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2019 年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 3的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【详解】3的相反数是﹣3，
故选B．
【点睛】本题考查相反数，会根据相反数的定义求一个数的相反数是解题关键.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿
一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解
答本题的关键.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出各个选项中的式子的结果，本题得以解决．
【详解】 ，故选项 错误；
，故选项 正确；
，故选项 错误；
，故选项 错误；
故选 ．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
4. 如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则
这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边的 1列最高有1行，
中间的1列最高有1行，右边的1列最高有2行，结合四个选项选出答案．
【详解】解：从正面看去，一共三列，左边的1列最高有1行，中间的1列最高有1行，右边的1列最高
有2行，故主视图是：
．
故选 ．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能
力．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
5. 一组数据1，3， ，3，4的中位数是（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】将数据从小到大排列，再根据中位数的概念求解可得．
【详解】将这组数据从小到大排列为 、1、3、3、4，
则这组数据的中位数为3，
故选 ．
【点睛】本题考查了确定一组数据中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确
而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数个和偶数个来确定中位数，如
果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A. 对全国中学生视力和用眼卫生情况的调查
B. 对某班学生的身高情况的调查
C. 对某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数的调查
D. 对某池塘中现有鱼的数量的调查
【答案】B
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比
较近似来进行判断．
【详解】 、对全国中学生视力和用眼卫生情况的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
、对某班学生的身高情况的调查，适合全面调查，故此选项正确；
、对某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
、对某池塘中现有鱼 的数量的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
故选 ．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7. 若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4
【答案】C【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．
【详解】①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，
能组成三角形，
所以，第三边为4；
②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，
，
不能组成三角形，
综上所述，第三边为4．
故选 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．
8. 一副直角三角尺如图摆放，点 在 的延长线上， ， ， ，
，则∠ 的度数是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，利用“两直线平行，内错角相等”可得出 的度数，结合 及
，即可求出 的度数，此题得解．
【详解】根据题意，得： ， ．
，
，
．
故选 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
9. 如图， ， 是四边形 的对角线，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是
， 的中点，连接 ， ， ， ，要使四边形 为正方形，则需添加的条件是（
）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】证出 、 、 、 分别是 、 、 、 的中位线，得出
， ， ， ，证出四边形 为平行四边
形，当 时， ，得出平行四边形 是菱形；当 时，
，即 ，即可得出菱形 是正方形．
【详解】 点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是 ， 的中点，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中位线，
， ， ， ，
四边形 为平行四边形，
当 时， ，
平行四边形 是菱形；
当 时， ，即 ，
菱形 是正方形；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故选 ．
【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三
角形中位线定理是解题的关键．
10. 如图，在等腰直角三角形 中， ， ， 是 边上的高，正方形
的边 在高 上， ， 两点分别在 ， 上．将正方形 以每秒 的速度沿
射线 方向匀速运动，当点 与点 重合时停止运动．设运动时间为 ，正方形 与 重叠
部分的面积为 ，则能反映 与 的函数关系的图象（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分 、 、 ，分别求出函数表达式，然后根据函数表达式判断函数图象即可．
【详解】由题意得： ， ，
（1）当 时，
如图1，设 交 于点 ，
则 ；
（2） 时，
如图2，设 与 交于点 ， 于 交于点 ，
；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3） 时，
如图3，设 交 于点 ，
，
∴当 时，函数图象是正比例函数，当 时，是开口向下的抛物线，当 时，是开口向
上的抛物线，
故选 ．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象问题，涉及到二次函数、一次函数等知识，此类问题关键是要
弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 据报道，某节日期间某市地铁二号线载客量达到17340000人次，再创历史新高．将数据17340000用
科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减
1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：17340000=1.734×107，故答案为1.734×107．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 不等式组 的解集是__．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】 ．
【解析】
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
∴不等式组的解集为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．
13. 若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
【答案】k≠0且k≤1
【解析】
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解不等式
即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】由题意可知：△＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
14. 如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比 进行缩小，得到的直角三角形的面积是__．
【答案】9．
【解析】
【分析】设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为 、 ，由于缩小前后两三角形相似，根据相似【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的性质得 ，然后根据比例性质计算出 和 的值，再根据三角形面积公式计算缩小后的直角三
角形的面积．
【详解】设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为 、 ，
根据题意得 ，
解得 ， ，
所以 ．
缩小后的直角三角形的面积为9．
故答案为9．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应
线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比
的平方．
15. 一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相
同，那么该小球停留在黑色区域的概率是__．
【答案】 ．
【解析】
【分析】先求出黑色地板在整个地板中所占的比值，再根据其比值得到所求概率．
【详解】由图可知，黑色地板有 6块，共有16块地板，
黑色地板在整个地板中所占的比值为： ，
小球最终停留在黑色区域的概率是 ；
故答案为 ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率 相应的面积与总面积之比．
16. 如图，矩形 的顶点 ， 在反比例函数 的图象上，若点 的坐标为 ，
， 轴，则点 的坐标为__．
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据矩形的性质和 点的坐标，即可得出 的纵坐标为2，设 ，根据反比例函数图象上点
的坐标特征得出 ，解得 ，从而得出 的坐标为 ．
【详解】 点 的坐标为 ， ，
，
四边形 是矩形，
，
轴，
轴，
点 的纵坐标为2，
设 ，
矩形 的顶点 ， 在反比例函数 的图象上，
，
，
，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故答案为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得 的纵坐标为2是解题的关键．
17. 如图，在 中， ， ， 是 所在平面内一点，以 ， ， ，
为顶点的四边形是平行四边形，则 的长为__．
【答案】2或 .
【解析】
【分析】分三种情况讨论：① 为边， 是对角线；② ， 为边，③ ， 为边，作出图
形，分别由平行四边形的性质和勾股定理可求 的长．
【详解】①如图，若 为边， 是对角线，
四边形 是平行四边形，且 ， ，
，
②若 ， 为边，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
③若 ， 为边，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
是平行四边形，
，
故答案为2或 .
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，运用数形结合思想与分类讨论思想是解决本题的关键．
18. 如图，直线 的解析式是 ，直线 的解析式是 ，点 在 上， 的横坐标为 ，
作 交 于点 ，点 在 上，以 ， 为邻边在直线 ， 间作菱形 ，分别以点
， 为圆心，以 为半径画弧得扇形 和扇形 ，记扇形 与扇形 重叠部分
的面积为 ；延长 交 于点 ，点 在 上，以 ， 为邻边在 ， 间作菱形 ，
分别以点 ， 为圆心，以 为半径画弧得扇形 和扇形 ，记扇形 与扇形
重叠部分的面积为 按照此规律继续作下去，则 __．（用含有正整数 的式子表示）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】 ．
【解析】
【分析】过 作 轴于 ，连接 ， ， ， ，根据已知条件得到点 ， ，
求 得 ， ， 根 据 勾 股 定 理 得 到 ， 求 得
，得到 ，求得 ，推出 是等边三角形，根据扇形和三角形的
△
面积公式即可得到结论．
【详解】过 作 轴于 ，连接 ， ， ， ，
点 在 上， 的横坐标为 ，点 ， ，
， ，
，
在 中， ，
△【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
直线 的解析式是 ，
，
，
，
交 于点 ，
，
，
，
四边形 是菱形，
是等边三角形，
△
，
，
，
， ， ，
同理， ，
，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，规律型，菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质以及
三角函数的应用，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，共22分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 、 的值代入计算可得．
【详解】原式
，
当 ， 时，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
原式 ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20. 为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须
选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调查结果
绘制成如下不完整的统计表和统计图．
学生选修课程统计表
课程 人数 所占百分比
声乐 14
舞蹈 8
书法 16
摄影
合计
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ．
（2）求出 的值并补全条形统计图．
（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．
（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人
编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概
率．
【答案】（1）50、28；（2） ，补全图形见解析；（3）估计选修“声乐”课程的学生有420人；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（4）所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为 ．
【解析】
【分析】（1）由舞蹈人数及其所占百分比可得 的值，声乐人数除以总人数即可求出 的值；
（2）总人数乘以摄影对应百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然
后根据概率公式求解．
【详解】（1） ， ，即 ，
故答案为50、28；
（2） ，补全图形如下：
（3）估计选修“声乐”课程的学生有 （人 ．
（4）七（1）班的学生记作1，七（2）班的学生记作2，画树状图为：
∴共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，
则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为 ．
【点睛】本题考查了统计表、条形统计图、样本估计总体、列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状
图法展示所有等可能的结果 ，再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，然后利用概率公式计算事件
或事件 的概率．
四、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
花卉 ，乙种花卉 ，共需430元；种植甲种花卉 ，乙种花卉 ，共需260元．
（1）求：该社区种植甲种花卉 和种植乙种花卉 各需多少元？
（2）该社区准备种植两种花卉共 且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？
【答案】（1）该社区种植甲种花卉 需80元，种植乙种花卉 需90元；（2）该社区最多能种植乙
种花卉
【解析】
【分析】（1）设该社区种植甲种花卉 需 元，种植乙种花卉 需 元，根据“若种植甲种花卉 ，
乙种花卉 ，共需430元；种植甲种花卉 ，乙种花卉 ，共需260元”，即可得出关于 ， 的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该社区种植乙种花卉 ，则种植甲种花卉 ，根据总费用 种植甲种花卉的费用+种植
乙种花卉的费用，结合总费用不超过6300元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最大值
即可得出结论．
【详解】（1）设该社区种植甲种花卉 需 元，种植乙种花卉 需 元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：该社区种植甲种花卉 需80元，种植乙种花卉 需90元．
（2）设该社区种植乙种花卉 ，则种植甲种花卉 ，
依题意，得： ，
解得： ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
答：该社区最多能种植乙种花卉 .
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22. 如图，在 中， ， ，点 在 的内部， 经过 ， 两点，交
于点 ，连接 并延长交 于点 ，以 ， 为邻边作 ．
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由．
（2）若点 是 的中点， 的半径为2，求 的长．
【答案】（1） 是 的切线；理由见解析；（2） 的长 ．
【解析】
【分析】（1）连接 ，求得 ，根据圆周角定理得到 ，根据平行四
边形的性质得到 ，得到 ，推出 ，于是得到结论；
（2）连接 ，由点 是 的中点，得到 ，求得 ，根据弧长公式即可得到
结论．
【详解】（1） 是 的切线；
理由：连接 ，
， ，
，
，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
是 的切线；
（2）连接 ，
点 是 的中点，
，
，
，
的长 ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关
键．
五、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23. 如图，学校教学楼上悬挂一块长为 的标语牌，即 ．数学活动课上，小明和小红要测量标语
牌的底部点 到地面的距离．测角仪支架高 ，小明在 处测得标语牌底部点 的仰角为
，小红在 处测得标语牌顶部点 的仰角为 ， ，依据他们测量的数据能否求出标语牌
底部点 到地面的距离 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点 ， ， ， ， ，
， 在同一平面内）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（参考数据： ， ，
【答案】能，点 到地面的距离 的长约为 ．
【解析】
【分析】延长 交 于 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据正切的定义求出 ，
结合图形计算即可．
【详解】能，
理由如下：延长 交 于 ，
则 ，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ，则 ，
，
解得， ，
则 ，
答：点 到地面的距离 的长约为 ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键．
六、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24. 某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的
．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量 （件 与销售单价 （元 满足一次函数关系．
当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求 与 之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1） ；（2）当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润
最大，最大利润是3960元．
【解析】
【分析】（1）设 与 之间的函数关系式为 ，根据题意得到方程组，于是得到结论；
（2）设利润为 元，列不等式得到 ，根据题意得到函数解析式
，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）设 与 之间的函数关系式为 ，
根据题意得， ，
解得： ，
与 之间的函数关系式为 ；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）设利润为 元，
，
，
根据题意得， ，
，对称轴 ，
当 时， ，
答：当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得 的利润最大，最大利润是3960元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
25. 如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，且 ，点 在射线 上（点 不
与点 重合）．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，过点 作 的垂线 ，垂足为点
，交射线 于点 ．
（1）如图1，若点 是 的中点，点 在线段 上，线段 ， ， 的数量关系为 ．
（2）如图2，若点 不是 的中点，点 在线段 上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，
请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形 的边长为6， ， ，请直接写出线段 的长．
【答案】（1） ；理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）线段
的长为3或5．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】（1）由 证明 ，得出 ，即可得出结论；
（2）由 证明 ，得出 ，即可得出结论；
（3）①当点 在线段 上时，点 在线段 上，由（2）可知： ，求出 ，
，即可得出答案；
②当点 在射线 上时，点 在线段 的延长线上，同理可得： ；即可得出答案．
【详解】（1） ；理由如下：
四边形 是正方形，
， ，
由旋转的性质得： ， ，
，
，
， ，
，
又 ， ，
，
在 和 中， ，
，
，
，即 ；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故答案为 ；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
由题意得： ， ，
，
，
， ，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，即 ；
（3）分两种情况：
①当点 在线段 上时，点 在线段 上，
由（2）可知： ，
，
， ，
；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
②当点 在射线 上时，点 在线段 的延长线上，如图3所示：
同（2）可得： ，
，
， ，
，
；
综上所述，线段 的长为3或5．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直
角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
26. 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线
的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点 是 轴负半轴上的一点，且 ，点 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
与抛物线的对称轴交于点 ，连接 ，当 平分 时，求点 的坐标．
（3）直线 交对称轴于点 ， 是坐标平面内一点，请直接写出 与 全等时点 的坐标．
【答案】（1） ；（2）点 的坐标为： ， ；
（3）若 与 全等， 点有四个，坐标为 ， ， ， ．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法，直接将 代入解析式即可求解．
（2）由 平分 ， 平行 即可求出 ，继而得出 点坐标，由直线 解析
式即可求出与抛物线交点坐标 即可．
（3）由 三点的坐标可得 三边长，由 坐标可得 和 中 ，则另两组
边对应相等即可，设 点坐标为 ；利用两点间距离公式即列方程求解．
【详解】（1） 抛物线 经过 ， 两点，
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ．
（2）如图1，设对称轴与 轴交于点 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
平分 ，
，
又 ，
，
，
．
在 中， ， ．
，
； ．
①当 时，直线 解析式为： ，
依题意得： ．
解得： ， ，
点 在对称轴右侧的抛物线上运动，
点纵坐标 ．
，
②当 时，直线 解析式为： ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
同理可求： ，
综上所述：点 的坐标为： ， ，
（3）由题意可知： ， ， ，
，
，
，
直线 经过 ， ，
直线 解析式为 ，
抛物线对称轴为 ，而直线 交对称轴于点 ，
坐标为 ；
，
设 点坐标为 ，
则 ，
则 ，
，若 与 全等，有两种情况，
Ⅰ． ， ，即 ．
，
解得： ， ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
即 点坐标为 ， ．
Ⅱ． ， ，即 ．
，
解得： ， ，
即 点坐标为 ， ．
故若 与 全等， 点有四个，坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起
来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
