文档内容
2012年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）（2012•大连）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
﹣
2．（3分）（2012•大连）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）（2012•大连）下列几何体中，主视图是三角形的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2012•大连）甲、乙两班分别有10名选手参加学校健美操比赛，两班参赛选手身高的方差分别是 =1.5，
=2.5，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班选手比乙班选手身高整齐
B．乙班选手比甲班选手身高整齐
C．甲、乙两班选手身高一样整齐
D．无法确定哪班选手身高更整齐
5．（3分）（2012•大连）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a3﹣a2=a C．a3•a2=a6 D．a3÷a2=a
6．（3分）（2012•大连）一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子
中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2012•大连）如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．28 D．40
8．（3分）（2012•大连）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标
分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2012•大连）化简： = ．10．（3分）（2013•南宁）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
11．（3分）（2012•大连）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE=3cm，则BC= cm．
12．（3分）（2012•大连）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BCA=60°，则∠ABO= °．
13．（3分）（2012•大连）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为
（精确到0.1）．
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251
投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
14．（3分）（2012•大连）如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值为 ．
15．（3分）（2012•大连）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处．若测角仪
CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为 m．（精确到0.1m）．
（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
16．（3分）（2012•大连）如图，矩形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上，且AE=9cm，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻
折，点A恰好落在EC上的点A′处，则A′C= cm．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）（2012•大连）计算： +（ ）﹣1﹣（ +1）（ ﹣1）
18．（9分）（2012•大连）解方程： ．
219．（9分）（2012•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．
20．（12分）（2012•大连）某车间有120名工人，为了了解这些工人日加工零件数的情况，随机抽出其中的30名工人进行调
查．整理调查结果，绘制出不完整的条形统计图（如图）．根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在被调查的工人中，日加工9个零件的人数为 名；
（2）在被调查的工人中，日加工12个零件的人数为 名，日加工 个零件的人数最多，日加工15个
零件的人数占被调查人数的 %；
（3）依据本次调查结果，估计该车间日人均加工零件数和日加工零件的总数．
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）（2012•大连）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象都经过点A（﹣2，6）和点（4，n）．
（1）求这两个函数的解析式；
3（2）直接写出不等式kx+b≤ 的解集．
22．（9分）（2012•大连）甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙
开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆．如图是甲、乙两人在
跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象．
（1）在跑步的全过程中，甲共跑了 米，甲的速度为 米/秒；
（2）乙跑步的速度是多少？乙在途中等候甲用了多长时间？
（3）甲出发多长时间第一次与乙相遇？此时乙跑了多少米？
23．（10分）（2012•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交
AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．
（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．
4五、解答题（本题共3小题，其中23题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）（2012•大连）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿
CA、CB匀速运动．当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作
△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S（cm2）．
5（1）t为何值时，点Q′恰好落在AB上？
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）S能否为 cm2？若能，求出此时的t值；若不能，说明理由．
25．（12分）（2012•大连）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A．
（1）∠BEF= （用含α的代数式表示）；
（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变
（如图），求 的值（用含m，n的代数式表示）
626．（12分）（2012•大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣ ，0）、B（3 ，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称
轴相交于D．该抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，
说明理由；
（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM、DN，
若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．
782012 年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）
考点： 绝对值．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据绝对值的定义直接解答即可．
解答： 解：∵﹣3的绝对值表示﹣3到原点的距离，
∴|﹣3|=3，
故选D．
点评： 本题考查了绝对值的定义，知道绝对值表示某点到原点的距离是解题的关键．
2．（3分）
考点： 点的坐标．菁优网版权所有
分析： 根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
解答： 解：∵﹣3＜0，1＞0，
∴点P（﹣3，1）所在的象限是第二象限，
故选B．
点评： 考查点的坐标的相关知识；掌握各个象限内点的符号特点是解决本题的关键．
3．（3分）
考点： 简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析： 主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
解答： 解：A、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条竖线，故此选项错误；
B、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；
C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
D、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；
故选：C．
点评： 此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
4．（3分）
考点： 方差．菁优网版权所有
分析： 根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各
数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解答：
解：∵ =1.5， =2.5
∴ ＜ =2.5
则甲班选手比乙班选手身高更整齐．
故选A．
点评： 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动
越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越
稳定．
5．（3分）
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．菁优网版权所有
分析： 根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利
用排除法求解．
解答： 解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为a3•a2=a5，故本选项错误；
D、a3÷a2=a，正确．
故选D．
点评： 本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．
6．（3分）
考点： 概率公式．菁优网版权所有
分析： 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求
出答案．
解答： 解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个，
9从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率 = ．
故选B．
点评： 此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么
事件A的概率P（A）= ．
7．（3分）
考点： 菱形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的
长，即可求菱形ABCD的周长．
解答： 解：∵菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB= =5，
故菱形的周长为20．
故选A．
点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长
是解题的关键．
8．（3分）
考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
专题： 压轴题；动点型．
分析： 抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当点B横坐
标取最小值时，函数的顶点在C点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A横坐标取最大值时，抛物线的
顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点
A的坐标，即点A的横坐标最大值．
解答： 解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（﹣1，4），设该抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，代入点B
坐标，得：
0=a（1+1）2+4，a=﹣1，
即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．
当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1），则此时抛物线的解析式：y=﹣（x﹣3）2+1=﹣x2+6x﹣8=﹣（x
﹣2）（x﹣4），即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去），
∴点A的横坐标的最大值为2．
故选B．
点评： 考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，
改变的是顶点坐标．注意抛物线顶点所处的C、E两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）
考点： 分式的加减法．菁优网版权所有
分析： 根据同分母的分式的加法法则求解即可求得答案，注意运算结果要化为最简．
解答：
解： = = =1．
故答案为：1．
点评： 此题考查了同分母分式的加减运算法则．此题比较简单，注意运算结果要化为最简．
10．（3分）
10考点： 二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
分析： 根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
解答： 解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
点评： 本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．
11．（3分）
考点： 三角形中位线定理．菁优网版权所有
分析： 由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得BC的值
即可．
解答： 解：∵△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE是三角形的中位线，
∵DE=3cm，
∴BC=2DE=6cm．
故答案为：6．
点评： 本题重点考查了中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相
连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
12．（3分）
考点： 圆周角定理．菁优网版权所有
分析： 由∠BCA=60°，根据圆周角定理即可求得∠AOB的度数，又由等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABO
的度数．
解答： 解：∵∠BCA=60°，
∴∠AOB=2∠BCA=120°，
∵OA=OB，
∴∠ABO= =30°．
故答案为：30．
点评： 此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及内角和定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等
弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
13．（3分）
考点： 利用频率估计概率．菁优网版权所有
专题： 图表型．
分析： 计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
解答： 解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为： ≈0.5．
故答案为：0.5．
点评： 此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次
决定．
14．（3分）
考点： 根的判别式．菁优网版权所有
分析： 若一元二次方程有两相等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值．
解答： 解：∵方程有两相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=k2﹣36=0，
解得k=±6．
故答案为±6．
点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，不是很难，解题的关键是根据根的情况列出有关k的方程．
15．（3分）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 根据CE和tan36°可以求得AE的长度，根据AB=AE+EB即可求得AB的长度，即可解题．
解答： 解：如图，在Rt△ACE中，
∴AE=CE•tan36°
=BD•tan36°
=9×tan36°
≈6.57米，
∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．
故答案为：8.1．
11点评： 本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．
16．（3分）
考点： 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 由题意易证得△A′BC≌△DCE（AAS），BC=AD，A′B=AB=CD=15cm，然后设A′C=xcm，在Rt△A′BC中，由勾股定
理可得BC2=A′B2+A′C2，即可得方程，解方程即可求得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=15cm，∠A=∠D=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DEC=∠A′CB，
由折叠的性质，得：A′B=AB=15cm，∠BA′E=∠A=90°，
∴A′B=CD，∠BA′C=∠D=90°，
在△A′BC和△DCE中，
，
∴△A′BC≌△DCE（AAS），
∴A′C=DE，
设A′C=xcm，则BC=AD=DE+AE=x+9（cm），
在Rt△A′BC中，BC2=A′B2+A′C2，
即（x+9）2=x2+152，
解得：x=8，
∴A′C=8cm．
故答案为：8．
点评： 此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合
思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）
考点： 二次根式的混合运算；负整数指数幂．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负指数公式化简，第三项利用平方差公式化简，合并后即可得到结果．
解答：
解： +（ ）﹣1﹣（ +1）（ ﹣1）
=2 +4﹣（5﹣1）
=2 +4﹣4
=2 ．
点评： 此题考查了二次根式的混合运算，涉及的知识有：二次根式的化简，负指数公式，以及平方差公式的运用，熟练掌
握公式是解本题的关键．
18．（9分）
考点： 解分式方程．菁优网版权所有
分析： 观察可得最简公分母是3（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：方程的两边同乘3（x+1），得
6x=3（x+1）﹣x，
解得x= ．
检验：把x= 代入3（x+1）= ≠0，
即x= 是原分式方程的解．
则原方程的解为：x= ．
点评： 此题考查了分式方程的求解方法．注意转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
19．（9分）
12考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题；压轴题．
分析： 根据ED=BF，可得出AE=CF，结合平行线的性质，可得出∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，继而可判定
△AEO≌△CFO，即可得出结论．
解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD﹣ED=BC﹣BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中， ，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC．
点评： 此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出ED=BF及∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO是解答本题
的关键．
20．（12分）
考点： 条形统计图；用样本估计总体．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： （1）直接观察条形统计图即可求得日加工9个零件的人数；
（2）用总人数减去其他小组的人数即可求得日加工零件12个的人数；观察发现日加工零件最多的是加工14个零
件的人数；
（3）用加权平均数计算加工零件的平均数即可；
解答： 解：（1）观察条形统计图即可求得日加工9个零件的工人有4人；
（2）日加工零件12个的有：30﹣4﹣12﹣6=8人；
日加工零件14个的有12人，最多，日加工15个零件的人数占被调查人数的百分比为：6÷30×100%=20%；
（3）日加工零件的平均数为：（9×4+12×8+14×12+15×6）÷30=13个，
加工零件总个数为120×13=1560个．
点评： 本题考查了条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是从条形统计图中得到进一步解题的相关信息．
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数
法求反比例函数解析式．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析
式，能求出n，即可得出B的坐标，分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可
得出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象即可得出答案．
解答：
解：（1）∵把A（﹣2，6）代入y= 得：m=﹣12，
∴y=﹣ ，
∵把（4，n）代入y=﹣ 得：n=﹣3，
∴B（4，﹣3），
把A、B的坐标代入y=kx+b得： ，
解得：k=﹣ ，b=3，
即y=﹣ x+3，
答：反比例函数的解析式是y=﹣ ，一次函数的解析式是y=﹣ x+3．
（2）不等式kx+b≤ 的解集是﹣2≤x＜0或x≥4．
点评： 本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，通过做
13此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
22．（9分）
考点： 一次函数的应用．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： （1）终点E的纵坐标就是路程，横坐标就是时间；
（2）首先求得C点对用的横坐标，即a的值，则CD段的路程可以求得，时间是560﹣500=60秒，则乙跑步的速度即
可求得；
B点时，所用的时间可以求得，然后求得路程是150米时，甲用的时间，就是乙出发的时刻，两者的差就是所求；
（3）首先求得甲运动的函数以及AB段的函数，求出两个函数的交点坐标即可．
解答： 解：（1）根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则速度是：900÷600=1.5米/秒；
（2）甲跑500秒时的路程是：500×1.5=750米，则CD段的长是900﹣750=150米，时间是：560﹣500=60秒，则速度
是：150÷60=2.5米/秒；
甲跑150米用的时间是：150÷1.5=100秒，则甲比乙早出发100秒．
乙跑750米用的时间是：750÷2.5=300秒，则乙在途中等候甲用的时间是：500﹣300﹣100=100秒．
（3）甲每秒跑1.5米，则甲的路程与时间的函数关系式是：y=1.5x，
乙晚跑100秒，且每秒跑2.5米，则AB段的函数解析式是：y=2.5（x﹣100），
根据题意得：1.5x=2.5（x﹣100），解得：x=250秒．
乙的路程是：2.5×（250﹣100）=375（米）．
答：甲出发250秒和乙第一次相遇，此时乙跑了375米．
点评： 本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息是关键．
23．（10分）
考点： 切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则 = ，依据垂径定理可以得到：OD⊥BC，然后根据直径的
定义，可以得到OD∥AE，从而证得：DE⊥OD，则DE是圆的切线；
（2）首先证明△FBD∽△BAD，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求DF的长，继而求得答案．
解答： 解：（1）ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：
连接OD，
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴ED与⊙O的位置关系是相切；
（2）连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在直角△ABD中，BD= = = ，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
又∵∠AFC=∠BFD，
∴∠FBD=∠CAD=∠BAD
∴△FBD∽△BAD，
∴ =
∴FD=
∴AF=AD﹣FD=5﹣ = ．
14点评： 本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，以及切割线定理，把求AF的长的问题转化成求相似三角
形的问题是关键．
五、解答题（本题共3小题，其中23题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）
考点： 相似形综合题；根的判别式；勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 代数几何综合题；动点型．
分析： （1）如图所示，连接QQ′，由题意得到三角形PQC为等腰直角三角形，可得出∠CPQ=45°，再由l与AC垂直，得到
∠RPQ也为45°，进而由对称性得出PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，由平行得到一对同位角相等，再
由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△BQQ′∽△BCA，由相似得比例，将各自的值代入列出关
于t的方程，求出方程的解即可得到此时t的值；
（2）由（1）求出t的值，分两种情况考虑：当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，由RP与BC平行，利用
两直线平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△RPA∽△BCA，由相似得比例表示出
RP，利用三角形的面积公式表示出S关于t的关系式即可；当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l
于D，由对称性得到由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，可得出三角形DEP为等腰直角三角形，得到DE=DP，由
△RDE∽△BCA，利用相似得比例，表示出DR，再由△RPA∽△BCA，由相似得比例，表示出RP，由
RP=RD+DP=RD+DE，将表示出的DR及RP代入，表示出DE，利用三角形的面积公式即可表示出S与t的关系
式；
（3）S能为 cm2，具体求法为：当0＜t≤2.4时，令S= ，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值；当
2.4＜t≤6时，令S= ，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值，经检验得到满足题意t的值．
解答： 解：（1）连接QQ′，
∵PC=QC，∠C=90°，
∴∠CPQ=45°，又l⊥AC，
∴∠RPQ=∠RPC﹣∠CPQ=90°﹣45°=45°，
由对称可得PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，
∴∠BQQ′=∠BCA，又∠B=∠B，
∴△BQQ′∽△BCA，
∴ = = ，即 = ，
解得：t=2.4；
（2）当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，
又∵RP∥BC，
∴△RPA∽△BCA，
∴ = ，即 = ，
15∴RP=（8﹣t）• = ，
∴S= RP•Q′D= • •t=﹣ t2+3t；
当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，
由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，
又∵∠PDE=90°，
∴△DEP为等腰直角三角形，
∴DP=DE，
∵△RDE∽△BCA，
∴ = = = ，即DR= DE，
∵△RPA∽△BCA，
∴ = ，即 = ，
∴RP= ，
∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+ DE= ，即 DE= ，
∴DE= ，
∴S= RP•DE= • • = t2﹣ t+ ；
（3）S能为 cm2，理由为：
若 t2﹣ t+ = （2.4＜t≤6），
整理得：t2﹣16t+57=0，
解得：t= =8± ，
∴t=8+ （舍去），t=8﹣ ；
1 2
若﹣ t2+3t= （0＜t≤2.4），
整理得：t2﹣8t+3=0，
解得：t= =4± ，
∴t=4+ （舍去），t=4﹣ ，
1 2
综上，当S为 cm2时，t的值为（8﹣ ）或（4﹣ ）秒．
点评： 考查了相似形综合题，此题涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，轴对称的性质，勾股
定理，以及根的判别式，是一道较难的相似形综合题．
25．（12分）
考点： 相似三角形的判定与性质；梯形．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： （1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即
可求得∠BEF的度数；
（2）首先连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可
16得 ，继而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF；
（3）首先延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可
求得 的值．
解答： （1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣2α，
又∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠A=180°﹣2α；
故答案为：180°﹣2α；
（2）EB=EF．
证明：连接BD交EF于点O，连接BF．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣2α，∠ADC=180°﹣∠C=180°﹣α．
∵AB=AD，
∴∠ADB= （180°﹣∠A）=α，
∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=180°﹣2α，
由（1）得：∠BEF=180°﹣2α=∠BDC，
又∵∠EOB=∠DOF，
∴△EOB∽△DOF，
∴ ，
即 ，
∵∠EOD=∠BOF，
∴△EOD∽△BOF，
∴∠EFB=∠EDO=α，
∴∠EBF=180°﹣∠BEF﹣∠EFB=α=∠EFB，
∴EB=EF；
（3）解：延长AB至G，使AG=AE，连接GE，
则∠G=∠AEG= = =α，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，
∴∠EDF=∠G，
∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠GBC，
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，
即∠EBG=∠FED，
∴△DEF∽△GBE，
∴ ，
∵AB=mDE，AD=nDE，
∴AG=AE=（n+1）DE，
∴BG=AG﹣AB=（n+1）DE﹣mDE=（n+1﹣m）DE，
∴ = =n+1﹣m．
17点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助
线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（12分）
考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
专题： 计算题；压轴题；数形结合．
分析： （1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可．
（2）由于点Q的位置可能有四处，所以利用几何法求解较为复杂，所以可考虑直接用SSS判定两三角形全等的方
法来求解．那么，首先要证明CD=DP，设出点Q的坐标后，表示出QC、QD的长，然后由另两组对应边相等列方程
来确定点Q的坐标．
（3）根据B、D的坐标，容易判断出△CDE是等边三角形，然后通过证△CEM、△DEN全等来得出CM=DN，首先
设出点M的坐标，表示出PM、CM的长，由PM=2DN=2CM列方程确定点M的坐标，进一步得到CM的长后，即
可得出DN的长，由此求得点N的坐标．
解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+ ）（x﹣3 ），代入点C（0，3）后，得：
a（0+ ）（0﹣3 ）=3，解得 a=﹣
∴抛物线的解析式：y=﹣ （x+ ）（x﹣3 ）=﹣ x2+ x+3．
（2）设直线BC的解析式：y=kx+b，依题意，有：
，
解得 ．
故直线BC：y=﹣ x+3．
由抛物线的解析式知：P（ ，4），将点P的横坐标代入直线BC中，得：D（ ，2）．
设点Q（x，y），则有：
QC2=（x﹣0）2+（y﹣3）2=x2+y2﹣6y+9、QD2=（x﹣ ）2+（y﹣2）2=x2+y2﹣2 x﹣4y+7；
而：PA2=（﹣ ﹣ ）2+（0﹣4）2=28、AD2=（﹣ ﹣ ）2+（0﹣2）2=16、CD=PD=2；
△QCD和△APD中，CD=PD，若两个三角形全等，则：
①QC=AP、QD=AD时，
②QC=AD、QD=AP时，
解①、②的方程组，得： 、 、 、 ；
∴点Q的坐标为（3 ，4）、（ ，﹣2）、（﹣2 ，1）或（0，7）．
（3）根据题意作图如右图；
由D（ ，2）、B（3 ，0）知：DF=2，BF=2 ；
∴∠BDF=∠ADF=∠CDE=∠DCE=60°，即△CED是等边三角形；
在△CEM和△DEN中，
∴△CEM≌△DEN，则 CM=DN，PM=2CM=2DN；
设点M（x，﹣ x+3），则有：
18PM2=（ ﹣x）2+（4+ x﹣3）2= x2﹣ x+4、CM2=x2+ x2= x2；
已知：PM2=4CM2，则有：
x2﹣ x+4=4× x2，解得 x= ；
∴CM=DN= ×x= × = ；
则：FN=DF﹣DN=2﹣ = ，
∴点N（ ， ）．
点评： 该题的难度较大，涉及到：函数解析式的确定、等边三角形的判定和性质、图形的旋转以及全等三角形的应用等重
点知识．在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路；能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是
对基础知识掌握情况的重点考查．
19
