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2021 年辽宁省本溪市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义解答即可.
【详解】-5的相反数是5
故选C
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键.
2. 下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是
中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答．
【详解】选项A，是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
选项B，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
选项C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
选项D，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解决问题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则逐一计算
即可得答案．
【详解】选项A，根据同底数幂乘法法则可得 ，选项A错误；
选项B，根据积的乘方的运算法则可得 ，选项B正确；
选项C，根据同底数幂的的除法法则可得 ，选项C错误；
选项D， 与x不是同类项，不能合并，选项D错误．
故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则，
熟练运用法则是解决问题的关键．
4. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出从左面看到的图形即可．
【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：
，
故选：D．
【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出．
5. 如表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是
（ ）
疫苗名称 克尔来福 阿斯利康 莫德纳 辉瑞 卫星V
有效率 79% 76% 95% 95% 92%
A. 79% B. 92% C. 95% D. 76%
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数的定义，对5种新冠疫苗的有效率从小到大（或从大到小）进行排序，取中间（第三
个）的有效率即可．
【详解】解：根据中位数的定义，将5种新冠疫苗的有效率从小到大进行排序，如下：
76%，79%，92%，95%，95%
数据个数为5，奇数个，处于中间的数为第三个数，为92%
故答案为B．
【点睛】此题考查了中位数的定义，求中位数之前不要忘记对原数据进行排序是解决本题的关键．
6. 反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，则直线 不经过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数y= 的图象在第二、四象限内判断出k的符号，再由一次函数的性质即可得出
结论．
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象在第二、四象限内，
∴k＜0，
∴一次函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数y= 中，当k＜0，双曲
线的两支分别位于第二、第四象限．
7. 如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5天最低气温波
动情况是（ ）
.
A 本溪波动大 B. 辽阳波动大
C. 本溪、辽阳波动一样 D. 无法比较
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算两组数据的方差，比较，即可判断．
【详解】解：辽阳的平均数为： ，方差为： ，
本溪的平均数为： ，
方差为： ，
∴ ，
∴本溪、辽阳波动一样，
故选：C．
【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越
好．
8. 一副三角板如图所示摆放，若 ，则 的度数是（ ）
A. 80° B. 95° C. 100° D. 110°
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，
∴∠3=∠4=35°，
∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．
9. 如图，在 中， ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线 与 交于点E，点F为
的中点，连接 ，若 ，则 的周长为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图可知 平分 ， ，由三线合一，解 ，即可求得．
【详解】 平分 , ,
,点F为 的中点
的周长为:
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出 边是解题
的关键．
10. 如图，在矩形 中， ， ，动点P沿折线 运动到点B，同时动点Q
沿折线 运动到点C，点 在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角
线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒， 的面积为S，则下列图象能大致反映S
与t之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】结合运动状态分段讨论：当点 P在AD上，点Q在BD上时， ， ，过点P作
，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式；当点P在BD上，点Q在BC上时，
， ，过点P作 ，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函
数表达式，利用二次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：当点P在AD上，点Q在BD上时， ， ，
则 ，
过点P作 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ 的面积 ，为开口向上的二次函数；
当 时，点P与点D重合，点Q与点B重合，此时 的面积 ；
当点P在BD上，点Q在BC上时， ， ，
过点P作 ，则 ，即 ，
∴ 的面积 ，为开口向下的二次函数；
故选：D．
【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是
解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若 在实数范围内有意义，则 的取值范围为__________．
【答案】x≤2
【解析】
【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答．
【详解】解：依题意得 2-x≥0
解得 x≤2．
故答案为：x≤2．
【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方
数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式2，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
13. 有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着 ， ，0， ，2，从中随机抽取一张，则抽出卡片
上写的数是 的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式即可求解．
【详解】解：抽出卡片上写的数是 的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查简单事件求概率，掌握概率公式是解题的关键．
14. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，得出关于k的方程，求解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴△= =4+12k=0，
解得k= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△< 0时，一元二次方程没有实数根．
15. 为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．
在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元
购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300
元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，
依题意得： ，
故答案为：
【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
16. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以 为直径的圆经过点C和
点D，则 ________．
【答案】
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得 ，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
17. 如图， 是半圆的直径，C为半圆的中点， ， ，反比例函数 的图象经过点
C，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接CD，并延长交x轴于点P，分别求出PD，PO，CD和PC的长，过点C作CF⊥x轴于点F，
求出PF，CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论．
【详解】解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图，∵C为半圆的中点，
∴CP⊥AB，即∠ADP=90°
又∠AOB=90°
∴∠APD=∠ABO
∵A（2，0），B（0，1）
∴AO=2，OB=1
∴
∴
又
∴
∴
∴
∴
过点C作CF⊥x轴于点F，∴
∴
∴
∴
∴点C的坐标为（ ， ）
∵点C在反比例函数 的图象上
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数 的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析
式；求出点C坐标是关键．
18. 如图，将正方形纸片 沿 折叠，使点C的对称点E落在边 上，点D的对称点为点F，
交 于点G，连接 交 于点H，连接 ．下列四个结论中：① ；②
；③ 平分 ；④ ，正确的是________（填序号
即可）．【答案】①③④．
【解析】
【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC进而说明△CMG≌△CDG，可得
S =S +S >S ＋S ；
△CEG △BEC △CDG △BEC 四边形CDQH
③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；
④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE,∠MCG=∠DCG，则
∠ECG=∠ECM+∠GCM= ∠BCD，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，
利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C
四点共圆，通过△CMH≌△CDH，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ·GD，从而说明④成立．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°由折叠可知:
∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90
∴∠BEP+∠AEG=90°，
∵∠A=90°
∴∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠BEP=∠AGE，
∵∠FGQ=∠AGE，
∴∠BEP=∠FGQ，
∵∠B=∠F=90，
∴△PBE~△QFG，
故①说法正确，符合题意；
②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得:∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，∠BEC=∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC， CE= CE
∴△BEC≌△MEC(AAS)
∴CB=CM，S =S ，
△BEC △MBC
∵CG=CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)，
∴S =S ，
△CMG △CDG
∴S =S +S >S +S
△CEG △BEC △CDG △BEC 四边形CDQH
∴②说法不正确，不符合题意；
③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，即EC平分∠BEG
∴③说法正确，符合题意；
④连接DH，MH，HE，如图：
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，
∴∠ECG=∠ECM+∠GCM= ∠BCD=45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP=45°，
∴GHQ=∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，
∴EH⊥CG
∴EG2 -EH2=GH2
由折叠可知:EH=CH
∴EG2 -CH2= GH2，
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC=∠EHC=90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC=∠HEC=45°，
在△CMH和△CDH中，
∵CM=CD，∠MCG=∠DCG， CH= CH
∴△CMH≌△CDH(SAS)
∴∠CDH=∠CMH=45 °，
∵∠CDA=90°，
∴∠GDH=45°
∵∠GHQ=∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠GDH=45°，
∵∠HGQ=∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH ，
∴ ，
∴GH2=GQ·GD
∴GE2-CH2=GQ·GD
故④说法正确，符合题意；
综上可得，正确的结论有:①③④
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似
的判定与性质．翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19. 先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【解析】
【分析】先把分式化简后，再求出 的值代入求出分式的值即可．
【详解】
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键．
20. 为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．
列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了
解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图
中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生共有________名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为________，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或
画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
【答案】（1）60；（2）90°，补全条形统计图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知A项目的有9人，占15%，即可求出总人数；
（2）作差求出B项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并补全条形统计图；
（3）列出表格，利用概率公式即可求解．
【
详解】解：（1） ；
（2）B项目的总人数为 人，
∴“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ，
补全条形统计图如下：
；
（3）列出表格如下：
小华 小光 小艳 小萍
小华 小华，小光 小华，小艳 小华，小萍
小光 小华，小光 小光，小艳 小光，小萍
小艳 小华，小艳 小光，小艳 小萍，小艳
小萍 小华，小萍 小光，小萍 小萍，小艳共有12种情况，其中恰好小华和小艳的有2种，
∴P(恰好小华和小艳) ．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21. 某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘
纪念册和2本图片纪念册共需225元．
（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册
多少本？
【答案】（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本．
【解析】
【分析】（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册 本，根据题意列出不等式，求解不等式即可．
【详解】解：（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，
根据题意可得： ，
解得 ，
答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；
（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册 本，根据题意可得：
，
解得 ，
∴最多能购买手绘纪念册10本．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关
键．
22. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道 ．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以 的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后
以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度 （结果保留根号）；
（2）求 的长度（结果精确到1m）．（参考数据： ， ， ，
）
【答案】（1）无人机的高度AC= ；（2）AB的长度为382m．
【解析】
【分析】（1）在Rt CDA中，利用正切函数即可求解；
△
（2）先证明四边形ABFC为矩形，在Rt BFE中，求得EF m，即可求解．
△
【详解】（1）根据题意得：CD=8 (m)，
在Rt CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，
△
∴ ，
∴AC=120 (m)，答：无人机的高度AC= ；
（2）根据题意得：DE=8 (m)，
则CE= DE+CD=520(m)，
过点B作BF⊥CE于点F，
则四边形ABFC为矩形，
∴AB=FC，BF=AC= ，
在Rt BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，
△
∴ ，
∴EF= =138.4 (m)，
∴AB=FC=CE-EF=520-138=382(m)，
答：AB的长度为382m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形
是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
五、解答题（满分12分）
23. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为
60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，
设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；
（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【解析】
【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；
（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；
（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．
【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；
（2）由题意可得，
（-2x+220）（x-40）=2400，
解得， ， ，
∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得
w=（-2x+220）（x-40）= ，
当 时，w有最大值，最大值为2450，
∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问
题．
六、解答题（满分12分）
24. 如图，在 中， ，延长 到点D，以 为直径作 ，交 的延长线于点E，
延长 到点F，使 ．
（1）求证： 是 的切线；（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OE，通过倒角得到 ，即可得证；
（2）连接DE、OF，通过证明 求出AB的长度，在 和 中应用勾股
定理，得出方程，即可求解．
【详解】解：（1）连接OE，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
的
∴ 是 切线；
（2）连接DE、OF，∵ ， ，
∴ 的半径为5，
∴
∵AD为直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设BF的长为x，则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ．【点睛】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理、并作出合适的辅助线
是解题的关键．
七、解答题（满分12分）
25. 在▱ 中， ， 平分 ，交对角线 于点G，交射线 于点E，将线段
绕点E顺时针旋转 得线段 ．
（1）如图1，当 时，连接 ，请直接写出线段 和线段 的数量关系；
（2）如图2，当 时，过点B作 于点，连接 ，请写出线段 ， ， 之间的数
量关系，并说明理由；
（3）当 时，连接 ，若 ，请直接写出 与 面积的比值．
【答案】（1） ；（2） ,理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）延长 ，交 于点 ，根据已知条件证明 即可；
（2）连接 ，过F作 交 的延长线于点 ，由 ，得 ，在
由 三边关系利用勾股定理可得；（3）证明 ，得 值， 与 的面积分别与 的面积成比例，可得
与 面积的比值．
【详解】（1）如图,延长 ，交 于点 ，
由题意，将线段 绕点E顺时针旋转 ，
四边形 是平行四边形
四边形 是平行四边形
平分四边形 是菱形
是等边三角形
,
， ，
四边形 是平行四边形
=
在 和 中
．
（2）连接 ，过F作 交 的延长线于点四边形 是矩形，
， ，
，
平分
四边形 是矩形
在 和 中
设则
在 中
即
整理得：
．
（3）如图
由（1）可知平分
四边形 是平行四边形
．
【点睛】本题考查了轴对称 的性质，旋转的性质，三角形全等的性质与判定，三角形相似，勾股定理，锐
角三角函数，相似比的概念，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，知识点
比较多，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
八、解答题（满分14分）26. 如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点 ，连接 ，
，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作 轴于点D，交 于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作 于点P，使 ，以 ， 为邻边作矩形 ．当矩形
的面积是 面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线 上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐
角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
【答案】（1） （2）（1， ）或（3，3）；（3）- ＜n＜ 或 ＜n
＜5．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线AB的解析式，表示出P，E的坐标，故可表示出PE的长，再根据矩形 是
面积的3倍，得到方程，故可求解；
（3）当∠ABQ为直角时，求出直线BQ的解析式，得到n的值，当∠BQA为直角时，利用解直角三角形
的方法求出此时n的值，同理求出当∠BAQ为直角时n的值，故可求解．【详解】（1）把 ， 代入解析式得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）对于 ，令y=0
解得x=4或-1
∴A（4,0），则 =2
设直线AB的解析式为y=px+q
把A（4，0）， 代入得 ，解得
∴直线AB的解析式为
设P（x， ），则E（x， ）
∴矩形 的面积= =3
解得x=1或3
∴P点坐标为（1， ）或（3，3）；
（3）由 可得其对称轴为x= ，设Q点坐标为（ ，n）①当∠ABQ为直角时，如图2-1
设BQ交x轴于点H，
在Rt△ABO中，tan∠ABO= ，
∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠BHO=90°
∴∠BHO =∠ABO
∴tan∠BHO= tan∠ABO =
可设直线BQ的解析式为y= x+t，代入 可得t=3
∴直线BQ的解析式为y= x+3
当x= 时，y= x+3=5
故n=5；
②当∠BQA为直角时，如图2-2，过点Q作直线MN∥y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠BQN+∠MQA=90°，∠MQA+∠MAQ=90°，
∴∠BQN=∠MAQ
∴tan∠BQN=tan∠MAQ即 ，则
解得n=
③当∠BAQ为直角时，同理可设直线AQ的解析式为y= x+h
代入A（4，0）得h=-
∴直线AQ的解析式为y= x-
当x= 时，y= x- =-
故n=- ；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值
范围为- ＜n＜ 或 ＜n＜5．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、矩形的特点及面积公式、解直角三
角形的方法及数形结合的特点．
