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2019 年辽宁省朝阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，
0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3.故选D.
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键.
2. 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．
故选A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3. 一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【3题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式 的值的符号就可以了．
【详解】解： ， ， ，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关
键．总结：一元二次方程根的情况与判别式 的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
4. 下列调查中，调查方式最适合普查（全面调查）的是（ ）
A. 对全国初中学生视力情况的调查
B. 对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查
C. 对一批飞机零部件的合格情况的调查
D. 对我市居民节水意识的调查
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据普查和抽样调查的特点解答即可．
【详解】解：A．对全国初中学生视力情况的调查，适合用抽样调查，不合题意；
B．对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查，适合用抽样调查，不合题意；
C．对一批飞机零部件的合格情况的调查，适合全面调查，符合题意；
D．对我市居民节水意识的调查，适合用抽样调查，不合题意；
故选C．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的知识，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5. 若点 ， ， 在反比例函数 的图象上，则y，y，y 的大小关系是
1 2 3
（ ）
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】由于反比例函数的系数是－8，故把点A、B、C的坐标依次代入反比例函数的解析式，求出
的值即可进行比较.
【详解】解：∵点 、 、 在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关
键.
6. 关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
【6题答案】
【答案】D
【解析】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】根据二元一次方程组的解的概念，把 代入方程组中即可求出m、n的值，进一步即得答案.
【详解】解：把 代入得： ，解得： ，∴ ，
故选D．
的
【点睛】本题考查 二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解的概念是求解的关键.
7. 把 与 放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜
边平行，若 ， ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】过点C作 ，则 ，再根据平行线的性质和直角三角形的性质即可求出结果.
【详解】解：过点C作 ，∴ ．
又 ，∴ ．
∴ ．
∴ ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和平行线的性质，属于基础题型，过点C作 是解题的关
键.
8. 李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调查结果如下（单位：
篇/周）： ，其中有一个数据不小心被墨迹污损．已知这组数据的平均数为4，那么这组
数据的众数与中位数分别为（ ）
A. 5，4 B. 3，5 C. 4，4 D. 4，5
【8题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】设被污损的数据为x，先根据平均数的定义列出关于x的方程，求出方程的解后再根据中位数和
众数的定义进行判断即可.
【详解】解：设被污损的数据为x，
则 ，解得 ，
∴这组数据中出现次数最多的是5，即众数为5篇，
将这7个数据从小到大排列为2、3、4、4、5、5、5，
∴这组数据的中位数为4篇.
故选A．
【点睛】本题考查了平均数、中位数和众数的概念，根据平均数的定义求出被污损的数据是解题的关键.
9. 如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O， ，垂足为点E， ，且
，则AD的长为（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. 10 D.
【9题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，根据矩形对角线相等且互相平分的性质和已知 的条件可得OC、OE与x
的关系，再在 中根据勾股定理列出方程即可求出x的值，进一步即可求出AC与DC的长，然后
在Rt△ADC中再次运用勾股定理即可求出结果.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
在 中，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题以矩形为载体，重点考查了矩形的性质和勾股定理以及运用方程解决问题的数学思想方法，
熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键.【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
10. 已知二次函数 的图象如图所示，现给出下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【10题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①；
抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】解：①由图象可知： ， ，由于对称轴 ，∴ ，∴ ，故①正确；
②∵抛物线过 ，∴ 时， ，故②正确；
③顶点坐标为： .由图象可知： ，∵ ，∴ ，即
，故③错误；
④由图象可知： ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故④正确；
故选C．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、
灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 2019年5月20日，第15届中国国际文化产业博览交易会落下帷幕．短短5天时间，有7800000人次参
观数据7800000用科学记数法表示为_____．
【11题答案】
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法写出即可.
【详解】解：数据7800000用科学记数法表示为 ．故答案为 ．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 因式分解： ____．
【12题答案】
【答案】 ．
【解析】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解.
【详解】解： .
故答案为 ．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.
13. 从点 ， ， ， 中任取一点，所取的点恰好在反比例函数
的图象上的概率为_____．
【13题答案】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】 ．
【解析】
【分析】先依次判断M、N、E、F的坐标是否满足反比例函数的解析式，再根据概率公式求解即可.
【详解】解：∵ ， ， ， ， ，
∴N、F两个点在反比例函数 的图象上，故所取的点在反比例函数 的图象上的概率是 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点和简单概率事件的求解，属于基础题型，熟知反比例
函数图象上点的坐标特点是解题的关键.
14. 不等式组 的解集是_____．
【14题答案】
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式组的方法求解即可.
【详解】解： ，
由不等式①，得 ，
由不等式②，得 ，
故原不等式组的解集是 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题目，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题
的关键.
15. 如图，把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，折痕分别为EF，DG，得到 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，若 ，则FG的长为_____．
【15题答案】
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得：FG是△ABC的中位线，AC的长即为△BDE的周长.在Rt△BDE中，根据
30°角的直角三角形的性质和勾股定理可分别求出 BD与BE的长，从而可得AC的长，再根据三角形的中
位线定理即得答案.
【详解】解：∵把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，根
据折叠的性质得出FG是△ABC的中位线，AC的长即为△BDE的周长是解本题的关键.【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
16. 如图，直线 与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作 ，交x轴于点B，以
AB为边在AB的右侧作正方形ABCA，延长AC交x轴于点B，以AB 为边在AB 的右侧作正方形
1 1 1 1 1 1 1
ABC A…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个
1 1 1 2
小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA，ABC A，…， 中的阴影部
1 1 1 1 2
分的面积分别为S，S，…，S，则S 可表示为_____．
1 2 n n
【16题答案】
【答案】 ．
【解析】
【分析】因为所有的正方形都相似，所以只要求出第一个阴影正方形的面积和第二个阴影正方形与第一个
阴影正方形的相似比即可依此规律求解.根据题意和正方形的性质可得 ，所以它们的正切
相等，等于 ，据此可求出OB的长，再用OA－OB即为第一个阴影正方形的边长，于是S 可得；
1
同理可求得 与AB的关系，进而可求得 与 的关系；以此规律类推可求得S 与S 的关系，整理即
n 1
得答案.
【详解】解：在直线 中，当 时， ；当 时， ；
∴ ， ，∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∵正方形ABCA 中的四个小正方形都与△AOB全等，
1
∴第一个阴影正方形的边长为： ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ， ，…，
．
故答案为 ．
【点睛】本题是一次函数与正方形的规律探求综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点、正方形的性
质、锐角三角函数和相似多边形的性质，难度较大，解答时需充分理解题意、注意知识的前后联系，解答
的关键是找出解题的规律，正确得出S 与S 的关系.
n 1
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
骤）
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【17题答案】
【答案】 ，原式 ．
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再把化简后的a的值代入计算即可.
【详解】解：原式
，
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查了分式的混合运算与求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键.
18. 佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%．已知店主购进A
种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个．请问：文
具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？
【18题答案】
【答案】文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个．
【解析】
【分析】设文具店购进B种款式 的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋 个，根据题意分别表示出A种
笔袋的单价和B种笔袋的单价，再根据“A种笔袋的单价比B种笔袋的单价低10%”即可列出方程，解方【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
程即得结果.
【详解】解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋 个，
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意，
∴ ．
答：文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，正确理解题意列出分式方程是解题的关键.
19. 某校组织学生开展为贫困山区孩子捐书活动，要求捐赠的书籍类别为科普类、文学类、漫画类、哲学
故事类、环保类，学校图书管理员对所捐赠的书籍随机抽查了部分进行统计，并对获取的数据进行了整理，
根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．已知所统计的数据中，捐赠的哲学故事类书籍和
文学类书籍的数量相同．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽查的书籍有_____册．
（2）补全条形统计图．
（3）若此次捐赠的书籍共1200册，请你估计所捐赠的科普类书籍有多少册．
【19题答案】
【答案】（1）60；（2）见解析；（3）所捐赠的科普类书籍有180册．
【解析】
【分析】（1）根据“捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同”列出算式求解即可；
（2）分别求出文学类书籍和哲学故事类书籍的数量即可补全条形统计图；
（3）用科普类书籍的数量除以书籍的总册数再乘以1200即得结果.
【详解】解：（1）∵捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴本次被抽查的书籍有： （册），
故答案为60；
（2）文学类有 （册），则哲学故事类18册，补全的条形统计图如图所示；
（3） （册），
答：所捐赠的科普类书籍有180册．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及用样本估计总体的相关知识，正确理解题意、读懂两
个统计图所提供的信息、列出相应的算式是解题的关键.
20. 有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面
上．
（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为_____．
（2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的
卡片恰好都是轴对称图形的概率．
【20题答案】
【答案】（1） ；（2）两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为 ．
【解析】
【分析】（1）先判断其中的中心对称图形，再根据概率公式求解即得答案；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即
可.
【详解】解：（1）中心对称图形的卡片是A和D，所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对
称图形的概率为 ，故答案为 ；
（2）轴对称图形的卡片是B、C、E.
画树状图如下：
由树状图知，共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，分别是
（B，C）、（B，E）、（C，B）、（C，E）、（E，B）、（E，C），
∴两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率= ．
【点睛】本题考查了用画树状图或列表法求两次事件的概率、中心对称图形和轴对称图形的定义等知识，
熟知中心对称图形和轴对称图形的定义以及用画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键.
21. 小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M
的仰角为 ，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为 ．已知山坡坡度 ，即
，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据： ）
【21题答案】
【答案】古塔的高度ME约为39.8m．
【解析】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】作 交EP的延长线于点C，作 于点F，作 于点H，先在Rt△DCP
中利用已知条件利用勾股定理求出 DC 和 PC 的长，从而可得 DH 和 EF 的长，设 ，分别在
Rt△MPE和Rt△MFD中根据60°和30°的三角函数用y的代数式表示出PE和DF，再根据PE、DF和
DH的关系列出方程，解方程后即可求出结果.
【详解】解：作 交 EP 的延长线于点 C，作 于点 F，作 于点 H，则
， ， ，
设 ，∵ ，∴ ，
由勾股定理得， ，即 ，解得， ，
则 ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
∵ ，
∴ ，解得， ，
∴ .
答：古塔的高度ME约为39.8m．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念，熟练掌握锐角三角函数的定义、灵活
运用数形结合和方程的思想是解题的关键.
22. 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作 交AB于点F，连接DB交 于点H，E是BC上
的一点，且 ，连接DE．
（1）求证：DE是 的切线．
（2）若 ， ，求 的半径．
【22题答案】
【答案】（1）见解析；（2） 的半径为 ．
【解析】
【分析】（1）如图1，连接DF，先根据菱形的性质和SAS证明△DAF≌△DCE，得 ，
再由AD是圆的直径得∠AFD=90°，于是∠DEC=90°，然后利用 可得∠ADE=90°，问题即得证
明；
（2）如图2，连接AH，先根据等腰三角形三线合一的性质得出 ，再由DF是
和 的公共的直角边，根据勾股定理列出关于AD的方程，解方程即可求出AD的长，
进一步即可求出圆的半径.【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ≌ ，∴ .
∵AD是 的直径，∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
∵OD是 的半径，∴DE是 的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是 的直径，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题以菱形为载体，综合考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、等腰
三角形的性质、平行线的性质和勾股定理等知识，知识点多、综合性强，解答时需注意知识的前后联系，
灵活运用方程思想.
23. 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当
地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售
单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中 ）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若 ，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最
大？最大利润是多少元？
【23题答案】
【答案】（1） ；（2）销售单价x应定为15元；（3）当 时，每天的
销售利润最大，最大利润是6480元．
【解析】
【分析】（1）当 时，可直接根据图象写出；当 时，y与x成一次函数关系，用待定【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
系数法求解即可；
（2）每千克的利润=x－10，根据销售利润=每千克的利润×销售量，列出方程，解方程即得结果；
（3）销售利润w，根据销售利润=每千克的利润×销售量，可得w与x的二次函数，再根据二次函数求最值
的方法即可求出结果．
【详解】解：（1）由图象知，当 时， ；
当 时，设 ，将 ， 代入得
，解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
综上所述， ；
（2） ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （不合题意舍去）， ，
答：销售单价x应定为15元；
（3）当 时， ，
∵ ， ，
∴当 时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出函数关系式、熟
练掌握一元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键．
24. 如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将 绕点A逆时针旋转α得 ，连接CF，O为【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
CF的中点，连接OE，OD．
（1）如图1，当 时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．
（2）如图2，当 时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）当 时，若 ，请直接写出点O经过的路径长．
【24题答案】
【答案】（1） ， ，理由见解析；（2）当 时，（1）中的结论成立，理
由见解析；（3）点O经过的路径长为 ．
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质可得OD与OE的数量关系；根据旋转的
性质和正方形的性质可得AC=AF以及 ACF各内角的度数，进一步即可求出∠COE与∠DOF的度数，进
而可得OD与OE的位置关系； △
（2）延长EO到点M，使 ，连接DM、CM、DE，如图2所示，先根据SAS证明 ≌
，得 ， ，再根据正方形的性质和旋转的性质推得
，进一步在△ACF中根据三角形内角和定理和正方形的性质得出
，再一次运用SAS推出 ≌ ，于是 ，进一步即可得出OE、
OD的位置关系，然后再运用SAS推出 ≌ ，即可得OD与OE的数量关系；
（3）连接AO，如图3所示，先根据等腰三角形三线合一的性质得出 ，即可判断点O的运动【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
路径，由 可得点O经过的路径长，进一步即可求得结果.
【详解】解：（1） ， ；理由如下：
由旋转的性质得： ， ，
∵四边形ABCD是正方形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，O为CF的中点，∴ ，
同理： ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ；
（2）当 时，（1）中的结论成立，理由如下：
延长EO到点M，使 ，连接DM、CM、DE，如图2所示：
∵O为CF的中点，∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在 和 中， ，
∴ ≌ （SAS），∴ ， .
∵四边形ABCD是正方形，∴ ， ，
∵ 绕点A逆时针旋转α得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ≌ （SAS），∴ ，
∵ ，∴ ，
和 中， ，
在
∴ ≌ （SAS），∴ .【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，∴ ， ；
（3）连接AO，如图3所示：
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴点O在以AC为直径的圆上运动，
∵ ，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，
∵ ，∴点O经过的路径长为： ．
【点睛】本题是正方形的综合题，综合考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等
腰三角形的性质和判断动点运动路径等知识，考查的知识点多、综合性强，倍长中线构造全等三角形、熟
知正方形的性质、灵活应用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解（2）题的关键.
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线
过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当 时，求
的值．
（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点
M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明
理由．
【25题答案】
【答案】（1） ；（2） 的值为 或 ；（3）存在，M 的坐标为
或 或 ．
【解析】
【分析】（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解；
（2）如图，过点E作 轴于点H，过点F作 轴于点G，则易得△BFG∽△BEH，设点E的
横坐标为t，则 ，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，再根据EH与FG的关系
列出关于t的方程，解方程即可求出t的值，然后在Rt△EBH中即可求出 的值；
（3）①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：点M在对称轴右侧时，BN为对角线与点M在对称轴左
侧时，BM为对角线，利用平移的性质即可求出结果；②当EB为平行四边形的对角线时，利用平行四边形
对角线的性质和中点坐标公式求解即可.
【详解】解：（1）在 中，当 时 ，当 时 ，
∴ 、 ，
∵抛物线 的图象经过A、C两点，
∴ ，
解得 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴抛物线的解析式为 ；
（2）令 ，解得 ， ，∴ ，
设点E的横坐标为t，则 ，
如图，过点E作 轴于点H，过点F作 轴于点G，则 ，∴△BFG∽△BEH，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点F的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ，
当点E的坐标为 时，在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；
同理，当点E的坐标为 时， ，
∴ 的值为 或 ；
（3）∵点N在对称轴上，∴ ，
∵点E位于对称轴左侧，∴ .
①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：
（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，
∵ ， ， ， ，
∴ ，当 时， ，
∴ ；
（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，
∵ ， ， ， ，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
当 时， ，
∴ ；
②当EB为平行四边形的对角线时，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ；
综上所述，M的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、
相似三角形的判定与性质、一元二次方程的求解、锐角三角函数的知识、平行四边形的性质及其第四个顶
点的确定问题，考查的知识点多、综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握待定系数法是解
（1）题的关键；熟知函数图象上点的坐标特征、灵活应用相似三角形的性质和方程思想是解（2）题的关
键；正确分类、不重不漏，灵活运用平行四边形的性质和平移的数学思想方法是解（3）题的关键.
