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2012年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确选项前的字母填入下面的
表格内，每小题3分，共24分）
1．（3分）6的相反数是（ ）
A．﹣6 B． C．±6 D．
2．（3分）如图，下面是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（
）
A． B．
C． D．
3．（3分）据分析，到2015年左右，我国纯电驱动的新能源汽车销量预计达到250000辆，
250000用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×106 B．2.5×104 C．2.5×10﹣4 D．2.5×105
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x6+x3＝x9 B．x3•x2＝x6 C．（xy）3＝xy3 D．x4÷x2＝x2
5．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数
的图象上，AB⊥x轴于点M，且AM：MB＝1：2，则k的值为（ ）
第1页（共23页）A．3 B．﹣6 C．2 D．6
7．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论： OA＝3； a+b+c＜0； ac＞0； b2﹣4ac＞0．
其中正确的结论是（ ） ① ② ③ ④
A． B． C． D．
8．（3分①）如④图，在直角梯形AB①CD③中，AD∥BC，∠A＝②90④°，AB＝BC＝4，DE⊥①B②C于点E，且E
是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点
B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的
图象是（ ）
A． B．
第2页（共23页）C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）﹣ 的绝对值是 ．
10．（3分）如图，直线a∥b，EF⊥CD于点F，∠2＝65°，则∠1的度数是 ．
11．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个
单位长度，得到点P ，则点P 的坐标为 ．
1 1
12．（3分）已知圆锥的母线长为8cm，底面圆的半径为3cm，则圆锥的侧面展开图的面积是
cm2．
13．（3分）甲、乙、丙三个芭蕾舞团各有10名女演员，她们的平均身高都是165cm，其方差分
别为S甲 2＝1.5，S乙 2＝2.5，S丙 2＝0.8，则 团女演员身高更整齐（填甲、乙、丙中一
个）．
14．（3分）A、B两地相距10千米，甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的速度
的3倍，结果甲比乙早到 小时．设乙的速度为x千米/时，可列方程为 ．
15．（3分）如图，△ABC内接于 O，AB、CD为 O直径，DE⊥AB于点E，sinA＝ ，则∠D
⊙ ⊙
的度数是 ．
第3页（共23页）16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝a，作斜边AB边中线CD，得到第
一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形
DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于 ．
三、解答题（17、18、19小题各8分，共24分）
17．（8分）先化简，再求值： ，其中x＝ +1．
18．（8分）如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝
CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．
求证：FP＝EP．
19．（8分）如图，某社区有一矩形广场ABCD，在边AB上的M点和边BC上的N点分别有一
棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在BD上（点B除外）选一点P再种一棵景观树，
使得∠MPN＝90°，请在图中利用尺规作图画出点P的位置（要求：不写已知、求证、作法
和结论，保留作图痕迹）．
20．（10分）如图，某河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上的点A处和点B处各有一棵大
树，AB＝30米，某人在河岸MN上选一点C，AC⊥MN，在直线MN上从点C前进一段路程
第4页（共23页）到达点D，测得∠ADC＝30°，∠BDC＝60°，求这条河的宽度．（ ≈1.732，结果保留三个
有效数字）．
21．（10分）现有两个不透明的乒乓球盒，甲盒中装有1个白球和2个红球，乙盒中装有2个
白球和若干个红球，这些小球除颜色不同外，其余均相同．若从乙盒中随机摸出一个球，
摸到红球的概率为 ．
（1）求乙盒中红球的个数；
（2）若先从甲盒中随机摸出一个球，再从乙盒中随机摸出一个球，请用树形图或列表法求
两次摸到不同颜色的球的概率．
22．（10分）为增强环保意识，某社区计划开展一次“减碳环保，减少用车时间”的宣传活动，
对部分家庭五月份的平均每天用车时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了
下面两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查了多少个家庭？
（2）将图 中的条形图补充完整，直接写出用车时间的中位数落在哪个时间段内；
（3）求用①车时间在1～1.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该社区有车家庭有1600个，请你估计该社区用车时间不超过1.5小时的约有多少
个家庭？
23．（10分）如图，AB是 O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交 O于点C和
⊙ ⊙
第5页（共23页）点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝ ，延长OE到点F，使EF＝2OE．
（1）求 O的半径；
（2）求⊙证：BF是 O的切线．
⊙
24．（12分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，
如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人
学习桌需310元．
（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；
（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的
需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W
与x的函数关系式；求出所有的购买方案．
25．（12分）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO
绕点A顺时针旋转角度 （0°＜ ＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的
延长线交线段BC于点Pα，连AαP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1＝∠2时，求直线PE的解析式．
第6页（共23页）26．（14分）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于
点M，交线段AB于点C，DM＝6，连接DA，∠DAC＝90°．
（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的
抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共23页）2012年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确选项前的字母填入下面的
表格内，每小题3分，共24分）
1．【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是﹣a．
【解答】解：6的相反数就是在6的前面添上“﹣”号，即﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】根据主视图的定义，找到几何体从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面可看到从左往右3列小正方形的个数依次为：1，1，1．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：250000＝2.5×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
4．【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方的性质；同底
数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x6与x3是加法运算不是乘法运算，不能用同底数幂相乘的运算法则计算，故
本选项错误；
B、x3•x2＝x3+2＝x5，故本选项错误；
C、（xy）3＝x3y3，故本选项错误；
D、x4÷x2＝x4﹣2＝x2，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性
第8页（共23页）质和法则是解题的关键．
5．【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
【解答】解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，则只有选项A是中
心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
6．【分析】连接OA、OB，先根据反比例函数 的比例系数k的几何意义，可知
S△AOM ＝ ，S△BOM ＝| |，则S△AOM ：S△BOM ＝3：|k|，再根据同底的两个三角形面积之比等于
高之比，得出S△AOM ：S△BOM ＝AM：MB＝1：2，则3：|k|＝1：2，然后根据反比例函数
的图象所在的象限，即可确定k的值．
【解答】解：如图，连接OA、OB．
∵点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
AB⊥x轴于点M，
∴S△AOM ＝ ，S△BOM ＝| |，
∴S△AOM ：S△BOM ＝ ：| |＝3：|k|，
∵S△AOM ：S△BOM ＝AM：MB＝1：2，
∴3：|k|＝1：2，
∴|k|＝6，
∵反比例函数 的图象在第四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：B．
第9页（共23页）【点评】本题考查了反比例函数 的比例系数k的几何意义，反比例函数图象
上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到3：|k|＝1：2，是解题的关键．
7．【分析】根据点B坐标和对称轴求出A的坐标，即可判断 ；由图象可知：当x＝1时，y＞
0，把x＝1代入二次函数的解析式，即可判断 ；抛物线的①开口向下，与y轴的交点在y轴
的正半轴上，得出a＜0，c＞0，即可判断 ；根②据抛物线与x轴有两个交点，即可判断 ．
【解答】解：∵点B坐标（﹣1，0），对③称轴是直线x＝1， ④
∴A的坐标是（3，0），
∴OA＝3，∴ 正确；
∵由图象可知①：当x＝1时，y＞0，
∴把x＝1代入二次函数的解析式得：y＝a+b+c＞0，∴ 错误；
∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，②
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，∴ 错误；
∵抛物线与x③轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，∴ 正确；
故选：A． ④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系的应用，主要考查学生的观察图象的能力
和理解能力，是一道比较容易出错的题目，但题型比较好．
8．【分析】分别求出点P在DE、AD、AB上运动时，S与t的函数关系式，继而结合选项即可得
出答案．
【解答】解：根据题意得：当点P在ED上运动时，S＝ BC•PE＝2t；
当点P在DA上运动时，此时S＝8；
第10页（共23页）当点P在线段AB上运动时，S＝ BC（AB+AD+DE﹣t）＝20﹣2t；
结合选项所给的函数图象，可得B选项符合．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答该类问题也可以不把函数图象的解析式求
出来，利用排除法进行解答．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】根据“负数的绝对值是其相反数”即可求出结果．
【解答】解：|﹣ |＝ ．
故答案是 ．
【点评】此题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它
的相反数；0的绝对值是0．
10．【分析】先根据直线a∥b，∠2＝65°得出∠FDE的度数，再由EF⊥CD于点F可知∠DFE
＝90°，故可得出∠1的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，∠2＝65°，
∴∠FDE＝∠2＝65°，
∵EF⊥CD于点F，
∴∠DFE＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠FDE＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，根据题意得出∠FDE的度数是
解答此题的关键．
11．【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算即可得解．
【解答】解：∵点P（﹣1，4）向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，
∴﹣1+2＝1，4﹣3＝1，
∴点P 的坐标为（1，1）．
1
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移
加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
12．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为3cm，则底面周长＝6 cm，侧面面积＝ ×6 ×8＝24 cm2．
π π π
第11页（共23页）故答案为24 ．
【点评】本题π利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．解题的关键是了解圆锥的有关元
素与扇形的有关元素的对应．
13．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵ ＝1.5， ＝2.5， ＝0.8
∴丙的方差最小，
∴丙芭蕾舞团参加演出的女演员身高更整齐．
故答案为：丙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这
组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．【分析】根据甲乙速度关系得出两人所行走的时间，进而得出等式方程即可．
【解答】解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度是3x千米/时，
根据题意可得： + ＝ ．
故答案为： + ＝ ．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，解决行程问题根据时间找出等量关系是
解决本题的关键．
15．【分析】由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB＝30°；然后根据直角三角形的两
个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD＝∠COB＝60°；最后在直
角三角形ODE中求得∠D的度数．
【解答】解：∵AB为 O直径，
∴∠ACB＝90°（直径所⊙对的圆周角是直角）；
又∵sinA＝ ，
∴∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵点O是AB的中点，
∴OC＝OB，
第12页（共23页）∴∠OCB＝OBC＝60°，
∴∠COB＝60°，
∴∠EOD＝∠COB＝60°（对顶角相等）；
又∵DE⊥AB，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°．
故答案是：30°．
【点评】本题综合考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值．解题时，注意“直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半”这一知识点的利用．
16．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，然后判定出△ACD
是等边三角形，同理可得被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，再根
据后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形的边长的一半求出第 n个三角形的边长，
然后根据等边三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，
∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，
∴第一个等边三角形的边长CD＝DB＝ AB＝AC＝a，
第二个等边三角形的边长EF＝ DB＝ a，
…
第n个等边三角形的边长为 a，
所以，第n个三角形的面积＝ × a×（ • a）＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定
与性质，三角形的面积判断出后一个三角形的边长是前一个三角形边长的一半，求出第n
第13页（共23页）个等边三角形的边长是解题的关键．
三、解答题（17、18、19小题各8分，共24分）
17．【分析】先求出x的值，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进
行计算即可．
【解答】解：∵x＝ +1，
∴x＝3+1＝4，
原式＝ × ＝ ，
当x＝4时，原式＝ ＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值及负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解答
此题的关键．
18．【分析】根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝
∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出
△PCF≌△PCE即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DGC＝∠GCB（两直线平行，内错角相等），
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴∠DCG＝∠GCB，
∵∠DCG+∠DCP＝180°，∠GCB+∠FCP＝180°，
∴∠DCP＝∠FCP，
∵在△PCF和△PCE中
，
∴△PCF≌△PCE（SAS），
∴PF＝PE．
【点评】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等角
的补角相等，主要考查学生的推理能力，题目比较好，综合性比较强．
第14页（共23页）19．【分析】首先连接MN，作MN的垂直平分线交MN于O，以O为圆心， MN长为半径画
圆，交BD于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图所示：
点P即为所求．
【点评】此题主要考查了作图与应用作图，关键是理解题意，弄清问题中对所作图形的要
求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
20．【分析】过点B作BE⊥MN于点E，则CE＝AB＝30米，CD＝CE+ED，AC＝BE，在
Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知， ＝tan∠ADC，在Rt△BED中， ＝
tan∠BDC，两式联立即可得出AC的值，即这条河的宽度．
【解答】解：过点B作BE⊥MN于点E，则CE＝AB＝30米，CD＝CE+ED，AC＝BE，
设河的宽度为x，
在Rt△ACD中，
∵AC⊥MN，CE＝AB＝30米，∠ADC＝30°，
∴ ＝tan∠ADC，即 ＝ ，
①
在Rt△BED中，
＝tan∠BDC， ＝ ，
②
联立得，x＝15 ≈26.0（米）．
①答：②这条河的宽度为26.0米．
第15页（共23页）【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，利用锐
角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
21．【分析】（1）设乙盒中红球的个数为x，根据概率公式由从乙盒中随机摸出一个球，摸到红
球的概率为 可得到方程得 ＝ ，然后解方程即可；
（2）先列表展示所有15种等可能的结果数，再找出两次摸到不同颜色的球占7种，然后根
据概率公式即可得到两次摸到不同颜色的球的概率．
【解答】解：（1）设乙盒中红球的个数为x，
根据题意得 ＝ ，解得x＝3，
所以乙盒中红球的个数为3；
（2）列表如下：
共有15种等可能的结果，两次摸到不同颜色的球有7种，
所以两次摸到不同颜色的球的概率＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果
数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率公式得到这个事件的概率＝ ．
22．【分析】（1）用1.5﹣2小时的频数除以其所占的百分比即可求得抽样调查的人数；
（2）根据圆心角的度数求出每个小组的频数即可补全统计图；
第16页（共23页）（3）用人数除以总人数乘以周角即可求得圆心角的度数；
（4）用总人数乘以不超过1.5小时的所占的百分比即可．
【解答】解：（1）观察统计图知：用车时间在1.5～2小时的有30个，其圆心角为54°，
故抽查的总人数为30÷ ＝200个；
（2）用车时间在0.5～1小时的有200× ＝60个；
用车时间在2～2.5小时的有200﹣60﹣30﹣90＝20个，
统计图为：
中位数落在1﹣1.5小时这一小组内．
（3）用车时间在1～1.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数为 ×360°＝162°；
（4）该社区用车时间不超过1.5小时的约有1600× ＝1200个；
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．【分析】（1）连OA，由直径CE⊥AB，根据垂径定理可得到AD＝BD＝2，弧AE＝弧BE，利
用圆周角定理得到∠ACE＝∠BCE，∠AOB＝2∠ACB，且∠AOE＝∠BOE，则∠BOE＝
∠ACB，可得到cos∠BOD＝cos∠ACB＝ ，在Rt△BOD中，设OD＝x，则OB＝3x，利用
勾股定理可计算出x＝ ，则OB＝3x＝ ；
（2）由于FE＝2OE，则OF＝3OE＝ ，则 ＝ ，而 ＝ ，于是得到 ＝ ，根
第17页（共23页）据相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根据相似三角形的性质有∠OBF＝
∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：连OA，如图，
∵直径CE⊥AB，
∴AD＝BD＝2，弧AE＝弧BE，
∴∠ACE＝∠BCE，∠AOE＝∠BOE，
又∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠BOE＝∠ACB，
而cos∠ACB＝ ，
∴cos∠BOD＝ ，
在Rt△BOD中，设OD＝x，则OB＝3x，
∵OD2+BD2＝OB2，
∴x2+22＝（3x）2，解得x＝ ，
∴OB＝3x＝ ，
即 O的半径为 ；
⊙
（2）证明：∵FE＝2OE，
∴OF＝3OE＝ ，
∴ ＝ ，
而 ＝ ，
∴ ＝ ，
而∠BOF＝∠DOB，
∴△OBF∽△ODB，
∴∠OBF＝∠ODB＝90°，
∵OB是半径，
第18页（共23页）∴BF是 O的切线．
⊙
【点评】本题考查了圆的综合题：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；在同圆或
等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角
的度数的一半；过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；运用三角形相似证明角度
相等．
24．【分析】（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据如果购买
3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需
310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可；
（2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，
根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进
而求出即可．
【解答】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据题意得
出：
，
解得： ，
答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元；
（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，
购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，
则W与x的函数关系式为：W＝50x+70（98﹣x）＝﹣20x+6860；
根据题意得出：
第19页（共23页），
由50x+70（98﹣x）≤6000，
解得：x≥43，
由2x+3（98﹣x）≥248，
解得：x≤46，
故不等式组的解集为：43≤x≤46，
故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张，
当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，
当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，
当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，解决问题的关键是
读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
25．【分析】（1）由AO＝AD，AG＝AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG；
（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1＝∠DAG，∠DAP＝∠BAP，而
∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP＝90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，
可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系；
（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO＝∠AGD，而∠1+∠AGO＝90°，∠2+∠PGC＝90°，
当∠1＝∠2时，可证∠AGO＝∠AGD＝∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，得出
∠AGO＝∠AGD＝∠PGC＝60°，即∠1＝∠2＝30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G
两点坐标，得出直线PE的解析式．
【解答】（1）证明：∵∠AOG＝∠ADG＝90°，
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，
∵ ，
∴△AOG≌△ADG（HL）；
（2）解：PG＝OG+BP．
由（1）同理可证△ADP≌△ABP，
则∠DAP＝∠BAP，由（1）可知，∠1＝∠DAG，
又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP＝90°，
所以，2∠DAG+2∠DAP＝90°，即∠DAG+∠DAP＝45°，
第20页（共23页）故∠PAG＝∠DAG+∠DAP＝45°，
∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，
∴DG＝OG，DP＝BP，
∴PG＝DG+DP＝OG+BP；
（3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO＝∠AGD，
又∵∠1+∠AGO＝90°，∠2+∠PGC＝90°，∠1＝∠2，
∴∠AGO＝∠AGD＝∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，∴∠AGO＝∠AGD＝∠PGC＝60°，
∴∠1＝∠2＝30°，
在Rt△AOG中，AO＝3，AG＝2OG，AG2＝AO2+OG2，
∴OG＝ ，则G点坐标为：（ ，0），
CG＝3﹣ ，在Rt△PCG中，
PG＝2CG＝2（3﹣ ），PC＝ ＝3 ﹣3，则P点坐标为：（3，3 ﹣3），
设直线PE的解析式为y＝kx+b，
则 ，解得 ，
所以，直线PE的解析式为y＝ x﹣3．
【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据正方形的性质证明三角形全等，根
据三角形全等的性质求角、边的关系，利用特殊角解直角三角形，求P、G两点坐标，确定
直线解析式．
26．【分析】（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式；
（2）作DG⊥y轴，垂足为G，由已知得OA＝OB＝4，△OAB为等腰直角三角形，而
第21页（共23页）AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等腰直角三角形，则DG＝AG＝OG﹣OA＝DM﹣
OA＝6﹣4＝2，可求D点坐标；
（3）存在．已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，
由于对顶角∠CFE＝∠BFP＝45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF＝∠BPF＝
90°，∠CEF＝∠BPF＝90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，
得 ，解得 ，所以，直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，
∵OA＝OB＝4，
∴△OAB为等腰直角三角形，
又∵AD⊥AB，
∴∠DAG＝90°﹣∠OAB＝45°，即△ADG为等腰直角三角形，
∴DG＝AG＝OG﹣OA＝DM﹣OA＝6﹣4＝2，
∴D（2，6）；
（3）存在．
由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
将D（2，6）代入，得a＝﹣ ，所以，抛物线解析式为y＝﹣ x（x﹣4），
由（2）可知，∠PBF＝45°，则∠CFE＝∠BFP＝45°，C（2，2），
设P（x，0），则MP＝x﹣2，PB＝4﹣x，
当∠ECF＝∠BPF＝90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，
①过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形，
则PE＝PF+FH+EH＝PB+2MP＝4﹣x+2（x﹣2）＝x，
将E（x，x）代入抛物线y＝﹣ x（x﹣4）中，得x＝﹣ x（x﹣4），解得x＝0或 ，即P（
，0），
当∠CEF＝∠BPF＝90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，
②则PE＝MC＝2，将E（x，2）代入抛物线y＝﹣ x（x﹣4）中，得2＝﹣ x（x﹣4），
第22页（共23页）解得x＝ 或 ，即P（ ，0），
所以，P（ ，0）或（ ，0）．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据A、B两点坐标判断△ABC的形状，
利用互余关系判断其它三角形形状，求出D点坐标及抛物线解析式，根据△BPF为等腰
直角三角形，△BPF与△FCE相似，且有对顶角相等，由直角的对应关系，分类求P点坐
标．
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