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2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．（3分）在有理数2，0，﹣1，﹣ 中，最小的是（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣
2．（3分）2019年6月9日中央电视台新闻报道，端午节期间天猫网共计销售粽子123000000
个，将数据123000000用科学记数法表示为（ ）
A．12.3×107 B．1.23×108 C．1.23×109 D．0.123×109
3．（3分）如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．3a2•2a3＝6a6
C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+a D．a2+a3＝a5
5．（3分）如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，按照这
样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（ ）
A．24m B．32m C．40m D．48m
6．（3分）如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点
M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（ ）
第1页（共31页）A．50° B．55° C．60° D．65°
7．（3分）如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为
（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（ ）
A．x＞ B．x＜ C．x＞3 D．x＜3
8．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G
在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交
EG于点M，连接OH．以下四个结论： GH⊥BE； △EHM∽△FHG； ＝ ﹣1；
① ② ③
＝2﹣ ，其中正确的结论是（ ）
④
A． B． C． D．
二、填空①题②（③本大题共8小题①，②每小④题3分，共24分①）③④ ②③④
9．（3分）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）一个不透明的口袋中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．进行大量的
摸球试验（每次摸出1个球）后，发现摸到黑球的频率在0.6附近摆动，据此可以估计黑球
第2页（共31页）为 个．
11．（3分）关于x的方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，DC的中点，若BD＝4，EF＝3，则菱形
ABCD的周长为 ．
13．（3分）如图，AC是 O的直径，B，D是 O上的点，若 O的半径为3，∠ADB＝30°，则
的长为 ．⊙ ⊙ ⊙
14．（3分）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知
A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450
元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为
．
15．（3分）如图，正方形A B C A 的边长为1，正方形A B C A 的边长为2，正方形A B C A
0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3
的边长为4，正方形A B C A 的边长为8……依此规律继续作正方形A B A ，且点A ，
3 3 3 4 n n n n+1 0
A ，A ，A ，…，A 在同一条直线上，连接A C 交A B 于点D ，连接A C 交∁ A B 于点D ，
1 2 3 n+1 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2
连接A C 交A B 于点D ……记四边形A B C D 的面积为S ，四边形A B C D 的面积为
2 3 3 3 3 0 0 0 1 1 1 1 1 2
S 2 ，四边形A 2 B 2 C 2 D 3 的面积为S 3 ……四边形A n﹣1 B n﹣1 C n﹣1 D n 的面积为S n ，则S 2019 ＝
．
第3页（共31页）16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝ AD，
BN＝ BC，E 为直线 BC 上一动点，连接 DE，将△DCE 沿 DE 所在直线翻折得到
△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为 ．
三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝3+ ．
18．（8分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A B C ，并写出点C 的坐标．
1 1 1 1
（2）已知△A B C 与△ABC关于直线l对称，若点C 的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直
2 2 2 2
线l的函数解析式．
注：点A ，B ，C 及点A ，B ，C 分别是点A，B，C按题中要求变换后对应得到的点．
1 1 1 2 2 2
四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过
19．（10分）随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式．某社区为
了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户庭的年旅游消费金额进行问卷
调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．
组别 家庭年旅游消费金额x/元 户数
A 0≤x≤5000 36
第4页（共31页）B 5000＜x≤10000 27
C 10000＜x≤15000 m
D 15000＜x≤20000 33
E x＞20000 30
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的家庭有 户，表中m＝ ．
（2）本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．
（3）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是多少度？
（4）若该社区有3000户家庭，请你估计年旅游消费在10000元以上的家庭户数．
20．（10分）妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快．于
是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如
下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴
对称图形，我就先读，否则你先读．小红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状图或列
表的方法说明理由．（第一行的小方格从左至右分别用A，B，C表示，第三行的小方格从左
至右分别用D，E，F表示）
五、解答题（本大题共2小題，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，
与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在
第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
第5页（共31页）22．（10分）如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时
20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达
B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时
快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据： ≈1.41， ≈1.73，
≈2.45）
六、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的 O交AB
于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠D⊙CE．
（1）求证：DF是 O的切线．
（2）若D是AC的⊙中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
24．（10分）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销
售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
第6页（共31页）七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD．在BD左侧作
Rt△BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE为邻边作 ADEF，连接CD，DF．
▱
（1）若AC＝BC，BD＝DE．
如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为 ．
①如图2，当B，D，F三点不共线时， 中的结论是否仍然成立？请说明理由．
② ①
（2）若BC＝2AC，BD＝2DE， ＝ ，且E，C，F三点共线，求 的值．
八、解答题（本大题共1小题，共14分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
26．（14分）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，
0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当
第7页（共31页）S△AQD ＝2S△APQ 时，求点P的坐标．
（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点
M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接
BH．请直接写出线段BH的最小值．
第8页（共31页）2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．【分析】有理数大小比较的法则： 正数都大于0； 负数都小于0； 正数大于一切负数；
两个负数，绝对值大的其值反①而小，据此判断即②可． ③
④【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜﹣ ＜0＜2，
故最小的有理数是﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
正数都大于0； 负数都小于0； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值
①反而小． ② ③ ④
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据1 2300 0000用科学记数法表示为1.23×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣a6，符合题意；
B、原式＝6a5，不符合题意；
C、原式＝a2﹣a，不符合题意；
第9页（共31页）D、原式不能合并，不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单
项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．【分析】从A点出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，…，这样一直走下
去，他第一次回到出发点A时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为360°，判
断多边形的边数，再求路程．
【解答】解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则60n＝360，解得n＝6，
故他第一次回到出发点A时，共走了：8×6＝48（m）．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．关键是根据每一个外角判
断多边形的边数．
6．【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠EHD的度数，利用邻补角
互补可求出∠CHG的度数，结合角平分线的定义可求出∠CHM的度数，由AB∥CD，利
用“两直线平行，内错角相等”可得出∠GMH＝∠CHM＝65°，此题得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝180°﹣50°＝130°．
∵HM平分∠CHG，
∴∠CHM＝∠GHM＝ ∠CHG＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠GMH＝∠CHM＝65°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
7．【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y＝0求出x值，从而找出点B的坐
标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），
∴b＝3，
令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝ ，
第10页（共31页）∴点B（ ，0）．
观察函数图象，发现：
当x＜ 时，一次函数图象在x轴上方，
∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜ ．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题
属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关
键．
8．【分析】由四边形 ABCD 和四边形 CGFE 是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出
∠BEC+∠HDE＝90°，从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，
再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO∥BG且HO＝ BG；由△EHG是直角三角
形，因为O为EG的中点，所以OH＝OG＝OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上，根
据圆周角定理得出∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，从而证得
△EHM∽△FHG；设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝
2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出 ＝ ，得到 ＝ ，即a2+2ab
﹣b2＝0，从而求得 ＝ ﹣1，设正方形ECGF的边长是2b，则EG＝2 b，得到HO＝
b，通过证得△MHO△MFE，得到 ＝ ＝ ＝ ，进而得到 ＝
＝ ＝ ﹣1，进一步得到 ＝ ＝ ﹣1．
第11页（共31页）【解答】解：如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE．
故 正确；
∵①△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△FHG，
故 正确；
∵②△BGH≌△EGH，
∴BH＝EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
∴ ＝ ，
设EC和OH相交于点N．
设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，
∴ ＝ ，即a2+2ab﹣b2＝0，
解得：a＝（﹣1+ ）b，或a＝（﹣1﹣ ）b（舍去），
则 ＝ ﹣1，
第12页（共31页）∴ ＝ ﹣1，
故 正确；
∵③△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO＝ BG，
∴HO＝ EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2 b，
∴HO＝ b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO∽△MFE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴EM＝ OM，
∴ ＝ ＝ ＝ ﹣1，
∴ ＝ ﹣1，
∵EO＝GO，
∴S△HOE ＝S△HOG ，
∴ ＝ ﹣1，
故 错误，
故④选：A．
第13页（共31页）【点评】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：x+4≥0，
解得：x≥﹣4．
故答案为：x≥﹣4．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考
虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10．【分析】根据题意，可以计算出黑球的个数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
黑球有：25×0.6＝15（个），
故答案为：15．
【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出黑球的个数．
11．【分析】根据判别式的意义得到△＝32﹣4×（k﹣1）＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝32﹣4×1×（k﹣1）＝0，
解得k＝
故答案为 ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有
如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的
两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
12．【分析】连接AC，利用三角形的中位线定理求得AC的长，从而利用菱形的性质求得AO
第14页（共31页）和BO的长，利用勾股定理求得边长后即可求得周长．
【解答】解：如图，连接AC，
∵E，F分别是AD，DC的中点，EF＝3，
∴AC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD为菱形，BD＝4，
∴AC⊥BD，AO＝3，BO＝2，
∴AB＝ ＝ ，
∴周长为4 ，
故答案为：4 ．
【点评】考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角线互相垂直平分，难度不大．
13．【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴ 的长＝ ＝2 ，
π
故答案为：2 ．
【点评】本题考π查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
14．【分析】设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为（x﹣10）元，根据“用600元购买
A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同”列出方程．
【解答】解：设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用600元购
买A种树苗的棵数是 ，用450元购买B种树苗的棵数是 ．
由题意，得 ＝ ．
故答案是： ＝ ．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解
第15页（共31页）决问题的关键．
15．【分析】由正方形的性质得出A D ∥A C ，则 ＝ ，得出A D ＝ ，同理可得
1 1 2 1 1 1
A D ＝ ，S ＝1﹣ ×1× ＝40﹣ ×40，S ＝4﹣ ×4，S ＝42﹣ ×42，…，S ＝4n﹣1﹣ ×4n
2 2 1 2 3 n
﹣1＝ ×4n﹣1，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形A B C A 与四边形A B C A 都是正方形，
0 0 0 1 1 1 1 2
∴A D ∥A C ，
1 1 2 1
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴A D ＝ ，
1 1
同理可得：A D ＝ ，
2 2
∴S ＝1﹣ ×1× ＝40﹣ ×40，S ＝4﹣ ×4，S ＝42﹣ ×42，…，S ＝4n﹣1﹣ ×4n﹣1＝
1 2 3 n
×4n﹣1，
∴S ＝ ×42018，
2019
故答案为： ×42018．
【点评】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、正方形与三角形面积的计算等知识，熟
练掌握正方形的性质与平行线的性质是解题的关键．
16．【分析】由矩形的性质得到DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，根据已知条件得到AM＝
BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，根据折叠的性
质得到 DC′＝DC＝5，C′E＝CE，根据勾股定理得到 C′M＝ ＝
第16页（共31页）＝3，根据矩形的判定和性质得到CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，再由勾股定理即
可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，
∵AM＝ AD＝2，BN＝ BC＝2，
∴AM＝BN，
∵AM∥BN，
∴四边形ABNM的矩形，
∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，
∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，
∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE，
∵AM＝2，
∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，
如图1，在Rt△C′MD中，C′M＝ ＝ ＝3，
∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，
NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（4﹣CE）2+22＝CE2，
解得：CE＝ ．
如图2，在Rt△C′MD中，C′M＝ ＝ ＝3，
∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°，
NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，
第17页（共31页）在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（CE﹣4）2+82＝CE2，
解答：CE＝10，
故答案为： 或10．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题
的关键．
三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]• ＝ • ＝
• ＝ ，
当x＝3+ 时，原式＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】（1）利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A 、B 、C 的坐标，然后
1 1 1
描点得到△A B C ；
1 1 1
（2）根据对称的特点解答即可．
第18页（共31页）【解答】解：（1）如图，△A B C 为所作，C （﹣1，2）；
1 1 1 1
（2）如图，△A B C 为所作，
2 2 2
∵C（3，2），C （﹣2，﹣3），△A B C 与△ABC关于直线l对称，
2 2 2 2
∴直线l垂直平分直线CC ，
2
∴直线l的函数解析式为y＝﹣x．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：轴对称变换和平移变换．解题关键是找到对称轴．
四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过
19．【分析】（1）根据A组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的家庭数，从而可以求
得m的值；
（2）根据题目中的数据和中位数的定义，可以得到中位数落在哪一组；
（3）根据统计图中的数据可以求得在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出年旅游消费在10000元以上的家庭数．
【解答】解：（1）本次被调查的家庭有：36÷24%＝150（户），m＝150﹣36﹣27﹣33﹣30＝
24，
故答案为：150，24；
（2）本次调查数据的中位数落在C组，
理由：∵本次抽查了150户，36+27＝63，36+27+24＝87，
∴本次调查数据的中位数落在C组；
（3）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是：360°× ＝79.2°；
（4）3000× ＝1740（户），
答：年旅游消费在10000元以上的家庭有1740户．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解答本题的关键是
第19页（共31页）明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出图案是轴对称图形数量，然后计算
她们获胜的概率，再根据概率的大小判断该游戏是否公平．
【解答】解：不公平，理由如下：
根据题意，画树状图如图：
由树状图可知，共有9种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有5种，分别为
（A、D）、（A、F）、（B、E）、（C、D）、（C、F）．
∴P（小红涂）＝ ．
P（弟弟涂）＝ ．
∵ ＞ ．
∴小红设计的游戏对弟弟不公平．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．
五、解答题（本大题共2小題，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
21．【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求
得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，从而可以求得四边形MBOC是平行四边形，
根据面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点B，
第20页（共31页）则﹣2＝ ，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
∵点A的纵坐标是4，
∴4＝ ，得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴ ，解得 ，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）∵y＝2x+2与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），
∴OC＝MB＝2，
∵BM⊥x轴，
∴MB∥OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，
∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝4．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出
所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．
22．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由DE∥CF，DC∥EF，
∠CFE＝90°可得出四边形CDEF为矩形，设DE＝xnmile，则AE＝x（nmile），BE＝ x
（nmile），由AB＝6nmile，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在
Rt△CBF中，通过解直角三角形可求出BC的长．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．
则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．
∵DC∥EF，
∴四边形CDEF为平行四边形．
第21页（共31页）又∵∠CFE＝90°，
∴ CDEF为矩形，
∴▱CF＝DE．
根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．
设DE＝x（nmile），
在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝ ，
∴AE＝ ＝x（nmile）．
在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝ ，
∴BE＝ ＝ x（nmile）．
∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，
∴x﹣ x＝6，解得：x＝9+3 ，
∴CF＝DE＝（9+3 ）nmile．
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝ ，
∴BC＝ ＝ ＝9 +3 ≈20（nmile）．
答：此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形求出BC的长
是解题的关键．
六、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．【分析】（1）可证得BD是 O的直径，∠BCE＝∠BDE，则∠BDE+∠FDE＝90°，结论得
证； ⊙
第22页（共31页）（2）先求出AC长，再求DE长，在Rt△BCD中求出BD长，在Rt△BED中求出BE长，证
得△FDE∽△DBE，由比例线段 可求出DF长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在 O上，
∴BD是 O的直径，∠BCE＝∠BDE， ⊙
∵∠FDE⊙＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是 O的直径，
∴DF是 O⊙的切线．
⊙
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴ ＝4 ，
∵点D是AC的中点，
∴ ，
∵BD是 O的直径，
∴∠DEB⊙＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴ ，
在Rt△BCD中， ＝ ＝2 ，
在Rt△BED中，BE＝ ＝ ＝5，
第23页（共31页）∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解答本题的
关键是正确作出辅助线，综合运用圆的性质解题．
24．【分析】（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，当60＜x≤90时，设
y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，得到当x＝60时，W最大 ＝﹣602+210×60﹣
5400＝3600，当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，得到当x＝65时，W最大 ＝﹣
3×652+390×65﹣9000＝3675，于是得到结论．
【解答】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得 ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得 ，
解得： ，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y＝ ；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，
第24页（共31页）当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W＝ ；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x＝﹣ ＝105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W最大 ＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，
当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x＝﹣ ＝65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大 ＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W最大 ＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．
根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．
七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
25．【分析】（1） 证明△BCD≌△ACF（SAS），即可推出△DCF是等腰直角三角形解决问题．
结论仍然成①立．如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．证
②明方法类似（1）．
（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．证明△CBD∽△CAF，推出 ＝
＝2，∠BCD＝∠ACF，推出∠BCA＝∠DCF＝90°，证明∠ADC＝90°，由CD：AC＝4：
5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，求出AF，CE（用k表示）即可解决问题．
【解答】解：（1） 如图1中，连接CF．设AC交BF于G．
①
第25页（共31页）∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵BD＝DE，
∴AF＝BD，
∵∠BDE＝90°，
∴∠EDF＝∠DFA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGF，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DF＝ CD．
故答案为DF＝ CD．
结论仍然成立．
②理由：如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．
第26页（共31页）∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵BD＝DE，
∴AF＝BD，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGH，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DF＝ CD．
（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．
第27页（共31页）∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGH，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵ ＝ ＝2，
∴ ＝ ，
∴△CBD∽△CAF，
∴ ＝ ＝2，∠BCD＝∠ACF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∵AD∥EF，
∴∠ADC+∠DCF＝180°，
∴∠ADC＝90°，
∵CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，
∴CF＝ CD＝2k，
∴EC＝EF﹣CF＝k，
∴DE＝AF＝ ＝ ＝ k，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性
质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角
形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
八、解答题（本大题共1小题，共14分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
26．【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）作PE∥x轴，交AB于点E，由S△AQD ＝2S△APQ 且△AQD与△APQ是等高的两个三角
形知 ＝ ，证△PQE∽△DQB得 ＝ ＝ ，据此求得PE＝2，求得直线AB的解析
第28页（共31页）式为y＝x+1，设E（x，x+1），知P（x﹣2，x+1），将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4求得x的值，
从而得出答案；
（3）证∠GHM＝90°，再证点C、G、H、M共圆得∠GCH＝∠GMH＝60°，据此知点H在与y
轴夹角为60°的定直线上，从而得BH⊥CH时，BH最小，作HP⊥x轴，并延长PH交AC于
点Q，证∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，知CQ＝a，从而得QH＝ a，BP＝1+a，在
Rt△BPH中，得出HP＝ （a+1），BH＝2（1+a），根据QH+HP＝AD＝4可求得a的值，从
而得出答案．
【解答】解：（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得： ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，
∵A（3，4），AD⊥x轴，
∴D（3，0），
∵B（﹣1，0），
∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，
∵S△AQD ＝2S△APQ ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，
∴ ＝ ，
∵PE∥x轴，
∴△PQE∽△DQB，
第29页（共31页）∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴PE＝2，
∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，
设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），
将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（x﹣2）2+3（x﹣2）+4＝x+1，
解得x ＝3+ ，x ＝3﹣ ，
1 2
当x＝3+ 时，x﹣2＝3+ ﹣2＝1+ ，x+1＝3+ +1＝4+ ，
∴点P（1+ ，4+ ）；
当x＝3﹣ 时，x﹣2＝3﹣ ﹣2＝1﹣ ，x+1＝3﹣ +1＝4﹣ ，
∴P（1﹣ ，4﹣ ），
∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，
∴﹣1＜x﹣2＜3，
∴点P的坐标为（1+ ，4+ ）或（1﹣ ，4﹣ ）；
（3）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，
∴C（0，4），
∵A（3，4），
∴AC∥x轴，
∴∠OCA＝90°，
∴GH⊥MN，
∴∠GHM＝90°，
在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，
∴点C、G、H、M共圆，
如图2，连接CH，
第30页（共31页）则∠GCH＝∠GMH＝60°，
∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，
∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，
∵∠GCH＝60°，
∴∠HCM＝30°，
又BH⊥CH，
∴∠BHC＝90°，
∴∠BHP＝∠HCM＝30°，
设OP＝a，则CQ＝a，
∴QH＝ a，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴BP＝1+a，
在Rt△BPH中，HP＝ ＝ （a+1），BH＝ ＝2（1+a），
∵QH+HP＝AD＝4，
∴ a+ （a+1）＝4，
解得a＝ ，
∴BH最小 ＝2（1+a）＝ ．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、
相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识点．
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