文档内容
2012年辽宁省锦州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）|﹣3|的倒数是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
2．（3分）下列各图，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a5＝a7 B．（﹣ab）3＝﹣ab3
C．a8÷a2＝a4 D．2a2•a＝2a3
4．（3分）某中学礼仪队女队员的身高如下表：
身高（cm） 165 168 170 171 172
人数（名） 4 6 5 3 2
则这个礼仪队20名女队员身高的众数和中位数分别是（ ）
A．168cm，169cm B．168cm，168cm
C．172cm，169cm D．169cm，169cm
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB+BC＝8．将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折
痕DF分别与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是（ ）
A．8 B．16 C．4 D．10
第1页（共24页）6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．梯形对角线相等
C．等腰三角形两腰上的高相等
D．对角线相等且垂直的四边形是正方形
7．（3分）如图，反比例函数y＝ （k≠0）与一次函数y＝kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系
内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋
转60°后得到△AB'C'，若AB＝4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的
面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
π π π π
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：（ +1）0﹣2﹣1+ ﹣6sin60°＝ ．
10．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
第2页（共24页）11．（3分）万里长城和京杭大运河都是我国古代文明的伟大成就，其中纵贯南北的京杭大运
河修建时长度大约为1 790 000米，是非常杰出的水利工程．将数据1 790 000米用科学
记数法表示为 米．
12．（3分）不等式组 的解集是 ．
13．（3分）已知三角形的两条边长分别是7和3，第三边长为整数，则这个三角形的周长是偶
数的概率是 ．
14．（3分）某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾
客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打 折．
15．（3分）如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作
O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是 cm．
⊙
16．（3分）如图，正方形A B B C ，A B B C ，A B B C ，…，A B B ，按如图所示放置，使点
1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 n n n+1 n
A 1 、A 2 、A 3 、A 4、… 、A n 在射线OA上，点B 1 、B 2 、B 3 、B 4、… 、B n 在射线∁OB上．若∠AOB＝45°，
OB ＝1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S ，S ，S ，…，S ，则S ＝
1 1 2 3 n n
．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x＝ ．
18．（8分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O
为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
第3页（共24页）（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出
△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐
标．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19．（10分）随着人们生活水平的提高，城市家庭私家车的拥有量越来越多．私家车给人们的
生活带来很多方便，同时也给城市的道路交通带来了很大的压力，尤其是节假日期间交通
拥堵现象非常严重．为了缓解交通堵塞，尽量保持道路通畅，某市有关部门号召市民“在
节假日期间选择公共交通工具出行”．为了了解市民的意见和态度，有关部门随机抽取了
若干市民进行了调查．经过统计、整理，制作统计图如图．请回答下列问题：
（1）这次抽查的市民总人数是多少？
（2）分别求出持“赞成”态度、“无所谓”态度的市民人数以及持“无所谓”态度的人数
占总人数的百分比，并补全条形统计图和扇形统计图；
（3）若该市约有18万人，请估计对这一问题持“赞成”态度的人数约是多少？
20．（10分）某部队要进行一次急行军训练，路程为32km．大部队先行，出发1小时后，由特种
第4页（共24页）兵组成的突击小队才出发，结果比大部队提前20分钟到达目的地．已知突击小队的行进
速度是大部队的1.5倍，求大部队的行进速度．（列方程解应用题）
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．（10分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成五个扇形，五个扇形内部分别标有
数字．﹣2、3、﹣4、5．若将转盘转动两次，每一次停止转动后，指针指向的扇形内的数字分
别记为m，n（当指针指在边界线时视为无效，重转），从而确定一个点的坐标为A（m，n）．
请用列表或者画树状图的方法求出所有可能得到的点A的坐标，并求出点A在第一象限
内的概率．
22．（10分）如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角为
38.5°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，
tan38.5°≈0.80 ）
六、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的 O交AC于点D，过D作直线DE
垂直BC于F，且交BA的延长线于点E． ⊙
（1）求证：直线DE是 O的切线；
⊙
（2）若cos∠BAC＝ ， O的半径为6，求线段CD的长．
⊙
第5页（共24页）24．（10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价
是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩
具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为
y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
七、解答题（本题12分）
25．（12分）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与
B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证： BD⊥CF． CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其①它条件不变，②请直接写出CF、BC、CD三
条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它
条件不变： 请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系． 若连接正方形对角线AE、
DF，交点为①O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由②．
八、解答题（本题14分）
26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且
为抛物线的顶点．P到x轴的距离为 ，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为
第6页（共24页）A，连接AC交直线l于B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线y＝ x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于
点E，且DE：BE＝4：1．求直线y＝ x+m的表达式；
（3）在（2）的条件下，若N为平面直角坐标系内的点，在直线y＝ x+m上是否存在点M，
使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
第7页（共24页）2012年辽宁省锦州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】首先运用绝对值的定义去掉绝对值的符号，然后根据倒数的定义求解．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，3的倒数是 ，
∴|﹣3|的倒数是 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值和倒数的定义．
绝对值的定义：如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：
当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相
①反数﹣a； 当a是零时，a的绝对值是零． ②
倒数的定义③：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．【分析】根据轴对称图形的概念，把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴
对称图形．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，属于基础题，解答本题的关键是基本概念的
掌握．
3．【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘法的运算方法，利用
排除法求解．
【解答】解：A、a2与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（﹣ab）3＝﹣a3b3，故本选项错误；
C、a8÷a2＝a6，故本选项错误；
D、2a2•a＝2a3，故本选项正确．
故选：D．
第8页（共24页）【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘法法则，
熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．【分析】根据中位数就是把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的
平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据进行解答即可求出答案．
【解答】解：根据表可知：168cm出现的次数最多，因而众数是：168cm；
∵共20个数，处于中间位置的是168cm和170cm，
∴中位数是：（168+170）÷2＝169cm．
故选：A．
【点评】本题主要考查了众数以及中位数的定义，注意众数与中位数的单位与原数组中的
数的单位相同，用到的知识点是众数以及中位数的定义，此题较简单，是一道基础题．
5．【分析】由将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，可得
BF＝AF，又由在△ABC中，AB＝AC，AB+BC＝8，易得△BCF的周长等于AB+BC，则可求
得答案．
【解答】解：∵将△ABC折叠，使得点A落在点B处，
∴AF＝BF，
∵AB＝AC，AB+BC＝8，
∴△BCF的周长是：BC+CF+BF＝BC+CF+AF＝BC+AC＝BC+AB＝8．
故选：A．
【点评】此题考查了折叠的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应
关系，注意等量代换，注意数形结合思想的应用．
6．【分析】根据平行线的性质以及梯形的性质以及等腰三角形的性质正方形的判定分别判定
得出答案即可．
【解答】解：A．根据两直线平行，同位角相等，故此选项错误；
B．根据只有等腰梯形的对角线相等，故此选项错误；
C．利用等腰三角形底角相等，再结合三角形的判定可以得出，等腰三角形两腰上的高相
等，故此选项正确；
D．根据对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的判断以及等腰梯形的性质以及等腰三角形的性质和平行线的
判定等知识，利用反例来推翻其结论不成立是解题关键．
7．【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k
第9页（共24页）＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解： 当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝ 过一、三象限；
①
当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝ 过二、四象限．
②
观察图形可知只有D符合 ．
故选：D． ②
【点评】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关
键．
8．【分析】根据阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S△AB′C′ ﹣S△ABC ﹣扇形CAC′的面
积，分别求得：扇形BAB′的面积S△AB′C′ ，S△ABC 以及扇形CAC′的面积，即可求解．
【解答】解：扇形BAB′的面积是： ＝ ，
在直角△ABC中，BC＝AB•sin60°＝4× ＝2 ，AC＝ AB＝2，
S△ABC ＝S△AB′C′ ＝ AC•BC＝ ×2 ×2＝2 ．
扇形CAC′的面积是： ＝ ，
则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S△AB′C′ ﹣S△ABC ﹣扇形CAC′的面积＝
﹣ ＝2 ．
π
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积
+S△AB′C′ ﹣S△ABC ﹣扇形CAC′的面积是关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】根据特殊角的三角形函数值、负整数指数幂和零指数幂得到原式＝1﹣ +3 ﹣
6× ，再进行乘法运算后合并即可．
【解答】解：原式＝1﹣ +3 ﹣6×
第10页（共24页）＝1﹣ +3 ﹣3
＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减
运算．也考查了特殊角的三角形函数值、负整数指数幂和零指数幂．
10．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求出自
变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考
虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1 790 000＝1.79×106，
故答案为：1.79×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
由 得，x≤2，
由①得，x＞﹣1，
所②以，不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
故答案为：﹣1＜x≤2．
第11页（共24页）【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求
不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
13．【分析】先根据第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，求出第三边长的范围
和所有情况，再根据第三边长为偶数，得出第三边的长有几种情况，最后根据概率公式计
算即可．
【解答】解：设第三边长为xcm．
则有7﹣3＜x＜7+3，
即4＜x＜10，
当第三边长为整数时，x＝5或6或7或8或9，
当这个三角形的周长是偶数时，
x＝6或8，
则这个三角形的周长是偶数的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式，关键是根据三角形的三边关系求出第三边长为偶数的情况
和所有情况，用到的知识点是三角形的三边关系．
14．【分析】设该自行车能打x折，则根据利润率不低于5%，可得出不等式，解出即可得出答
案．
【解答】解：设该自行车能打x折，由题意得
1200× ﹣800≥800×5%，
解得：x≥7，即最多可打7折．
故答案为：七．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，
读懂题列出不等式关系式即可求解．
15．【分析】过O点作OH⊥EF于H，连OF，根据垂径定理得EH＝FH，在Rt△AOH中，AO＝
AD+OD＝3+5＝8，∠A＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到OH＝ OA＝
4，再利用勾股定理计算出HF，由EF＝2HF得到答案．
【解答】解：过O点作OH⊥EF于H，连OF，如图
则EH＝FH，
第12页（共24页）在Rt△AOH中，AO＝AD+OD＝3+5＝8，∠A＝30°，
则OH＝ OA＝4，
在Rt△OHF中，OH＝4，OF＝5，
则HF＝ ＝3，
则EF＝2HF＝6cm．
故答案为6．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了含
30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理．
16．【分析】根据正方形性质和等腰直角三角形性质得出OB ＝A B ＝1，求出A C ＝A C ＝
1 1 1 1 1 2 1
1，A C ＝A C ＝2，A C ＝A C ＝4，根据三角形的面积公式求出S ＝ ×20×20，S ＝
2 2 3 2 3 3 4 3 1 2
×21×21，S ＝ ×22×22，推出S ＝ ×2n﹣1×2n﹣1，求出即可．
3 n
【解答】解：∵四边形A B B C 是正方形，∠O＝45°，
1 1 2 1
∴∠OA B ＝45°，
1 1
∴OB ＝A B ＝1，
1 1 1
同理A C ＝A C ＝1，
1 1 2 1
即A C ＝1+1＝2＝A C ，
2 2 3 2
A C ＝A C ＝2+2＝4，
3 3 4 3
…，
∴S ＝ ×1×1＝ ×20×20，
1
S ＝ ×2×2＝ ×21×21
2
S ＝ ×4×4＝ ×22×22，
3
第13页（共24页）S ＝ ×8×8＝ ×23×23，
4
…
∴S ＝ ×2n﹣1×2n﹣1＝ ＝22n﹣3．
n
故答案为：22n﹣3．
【点评】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，三角形的面积的应用，解此题的关
键是能根据求出的结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣ •
＝ ﹣
＝
＝﹣ ．
当x＝ 时，原式＝﹣ ＝﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，解答此题时要注意通分及约分的灵活运用．
18．【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；
（2）由OB＝2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；
（3），连接B′O并延长，使OB″＝OB′，延长A′O并延长，使OA″＝OA′，C′O并
延长，使OC″＝OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格
中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．
【解答】解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，﹣2）； C″（4，﹣4）．
第14页（共24页）【点评】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为： 确定位似中心， 分
别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； 根据相似比，①确定能代表所作的②位似
图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩③小的图形．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19．【分析】（1）用反对的人数除以反对的人数所占的百分比即可求得抽查的总人数；
（2）用总人数乘以赞成的所占的百分比即可求得赞成的人数，用单位1减去反对和赞成的
所占的百分比即可求得无所谓的百分比；
（3）用总人数乘以赞成的所占的百分比即可求得赞成的总人数．
【解答】解：（1）150÷30%＝500（人）．
答：这次抽查的市民总人数是500人．
（2）持“赞成”态度的市民人数有：500×25%＝125（人），
持“无所谓”态度的市民人数有：500﹣150﹣125＝225（人），
持“无所谓”态度的人数占总人数的百分比是：
225÷500×100%＝45%．
统计图补充如图示．
第15页（共24页）（3）180 000×25%＝45 000（人）．
答：估计对这一问题持“赞成”态度的人数约为45 000人．…（10分）
【点评】本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，解题的关键是仔细观察统计图并从
中整理出进一步解题的有关信息．
20．【分析】首先设大部队的行进速度是x千米/小时，则突击小队的行进速度是1.5x千米/小
时，根据题意可得等量关系：大部队行进32km的时间﹣特种兵组成的突击小队行进32km
的时间＝1小时20分钟，由等量关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：设大部队的行进速度是x千米/小时．根据题意得：
1小时20分钟＝ 小时，
，
解得x＝8，
经检验：x＝8是所列方程的解．
答：大部队的行进速度是8千米/小时．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，表示出大部队的行进速度和
突击小队的行进速度，再根据时间关系列出方程．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果，再利用概率公式即
可求得答案．
【解答】解：由题意可列表得：
第一次（m） 1 ﹣2 3 ﹣4 5
第二次（n）
1 （1，1） （﹣2，1） （3，1） （﹣4，1） （5，1）
﹣2 （1，﹣2） （﹣2，﹣2） （3，﹣2） （﹣4，﹣2） （5，﹣2）
3 （1，3） （﹣2，3） （3，3） （﹣4，3） （5，3）
﹣4 （1，﹣4） （﹣2，﹣4） （3，﹣4） （﹣4，﹣4） （5，﹣4）
5 （1，5） （﹣2，5） （3，5） （﹣4，5） （5，5）
由表可知所有可能得到的点A的坐标共有25种，且每种结果发生的可能性相同，其中在
第一象限内的结果有9种，
故P（点A在第一象限内）＝ ．
第16页（共24页）【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以
上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE＝22°，∠CBD＝38.5°，ED＝AB＝
16米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE＝BD＝x，分别在Rt△BCD中和
Rt△ACE中，用x表示出CD和CE＝AE，利用CD﹣CE＝DE得到有关x的方程求得x的
值即可．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE＝22°，∠CBD＝38.5°，ED＝AB
＝16米
设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE＝BD＝x（不设未知数x也可以）
∵在Rt△BCD中，tan∠CBD＝
∴CD＝BD tan 38.5°≈0.8x
∵在Rt△ACE中，tan∠CAE＝
∴CE＝AE tan 22°≈0.4x
∵CD﹣CE＝DE
∴0.8x﹣0.4x＝16
∴x＝40
即BD＝40（米）
CD＝0.8×40＝32（米）
答：塔高CD是32米，大楼与塔之间的距离BD的长为40米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助
线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．
六、解答题（每小题10分，共20分）
23．【分析】（1）连接BD、OD，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到BD
第17页（共24页）与AC垂直，又BA＝BC，利用等腰三角形的三线合一性质得到D为AC的中点，又O为
AB的中点，可得出OD为三角形ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到OD与BC平
行，由EF垂直于BC，得到EF垂直于OD，可得出EF为圆O的切线；
（2）由圆的半径为6，求出直径AB为12，在直角三角形ABD中，由cos∠BAC的值及AB
的长，求出AD的长，再由第一问得到D为AC的中点，得到CD＝AD，即可求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接BD、OD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，即BD⊥AC，
∵BA＝BC，
∴D为AC中点，又O是AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠BFE＝∠ODE，
∵DE⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE是 O的切线；
⊙
（2）解：∵ O的半径为6，
∴AB＝12，⊙
在Rt△ABD中，cos∠BAC＝ ＝ ，
∴AD＝4，
由（1）知BD是△ABC的中线，
∴CD＝AD＝4．
第18页（共24页）【点评】此题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，
以及锐角三角函数定义，其中切线的证明方法有：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂
线段等于圆的半径．
24．【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后
根据月销售利润＝一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y＝2520时代入y＝﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y＝﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10
且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，
解得x ＝2，x ＝11（不合题意，舍去）
1 2
当x＝2时，30+x＝32（元）
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：
y＝﹣10x2+130x+2300
＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），
当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720
元．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，
求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
七、解答题（本题12分）
25．【分析】（1） 根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据正方形的
① 第19页（共24页）性质可得AD＝AF，∠DAF＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD＝∠CAF，然后利
用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝
∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB＝90°，从而得证； 根据全等三角形对应边相等可得BD＝
CF，从而求出CF＝BC﹣CD； ②
（2）与（1）同理可得BD＝CF，然后结合图形可得CF＝BC+CD；
（3） 与（1）同理可得BD＝CF，然后结合图形可得CF＝CD﹣BC； 根据等腰直角三角
形的①性质求出∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD②＝135°，再根据同角
的余角相等求出∠BAD＝∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全
等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠ABD，再求出∠FCD＝90°，然后根据直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半求出OC＝ DF，再根据正方形的对角线相等求出OC＝OA，
从而得到△AOC是等腰三角形．
【解答】（1）证明： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45①°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∠DAF＝∠CAF+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中， ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CF；
由 △BAD≌△CAF可得BD＝CF，
②∵BD①＝BC﹣CD，
∴CF＝BC﹣CD；
（2）与（1）同理可得BD＝CF，
第20页（共24页）所以，CF＝BC+CD；
（3） 与（1）同理可得，BD＝CF，
所以，①CF＝CD﹣BC；
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
②∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
则∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝90°，
∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中， ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC＝ DF，
∵在正方形ADEF中，OA＝ AE，AE＝DF，
∴OC＝OA，
∴△AOC是等腰三角形．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等
腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在
（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键．
八、解答题（本题14分）
26．【分析】（1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、
C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次
第21页（共24页）函数的解析式．
（2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解
析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式．
（3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可
求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况：
以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐
①标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标；
以OF为边，那么由OF＝OM或FM＝OF列出等式可求出点M的坐标．
②【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交y轴于点C
∴C（0，﹣3），
则 OC＝3；
∵P到x轴的距离为 ，P到y轴的距离是1，且在第三象限，
∴P（﹣1，﹣ ）；
∵C关于直线l的对称点为A
∴A（﹣2，﹣3）；
将点A（﹣2，﹣3），P（﹣1，﹣ ）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3中，有：
，
解得 ．
∴抛物线的表达式为y＝ x2+ x﹣3．
（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE＝∠BCE＝90°
∵∠DEG＝∠BEC
∴△DEG∽△BEC
∵DE：BE＝4：1，
∴DG：BC＝4：1；
第22页（共24页）已知BC＝1，则DG＝4，点D的横坐标为4；
将x＝4代入y＝ x2+ x﹣3中，得y＝5，则 D（4，5）．
∵直线y＝ x+m过点D（4，5）
∴5＝ ×4+m，则 m＝2；
∴所求直线的表达式y＝ x+2．
（3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF＝2；
设点M（x， x+2），则：OM2＝ x2+3x+4、FM2＝ x2；
（Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1；
∴ x+2＝1，x＝﹣ ；即点M的坐标（﹣ ，1）．
（Ⅱ）当OF为菱形的边时，有：
FM＝OF＝2，则： x2＝4，x ＝ 、x ＝﹣
1 2
①
代入y＝ x+2中，得：y ＝ 、y ＝ ；
1 2
即点M的坐标（ ， ）或（﹣ ， ）；
OM＝OF＝2，则： x2+3x+4＝4，x ＝0（舍）、x ＝﹣
1 2
②
代入y＝ x+2中，得：y＝ ；
即点M的坐标（﹣ ， ）；
综上，存在符合条件的点M，且坐标为（﹣ ，1）、（ ， ）、（﹣ ， ）、（﹣ ， ）．
第23页（共24页）【点评】此题主要考查的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、菱形的判定和性质
以及相似三角形的判定和性质等．最后一题容易漏解，一定要根据菱形顶点排列顺序的不
同进行分类讨论．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/14 12:40:13；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第24页（共24页）
