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2013年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括
号内，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．﹣5 B．±5 C． D．5
2．（3分）据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，一年的经济损失约
为54750000000元，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．5.475×1011 B．5.475×1010
C．0.5475×1011 D．5475×108
3．（3分）如图，下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分
别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．50元，20元 B．50元，40元 C．50元，50元 D．55元，50元
6．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
第1页（共25页）A． B．
C． D．
7．（3分）炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两
队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题
意，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设
点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7
时，点E应运动到（ ）
A．点C处 B．点D处 C．点B处 D．点A处
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
10．（3分） ＝ ．
11．（3分）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别
为 ， ， ，则三人中射击成绩最稳定的是 ．
12．（3分）如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠D＝65°，则∠AEC＝ ．
第2页（共25页）13．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象不经过第
象限．
14．（3分）一个圆锥形零件，高为8cm，底面圆的直径为12cm，则此圆锥的侧面积是
cm2．
15．（3分）已知双曲线 和 的部分图象如图所示，点C是y轴正半轴上一点，过点C
作AB∥x轴分别交两个图象于点A、B．若CB＝2CA，则k＝ ．
16．（3分）按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB＝1，第一个正
方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S ，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的
1
面积和为S ，…，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和S ＝ ．
2 n
三、解答题（17、18、19小题，每小题8分，共24分）
17．（8分）先化简，再求值： ，其中x＝3．
18．（8分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶
点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A B C ；
1 1 1
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A B C ，并求点A旋转到A 所经过的路线长．
2 2 2 2
第3页（共25页）19．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．
四、解答题（20小题10分，21小题10分，共20分）
20．（10分）某中学为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷
调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．同时把调查
得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．请根据图中提供的
信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“公交车”部分所对应的圆心角是多少度？
（4）若全校有1600名学生，估计该校乘坐私家车上学的学生约有多少名？
21．（10分）小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛，游戏规则是：在
第4页（共25页）一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球，上面分别标有数字2，3，4，5．一
人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若
摸出的两个小球上的数字和为偶数，则小丽去参赛；否则小华去参赛．
（1）用列表法或画树状图法，求小丽参赛的概率．
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
五、解答题（22小题8分，23小题10分，共18分）
22．（8分）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到
P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，
山坡坡度为 （即tan∠PCD＝ ）．
（1）求该建筑物的高度（即AB的长）．
（2）求此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
23．（10分）如图，点C是以AB为直径的 O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足
为点D． ⊙
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD＝1，AC＝ ，求 O的半径长．
⊙
六、解答题（本题满分12分）
24．（12分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农
第5页（共25页）民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，
市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣
2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150
元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
七、解答题（本题满分14分）
25．（14分）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，F是AC边上的一个动点（点F
与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
（1） 猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
将图①1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度 ，得到如
②图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断 中得到的α结论是否
仍然成立，并选取图2证明你的判断． ①
（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB＝90°，正方形CDEF
改为矩形CDEF，如图4，且AC＝4，BC＝3，CD＝ ，CF＝1，BF交AC于点H，交AD于点
O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物
线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，
第6页（共25页）请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共25页）2013年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括
号内，每小题3分，共24分）
1．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
即|﹣5|＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它
的相反数；0的绝对值是0．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将54 750 000 000用科学记数法表示为5.475×1010．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】找到从正面看所得到的图形是三角形即可．
【解答】解：A、主视图为长方形，故本选项错误；
B、主视图为三角形，故本选项错误；
C、主视图为长方形，故本选项错误；
D、主视图为长方形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，
以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不
是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，
第8页（共25页）故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选
项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故
此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问
题的关键．
5．【分析】根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的
那个数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．
【解答】解：50出现了3次，出现的次数最多，
则众数是50；
把这组数据从小到大排列为：20，25，30，50，50，50，55，
最中间的数是50，
则中位数是50．
故选：C．
【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一
组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
6．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解： ，由 得，x≥﹣2；由 得，x＜1，
① ②
故此不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．
在数轴上表示为：
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知解不等式组的加减消元法和代
入消元法是解答此题的关键．
7．【分析】关键描述语为：“两队同时开工且恰好同时完工”，找出等量关系为：甲队所用时
间＝乙队所用时间，根据所用时间相同列出分式方程即可．
【解答】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装x+2台，
第9页（共25页）由题意得，甲队用的时间为： ，
乙队用的时间为： ，
则方程为： ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，
注意工作时间＝工作总量÷工作效率．
8．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
【解答】解：当E在AB上运动时，△BCE的面积不断增大；
当E在AD上运动时，BC一定，高为AB不变，此时面积不变；
当E在DC上运动时，△BCE的面积不断减小．
∴当x＝7时，点E应运动到高不再变化时，即点D处．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象问题，有一定难度，注意要仔细分析．关键是根据所
给函数图象和点的运动轨迹判断出x＝3到7时点E所在的位置．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣5≠0，
解得x≠5．
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
10．【分析】分别进行零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等运算，然后按照实数的
运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝1+2﹣2× ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等
知识，属于基础题．
11．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，找出方
第10页（共25页）差最小的数即可．
【解答】解：∵ ， ， ，
∴ 最小，
∴三人中射击成绩最稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这
组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．【分析】根据平行线性质求出∠BED，根据对顶角相等求出∠AEC即可．
【解答】解：∵DF∥AB，
∴∠BED＝180°﹣∠D，
∵∠D＝65°，
∴∠BED＝115°，
∴∠AEC＝∠BED＝115°，
故答案为：115°．
【点评】本题考查了对顶角和平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
13．【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于
0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，利用一次函数的性
质即可判断出一次函数y＝bx+c不经过的象限．
【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，c＞0，
故一次函数y＝bx+c的图象不经过第四象限．
故答案为：四．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练
掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．
14．【分析】利用圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2即可求得圆锥的侧面积．
【解答】解：底面直径为12cm，则底面周长＝12 cm，
由勾股定理得，母线长＝10cm， π
所以侧面面积＝ ×12 ×10＝60 cm2．
π π
故答案为60 ．
π
第11页（共25页）【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
15．【分析】由于AB∥x轴，CB＝2CA，则S△OBC ＝2S△OAC ，根据反比例函数y＝ （k≠0）系数
k的几何意义得到S△OAC ＝ ×3＝ ，所以S△OBC ＝2S△OAC ＝3，然后再根据反比例函数y＝
（k≠0）系数k的几何意义得到 |k|＝3，由于反比例函数图象过第二象限，所以k＝﹣6．
【解答】解：连结OA、OB，如图，
∵AB∥x轴，即OC⊥AB，
而CB＝2CA，
∴S△OBC ＝2S△OAC ，
∵点A在 图象上，
∴S△OAC ＝ ×3＝ ，
∴S△OBC ＝2S△OAC ＝3，
∵ |k|＝3，
而k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数y＝ （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝
（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
第12页（共25页）16．【分析】观察图形，根据正方形的四条边相等和等腰直角三角形的腰长为斜边长的 倍，
分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，再根据规律解题即可．
【解答】解：∵第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（ ）1＝ ，
第3个正方形的边长为（ ）2＝ ，
…，
第n个正方形的边长为（ ）n﹣1，
∴第n个正方形的面积为：[（ ）2]n﹣1＝ ，
则第n个等腰直角三角形的面积为： × ＝ ，
故第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和S ＝ + ＝ ．
n
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质和直角边长是斜边长的
倍及正方形的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为（ ）n﹣1是解题的关键．
三、解答题（17、18、19小题，每小题8分，共24分）
17．【分析】先把括号里面进行通分，再把所得的结果相减，然后把除法转化成乘法，进行约分，
再把x的值代入即可．
【解答】解：
＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ •
＝ ；
第13页（共25页）当x＝3时，
原式＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是因式分解、通分、约分，在计算时要
注意简便方法的应用．
18．【分析】（1）根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标，顺次连接即可．点A旋转到A 所经过
2
的路线是半径为OA，圆心角是90度的扇形的弧长．
【解答】解：（1）画出△A B C ；
1 1 1
（2）画出△A B C
2 2 2
连接OA，OA ， ，
2
点A旋转到A 所经过的路线长为 ．
2
【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为： 确定平移
的方向和距离，先确定一组对应点； 确定图形中的关键点； 利用第一组对①应点和平移
的性质确定图中所有关键点的对应点②； 按原图形顺序依次③连接对应点，所得到的图形
即为平移后的图形． ④
作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是 先确定图形的关键点； 利用旋转
性质作出关键点的对应点； 按原图形中的方式顺次①连接对应点．要注意旋转②中心，旋转
方向和角度． ③
19．【分析】（1）求出∠B＝∠ACB，根据三角形外角性质求出∠FAC＝2∠ACB＝2∠DAC，推
出∠DAC＝∠ACB，根据ASA证明△ABC和△CDA全等；
（2）推出AD∥BC，AB∥CD，得出平行四边形ABCD，根据∠B＝60°，AB＝AC，得出等边
△ABC，推出AB＝BC即可．
第14页（共25页）【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB＝2∠ACB，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA（ASA）；
（2）∵∠FAC＝2∠ACB，∠FAC＝2∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，等边三角形的
性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比
较好，综合性也比较强．
四、解答题（20小题10分，21小题10分，共20分）
20．【分析】（1）上学方式为自行车的人数除以所占的百分比，即可得到调查的学生数；
（2）根据总人数乘以步行的百分比求出步行的人数，补全条形统计图即可；
（3）求出“公交车”所占的百分比，乘以360度即可得到结果；
（4）求出“私家车”上学的百分比，乘以总人数1600即可得到结果．
【解答】解：（1）24÷30%＝80（名），
答：这次调查一共抽取了80名学生；
第15页（共25页）（2）80×20%＝16（名），
补全条形统计图，如图所示；
（3）根据题意得：360°× ＝117°，
答：在扇形统计图中，“公交车”部分所对应的圆心角为117°；
（4）根据题意得：1600× ＝200（名），
答：估计该校乘坐私家车上学的学生约有200名．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的
关键．
21．【分析】（1）列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之和为偶数的情况数，求
出小丽去参赛的概率；
（2）由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率，比较即可得到游戏公平与否．
【解答】解：（1）法1：根据题意列表得：
第一次 2 3 4 5
第二次
2 ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2） （5，2）
3 （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3） （5，3）
4 （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣ （5，4）
5 （2，5） （3，5） （4，5） ﹣﹣﹣
由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球
上的数字和为偶数的结果有4种，分别是（2，4）、（3，5）、（4，2）、（5，3），
第16页（共25页）所以小丽参赛的概率为 ＝ ；
法2：根据题意画树状图如下：
由树状图可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个
小球上的数字和为偶数的结果有4种，分别是（2，4）、（3，5）、（4，2）、（5，3），
所以小丽参赛的概率为 ＝ ；
（2）游戏不公平，理由为：
∵小丽参赛的概率为 ，
∴小华参赛的概率为1﹣ ＝ ，
∵ ≠ ，
∴这个游戏不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件
的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
五、解答题（22小题8分，23小题10分，共18分）
22．【分析】（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，在Rt△ABC中，求出AB的长度即可；
（2）设PE＝x米，则BF＝PE＝x米，根据山坡坡度为 ，用x表示CE的长度，然后根据AF
＝PF列出等量关系式，求出x的值即可．
【解答】解：（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，
又∵AB⊥BC于B，
∴四边形BEPF是矩形，
∴PE＝BF，PF＝BE
∵在Rt△ABC中，BC＝90米，∠ACB＝60°，
第17页（共25页）∴AB＝BC•tan60°＝90 （米），
故建筑物的高度为90 米；
（2）设PE＝x米，则BF＝PE＝x米，
∵在Rt△PCE中，tan∠PCD＝ ＝ ，
∴CE＝2x，
∵在Rt△PAF中，∠APF＝45°，
∴AF＝AB﹣BF＝90 ﹣x，
PF＝BE＝BC+CE＝90+2x，
又∵AF＝PF，
∴90 ﹣x＝90+2x，
解得：x＝30 ﹣30，
答：人所在的位置点P的铅直高度为（ ）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结
合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．
23．【分析】（1）连接OC．先由OA＝OC，可得∠ACO＝∠CAO，再由切线的性质得出
OC⊥CD，根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD∥CO，由平行线的性质得∠DAC＝
∠ACO，等量代换后可得∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠BAD；
（2）解法一：如图2 ，过点O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD＝
①
3，由垂径定理求出 AE＝ ，再根据两角对应相等的两三角形相似证明
△AEO∽△ADC，由相似三角形对应边成比例得到 ，求出AO＝ ，即 O的半径
⊙
第18页（共25页）为 ；解法二：如图2 ，连接BC．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD＝3，再根据两角
②
对应相等的两三角形相似证明△ABC∽△ACD，由相似三角形对应边成比例得到 ，
求出AB＝ ，则 O的半径为 ．
⊙
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO．
∵CD切 O于C，
∴OC⊥C⊙D，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠BAD；
（2）解法一：如图2 ，过点O作OE⊥AC于E．
①
在Rt△ADC中，AD＝ ＝ ＝3，
∵OE⊥AC，
∴AE＝ AC＝ ．
∵∠CAO＝∠DAC，∠AEO＝∠ADC＝90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴ ，即 ，
∴AO＝ ，即 O的半径为 ．
⊙
解法二：如图2 ，连接BC．
②
在Rt△ADC中，AD＝ ＝ ＝3．
第19页（共25页）∵AB是 O直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB⊙＝∠DAC，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ，
即 ，
∴AB＝ ，
∴ ＝ ，
即 O的半径为 ．
⊙
第20页（共25页）【点评】本题考查了等腰三角形、平行线的性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质，相似三
角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
六、解答题（本题满分12分）
24．【分析】（1）根据销售额＝销售量×销售单价，列出函数关系式；
（2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
【解答】解：（1）由题意得出：
w＝（x﹣20）∙y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．
解得 x ＝25，x ＝35．
1 2
∵35＞28，
∴x ＝35不符合题意，应舍去．
2
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的
性质解决问题．
第21页（共25页）七、解答题（本题满分14分）
25．【分析】（1） 证△BCF≌△ACD推出∠CAD＝∠FBC，BF＝AD，即可得出结论； 证
△BCF≌△AC①D推出∠CAD＝∠FBC，BF＝AD，即可得出结论； ②
（2）连接FD，根据（1）得出BO⊥AD，根据勾股定理得出BD2＝OB2+OD2，AF2＝
OA2+OF2，AB2＝OA2+OB2，DF2＝OF2+OD2，推出BD2+AF2＝AB2+DF2，即可求出答案．
【解答】解：（1） BF＝AD，BF⊥AD；
①
BF＝AD，BF⊥AD仍然成立，
②证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF，∠FCD＝90°，
∴∠ACB+∠ACF＝∠FCD+∠ACF，
即∠BCF＝∠ACD，
在△BCF和△ACD中
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，
又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，
∴∠CAD+∠AHO＝90°，
∴∠AOH＝90°，
∴BF⊥AD；
（2）证明：连接DF，
∵四边形CDEF是矩形，
第22页（共25页）∴∠FCD＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD
∴∠ACB+∠ACF＝∠FCD+∠ACF，
即∠BCF＝∠ACD，
∵AC＝4，BC＝3，CD＝ ，CF＝1，
∴ ，
∴△BCF∽△ACD，
∴∠CBF＝∠CAD，
又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°
∴∠CAD+∠AHO＝90°，
∴∠AOH＝90°，
∴BF⊥AD，
∴∠BOD＝∠AOB＝90°，
∴BD2＝OB2+OD2，AF2＝OA2+OF2，AB2＝OA2+OB2，DF2＝OF2+OD2，
∴BD2+AF2＝OB2+OD2+OA2+OF2＝AB2+DF2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2＝32+42＝25，
∵在Rt△FCD中，∠FCD＝90°，CD＝ ，CF＝1，
∴ ，
∴BD2+AF2＝ ＝ ．
【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，关
键是推出△BCF≌△ACD，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，有一定的难度．
八、解答题（本题满分14分）
26．【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；
（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等
即可求解．
第23页（共25页）【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c
由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c＝3．即抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3．
把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得 解得a＝﹣1，b＝﹣2
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，
∴BC2＝OB2+OC2＝18
在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1，
∴CD2＝DF2+CF2＝2
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB﹣OE＝3﹣1＝2，
∴BD2＝DE2+BE2＝20
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD为直角三角形．
解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．
在Rt△BOC中，∵OB＝3，OC＝3
∴OB＝OC∴∠OCB＝45°
∵在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1
∴DF＝CF
∴∠DCF＝45°
∴∠BCD＝180°﹣∠DCF﹣∠OCB＝90°
∴△BCD为直角三角形．
（3） △BCD的三边， ＝ ＝ ，又 ＝ ，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
①
当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC＝3﹣a， ＝
②
第24页（共25页），即 ＝ ，解得：a＝﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，
则△ACP∽△CBD不成立；
当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC＝3﹣b，则
③
＝ ，即 ＝ ，解得：b＝﹣ ，故P是（0，﹣ ）时，则△ACP∽△CBD一定成立；
当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．
④
则AP＝1﹣d，当AC与CD是对应边时， ＝ ，即 ＝ ，解得：d＝1﹣3 ，
此时，两个三角形不相似；
当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．
⑤
则AP＝1﹣e，当AC与DC是对应边时， ＝ ，即 ＝ ，解得：e＝﹣9，符合条
件．
总之，符合条件的点P的坐标为： ．
【点评】本题是相似三角形的判定与性质，待定系数法，勾股定理以及其逆定理的综合应
用．
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