BOD面积S= = ，
故答案为：
13．已知一组数据：18，17，13，15，17，16，14，17，则这组数据的中位数与众数分别是 ．
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵17出现的次数最多，∴众数为17．
将这组数据按照从小到大的顺序排列：13、14、15、16、17、17、17、18．
众数= =16.5．
故答案为：16.5、17．
14．若分式 有意义，则a的取值范围是 ．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】直接利用分式有意义则其分母不为0，进而得出答案．
【解答】解：分式 有意义，则a﹣1≠0，
则a的取值范围是：a≠1．
故答案为：a≠1．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均
在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A B C ，使它与△ABC的相似比为
1 1 1
2，则点B的对应点B 的坐标是 ．
1
【考点】作图-位似变换．
【分析】直接利用位似图形的性质得出符合题意的图形进而得出答案．
【解答】解：如图所示：△A B C 和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，
1 1 1
点B的对应点B 的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）．
1
故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．16．如图，四边形ABCD为正方形，点A、B在y轴上，点C的坐标为（﹣3，1），反比例函数y=
的图象经过点D，则k的值为 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【分析】先依据正方形的性质求得点D的坐标，然后再将点D的坐标代入反比例函数的解析
式，从而求得k的值．
【解答】解：∵C（﹣3，1），
∴BC=3．
∵ABCD为正方形，
∴DC=3．
∴D（﹣3，﹣2）．
∴k=﹣3×（﹣2）=6．
故答案为：6．
17．下列图形中：①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形，既是轴对称图形又是中心对
称图形的有 个．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：①既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
②是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
③既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
④是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是①③．
故答案为：①③．
18．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴
是直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0）．下面的四个结论：
①AB=4；
②b2﹣4ac＞0；
③ab＜0；
④a﹣b+c＜0，
其中正确的结论是 （填写序号）．【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】利用二次函数对称性以及结合b2﹣4ac的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合
分别分析得出答案．
【解答】解：∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB=4，故选项①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故选项②正确；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，
∴ab＞0，故选项③错误；
当x=﹣1时，y=a﹣b+c此时最小，为负数，故选项④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题
19．先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中x=2+ ．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先通分计算小括号里的算式，然后把除法转化成乘法进行约分计算，最后再把
x=2+ 代入计算即可．
【解答】解：（ ﹣1）÷
=（ ﹣ ）÷
= ×
=
=x﹣2
当x=2+ 时，原式=2+ ﹣2= ．
20．如图是一个转盘，转盘被平均分成4等份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别
标有数字1、2、3、4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一扇形的
机会均等（若指针恰好落在分界线上则重转）．
（1）图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转 度能与标有“4”的扇形的起始位置重合；
（2）现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢（赢的一方先看）．游戏规则是：姐妹
俩各转动一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所
指扇形上的数字之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表
法说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据题意求出每份的圆心角的度数，再根据（1）与（4）的位置，即可得出答案；
（2）根据题意列出图表，再根据概率公式求出指针所指扇形上的数字之积为偶数的概率和指
针所指扇形上的数字之积为奇数的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵转盘被平均分成4等份，
∴每份的圆心角的度数是90°，
∴图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转90度能与标有“4”的扇形的起始位置重合；
故答案为：90；
（2）根据题列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
由表可知所有共有16种，且指针所指扇形上的数字之积为偶数的有12钟，奇数的有4种，
则指针所指扇形上的数字之积为偶数的概率是 = ，指针所指扇形上的数字之积为奇数的
概率是 = ，
则游戏不公平．
21．学校为了了解全校1600名学生对“初中学生带手机上学”现象的看法，在全校随机抽
取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了四种看法供学生选择，每人只能选一种，且不能
不选．将调查结果整理后，绘制成如图①、图②所示的条形统计图与扇形统计图（均不完整）．
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图和扇形统计图；（3）估计全校有多少名学生对“初中学生带手机上学”现象持“不赞同”的看法．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据统计图中持赞同看法的学生数和所占的百分比可以求得在这次调查中，一共
抽取了多少名学生；
（2）根据统计图可以求得无所谓的学生数和很赞同所占的百分比，从而可以将统计图补充完
整；
（3）根据统计图中的数据可以求得全校有多少名学生对“初中学生带手机上学”现象持
“不赞同”的看法．
【解答】解：（1）由题意可得，
这次调查的学生有：50÷25%=200（名），
即在这次调查中，一共抽取了200名学生；
（2）无所谓的学生有：200﹣20﹣50﹣90=40（名），
很赞同所占的百分比为：1﹣20%﹣25%﹣45%=10%，
补全的条形统计图和扇形统计图如右图所示，
（3）1600×45%=720（名），
即全校有720名学生对“初中学生带手机上学”现象持“不赞同”的看法．
22．某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑
坡，如图所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD=60°，．为防止滑坡，现对山坡进行改造，
改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC=20米．求斜坡BC的长是多少米？（结果精确到
0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】根据题意可以运用锐角三角函数表示出BC的长，从而可以解答本题．
【解答】解：作AM⊥BD于点M，作CN⊥BD于点N，如右图所示，
∵∠ABD=60°，∠CBD=45°，
∴BN= ，BM= ，BC= ，
∵CN=AM，AC=BN﹣BM，AC=20米，
∴BC= ≈66.6米，
即斜坡BC的长是66.6米．
23．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于
点E，连接CA、CE、CB，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．
（1）求证：CA=CP；
（2）连接OF，若AC= ，∠D=30°，求线段OF的长．
【考点】切线的性质．【分析】（1）先利用直角三角形的两锐角互余和对顶角，得出∠BAP=∠OEG，再用同弧所对
的圆周角相等得出∠ABC=∠AEC，最后用三角形的外角得出∠APC=∠AEO=45°即可；
（2）先利用切线的性质得出∠AOC=60°，进而得出∠BAC=60°，再利用锐角三角函数求出
BC，进而得出BP，最后利用三角形的中位线判断出OF= BP即可．
【解答】解：（1）如图1，
连接AE，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，∠AEO=45°，
∴∠OEG+∠OGE=90°，
∵AF⊥CE，
∴∠AFG=90°，
∴∠FAG+∠AGF=90°，
∵∠AGF=∠OGE，
∴∠OEG=∠BAP，
∵∠AEC=∠ABC，
∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠APC=45°=∠APC，
∴CA=CP；
（2）如图2，
连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=60°
在Rt△ABC中，AC= ，∴BC=ACtan∠BAC=ACtan60°= × =3，
由（1）知，CP=AC= ，
∴BP=BC﹣CP=3﹣ ，
由（1）知AC=CP，
∵AF⊥CE，
∴AF=PF，
∵OA=OB，
∴OF= BP= （3﹣ ）．
24．谋划点准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若
购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．
（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？
（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿
出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，
求W与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，
且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种
方案获利最大？最大利润是多少元？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进甲、乙两种花卉，
每盆各需多少元；
（2）根据题意可以写出W与x的函数关系式；
（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到有几种购进方案，哪种方案获利最大，
最大利润是多少．
【解答】解：（1）设购进甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，
，
解得， ，
即购进甲种花卉每盆16元，乙种花卉每盆8元；
（2）由题意可得，
W=6x+ ，
化简，得
W=4x+100，
即W与x之间的函数关系式是：W=4x+100；（3） ，
解得，10≤x≤12.5，
故有三种购买方案，
由W=4x+100可知，W随x的增大而增大，
故当x=12时， ，即购买甲种花卉12盆，一种花卉76盆时，获得最大利润，此
时W=4×12+100=148，
即该花店共有几三种购进方案，在所有的购进方案中，购买甲种花卉12盆，一种花卉76盆时，
获利最大，最大利润是148元．
25．已知：如图①，将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平
移，得到△BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时
针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．
（1）①求证：∠ANB=∠AMC；
②探究△AMN的形状；
（2）如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他
条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请
写出变化后的结论并证明．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）①先由菱形可知四边相等，再由∠D=60°得等边△ADC和等边△ABC，则对角线
AC与四边都相等，利用ASA证明△ANB≌△AMC，得结论；
②根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：△AMN是等边三角形；
（2）①成立，根据正方形得45°角和射线AM绕点A逆时针旋转45°，证明△ANB∽△AMC，
得∠ANB=∠AMC；
②不成立，△AMN是等腰直角三角形，利用①中的△ANB∽△AMC，得比例式进行变形后，
再证明△NAM∽△BAD，则△AMN是等腰直角三角形．
【解答】证明：（1）如图1，①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠D=60°，
∴△ADC和△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠NAM=60°，∴∠NAB=∠CAM，
由△ADC沿射线DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABN=∠ACB=60°，
∴△ANB≌△AMC，
∴∠ANB=∠AMC；
②如图1，△AMN是等边三角形，理由是：
由∴△ANB≌△AMC，
∴AM=AN，
∵∠NAM=60°，
∴△AMN是等边三角形；
（2）①如图2，∠ANB=∠AMC成立，理由是：
在正方形ABCD中，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°，
∵∠NAM=45°，
∴∠NAB=∠MAC，
由平移得：∠EBC=∠CAD=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABN=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠ABN=∠ACM=45°，
∴△ANB∽△AMC，
∴∠ANB=∠AMC；
②如图2，不成立，
△AMN是等腰直角三角形，理由是：
∵△ANB∽△AMC，
∴ ，
∴ ，
∵∠NAM=∠BAC=45°，
∴△NAM∽△BAC，
∴∠ANM=∠ABC=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形．26．如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y
轴正半轴于点E．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒 个单位的速度在直线BC上移动
（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在
点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接
写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出求出抛物线解析式，再配成顶点式，求出顶点坐标；
（2）先求出∠DOE=45°，再构造出等腰直角三角形，由两腰相等建立方程求出点E的坐标；
（3）分两种情况讨论计算①CE为平行四边形的边，用MN=CE建立方程求出点M坐标，从
而求出时间t，
②利用平行四边形的对角线互相平分，借助中点坐标建立方程组求出点M坐标即可．
【解答】解：（1）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点的抛物线，
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
∵点C（0，3）在抛物线上，
∴3=﹣3a，
∴a=﹣1
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），
（2）∵tan （α﹣β）=1，
∴α﹣β=45°，∵∠DBO=α，∠EBO=β，
∴∠DOE=45°，
如图1，
过点E作EF⊥BD于F，
∴EF=BF，
∵B（3，0），D（1，4），
∴直线BD解析式为y=﹣2x+6①，
设点E（0，b），
∵EF⊥BD，
∴直线EF解析式为y= x+b②，
联立①②解方程组得，x= ，y= （2b+3），
∴F（ ， （2b+3）），
∴EF2=[ （6﹣B）]2+[ （2b+3）﹣b]2= （6﹣b）2，FB2=[ ﹣3]2+[ （2b+3）]2=[
（2b+3 ）]2，
∵EF=FB，
∴EF2=FB2，
∴ （6﹣b）2=[ （2b+3）]2，
∴b=﹣9（舍）或b=1，
∴E（0，1），
（3）能，
理由：∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=﹣x+3，
设点M（m，﹣m+3），
∵E、C、M、N四个点为顶点的四边形为平行四边形，
∴分CE为边和CE为对角线进行计算，①如图2，
当CE是平行四边形的边时，MN∥CE，MN=CE，
过M作MN∥CE交抛物线于N，
∵点N在抛物线上，
∴N（m，﹣m2+2m+3），
∴MN=|﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）|=|m2﹣3m|，
∵C（0，3），E（0，1），
∴CE=2，
∵MN=CE，
∴|m2﹣3m|=2，
∴m= 或m=1或m=2，
∴M（ ， ）或（ ， ）或（1，2）或（2，1）；
∵C（0，3）
当M（ ， ）时，CM= ，
∴t= = ，
当M（ ， ）时，
同理：t= ，
当M（1，2）时，CM= ，
∴t= ，
当M（2，1）时，CM=2 ，∴t=2 =2，
②当CE是平行四边形的对角线时，MN与CE互相平分，
∵C（0，3），E（0，1），
∴线段CE的中点坐标为（0，2），
∵M（m，﹣m+3），
∵点N在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
设点N（n，﹣n2+2n+3），
利用中点坐标得， ， =2，
∴ 或 ，
∴M（﹣ ， ）或（﹣ ， ），
当M（﹣ ， ）时，CM= × ，
∴t=
当M（﹣ ， ）时，CM= × ，
∴t= ；
即：满足条件的t的值为 或 或1或2．点M共有6个．2016年10月12日
