文档内容
2011 年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）零上13℃记作+13℃，零下2℃可记作（ ）
A．2 B．﹣2 C．2℃ D．﹣2℃
3．（3分）地球上陆地的面积约为148 000 000平方千米，用科学记数法表示为（ ）
A．148×106平方千米 B．14.8×107平方千米
C．1.48×108平方千米 D．1.48×109平方千米
4．（3分）“a是实数，|a|≥0”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件
5．（3分）如图是某一立体图形的三视图，则这个立体图形是（ ）
A．正三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
6．（3分）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左
向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与
t的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
第1页（共23页）7．（3分）如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片剪出一个以O为顶
点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）
A．正四边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长
为半径作圆，则 C与AB的位置关系是（ ）
⊙
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）计算： ＝ ．
10．（3分）一药品售价100元，连续两次降价后的价格为81元，则平均每次降价的降价率是
%．
11．（3分）一养鱼专业户从鱼塘捕得同时放养的草鱼100条，他从中任选5条，称得它们的质
量如下（单位：kg）：1.3，1.6，1.3，1.5，1.3．则这100条鱼的总质量约为 kg．
12．（3分）反比例函数y＝ 中，k值满足方程k2﹣k﹣2＝0，且当x＞0时，y随x的增大而增
大，则k＝ ．
13．（3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC＝1：2，AE⊥BC，垂足为E，连接BD交
AE于F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为 ．
14．（3分）观察下列数据： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律
第n个数据是 （用含n的式子表示）．
第2页（共23页）15．（3分）已知 O的直径AB＝2，过点A的两条弦AC＝ ，AD＝ ，则∠CBD＝
． ⊙
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有A（1，2），B（3，3）两点，现另取一点C（a，1），当a
＝ 时，AC+BC的值最小．
三、解答题（17、18、19小题，每小题8分，共24分）
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a＝2+ ．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB为直角三角形，A（0，4），B（﹣3，0）．按要求解
答下列问题：
（1）在平面直角坐标系中，先将Rt△AOB向上平移6个单位，再向右平移3个单位，画出
平移后的Rt△A O B ；
1 1 1
（2）在平面直角坐标系中，将 Rt△A O B 绕点O 顺时针旋转 90°，画出旋转后的
1 1 1 1
Rt△A O B ；
2 1 2
（3）用点A 旋转到点A 所经过的路径与O A 、O A 围成的扇形做成一个圆锥的侧面，求
1 2 1 1 1 2
这个圆锥的高．（保留精确值）
19．（8分）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进
第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用
了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
第3页（共23页）（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
四、解答题（20、21小题，每小题10分，共20分）
20．（10分）为提高初中生的身体素质，教育行政部门规定：初中生每天参加户外活动的平均
时间不少于1小时．为了了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间
进行抽样调查，并将调查结果绘制成图（1）、图（2）两幅不完整的统计图，请你根据图中提
供的信息解答下列问题：
（1）这次调查共调查了 名学生；
（2）户外活动时间为1小时的人数为 人，并补全图（1）；
（3）在图（2）中表示户外活动时间0.5小时的扇形圆心角的度数是 ．
（4）本次调查中学生参加户外活动时间的众数是 、中位数是 ；户外活动的
平均时间是否符合要求？
21．（10分）如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇
形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转
盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的
数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|＞1的概率；
（2）直接写出点（m，n）落在函数y＝﹣ 图象上的概率．
五、解答题（22小题8分，23小题10分，共18分）
22．（8分）如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．
第4页（共23页）（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；
（2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯
P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574）
23．（12分）如图，已知AB是 O的直径，PB为 O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且
交 O于点E． ⊙ ⊙
（1⊙）求证：∠OPB＝∠AEC；
（2）若点C为半圆ACB的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明
理由．
六、解答题（本题满分12分）
24．（12分）某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣
机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：
价格
种类 进价（元/台） 售价（元/台）
电视机 2 000 2 100
冰箱 2 400 2 500
洗衣机 1 600 1 700
其中购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半．国家规
第5页（共23页）定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．设购进电视机的台数为x台，三种
家电国家财政共需补贴农民y元．
（1）求出y与x之间的函数关系；
（2）在不超出现有资金的前提下，商场有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线
上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．
（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关
系？（直接写出结论不必证明）；
（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，
请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，
并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）如图（1），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物
线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？
若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存
在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．
（图（2）、图（3）供画图探究）
第6页（共23页）第7页（共23页）2011 年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选：A．
【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中
心，图形旋转180度后与原图重合．
2．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，由零上13℃记作+13℃，则零下2℃可记作﹣2℃．
故选：D．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：148 000 000＝1.48×108平方千米．
故选：C．
【点评】用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
4．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答．
【解答】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，
因为a是实数，
所以|a|≥0．
故选：A．
【点评】用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
5．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、正三棱柱三视图分别为长方形，长方形，三角形，错误；
B、三棱锥的三视图分别为三角形，三角形，三角形及中心与顶点的连线，错误；
C、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，错误；
D、圆锥的三视图分别为三角形，三角形，圆，正确．
第8页（共23页）故选：D．
【点评】本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，应从所给几何体入手分析．
6．【分析】本题考查动点函数图象的问题．
【解答】解：由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C．
随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积
开始不再变化．应排除D．
故选：A．
【点评】本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解．
7．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【解答】解：严格按照图中的顺序向下对折，向右对折，向右下角对折，从右下角剪去一个
三角形，展开得到结论．
故选：C．
【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．
8．【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
∴CD＝ BC＝2cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与 C相切．
故选：B⊙．
【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的
距离d的大小判断：
当R＞d时，直线与圆相交；当R＝d时，直线与圆相切；当R＜d时，直线与圆相离．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
第9页（共23页）【解答】解：
＝3 ﹣
＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．
10．【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降
价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据
此即可列方程求解．
【解答】解：设平均每次减价率是x，根据题意得
100（1﹣x）2＝81，
解之，得x ＝1.9（舍去），x ＝0.1．
1 2
即平均每次降价率是10%．
【点评】本题需仔细分析题意，利用一元二次方程解决问题，但应注意解的取舍．
11．【分析】先求出样本平均数，然后乘以总数100即可．
【解答】解：从中任选5条平均质量为 ＝1.4kg，则这100条鱼的
总质量约为140kg．
故答案为140．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
12．【分析】根据函数当x＞0时，y随x的增大而增大可以判断k的符号，然后解方程求得k的
值即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k值满足方程k2﹣k﹣2＝0，
∴解方程得k＝2或k＝﹣1，
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴k＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质及解一元二次方程的知识，比较简单，属于基础题．
13．【分析】首先过D作DM⊥CB，证明四边形AEMD是平行四边形，可得AD＝EM，进而得
到（BE+MC）：AD＝1：1，再证明 BE＝CM，可得到 BE：AD＝1：2，最后证明
△ADF∽△EBF，可根据面积之比等于对应边AD，BE之比的平方，即可得到答案．
第10页（共23页）【解答】解：过D作DM⊥CB，
∵AE⊥BC，
∴AE∥DM，
∵AD∥EM，
∴四边形AEMD是平行四边形，
∴AD＝EM，
∵AD：BC＝1：2，
∴（BE+MC）：AD＝1：1，
∵AB＝CD，AE＝DM，
∴Rt△ABE≌Rt△DCM，
∴BE＝CM，
∴BE：AD＝1：2，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∵△BFE的面积与△DFA的面积之比为1：4，
故答案为：1：4．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形
的判定与性质，综合性较强，但是难度不大，关键是证明BE：AD＝1：2．
14．【分析】首先观察分母上的数字规律，再观察分子上的数字规律，把二者合起来即可．
【解答】解：首先观察发现分母上的：3，5，7，9，…的规律是：2n+1，
再观察发现分子上的规律是：x2n﹣1，
∴依照此规律第n个数据是 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了数字的变化类，关键是分别找出分子分母的数字变化规律．
15．【分析】分两条弦在直径AB的同侧和异侧两种情况讨论即可求解．
【解答】解：∵AB为 O的直径，
⊙
第11页（共23页）∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝ ，
∴sin∠ABC＝ ＝ ，∴∠ABC＝45°；
在△ABD中，∵∠ADB＝90°，AB＝2，AD＝ ，
∴sin∠ABD＝ ＝ ，∴∠ABD＝60°．
分两种情况：
当两条弦AC与AD在直径AB的同侧时，∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝15°；
①当两条弦AC与AD在直径AB的异侧时，∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝105°．
②综上可知∠CBD＝15°或105°．
故答案为15°或105°．
【点评】本题考查了解直角三角形及圆周角定理，难度中等，能够考虑到两条弦AC、AD与
直径AB的位置关系，从而进行分类讨论是解决本题的关键．
16．【分析】先作出点A关于y＝1的对称点A′，再连接A'B，求出直线A'B的函数解析式，再
把y＝1代入即可得．
【解答】解：设直线A'B的函数解析式为：y＝kx+b，
作点A关于y＝1的对称点A'（1，0），连接A'B交y＝1于C，
∴ ，
解得： ，
∴直线A'B的函数解析式为：y＝ x﹣ ，把C的坐标（a，1）代入解析式可得，a＝ ．
故答案为： ．
第12页（共23页）【点评】此题主要考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．
三、解答题（17、18、19小题，每小题8分，共24分）
17．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子
即可解答本题．
【解答】解：（1﹣ ）÷
＝
＝
＝ ，
当a＝2+ 时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．【分析】（1）沿x轴正方向平移3个单位，再沿y轴负方向平移1个单位意思是向右平移3
个单位，再向下平移1个单位，找到△A O B 三个顶点的位置，连接各点即可；
1 1 1
（2）由△A O B 绕点O顺时针旋转90°后得到△A O B 可得O A ⊥O A ，O B ⊥O B ，
1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
A B ⊥A B ，O A ＝O A ，O B ＝O B ，A B ＝A B ，故可画出△A O B 的图形；
1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2
（3）根据扇形弧长等于圆锥底面圆周长，求出底面圆的半径，再利用母线求出圆锥的高．
【解答】（1）如图正确画出Rt△A O B ．（2分）
1 1 1
（2）如图正确画出Rt△A O B ．（4分）
2 1 2
（3）∵ ＝ ＝2 ．（6分）
π
∴圆锥底面圆周长为2 ．
π
∴圆锥底面圆半径r＝ ＝1．（7分）
第13页（共23页）∴圆锥的高h＝ ＝ ．（8分）
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面展开图以及图象的平移与旋转，根据对应点的变化就
是图形的变化是解题关键．
19．【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：
“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量＝2000元购买的数
量×3．
（2）盈利＝总售价﹣总进价．
【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价是x元．第二批供应书包单价（x+4）元
则： ×3＝ ．
解得：x＝80．
经检验：x＝80是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80元．
（2） ×（120﹣80）+ ×（120﹣84）＝3700（元）．
答：商店共盈利3700元．
【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量
关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是
解决问题的关键．
四、解答题（20、21小题，每小题10分，共20分）
20．【分析】（1）由总数＝某组频数÷频率计算；
第14页（共23页）（2）户外活动时间为1小时的人数＝总数×40%，再画图即可；
（3）扇形圆心角的度数＝360×比例；
（4）根据中位数与众数的定义解答即可，然后计算出平均时间后分析即可解答．
【解答】解：（1）调查人数＝12÷24%＝50（人）；
（2）户外活动时间为1小时的人数＝50×40%＝20（人）；
补全的图（1）如图所示：
（3）表示户外活动时间0.5小时的扇形圆心角的度数＝ ×360°＝72°；
（4）户外活动的平均时间＝ （小时），
∵1.18＞1，
∴平均活动时间符合上级要求；
户外活动时间的众数和中位数均为1小时．
故答案为：50，20，72°，1小时，1小时．
【点评】本题考查读频条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．利
用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问
题．
21．【分析】（1）根据题意列表，然后根据列表求得所有可能的结果与|m+n|＞1的情况，根据
概率公式求解即可．
（2）根据（1）中的表格，即可求得点（m，n）落在函数y＝﹣ 图象上的情况，由概率公式即
可求得答案．
【解答】解：（1）表格如下：
第15页（共23页）转盘乙
转盘甲 ﹣1 0 1 2
﹣1 （﹣1，﹣1） （﹣1，0） （﹣1，1） （﹣1，2）
﹣ （﹣ ，﹣1） （﹣ ，0） （﹣ ，1） （﹣ ，2）
1 （1，﹣1） （1，0） （1，1） （1，2）
（6分）
由表格可知，所有等可能的结果有12种，其中|m+n|＞1的情况有5种，（7分）
所以|m+n|＞1的概率为P ＝ ；（8分）
1
（2）点（m，n）在函数y＝﹣ 上的概率为P ＝ ＝ ．（10分）
2
【点评】此题为反比例函数与概率的综合，考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情
况数与总情况数之比．反比例函数上的点的横纵坐标的积为反比例函数的比例系数．第二
象限点的符号为（﹣，+）．
五、解答题（22小题8分，23小题10分，共18分）
22．【分析】（1）第一问作图相对简单，直接连接P点和小敏头顶，延长线和地面交点C和A
的连线即为影子；
（2）第二问．过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，要求P到地
面的距离，由题可知，只需求出PD即可，而在三角形PDQ中，55°角的邻边数值已知，求
对边，可用正切便可求出PD＝3tan55°≈4.3（米），再加上眼睛高度1.6，便可求出照明灯
到地面的距离为5.9米．
【解答】解：（1）如图线段AC是小敏的影子；
（2）过点Q作QE⊥MO于E，
第16页（共23页）过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，
则PF⊥EQ，
在Rt△PDQ中，∠PQD＝55°，
DQ＝EQ﹣ED
＝4.5﹣1.5
＝3（米），
∵tan55°＝ ，
∴PD＝3tan55°≈4.3（米），
∵DF＝QB＝1.6米，
∴PF＝PD+DF＝4.3+1.6＝5.9（米）
答：照明灯到地面的距离为5.9米．
【点评】解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角
形中，利用三角函数即可解答．
23．【分析】（1）根据题意得 PB⊥AB．则∠OPB+∠POB＝90°．再由 OP⊥BC，得
∠ABC+∠POB＝90°．即可得出∠ABC＝∠OPB．又∠AEC＝∠ABC，得∠OPB＝∠AEC；
（2）四边形AOEC是菱形．有两种解法：根据题意得出 ＝ ．再由C为半圆 的三等
分点，得 ＝ ＝ ．即∠ABC＝∠ECB．从而得出AB∥CE，AC⊥BC．AC∥OE，四边形
AOEC是平行四边形．又OA＝OE，从而得出四边形AOEC是菱形．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，PB为 O的切线，
∴PB⊥AB． ⊙ ⊙
∴∠OPB+∠POB＝90°．
∵OP⊥BC，
∴∠ABC+∠POB＝90°．
第17页（共23页）∴∠ABC＝∠OPB．
又∠AEC＝∠ABC，
∴∠OPB＝∠AEC．
（2）解：四边形AOEC是菱形．
证法一：∵OP⊥弦BC于点D且交 O于点E，
∴ ＝ ． ⊙
∵C为半圆 的三等分点，
∴ ＝ ＝ ．
∴∠ABC＝∠ECB．
∴AB∥CE．
∵AB是 O的直径，
∴AC⊥B⊙C．
又 OP⊥弦BC于点D且交 O于点E，
∴AC∥OE． ⊙
∴四边形AOEC是平行四边形．
又 OA＝OE，
∴四边形AOEC是菱形．
证法二：连接OC．
∵C为半圆 的三等分点，
∴∠AOC＝60°．
∴∠ABC＝∠AEC＝∠OPB＝30°．
由（1），得∠POB＝90°﹣∠OPB＝60°．
∴∠ECB＝30°．
∴∠ABC＝∠ECB＝30°．
∴AB∥CE．
∵AB是 O的直径，
∴AC⊥B⊙C．
又 OP⊥弦BC于点D且交 O于点E，
∴AC∥OE． ⊙
第18页（共23页）∴四边形AOEC是平行四边形．
又 OA＝OE，
∴四边形AOEC是菱形．
证法三：连接OC，则OC＝OA＝OE．
∵C为半圆 的三等分点，
∴∠AOC＝60°．
∴△AOC为等边三角形．
∴AC＝AO．
∵OP⊥弦BC于点D且交 O于点E，
∴ ＝ ． ⊙
∵C为半圆 的三等分点，
∴ ＝ ＝ ．
∴AC＝CE．
∴AC＝CE＝OA＝OE．
∴四边形AOEC是菱形．
【点评】本题考查了菱形的性质以及切线的判定，是中考压轴题，难度较大．
六、解答题（本题满分12分）
24．【分析】（1）购进冰箱x台，洗衣机（15﹣2x）台，然后把电视机、冰箱、洗衣机的台数分别
乘以它们售价的13%求和即可得到y；
（2）由洗衣机数量不大于电视机数量的一半得到15﹣2x≤ x；由总进货款为32400元得
到2000x+2400x+1600（15﹣2x）≤32400，然后解两个不等式组成的不等式组，再确定满足
条件的整数，即可得到商场进货方案；
（3）由（1）得到y＝156x+3313，根据一次函数的性质得到当x＝7时y最大，然后把x＝7代
入计算即可．
第19页（共23页）【解答】解：（1）设购进电视机x台，则购进冰箱x台，洗衣机（15﹣2x）台，
根据题意得，y＝2100x•13%+2500x•13%+1700（15﹣2x）•13%＝156x+3315；
（2）根据题得， ，
解不等式组得6≤x≤7，
∵x为整数，
∴x＝6或7，
∴商场有两种进货方案：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．
（3）y＝156x+3315，
∵k＝156＞0，
∴当x＝7时y最大，y最大值 ＝156×7+3315＝4407，
∴如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民4407元．
【点评】本题考查了一次函数的应用：根据题意用一次函数表示两个变量的关系，然后利
用一次函数的性质解决最值问题．也考查了一元一次不等式的解法．
七、解答题（本题满分12分）
25．【分析】（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定证△PDC≌△PBC，推出PB＝PD＝
PE，∠PDE＝180°﹣∠PBC＝∠PED，求出∠PEC+∠PBC＝180°，求出∠EPB的度数即可；
（1）和（3）证法与（2）类似．
【解答】（1）解： PE＝PB， PE⊥PB．
① ②
（2）解：（1）中的结论成立．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
①∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，
又 PC＝PC，
∴△PDC≌△PBC，
∴PD＝PB，
∵PE＝PD，
∴PE＝PB，
第20页（共23页）：由 ，得△PDC≌△PBC，
②∴∠PD①C＝∠PBC．（7分）
又∵PE＝PD，
∴∠PDE＝∠PED．
∴∠PDE+∠PDC＝∠PEC+∠PBC＝180°，
∴∠EPB＝360°﹣（∠PEC+∠PBC+∠DCB）＝90°，
∴PE⊥PB．
（3）解：如图所示：
结论： PE＝PB， PE⊥PB．
【点评】①本题考查了正②方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂线等知识点，解此题的关
键是求出PD＝PB和∠PEC+∠PBC＝180°，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了
学生的观察能力和分析问题的能力．
八、解答题（本题满分14分）
26．【分析】（1）把B、C的坐标代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出C、P的坐标，求出PC的值，PC是腰时，有3个点，PC是底时，有1个点，根据
PC的值求出即可；
（3）连接BP，根据相似得出比例式 ＝ 和 ＝ ，代入求出BQ即可；
（4）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，﹣x+3），点E
（x，x2﹣4x+3），推出EF＝﹣x2+3x，根据S△CBE ＝S△CEF +S△BEF ＝ EF•OB代入求出即可．
【解答】解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴ ，
解得 ，
第21页（共23页）∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为x＝2，顶点坐标为P（2，﹣1），
∴满足条件的点M分别为M（2，7），M（2，2 ﹣1），M（2， ），M（2，﹣2 ﹣1）；
1 2 3 4
（3）由（1），得A（1，0），
连接BP，
∵∠CBA＝∠ABP＝45°，
∴当 ＝ 时，△ABC∽△PBQ，
∴BQ＝3．
∴Q （0，0），
1
∴当 ＝ 时，△ABC∽△QBP，
∴BQ＝ ．
∴Q′（ ，0）．
（4）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交
直线BC于点F，
设点F（x，﹣x+3），点E（x，x2﹣4x+3），
∴EF＝﹣x2+3x，
∴S△CBE ＝S△CEF +S△BEF ＝ EF•OB，
＝﹣ x2+ x，
＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵a＝﹣ ＜0，
第22页（共23页）∴当x＝ 时，S△CBE 有最大值，
∴y＝x2﹣4x+3＝﹣ ，
∴E（ ，﹣ ）．
【点评】本题综合考查了二次函数的综合，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，等
腰三角形性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，此题
难度偏大，对学生提出较高的要求，综合性比较强．
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日期：2020/9/3 10:57:43；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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