文档内容
2015 年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．.6的绝对值是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
2．.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．.下列运算正确的是（ ）
A．3a2•a3=3a6 B．5x4﹣x2=4x2
C．（2a2）3•（﹣ab）=﹣8a7b D．2x2÷2x2=0
4．.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=0
5．.一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（
）
A．﹣1＜x≤2 B．﹣1≤x＜2 C．﹣1＜x＜2 D．无解
6．.图中几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
7．.直线y=x+b（b＞0）与直线y=kx（k＜0）的交点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．.学校团委组织“阳光助残”捐款活动，九年一班学生捐款情况如下表：
捐款金额 5 10 20 50（元）
人数（人） 10 13 12 15
则学生捐款金额的中位数是（ ）
A．13人 B．12人 C．10元 D．20元
9．.如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边
AB上，点G、F在边CD上，向 ▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在 ▱ABCD内，且
落在 ▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好
与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（ ）
A.3 B．1.5 C．2 D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．.2014年抚顺市城区植树造林约为2030000株，将2030000这个数用科学记数
法表示为 ．
12．.分解因式：ab3﹣ab= ．
13．.已知数据：﹣1，4，2，﹣2，x的众数是2，那么这组数据的平均数为
．
14．.如图，分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a，b，使a∥b．若∠1=40°，则∠2
的度数为 ．15．.如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，若⊙O的半径为2 ，则阴
影部分的面积为 ．
16．.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为α，且tanα=0.7，向前行进3米
到达B处，从B处看D的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在
同一条直线上，CD⊥AC），则建筑物CD的高度为 米．
17．.如图，过原点O的直线AB与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A、B两点，
点B坐标为（﹣2，m），过点A作AC⊥y轴于点C，OA的垂直平分线DE交OC于
点D，交AB于点E．若△ACD的周长为5，则k的值为 ．18．.如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A 、B 、
1 1
C 、D ，使AA =BB =CC =DD = a，在边A B 、B C 、C D 、D A 上分别取点A 、
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
B 、C 、D ，使A A =B B =C C =D D = A B ，…．依次规律继续下去，则正方形
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A B C D 的面积为 ．
n n n n
三、解答题（共2小题，第19题10分，第20题12分，满分22分）
19．先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值
代入．
20．如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似
变换、轴对称变换和平移变换后得到△A B C ．
1 1 1
（1）△ABC与△A B C 的位似比等于 ；
1 1 1
（2）在网格中画出△A B C 关于y轴的轴对称图形△A B C ；
1 1 1 2 2 2
（3）请写出△A B C 是由△A B C 怎样平移得到的？
1 1 1 2 2 2
（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的
坐标为 ．四、解答题（共2小题，第21题12分，第22题12分，满分24分）
21．某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1
个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数
量相等．
（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总
费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？
22．（12分）（2015•抚顺）电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小学生的喜爱，
小刚想知道大家最喜欢哪位“兄弟”，于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽
查（每人只能选一个自己最喜欢的“兄弟”），将调查结果进行了整理后绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人．
（2）将两幅统计图补充完整．
（3）若小刚所在学校有2000名学生，请根据图中信息，估计全校喜欢
“Angelababy”的人数．
（4）若从3名喜欢“李晨”的学生和2名喜欢“Angelababy”的学生中随机抽取
两人参加文体活动，则两人都是喜欢“李晨”的学生的概率是 ．
五、解答题（共1小题，满分12分）
23．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千
克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满
足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千 … 50 60 70 80 …
克）
销售量y（千克） … 100 90 80 70 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大
利润为多少元？
六、解答题（共1小题，满分12分）
24．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O
交AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．
七、解答题（共1小题，满分12）
25．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连
接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；
（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数
表示）八、解答题（共1小题，满分14分）
26．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），
B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过
点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛
物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存
在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出
点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2015 年辽宁省抚顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．.6的绝对值是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
【考点】绝对值．.
【分析】根据绝对值的定义求解．
解答： 解：6是正数，绝对值是它本身6．
故选A
【点评】本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一
个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．【考点】中心对称图形．.
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解答： 解：根据中心对称图形的概念，绕旋转中心旋转180°与原图形重合，可知
A、C、D都不是中心对称图形，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
故是中心对称图形的是B．
故选B．
【点评】本题主要考查中心对称图形的概念，掌握掌握中心对称图形的概念是解
题的关键，注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【链接】中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180
度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这
个旋转点，就叫做中心对称点
3．.下列运算正确的是（ ）
A．3a2•a3=3a6 B．5x4﹣x2=4x2
C．（2a2）3•（﹣ab）=﹣8a7b D．2x2÷2x2=0
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；整式的除法．.
【分析】根据整式的各种运算法则逐项分析即可．
解答： 解：A、3a2•a3=3a5≠3a6，故该选项错误；
B、5x4﹣x2不是同类项，所以不能合并，故该选项错误；
C、（2a2）3•（﹣ab）=﹣8a7b，计算正确，故该选项正确；
D、2x2÷2x2=1≠0，计算错误，故该选项正确；
故选C．
【点评】本题考查了和整式有关的各种运算，解题的关键是熟记整式的各种运算
法则．
4．.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=0
【考点】根的判别式．.【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
解答： 解：A、∵△=4﹣4=0，
∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根；
B、∵△=1﹣4×2＜0，
∴方程2x2﹣x+1=0无实数根；
C、∵△=4+4×4×3=52＞0，
∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根；
D、∵△=36＞0，
∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根；
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式
△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
5．.一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（
）
A．﹣1＜x≤2 B．﹣1≤x＜2 C．﹣1＜x＜2 D．无解
【考点】在数轴上表示不等式的解集．.
【分析】根据数轴上的表示可得﹣1＜x≤2，即可得解．
解答： 解：由图可得，这个不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
故选A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，表示解集时“≥”，“≤”要用
实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．.图中几何体的左视图是（ ）A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．.
【分析】从左面看到3列正方形的个数依次为1，2，1；由此选择答案即可．
解答： 解：图中几何体的左视图是 ．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三视图；得到从各个方向看得到的每列正方形的个
数是解决本题的关键．
7．.直线y=x+b（b＞0）与直线y=kx（k＜0）的交点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】两条直线相交或平行问题．.
【分析】根据直线方程作出大致函数图象，根据图象可以直接作出选择．
解答： 解：直线y=x+b（b＞0）与直线y=kx（k＜0）的大致图象如图所示：
．
所以交点A位于第二象限．
故选：B．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题．解答该题时，需要掌握一次函数
y=kx+b的图象与系数的关系．
8．.学校团委组织“阳光助残”捐款活动，九年一班学生捐款情况如下表：
捐款金额 5 10 20 50
（元）
人数（人） 10 13 12 15
则学生捐款金额的中位数是（ ）
A．13人 B．12人 C．10元 D．20元
【考点】中位数．.
【分析】根据题意得出按照从小到大顺序排列的第25个和第26个数据都是20
（元），它们的平均数即为中位数．
解答： 解：∵10+13+12+15=50，
按照从小到大顺序排列的第25个和第26个数据都是20（元），
∴它们的平均数即为中位数， =20（元），
∴学生捐款金额的中位数是20元；故选：D．
【点评】本题考查了中位数的定义、平均数的计算；熟练掌握中位数的定义，正确
求出中位数是解决问题的关键．
9．.如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边
AB上，点G、F在边CD上，向 ▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在 ▱ABCD内，且
落在 ▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概率；平行四边形的性质．.专题： 计算题．
【分析】根据平行四边形的性质易得S =S ，则S =S = S
△OEH △OFG 阴影部分 △AOB 平行四边形
，然后根据几何概率的意义求解．
ABCD
解答： 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△OEH和△OFG关于点O中心对称，
∴S =S ，
△OEH △OFG
∴S =S = S ，
阴影部分 △AOB 平行四边形ABCD
∴飞镖（每次均落在 ▱ABCD内，且落在 ▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落
在阴影区域的概率= = ．
故选C．
【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率
计算方法是长度比，面积比，体积比等．也考查了平行四边形的性质．
10．.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好
与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（ ）
A．3 B．1.5 C．2 D．
【考点】旋转的性质．.
专题： 计算题．
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角
形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到
∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得
到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
解答： 解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD= AC′= AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠B′AD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD= ×3=
，
根据勾股定理得：x2=（3﹣x）2+（ ）2，
解得：x=2，
∴EC=2，
则S = EC•AD= ，
△AEC
故选D
【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰
三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．.2014年抚顺市城区植树造林约为2030000株，将2030000这个数用科学记数
法表示为 2.03×1 0 6 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将2030000用科学记数法表示为：2.03×106．
故答案为：2.03×106．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．.分解因式：ab3﹣ab= a b （ b+ 1 ）（ b﹣ 1 ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．.
【分析】先提取公因式ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答： 解：ab3﹣ab，
=ab（b2﹣1），
=ab（b+1）（b﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首
先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不
能分解为止．
13．.已知数据：﹣1，4，2，﹣2，x的众数是2，那么这组数据的平均数为 1 ．
【考点】众数；算术平均数．.
【分析】先根据众数的定义求出x的值，然后再求这组数据的平均数．
解答： 解：数据：﹣1，4，2，﹣2，x的众数是2，即的2次数最多；
即x=2．
则其平均数为：（﹣1+4+2﹣2+2）÷5=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查平均数与众数的意义．平均数等于所有数据之和除以数据的总
个数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
14．.如图，分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a，b，使a∥b．若∠1=40°，则∠2
的度数为 80 ° ．【考点】平行线的性质；等边三角形的性质．.
【分析】先根据△ABC是等边三角形得出∠BAC=60°，故可得出∠BAC+∠1的度
数，再由平行线的性质即可得出结论．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵∠1=40°，
∴∠BAC+∠1=100°．
∵a∥b，
∴∠2=180°﹣（∠BAC+∠1）=180°﹣100°=80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互
补．
15．.如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，若⊙O的半径为2 ，则阴
影部分的面积为 2π﹣ 3 ．
【考点】扇形面积的计算；正多边形和圆．.
【分析】此题是考查圆与正多边形结合的基本运算，空白正六边形为六个边长为2
的正三角形，利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边
形的面积，阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）× ．
解答： 解：∵圆的半径为2 ，
∴面积为12π，
∵空白正六边形为六个边长为2 的正三角形，[来源:Z+xx+k.Com]∴每个三角形面积为 ×2 × ×sin60°=3 ，
∴正六边形面积为18 ，
∴阴影面积为（12π﹣18 ）× =2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积
﹣正六边形的面积）× 是解答此题的关键．
16．.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为α，且tanα=0.7，向前行进3米
到达B处，从B处看D的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在
同一条直线上，CD⊥AC），则建筑物CD的高度为 7 米．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.
【分析】根据∠DBC=45°，得到BC=CD，根据tanα=0.7和正切的概念列出算式，解
出算式得到答案．
解答： 解：∵∠DBC=45°，
∴BC=CD，
tanα= = ，
则 = ，
解得CD=7．
故答案为：7．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的
关键，注意仰角和俯角的概念．
17．.如图，过原点O的直线AB与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A、B两点，
点B坐标为（﹣2，m），过点A作AC⊥y轴于点C，OA的垂直平分线DE交OC于
点D，交AB于点E．若△ACD的周长为5，则k的值为 6 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；线段垂直平分线的性质．.
【分析】根据题意得到A、B两点关于原点对称，得到点A坐标为（2，﹣m），求得
AC=2，由于DE垂直平分AO，得到AD=OD，根据△ACD的周长为5，求出
OC=AD+CD=3，得到A（2，3），即可得到结果．
解答： 解：∵过原点O的直线AB与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A、B两
点，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点B坐标为（﹣2，m），
∴点A坐标为（2，﹣m），
∵AC⊥y轴于点C，
∴AC=2，
∵DE垂直平分AO，
∴AD=OD，
∵△ACD的周长为5，[来源:学科网]
∴AD+CD=5﹣AC=3，
∴OC=AD+CD=3，∴A（2，3），
∵点A在反比例函数y= （k＞0）的图象上，
∴k=2×3=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，线段的垂直平分线的性
质，三角形的周长，得出OC=AD+CD是解题的关键．
18．.如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A 、B 、
1 1
C 、D ，使AA =BB =CC =DD = a，在边A B 、B C 、C D 、D A 上分别取点A 、
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
B 、C 、D ，使A A =B B =C C =D D = A B ，…．依次规律继续下去，则正方形
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A B C D 的面积为 ．
n n n n
【考点】正方形的性质．.
专题： 规律型．【分析】首先在Rt△A BB 中，由勾股定理可求得正方形A B C D 的面积= ，
1 1 1 1 1 1
然后再在Rt△A B B 中，由勾股定理求得正方形A B C D 的面积= ，
2 1 2 2 2 2 2
然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．
解答： 解：在Rt△A BB 中，由勾股定理可知； =
1 1
= ，即正方形A B C D 的面积= ；
1 1 1 1
在Rt△A B B 中，由勾股定理可知： =
2 1 2
= ；即正方形A B C D 的面积=
2 2 2 2
…
∴正方形A B C D 的面积= ．
n n n n
【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中
的规律是解题的关键．
三、解答题（共2小题，第19题10分，第20题12分，满分22分）
19．先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值
代入．
[来源:Z*xx*k.Com]
【考点】分式的化简求值．.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入
进行计算即可．
解答： 解：原式= •= ，
当x=3时，原式= =3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
20．如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似
变换、轴对称变换和平移变换后得到△A B C ．
1 1 1
（1）△ABC与△A B C 的位似比等于 ；
1 1 1
（2）在网格中画出△A B C 关于y轴的轴对称图形△A B C ；
1 1 1 2 2 2
（3）请写出△A B C 是由△A B C 怎样平移得到的？
1 1 1 2 2 2
（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐
标为 （﹣ 2x﹣ 2 ， 2y+ 2 ） ．
【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．.[来源:Zxxk.Com]
【分析】（1）根据位似图形可得位似比即可；
（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；
（3）根据△A B C 与△A B C 的关系过程其变化过程即可；
1 1 1 2 2 2
（4）根据三次变换规律得出坐标即可．
解答： 解：（1））△ABC与△A B C 的位似比等于= ；
1 1 1（2）如图所示：
（3）△A B C 是由△A B C 沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2个单
1 1 1 2 2 2
位得到；
（4）点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标
为（﹣2x﹣2，2y+2）．
故答案为： ；（﹣2x﹣2，2y+2）．
【点评】此题考查作图问题，关键是根据轴对称图形的画法和位似图形的性质分
析．
四、解答题（共2小题，第21题12分，第22题12分，满分24分）
21某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1
个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数
量相等．
（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总
费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．.
【分析】（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据“花费600元购买甲礼品和花费
360元购买乙礼品的数量相等”列分式方程求解即可；
（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根
据题意列不等式求解即可．
解答： 解：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：
= ，解得：x=60，
经检验x=60是原方程的根，
∴x+40=100．
答：甲礼品100元，乙礼品60元；
（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，
根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000，
解得：m≤5．
答：最多可购买5个甲礼品．
【点评】此题主要考查了分式方程和不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题
目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式．
22．电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小学生的喜爱，小刚想知道大家最喜
欢哪位“兄弟”，于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽查（每人只能选一个
自己最喜欢的“兄弟”），将调查结果进行了整理后绘制成如图两幅不完整的统
计图，请结合图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 20 0 人．
（2）将两幅统计图补充完整．（3）若小刚所在学校有2000名学生，请根据图中信息，估计全校喜欢
“Angelababy”的人数．
（4）若从3名喜欢“李晨”的学生和2名喜欢“Angelababy”的学生中随机抽取
两人参加文体活动，则两人都是喜欢“李晨”的学生的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．.
专题： 计算题．
【分析】（1）由喜欢“陈赫”的人数除以占的百分比得出被调查学生总数即可；
（2）求出喜欢“李晨”的人数，找出喜欢“Angelababy”与喜欢“黄晓明”占的百
分比，补全统计图即可；
（3）由喜欢“Angelababy”的百分比乘以2000即可得到结果；
（4）列表得出所有等可能的情况数，找出两人都是喜欢“李晨”的情况数，即可
求出所求的概率．
解答： 解：（1）根据题意得：40÷20%=200（人），
则本次被调查的学生有200人；
（2）喜欢“李晨”的人数为200﹣（40+20+60+30）=50（人），喜欢“Angelababy”
的百分比为×100%=10%，喜欢其他的百分比为×100%=30%，
补全统计图，如图所示：
（3）根据题意得：2000×30%=600（人），
则全校喜欢“Angelababy”的人数为600人；
（4）列表如下：（B表示喜欢“李晨”，D表示喜欢“Angelababy”）
B B B D DB ﹣﹣﹣ （B，B） （B，B） （D，B） （D，B）
B （B，B） ﹣﹣﹣ （B，B） （D，B） （D，B）
B （B，B） （B，B） ﹣﹣﹣ （D，B） （D，B）
D （B，D） （B，D） （B，D） ﹣﹣﹣ （D，D）
D （B，D） （B，D） （B，D） （D，D） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中两人都是喜欢“李晨”的学生有6种，
则P= = ．
故答案为：（1）200；（4） ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，条形统计图，以及扇形
统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
五、解答题（共1小题，满分12分）
23．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千
克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满
足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千 … 50 60 70 80 …
克）
销售量y（千克）… 100 90 80 70 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大
利润为多少元？
【考点】二次函数的应用．.
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数
可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函
数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．解答： 解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，
解得 ．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150；
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）=4000，
解得x =70，x =100＞90（不合题意，舍去）．
1 2
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：
w=（﹣x+150）（x﹣20）
=﹣x2+170x﹣3000
=﹣（x﹣85）2+4225，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利
润为4225元．
点评： 本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出
方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
六、解答题（共1小题，满分12分）
24．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O
交AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．【考点】切线的判定；勾股定理；矩形的性质．.
【分析】（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形，进而
得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出DC的长，即可得出AB的长，
解答： （1）证明：如图所示：连接OF、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，
∵E为BC边中点，AO=DO，
∴AO= AD，EC= BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形，
∴AE∥OC，
∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠DOC=∠FOC，
∵在△ODC和△OFC中
，
∴△ODC≌△OFC（SAS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴OF⊥CF，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：如图所示：连接DE，
∵AO=DO，AF=EF，AD=2，
∴DE=20F=2，
∵E是BC的中点，∴EC=1，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DC= = = ，
∴AB=CD= ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和平行四边形的
判定、切线的判定等知识，得出△ODC≌△OFC是解题关键．
七、解答题（共1小题，满分12）
25．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连
接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；
（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数
表示）
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．.
【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及
∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出
△BDE∽△GDA即可得出答案；
（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出
△BDE∽△GDA即可得出答案．
解答： （1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，
则∠BDE+∠FDE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠C=45°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，
∵∠BFD=45°，DF⊥BC，
∴∠BFD=45°，BD=DF，
∴∠AFD=135°，
∴∠EBD=∠AFD，
在△BDE和△FDA中
，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD=DE；
（2）解：DE= AD，
理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，
则∠BDE+∠GDE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG=90°，
∴∠BDE=∠ADG，
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，
∵∠ABC=30°，DG⊥BC，
∴∠BGD=60°，
∴∠AGD=120°，
∴∠EBD=∠AGD，
∴△BDE∽△GDA，
∴ = ，
在Rt△BDG中，
=tan30°= ，
∴DE= AD；
（3）AD=DE•tanα；
理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG=90°，
∴∠BDE=∠ADG，
∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，
∴∠EBD=∠AGD，
∴△EBD∽△AGD，
∴ = ，
在Rt△BDG中，
=tanα，则 =tanα，
∴AD=DE•tanα．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质
得出△EBD∽△AGD是解题关键．
八、解答题（共1小题，满分14分）
26．（14分）（2015•抚顺）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A
点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一
动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛
物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存
在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出
点F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．.
【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+8经过点A（﹣6，0），B（4，0），应用待定系数
法，求出抛物线的解析式即可．
（2）首先作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（﹣1，n），根据翻折的
性质，可得BD=DG；然后分别求出点D、点M的坐标各是多少，以及BC、BD的
值各是多少；最后在Rt△GDM中，根据勾股定理，求出n的值，即可求出G点的
坐标．
（3）根据题意，分三种情况：①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时；②当
CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时；③当CE∥DF时；然后根据平行四边形的性质，
求出点F的坐标各是多少即可．
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+8经过点A（﹣6，0），B（4，0），
∴
解得
∴抛物线的解析式是：y=﹣ x2﹣ x+8．
（2）如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M， ，
设G点的坐标为（﹣1，n），
由翻折的性质，可得BD=DG，
∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，
∴点D的坐标是（2，4），
∴点M的坐标是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3，∵B（4，0），C（0，8），
∴BC= =4 ，
∴ ，
在Rt△GDM中，
32+（4﹣n）2=20，
解得n=4± ，
∴G点的坐标为（﹣1，4+ ）或（﹣1，4﹣ ）．
（3）抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形
为平行四边形．
①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②， ，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），
则
解得
∴点F的坐标是（﹣1，4），点C的坐标是（1，0）．②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③， ，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），
则
解得
∴点F的坐标是（﹣1，﹣4），点C的坐标是（﹣3，0）．
③当CE∥DF时，如图④， ，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），
则
解得∴点F的坐标是（﹣1，12），点C的坐标是（3，0）．
综上，可得
抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平
行四边形，
点F的坐标是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．
【点评】（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类
讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信
息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了平行四边形的性质和应用，以及待定系数法求函数解析式的方
法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
