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2014 年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2014•营口）﹣6的倒数是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．
分析：根据倒数的定义求解．
解答：
解：﹣6的倒数是﹣ ，
故选：D．
点评：本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记定义．
2．（3分）（2014•营口）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．三棱柱 C．正方体 D．圆柱
考点：由三视图判断几何体．
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分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解答：解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几
何体应该是三棱柱．
故选B．
点评：此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是
分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3．（3分）（2014•营口）估计 的值（ ）
A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间
考点：估算无理数的大小．
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分析：应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范
围．
解答：解：∵5＜ ＜6，
∴ 在5到6之间．
故选C．
点评：此题主要考查了估算无理数的那就，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4．（3分）（2014•营口）下列运算正确的是（ ）A．a+a=a2 B．（﹣a3）4=a7 C．a3•a=a4 D．a10÷a5=a2
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答
案．
解答：解：A、a+a=2a，故A选项错误；
B、（﹣a3）4=a12，故B选项错误；
C、a3•a=a4，故C选项正确；
D、a10÷a5=a5，故D选项错误．
故选：C．
点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题的
关键是熟记法则．
5．（3分）（2014•营口）下列说法正确的是（ ）
A．“明天的降水概率是80%”表示明天会有80%的地方下雨
B．为了解学生视力情况，抽取了500名学生进行调查，其中的样本是500名学生
C．要了解我市旅游景点客流量的情况，采用普查的调查方式
D．一组数据5，1，3，6，9的中位数是5
考点：概率的意义；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；中位数．
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分析：根据概率的意义和中位数、调查方式、样本的定义分别对每一项进行判断即可．
解答：解：A、“明天的降水概率是80%”表示明天会有80%的可能下雨，故本选项错误；
B、为了解学生视力情况，抽取了500名学生进行调查，其中的样本是500名学生的视
力情况，故本选项错误；
C、要了解我市旅游景点客流量的情况，采用抽查的调查方式，故本选项错误；
D、一组数据5，1，3，6，9的中位数是5，故本选项正确；
故选D．
点评：此题考查了概率的意义，用到的知识点是中位数、调查方式、样本，关键是熟练掌握有
关定义．
6．（3分）（2014•营口）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
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分析：分别求出①②的解集，再找到其公共部分即可．
解答：
解： ，
由①得，x≤3，
由②得，x＞﹣2，
不等式组的解集为﹣2＜x≤3，
在数轴上表示为：
，
故选B．
点评：本题考查了解一元一次不等式（组）的解集和在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折
线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
7．（3分）（2014•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，
∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（ ）
A．145° B．152° C．158° D．160°
考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．
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分析：根据三角形的内角和定理得到∠C=104°，再由中位线定理可得DE∥BC，
∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，根据折叠的性质得∠DEA′=∠AED=
104°，再求∠AEA′的度数即可．
解答：解：∵∠B=50°，∠A=26°，
∴∠C=180°∠B∠A=104°，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，
∵将△ABC沿DE折叠，
∴△AED≌△A′ED，
∴∠DEA′=∠AED=104°，
∴∠AEA′=360°﹣∠DEA′﹣∠AED=360°﹣104°﹣104°=152°．
故选：B．
点评：本题考查了三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此
题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．
8．（3分）（2014•营口）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三
等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路
径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象．
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分析：求出CE的长，然后分①点P在AD上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函
数关系；②点P在CD上时，根据S
△APE
=S梯形AECD ﹣S
△ADP
﹣S
△CEP
列式整理得到y与x
的关系式；③点P在CE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后
选择答案即可．
解答：解：∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，
∴CD=AB=2，BC=AD=3，∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，
∴CE= ×3=2，
①点P在AD上时，△APE的面积y= x•2=x（0≤x≤3），
②点P在CD上时，S
△APE
=S梯形AECD ﹣S
△ADP
﹣S
△CEP
，
= （2+3）×2﹣ ×3×（x﹣3）﹣ ×2×（3+2﹣x），
=5﹣ x+ ﹣5+x，
=﹣ x+ ，
所以，y=﹣ x+ （3＜x≤5），
③点P在CE上时，S = ×（3+2+2﹣x）×2=﹣x+7，
△APE
所以，y=﹣x+7（5＜x≤7），
纵观各选项，只有A选项图形符合．
故选A．
点评：本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求
出y与x的关系式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2014•营口）全球每年大约有577 000 000 000 000米3的水从海洋和陆地转化为大
气中的水汽，将数577 000 000 000 000用科学记数法表示为 5.77×1 0 1 4 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于577 000 000 000 000有15位，所以可以确定n=15﹣1=14．
解答：解：577 000 000 000 000=5.77×1014．
故答案为：5.77×1014．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
10．（3分）（2014•营口）函数y= +（x﹣2）0中，自变量x的取值范围是 x≥ 1 且 x≠ 2 ．
考点：函数自变量的取值范围．
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分析：根据被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解．
解答：解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11．（3分）（2014•营口）小华和小苗练习射击，两人的成绩如图所示，小华和小苗两人成绩的
方差分别为S 2、S 2，根据图中的信息判断两人方差的大小关系为 S 2 ＜ S 2 ．
1 2 1 2考点：方差．
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分析：根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成
立．观察图中的信息可知小华的方差小．
解答：解：由图表明小苗这10次成绩偏离平均数大，即波动大，而小华这10次成绩，分布比
较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S 2＜S 2；
1 2
故答案为：S 2＜S 2．
1 2
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数
据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．（3分）（2014•营口）如图，直线a∥b，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，
若∠1=24°，则∠2= 36 ° ．
考点：平行线的性质．
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分析：过B作BE∥直线a，推出直线a∥b∥BE，根据平行线的性质得出∠ABE=∠1=24°，
∠2=∠CBE，即可求出答案．
解答：
解：
过B作BE∥直线a，
∵直线a∥b，
∴直线a∥b∥BE，
∴∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，
∵∠ABC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠2=∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣24°=36°，
故答案为：36°．
点评：本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，题目比较好，难度
适中．
13．（3分）（2014•营口）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文
在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 ，则袋中红
球约为 2 5 个．
考点：利用频率估计概率．
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分析：根据口袋中有10个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出
即可．
解答：
解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 ，口袋中有10个白球，
∵假设有x个红球，
∴ = ，
解得：x=25，
∴口袋中有红球约有25个．
故答案为：25．
点评：此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比
例应该相等是解决问题的关键．
14．（3分）（2014•营口）如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆
锥侧面展开图的圆心角α为 12 0 度．
考点：圆锥的计算．
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分析：先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数=圆锥底面周长×180÷15π计
算．
解答：解：圆锥底面周长=2×5π=10π，
∴扇形的圆心角α的度数=圆锥底面周长×180÷15π=120°．
故答案为：120．
点评：本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表
达式子．
15．（3分）（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB∥x轴，点A在双曲线y=
（x＜0）上，点B在双曲线y= （x＞0）上，边AC中点D在x轴上，△ABC的面积为8，则k=
﹣ 3 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
菁优网版权所有分析：运用双曲线设出点A及点B的坐标，确定三角形的底与高，利用△ABC的面积为8列
出式子求解．再运用A，B点的纵坐标相等求出k．
解答：
解：设A点坐标为（x ， ），B点的坐标为（x ， ），
1 2
∥ xA轴B∥，边AC中点D在x轴上，
∴△ABC边AB上的高为2×（﹣ ）=﹣ ，
△ABC的面积为8，
∴ AB×（﹣ ）=8，即 （x ﹣x ）•×（﹣ ）=8
2 1
解得， =﹣ ，
∥ = ，
∴ = ，
∴ =﹣ ，
∴k=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用双曲线设出点A及
点B的坐标，利用△ABC的面积为8列出式子求解．
16．（3分）（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= x，直线l ：y= x，在直线l
2 1
上取一点B，使OB=1，以点B为对称中心，作点O的对称点B
1
，过点B
1
作B
1
A 1∥l
2
，交x轴于
点A
1
，作B
1
C 1∥x轴，交直线l
2
于点C
1
，得到四边形OA
1
B
1
C
1
；再以点B
1
为对称中心，作O点
的对称点B
2
，过点B
2
作B
2
A 2∥l
2
，交x轴于点A
2
，作B
2
C 2∥x轴，交直线l
2
于点C
2
，得到四边
形OA B C ；…；按此规律作下去，则四边形OA B C 的面积是 ．
2 2 2 n n n
考点：一次函数综合题；规律型：点的坐标．
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分析：根据直线的解析式求得直线和x轴的夹角的大小，再根据题意求得OB 的长，然后依
n
据直角三角形三角函数的求法求得OA 的长，进而求得OA 的长，然后根据等边三角
1 n
形的性质，求得OA =A C ，最后根据菱形的面积等于对角线积的一半即可求得．
n n n
解答：
解：∵直线l：y= x，直线l ：y= x，
2
∴直线l 与x轴夹角为30°，直线l 与x轴夹角为60°，B为l 上一点，且OB=1，
1 2 1根据题意可知：OB=1，OB =2，OB =4，OB =8，OB =16，..OB =2n，四边形OA B C 、四
1 2 3 4 n 1 1 1
边形OA B C 、四边形OA B C …是菱形，
2 2 2 3 3 3
∥∠A
1
OC
1
=60°，
∴△OA
1
C
1
，△OA
2
C
2
，△OAC，△OA
3
C
3
，…△OA
n
C
n
是等边三角形，
∴OA =A C ，OA =A C ，OA =A C …OA =A C ，
1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n
∥OA =A C = ，OA =A C = ，OA =A C = ，…OA =A C =
1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n
∴四边形OA B C 的面积= A C •OB = × ×2n= ．
n n n n n n
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用中心对称的性质，以及等边三角形的性
质求得线段的长，得出一般规律．
三、解答题（17小题8分，18小题8分，共16分）
17．（8分）（2014•营口）先化简，再求值：b2﹣ ÷（a﹣ ），其中a=tan45°，
b=2sin60°．
考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
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专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函
数值求出a与b的值，代入计算即可求出值．
解答：
解：原式=b2﹣ • =b2﹣a，
当a=tan45°=1，b=2sin60°= 时，原式=3﹣1=2．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，
1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ，并直接写出C 点坐标；
1 1 1 1
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形
△A B C ，并直接写出C 点坐标；
2 2 2 2
（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后D的对应点D 的坐标．
2考点：作图-位似变换；作图-轴对称变换．
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分析：（1）利用关于y轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；
（2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出D点坐标变化规律即可．
解答：解：（1）如图所示：△A B C ，即为所求，C 点坐标为：（3，2）；
1 1 1 1
（2）如图所示：△A B C ，即为所求，C 点坐标为：（﹣6，4）；
2 2 2 2
（3）如果点D（a，b）在线段AB上，经过（2）的变化后D的对应点D 的坐标为：（2a，
2
2b）．
点评：此题主要考查了轴对称变换以及位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质
得出对应点变化规律是解题关键．
四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）（2014•营口）近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题倍受关注．相关人员对本
地区15～65岁年龄段的市民进行了随机调查，并制作了如下相应的统计图．市民对“广场
舞”噪音干扰的态度有以下五种：A．没影响 B．影响不大 C．有影响，建议做无声运动
D．影响很大，建议取缔 E．不关心这个问题
根据以上信息解答下列问题：
（1）根据统计图填空：m= 3 2 ，A区域所对应的扇形圆心角为 7 2 度；
（2）在此次调查中，“不关心这个问题”的有25人，请问一共调查了多少人？
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若本地共有14万市民，依据此次调查结果估计本地市民中会有多少人给出建议？
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
菁优网版权所有分析：（1）用1减去A，D，B，E的百分比即可，运用A的百分比乘360°即可．
（2）用不关心的人数除以对应的百分比妈可．
（3）求出25﹣﹣35岁的人数再绘图．
（4）用14万市民乘C的D的百分比的和求解．
解答：解：（1）m%=1﹣33%﹣20%﹣5%﹣10%=32%，所以m=32，
A区域所对应的扇形圆心角为：360°×20%=72°，
故答案为：32，72．
（2）一共调查的人数为：25÷5%=500（人）
（3）25﹣﹣35岁的人数为：500﹣10﹣30﹣40﹣70=350（人）
（3）14×（32%+10%）=5.88（万人）
答：估计本地市民中会有5.88万人给出建议．
点评：本题主要考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，解题的关键是把条形统
计图和扇形统计图的数据相结合求解．
20．（10分）（2014•营口）第20届世界杯足球赛正在如火如荼的进行，爸爸想通过一个游戏决
定小明能否看今晚的比赛：在一个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着一个实数，
分别为3， ，2 （每张卡片除了上面的实数不同以外其余均相同），爸爸让小明从中任意
取一张卡片，如果抽到的卡片上的数是有理数，就让小明看比赛，否则就不能看．
（1）请你直接写出按照爸爸的规则小明能看比赛的概率；
（2）小明想了想，和爸爸重新约定游戏规则：自己从盒子中随机抽取两次，每次抽取一张卡片，
第一次抽取后记下卡片上的数，再将卡片放回盒中抽取第二次，如果抽取的两数之积是有理
数，自己就看比赛，否则就不看．请你用列表法或树状图法求出按照此规则小明看比赛的概
率．
考点：列表法与树状图法．
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专题：计算题．
分析：（1）三个数中有理数有一个3，求出所求概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两数之积为有理数的情况数，即可求
出所求的概率．
解答：
解：（1）按照爸爸的规则小明能看比赛的概率P= ；
（2）列表如下：3 2
3 9 3 6
3 3 4
2 6 4 8
所有等可能的情况有9种，其中抽取的两数之积是有理数的情况有5种，
则按照此规则小明看比赛的概率P= ．
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
五、解答题（21小题8分，22小题10分，共18分）
21．（8分）（2014•营口）如图，王老师站在湖边度假村的景点A处，观察到一只水鸟由岸边D
处飞向湖中小岛C处，点A到DC所在水平面的距离AB是15米，观测水鸟在点D和点C处
时的俯角分别为53°和11°，求C、D两点之间距离．（精确到0.1．参考数据sin53°≈0.80，
cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin11°≈0.19，cos11°≈0.98，tan11°≈0.19）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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分析：根据AB=15米，点D和点C处时的俯角分别为53°和11°，在Rt△ABD和Rt△ABC
中，分别求出BC和BD的长度，然后即可求出CD=BC﹣CD的值．
解答：解：在Rt△ABD中，
∥AB=15米，∠ADB=53°，
∴ =tan53°≈1.33，
∴BD=11.25（米），
在Rt△ABC中，
∥AB=15米，∠ACD=11°，
∴ =tan11°≈0.19，
解得：BC≈78.94（米），
∴CD=BC﹣BD=78.94﹣11.25≈67.7（米）．
答：C、D两点之间距离为67.7米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，利用
三角函数的知识求解．
22．（10分）（2014•营口）如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接
AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AC=4，tan∠ACD= ，求⊙O的半径．考点：切线的判定．
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分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理推论得出 = ，进而得出BC的长，再利用勾股定理求出即可．
解答：（1）证明：连接CO，
∥AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∥OB=CO，
∴∠B=∠OCB，
∠FCA=∠B，
∴∠BCO=∠ACF，
∴∠OCA+∠ACF=90°，
即∠OCF=90°，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥DC，
∴ = ，
∥AC=4，tan∠ACD= ，
∴tan∠B=tan∠ACD= = ，
∴ = ，
∴BC=8，
∴在Rt△ABC中，
AB= = =4 ，
则⊙O的半径为：2 ．
点评：此题主要考查了切线的判定以及垂径定理的推论和勾股定理等知识，得出BC的长是
解题关键．
六、解答题（23小题10分，24小题10分，共20分）23．（10分）（2014•营口）为弘扬中华民族传统文化，某校举办了“古诗文大赛”，并为获奖
同学购买签字笔和笔记本作为奖品．1支签字笔和2个笔记本共8.5元，2支签字笔和3个笔
记本共13.5元．
（1）求签字笔和笔记本的单价分别是多少元？
（2）为了激发学生的学习热情，学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类图书，如果给每
名获奖同学都买一本图书，需要花费720元；书店出台如下促销方案：购买图书总数超过50
本可以享受8折优惠．学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同．问学校
获奖的同学有多少人？
考点：分式方程的应用；二元一次方程组的应用．
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分析：（1）由题意可知此题存在两个等量关系，即买1支签字笔价钱+买2个笔记本的价钱
=8.5元，买2支签字笔价钱+买3个笔记本的价钱=13.5元，根据这两个等量关系，可列
出方程组，再求解；
（2）设学校获奖的同学有z人，根据等量关系：购买图书总数超过50本可以享受8折
优惠．学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同，可列出方程，再求
解．
解答：解：（1）设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元．
则可列方程组 ，
解得 ．
答：签字笔的单价为1.5元，笔记本的单价为3.5元．
（2）设学校获奖的同学有z人．
则可列方程 = ，
解得z=48．
经检验，z=48符合题意．
答：学校获奖的同学有48人．
点评：考查了二元一次方程组的应用和分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找
出合适的等量关系：买一本笔记本价钱+买4支钢笔的价钱=18元，买一本笔记本价钱
+买一支钢笔的价钱=6元，列出方程组，再求解．
24．（10分）（2014•营口）随着生活质量的提高，人们健康意识逐渐增强，安装净水设备的百
姓家庭越来越多．某厂家从去年开始投入生产净水器，生产净水器的总量y（台）与今年的生
产天数x（天）的关系如图所示．今年生产90天后，厂家改进了技术，平均每天的生产数量达
到30台．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知该厂家去年平均每天的生产数量与今年前90天平均每天的生产数量相同，求厂家
去年生产的天数；
（3）如果厂家制定总量不少于6000台的生产计划，那么在改进技术后，至少还要多少天完成
生产计划？考点：一次函数的应用．
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分析：（1）本题时一道分段函数，当0≤x≤90时和x＞90时由待定系数法就可以分别求出其结
论；
（2）由（1）的解析式求出今年前90天平均每天的生产数量，由函数图象可以求出去年
的生产总量就可以得出结论；
（3）设改进技术后，至少还要a天完成不少于6000台的生产计划，根据前90天的生产
量+改进技术后的生产量≥6000建立不等式求出其解即可．
解答：解：（1）当0≤x≤90时设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得
，
解得： ．
则y=20x+900．
当x＞90时，由题意，得y=30x．
∴y= ；
（2）由题意，得
∥x=0时，y=900，
∴去年的生产总量为：900台．
今年平均每天的生产量为：（2700﹣900）÷90=20台，
厂家去年生产的天数为：900∴20=45天．
答：厂家去年生产的天数为45天；
（3）设改进技术后，至少还要a天完成不少于6000台的生产计划，由题意，得
2700+30a≥6000，
解得：a≥110．
答：改进技术后，至少还要110天完成不少于6000台的生产计划．
点评：本题考查了分段函数的运用，待定系数法起一次函数的解析式的运用，列不等式解实
际问题的运用，解答时求出一次函数的解析式及分析函数图象的意义是关键．
七、解答题（本题满分14分）
25．（14分）（2014•营口）四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD
上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交
BE于点H．
（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关
系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；
（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出
∠BHO的度数．考点：四边形综合题．
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专题：综合题．
分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明
△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；
②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明
△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠BAE，然后利
用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；
（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，
可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；
（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，
ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以
HO平分∠BHG，即∠BHO=45°．
解答：（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADG和△CDG中
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG；
②解：AG⊥BE．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
∠DAG=∠DCG，
∴∠DAG=∠BAE，
∠DAG+∠BAG=90°，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE；
（2）解：由（1）可知AG⊥BE．
如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，
∴∠AON=∠BOM．
∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OAN=∠OBM．
在△AON与△BOM中，
∴△AON≌△BOM（ASA）．
∴OM=ON，
∴矩形OMHN为正方形，
∴HO平分∠BHG．
（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．
与（1）同理，可以证明AG⊥BE．
过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，
与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM，
可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，
∴∠BHO=45°．
点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质，熟练运用全等三角形的判定与
性质解决线段和角相等的问题．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2014•营口）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣
3）．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点
E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理
由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线
CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关
系式．
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐
标．
（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），根据PF等于P点
的纵坐标﹣F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF
的最大值；
（3）在运动过程中，分三种情形，需要分类讨论，避免漏解．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+4x﹣3，
由y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，可知：顶点D的坐标（2，1）．
（2）存在；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3，
设P（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），
∴PF=（﹣x2+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（m﹣ ）2+ ，
∴当x= 时，PF有最大值为 ．
∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为 ．
（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），
∴可求得直线AD的解析式为：y=x﹣1；
直线BC的解析式为：y=x﹣3．∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．
∥ yA轴F∥，∴F（1，﹣2），∴AF=2．
①当0≤t≤ 时，如答图1﹣1所示．
此时四边形AFF′A′为平行四边形．
设A′F′与x轴交于点K，则AK= AA′= t．
∴S=S =AF•AK=2× t= t；
▱AFF′A′
②当 ＜t≤2 时，如答图1﹣2所示．
设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，
则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．
∴S=S ﹣S =2×1﹣ （t﹣ ）2=﹣ t2+ t+1；
▱PC′F′A′ △A′DQ
③当2 ＜t≤3 时，如答图1﹣3所示．
设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．
∥BC=3 ，CC′=t，∴BC′=3 ﹣t．
∴S=S = （3 ﹣t）2= t2﹣3 t+9．
△BC′Q
综上所述，S与t的函数关系式为：S= ．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、最值、
平行四边形、等腰直角三角形、图形面积计算等知识点．第（2）问的解题要点是列出线
段PE的表达式；第（3）问的解题要点是分类讨论的数学思想及图形面积的计算．
