文档内容
2016年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．【分析】根据负数大小比较法则进行解答便可．
【解答】解；∵ ， ，|﹣1|＝1， ，
又∵ ，
∴
∴最小的数是﹣ ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数大小的比较．牢记负数大小比较法则是解题的关键．两个负
数绝对值大的反而小．熟记常见的无理数近似值可使计算简便快捷．如 ≈1.414．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
整数位数减1即可．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：940万＝9400000＝9.4×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】由三视图判断几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体
的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】解：由图可得，此三视图所对应的直观图是：
故选：C．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一
定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、
第1页（共22页）上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分
和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮
助．
4．【分析】将图形分为四边形ABFE和四边形DCFE两部分，可得三角形ABM是四边形
ABFE面积的一半，三角形DCN是四边形DCFE面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部
分的概率．
【解答】解：∵E、F分别是矩形ABCD的两边AD、BC上的点，EF∥AB，
∴四边形ABFE、CDEF是矩形，
S△ABM ＝ S矩形ABFE ，S△CDN ＝ S矩形CDEF ，
S阴影＝S△ABM +S△CDN ＝ S矩形ABFE + S矩形CDEF ＝ S矩形ABCD ，
飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故选：C．
【点评】此题考查同学的看图能力以及概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．
用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
5．【分析】分别根据抛物线与y轴的交点位置、抛物线的对称轴及其变形、当x＝﹣1时，图象
所显示的函数值及抛物线与x轴的交点个数与对应的一元二次方程的判别式的关系来求
解即可．
【解答】解：A项，由抛物线的函数图象可知，该函数与y轴的交点位于y轴正半轴，故c＞
0，故A项表述正确．
B项，抛物线可得对称轴为x＝﹣ ＝1，故2a+b＝0，故B项表述正确．
C项，由抛物线可得当x＝﹣1时，y＜0，故a﹣b+c＜0，故C项表述错误
D项，根据函数图象可得抛物线与x轴有两个交点，可知Δ＝b2﹣4ac＞0，故D项表述正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结
合是解题的关键．
6．【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解： ，
第2页（共22页）解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＞3，
故不等式组的解集为：x＞3，
如图所示： ，
故选：B．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，正确解不等式是解题关键．
7．【分析】过点F作FH⊥BC于H，由锐角三角函数可求∠EBC ＝30°，可证△FEG是等边三
1
角形，可得EF＝GF＝GE，即可求解．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，且FH⊥BC，
∴四边形ABHF是矩形，
∴AB＝FH＝
∵将矩形沿着过点E的直线翻折后，
∴EC＝EC ，∠C＝∠C ＝90°，∠FEC＝∠FEC ，∠D＝∠FD C ＝90°，
1 1 1 1 1
∵BE＝2CE，
∴BE＝2C E，
1
∴sin∠EBC ＝ ＝ ，
1
∴∠EBC ＝30°，
1
∴∠BGD ＝60°＝∠BEC ，
1 1
∴∠FGE＝60°，∠FEC＝ ＝120°，
∴∠FEG＝60°＝∠FGE，
∴△FEG是等边三角形，
第3页（共22页）∴EF＝GF＝GE，
∵FH＝ ，FH⊥GE，∠FEG＝60°，
∴HE＝1，EF＝2EH＝2，
∴△EFG的周长＝3×2＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，证
明△FEG是等边三角形是本题的关键．
8．【分析】在平移过程中，当t＝0.5时，PM与点E接触，在此之前重叠部分面积逐渐增大，此
后重叠部分在原来的增长上还要减去露出的三角形，增速减缓直至“0”增长时S取得最
大值，随后开始减小；当M点过点D后，重叠部分面积不再有增加部分，快速减小直至平
移结束，算出具体数据即可作出判断．
【解答】解：分析平移过程，当0≤t＜0.5时，PM还未与点E接触，S逐渐增大；
当0.5＜t＜1时，S在原来增长的基础上还应减去露出的三角形面积，增速变缓，“0”增
长时达到最大值；
当1＜t＜2时，不再有增长的部分，只有减小的部分，快速减小直至平移结束．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，分段讨论及数形结合是解题的关键，本题难度
中等，属于中档题．
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3a（a2﹣4b2）＝3a（a+2b）（a﹣2b），
故答案为：3a（a+2b）（a﹣2b）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
10．【分析】由于方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根，那么其判别式是非负数，由此得到关于m
的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4m≥0，
∴m≤4．
故填空答案：m≤4．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
第4页（共22页）（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
11．【分析】连⇔接OP，根据切线的性质可得∠OPC＝90°，根据三角函数的定义即可求解．
【解答】解：连接OP，
∵CP是 O的切线，
∴∠OPC⊙＝90°，
∵BC＝5，AB＝2，
∴半径OA＝1，
则OC＝BC﹣BO＝4，
∴sinC＝ ＝ ．
故答案为：
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算
或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
12．【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份的生产平均增
长率为x，那么首先可以用x表示二、三月份共生产收入100（1+x）+100（1+x）2，然后可得
出的方程为100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．
【解答】解：依题意得二、三月份共生产收入100（1+x）+100（1+x）2，
则方程为100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．
故答案为：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，要注意增长率问题的规律，然后正确
找到数量关系根据题意列出方程．
13．【分析】根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出这名同学的最终成绩．
【解答】解：这名同学的最终成绩为： ＝89（分），
故答案为：89．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
第5页（共22页）14．【分析】先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称
可得到△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标
为（﹣x，y+2），即为P′点的坐标．
【解答】解：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，
∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（﹣x，y+2）．
故答案为（﹣x，y+2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移、坐标与图形变化﹣轴对称：图形或点旋转之
后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角
度如：30°，45°，60°，90°，180°．
15．【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A 、B 、A 、B 、A 、
1 1 2 2 3
B …，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2016除以3，根据商的情况确定出
3
a 即可
2016
【解答】解：当a ＝﹣2时，B 的纵坐标与A 的纵坐标相等为y ＝﹣a ﹣1＝2﹣1＝1，
1 1 1 1 1
A 的横坐标和B 的横坐标相同为a ＝ ＝1，
2 1 2
B 的纵坐标和A 的纵坐标相同为y ＝﹣a ﹣1＝﹣2，
2 2 2 2
A 的横坐标和B 的横坐标相同为a ＝ ＝ ，
3 2 3
B 的纵坐标和A 的纵坐标相同为y ＝﹣a ﹣1＝﹣ ，
3 3 3 3
A 的横坐标和B 的横坐标相同为a ＝ ＝a ，
4 3 4 1
…
由上可知，a ，a ，a ，a ，a ，…，3个为一组依次循环，
1 2 3 4 5
∵2016÷3＝672，
∴a ＝a ＝﹣ ，
2016 3
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依
第6页（共22页）次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的
难点．
16．【分析】取AF的中点G，连接OG，根据三角形的中位线得出OG＝ FC，OG∥FC，由正
方形的性质求出∠OAB、∠ABO、∠OCB的度数，求出∠OEA和∠OGF的度数，推出OG
＝OE，可得CF＝2OE；由等腰三角形的性质可得DA＝DE，即可得AD＝ AC+OE，作
EH⊥AB于H，可得OE＝EH，可得S△ABE ≠S△AEO ；利用平行线分线段成比例可求
+1，可得 ＝ ＝ ﹣1，即可求解．
【解答】解：取AF的中点G，连接OG，
∵O、G分别是AC、AF的中点，
∴OG＝ FC，OG∥FC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
∵正方形ABCD，
∴∠OAB＝∠ABO＝∠OCB＝45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠OAF＝22.5°，
∴∠GEO＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵GO∥FC，
∴∠AOG＝∠OCB＝45°，
∴∠OGE＝67.5°，
∴∠GEO＝∠OGE，
∴GO＝OE，
第7页（共22页）∴CF＝2OE，故①正确；
∵∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴AD＝DE，
∵DE＝DO+OE＝ AC+OE，
∴AD＝ AC+OE，故②正确；
如图，作EH⊥AB于H，
∵AF平分∠BAC，EO⊥AO，EH⊥AB，
∴EH＝EO，
∵S△ABE ＝ ×AB×HE，S△AOE ＝ ×AO×OE，
∴S△ABE ≠S△AEO ，故③错误，
∵∠ABO＝45°，EH⊥AB，
∴∠ABC＝∠HEB＝45°，
∴HE＝BH，
∴BE＝ HE＝ EO，
∴BO＝（ +1）EO，
∴DE＝（2+ ）EO，
∵AD∥BC
∴ ，
∴ +1，
第8页（共22页）∴ ＝ ＝ ﹣1，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性
质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤）
17．【分析】首先通分，计算括号里面的减法，然后再计算除法即可．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）• ，
＝ ，
＝ ．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，关键是掌握计算顺序，掌握分式的计算法则．
18．【分析】（1）依据角平分线的作法，即可得到∠BAD的平分线；
（2）先证明四边形ADFE是平行四边形，再根据AE＝AD，即可得到四边形ADFE是菱形．
【解答】解：（1）如图所示，AF即为∠BAD的平分线；
（2）∵AF即为∠BAD的平分线，
∴∠DAF＝∠EAF，
∵DF∥AE，
∴∠DFA＝∠EAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
又∵AD＝AE，
∴DF＝AE，
又∵DF∥AE，
第9页（共22页）∴四边形ADFE是平行四边形，
又∵AD＝AE，
∴四边形ADFE是菱形．
【点评】本题主要考查了基本作图以及菱形的判定，解题时注意：一组邻边相等的平行四
边形是菱形．
四．解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各分组人数之和等于总人数求得C组人数，从而补全条形图；
（3）根据中位数的定义求解可得；
（4）用总人数乘以样本中超过12本的学生占被调查人数的比例即可得．
【解答】解：（1）此次抽样调查共调查了学生20÷20%＝100（名），
故答案为：100；
（2）C组的人数为100﹣（5+15+20+35）＝25（名），
补全图形如下：
（3）∵共有100个数据，
∴其中位数是第50、51个数据的平均数，而第50、51个数据均落在D组内，
∴学生读书数量的中位数落在D组8～12本；
（4）估计2017年读课外书的数量超过12本的学生有900× ＝315（名）．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图
中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形
第10页（共22页）统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的
结果数，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率P＝ ；
故答案为： ；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为6，
所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率P ＝ ＝ ．
1
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求
出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概
率．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤）
21．【分析】（1）利用y轴上点的坐标特征确定B点坐标；
（2）利用三角形面积公式求出OC的长，从而得到A（﹣1，0），C（1，0），然后利用待定系数
法求两函数的解析式；
（3）结合图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝kx+2＝2，则B（0，2）；
（2）∵S△OBC ＝1，
∴ ×2×OC＝1，解得OC＝1，
∴OA＝OC，
∴A（﹣1，0），C（1，0），
把C（1，0）代入y＝kx+2得k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+2；
第11页（共22页）当x＝﹣1时，y＝﹣2x+2＝2+2＝4，则P（﹣1，4），
把P（﹣1，4）代入y＝ 得m＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数解析式为y＝﹣ （x＜0）；
（3）当x＜﹣1时，kx+2＞ ，
即不等式kx+2＞ 的解集为x＜﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点
坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，
则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
22．【分析】作DG⊥CN于G，根据等腰直角三角形的性质求出AM，根据正切的定义求出
NP，根据坡度的概念求出QF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：作DG⊥CN于G，
由题意得，四边形BMNC、四边形DPQE、四边形GNPD为矩形，
∴MN＝BC＝10m，PQ＝DE＝6m，NP＝GD，EQ＝DP＝4m，GN＝DP＝4mCG＝CN﹣GN
＝2m，
在Rt△ABM中，∠A＝45°，
∴AM＝BM＝6（m），
在Rt△CGD中，∠CDG＝27°，
∴DG＝ ≈4（m），
∵斜坡EF的坡度为2：3，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴QF＝6（m），
∴AF＝AM+MN+NP+PQ+QF＝6+10+4+6+6＝32（m），
答：天桥跨度AF的长约为32m．
第12页（共22页）【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤）
23．【分析】（1）根据等弧及同弧相对的圆周角相等，得出∠EAF＝∠DBE＝∠ABC；由∠BAC
＝90°，得出∠C+∠ABC＝90°；由直径所对的圆周角为直角得出∠AEF＝90°，从而
∠EAF+∠AFE＝90°，则可得∠AFC＝∠C，即可解答；
（2）首先根据AB是 O的直径，得出AE⊥CF，再根据∠C＝∠C，∠BAC＝∠AEC＝90°，
⊙
得出△AEC∽△BAC，然后根据相似三角形的性质得出 ＝ ，然后再根据AC＝AF，
EF＝2，BF＝8，得出BC＝12，CE＝2，即可求出AF．
【解答】解：（1）证明：如图，连接BD．
∵E是 的的中点，
∴ ＝
∴∠ABC＝∠DBE．
∴∠C+∠DBE＝90°．
∵∠EAF＝∠DBE＝∠ABC，
∵AB为直径
∴∠AEF＝90°，
∴∠EAF+∠AFE＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°．
∴∠AFC＝∠C，
∴AC＝AF．
（2）∵AB是 O的直径，
⊙ 第13页（共22页）∴∠AEB＝90°，即AE⊥CF．
∵AC＝AF，EF＝2，
∴CE＝EF＝2．
∵BF＝8，
∴BC＝BF+EF+CE＝12．
∵∠C＝∠C，∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴△AEC∽△BAC，
∴ ＝ ，即 ＝
∴AC2＝24
∴AC＝
∵AC＝AF
∴AF＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及圆的相关性质及定理，熟练掌握相关性质
及定理是解题的关键．
24．【分析】（1）根据题意和函数图象可以得到点B的实际意义；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得每人每天的编织量和销售量；
（3）根据（2）中的答案可以求得点C的坐标，从而可以求得CD段所在的直线的函数表达
式，由（2）中的答案可以求得原来的库存量，从而可以求得多少天后剩余库存量低于生产
前的库存量．
【解答】解：（1）点B的实际意义是60名工人2天生产的纪念品数量与未生产之前的库存
量之和是500件；
（2）设每人每天的编织量是x件，
500+（60﹣10）x×（4﹣2）+（60﹣10﹣10）x×（8﹣4）﹣（8﹣4）×5x×10＝560，
解得，x＝1，
∴5x＝5
即每人每天的编织量是1件，销售量是5件；
（3）由（2）可得，
点C的纵坐标的值是：500+（60﹣10）×1×2＝600，
即点C的坐标为（4，600），
又∵点D（8，560），
第14页（共22页）设CD段所在的直线的函数表达式为y＝kx+b，
，
解得， ，
即CD段所在的直线的函数表达式是y＝﹣10x+640，
由题意可得，原来的库存量为：500﹣60×1×2＝380，
则﹣10x+640＜380，
解得，x＞26，
即26天后剩余库存量低于生产前的库存量．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，会用待定系数求函数的解析式，注意数形结合的思想的灵活运用．
七、解答题（本大题共1小题，共12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
25．【分析】（1）先证明△ABC是等边三角形，过F作FG∥AC，交AB于点G，证明
△DAE≌△DGF（AAS），得AD＝DG，根据线段的和可得结论；
（2）①设BC＝x，则AB＝ x，同理作辅助线，证明△DAE≌△DGF（AAS），得AD＝DG＝
6，根据平行线分线段成比例定理列比例式可得x的值，从而得AB的长；
②如图3，同理作辅助线，得AG＝2AD，FG＝FB，根据等腰三角形三线合一的性质得：BG
＝2PB，过C作CH⊥AB于H，由等腰三角形三线合一的性质得BH＝ AB，确定BH和
BC的关系，根据平行线分线段成比例定理列比例式可得BP和FP的关系，从而得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵AC＝BC，AB＝BC，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠B＝60°，
过F作FG∥AC，交AB于点G，
第15页（共22页）∴∠AED＝∠DFG，
∠GFB＝∠C＝60°，
∴∠FGB＝∠GFB＝∠B＝60°，
∴△FGB是等边三角形，
∴FG＝BG＝BF，
∵AE＝BF，
∴AE＝FG，
在△DAE和△DGF中，
∵ ，
∴△DAE≌△DGF（AAS），
∴AD＝DG，
∵AB＝AD+DG+BG，
∴AB＝2AD+BF；
（2）解：①设BC＝x，则AB＝ x，AC＝x，
如图2，过F作FG∥AC，交AB于点G，
∴∠FGB＝∠CAB＝∠B，
第16页（共22页）∴FG＝FB＝AE＝ ，
同理得：△DAE≌△DGF（AAS），
∴AD＝DG＝6，
∵FG∥AC，
∴ ，即 ，
解得：x＝ ，
∴AB＝ ＝17，
故答案为：17；
②线段AB，AD，FP之间的数量关系是：AB＝2AD+ ；
如图3，过F作FG∥AC，交AB于点G，
由①知：AG＝2AD，FG＝FB，
∵FP⊥AB，
∴BG＝2PB，
∵AB＝AG+BG，
∴AB＝2AD+2BP，
过C作CH⊥AB于H，
∵AC＝BC，
∴AH＝BH，
∴BH＝ AB，
第17页（共22页）∵AB＝ BC，
∴BH＝ BC，
∵FP⊥AB，CH⊥AB，
∴FP∥CH，
∴ ＝ ，
设BP＝a，BF＝3a，
则FP＝2 a，
∴ ＝ ，
∴BP＝ ，
∴AB＝2AD+ ．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、平行线分线段成比例
定理、等腰三角形的性质和判定等知识，本题作辅助线证明△DAE≌△DGF是关键，并利
用数形结合的思想综合解决问题，属于常考题型．
八、解答题（本大题共1小题，共14分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
26．【分析】（1）由tan∠BAO＝ 得 的比值，根据平行四边形的性质及点D的坐标即可得
到点B的坐标，再结合待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）①结合图形和已知条件得到△AFO∽△DNF，根据相似三角形对应线段成比例的性
质得 ，代入相关数值即可得到m与n的函数关系式，结合最值和点N与点D重合
情形即可求得m的取值范围；
②过点Q作QC⊥AD于点G，结合①得到△PAF∽△FGQ，设AP＝q，根据相似三角形对
应线段成比例得到关系式，即可表示出OP、FG、OQ＝AG的长，结合圆的相关知识得到y
与x之间的关系式，最后根据锐角三角函数的定义及勾股定理分当点P与点A重合时或
点Q与点E重合两种情况求得圆心的坐标，进而得到圆心M的运动路径长．
【解答】解：（1）∵tan∠BAO
第18页（共22页）∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴点D的坐标为（5，2），
∴点A的坐标为（0，2），
∴点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（4，0）
二次函数 图象经过点B、D，
∴
解得
∴所求二次函数的解析式为y
当x＝4时，
点C在二次函数 的图象上
（2）①如图1
第19页（共22页）∠OAF＝∠OFN＝∠FDN＝90°
∴∠AFO＝∠DNF
∴△AFO∽△DNF
∴
即
∴
＝
＝
∵
当n＝ ，m最大 ＝
点N与点D重合时，m＝0
∵不含点N与点D重合的情形，
m的取值范围是0
②如图2，过点Q作QC⊥AD于点G
则CQ＝OA＝2．
设AP＝q，则OP＝2﹣q
第20页（共22页）由①知，△PAF∽△FGQ
∴
即
∴FG＝2q
∴OQ＝AG＝2q+1，Q是 M的直径，
∴圆心M是PQ的中点，⊙
∴
即
∴
当点P与点A重合时，
得点Q的坐标为（1，0），
∵圆心M在PQ中点处，
∴
点P与点O重合时，
∠OAF＝∠PFQ＝90°，
AD∥BC，
∴∠AFO＝∠FPQ，tan∠AFO＝
即tan∠FPO＝
∵PF与OF重合，
∴
即
由勾股定理得：
PQ＝
∴点Q与点E重合，坐标为（5，0）
第21页（共22页）∴圆心
所以圆心M在点M （ ，1）和 间运动．
1
由勾股定理得圆心M运动的路径长＝ ＝
∴圆心M运动的路径长是
【点评】此题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质的应用，还考查了锐
角三角函数的意义及应用，最后一问关键要搞清点M的运动轨迹，起始位置和终点的位
置．
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