文档内容
2017 年辽宁省本溪市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）在﹣ ，1，0，﹣3中，最大的数是（ ）
A．﹣ B．1 C．0 D．﹣3
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4÷a3=a B．（a2）4=a6
C．2a2﹣a2=1 D．3a3•2a2=6a6
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣a=0有一个实数根为﹣1，则a的值（
）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
5．（3分）小明同学中考前为了给自己加油，课余时间制作了一个六个面分别写有
“17”“中”“考”“必”“胜”“！”的正方体模型，这个模型的表面展开
图如图所示，与“胜”相对的一面写的（ ）
A．17 B．！ C．中 D．考
6．（3分）已知一组数据1，2，4，3，x的众数是2，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
7．（3分）下列事件为确定事件的是（ ）
A．一个不透明的口袋中装有除颜色以外完全相同的3个红球和1个白球，均
匀混合后，从中任意摸出1个球是红球
B．长度分别是4，6，9的三条线段能围成一个三角形
第1页（共38页）C．本钢篮球队运动员韩德君投篮一次命中
D．掷1枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上
8．（3分）四月是辽宁省“全面阅读月”，学校阅览室将对学生的开放时间由每天
的4.5h延长到每天6h，这样每天可以多安排2个班级阅读．如果每个班级每
天阅读时间相同，且每个时间段只能安排一个班级阅读．设原来每天可以安排
x个班级阅读，根据题意列出的方程正确的为（ ）
A． = B． = C． = D． =
9．（3分）如图，点A在第二象限，点B在x轴的负半轴上，AB=AO=13，线段OA的
垂直平分线交线段AB于点C，连接OC，△BOC的周长为23，若反比例函数y=
的图象经过点A，则k的值为（ ）
A．30 B．﹣30 C．60 D．﹣60
10．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，以点A为中心的正
方形EFGH边长为x（x＞0），EF∥AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠
部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
第2页（共38页）C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）3月18日，本溪市首条地下综合管理廊项目在咸宁大街开建，工程总
投资560000000元．将数据560000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）如图，两张矩形纸条交叉重叠在一起，若∠1=50°，则∠2的度数为
．
13．（3分）分解因式：m3n﹣4mn3= ．
14．（3分）有甲、乙两段高度相等的山坡，分别修建了阶数相同的两段台阶．甲段
台阶各级台阶高度的方差s 2=4.6，乙段台阶各级台阶高度的方差s 2=2.2，当
甲 乙
每级台阶高度接近时走起来比较舒适，则甲、乙两段台阶走起来更舒适的是
（填“甲”或“乙”）．
15．（3分）电影《速度与激情8》上映，小亮同学准备买票观看，在选择座位时，他
发现理想的位置只剩下了第九排的3个座位和第十排的4个座位．他从这7个
座位中随机选了1个座位是第九排座位的概率为 ．
16．（3分）直线y=kx+b是由直线y=﹣2x平移得到的，且经过点P（2，0），则k+b的
值为 ．
17．（3分）菱形ABCD中，AB=5，AE是BC边上的高，AE=4，则对角线BD的长为
．
18．（3分）如图，∠AOB=60°，点O 是∠AOB平分线上一点，OO =2，作O A ⊥OA，
1 1 1 1
O B ⊥OB，垂足分别为点 A ，B ，以 A B 为边作等边三角形 A B O ；作
1 1 1 1 1 1 1 1 2
O A ⊥OA，O B ⊥OB，垂足分别为点A ，B ，以A B 为边作等边三角形A B O ；
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
第3页（共38页）作O A ⊥OA，O B ⊥OB，垂足分别为点 A ，B ，以 A B 为边作等边三角形
3 3 3 3 3 3 3 3
A B O ；…按这样的方法继续下去，则△A B O 的面积为 （用含正整数n
3 3 4 n n n
的代数式表示）．
三、解答题（本大题共2小题，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（x﹣2﹣ ）• ，其中x=（1﹣π）0﹣|﹣ |．
20．（12分）随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学
所喜爱，本溪市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项
活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查．调查结果整理后，将这部
分同学的态度划分为四个类别：A．积极参与；B．一定参与；C．可以参与；D．不
参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图．
学生参与“朗读”的态度统计表
类别 人数 所占百分比
A 18 a
B 20 40%
C m 16%
D 4 8%
第4页（共38页）合计 b 100%
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ．
（2）请求出m的值并将条形统计图补充完整．
（3）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动
可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？
（4）“朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机
选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女
生的概率．
四、解答题（本大题共2小题，共24分）
21．（12分）某校九年级有三个班，其中九年一班和九年二班共有105名学生，在
期末体育测试中，这两个班级共有79名学生满分，其中九年一班的满分率为
70%，九年二班的满分率为80%．
（1）求九年一班和九年二班各有多少名学生．
（2）该校九年三班有45名学生，若九年级体育成绩的总满分率超过75%，求九年
三班至少有多少名学生体育成绩是满分．
第5页（共38页）22．（12 分）如图，△PAB 内接于⊙O， ▱ABCD 的边 AD 是⊙O 的直径，且
∠C=∠APB，连接BD．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若BC=2，∠PBD=60°，求 与弦AP围成的阴影部分的面积．
五、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某
租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y（辆）与每辆车每天的租
金x（元）满足关系式y=﹣ x+36（500≤x≤1800，且x为50的整数倍），公司
需要为每辆租出的车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w
元．
（1）求w与x的函数关系式．（利润=租金﹣支出）
（2）公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了
物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的
总利润最多为多少元？
第6页（共38页）六、解答题（本大题共1小题，共12分）
24．（12分）如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成
如图2位置，刀片部分是四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，CD=15mm，
∠C=53°，刀鞘的边缘MN∥PQ，刀刃BC与刀鞘边缘PQ相交于点O，点A恰好
落在刀鞘另一边缘MN上时，∠COP=37°，OC=50mm，
（1）求刀片宽度h．
（2）若刀鞘宽度为14mm，求刀刃BC的长度．（结果精确到0.1mm）（参考数据：
sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
第7页（共38页）七、解答题（本大题共1小题，共12分）
25．（12分）△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在
直线MN上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点
E．
（1）如图①，当α=60°，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量
关系．
（2）如图②，当α=45°，且点D在射线AN上时，直写出线段AB、AD、AE的数量关
系，并说明理由．
（3）当α=30°时，若点D在射线AM上，∠ABE=15°，AD= ﹣1，请直接写出线段
AE的长度．
第8页（共38页）八、解答题（本大题共1小题，共14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A，B两点，
点B（3，0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C（4， ），与y轴交点
为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）过点P作PE⊥AC，垂足为点E，作PF∥y轴交直线AC于点F，设点P的横坐标
为t，线段EF的长度为m，求m与t的函数关系式．
（3）点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角
形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．
第9页（共38页）2017 年辽宁省本溪市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）在﹣ ，1，0，﹣3中，最大的数是（ ）
A．﹣ B．1 C．0 D．﹣3
【考点】18：有理数大小比较．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得答案．
【解答】解：因为在﹣ ，1，0，﹣3中，最大是1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数大小比较的法则：
①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值
大的其值反而小．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4÷a3=a B．（a2）4=a6
C．2a2﹣a2=1 D．3a3•2a2=6a6
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；49：单项
式乘单项式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则分别运算得出
答案．
【解答】解：A、a4÷a3=a，正确；
B、（a2）4=a8，故此选项错误；
C、2a2﹣a2=a2，故此选项错误；
第10页（共38页）D、3a3•2a2=6a5，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算
法则是解题关键．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣a=0有一个实数根为﹣1，则a的值（
）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】A3：一元二次方程的解．
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【专题】1：常规题型．
【分析】把x=﹣1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣a=0有一个根是﹣1，
∴（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣a=0，
解得：a=4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等
的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也
第11页（共38页）叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
5．（3分）小明同学中考前为了给自己加油，课余时间制作了一个六个面分别写有
“17”“中”“考”“必”“胜”“！”的正方体模型，这个模型的表面展开
图如图所示，与“胜”相对的一面写的（ ）
A．17 B．！ C．中 D．考
【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正
方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“胜”相对的面上的字．
【解答】解：结合展开图可知，与“胜”相对的面上的字是“考”．
故选：D．
【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．
6．（3分）已知一组数据1，2，4，3，x的众数是2，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数；把数从
小到大排成一列，正中间如果是一个数，这个数就是中位数，正中间如果是两
个数，那中位数是这两个数的平均数．先根据众数定义求出x，再把这组数据从
小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数．
【解答】解：∵数据1，2，4，3，x的众数是2，
∴2出现的次数是2次，
∴x=2，
数据重新排列是：1、2、2、3、4，
由于5个数中2在正中间，所以中位数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了众数、中位数，解题的关键是理解众数、中位数的概念，并根据
第12页（共38页）概念求出一组数据的众数、中位数．
7．（3分）下列事件为确定事件的是（ ）
A．一个不透明的口袋中装有除颜色以外完全相同的3个红球和1个白球，均
匀混合后，从中任意摸出1个球是红球
B．长度分别是4，6，9的三条线段能围成一个三角形
C．本钢篮球队运动员韩德君投篮一次命中
D．掷1枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上
【考点】X1：随机事件．
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【专题】543：概率及其应用．
【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，即一定发生或一定不会发生的事
件．
【解答】解：A．一个不透明的口袋中装有除颜色以外完全相同的3个红球和1个
白球，均匀混合后，从中任意摸出1个球是红球，是随机事件；
B．长度分别是4，6，9的三条线段能围成一个三角形，是必然事件；
C．本钢篮球队运动员韩德君投篮一次命中，是随机事件；
D．掷1枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上，是随机事件；
故选：B．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．确定事
件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不
可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．（3分）四月是辽宁省“全面阅读月”，学校阅览室将对学生的开放时间由每天
的4.5h延长到每天6h，这样每天可以多安排2个班级阅读．如果每个班级每
天阅读时间相同，且每个时间段只能安排一个班级阅读．设原来每天可以安排
x个班级阅读，根据题意列出的方程正确的为（ ）
A． = B． = C． = D． =
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】1：常规题型．
【分析】设原来每天可以安排x个班级阅读，那么现在每天可以安排（x+2）个班级
第13页（共38页）阅读，根据“每个班级每天阅读时间相同，且每个时间段只能安排一个班级阅
读”，列出方程即可．
【解答】解：设原来每天可以安排x个班级阅读，那么现在每天可以安排（x+2）个
班级阅读，
根据题意，得 = ．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等
量关系是解决问题的关键．
9．（3分）如图，点A在第二象限，点B在x轴的负半轴上，AB=AO=13，线段OA的
垂直平分线交线段AB于点C，连接OC，△BOC的周长为23，若反比例函数y=
的图象经过点A，则k的值为（ ）
A．30 B．﹣30 C．60 D．﹣60
【考点】G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KG：线段垂
直平分线的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】作AC⊥x轴于D，如图，利用垂直平分线的性质得CA=CO，再利用等腰三
角形的性质和线段的等量代换可得到OB=10，接着利用等腰三角形的性质得
BD=OD=5，则利用勾股定理可计算出AD=12，所以A（﹣5，12），然后根据反比
例函数图象上点的坐标特征求k的值．
【解答】解：作AC⊥x轴于D，如图，
∵线段OA的垂直平分线交线段AB于点C，
∴CA=CO，
∵△BOC的周长为23，
∴OB+BC+OC=23，
∴OB+BC+CA=23，即OB+BA=23，
第14页（共38页）∴OB=23﹣13=10，
∵AB=AO，AD⊥OB，
∴BD=OD=5，
在Rt△AOD中，AD= =12，
∴A（﹣5，12），
∴k=﹣5×12=﹣60．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，
k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
也考查了等腰三角形的性质．
10．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，以点A为中心的正
方形EFGH边长为x（x＞0），EF∥AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠
部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
第15页（共38页）C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
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【专题】53：函数及其图象．
【分析】分三个时间段求出函数解析式即可判断；
【解答】解：①当0＜x≤4时，y= x2，
②当4＜x≤8时，y= ×4×4﹣2× ×（4﹣ x）2=﹣ x2+4x﹣8，
③当x＞8时，y=8，
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）3月18日，本溪市首条地下综合管理廊项目在咸宁大街开建，工程总
投资560000000元．将数据560000000用科学记数法表示为 5. 6 × 1 0 8 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将数据560000000用科学记数法表示为5.6×108．
故答案为：5.6×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）如图，两张矩形纸条交叉重叠在一起，若∠1=50°，则∠2的度数为
第16页（共38页）130° ．
【考点】JA：平行线的性质．
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【专题】551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠ABC以及∠2的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠ABC=50°，
∴∠2=180°﹣∠ABC=180°﹣50°=130°，
故答案为：130°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两
直线平行，同旁内角互补．
13．（3分）分解因式：m3n﹣4mn3= mn （ m + 2n ）（ m﹣2n ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】44：因式分解．
【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．
【解答】解：原式=mn（m2﹣4n2）
=mn（m+2n）（m﹣2n），
故答案为：mn（m+2n）（m﹣2n）．
【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
14．（3分）有甲、乙两段高度相等的山坡，分别修建了阶数相同的两段台阶．甲段
台阶各级台阶高度的方差s 2=4.6，乙段台阶各级台阶高度的方差s 2=2.2，当
甲 乙
每级台阶高度接近时走起来比较舒适，则甲、乙两段台阶走起来更舒适的是
乙 （填“甲”或“乙”）．
【考点】W7：方差．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：因为S 2=4.6＞S 2=2.2，方差较小的为乙，
甲 乙
第17页（共38页）所以甲、乙两段台阶走起来更舒适的是乙．
故答案为乙．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越
大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越
小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越
稳定．
15．（3分）电影《速度与激情8》上映，小亮同学准备买票观看，在选择座位时，他
发现理想的位置只剩下了第九排的3个座位和第十排的4个座位．他从这7个
座位中随机选了1个座位是第九排座位的概率为 ．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】先求出总座位数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵第九排有3个座位，第十排有4个座位，共有7个座位，
∴从这7个座位中随机选了1个座位是第九排座位的概率为 ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．
16．（3分）直线y=kx+b是由直线y=﹣2x平移得到的，且经过点P（2，0），则k+b的
值为 2 ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；F9：一次函数图象与几何变换．
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【专题】1：常规题型．
【分析】两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，可确定k的值；把（2，0）代
入即可求出b的值即可求出答案．
【解答】解：∵直线y=kx+b是由直线y=﹣2x平移得到的，
∴y=kx+b中k=﹣2，
∵直线y=kx+b经过点P（2，0），
∴当x=2时，y=0，将其代入y=﹣2x+b，
解得：b=4．
第18页（共38页）则k+b=﹣2+4=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换的知识，属于基础题，解题的关键是
掌握两直线平行则k值相同．
17．（3分）菱形ABCD中，AB=5，AE是BC边上的高，AE=4，则对角线BD的长为 2
或 4 ．
【考点】L8：菱形的性质．
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【专题】1：常规题型；32：分类讨论；556：矩形 菱形 正方形．
【分析】分∠B为钝角和锐角两种情况，在Rt△ABE中求得BE，则可求得EC，在
Rt△AEC中利用勾股定理可求得AC，再利用等积法可求得BD的长．
【解答】解：
当∠B为钝角时，如图1，
∵AB=5，AE=4，且AE⊥BC，
∴BE=3，
∴CE=BC+BE=5+3=8，
在Rt△ACE中，由勾股定理可得AC= = =4 ，
∵S =BC•AE= BD•AC，
菱形ABCD
∴5×4= ×4 BD，解得BD=2 ；
当∠B为锐角时，如图2，
第19页（共38页）同理可求得BE=3，则CE=5﹣3=2，
在Rt△ACE中，可求得AC= =2 ，
同理可求得BD=4 ，
综上可知BD的长为2 或4 ，
故答案为：2 或4 ．
【点评】本题主要考查菱形的性质，求得对角线AC的长是解题的关键，注意等积
法的应用．
18．（3分）如图，∠AOB=60°，点O 是∠AOB平分线上一点，OO =2，作O A ⊥OA，
1 1 1 1
O B ⊥OB，垂足分别为点 A ，B ，以 A B 为边作等边三角形 A B O ；作
1 1 1 1 1 1 1 1 2
O A ⊥OA，O B ⊥OB，垂足分别为点A ，B ，以A B 为边作等边三角形A B O ；
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
作O A ⊥OA，O B ⊥OB，垂足分别为点 A ，B ，以 A B 为边作等边三角形
3 3 3 3 3 3 3 3
A B O ；…按这样的方法继续下去，则△A B O 的面积为 或
3 3 4 n n n
（用含正整数n的代数式表示）．
【考点】38：规律型：图形的变化类；KK：等边三角形的性质．
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第20页（共38页）【专题】2A：规律型．
【分析】先根据勾股定理和直角三角形 30度角的性质求A O =B O = OO =1，
1 1 1 1 1
OA =OB = ，证明△A OB 是等边三角形，则A B = ，求△A B O 的面积= ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
易证得△A B O ∽△A B O ，可得 = = ，根据面积比等于相似比的平
1 1 1 2 2 2
方得： = = ，计算 = = ，
同理可得： = = × ，…，可得结论．
【解答】解：如图，由题意得：∠A OC =∠B OO =30°，OO =2，
1 1 1 1 1
∠OA O =∠OB O =90°，
1 1 1 1
∴A O =B O = OO =1，
1 1 1 1 1
∴OA =OB = ，
1 1
∵∠AOB=60°，
∴△A OB 是等边三角形，
1 1
∴A B = ，
1 1
设OO 分别与A B ，A B ，A B 的交点为C ，C ，C ，
4 1 1 2 2 3 3 1 2 3
∴高OC = ，O C =2﹣ = ，
1 1 1
∴△A B O 的面积为 A B ×O C = ，
1 1 1 1 1 1 1
易证得△A B O ∽△A B O ，
1 1 1 2 2 2
∴ = = ，
∴ = = ，
第21页（共38页）∴ = = ，
同理可得： = = × ，…，
= = × = （或 ）．
故答案为： 或 ．
【点评】本题是图形变化类的规律题，考查了找规律，解决此类问题的关键是依据
所给出的若干个具体数据、图形或式子，归纳出具有普遍性的规律，再依据规
律求解．
三、解答题（本大题共2小题，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（x﹣2﹣ ）• ，其中x=（1﹣π）0﹣|﹣ |．
【考点】15：绝对值；6D：分式的化简求值；6E：零指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】先化简，再求出x的值，代入即可得出结论．
【解答】解：原式= •
= •
= ．
第22页（共38页）∵x=（1﹣π）0﹣|﹣ |=1﹣ = ，
∴原式= = =14
【点评】此题主要考查了分式的化简，零指数幂，绝对值，分式的化简是解本题的
关键．
20．（12分）随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学
所喜爱，本溪市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项
活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查．调查结果整理后，将这部
分同学的态度划分为四个类别：A．积极参与；B．一定参与；C．可以参与；D．不
参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图．
学生参与“朗读”的态度统计表
类别 人数 所占百分比
A 18 a
B 20 40%
C m 16%
D 4 8%
合计 b 100%
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）a= 36% ，b= 5 0 ．
（2）请求出m的值并将条形统计图补充完整．
（3）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动
可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？
（4）“朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机
选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女
生的概率．
第23页（共38页）【考点】VA：统计表；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）用100%分别减去B、C、D的频率可得到a的值；用18除以a得到b的
值；
（2）用b的值乘以16%得到m的值，然后补全条形统计图；
（3）用1500乘以D类的百分比，然后把计算的结果与150进行大小比较，则可判
断这次活动能否顺利开展；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选两人都是女生的结果数
为2，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）a=100%﹣8%﹣16%﹣40%=36%，
b=18÷36%=50；
故答案为36%，50；
（2）m=50×16%=8，
条形统计图为：
（3）1500×8%=120（人），
因为120＜150，
所以这次活动能顺利开展；
（4）画树状图为：
第24页（共38页）共有12种等可能的结果数，其中所选两人都是女生的结果数为2，
所以所选两人都是女生的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事
件A或B的概率．也考查了统计图．
四、解答题（本大题共2小题，共24分）
21．（12分）某校九年级有三个班，其中九年一班和九年二班共有105名学生，在
期末体育测试中，这两个班级共有79名学生满分，其中九年一班的满分率为
70%，九年二班的满分率为80%．
（1）求九年一班和九年二班各有多少名学生．
（2）该校九年三班有45名学生，若九年级体育成绩的总满分率超过75%，求九年
三班至少有多少名学生体育成绩是满分．
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
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【专题】12：应用题；521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】（1）设九年一班有x名学生，九年二班有y名学生，根据“九年一班和九
年二班共有105名学生、两个班级共有79名学生满分”列方程组求解可得；
（2）设九年三班有m名学生体育成绩满分，根据“九年级体育成绩的总满分率超
过75%”列不等式求解可得．
【解答】解：（1）设九年一班有x名学生，九年二班有y名学生，
根据题意，得： ，
解得： ；
答：九年一班有50名学生，九年二班有55名学生．
（2）设九年三班有m名学生体育成绩满分，
根据题意，得：79+m＞（105+45）×75%，
解得：m＞33.5，
∵m为整数，
第25页（共38页）∴m的最小值为34，
答：九年三班至少有34名学生体育成绩是满分．
【点评】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是
理解题意，找到相等关系与不等关系，并据此列出方程组和不等式．
22．（12 分）如图，△PAB 内接于⊙O， ▱ABCD 的边 AD 是⊙O 的直径，且
∠C=∠APB，连接BD．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若BC=2，∠PBD=60°，求 与弦AP围成的阴影部分的面积．
【考点】L5：平行四边形的性质；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MO：扇
形面积的计算．
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【专题】55C：与圆有关的计算．
【分析】（1）连接OB，利用平行四边形的性质，切线的判定定理即可得到BC是
⊙O的切线；
（2）连结OP，作OE⊥AP于E，在Rt△OAE中中，利用三角函数得到OE，然后根据
扇形面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）连结OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，AD∥BC，
∵∠APB=∠ADB，∠C=∠APB，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD，
∵OA=OD，
∴OB⊥AD，
∴∠AOB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠OBC=∠AOB=90°，
第26页（共38页）∴OB⊥BC，
∵OB为半径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）连结OP，作OE⊥AP于E，
∵∠PAD=∠PBD=60°，OA=OP，
∴PA=OA=OP，∠AOP=60°，
在 ▱ABCD中，AD=BC=2，
∴AP=OA=1，
在Rt△OAE中，OE=OA•sin60°= ，
与弦AP围成的阴影部分的面积为： ﹣ ×1× = ﹣ ．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆
的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是
否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已
知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半
径垂直于这条直线．也考查了扇形的面积公式．
五、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某
租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y（辆）与每辆车每天的租
金x（元）满足关系式y=﹣ x+36（500≤x≤1800，且x为50的整数倍），公司
需要为每辆租出的车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w
元．
（1）求w与x的函数关系式．（利润=租金﹣支出）
第27页（共38页）（2）公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了
物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的
总利润最多为多少元？
【考点】HE：二次函数的应用．
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【专题】536：二次函数的应用．
【分析】（1）根据公司每天的总利润=每辆车的利润×车辆数列出即可；
（2）根据二次函数的性质，求得“十一黄金周”的前3天的利润以及后4天的利
润，即可得到这7天公司获得的总利润．
【解答】解：（1）由题意得：w=（x﹣200）y
=（x﹣200）（﹣ x+36）
=﹣ x2+40x﹣7200；
（2）w=﹣ x2+40x﹣7200=﹣ （x﹣1000）2+12800．
∵﹣ ＜0，w有最大值，
∴当x=1000时，w的最大值为12800，
由题可得，后4天时500≤x≤800，
∵当x＜1000时，w随着x的增大而增大，
∴当x=800时，w的最大值为12000，
∴3×12800+4×12000=86400，
答：这7天公司获得的总利润最多为86400元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用．解此类题的关键是通过题意，确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问
题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
24．（12分）如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成
如图2位置，刀片部分是四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，CD=15mm，
第28页（共38页）∠C=53°，刀鞘的边缘MN∥PQ，刀刃BC与刀鞘边缘PQ相交于点O，点A恰好
落在刀鞘另一边缘MN上时，∠COP=37°，OC=50mm，
（1）求刀片宽度h．
（2）若刀鞘宽度为14mm，求刀刃BC的长度．（结果精确到0.1mm）（参考数据：
sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；T8：解直角三角形的应用．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）利用锐角三角函数即可得出结论；
（2）先求出AG，进而求出BG，用三角函数求出BO即可得出结论．
【解答】解：（1）作DE⊥BC于E，
在Rt△DEC中，∠CDE=90°﹣53°=37°，
∴DE=DC•cos37°=15× =12，
即：刀片的宽度h为12mm；
（2）作AF⊥PQ于F，延长AB交PQ于G，
∵∠COP=37°，
∴∠BOG=∠FAG=37°，
在Rt△AFG中，AF=14，
第29页（共38页）∴AG= = ，BG=AG﹣AB= ，AB⊥BC，
∴∠OBG=90°，
在Rt△BOG中，BO= = ，
∴BC=OC+OB=50+ ≈57.3．
【点评】此题是解直角三角形的应用，锐角三角函数，解本题的关键是熟练运用锐
角三角函数求出线段．
七、解答题（本大题共1小题，共12分）
25．（12分）△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在
直线MN上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点
E．
（1）如图①，当α=60°，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量
关系．
（2）如图②，当α=45°，且点D在射线AN上时，直写出线段AB、AD、AE的数量关
系，并说明理由．
（3）当α=30°时，若点D在射线AM上，∠ABE=15°，AD= ﹣1，请直接写出线段
AE的长度．
【考点】KY：三角形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）当α=60°时，可得△ABC是等边三角形，判定△BAD≌△BCE，即可得
到AD=CE，进而得到AE=AC+CE=AB+AD；
（2）当α=45°时，可得△ABC是等腰直角三角形，判定△BAD∽△BCE，可得CE=
AD，进而得出AE=AC+CE=AB+ AD；
（3）分两种情况：点E在线段AC上，点E在CA的延长线上，分别画出图形，依据
第30页（共38页）∠ABE=15°，AD= ﹣1，即可得到线段AE的长度．
【解答】解：（1）∵当α=60°时，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，∠ACB=60°，
∴∠BCE=120°，
∵MN∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=120°，
∴∠BAD=∠BCE，
∴△BAD≌△BCE，
∴AD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+AD；
（2）AE=AB+ AD．
理由：当α=45°时，∠ABC=∠DBE=45°，
∴∠ABD=∠CBE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC= AB，
∵MN∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=135°，
∵∠BCE=180°﹣∠ACB=135°，
∴∠BAD=∠BCE，
∴△BAD∽△BCE，
∴ = = ，
∴CE= AD，
∴AE=AC+CE=AB+ AD；
第31页（共38页）（3）线段AE的长度为 ﹣1或2﹣ ．
由题可得，∠ABC=∠DBE=∠BAD=30°，
分两种情况：
①如图所示，当点E在线段AC上时，
∵∠ABE=15°= ∠ABC= ∠DBE，
∴∠ABD=∠ABE=15°，
在BE上截取BF=BD，易得△ABD≌△ABF，
∴AD=AF= ﹣1，∠ABC=∠BAD=∠BAF=30°，
∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=15°+30°=45°，
又∵∠AEF=∠CBE+∠C=15°+30°=45°，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF= ﹣1；
②如图所示，当点E在CA的延长线上时，
过D作DF⊥AB于F，过E作EG⊥BC于G，
∵AD= ﹣1，∠DAF=30°，
∴DF= ，AF= ，
∵∠DBF=15°+30°=45°，
∴∠DBF=∠BDF，
第32页（共38页）∴BF=DF= ，AB= + =1=AC，
易得△ABC中，BC= ，
∵∠EBG=15°+30°=45°，
∴∠BEG=∠EBG，
设BG=EG=x，则CG= ﹣x，
∵Rt△CEG中，tanC= ，即 = ，
∴x= =EG，
∴CE=2EG=3﹣ ，
∴AE=CE﹣AC=3﹣ ﹣1=2﹣
综上所述所，线段AE的长度为 ﹣1或2﹣ ．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角
形的判定与性质以及等边三角形和等腰直角三角形的性质的综合运用，解决
问题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，利用全等三角形的对
应边相等，对应角相等求解．
八、解答题（本大题共1小题，共14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A，B两点，
点B（3，0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C（4， ），与y轴交点
为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）过点P作PE⊥AC，垂足为点E，作PF∥y轴交直线AC于点F，设点P的横坐标
为t，线段EF的长度为m，求m与t的函数关系式．
（3）点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角
形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．
第33页（共38页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）先求 AC 的解析式，表示 P 和 F 的坐标，表示线段 PF 的长，证明
△AOD∽△PEF，则 = = ，列方程可得m与t的函数关系式；
（3）先利用配方法计算对称轴，再分4种情况讨论：
①当以PQ为斜边，在x轴下方，如图1和图2，过P作PH⊥x轴于H，
②当以PQ为斜边，在x轴上方，如图3和图4，过P作PH⊥x轴于H，
③如图5，以OQ为斜边，当P在对称轴的左侧时，设P（t， ），
④如图6，以OQ为斜边，当P在对称轴的右侧时，设P（t， ），
分别作辅助线，构建全等三角形，利用一组对应边相等列方程可得P的横坐标，
从而得P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（4， ），
∴ ，解得： ，…2分
∴该抛物线的解析式为：y= x2﹣x﹣ ；…4分
（2）当y=0时， x2﹣x﹣ =0，
解得：x =﹣1，x =3，
1 2
∴A（﹣1，0），
第34页（共38页）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵直线AC经过点A（﹣1，0），C（4， ），
则 ，解得： ，
∴直线AC的解析式为：y= x+ ；…6分
∴D（0， ），OD= ，
由勾股定理得：AD= = ，
设P（t， ），则F（t， t+ ），
∴PF=（ ）﹣（ ）=﹣ + +2，…8分
∵DF∥y轴，
∴∠ADO=∠PFE，
∵PE⊥AC，
∴∠PEF=∠AOD=90°，
∴△AOD∽△PEF，
∴ = = ，
∴PF= EF，
∴ m=﹣ + +2，
m= （﹣ + +2）=﹣ + + （﹣1＜t＜4）；…10分
（3）y= x2﹣x﹣ = （x﹣1）2﹣2，
则抛物线的对称轴是x=1，
分4种情况：
①当以PQ为斜边，在x轴下方，如图1和图2，过P作PH⊥x轴于H，
第35页（共38页）∵△POQ是等腰直角三角形，∠POQ=90°，
∴OQ=OP，
易得△OQG≌△OPH，
∴PH=OG=1，
当y=﹣1时， x2﹣x﹣ =﹣1，
解得：x =1+ ，x =1﹣ ，
1 2
∴P（1+ ，﹣1）或（1﹣ ，﹣1）；
②当以PQ为斜边，在x轴上方，如图3和图4，过P作PH⊥x轴于H，
∵△POQ是等腰直角三角形，∠POQ=90°，
∴OQ=OP，
易得△OQG≌△OPH，
∴PH=OG=1，
当y=1时， x2﹣x﹣ =1，
解得：x =1+ ，x =1﹣ （此时点P在直线AC的上方，不符合题意，舍），
1 2
∴P（1+ ，1）；
③如图5，以OQ为斜边，当P在对称轴的左侧时，设P（t， ），
过P作PH⊥x轴于H，PG⊥对称轴于G，
同理得：PG=PH，
∴1﹣t=﹣ ，
解得：t =2﹣ ，t =2+ （舍），
1 2
∴P（2﹣ ，1﹣ ），
④如图6，以OQ为斜边，当P在对称轴的右侧时，设P（t， ），
过P作PH⊥x轴，过Q作QH⊥PH，
同理得：PG=QH，
∴t﹣1=﹣ ，
解得：t =﹣ （舍），t = ，
1 2
第36页（共38页）∴P（ ，1﹣ ），
综上所述，点P的坐标为P（1+ ，﹣1）或（1﹣ ，﹣1）或（1+ ，1）或（2﹣ ，
1﹣ ）或（ ，1﹣ ）…14分
第37页（共38页）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、
二次函数的性质和等腰直角三角形的关系；会利用待定系数法求函数解析式，
利用分类讨论的思想解决不固定等腰直角三角形的问题，并利用数形结合的
思想．
第38页（共38页）
