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2016年辽宁省本溪市中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
2．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．﹣m2•m3＝﹣m5 B．﹣x2+2x2＝x2
C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2﹣2xy
3．（3分）下面几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）7名同学每周在校体育锻炼时间（单位：小时）分别为：7，5，8，6，9，7，8，这组数据的
中位数是（ ）
第1页（共26页）A．6 B．7 C．7.5 D．8
6．（3分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有 ，（ ）0， ， ，2﹣2，把卡片背面
朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若a ，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）小亮从家出发去距离9千米的姥姥家，他骑自行车前往比乘汽车多用20分钟，乘汽
车的平均速度是骑自行车的3倍，设骑自行车的平均速度为x千米/时，根据题意列方程得
（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），其对称轴为直
线x＝1，下面结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．2a﹣b＝0 C．4a+2b+c＜0 D．9a+3b+c＝0
10．（3分）如图，点A、C为反比例函数y＝ 图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，
CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的
中点，当△AEC的面积为 时，k的值为（ ）
第2页（共26页）A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．（3分）截止到2016年6月，我国森林覆盖面积约为208000000公顷，将208000000用科
学记数法表示为 ．
12．（3分）因式分解：3ax2+6ax+3a＝ ．
13．（3分）甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩为18米，方差分别为S甲 2＝
0.1，S乙 2＝0.04，成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
14．（3分）已知：点A（x ，y ），B（x ，y ）是一次函数y＝﹣2x+5图象上的两点，当x ＞x 时，y
1 1 2 2 1 2 1
y ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
2
15．（3分）关于x的方程kx2﹣4x﹣4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为
．
16．（3分）如图，小华把同心圆纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），已知大
圆半径为30cm，小圆半径为20cm，则飞镖击中阴影区域的概率是 ．
17．（3分）如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝
∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的
长为 ．
18．（3分）如图，面积为1的等腰直角△OA A ，∠OA A ＝90°，且OA 为斜边在△OA A ，外
1 2 2 1 2 1 2
第3页（共26页）作等腰直角△OA A ，以OA 为斜边在△OA A ，外作等腰直角△OA A ，以OA 为斜边在
2 3 3 2 3 3 4 4
△OA A ，外作等腰直角△OA A ，…连接A A ，A A ，A A ，…分别与OA ，OA ，OA ，…交
3 4 4 5 1 3 3 5 5 7 2 4 6
于点B ，B ，B ，…按此规律继续下去，记△OB A 的面积为S ，△OB A 的面积为S ，
1 2 3 1 3 1 2 5 2
△OB A 的面积为S ，…△OB A 的面积为S ，则S ＝ （用含正整数n的式子表
3 7 3 n 2n+1 n n
示）．
三、解答题：第19题10分，第20题12分，共22分．
19．（10分）先化简，再求值：
（ ） ，请在﹣3，0，1，3中选择一个适当的数作为x值．
20．（12分）为了解学生对校园网站五个栏目的喜爱情况（规定每名学生只能选一个最喜爱
的），学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果整理后绘制成如下两幅不完整的统
计图，请结合图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人，扇形统计图中m＝ ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校有1800名学生，估计全校最喜爱“校长信箱”栏目的学生有多少人？
（4）若从3名最喜爱“校长信箱”栏目的学生和1名最喜爱“时事政治”栏目的学生中
随机抽取两人参与校园网站的编辑工作，用列表或画树状图的方法求所抽取的两人都最
喜爱“校长信箱”栏目的概率．
四、解答题：第21题12分，第22题12分，共24分．
第4页（共26页）21．（12分）如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于
点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ▱ABCD的周长．
22．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED
交线段AC于点F，点O在线段EF上， O经过C、E两点，交ED于点G．
（1）求证：AC是 O的切线； ⊙
（2）若∠E＝30°，⊙AD＝1，BD＝5，求 O的半径．
⊙
五、解答题：12分．
23．（12分）某公司研发了一款成本为60元的保温饭盒，投放市场进行试销售，按物价部门规
定，其销售单价不低于成本，但销售利润不高于65%，市场调研发现，保温饭盒每天的销
售数量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系；当销售单价为70元时，销售数量为
160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个（利润率＝ ）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，公司每天获得利润最大，最大利润为多少元？
六、解答题：12分．
24．（12分）如图，某巡逻艇计划以40海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，出发1.5
小时到达B处时，突然接到C处的求救信号，于是巡逻艇立刻以60海里/时的速度向北偏
第5页（共26页）东30°方向的C处航行，到达C处后，测得A处位于C处的南偏西60°方向，解救后巡逻艇
又沿南偏东45°方向航行到D处．
（1）求巡逻艇从B处到C处用的时间．
（2）求巡逻艇实际比原计划多航行了多少海里？（结果精确到1海里）．
（参考数据： ）
七、解答题：12分．
25．（12分）已知，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，点P是射线CB上一点（点P不与点
B、C重合），线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M．
（1）如图 ，当AC＝BC，点P在线段CB上时，线段PB、CM的数量关系是 ；
（2）如图 ①，当AC＝BC，点P在线段CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，
写出证明②过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图 ，若 ，点P在线段CB的延长线上，CM＝2，AP＝13，求△ABP的面积．
③
八、解答题：14分．
26．（14分）如图，直线y＝﹣ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经
过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，若△POA的面积是△POB面积的
第6页（共26页）倍．
求点P的坐标；
①点Q为抛物线对称轴上一点，请直接写出QP+QA的最小值；
（②3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边
形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
第7页（共26页）2016年辽宁省本溪市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解．
【解答】解：因为|﹣2|＝2，
故选：C．
【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
2．【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，然后对照，即可解答本题．
【解答】解：∵﹣m2•m3＝﹣m5，故选项A正确，
∵﹣x2+2x2＝x2，故选项B正确，
∵（﹣a3b）2＝a6b2，故选项C正确，
∵﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2+2xy，故选项D错误，
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、单项式乘以多项式，解题的关
键是明确它们各自的计算方法．
3．【分析】根据几何体的俯视图是从物体上面看得到的图形解答即可．
【解答】解：图中几何体的俯视图是B在的图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是简单组合体的三视图，主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正
面，左面，上面看得到的图形．
4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查对中心对称图形和轴对称图形的理解和掌握，能正确判断一个图形
第8页（共26页）是否是中心对称图形和轴对称图形是解此题的关键．
5．【分析】求中位数可将一组数据从小到大依次排列，中间数据（或中间两数据的平均数）即
为所求．
【解答】解：数据按从小到大排列后为5，6，7，7，8，8，9，
∴这组数据的中位数是7．
故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．将一组数据从小到大（或
从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位
数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如
果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．
6．【分析】先将给出的五个数计算，发现只有一个无理数： ，求出抽到正面的数字是无理数
的概率是 ．
【解答】解： ＝3，（ ）0＝1， ＝2 ，2﹣2＝ ， ，
无理数为： ，
所以抽到无理数的概率为： ，
故选：A．
【点评】本题综合考查了无理数的定义、二次根式的化简、负整数指数幂及概率，虽然内容
较多，但难度不大；做好本题要熟知以下几个公式： ＝|a|， a﹣p＝ （a≠0，p为
① ②
整数）．
7．【分析】根据 的整数部分是2，可知0＜ ﹣2＜1，由此即可解决问题．
【解答】解：∵ 的整数部分是2，
∴0＜ ﹣2＜1，
∵a、b是两个连续整数，
∴a＝0，b＝1，
∴a+b＝1，
故选：A．
【点评】本题考查估算无理数大小，学会利用逼近法估算无理数大小是解题的关键，属于
第9页（共26页）基础题中考常考题型．
8．【分析】设骑自行车的平均速度为x千米/时，则乘汽车的平均速度是3x千米/时，根据“骑
自行车前往比乘汽车多用20分钟”可列方程．
【解答】解：设骑自行车的平均速度为x千米/时，则乘汽车的平均速度是3x千米/时，
根据题意，可列方程： ﹣ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查根据实际问题列分式方程，由实际问题抽象出分式方程的关键是分
析题意找出相等关系，注意单位统一．
9．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可判断abc＜0，根据对称轴为x＝1可判
断出2a+b＝0，当x＝2时，4a+2b+c＞0，当x＝3时，9a+3b+c＝0
【解答】解：∵抛物线的开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，图象与y轴交于
正半轴上，
∴c＞0，∴abc＜0，：∵对称轴为x＝1，
∴x＝﹣ ＝1，
∴﹣b＝2a，
∴2a+b＝0，
当x＝2时，4a+2b+c＞0，
当x＝3时，9a+3b+c＝0，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，
①抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），
②对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异） 常
数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ③
10．【分析】设点C的坐标为（m， ），则点E（ m， ），A（ m， ），根据三角形的面积公
式可得出S△AEC ＝﹣ k＝ ，由此即可求出k值．
第10页（共26页）【解答】解：设点C的坐标为（m， ），则点E（ m， ），A（ m， ），
∵S△AEC ＝ BD•AE＝ （ m﹣m）•（ ﹣ ）＝﹣ k＝ ，
∴k＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C的坐标，利
用点C的横坐标表示出A、E点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，
利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，
据此判断即可．
【解答】解：208000000＝2.08×108．
故答案为：2.08×108．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，确定a与n的值是解题的关键．
12．【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3ax2+6ax+3a，
＝3a（x2+2x+1），
＝3a（x+1）2．
故答案为：3a（x+1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：因为S甲 2＝0.1＞S乙 2＝0.04，
方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．
故答案为乙．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明
这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分
布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．【分析】由k＝﹣2＜0根据一次函数的性质可得出该一次函数单调递减，再根据x ＞x ，即
1 2
第11页（共26页）可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+5中k＝﹣2＜0，
∴该一次函数y随x的增大而减小，
∵x ＞x ，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据k＝﹣2＜0得出该一次函数单调
递减．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数的正负得出该函
数的增减性是关键．
15．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且b2﹣4ac＞0，然后求
出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣4x﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且b2﹣4ac＞0，即 ，解得k＞﹣1且k≠0，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是根的判别式，在解答此题时要注意k≠0的条件．
16．【分析】首先计算出大圆和小圆的面积，进而可得阴影部分的面积，再求出阴影部分面积
与总面积之比即可得到飞镖击中阴影区域的概率．
【解答】解：大圆面积： ×302＝900 ，
小圆面积： ×202＝400 ，π π
阴影部分面π积：900 ﹣π400 ＝500 ，
π π π
飞镖击中阴影区域的概率： ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面
积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
17．【分析】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得CE的长，本题得以解决．
【解答】解：∵△DCE和△ABC相似，∠ACD＝∠ABC，AC＝6，AB＝4，CD＝2，
∴∠A＝∠DCE，
第12页（共26页）∴ 或
即 或
解得，CE＝3或CE＝ ，
当∠ABC＝∠A时，则AC＝BC＝6，AB∥CD，
∵△DCE和△ABC相似，AC＝6，AB＝4，CD＝2，
∴∠DCE＝∠D，
∴ ，
即 ，
解得，CE＝3，
故答案为：3或 ．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用三角形的相似解答．
18．【分析】先根据等腰直角三角形的定义求出∠A OA ＝∠OA A ＝90°，得A A ∥OA ，根据
1 3 3 2 2 3 1
同底等高的两个三角形的面积相等得： ＝ ，所以 ＝
，同理得：A A ∥A O，同理得： ＝ ，根据已知的
4 5 3
＝1，求对应的直角边和斜边的长：OA ＝A A ＝ ，A A ＝OA ＝1，OA ＝2，并
2 1 2 2 3 3 1
利用平行相似证明△A B A ∽△OB A ，列比例式可以求A B ＝ ，根据面积公式计算
2 1 3 1 1 2 1
S 1 ＝ ，同理得：S 2 ＝ × ，从而得出规律：S n ＝ S n﹣1 ＝ × ．
【解答】解：∵△OA A 、△OA A 是等腰直角三角形，
1 2 2 3
∴∠A OA ＝∠A OA ＝45°，
1 2 2 3
∴∠A OA ＝∠OA A ＝90°，
1 3 3 2
第13页（共26页）∴A A ∥OA ，
2 3 1
∴ ＝ （同底等高），
∴ + ＝ + ，
∴ ＝ ，
同理得：A A ∥A O，
4 5 3
＝ ，
∵ ＝1，
∴ OA •A A ＝1，
2 1 2
∵OA ＝A A ，
2 1 2
∴OA ＝A A ＝ ，
2 1 2
∴A A ＝OA ＝1，OA ＝2，
2 3 3 1
∵A A ∥OA ，
2 3 1
∴△A B A ∽△OB A ，
2 1 3 1 1
∴ ＝ ＝ ，
∵A O＝ ，
2
∴A B ＝ ，
2 1
∴S ＝ ＝ ＝ A A •A B ＝ × × ＝ ，
1 1 2 2 1
同理得：OA ＝A A ＝ ＝ ，A A ＝ ，
4 3 4 4 5
∴△A A B ∽△OA B ，
4 5 2 3 2
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴A B ＝ ＝ × ＝ ，
4 2
第14页（共26页）∴S ＝ ＝ ＝ × × ＝ × ，
2
所以得出规律：S n ＝ S n﹣1 ＝ × ，
故答案为： × ．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定以及三
角形面积的计算问题，比较复杂，书写时小下标较多，要认真书写，先根据等腰直角三角
形的面积求各边的长，利用同底等高的三角形面积相等将所求的三角形进行转化，从而解
决问题，并发现规律．
三、解答题：第19题10分，第20题12分，共22分．
19．【分析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分得
到原式＝3x+15，再根据分式有意义的条件把x＝1代入计算即可．
【解答】解：原式＝ •
＝ •
＝3x+15，
当x＝1时，原式＝3+15＝18．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入
求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分
母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
20．【分析】（1）用A类人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数，然后用B类人数除以
总人数可得到m的值；
（2）先计算出C类人数，然后补全条形统计图；
（3）用1800乘以样本中B类人数所占的百分比即可；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所抽取的两人都最喜爱“校长信箱”栏
目的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次被调查的学生数为30÷15%＝200（人），扇形统计图中m＝ ×100%
＝30%；
故答案为200，30%；
（2）C类人数＝200×25%＝50（人），
第15页（共26页）条形统计图补充为：
（3）1800×30%＝540，
所以估计全校最喜爱“校长信箱”栏目的学生有540人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所抽取的两人都最喜爱“校长信箱”栏目的结果数为
6，
所以所抽取的两人都最喜爱“校长信箱”栏目的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求
出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概
率．也考查了统计图．
四、解答题：第21题12分，第22题12分，共24分．
21．【分析】根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出
△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得
出AE＝CE，由已知条件得出BC+AB＝10，即可得出 ▱ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中， ，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
第16页（共26页）∴OE＝OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，
∴ ▱ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂
直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，∠OCE＝∠E，推出∠ACO＝90°，
根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠CFO＝30°，解直角三角形得到DF＝ ＝ ，EF＝3OE＝4
，即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接CO，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠E，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠B+∠E＝90°，
∴∠ACB+∠OCE＝90°，
∴∠ACO＝90°，
∴AC⊥OC，
∴AC是 O的切线；
⊙
（2）解：∵∠E＝30°，
∴∠OCE＝30°，
∴∠FCE＝120°，
∴∠CFO＝30°，
第17页（共26页）∴∠AFD＝∠CFO＝30°，
∴DF＝ ＝ ，
∵BD＝5，∴DE＝5 ，
∵OF＝2OC，
∴EF＝3OE＝4 ，
∴OE＝ ，
即 O的半径＝ ．
⊙
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的
判定定理是解题的关键．
五、解答题：12分．
23．【分析】（1）根据待定系数法可求y与x之间的函数关系式；
（2）利润＝销售总价﹣成本总价＝单件利润×销售量．据此得表达式，运用性质求最值．
【解答】解：（1）设这个一次函数为y＝kx+b（k≠0）
∵这个一次函数的图象经过（70，160），（80，140）这两点，
∴ ，
解得 ．
∴函数关系式是：y＝﹣2x+300（60≤x≤99）
（2）当销售单价定为x元时，公司每天获得利润最大为W元，依题意得
W＝（x﹣60）（﹣2x+300）
＝﹣2（x2﹣210x+9000）
＝﹣2（x﹣105）2+4050（60≤x≤99），
∴当x＝99时，W有最大值3978．
当销售单价定为99元时，公司每天获得利润最大，最大利润为3978元．
第18页（共26页）【点评】此题考查二次函数的实际运用，掌握销售问题中的基本数量关系得出函数解析式
是解决问题的关键．
六、解答题：12分．
24．【分析】（1）根据外角定理和等角对等边求出BC的长，即路程，则时间＝ ，代入计
算；
（2）原计划的路程为：AD的长，实际的路程为：AB+BC+CD，相减即可．
【解答】解：（1）如图所示，
AB＝1.5×40＝60，
由题意得：∠ACF＝60°，∠EBC＝30°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∠CBF＝90°﹣30°＝60°，
∵∠CBF＝∠A+∠ACB，
∴∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ACB＝∠A＝30°，
∴BC＝AB＝60，
t＝ ＝1，
答：巡逻艇从B处到C处用的时间为1小时；
（2）∵∠FCD＝45°，∠CFD＝90°，
∴△CFD是等腰直角三角形，
∴FC＝FD＝BC•sin30°＝30 ，
∴CD＝ FC＝30 ，
则AB+BC+CD﹣（AB+BF+FD），
＝BC+CD﹣BF﹣FD，
＝60+30 ﹣30﹣30 ，
＝30+30 ﹣30 ，
＝30×（1+2.45﹣1.73），
≈52，
答：巡逻艇实际比原计划多航行了52海里．
第19页（共26页）【点评】本题是解直角三角形的应用，考查了方向角问题；这在解直角三角形中是一个难
点，要知道已知和所求的方向角的位置：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相
应度数；在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给
的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等
知识转化为所需要的角．
七、解答题：12分．
25．【分析】解法一、（1）作出△ABC绕点A顺时针旋转90°，利用旋转的性质，和等腰三角形
的性质再用中位线即可；
（2）作出△ABC绕点A顺时针旋转90°，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质，再用中位
线即可；
（3）同（1）（2）的方法作出辅助线，利用平行线中的基本图形“A”得出比例式，用勾股定
理求出x，最后用三角形的面积公式即可．
解法二、（1）先判断出△AQN≌△PAC，进而判断出△QNM≌△BCM即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△AQN≌△PAC，再判断出△BCM∽△QNM，进而求出MN，最后同
解法一即可求出面积
【解答】解法一：（1）如图1，
将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，
∴B'Q＝BP，AB'＝AB，
连接BB'，
∵AC⊥BC，
第20页（共26页）∴点C在BB'上，且CB'＝CB，
依题意得，∠C'B'B＝90°，
∴CM∥B'C'，而CB'＝CB，
∴2CM＝B'Q，
∵BP＝B'Q，
∴BP＝2CM，
故答案为：BP＝2CM；
（2）BP＝2CM仍然成立，
理由：如图2，
将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q，
∴B'Q＝BP，AB'＝AB，
连接BB'，
∵AC⊥BC，
∴点C在BB'上，且CB'＝CB，
依题意得，∠C'B'B＝90°，
∴CM∥B'C'，而CB'＝CB，
∴2CM＝B'Q，
∵BP＝B'Q，
∴BP＝2CM，
（3）如图3，
设BC＝2x，则AC＝5x，
第21页（共26页）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q，
∴BC＝B'C'，B'Q＝BP，AC＝AC'
延长BC交C'Q于N，
∴四边形ACNC'是正方形，
∴C'N＝CN＝AC＝5x，
∴BN＝CN+BC＝7x
∵CM∥QN，
∴
∵CM＝2，
∴
∴QN＝7，
∴BP＝B'Q＝C'N+QN﹣B'C'＝5x+7﹣2x＝3x+7，
∴PC＝BC+BP＝2x+3x+7＝5x+7，
在Rt△ACP中，AC＝5x，PC＝5x+7，AP＝13，
根据勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2＝132
∴x＝1或x＝﹣ （舍），
∴BP＝3x+7＝10，AC＝5x＝5，
∴S△ABP ＝ BP×AC＝ ×10×5＝25，
解法二，
（1）如图1，过点Q作QN⊥AM于N，
易证，△AQN≌△PAC，
∴AN＝CP，QN＝AC，
第22页（共26页）∵∠QNM＝∠BCM，∠NMQ＝∠CMB，
∴△QNM≌△BCM，
∴MN＝CM，
∴BP＝BC﹣CP＝AC﹣AN＝CN＝2CM，
（2）如图2，过点Q作QN⊥AM于N，
同（1）的方法，得出BP＝2CM，
（3）如图3，过点Q作QN⊥AM于N，
设AC＝5x，BC＝2x，
同（1）的方法得出，△AQN≌△BAC，
∴QN＝AC＝5x，AN＝CP，
易得，△BCM∽△QNM，
∴ ，
∴ ，
∴MN＝5，
∴CP＝AN＝AC+CM+MN＝5x+2+5＝5x+7，
在Rt△ACP中，AC＝5x，PC＝5x+7，AP＝13，
根据勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2＝132
∴x＝1或x＝﹣ （舍），
∴BP＝3x+7＝10，AC＝5x＝5，
∴S△ABP ＝ BP×AC＝ ×10×5＝25，
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质，旋转
的性质，中位线的性质，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．
八、解答题：14分．
26．【分析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出点P的坐标， 用△POA的面积是△POB面积的 倍，建立方程求解即可； 利
① ②
用对称性找到最小线段，用两点间距离公式求解即可；
（3）分OB为边和为对角线两种情况进行求解， 当OB为平行四边形的边时，用
MN∥OB，表示和用MN＝OB，建立方程求解； ①
第23页（共26页）当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，设出M，N坐标用OH＝BH，MH＝
②NH，建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，1），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，
∴ ，
∴
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+ x+1，
（2） 由（1）知，A（2，0），B（0，1），
∴OA＝①2，OB＝1，
由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2+ x+1，
∵点P是第一象限抛物线上的一点，
∴设P（a，﹣a2+ a+1），（a＞0，﹣a2+ a+1＞0），
∴S△POA ＝ OA×P
y
＝ ×2×（﹣a2+ a+1）＝﹣a2+ a+1
S△POB ＝ OB×P
x
＝ ×1×a＝ a
∵△POA的面积是△POB面积的 倍．
∴﹣a2+ a+1＝ × a，
∴a＝ 或a＝﹣ （舍）
∴P（ ，1）；
如图1，
②
第24页（共26页）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2+ x+1，
∴抛物线的对称轴为x＝ ，抛物线与x轴的另一交点为C（﹣ ，0），
∵点A与点C关于对称轴对称，
∴QP+QA的最小值就是PC＝ ；
（3） 当OB为平行四边形的边时，MN＝OB＝1，MN∥OB，
∵点M①在直线AB上，点N为抛物线上，
∴设M（m，﹣ m+1），
∴N（m，﹣m2+ m+1），
∴MN＝|﹣m2+ m+1﹣（﹣ m+1）|＝|m2﹣2m|＝1，
Ⅰ、m2﹣2m＝1，
解得，m＝1± ，
∴M（1+ ， （1﹣ ））或M（1﹣ ， （1+ ））
Ⅱ、m2﹣2m＝﹣1，
解得，m＝1，
∴M（1， ）；
当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，
②∴OH＝BH，MH＝NH，
∵B（0，1），O（0，0），
∴H（0， ），
设M（n，﹣ n+1），N（d，﹣d2+ d+1）
第25页（共26页）∴ ，
∴ 或 ，
∴M（﹣（1+ ）， （3+ ））或M（﹣（1﹣ ）， （3﹣ ））；
即：满足条件的点M的坐标（1+ ，（1﹣ ））或（1﹣ ，（1+ ））或（1， ）或M
（﹣（1+ ）， （3+ ））或M（﹣（1﹣ ）， （3﹣ ））；
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的性
质，对称性，解本题的关键是求抛物线解析式，确定最小值和点M坐标时，分类讨论是解
本题的难点．
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日期：2020/9/2 15:19:31；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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