文档内容
2014年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分） 的平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
2．（3分）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，
与汉字“魅”相对的面上的汉字是（ ）
A．我 B．爱 C．辽 D．宁
3．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）分式方程 的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，2，5的中位数是3
B．数据5，5，7，5，7，6，11的众数是7
C．若甲组数据方差S2
甲
＝0.15，乙组数据方差S2
乙
＝0.15，则乙组数据比甲组数据稳定
D．数据1，2，2，3，7的平均数是3
6．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DE⊥BC于点E，则DE的长为
（ ）
A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．6
第1页（共27页）7．（3分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲
地的距离y千米与行驶时间x小时之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（
）
A．客车比出租车晚4小时到达目的地
B．客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时
C．两车出发后3.75小时相遇
D．两车相遇时客车距乙地还有225千米
8．（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，
使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，
G．连接GF．下列结论中错误的是（ ）
A．∠AGE＝67.5°
B．四边形AEFG是菱形
C．BE＝2OF
D．S△DOG ：S四边形OGEF ＝ ：1
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，直线l ∥l ，AB⊥EF，∠1＝20°，那么∠2＝ ．
1 2
10．（3分）在五张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆，
第2页（共27页）现从中随机抽出一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ．
11．（3分）对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2﹣ab，例如1※3＝12﹣1×3．
若x※4＝0，则x＝ ．
12．（3分）学校以德智体三项成绩来计算学生的平均成绩，三项成绩的比例依次为1：3：1，小
明德智体三项成绩分别为98分，95分，96分，则小明的平均成绩为 分．
13．（3分）如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分∠BAC，点D是AC上一点，且AG⊥BD
于点G．已知AB＝12，BC＝15，GH＝5，则△ABC的周长为 ．
14．（3分）在△ABC纸板中，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，将△ABC纸板以AB所在直线为
轴旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为 cm2（结果用含 的式子表示）．
15．（3分）如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是（2，0），点C的坐π标是（0，﹣2），点A
的坐标是（﹣3，b），反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点A，
则k＝ ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一个等边△OBA，其中A点坐标为（1，0）．将△OBA
绕顶点A顺时针旋转120°，得到△AO B ；将得到的△AO B 绕顶点B 顺时针旋转120°，
1 1 1 1 1
得到△B A O ；然后再将得到的△B A O 绕顶点O 顺时针旋转120°，得到△O B A …按
1 1 2 1 1 2 2 2 2 2
照此规律，继续旋转下去，则A 点的坐标为 ．
2014
第3页（共27页）三、解答题（每小题8分，共24分）
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ ﹣2．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A（﹣4，1），B（﹣2，1），C（﹣2，3）
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC向下平移4个单位长度，作出平移后的△A B C ；
2 2 2
（3）求四边形AA B C的面积．
2 2
19．（8分）数学小组的同学为了解2014年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分
家庭，并将数据进行了整理：
月均用水量x（t） 频数 频率
0＜x≤5 12 0.15
5＜x≤10 16 0.20
10＜x≤15 a 0.35
15＜x≤20 12 0.15
20＜x≤25 8 b
25＜x≤30 4 0.05
请回答以下问题：
（1）根据表中数据可得到a＝ ，b＝ ，并将频数分布直方图中10＜x≤15的
部分补充完整；
第4页（共27页）（2）求月均用水量不超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（3）若该小区有1200户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过25t的家庭大约
有多少户？
四、解答题（每小题10分，共20分）
20．（10分）学习概率知识以后，小庆和小丽设计了一个游戏．在一个不透明的布袋A里面装
有三个分别标有数字5，6，7的小球（小球除数字不同外，其余都相同）；同时制作了一个
可以自由转动的转盘B，转盘B被平均分成2部分，在每一部分内分别标上数字3，4．现在
其中一人从布袋A中随机摸取一个小球，记下数字为x；另一人转动转盘B，转盘停止后，
指针指向的数字记为y（若指针指在边界线上时视为无效，重新转动），从而确定点P的坐
标为P（x，y）．
（1）请用树状图或列表的方法写出所有可能得到的点P的坐标；
（2）若S＝xy，当S为奇数时小庆获胜，否则小丽获胜，你认为这个游戏公平吗？对谁更有
利呢？
21．（10分）甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两
人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．
（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）
（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续
跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
五、解答题（每小题10分，共20分）
22．（10分）如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂
直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时
第5页（共27页）测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°．现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多
少米？（结果精确到个位）（参考数据：sin25.6°≈0.4，cos25.6°≈0.9，tan25.6°≈0.5，
sin61.4°≈0.9，cos61.4°≈0.5，tan61.4°≈1.8）
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝60°， O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线
上，且AB＝AP． ⊙
（1）求证：PA是 O的切线；
（2）若AB＝2
⊙
，求图中阴影部分的面积．（结果保留 和根号）
π
六、解答题（本题满分12分）
24．（12分）小明家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，爸爸让他对今年的
销售情况进行跟踪记录，小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象（所得图象均为线
段），日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，草莓的价
格w（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示．
（1）观察图象，直接写出当0≤x≤11时，日销售量y与上市时间x之间的函数解析式为
；当11≤x≤20时，日销售量y与上市时间x之间的函数解析式为 ．
（2）试求出第11天的销售金额；
（3）若上市第15天时，爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔，批发价为每千克
15元，马叔叔到市场按照当日的价格w元/千克将批发来的草莓全部销售完，他在销售的
过程中，草莓总质量损耗了2%．那么，马叔叔支付完来回车费20元后，当天能赚到多少
元？
第6页（共27页）七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）如图，在直角△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，点F为直线AD上任意一点，
过点A作直线AC⊥BF，垂足为点E，直线AC交直线BD于点C．过点F作FG∥BD，交直
线AB于点G．
（1）如图1，点F在边AD上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是 ；
（2）如图2，点F在边AD的延长线上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是
，证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，若DF＝6，GF＝10，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点
B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M，N两点，当FM＝2时，求线段NG的长．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝ x2先向右平移1个单位，再向下平
移 个单位，得到新的抛物线y＝ax2+bx+c，该抛物线与y轴交于点B，与x轴正半轴交
于点C．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）如图1，有一条与y轴重合的直线l向右匀速平移，移动的速度为每秒1个单位，移动
的时间为t秒，直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于点P，当点P在x轴上方时，求出使
△PBC的面积为2 的t值；
第7页（共27页）（3）如图2，将直线BC绕点B逆时针旋转，与x轴交于点M（1，0），与抛物线y＝ax2+bx+c
交于点A，在y轴上有一点D（0， ），在x轴上另取两点E，F（点E在点F的左侧），EF
＝2，线段EF在x轴上平移，当四边形ADEF的周长最小时，先简单描述如何确定此时点
E的位置？再直接写出点E的坐标．
第8页（共27页）2014年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．【分析】先化简 ，然后再根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵ ＝2，
∴ 的平方根是± ．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把 正确化简是解题的关键，本题
比较容易出错．
2．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“力”是相对面，
“爱”与“辽”是相对面，
“魅”与“宁”是相对面．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面
入手，分析及解答问题．
3．【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式组 ，
由 得：x＞1；
由①得：x≤3，
∴②不等式组的解集为1＜x≤3，
表示在数轴上，如图所示：
故选：A．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来
（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表
示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．
第9页（共27页）在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．【分析】首先分式两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母，再移项合并同类项即可得到
x的值，然后要检验．
【解答】解： ，
去分母得：3x﹣3＝2x，
移项得：3x﹣2x＝3，
合并同类项得：x＝3，
检验：把x＝3代入最简公分母2x（x﹣1）＝12≠0，故x＝3是原方程的解，
故原方程的解为：X＝3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记
检验，这是同学们最容易出错的地方．
5．【分析】根据方差、众数、中位数、平均数的计算公式和定义分别进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、把这组数据从小到大排列为：1，2，2，3，5，中位数是2，故本选项错误；
B、在数据5，5，7，5，7，6，11中，5出现了3次，出现的次数最多，则众数是5，故本选项错
误；
C、因为甲组数据方差S2
甲
＝0.15，乙组数据方差S2
乙
＝0.15，则S甲 2＝S乙 2，所以乙组数据
和甲组数据同样稳定，故本选项错误；
D、数据1，2，2，3，7的平均数是（1+2+2+3+7）÷5＝3，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了方差、众数、中位数和平均数，平均数平均数表示一组数据的平均程度；
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两
个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
6．【分析】首先根据已知可求得OA，OD的长，再根据勾股定理即可求得BC的长，再由菱形
的面积等于底乘以高也等于两对角线的乘积，根据此不难求得DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，
∴BC＝ ＝5，
∵S菱形ABCD ＝ AC×BD＝BC×DE，
第10页（共27页）∴ ×8×6＝5×DE，
∴DE＝ ＝4.8，
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表
示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
7．【分析】观察图形可发现客车出租车行驶路程均为600千米，客车行驶了10小时，出租车
行驶了6小时，即可求得客车和出租车行驶时间和速度；
易求得直线AC和直线OD的解析式，即可求得交点横坐标x，即可求得相遇时间，和客车
行驶距离，即可解题．
【解答】解：（1）∵客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时，∴客车比出租车晚4小时到
达目的地，故A正确；
（2）∵客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时，∴客车速度为60千米/时，出租车速度
为100千米/时，故B正确；
（3）∵设出租车行驶时间为x，距离目的地距离为y，
则y＝﹣100x+600，
设客车行驶时间为x，距离目的地距离为y，
则y＝60x；
当两车相遇时即60x＝﹣100x+600时，x＝3.75h，故C正确；
∵3.75小时客车行驶了60×3.75＝225千米，
∴距离乙地600﹣225＝375千米，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数解析式的求解，考查了一次函数交点的求解，本题中正确求
得一次函数解析式是解题的关键．
8．【分析】根据正方形的性质得∠AOB＝90°，∠BAO＝∠OAD＝∠ODA＝45°，再根据折叠的
第11页（共27页）性质得∠1＝∠2＝ ∠ODA＝22.5°，EA＝EF，∠4＝∠5，∠EFD＝∠EAD＝90°，于是根据
三角形外角性质可计算出∠3＝67.5°，即∠AGE＝67.5°；根据三角形内角和可计算出∠4
＝67.5°，则∠3＝∠4＝∠5，所以AE＝AG＝EF，AG∥EF，于是可判断四边形AEFG为菱
形；根据菱形性质得GF∥AB，EF＝GF，利用平行线性质得∠6＝∠7＝45°，则可判断
△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，得到BE＝ EF，GF＝ OF，所以BE＝2OF；设
OF＝a，则GF＝ a，BF＝ a，可计算出OB＝（ +1）a，则OD＝（ +1）a，DF＝
DO+OF＝（2+ ）a，再证明△DOG∽△DFE，利用相似三角形的性质可计算出 ＝
（ ）2＝ ，则S△DOG ：S四边形OGEF ＝1：1，即D选项的结论错误．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOB＝90°，∠BAO＝∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合，
∴∠1＝∠2＝ ∠ODA＝22.5°，EA＝EF，∠4＝∠5，∠EFD＝∠EAD＝90°，
∴∠3＝∠GAD+∠1＝45°+22.5°＝67.5°，即∠AGE＝67.5°；
∵∠4＝90°﹣∠1＝67.5°，
∴∠3＝∠4＝∠5，
∴AE＝AG＝EF，AG∥EF，
∴四边形AEFG为菱形；
∴GF∥AB，EF＝GF，
∴∠6＝∠7＝45°，
∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，
∴BE＝ EF，GF＝ OF，
∴BE＝ • OF＝2OF；
设OF＝a，则GF＝ a，BF＝ a，
∴OB＝（ +1）a，
∴OD＝（ +1）a，DF＝DO+OF＝（2+ ）a，
∵∠DOG＝∠DFE＝90°，
第12页（共27页）∴△DOG∽△DFE，
∴ ＝（ ）2＝[ ]2＝ ，
∴S△DOG ：S四边形OGEF ＝1：1．
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性
质．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】根据平行线的性质求出∠3，根据三角形的外角性质得出∠2＝∠FOB﹣∠3，代入
求出即可．
【解答】解：
∵l ∥l ，∠1＝20°，
1 2
∴∠3＝∠1＝20°，
∵AB⊥EF，
∴∠FOB＝90°，
∴∠2＝∠FOB﹣∠3＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠3的
度数和得出∠2＝∠FOB﹣∠3．
10．【分析】由五张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正方形、圆，
其中是中心对称图形的有有平行四边形、正方形、菱形、圆，然后直接利用概率公式求解
第13页（共27页）即可求得答案．
【解答】解：∵在等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆中，是中心对称图形的有平行
四边形、正方形、菱形、圆，
∴现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形是中心对称图形的概率为： ；
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
11．【分析】先认真阅读题目，根据题意得出方程x2﹣4x＝0，解方程即可．
【解答】解：∵x※4＝0，
∴x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x＝0，x﹣4＝0，
∴x＝0或4，
故答案为：0或4．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能得出一元二次方程，题目
比较典型，难度适中．
12．【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
（98×1+95×3+96×1）÷5＝95.8（分），
答：小明的平均成绩为95.8分．
故答案为：95.8．
【点评】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，掌握加权平
均数的计算公式是本题的关键．
13．【分析】判断出△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得BG＝DG，然
后求出GH是△BCD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一
半可得CD＝2GH，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵AG平分∠BAC，AG⊥BD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，BG＝DG，
第14页（共27页）又∵H是△ABC的边BC的中点，
∴出GH是△BCD的中位线，
∴CD＝2GH＝2×5＝10，
∴△ABC的周长＝12+15+（12+10）＝49．
故答案为：49．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的
判定与性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键．
14．【分析】易得此几何体为圆锥，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴△ABC为直角三角形，
∴底面周长＝8 ，侧面积＝ ×8 ×5＝20 cm2．
π π π
故答案为：20 ．
【点评】本题考π查了圆锥的计算，以及勾股定理的逆定理，利用圆的周长公式和扇形面积
公式求解．
15．【分析】根据内心的性质得OB平分∠ABC，再由点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，
﹣2）得到△OBC为等腰直角三角形，则∠OBC＝45°，所以∠ABC＝90°，利用勾股定理有
AB2+BC2＝AC2，根据两点间的距离公式得到（﹣3﹣2）2+b2+22+22＝（﹣3）2+（b+2）2，解得
b＝5，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．
【解答】解：∵△ABC的内心在x轴上，
∴OB平分∠ABC，
∵点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，﹣2），
∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴（﹣3﹣2）2+b2+22+22＝（﹣3）2+（b+2）2，解得b＝5，
∴A点坐标为（﹣3，5），
∴k＝﹣3×5＝﹣15．
故答案为﹣15．
第15页（共27页）【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内
心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和两
点间的距离公式．
16．【分析】计算出A 、A 、A 、A 的横坐标，推出A 的横坐标，代入2014即可得到A 的坐
1 2 3 4 n 2014
标．
【解答】解：A 的横坐标＝ ，A 的横坐标＝ + ＝ ，A 的横坐标＝ + ＝ ，A 的横
1 2 3 4
坐标＝ + ＝ ．
A 的横坐标 ，
n
A 的横坐标＝3022，纵坐标为0，
2014
故答案为（3022，0）．
【点评】本题考查了图形的旋转，正确归纳旋转的规律是解决本题的关键．
三、解答题（每小题8分，共24分）
17．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ • ＝x+2，
当x＝ ﹣2时，原式＝ ﹣2+2＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接；
（2）分别作出点A、B、C向下平移4个单位长度后的点，然后顺次连接；
（3）根据梯形的面积公式求出四边形AA B C的面积即可．
2 2
【解答】解：（1）（2）所作图形如图所示：
第16页（共27页）；
（3）四边形AA B C的面积为： （4+6）×2＝10．
2 2
即四边形AA B C的面积为10．
2 2
【点评】本题考查了根据平移变换和轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作
出对应点，然后顺次连接．
19．【分析】（1）根据0＜x≤5中频数为12，频率为0.15，则调查总户数为12÷0.15＝80，进而
得出a、b的值；
（2）根据（1）中所求即可得出不超过20t的家庭总数即可求出，不超过20t的家庭占被调
查家庭总数的百分比；
（3）根据样本数据中超过25t的家庭数，即可得出1000户家庭超过20t的家庭数．
【解答】解：（1）如图所示：根据0＜x≤5中频数为12，频率为0.15，
则12÷0.15＝80，a＝80×0.35＝28户，b＝8÷80＝0.10，
故频数分布直方图为：
；
（2） ×100%＝85%；
第17页（共27页）（3）1200×0.05＝60户，
答：该小区月均用水量超过25t的家庭大约有60户．
【点评】此题主要考查了利用样本估计总体以及频数分布直方图与条形图综合应用，根据
已知得出样本数据总数是解题关键．
四、解答题（每小题10分，共20分）
20．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况，写出即可；
（2）找出S为奇数的情况有，求出小庆获胜的概率，进而求出小丽获胜的概率，比较即可
得到结果．
【解答】解：（1）列表如下：
3 4
5 （5，3） （5，4）
6 （6，3） （6，4）
7 （7，3） （7，4）
由表格得所有可能得到的点P坐标为（5，3）；（6，3）；（7，3）；（5，4）；（6，4）；（7，4），共6
种；
（2）S为奇数的情况有（5，3）；（7，3）共2种，即P（小庆获胜）＝ ＝ ；P（小丽获胜）＝1
﹣ ＝ ，
∵ ＜ ，
∴该游戏不公平，对小丽更有利．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个
事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，两人同向而行
相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差＝环形场地的路程，列出方程即可
求解；
（2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程＝环形场地
的路程，列出算式求解即可．
【解答】解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，依题意有
3x+150＝200×3，
解得x＝150，
第18页（共27页）x+200＝150+200＝350．
答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．
（2）（200×3﹣300×1.2）÷1.2
＝（600﹣360）÷1.2
＝240÷1.2
＝200（米），
200﹣150＝50（米）．
答：乙的速度至少要提高每分钟50米．
【点评】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路
程+乙路程＝环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道
的长度．
五、解答题（每小题10分，共20分）
22．【分析】根据锐角三角函数关系表示出BF的长，进而求出EF的长，进而得出答案．
【解答】解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°，
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF，
设EF＝x，
则tan25.6°＝ ＝0.5，
故BF＝2x，
则AF＝50+2x，
故tan61.4°＝ ＝ ＝1.8，
解得；x≈31，
故DE＝50+31×2﹣31＝81（m），
答：塔高DE大约是81米．
第19页（共27页）【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EF的长是解题关键．
23．【分析】（1）如图，连接OA；证明∠OAP＝90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；求出OM＝1，OA＝2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接OA；
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝120°；而OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°；而AB＝AP，
∴∠P＝∠ABO＝30°；
∵∠AOB＝∠OAP+∠P，
∴∠OAP＝120°﹣30°＝90°，
∴PA是 O的切线．
⊙
（2）如图，过点O作OM⊥AB，则AM＝BM＝ ，
∵tan30°＝ ，sin30°＝ ，
∴OM＝1，OA＝2；
∴ ＝ × ×1＝ ，
＝ ，
∴图中阴影部分的面积＝ ．
第20页（共27页）【点评】该题主要考查了切线的判定、扇形的面积公式及其应用问题；解题的关键是作辅
助线；灵活运用圆周角定理及其推论、垂径定理等几何知识点来分析、判断、解答．
六、解答题（本题满分12分）
24．【分析】（1）当0≤x≤11时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx，当11≤x≤20时设y与
x之间的函数关系式为y＝k x+b，由待定系数法求出其解即可；
1
（2）当3≤x＜16时，设w与x的关系式为w＝k x+b ，当x＝11时，代入解析式求出w的值，
2 2
由销售金额＝单价×数量就可以求出结论；
（3）当x＝15时代入（1）的解析式求出y的值，再当x＝15时代入（2）的解析式求出w的值，
再由利润＝销售总额﹣进价总额﹣车费就可以得出结论．
【解答】解：（1）当0≤x≤11时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx，当11≤x≤20时设y
与x之间的函数关系式为y＝k x+b，由题意，得
1
90＝11k， ，
解得：k＝ ， ，
∴y＝ ，
故答案为：y＝ x，y＝﹣10x+200；
（2）当3≤x＜16时，设w与x的关系式为w＝k x+b ，由题意，得
2 2
，
解得： ，
第21页（共27页）∴w＝﹣x+33．
当x＝11时，
y＝90，w＝22，
∴90×22＝1980元．
答：第11天的销售总额为1980元；
（3）由题意，得
当x＝15时，
y＝﹣10×15+200＝50千克．
w＝﹣15+33＝18元，
利润为：50（1﹣2%）×18﹣50×15﹣20＝112元．
答：当天能赚到112元．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，待定系数法
求函数的解析式的运用，解答时运用函数图象的数据求出函数的解析式是关键．
七、解答题（本题满分12分）
25．【分析】（1）先证明△BDF≌△ADC，得出DF＝DC，再证明FG＝AF，即可得出结论；
（2）过点B作BH⊥GF于点H，由△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形．得出AD＝BD，
AF＝FG，再证明△ADC≌△BDF，得出DC＝DF，即可得出结论；
（3）作NP⊥AG于P，由四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，得出BH＝DF
＝6，PG＝PN，设PG＝PN＝x，则NG＝ x，再证出∠PBN＝∠MBH，得出tan∠PBN＝
tan∠MBH＝ ，得BP＝3PN＝3x，列出方程x+3x＝6 ，解方程即可得出结果．
【解答】解：（1）FG+DC＝BD；理由：
∵∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，
∴∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，∠C+∠DBF＝90°，∠C+∠DAC＝90°，
∴∠DBF＝∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
第22页（共27页）∴DF＝DC，
∵FG∥BD，
∴∠AFG＝∠ADB＝90°，∠AGF＝∠ABD＝45°，
∴FG＝AF，
∴FG+DC＝AF+DF＝AD＝BD；
（2）FG＝DC+BD；理由如下：
过点B作BH⊥GF于点H，如图2所示：
则四边形DFHB是矩形，
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，FG∥BD，
∴△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，AF＝FG，
∵AC⊥BF，
∴∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CBE＝90°，
∵∠C+∠DAC＝90°，∠CBE＝∠DBF，
∴∠DAC＝∠DBF，∠ADB＝90°，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DC＝DF，
∴AF＝DF+AD＝DC+BD，
∴FG＝DC+BD；
（3）作NP⊥AG于P，如图3所示：
则四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，
∴BH＝DF＝6，PG＝PN，
设PG＝PN＝x，则NG＝ x，
∵∠G＝45°，
∴GH＝BH＝6，BG＝6 ，∠GBH＝45°，
∵∠MBN＝45°，
∴∠PBN＝∠MBH，
第23页（共27页）∴tan∠PBN＝tan∠MBH＝ ＝ ，
∴BP＝3PN＝3x，
∴PG+BP＝x+3x＝4x＝6 ，
解得：x＝ ，
∴NG＝ × ＝3．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判
定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，
需要通过作辅助线证明等腰直角三角形和运用三角函数才能得出结论．
八、解答题（本题满分14分）
26．【分析】（1）根据条件即可写出新抛物线的解析式，然后只需令x＝0就可得到点B的坐
标，令y＝0就可得到点C的坐标；
（2）过点P作PH⊥y轴于点H，如图1，则有PH＝t，然后运用割补法表示出△BCP的面积，
根据条件“△PBC的面积为2 ”可用t的代数式表示出OH，从而得到点P的坐标（用t
的代数式表示），然后将点P的坐标代入新抛物线的解析式就可解决问题；
（3）由于AD、EF是定值，要使四边形ADEF的周长最小，只需DE+AF最小，由于DE与
AF不相连，可将AF向左平移2个单位到A′E，从而将问题转化为DE+EA′最小，可作
第24页（共27页）点D关于x轴的对称点D′，则有D′E＝DE，从而将问题转化为D′E+EA′最小，根据
两点之间线段最短可知当D′、E、A′三点共线时，D′E+EA′最小；要求四边形ADEF
的周长最小时对应的点E的坐标，只需依次求出直线BM的解析式、点A的坐标，点A′
的坐标，点D关于x轴的对称点D′的坐标，直线A′D′的解析式，直线A′D′与x轴
的交点E′的坐标，就可解决问题．
【解答】解：（1）将抛物线y＝ x2先向右平移1个单位，再向下平移 个单位，
得到新的抛物线的解析式为y＝ （x﹣1）2﹣ ．
当x＝0时，y＝ ﹣ ＝﹣ ，则点B的坐标为（0，﹣ ）；
令y＝0，得 （x﹣1）2﹣ ＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
∵点C在x轴正半轴上，
∴点C的坐标为（3，0）；
（2）过点P作PH⊥y轴于点H，如图1，
由题可得PH＝1×t＝t．
∵点B（0，﹣ ），点C（3，0），
∴OB＝ ，OC＝3，
∴S△BCP ＝S梯形PHOC +S△BOC ﹣S△PHB
＝ （PH+OC）•OH+ OB•OC﹣ BH•PH
＝ （t+3）•OH+ × ×3﹣ （OH+ ）•t
＝ OH+ ﹣ t＝2 ，
解得：OH＝ t+ ，
∴点P的坐标为（t， t+ ）．
∵点P在抛物线y＝ （x﹣1）2﹣ 上，
第25页（共27页）∴ （t﹣1）2﹣ ＝ t+ ，
解得：t ＝4，t ＝﹣1
1 2
∵点P在第一象限，
∴t＝4；
（3）将点A向左平移2个单位到点A′，作点D关于x轴的对称点D′，连接A′D′，交x
轴于点E′，
当点E运动到点E′时，四边形ADEF的周长最小，此时点E的坐标为（ ，0）．
解题思路如下：
先用待定系数法求出BM的解析式，为y＝ x﹣ ，
然后将直线BM与抛物线的解析式组成方程组，求出它们的一个交点A的坐标，为（5，4
），
从而可得点A向左平移2个单位所对应的点A′的坐标，为（3，4 ），
由点D（0， ）可得到该点关于x轴的对称点D′的坐标，为（0，﹣ ），
然后运用待定系数法求出直线A′D′的解析式，为y＝ x﹣ ，
然后令y＝0，就可得到直线A′D′与x轴的交点E′的坐标，为（ ，0）．
第26页（共27页）【点评】本题主要考查了抛物线上点的坐标特征、用待定系数法求直线的解析式、平移的
性质、两点之间线段最短等知识，运用割补法是解决第（2）小题的关键，通过平移变换将
不相连的两条线段之和转化为相连的两条线段之和是解决第（3）小题的关键．
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日期：2020/9/3 11:00:17；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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