文档内容
2013年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．（3分）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面都有一个汉字，则在该正方体中和
“国”字相对的汉字是（ ）
A．追 B．逐 C．梦 D．想
3．（3分）丹东地区人口约为245万，245万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．245×104 B．2.45×106 C．24.5×105 D．2.45×107
4．（3分）如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝
5，则△ACE的周长是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
5．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）顺次连接等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形
7．（3分）李东同学参加校团委组织的演讲赛，共21名选手参赛，预赛成绩各不相同，按成绩
第1页（共26页）取前10名的选手参加复赛，李东在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入复赛，还
需要知道这21名选手成绩的（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，P，Q两点同时从点C出发，点P沿从
C→D→A方向运动，速度为2cm/s；点Q沿从C→B的方向运动速度为1cm/s，当运动时间
为（t 0≤t≤3.5）时，设△PCQ的面积为y（cm2）（当P，Q两点未开始运动时，△PCQ的面
积为0）．则y（cm2）和t（s）的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：a3b﹣9ab＝ ．
10．（3分）某奥运射击冠军射击一次，命中靶心．这个事件是 （填“必然”、“不可
能”或“不确定”）事件．
11．（3分）如图，一块四周镶有宽度相等的花边的长方形十字绣，它的长为120cm，宽为
80cm，如果十字绣中央长方形图案的面积为6000cm2，则花边宽为 ．
第2页（共26页）12．（3分）如图，直线AC∥BD，AE平分∠BAC交直线BD于点E，若∠1＝64°，则∠AED＝
°．
13．（3分）双曲线y＝ 和直线y＝x+1交于点（﹣2，m），则双曲线的表达式为 ．
14．（3分）如图，若将四根木条钉成的矩形ABCD变形为 ▱FBCE的形状，EF交CD于点H，
已知AB＝20cm，BC＝30cm，当矩形ABCD的面积是 ▱FBCE面积的2倍时，四边形FBCH
的面积为 ．
15．（3分）观察下列数据：﹣ ， ，﹣ ， …它们是按一定规律排列的，依照此规律，第
19个数据是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2 ），点P在第二象限内，若
以点P、B、O为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等的情况），则点P的坐标为
．
三、解答题（每小题8分，共16分）
第3页（共26页）17．（8分）计算：（ ）﹣2+ ﹣2cos45°+|2 ﹣3|．
18．（8分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC和△A B C 在平面
1 1 1
直角坐标系中位置如图所示．
（1）△ABC与△A B C 关于某条直线m对称，画出对称轴m．
1 1 1
（2）画出△A B C 绕原点O顺时针旋转90°所得的△A B C ．此时点A 的坐标为 ．
1 1 1 2 2 2 2
求出点A 旋转到点A 的路径长．（结果保留根号）
1 2
19．（10分）丹东是个美丽的旅游城市，吸引了很多外地游客，某旅行社对今年五月接待的外
地游客来丹东旅游的首选景点做了一次抽样调查，根据收集到的数据，绘制成如下统计图
（不完整），请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）此次共调查多少人？
（2）请将两幅统计图补充完整．
（3）“凤凰山”部分的圆心角是 °．
（4）该旅行社今年五月接待来丹东的游客2000人，请估计首选去河口的人数约为多少人．
第4页（共26页）20．（10分）为帮助雅安地震灾区人们重建家园，某中学学生积极捐献．已知高中部捐款总额
为7200元，初中部捐款总额为6000元，高中部人数比初中部人数多80人，而且初中部和
高中部人均捐款恰好相等．求该校学生总数是多少人．
21．（10分）现有三张不透明的卡片A，B，C，他们背面完全一样，正面分别画有圆、长方形和
等腰三角形，将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）从中随机抽取一张卡片，正面的图形是中心对称图形的概率为 ．
（2）从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，在随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图
的方法，求两次抽取的卡片正面图形都是中心对称图形的概率．
22．（10分）如图，CD是 O的直径，OB⊥CD交 O于点B，连接CB，AB是 O的弦，AB交
CD于点E，F是CD的⊙延长线上一点且AF＝E⊙F． ⊙
（1）判断AF和 O的位置关系并说明理由
（2）若∠ABC＝⊙60°，BC＝1cm，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
23．（10分）如图，新城区新建了三个商业城A，B，C，其中C在A的正东方向，在A处测得B
在A的南偏东52°的方向，在C处测得B在C的南偏东26°的方向，已知A和B的距离是
1000m．现有甲、乙两个工程对修建道路，甲修建一条从A到C的笔直道路AC，乙修建一
条从B到直线AC最近的道路BD．求甲、乙修建的道路各是多长．（结果精确到1m）（参考
数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，
tan64°≈2.05）
第5页（共26页）24．（10分）有甲、乙两军舰在南海执行任务．它们分别从A，B两处沿直线同时匀速前往C处，
最终到达C处（A，B，C，三处顺次在同一直线上）．设甲、乙两军舰行驶x（h）后，与B处相
距的距离分别是y （海里）和y （海里），y ，y 与x的函数关系如图所示
1 2 1 2
（1） 在0≤x≤5的时间段内，y 与x之间的函数关系式为 ．
2
在0①≤x≤0.5的时间段内，y
1
与x之间的函数关系式为
②（2）A，C两处之间的距离是 海里．
（3）若两军舰的距离不超过5海里是互相望到，当0.5≤x≤3时．求甲、乙两军舰可以互相
望到时x的取值范围．
25．（12分）已知四边形ABCD是正方形
（1）如图1．点M在边BA的延长线上，点N在边BC上，且AM＝CN，连接MN，DM，DN，
判断△DMN的形状（直接写出答案）．
（2）如图2，当店N在边AB上，点N在边BC的延长线上，AM＝CN，连接MN，取线段MN
的中点G，连接DG，DM，判断线段DG和线段MG的关系并说明理由．
（3）如图3，当点M在边AB的延长线上，点N在边BC的延长线上，AM＝CN，连接MN，
DM，DN，点G是线段MN的中点，连接BG，DG，连接GC并延长交BD于点H，若∠AMN
＝75°，判断线段GH和线段BD的关系并说明理由．
第6页（共26页）26．（14分）如图1．已知抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，
A点坐标为（﹣2，0），B的坐标为（4，0）．直线l过B，C两点．点P是线段BC上的一个动
点（点P不与B，C两点重合）．在点P运动过程中，始终有一条过点P且和y轴平行的直
线也随之运动，该直线与抛物线的交点为M，与x轴的交点为N．
（1） 求出抛物线的函数表达式； 直接写出直线l的函数表达式；
（2）①若直线MN把△OBC的面积分成②1：3的两部分，求出此时点P的坐标．
（3）如图2， 连接BM，CM，设△MBC的面积是S，在点P的运动过程中，S是否存在最
大值？若存在①，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
当△MBC的面积最大时，直线MN上另有一动点E，在坐标平面内是否存在点F，使以
②点A，P，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说
明 理 由 ．
第7页（共26页）2013年辽宁省丹东市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）
1．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解；﹣ 的相反数是 ，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与
“国”字相对的字是“追”．
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对的两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入
手，分析及解答问题．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：245万＝2450000＝2.45×106，故选B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周
长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平
第8页（共26页）分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
5．【分析】先解出各个不等式，确定不等式的解集，找出在数轴上正确表示解集的一项．
【解答】解： ，
解 得，x＞﹣3，
解①得，x≤2，
∴②不等式的解集为：﹣3＜x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确解出不等
式确定不等式组的解集是解题的关键，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．【分析】根据等腰梯形的对角线相等和三角形中位线定理，所得四边形的各边都相等，所以
判定为菱形．
【解答】解：如图所示，
根据三角形中位线定理，EF＝GH＝ BD，FG＝EH＝ AC，
∵ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，
∴EF＝GH＝FG＝EH，
∴EFGH为菱形．
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的判定方法、等腰梯形的性质、三角形中位线定理等知识点，掌握
菱形的判别方法： 定义； 四边相等； 对角线互相垂直平分是解题的关键．
7．【分析】21人成绩的①中位数是②第5名的成绩③．参赛选手要想知道自己是否能进入前10名，
只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有21个人，且他们的分数互不相同，第11的成绩是中位数，要判断
是否进入前10名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
第9页（共26页）8．【分析】分两种情况分析，当P、Q分别在CD边和BC边上运动时，（0＜t≤1.5）；当P、Q分
别在AD边和BC边上运动时，（1.5＜t≤3.5）；分别求出函数解析式，即可解答．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，
∴CD＝3，
∴点P在CD上运动的时间为：3÷2＝1.5（秒），
当P、Q分别在CD边和BC边上运动时，（0＜t≤1.5），如图1，
CP＝2t，CQ＝t，
∴ ；
当P、Q分别在AD边和BC边上运动时，（1.5＜t≤3.5），如图2，
过点P作PE⊥BC于点E，则PE＝AB＝3，CQ＝t，
∴ ，
由以上可得：当0＜t≤1.5时，则y（cm2）和（t s）的函数关系的图象为抛物线的一部分；当
1.5＜t≤3.5时，则y（cm2）和t（s）的函数关系的图象为直线，所以C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数与矩形相结合的问题，解决本题的关键是根据运动情况进行分类
讨论，求出△PCQ面积的表达式，根据解析式确定图象．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】首先提取公因式ab，然后再利用平方差公式继续分解，即可求得答案．
【解答】解：a3b﹣9ab＝a（a2﹣9）＝ab（a+3）（a﹣3）．
第10页（共26页）故答案为：ab（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．注意先提公因式，再利用公式
法分解因式，注意分解要彻底．
10．【分析】根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，
一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的
事件．即可解答．
【解答】解：某奥运射击冠军射击一次，命中靶心，这个事件是不确定事件；
故答案为：不确定．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不
发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
11．【分析】根据题意表示出中央长方形图案的长与宽，进而利用面积为6000cm2，进而求出
即可．
【解答】解：设花边宽为x，根据题意可得：
（120﹣2x）（80﹣2x）＝6000
解得：x ＝10，x ＝90（不符合题意，舍去）．
1 2
所以，花边的宽为10cm．
故答案为：10cm．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列
出方程是解决问题的关键．
12．【分析】由邻补角定义求出∠BAC的度数，再根据AE为角平分线求出∠CAE的度数，由
直线AC与BD平行，得到同旁内角互补，求出所求角的度数即可．
【解答】解：∵∠1+∠BAC＝180°，∠1＝64°，
∴∠BAC＝116°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝58°，
∵AC∥BD，
∴∠CAE+∠AED＝180°，
∴∠AED＝122°，
故答案为：122
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
第11页（共26页）13．【分析】先由一次函数的解析式确定点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数的解析式即
可．
【解答】解：把点（﹣2，m）代入y＝x+1得：m＝﹣2+1＝﹣1，
∴点（﹣2，﹣1），
把点（﹣2，﹣1）代入y＝ 得，k＝2，
∴双曲线的表达式为y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】本题考查了由函数的解析式确定点的坐标，待定系数法确定函数的解析式，注意
知识的综合运用．
14．【分析】根据矩形ABCD的面积是 ▱FBCE面积的2倍，得出CH＝ AB，再由三角函数即
可求出∠E的度数，解直角三角函数求得EH的值，进而求得FH的值，然后根据梯形的面
积公式即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，
∵ ▱FBCE中，EF∥BC，
∴DC⊥EF，
根据题意得：AB＝CD＝BF＝CE，AD＝BC＝EF， ▱FBCE面积＝BC•CH＝ BC•AB，
∴CH＝ AB，
∵CE＝BF＝AB，
∴CH＝ CE，
∴sinE＝ ＝ ，
∴∠E＝30°，
∴EH＝cos30°•CE＝ ×20＝10 cm，
∴FH＝EF﹣HE＝30﹣10 ，
第12页（共26页）∴四边形FBCH的面积＝ （FH+BC）•CH＝ （30﹣10 +30）•10＝（300﹣50 ）cm2，
故答案为（300﹣50 ）cm2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及三角函数；熟练掌握
平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
15．【分析】首先判断出每个数的正负，然后根据每个数的分子分别是5、7、9、11、…，判断出
第n个数的分子是多少；最后根据每个数的分母分别是4、9、16、25、…，判断出第n个数
的分母是多少，进而判断出这组数的第n个数是多少，再把n＝19代入，求出第19个数数
据为多少即可．
【解答】解：∵这组数分别是负数、正数、负数、正数、…，
∴这组数的第n个数的正负即（﹣1）n的正负；
∵5＝2×1+3，7＝2×2+3，9＝2×3+3，11＝2×4+3，
∴第n个数的分子是：2n+3；
∵4＝（1+1）2，9＝（2+1）2，16＝（3+1）2，25＝（4+1）2，
∴第n个数的分母是：（n+1）2；
∴这组数的第n个数是：
（﹣1）n•
∴第19个数据是：
（﹣1）19• ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解
答此题的关键是求出这组数的第n个数是多少．
16．【分析】由三角函数可求出∠A＝30°，∠ABO＝60°，作OP ⊥AB于P ，作P C⊥y轴，过点
1 1 1
B作BP ⊥y轴交OP 于P ，作∠ABO的平分线BD，过点O作OP ⊥BD于P ，过P 作
2 1 2 3 3 3
P E⊥x轴于E，如图，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△BP O∽△BOA，
3 1
△P OB∽△BAO，△P OB∽△OBA，然后分别确定P 、P 、P 的坐标．
2 3 1 2 3
【解答】解：∵点A（﹣6，0），点B（0，2 ），
∴OA＝6，OB＝2 ，
第13页（共26页）∴tanA＝ ＝ ＝ ，
∴∠A＝30°，
∴∠ABO＝60°，
作OP ⊥AB于P ，作P C⊥y轴，过点B作BP ⊥y轴交OP 于P ，作∠ABO的平分线
1 1 1 2 1 2
BD，过点O作OP ⊥BD于P ，过P 作P E⊥x轴于E，如图，
3 3 3 3
∵∠BP O＝∠BOA＝90°，∠P BO＝∠OBA，
1 1
∴△BP O∽△BOA，
1
在Rt△OBP 中，∵sin∠OBP ＝ ，
1 1
∴OP ＝2 sin60°＝3，
1
在Rt△OP C中，∵∠P OC＝30°，
1 1
∴P C＝ OP ＝ ，OC＝ P C＝ ，
1 1 1
∴P 点的坐标为（﹣ ， ）；
1
∵∠P OB＝∠A＝30°，
2
∴△P OB∽△BAO，
2
在Rt△OP B中，∵∠P OB＝30°，
2 2
∴P B＝ OB＝ ×2 ＝2，
2
∴P 点的坐标为（﹣2，2 ）；
2
∵∠P BO＝∠A＝30°，
3
∴△P OB∽△OBA，
3
在Rt△OP B中，∵∠P BO＝30°，
3 3
∴OP ＝ OB＝ ，∠P OB＝60°，
3 3
∴∠P OE＝30°，
3
在Rt△P OE中，P E＝ OP ＝ ，OE＝ P E＝ ，
3 3 3 3
∴P 点的坐标为（﹣ ， ）；
3
第14页（共26页）综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣ ， ）或（﹣2，2 ）或（﹣ ， ）．
故答案为（﹣ ， ）或（﹣2，2 ）或（﹣ ， ）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了
坐标与图形性质、含30度的直角三角形三边的关系．根据题意画出几何图形是解题的关
键．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．【分析】首先根据算术平方根、负整数指数幂的运算方法，以及45°的三角函数值，还有绝
对值的求法计算，然后根据加法交换律和加法结合律，求出算式（ ）﹣2+ ﹣2cos45°+|
2 ﹣3|的值是多少即可．
【解答】解：（ ）﹣2+ ﹣2cos45°+|2 ﹣3|
＝
＝
＝（ ）+（3 ）
＝5
＝
【点评】（1）此题主要考查了算术平方根的含义以及求法，以及绝对值的含义和求法，要
熟练掌握．
（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p
＝ （a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计
第15页（共26页）算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值．
18．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质结合网格得出对称轴m；
（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案，再利用弧长公式求出点A 旋转到点
1
A 的路径长．
2
【解答】解：（1）如图所示：直线m即为所求；
（2）如图所示：△A B C ，即为所求，点A 的坐标为：（1，4），
2 2 2 2
点A 旋转到点A 的路径长为： ＝ ．
1 2
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及旋转变换、弧长公式等知识，根据题意得出对应
点位置是解题关键．
19．【分析】（1）根据大鹿口的人数是30人，所占的百分比是10%，据此即可求得调查的总人
数；
（2）根据百分比的意义求得首先凤凰山的人数以及选择河口以及市区景区的人数所占的
百分比，即可补全统计图；
（3）利用360度乘以对应的百分比即可求解；
（4）利用总人数2000乘以对应的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：30÷10%＝300（人）；
（2）凤凰山的人数是：300×20%＝60（人），
第16页（共26页）选择河口的人数所占的比例： ×100%＝33%，
选择市内景区的所占比例： ×100%＝25%，
；
（3）“凤凰山”部分的圆心角是：360×20%＝72°，
故答案是：72；
（4）估计首选去河口的人数约为：2000×33%＝660（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．【分析】设该校初中部有x人，则高中部有（x+80）人，根据初中部和高中部人均捐款恰好
相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设该校初中部有x人，则高中部有（x+80）人，
根据题意得： ＝ ，
去分母得：7200x＝6000x+480000，
解得：x＝400，
经检验x＝400是分式方程的解，且符合题意，
∴x+80＝400+80＝480（人），480+400＝880（人），
则该校学生总数是880人．
【点评】此题考查了分式方程的应用，找出题中等量关系“初中部和高中部人均捐款恰好
相等”是解本题的关键．
21．【分析】（1）由中心对称图形的定义可知：A，B卡片，由此可求出其概率；
第17页（共26页）（2）画出树形图即可求出两次抽取的卡片正面图形都是中心对称图形的概率．
【解答】解：（1）从中随机抽取一张卡片，正面的图形是中心对称图形的概率＝ ，
故答案为：
（2）画树形图得：
总共有6种结果，即使中心对称又是轴对称图形的结果有4种，
∴所求概率为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时
要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
22．【分析】（1）连结OA，如图，由AF＝AE得∠FAE＝∠FEA，再利用对顶角相等和∠OBA＝
∠OAB可得∠OAB+∠FEA＝90°，即∠OAF＝90°，则OA⊥AF，然后根据切线的判定定理
可判断AF为 O的切线；
⊙
（2）先判断△OBC为等腰直角三角形得到OB＝ BC＝ ，再利用圆周角定理得到
∠AOC＝2∠ABC＝120°，则∠AOF＝180°﹣∠AOC＝60°，接着根据正切定义计算AF＝
，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分 ＝S△OAF ﹣S扇形AOD 进行计
算．
【解答】解：（1）AF和 O相切．理由如下：
连结OA，如图， ⊙
∵AF＝AE，
∴∠FAE＝∠FEA，
∵∠FEA＝∠OEB，
第18页（共26页）∴∠FAE＝∠OEB，
∵OB⊥CD，
∴∠BOE＝90°，
∴∠OBE+∠OEB＝90°，
而OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OAB+∠FEA＝90°，即∠OAF＝90°，
∴OA⊥AF，
∴AF为 O的切线；
（2）∵⊙OB⊥CD，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB＝ BC＝ ，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOC＝60°，
在Rt△OAF中，∵tan∠AOF＝ ，
∴AF＝ × ＝ ，
∴S阴影部分 ＝S△OAF ﹣S扇形AOD
＝ × × ﹣
＝ （cm2）．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
第19页（共26页）也考查了扇形面积的计算．
23．【分析】先解直角△ABD，求出乙修建的道路长BD＝AB•sin∠BAD≈620m，AD＝
AB•cos∠BAD≈790m．再解直角△CBD，求出CD＝ ≈302.4m，那么根据AC＝
AD﹣CD求出甲修建的道路长．
【解答】解：在直角△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣52°＝38°，AB＝1000m，
∴BD＝AB•sin∠BAD≈1000×0.62＝620（m），
AD＝AB•cos∠BAD≈1000×0.79＝790（m）．
在直角△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠BCD＝90°﹣26°＝64°，BD＝620m，
∴CD＝ ≈ ≈302.4（m），
∴AC＝AD﹣CD≈790﹣302.4≈488（m）．
即甲修建的道路长约488m，乙修建的道路长约620m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，掌握方向
角的概念，得出∠BAD＝38°，∠BCD＝64°是解题的关键．
24．【分析】（1） 设y 与x之间的函数关系式为y ＝kx（0≤x≤5），将（5，100）代入，利用待
2 2
定系数法求解①；
设y 与x之间的函数关系式为y ＝mx+n（0≤x≤0.5），将（0，20），（0.5，0）代入，利用待
1 1
②定系数法求解；
（2）由于A，B，C，三处顺次在同一直线上，从图中可以看出A、B两处相距20km，B、C两
处相距100km，则A、C两处之间的距离是为20+100＝120海里；
（3）需要分类讨论：甲军舰追上乙军舰之前、后两种情况下，两军舰可以互相望到时x的
取值范围．
【解答】解：（1） 设y 与x之间的函数关系式为y ＝kx（0≤x≤5），
2 2
将（5，100）代入，①得100＝5k，k＝20，
所以y 与x之间的函数关系式为y ＝20x（0≤x≤5）；
2 2
设y 与x之间的函数关系式为y ＝mx+n（0≤x≤0.5），
1 1
②将（0，20），（0.5，0）代入，
得 ，解得 ，
所以y 与x之间的函数关系式为y ＝﹣40x+20（0≤x≤0.5）；
1 1
第20页（共26页）（2）A，C两处之间的距离是20+100＝120海里；
（3）甲航速为20÷0.5＝40（海里/h），
乙航速为100÷5＝20（海里/h）．
当甲军舰追上乙军舰之前两军舰的距离不超过5海里时，
（40﹣20）x≥20﹣5，
解得 x≥0.75．
当甲军舰追上乙军舰之后两军舰的距离不超过5海里时，
（40﹣20）x≤20+5，
解得，x≤1.25．
所以当0.5≤x≤3时，甲、乙两军舰可以互相望到时x的取值范围是0.75≤x≤1.25．
故答案为y ＝20x（0≤x≤5）；y ＝﹣40x+20（0≤x≤0.5）；120．
2 1
【点评】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象，待定系数法求函数的解析式．利用
数形结合、分类讨论是解题的关键．
25．【分析】（1）由正方形的性质就可以得出AD＝CD，∠MAD＝∠C＝∠ADC＝90°，就可以
得出△MAD≌△NCD，就可以得出MD＝ND，∠ADM＝∠CDN，就可以得出∠MDN＝
90°，进而得出结论；
（2）由正方形的性质就可以得出AD＝CD，∠MAD＝∠BCD＝∠ADC＝∠DCN＝90°，就
可以得出△MAD≌△NCD，就可以得出MD＝ND，∠ADM＝∠CDN，就可以得出∠MDN
＝90°，就可以得出△MDN为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质就可以得出结论；
（3）由正方形的性质就可以得出AD＝BC＝CD，∠MAD＝∠BCD＝∠NCD＝∠MBN＝
90°，就可以得出△MAD≌△NCD，就可以得出MD＝ND，∠ADM＝∠CDN，就可以得出
∠MDN＝90°，由直角三角形的性质就可以得出BG＝DG，等腰直角三角形的性质就可以
得出∠MGD＝90°．由∠AMN＝75°就可以得出∠MCB＝30°，得出∠BGD＝60°，得出
△BGD为等边三角形，进而由△BCG≌△DCG就可以得出∠BGC＝∠DGC＝30°，就有
GH⊥BD，由勾股定理就可以求出结论．
【解答】解：（1）△DMN的形状是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠MAD＝∠C＝∠ADC＝90°．
在△MAD和△NCD中
第21页（共26页），
∴△MAD≌△NCD（SAS），
∴MD＝ND，∠ADM＝∠CDN．
∵∠ADN+∠CDN＝∠ADC＝90°，
∴∠ADN+∠ADM＝90°，
即∠MDN＝90°，
∴△DMN是等腰直角三角形；
（2）DG＝MG，DG⊥MG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠MAD＝∠BCD＝∠NCD＝90°．
在△MAD和△NCD中
，
∴△MAD≌△NCD（SAS），
∴MD＝ND，∠ADM＝∠CDN．
∵∠ADN+∠CDM＝∠ADC＝90°，
∴∠CDN+∠CDM＝90°，
即∠MDN＝90°，
∴△DMN是等腰直角三角形．
∵G是MN的中点，
∴MG＝ MN，DG＝ MN，DG⊥MG，
∴DG＝MG，DG⊥M；
（3）GH⊥BD，GH：BD＝ ：2．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD，∠MAD＝∠BCD＝∠NCD＝∠MBN＝90°．
在△MAD和△NCD中
，
第22页（共26页）∴△MAD≌△NCD（SAS），
∴MD＝ND，∠ADM＝∠CDN．
∵∠ADM+∠CDM＝∠ADC＝90°，
∴∠CDN+∠CDM＝90°，
即∠MDN＝90°
∴△DMN是等腰直角三角形．
∵G是线段MN的中点，
∴DG⊥MN，DG＝ MN，BG＝ MN，MG＝ MN
∴∠MGD＝90°，DG＝BG＝MG．
∴∠GBM＝∠BMG．
∵∠AMN＝75°，
∴∠GBM＝75°，
∴∠MGB＝30°，
∴∠BGD＝60°．
∴△BGD为的年三角形．
在△BCG和△DCG中
，
∴△BCG≌△DCG（SSS），
∴∠BGC＝∠DGC＝30°，
∴GH⊥BD，BH＝DH＝ BD．
设BH＝DH＝x，则BD＝BG＝2x，由勾股定理，得
GH＝ x．
∴GH：BD＝ ：2．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用，等边三
角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是解
答本题的关键．
26．【分析】（1）用待定系数法列方程求抛物线和直线解析式即可；
（2）运用相似三角形的面积比等于相似比的平方，列方程求解，分两种情况讨论；
第23页（共26页）（3） 列出S与x的函数关系式，求函数的最大值即可；
根据①菱形的性质和判定分类讨论，列方程求解即可．
②【解答】解：（1） ∵A点坐标为（﹣2，0），B的坐标为（4，0），
①
∴
解得：b＝1，c＝4
∴y＝﹣ x2+x+4；
y＝﹣ x2+x+4与y轴的交点C的坐标是（0，4），B的坐标为（4，0）
②
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）∵直线MN把△OBC的面积分成1：3的两部分，MN∥y轴，
∴△BOC∽△BNP
∴ 或 ，
∴
∵0C＝4，
∴PN＝2或2
把y＝2或2 ，代入y＝﹣x+4得：x＝2或4﹣2 ，
∴P（2，2）或P（4﹣2 ，2 ）；
（3） 如图1所示，根据题意，OC＝4，ON＝x，BN＝4﹣x，MN＝﹣ x2+x+4；
①
∴S＝S梯形ONMC +S△BMN ﹣S△BOC
＝ + ×（4﹣x）×（﹣ x2+x+4）﹣ ×4×4
＝﹣x2+4x
＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S有最大值为4；
当x＝2时，P（2，2），又A（﹣2，0），
②∴AN＝4，PN＝2，
∴AP＝ ＝2 ，
以点A，P，E，F为顶点的四边形为菱形时，有以下4种情况：
第24页（共26页）如图2所示，AF∥PE，AF＝PE＝AP＝2 ，
∴F（﹣2，2 ）或F（﹣2，﹣2 ）；
如图3所示，四边形AEFP是菱形，根据菱形的轴对称性，FN＝4，
OF＝ON+FN＝2+4＝6，
∴F（6，0）；
如图4所示，EF垂直平分AP，AF＝PE＝AE，AF∥PE，
设NE＝m，则PE＝2+m，AE2＝AN2+NE2＝42+m2
∴（2+m）2＝42+m2
解得：m＝3，
∴AF＝PE＝5，
∴F（﹣2，5）；
综上所述：以点A，P，E，F为顶点的四边形为菱形时，点F的坐标为：（﹣2，2 ）或F（﹣
2，﹣2 ）或F（6，0）或F（﹣2，5）．
第25页（共26页）【点评】本题考查了二次函数综合性，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，
待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类思想的运用，综
合性较强，有一定的难度．
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日期：2020/9/14 12:32:07；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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