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2020年辽宁省本溪市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2．（3分）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m＝3m3 B．m4÷m2＝m2 C．m2•m3＝m6 D．（ m2）3＝m5
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
第1页（共27页）C． D．
5．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均
分都是129分，方差分别是s甲 2＝3.6，s乙 2＝4.6，s丙 2＝6.3，s丁 2＝7.3，则这4名同学3次
数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度
数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
7．（3分）一组数据1，8，8，4，6，4的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（3分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件
的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的
快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x
件，根据题意可列方程为（ ）
A． ＝ B． +80＝
C． ＝ ﹣80 D． ＝
9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是
CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
第2页（共27页）A．2 B． C．3 D．4
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，CD⊥AB于点D．点P从点A
出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC
于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系
的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）截至2020年3月底，我国已建成5G基站198000个，将数据198000用科学记数法
表示为 ．
12．（3分）若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝ ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
14．（3分）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取
在阴影部分的概率是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连
接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 ．
第3页（共27页）16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝
3，则BE的长为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，点
B，C在x轴上，OC＝ OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k
的值为 ．
18．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 是CD的
1
中点，连接EF ，BF ，得到△EF B；点F 是CF 的中点，连接EF ，BF ，得到△EF B；点F
1 1 1 2 1 2 2 2 3
是CF 的中点，连接EF ，BF ，得到△EF B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD
2 3 3 3
第4页（共27页）的面积等于2，则△EF B的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
n
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝ ﹣3．
20．（12分）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题
的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时
间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜
2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计
图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读
第5页（共27页）书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共
需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买
甲种词典多少本？
22．（12分）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，
点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货
船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
五、解答题（满分12分）
23．（12分）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y
（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗
手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量
为80瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，
超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB
的长为半径作 A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：D⊙E与 A相切；
⊙
第6页（共27页）（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝（0°＜ ＜180°），且AB＝CB．点
D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作α射线ADα，并在射线AD上取一点
E，使∠AEC＝ ，连接CE，BE．
（1）如图 ，α当点D在线段CB上， ＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图 ①，当点D在线段CB上，＝α120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，
并说明理②由； α
（3）当 ＝120°，tan∠DAB＝ 时，请直接写出 的值．
α
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2﹣2 x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的
顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 ，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图 ①，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线
段OB上②的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应
点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点
第7页（共27页）E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明
理由．
第8页（共27页）2020年辽宁省本溪市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：有理数﹣2的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．【分析】根据简单几何体的主视图的画法，利用“长对正”，从正面看到的图形．
【解答】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是
等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，画三视图时要注意“长对正、宽相等、高平
齐”．
3．【分析】运用合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算法则运算即
可．
【解答】解：A．m2与2m不是同类项，不能合并，所以A错误；
B．m4÷m2＝m4﹣2＝m2，所以B正确；
C．m2•m3＝m2+3＝m5，所以C错误；
D．（ m2）3＝m6，所以D错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算，
熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
4．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
第9页（共27页）【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵s甲 2＝3.6，s乙 2＝4.6，s丙 2＝6.3，s丁 2＝7.3，且平均数相等，
∴s甲 2＜s乙 2＜s丙 2＜s丁 2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动
大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均
值的离散程度越小，稳定性越好．
6．【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝20°，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°﹣∠3＝25°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解
题的关键．
7．【分析】先将数据重新排列，再根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：一组数据1，4，4，6，8，8的中位数是 ＝5，
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到
大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数
据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位
数．
8．【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据
人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x
第10页（共27页）的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意，得： ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
9．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA，OD，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求
出AD，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OD＝ BD＝ ×6＝3，OA＝ AC＝ ×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，AD＝ ＝5，
∵OE＝CE，
∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，
∴OE∥AD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝ AD＝ ×5＝2.5，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，
勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
10．【分析】根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点
D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到
点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，
设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，
第11页（共27页）从而可以得函数的图象．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，
∴AB＝4，∠A＝45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD＝BD＝2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE＝PF，PE＝CF，
∵点P运动的路程为x，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0＜x＜2时，
AP＝x，
则AE＝PE＝x•sin45°＝ x，
∴CE＝AC﹣AE＝2 ﹣ x，
∵四边形CEPF的面积为y，
y＝PE•CE
＝ x（2 ﹣ x）
＝﹣ x2+2x
＝﹣ （x﹣2）2+2，
∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x＜4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE＝PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD＝2，PD＝x﹣2，
∴CP＝4﹣x，
第12页（共27页）y＝ （4﹣x）2＝ （x﹣4）2．
∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数
绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：198000＝1.98×105，
故答案为：1.98×105．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
12．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，此题得解．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），
∴m＝2×3+2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函
数关系式y＝kx+b是解题的关键．
13．【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于
判别式小于零．
14．【分析】先设阴影部分的面积是5x，得出整个图形的面积是9x，再根据几何概率的求法即
可得出答案．
【解答】解：设阴影部分的面积是5x，则整个图形的面积是9x，
则这个点取在阴影部分的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
第13页（共27页）【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴
影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事
件（A）发生的概率．
15．【分析】依据三角形中位线定理，即可得到 MN＝ BC＝2，MN∥BC，依据
△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD＝MN＝2．
【解答】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝ BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的
判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键
是选择恰当的判定条件．
16．【分析】设BE＝AE＝x，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AE＝EB，
设AE＝EB＝x，
∵EC＝3，AC＝2BC，
∴BC＝ （x+3），
在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，
∴x2＝32+[ （x+3）]2，
解得，x＝5或﹣3（舍弃），
∴BE＝5，
故答案为5．
第14页（共27页）【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关
键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
17．【分析】作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC＝ CE，根据相似三角
形的性质求得S△CEA ＝1，进而根据题意求得S△AOE ＝ ，根据反比例函数系数k的几何意
义即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE，
∵OC＝ OB，
∴OC＝ CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴ ＝（ ）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC＝ OB，
∴S△COD ＝ S△BCD ＝ ，
∴S△CEA ＝4× ＝1，
∵OC＝ CE，
∴S△AOC ＝ S△CEA ＝ ，
∴S△AOE ＝ +1＝ ，
∵S△AOE ＝ k（k＞0），
∴k＝3，
第15页（共27页）故答案为3．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
18．【分析】先求得△EF D的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得
1
△EF 1 F 2 的面积，△EF 2 F 3 的面积，…，△EF n﹣1 F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积
的和差关系即可求解．
【解答】解：∵AE＝DA，点F 是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，
1
∴△EF D和△EAB的面积都等于1，
1
∵点F 是CF 的中点，
2 1
∴△EF F 的面积等于 ，
1 2
同理可得△EF n﹣1 F n 的面积为 ，
∵△BCF 的面积为2× ÷2＝ ，
n
∴△EF B的面积为2+1﹣1﹣ ﹣…﹣ ﹣ ＝2﹣（1﹣ ）＝ ．
n
故答案为： ．
【点评】考查了矩形的性质，规律型：图形的变化类，三角形的面积，本题难点是得到EF F
1 2
的面积，EF 2 F 3 的面积，…，EF n﹣1 F n 的面积．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．【分析】原式括号中第二项变形后利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变
形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
第16页（共27页）【解答】解：原式＝（ + ）•
＝ •
＝x+3，
当x＝ ﹣3时，原式＝ ﹣3+3＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用360°乘以D等级人数所占比例即可得；
（3）根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数，
然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次共调查学生 ＝50（名），
故答案为：50；
（2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°× ＝108°，
故答案为：108；
（3）C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），
补全图形如下：
（4）画树状图为：
第17页（共27页）共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．也考查了统计图．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本
甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，
即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，根据总价＝单价×数量结合
总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得
出结论．
【解答】解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，
依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典5本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式．
22．【分析】过点A作AD⊥BC于D，求出∠ABC＝60°，在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，由三角
第18页（共27页）函数定义求出AD＝AB•sin∠ABD＝40 ，求出∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝45°，则△ADC
是等腰直角三角形，得出AC＝ AD＝40 海里即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80× ＝40
，
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝ AD＝ ×40 ＝40 （海里）．
答：货船与港口A之间的距离是40 海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质等
知识；通过作辅助线得出直角三角形是解题的关键．
五、解答题（满分12分）
23．【分析】（1）利用待定系数法确定一次函数的关系式即可；
（2）根据总利润＝单件利润×销量列出有关w关于x的函数关系后求得最值即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得：
，
第19页（共27页）解得： ，
∴y与x之间的函数关系为y＝﹣5x+150；
（2）根据题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣20）2+500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∴当x＜20时，w随着x的增大而增大，
∵10≤x≤15且x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
即：w＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利
润为375元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式
及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题．
六、解答题（满分12分）
24．【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE
＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝
∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
第20页（共27页）∴DE⊥AE，
∵AE是 A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：⊙∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC ＝ AB•AC＝ ＝8 ，
∴S△ACE ＝ S△ABC ＝ ＝4 ，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF ＝ ＝ ＝ ，
∴S阴影 ＝S△ACE ﹣S扇形AEF ＝4 ﹣ ．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等
边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
七、解答题（满分12分）
25．【分析】（1）连接AC，证A、B、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠AEB＝∠ACB，证出
△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，进而得出结论；
（2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE（SAS），得
第21页（共27页）出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出
FH＝EH＝ BE，进而得出结论；
（3）由（2）得FH＝EH＝ BE，由三角函数定义得出AH＝3BH＝ BE，分别表示出CE，
进而得出答案．
【解答】解：（1）连接AC，如图 所示：
∵ ＝90°，∠ABC＝ ，∠AEC＝ ，①
∴α∠ABC＝∠AEC＝9α0°， α
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝45°；
（2）AE＝ BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图 所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE， ②
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中， ，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，
∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF＝ ×（180°﹣∠FBE）＝ ×（180°﹣120°）＝30°，
第22页（共27页）∵BH⊥EF，
∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，BH＝ BE，FH＝EH＝ BH＝ BE，
∴EF＝2EH＝2× BE＝ BE，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE，
∴AE＝ BE+CE；
（3）分两种情况：
当点D在线段CB上时，
①在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图 所示：
②
由（2）得：FH＝EH＝ BE，
∵tan∠DAB＝ ＝ ，
∴AH＝3BH＝ BE，
∴CE＝AF＝AH﹣FH＝ BE﹣ BE＝ BE，
∴ ＝ ；
当点D在线段CB的延长线上时，
②在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图 所示：
③
同 得：FH＝EH＝ BE，AH＝3BH＝ BE，
①
∴CE＝AF＝AH+FH＝ BE+ BE＝ BE，
∴ ＝ ；
综上所述，当 ＝120°，tan∠DAB＝ 时， 的值为 或 ．
α
第23页（共27页）【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判
定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题
综合性强，构造全等三角形是解题的关键．
八、解答题（满分14分）
26．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图 中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．解直角三角形求出点N的
坐标，求①出直线ON的解析式，构建方程组确定点D坐标即可．
（3）分三种情形：如图 ﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合．
如图 ﹣2中，当∠EG②F＝90°时，点H在对称轴右侧．如图 ﹣3中当∠FGE＝90°时，点
H在对②称轴左侧，点B′在对称轴上，分别求解即可． ②
【解答】解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣2 x+c中，
第24页（共27页）得到 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣2 x．
（2）如图 中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．
①
∵y＝ x2﹣2 x＝ （x﹣3）2﹣3 ，
∴顶点B（3，﹣3 ），M（3，0），
∴OM＝3．BM＝3 ，
∴tan∠MOB＝ ＝ ，
∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
∴MN＝OM•tan30°＝ ，
∴N（3，﹣ ），
∴直线ON的解析式为y＝﹣ x，
第25页（共27页）由 ，解得 或 ，
∴D（5，﹣ ）．
（3）如图 ﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF
②
＝BF，可得F（ ，﹣ ），E（3，﹣ ），利用平移的性质可得H（ ， ）．
如图 ﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意EF＝BF，可得F（2，﹣2
②
），利用平移的性质可得H（ ，﹣ ）．
第26页（共27页）如图 ﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，
②
可得F（1，﹣ ），G（ ，﹣ ），利用平移的性质，可得H（ ，﹣ ）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，矩形的判定和性质
等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，学会用分类讨论的
思想思考问题，属于中考压轴题．
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