文档内容
2014 年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2014•鞍山） 的平方根是（ ）
A．2B．±2 C． D．±
2．（3分）（2014•鞍山）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方
体的表面上，与汉字“魅”相对的面上的汉字是（ ）
2·1·c·n·j·y
A．我 B．爱 C．辽 D．宁
3．（3分）（2014•鞍山）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2014•鞍山）分式方程 的解为（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
5．（3分）（2014•鞍山）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，2，5的中位数是3
B．数据5，5，7，5，7，6，11的众数是7
C．若甲组数据方差S2 甲=0.15，乙组数据方差S2 乙=0.15，则乙组数据比甲组数据稳定
D．数据1，2，2，3，7的平均数是3
6．（3分）（2014•鞍山）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC于点E，则
DE的长为（ ）
21*cnjy*comA．2.4 B．3.6 C．4.8 D．6
7．（3分）（2014•鞍山）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出
发，两车距甲地的距离y千米与行驶时间x小时之间的函数图象如图所示，则下列说法中错
误的是（ ）
A．客车比出租车晚4小时到达目的地
B．客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时
C．两车出发后3.75小时相遇
D．两车相遇时客车距乙地还有225千米
8．（3分）（2014•鞍山）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形
纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合．展开后，折痕DE分别交AB，
AC于点E，G．连接GF．下列结论中错误的是（ ）
A．∠AGE=67.5° B．四边形AEFG是菱形
C．BE=2OF D．S
△DOG
：S四边形OGEF = ：1
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2014•鞍山）如图，直线l 1∥l
2
，AB⊥EF，∠1=20°，那么∠2= ．
10．（3分）（2014•鞍山）在五张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、正方
形、菱形、圆，现从中随机抽出一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ．11．（3分）（2014•鞍山）对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b=a2﹣ab，例如
1※3=12﹣1×3．若x※4=0，则x= ．
12．（3分）（2014•鞍山）学校以德智体三项成绩来计算学生的平均成绩，三项成绩的比例依次
为1：3：1，小明德智体三项成绩分别为98分，95分，96分，则小明的平均成绩为
分．
13．（3分）（2014•鞍山）如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分∠BAC，点D是AC上一
点，且AG⊥BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为 ．
14．（3分）（2014•鞍山）在△ABC纸板中，AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，将△ABC纸板以AB
所在直线为轴旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为 cm2（结果用含π的式
子表示）．
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15．（3分）（2014•鞍山）如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是（2，0），点C的坐标是
（0，﹣2），点A的坐标是（﹣3，b），反比例函数y= （x＜0）的图象经过点A，
则k= ．
16．（3分）（2014•鞍山）如图，在平面直角坐标系中有一个等边△OBA，其中A点坐标为（1，
0）．将△OBA绕顶点A顺时针旋转120°，得到△AO B ；将得到的△AO B 绕顶点B 顺时针
1 1 1 1 1
旋转120°，得到△B A O ；然后再将得到的△B A O 绕顶点O 顺时针旋转120°，得到
1 1 2 1 1 2 2
△O B A …按照此规律，继续旋转下去，则A 点的坐标为 ．
2 2 2 2014三、解答题（每小题8分，共24分）
17．（8分）（2014•鞍山）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x= ﹣2．
18．（8分）（2014•鞍山）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A（﹣4，1），B（﹣2，1），C
（﹣2，3）
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC向下平移4个单位长度，作出平移后的△A B C ；
2 2 2
（3）求四边形AA B C的面积．
2 219．（8分）（2014•鞍山）数学小组的同学为了解2014年某小区家庭月均用水情况，随机调查
了该小区部分家庭，并将数据进行了整理：
月均用水量x（t） 频数 频率
0＜x≤5 12 0.15
5＜x≤10 16 0.20
10＜x≤15 a 0.35
15＜x≤20 12 0.15
20＜x≤25 8 b
25＜x≤30 4 0.05
请回答以下问题：
（1）根据表中数据可得到a= ，b= ，并将频数分布直方图中10＜
x≤15的部分补充完整；
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（2）求月均用水量不超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（3）若该小区有1200户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过25t的家庭大约有
多少户？
四、解答题（每小题10分，共20分）
20．（10分）（2014•鞍山）学习概率知识以后，小庆和小丽设计了一个游戏．在一个不透明的
布袋A里面装有三个分别标有数字5，6，7的小球（小球除数字不同外，其余都相同）；同时制作了一个可以自由转动的转盘B，转盘B被平均分成2部分，在每一部分内分别标上数字3，
4．现在其中一人从布袋A中随机摸取一个小球，记下数字为x；另一人转动转盘B，转盘停止
后，指针指向的数字记为y（若指针指在边界线上时视为无效，重新转动），从而确定点P的
坐标为P（x，y）．
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（1）请用树状图或列表的方法写出所有可能得到的点P的坐标；
（2）若S=xy，当S为奇数时小庆获胜，否则小丽获胜，你认为这个游戏公平吗？对谁更有利
呢？
21．（10分）（2014•鞍山）甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟
快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完
第一圈．
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（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）
（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，
要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
五、解答题（每小题10分，共20分）
22．（10分）（2014•鞍山）如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与
水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达
B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN=61.4°．现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米？（结果精确到个位）（参考数据：sin25.6°≈0.4，cos25.6°≈0.9，tan25.6°≈0.5，
sin61.4°≈0.9，cos61.4°≈0.5，tan61.4°≈1.8）
23．（10分）（2014•鞍山）如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径
BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2 ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
六、解答题（本题满分12分）
24．（12分）（2014•鞍山）小明家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，爸爸
让他对今年的销售情况进行跟踪记录，小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象（所得图象均为线段），日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，草
莓的价格w（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示．
（1）观察图象，直接写出当0≤x≤11时，日销售量y与上市时间x之间的函数解析式为
；当11≤x≤20时，日销售量y与上市时间x之间的函数解析式为 ．
（2）试求出第11天的销售金额；
（3）若上市第15天时，爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔，批发价为每千克15
元，马叔叔到市场按照当日的价格w元/千克将批发来的草莓全部销售完，他在销售的过程
中，草莓总质量损耗了2%．那么，马叔叔支付完来回车费20元后，当天能赚到多少元？
七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）（2014•鞍山）如图，在直角△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，点F为直线AD
上任意一点，过点A作直线AC⊥BF，垂足为点E，直线AC交直线BD于点C．过点F作
FG∥BD，交直线AB于点G．
（1）如图1，点F在边AD上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是 ；（2）如图2，点F在边AD的延长线上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是
，证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，若DF=6，GF=10，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋
转，这个角的两边分别交线段FG于M，N两点，当FM=2时，求线段NG的长．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2014•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y= x2先向右平移1个单位，
再向下平移 个单位，得到新的抛物线y=ax2+bx+c，该抛物线与y轴交于点B，与x轴正
半轴交于点C．
21世纪教育网版权所有（1）求点B和点C的坐标；
（2）如图1，有一条与y轴重合的直线l向右匀速平移，移动的速度为每秒1个单位，移动的
时间为t秒，直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于点P，当点P在x轴上方时，求出使△PBC的面
积为2 的t值；
（3）如图2，将直线BC绕点B逆时针旋转，与x轴交于点M（1，0），与抛物线y=ax2+bx+c交
于点A，在y轴上有一点D（0， ），在x轴上另取两点E，F（点E在点F的左侧），EF=2，
线段EF在x轴上平移，当四边形ADEF的周长最小时，先简单描述如何确定此时点E的位
置？再直接写出点E的坐标．2014 年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2014•鞍山） 的平方根是（ ）
A．2B．±2 C． D．±
【考点】算术平方根；平方根．
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【分析】先化简 ，然后再根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵ =2，
∴ 的平方根是± ．
故选D．
2．（3分）（2014•鞍山）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方
体的表面上，与汉字“魅”相对的面上的汉字是（ ）
A．我 B．爱 C．辽 D．宁
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
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【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“力”是相对面，
“爱”与“辽”是相对面，
“魅”与“宁”是相对面．
故选D．
3．（3分）（2014•鞍山）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
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【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式组 ，
由①得：x＞1；
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为1＜x≤3，
表示在数轴上，如图所示：
故选A
4．（3分）（2014•鞍山）分式方程 的解为（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
【考点】解分式方程．
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【分析】首先分式两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母，再移项合并同类项即可得到x
的值，然后要检验．
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【解答】解： ，
去分母得：3x﹣3=2x，
移项得：3x﹣2x=3，
合并同类项得：x=3，
检验：把x=3代入最简公分母2x（x﹣1）=12≠0，故x=3是原方程的解，
故原方程的解为：X=3，
故选：C．
5．（3分）（2014•鞍山）下列说法正确的是（ ）A．数据1，2，3，2，5的中位数是3
B．数据5，5，7，5，7，6，11的众数是7
C．若甲组数据方差S2 甲=0.15，乙组数据方差S2 乙=0.15，则乙组数据比甲组数据稳定
D．数据1，2，2，3，7的平均数是3
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
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【分析】根据方差、众数、中位数、平均数的计算公式和定义分别进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、把这组数据从小到大排列为：1，2，2，3，5，中位数是2，故本选项错误；
B、在数据5，5，7，5，7，6，11中，5出现了3次，出现的次数最多，则众数是5，故本选项错误；
C、因为甲组数据方差S2 甲=0.15，乙组数据方差S2 乙=0.15，则S甲 2=S乙 2，所以乙组数据和甲
组数据同样稳定，故本选项错误；
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D、数据1，2，2，3，7的平均数是（1+2+2+3+7）÷5=3，故本选项正确；
故选D．
6．（3分）（2014•鞍山）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC于点E，则
DE的长为（ ）
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A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．6
【考点】菱形的性质．
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【分析】首先根据已知可求得OA，OD的长，再根据勾股定理即可求得BC的长，再由菱形的
面积等于底乘以高也等于两对角线的乘积，根据此不难求得DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，
∴BC= =5，
∵S菱形ABCD = AC×BD=BC×DE，
∴ ×8×6=5×DE，
∴DE= =4.8，
故选C．7．（3分）（2014•鞍山）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出
发，两车距甲地的距离y千米与行驶时间x小时之间的函数图象如图所示，则下列说法中错
误的是（ ）
A．客车比出租车晚4小时到达目的地
B．客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时
C．两车出发后3.75小时相遇
D．两车相遇时客车距乙地还有225千米
【考点】一次函数的应用．
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【分析】观察图形可发现客车出租车行驶路程均为600千米，客车行驶了10小时，出租车行
驶了6小时，即可求得客车和出租车行驶时间和速度；
易求得直线AC和直线OD的解析式，即可求得交点横坐标x，即可求得相遇时间，和客车行
驶距离，即可解题．
【解答】解：（1）∵客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时，∴客车比出租车晚4小时到达
目的地，故A正确；
（2）∵客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时，∴客车速度为60千米/时，出租车速度为
100千米/时，故B正确；
（3）∵设出租车行驶时间为x，距离目的地距离为y，
则y=﹣100x+600，
设客车行驶时间为x，距离目的地距离为y，
则y=60x；
当两车相遇时即60x=﹣100x+600时，x=3.75h，故C正确；∵3.75小时客车行驶了60×3.75=225千米，
∴距离乙地600﹣225=375千米，故D错误；
故选 D．
8．（3分）（2014•鞍山）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形
纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合．展开后，折痕DE分别交AB，
AC于点E，G．连接GF．下列结论中错误的是（ ）
A．∠AGE=67.5° B．四边形AEFG是菱形
C．BE=2OF D．S
△DOG
：S四边形OGEF = ：1
【考点】翻折变换（折叠问题）．
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【分析】根据正方形的性质得∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，再根据折叠的性质得
∠1=∠2= ∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，于是根据三角形外角性质可
计算出∠3=67.5°，即∠AGE=67.5°；根据三角形内角和可计算出∠4=67.5°，则∠3=∠4=∠5，
所以AE=AG=EF，AG∥EF，于是可判断四边形AEFG为菱形；根据菱形性质得GF∥AB，
EF=GF，利用平行线性质得∠6=∠7=45°，则可判断△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，得
到BE= EF，GF= OF，所以BE=2OF；设OF=a，则GF= a，BF= a，可计算出OB=（
+1）a，则OD=（ +1）a，DF=DO+OF=（2+ ）a，再证明△DOG∽△DFE，利用相似三角
形的性质可计算出 =（ ）2= ，则S
△DOG
：S四边形OGEF =1：1，即D选项的结论错误．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，
∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合，
∴∠1=∠2= ∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°，即∠AGE=67.5°；
∵∠4=90°﹣∠1=67.5°，
∴∠3=∠4=∠5，
∴AE=AG=EF，AG∥EF，
∴四边形AEFG为菱形；
∴GF∥AB，EF=GF，
∴∠6=∠7=45°，
∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，
∴BE= EF，GF= OF，
∴BE= • OF=2OF；
设OF=a，则GF= a，BF= a，
∴OB=（ +1）a，
∴OD=（ +1）a，DF=DO+OF=（2+ ）a，
∵∠DOG=∠DFE=90°，
∴△DOG∽△DFE，
∴ =（ ）2=[ 2= ，
]
∴S
△DOG
：S四边形OGEF =1：1．
故选D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2014•鞍山）如图，直线l 1∥l
2
，AB⊥EF，∠1=20°，那么∠2= 70 ° ．【考点】平行线的性质．
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【分析】根据平行线的性质求出∠3，根据三角形的外角性质得出∠2=∠FOB﹣∠3，代入求出
即可．
【解答】解：
∵l ∥l ，∠1=20°，
1 2
∴∠3=∠1=20°，
∵AB⊥EF，
∴∠FOB=90°，
∴∠2=∠FOB﹣∠3=70°，
故答案为：70°．
10．（3分）（2014•鞍山）在五张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、正方
形、菱形、圆，现从中随机抽出一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ．
【考点】概率公式；中心对称图形．
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【分析】由五张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正方形、圆，其中
是中心对称图形的有有平行四边形、正方形、菱形、圆，然后直接利用概率公式求解即可求得
答案．
【解答】解：∵在等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆中，是中心对称图形的有平行四
边形、正方形、菱形、圆，
∴现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形是中心对称图形的概率为： ；
故答案为： ．
11．（3分）（2014•鞍山）对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b=a2﹣ab，例如
1※3=12﹣1×3．若x※4=0，则x= 0 或 4 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
21世纪教育网【分析】先认真阅读题目，根据题意得出方程x2﹣4x=0，解方程即可．
【解答】解：∵x※4=0，
∴x2﹣4x=0，
∴x（x﹣4）=0，
∴x=0，x﹣4=0，
∴x=0或4，
故答案为：0或4．
12．（3分）（2014•鞍山）学校以德智体三项成绩来计算学生的平均成绩，三项成绩的比例依次
为1：3：1，小明德智体三项成绩分别为98分，95分，96分，则小明的平均成绩为 95. 8 分．
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【考点】加权平均数．
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【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
（98×1+95×3+96×1）÷5=95.8（分），
答：小明的平均成绩为95.8分．
故答案为：95.8．
13．（3分）（2014•鞍山）如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分∠BAC，点D是AC上一
点，且AG⊥BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为 4 9 ．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
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【分析】判断出△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得BG=DG，然后求
出GH是△BCD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得
CD=2GH，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵AG平分∠BAC，AG⊥BD，
∴△ABD是等腰三角形，∴AB=AD，BG=DG，
又∵H是△ABC的边BC的中点，
∴出GH是△BCD的中位线，
∴CD=2GH=2×5=10，
∴△ABC的周长=12+15+（12+10）=49．
故答案为：49．
14．（3分）（2014•鞍山）在△ABC纸板中，AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，将△ABC纸板以AB
所在直线为轴旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为 20 π cm2（结果用含π的式子表
示）．
【考点】圆锥的计算；点、线、面、体；勾股定理的逆定理．
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【分析】易得此几何体为圆锥，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，
∴△ABC为直角三角形，
∴底面周长=8π，侧面积= ×8π×5=20πcm2．
故答案为：20π．
15．（3分）（2014•鞍山）如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是（2，0），点C的坐标是
（0，﹣2），点A的坐标是（﹣3，b），反比例函数y= （x＜0）的图象经过点A，
则k= ﹣ 1 5 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据内心的性质得OB平分∠ABC，再由点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，﹣
2）得到△OBC为等腰直角三角形，则∠OBC=45°，所以∠ABC=90°，利用勾股定理有AB2+BC2=AC2，根据两点间的距离公式得到（﹣3﹣2）2+b2+22+22=（﹣3）2+（b+2）2，解得
b=5，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．
【解答】解：∵△ABC的内心在x轴上，
∴OB平分∠ABC，
∵点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，﹣2），
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∴∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
∴（﹣3﹣2）2+b2+22+22=（﹣3）2+（b+2）2，解得b=5，
∴A点坐标为（﹣3，5），
∴k=﹣3×5=﹣15．
故答案为﹣15．
16．（3分）（2014•鞍山）如图，在平面直角坐标系中有一个等边△OBA，其中A点坐标为（1，
0）．将△OBA绕顶点A顺时针旋转120°，得到△AO B ；将得到的△AO B 绕顶点B 顺时针
1 1 1 1 1
旋转120°，得到△B A O ；然后再将得到的△B A O 绕顶点O 顺时针旋转120°，得到
1 1 2 1 1 2 2
△O B A …按照此规律，继续旋转下去，则A 点的坐标为 （ 302 2 ， 0 ） ．
2 2 2 2014
【考点】坐标与图形变化-旋转．
21世纪教育网
【分析】计算出A
1
、A
2
、A
3
、A
4
的坐标，推出A
n
的坐标，代入 2014即可得到A
2014
的坐标．
【解答】解：A = ，A = + = ，A = + = ，A = + = ．
1 2 3 4
A = ，
n
A =3022．
2014三、解答题（每小题8分，共24分）
17．（8分）（2014•鞍山）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x= ﹣2．
【考点】分式的化简求值．
21世纪教育网
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：原式= • =x+2，
当x= ﹣2时，原式= ﹣2+2= ．
18．（8分）（2014•鞍山）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A（﹣4，1），B（﹣2，1），C
（﹣2，3）
【版权所有：21教育】
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC向下平移4个单位长度，作出平移后的△A B C ；
2 2 2
（3）求四边形AA B C的面积．
2 2
【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换．
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【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接；
（2）分别作出点A、B、C向下平移4个单位长度后的点，然后顺次连接；
（3）根据梯形的面积公式求出四边形AA B C的面积即可．
2 2
【解答】解：（1）（2）所作图形如图所示：；
（3）四边形AA B C的面积为： （4+6）×2=10．
2 2
即四边形AA B C的面积为10．
2 2
19．（8分）（2014•鞍山）数学小组的同学为了解2014年某小区家庭月均用水情况，随机调查
了该小区部分家庭，并将数据进行了整理：
月均用水量x（t） 频数 频率
0＜x≤5 12 0.15
5＜x≤10 16 0.20
10＜x≤15 a 0.35
15＜x≤20 12 0.15
20＜x≤25 8 b
25＜x≤30 4 0.05
请回答以下问题：
（1）根据表中数据可得到a= 2 8 ，b= 0.1 0 ，并将频数分布直方图中10＜x≤15的部分补
充完整；
（2）求月均用水量不超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（3）若该小区有1200户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过25t的家庭大约有
多少户？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
21世纪教育网
【分析】（1）根据0＜x≤5中频数为12，频率为0.15，则调查总户数为12÷0.15=80，进而得出
a、b的值；
（2）根据（1）中所求即可得出不超过20t的家庭总数即可求出，不超过20t的家庭占被调查家
庭总数的百分比；
（3）根据样本数据中超过25t的家庭数，即可得出1000户家庭超过20t的家庭数．
【解答】解：（1）如图所示：根据0＜x≤5中频数为12，频率为0.15，
则12÷0.15=80，a=80×0.15=28户，b=8÷80=0.10，
故频数分布直方图为：
；
（2） ×100%=85%；
（3）1200×0.05=60户，
答：该小区月均用水量超过25t的家庭大约有60户．
四、解答题（每小题10分，共20分）20．（10分）（2014•鞍山）学习概率知识以后，小庆和小丽设计了一个游戏．在一个不透明的布
袋A里面装有三个分别标有数字5，6，7的小球（小球除数字不同外，其余都相同）；同时制作
了一个可以自由转动的转盘B，转盘B被平均分成2部分，在每一部分内分别标上数字3，4．
现在其中一人从布袋A中随机摸取一个小球，记下数字为x；另一人转动转盘B，转盘停止后，
指针指向的数字记为y（若指针指在边界线上时视为无效，重新转动），从而确定点P的坐标
为P（x，y）．
（1）请用树状图或列表的方法写出所有可能得到的点P的坐标；
（2）若S=xy，当S为奇数时小庆获胜，否则小丽获胜，你认为这个游戏公平吗？对谁更有利
呢？
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
21世纪教育网
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况，写出即可；
（2）找出S为奇数的情况有，求出小庆获胜的概率，进而求出小丽获胜的概率，比较即可得到
结果．
【解答】解：（1）列表如下：
3 4
5 （5，3） （5，4）
6 （6，3） （6，4）
7 （7，3） （7，4）
由表格得所有可能得到的点P坐标为（5，3）；（6，3）；（7，3）；（5，4）；（6，4）；（7，4），共6种；
（2）S为奇数的情况有（5，3）；（7，3）共2种，即P（小庆获胜）= = ；P（小丽获胜）=1﹣ = ，
∵ ＜ ，
∴该游戏不公平，对小丽更有利．
21．（10分）（2014•鞍山）甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟
快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完
第一圈．
（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，
要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
【考点】一元一次方程的应用．
21世纪教育网
【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，两人同向而行相
遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差=环形场地的路程，列出方程即可求解；
（2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=环形场地的路
程，列出算式求解即可．
【解答】解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，依题意有
3x+150=200×3，
解得x=150，
x+200=150+200=350．
答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．
（2）（200×3﹣300×1.2）÷1.2
=（600﹣360）÷1.2
=240÷1.2
=200（米），
200﹣150=50（米）．
答：乙的速度至少要提高每分钟50米．
五、解答题（每小题10分，共20分）
22．（10分）（2014•鞍山）如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与
水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达
B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN=61.4°．现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大
约是多少米？（结果精确到个位）（参考数据：sin25.6°≈0.4，cos25.6°≈0.9，tan25.6°≈0.5，
sin61.4°≈0.9，cos61.4°≈0.5，tan61.4°≈1.8）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
21世纪教育网
【分析】根据锐角三角函数关系表示出BF的长，进而求出EF的长，进而得出答案．
【解答】解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA=90°，
∵∠A=45°，
∴AF=DF，
设EF=x，
则tan25.6°= =0.5，
故BF=2x，
则AF=50+2x，
故tan61.4°= = =1.8，
解得；x≈31，
故DE=50+31×2﹣31=81（m），
答：塔高DE大约是81米．
23．（10分）（2014•鞍山）如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径
BD的延长线上，且AB=AP．
【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=2 ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
【考点】切线的判定；扇形面积的计算．
21世纪教育网
【分析】（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°﹣30°=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（2）如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM= ，
∵tan30°= ，sin30°= ，
∴OM=1，OA=2；
∴ = × ×1= ，
= ，
∴图中阴影部分的面积= ．六、解答题（本题满分12分）
24．（12分）（2014•鞍山）小明家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，爸爸
让他对今年的销售情况进行跟踪记录，小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象（所得
图象均为线段），日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，草
莓的价格w（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示．
（1）观察图象，直接写出当0≤x≤11时，日销售量y与上市时间x之间的函数解析式为 y=
x ；当11≤x≤20时，日销售量y与上市时间x之间的函数解析式为 y=﹣10x+20 0 ．
（2）试求出第11天的销售金额；
（3）若上市第15天时，爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔，批发价为每千克15
元，马叔叔到市场按照当日的价格w元/千克将批发来的草莓全部销售完，他在销售的过程
中，草莓总质量损耗了2%．那么，马叔叔支付完来回车费20元后，当天能赚到多少元？
【考点】二次函数的应用．
21世纪教育网
【分析】（1）当0≤x≤11时，设y与x之间的函数关系式为y=kx，当11≤x≤20时设y与x之间
的函数关系式为y=k x+b，由待定系数法求出其解即可；
1
（2）当3≤x＜16时，设w与x的关系式为w=k x+b ，当x=11时，代入解析式求出w的值，由
2 2
销售金额=单价×数量就可以求出结论；
（3）当x=15时代入（1）的解析式求出y的值，再当x=15时代入（2）的解析式求出w的值，再
由利润=销售总额﹣进价总额﹣车费就可以得出结论．【解答】解：（1）当0≤x≤11时，设y与x之间的函数关系式为y=kx，当11≤x≤20时设y与x之
间的函数关系式为y=k x+b，由题意，得
1
90=11k， ，
解得：k= ， ，
∴y= ，
故答案为：y= x，y=﹣10x+200；
（2）当3≤x＜16时，设w与x的关系式为w=k x+b ，由题意，得
2 2
，
解得： ，
∴w=﹣x+33．
当x=11时，
y=90，w=22，
∴90×22=1980元．
答：第11天的销售总额为1980元；
（3）由题意，得
当x=15时，
y=﹣10×15+200=50千克．
w=﹣15+33=18元，
利润为：50（1﹣2%）×18﹣50×15﹣20=112元．
答：当天能赚到112元．
七、解答题（本题满分12分）25．（12分）（2014•鞍山）如图，在直角△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，点F为直线AD
上任意一点，过点A作直线AC⊥BF，垂足为点E，直线AC交直线BD于点C．过点F作
FG∥BD，交直线AB于点G．
（1）如图1，点F在边AD上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是 FG+DC=BD ；
（2）如图2，点F在边AD的延长线上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是
FG=DC+BD ，证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，若DF=6，GF=10，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋
转，这个角的两边分别交线段FG于M，N两点，当FM=2时，求线段NG的长．
【考点】几何变换综合题．
21世纪教育网
【分析】（1）先证明△BDF≌△ADC，得出DF=DC，再证明FG=AF，即可得出结论；
（2）过点B作BH⊥GF于点H，由△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形．得出AD=BD，
AF=FG，再证明△ADC≌△BDF，得出DC=DF，即可得出结论；
（3）作NP⊥AG于P，由四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，得出BH=DF=6，
PG=PN，设PG=PN=x，则NG= x，再证出∠PBN=∠MBH，得出tan∠PBN=tan∠MBH= ，得
BP=3PN=3x，列出方程x+3x=6 ，解方程即可得出结果．
【解答】解：（1）FG+DC=BD；理由：
∵∠ADB=90°，∠ABD=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=45°，
∴AD=BD，∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC，
∵FG∥BD，
∴∠AFG=∠ADB=90°，∠AGF=∠ABD=45°，
∴FG=AF，
∴FG+DC=AF+DF=AD=BD；
（2）FG=DC+BD；理由如下：
过点B作BH⊥GF于点H，如图2所示：
则四边形DFHB是矩形，
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，FG∥BD，
∴△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形，
∴AD=BD，AF=FG，
∵AC⊥BF，
∴∠CEB=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵∠C+∠DAC=90°，∠CBE=∠DBF，
∴∠DAC=∠DBF，∠ADB=90°，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DC=DF，
∴AF=DF+AD=DC+BD，
∴FG=DC+BD；
（3）作NP⊥AG于P，如图3所示：
则四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，
∴BH=DF=6，PG=PN，
设PG=PN=x，则NG= x，∵∠G=45°，
∴GH=BH=6，BG=6 ，∠GBH=45°，
∵∠MBN=45°，
∴∠PBN=∠MBH，
∴tan∠PBN=tan∠MBH= = ，
∴BP=3PN=3x，
∴PG+BP=x+3x=4x=6 ，
解得：x= ，
∴NG= × =3．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2014•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y= x2先向右平移1个单位，
再向下平移 个单位，得到新的抛物线y=ax2+bx+c，该抛物线与y轴交于点B，与x轴正
半轴交于点C．
【出处：21教育名师】（1）求点B和点C的坐标；
（2）如图1，有一条与y轴重合的直线l向右匀速平移，移动的速度为每秒1个单位，移动的
时间为t秒，直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于点P，当点P在x轴上方时，求出使△PBC的面
积为2 的t值；
21教育名师原创作品
（3）如图2，将直线BC绕点B逆时针旋转，与x轴交于点M（1，0），与抛物线y=ax2+bx+c交
于点A，在y轴上有一点D（0， ），在x轴上另取两点E，F（点E在点F的左侧），EF=2，
线段EF在x轴上平移，当四边形ADEF的周长最小时，先简单描述如何确定此时点E的位
置？再直接写出点E的坐标．
【考点】二次函数综合题．
21世纪教育网
【分析】（1）根据条件即可写出新抛物线的解析式，然后只需令x=0就可得到点B的坐标，令
y=0就可得到点C的坐标；
（2）过点P作PH⊥y轴于点H，如图1，则有PH=t，然后运用割补法表示出△BCP的面积，根
据条件“△PBC的面积为2 ”可用t的代数式表示出OH，从而得到点P的坐标（用t的代
数式表示），然后将点P的坐标代入新抛物线的解析式就可解决问题；
（3）由于AD、EF是定值，要使四边形ADEF的周长最小，只需DE+AF最小，由于DE与AF
不相连，可将AF向左平移2个单位到A′E，从而将问题转化为DE+EA′最小，可作点D关于x
轴的对称点D′，则有D′E=DE，从而将问题转化为D′E+EA′最小，根据两点之间线段最短可知
当D′、E、A′三点共线时，D′E+EA′最小；要求四边形ADEF的周长最小时对应的点E的坐标，
只需依次求出直线BM的解析式、点A的坐标，点A′的坐标，点D关于x轴的对称点D′的坐
标，直线A′D′的解析式，直线A′D′与x轴的交点E′的坐标，就可解决问题．
【解答】解：（1）将抛物线y= x2先向右平移1个单位，再向下平移 个单位，得到新的抛物线的解析式为y= （x﹣1）2﹣ ．
当x=0时，y= ﹣ =﹣ ，则点B的坐标为（0，﹣ ）；
令y=0，得 （x﹣1）2﹣ =0，
解得：x =3，x =﹣1，
1 2
∵点C在x轴正半轴上，
∴点C的坐标为（3，0）；
（2）过点P作PH⊥y轴于点H，如图1，
由题可得PH=1×t=t．
∵点B（0，﹣ ），点C（3，0），
∴OB= ，OC=3，
∴S
△BCP
=S梯形PHOC +S
△BOC
﹣S
△PHB
= （PH+OC）•OH+ OB•OC﹣ BH•PH
= （t+3）•OH+ × ×3﹣ （OH+ ）•t
= OH+ ﹣ t=2 ，
解得：OH= t+ ，
∴点P的坐标为（t， t+ ）．
∵点P在抛物线y= （x﹣1）2﹣ 上，
∴ （t﹣1）2﹣ = t+ ，
解得：t =4，t =﹣1
1 2
∵点P在第一象限，
∴t=4；（3）将点A向左平移2个单位到点A′，作点D关于x轴的对称点D′，连接A′D′，交x轴于点
E′，
当点E运动到点E′时，四边形ADEF的周长最小，此时点E的坐标为（ ，0）．
解题思路如下：
先用待定系数法求出BM的解析式，为y= x﹣ ，
然后将直线BM与抛物线的解析式组成方程组，求出它们的一个交点A的坐标，为（5，4
），
从而可得点A向左平移2个单位所对应的点A′的坐标，为（3，4 ），
由点D（0， ）可得到该点关于x轴的对称点D′的坐标，为（0，﹣ ），
然后运用待定系数法求出直线A′D′的解析式，为y= x﹣ ，
然后令y=0，就可得到直线A′D′与x轴的交点E′的坐标，为（ ，0）．
