文档内容
2013年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（在每一小题给出四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共18分）
1．（3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）小明在”百度”搜索引擎中输入”钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的结果个
数约为564000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．5.64×104 B．56.4×104 C．5.64×105 D．0.564×106
3．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差
分别是s2
甲
＝0.82，s2
乙
＝1.11，s2
丙
＝0.53，s2
丁
＝1.58，在本次测试中，成绩最稳定的是（
）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）如图，一次函数y＝k x+b 的图象l 与y＝k x+b 的图象l 交于点P，则方程组
1 1 1 2 2 2
的解是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长
为半径作圆，则 C与AB的位置关系是（ ）
⊙
第1页（共25页）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
选考题[考生注意：6.7.8题为三选一的选择题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的
首题评分]
6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，
0），（3，0），对于下列结论不正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b+2a＝0 C．abc＞0 D．8a+c＜0
7．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列式子成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＜0
C．（b﹣1）（a+1）＞0 D．（b﹣1）（a﹣1）＞0
8．如图，已知点C，D是半圆 上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．
则下列结论：
∠CBA＝30°， OD⊥BC， OE＝ AC， 四边形AODC是菱形．
① ② ③ ④
正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题（每小题3分，共18分）
第2页（共25页）9．（3分）计算 ＝ ．
10．（3分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是 ．
11．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知500度的近视眼镜镜片的
焦距是0.2m，则y与x之间的函数关系式是 ．
12．（3分）如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地
面垂直，且相距3 米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度＝ 米．
13．（3分）某市民政部门举行“即开式福利彩票”销售活动，发行彩票10万张（每张彩票2
元），在这些彩票中，设置如下奖项：如果花2元钱购买一张彩票，那么所得的奖金不多于
100元的概率是 ．
奖金（元） 10000 5000 1000 500 100 50
数量（个） 1 4 20 40 100 200
选考题[考生请注意：14.15.16题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按
作答的首题评分]
14．（3分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直
接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
第3页（共25页）15．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（0，3），对△AOB连续作图所示的旋转变换，
依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，那么第（2013）个三角形的直角顶点坐标是
16．如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和
AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
二、解答题（17.18.19.20题每题10分，21.22题每题12分，共64分）
17．（10分）（1）解分式方程： ＝1．
（2）先化简，再求值：（ ）÷ ，其中a＝tan60°+4sin30°．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣1，4），将
△AOB绕点O顺时针旋转90°
（1）画出旋转后的△A′OB′；
（2）写出点B关于原点O的对称点的坐标；
（3）求出点B到点B′所经过的路径长；
（4）用直尺和圆规作出△A′OB′的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）．
第4页（共25页）19．（10分）某食品厂为了解市民对去年春节销售量较好的A、B、C、D四种不同口味饺子的
喜爱情况，在今年春节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅
统计图（尚不完整） 请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人；
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请你估计爱吃D种饺子的有 人；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状
图的方法，求他第二个吃的饺子恰好是C种饺子的概率．
20．（10分）某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，
使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足
部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使
用户数、修建用地情况如下表：
沼气池 修建费（万元/个） 可供用户数（户/个） 占地面积（m2/个）
A型 3 20 48
B型 2 3 6
政府相关部门批给该村沼气池修建用地708m2．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼
气池共需费用y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几
种；
（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．
21．（12分）已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为
边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或
第5页（共25页）下侧），连接AE、BF
（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数
量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关
系？请直接写出结论（不需要证明）；
（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、
BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）
22．（12分）如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）
两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设△COB沿x轴正方向平移（t 0＜t≤3）个单位长度时，△COB与△CDB重叠部分的
面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
考生请注意：下面的（3），（4），（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答
时只按作答的首题评分，切记哟！
（3）点P是x轴上的一个动点，过点P作直线l∥AC交抛物线与点Q，试探究：随着P点的
运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设点Q是y轴右侧抛物线上异于点B的点，过点Q做QP∥x轴交抛物线于另一点P，
过P做PH⊥x轴，垂足为H，过Q做QG⊥x轴，垂足为G，则四边形QPHG为矩形．试探
究在点Q运动的过程中矩形QPHG能否成为正方形？若能，请直接写出符合条件的点Q
的坐标；若不能，请说明理由；
（5）试探究，在y轴右侧的抛物线上是否存在一点Q，使△QDC是等腰三角形？若存在，
请直接写出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共25页）第7页（共25页）2013年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每一小题给出四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共18分）
1．【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对
称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心
对称图形，故此选项正确；
B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图
形，故此选项错误．
C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原
图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图
形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题
的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：564000＝5.64×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据方差越大，波动性越大，越不稳定进行判断．
【解答】解：∵s2
丙
＜s2
甲
＜s2
乙
＜s2
丁
＝1.58，
∴在本次测试中，成绩最稳定的是丙．
故选：C．
【点评】本题考查方差：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝ （[ x ﹣
1 2 n 1
第8页（共25页））2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反
2 n
之也成立．
4．【分析】根据两个一次函数的交点坐标是由两个函数解析式所组成的方程组的解进行解答．
【解答】解：方程组 的解为 ．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组：两个一次函数的交点坐标是由两个函数
解析式所组成的方程组的解．
5．【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
∴CD＝ BC＝2cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与 C相切．
故选：B⊙．
【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的
距离d的大小判断：
当R＞d时，直线与圆相交；当R＝d时，直线与圆相切；当R＜d时，直线与圆相离．
选考题[考生注意：6.7.8题为三选一的选择题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的
首题评分]
6．【分析】A：根据图示，可得ax2+bx+c＝0有两个不同的实数根，所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，
据此判断即可；
B：根据ax2+bx+c＝0的两个不同的实根是﹣1、3，可得 ，所以b+2a＝0，据此
判断即可；
第9页（共25页）C：首先根据二次函数的图象开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴的右边，可得
＞0，所以b＜0；最后根据二次函数与y轴的交点在y轴的下方，可得
c＜0，所以abc＞0，据此判断即可；
D：首先根据ax2+bx+c＝0的两个不同的实根是﹣1、3，可得 ，所以3a+c
＝0，然后根据a＞0，判断出8a+c＞0即可．
【解答】解：∵ax2+bx+c＝0有两个不同的实数根，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴选项A正确．
∵ax2+bx+c＝0的两个不同的实根是﹣1、3，
∴ ，
∴b+2a＝0，
∴选项B正确．
∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0；
∵ ＞0，a＞0，
∴b＜0；
∵二次函数与y轴的交点在y轴的下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴选项C正确．
∵ax2+bx+c＝0的两个不同的实根是﹣1、3，
∴ ，
∴3a+c＝0，
第10页（共25页）又∵a＞0，
∴5a＞0，
∴5a+（3a+c）＞0，
即8a+c＞0，
∴选项D错误．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确： 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当
a＜0时，①抛物线向下开口； 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a
与b同号时（即ab＞0），对称②轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．
（简称：左同右异） 常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
7．【分析】根据a、b两点③在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：a、b两点在数轴上的位置可知：﹣1＜a＜0，b＞1，
∴ab＜0，a+b＞0，故A、B错误；
∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴b﹣1＞0，a+1＞0，a﹣1＜0故C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是数轴的特点，根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解
答此题的关键．
8．【分析】 首先根据点C，D是半圆 上的三等分点，求出∠AOC的度数；然后根据圆周角
定理，①求出∠CBA的度数即可．
根据三角形的内角和定理，求出∠BEO＝90°，即可判断出OD⊥BC．
②
首先判断出E是BC的中点，然后判断出OE是△ABC的中位线，即可判断出OE＝
③
AC．
菱形的判定方法：四条边都相等的四边形是菱形，据此判断即可．
④【解答】解：如图，连接CD、AD、CO，
，
第11页（共25页）∵点C，D是半圆 上的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝180°÷3＝60°，
∴∠CBA＝∠AOC÷2＝60°÷2＝30°，
即 正确；
∵①∠BEO＝180°﹣∠BOD﹣∠CBA
＝180°﹣60°﹣30°
＝90°
∴OD⊥BC，
即 正确．
∵②OB＝OC，OD⊥BC，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ AC，
即 正确．
∵③AC⊥BC，OD⊥BC，
∴AC∥OD，
∵∠DCB＝∠BOD÷2＝60°÷2＝30°，∠CBA＝30°
∴∠DCB＝∠CBA，
∴CD∥AB，
∴四边形AODC是平行四边形，
∵∠AOC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AO＝AC，
又∵四边形AODC是平行四边形，
∴AO＝OD＝DC＝CA，
∴四边形AODC是菱形，
即 正确．
综④上，可得正确的结论有： ，一共4个．
故选：D． ①②③④
【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
第12页（共25页）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2）此题还考查了圆心角、弧、弦三者的关系，三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，
圆心角相等， 所对的弧相等， 所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余①二
项皆相等．这②源于圆的旋转不变③性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完
全重合．
（3）此题还考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
四条边都相等的四边形是菱形． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线①互
相垂直平分的四边形是菱形”）．②
二.填空题（每小题3分，共18分）
9．【分析】首先根据算术平方根的计算方法，求出 的值是多少；然后根据a0＝1（a≠0），
求出 的值是多少；最后再求和，求出算式 的值是多少即可．
【解答】解： ＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】（1）此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方
根．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0＝1
（a≠ 0）；（2）00≠1．
10．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得
此几何体为圆锥，
故答案为：圆锥．
【点评】本题主要考查了根据三视图判定几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、
俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解答此题的关键．
11．【分析】因为近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，可设出函数式，根据500
度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m可确定系数，从而求出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设y＝ ，
∵500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m，
第13页（共25页）∴500＝ ，
k＝100．
∴y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】本题考查根据实际问题列反比例函数式，关键是设出函数式，根据给的数据确定
系数，从而求出函数式．
12．【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，
由CE＝CD+DE即可得出结论．
【解答】解：由题意，易知∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，AD＝3 ，CE⊥BE，DE＝AB＝1.7米，
∴tan∠CAD＝ ，
∴CD＝ ×3 ＝3，
∴CE＝3+1.7＝4.7（米）．
即这棵树的高度为4.7米．
故答案为：4.7．
【点评】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，难度适中，熟知锐角三角函数
的定义是解答此题的关键．
13．【分析】先计算出奖金不多于100元的数量，然后根据概率公式计算奖金不多于100元的
概率．
【解答】解：所得的奖金不多于100元的概率＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以
所有可能出现的结果数．
选考题[考生请注意：14.15.16题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按
作答的首题评分]
14．【分析】首先根据题意画出图形，分别以BC，AB，AC为对角线作平行四边形，即可求得答
案．
第14页（共25页）【解答】解：如图：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标分别为：（3，2），
（﹣5，2），（1，﹣2）．
故答案为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意坐标与图形的关系．
15．【分析】观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，第7个直角三角形的直角顶
点与第6个直角三角形的直角顶点重合，然后求出一个循环组旋转过的距离，即可得解；
用2013除以3，根据商和余数的情况确定出直角顶点的坐标即可．
【解答】解：由图可知，第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同，
即每三次旋转为一个循环组依次循环，
∵一个循环组旋转过的长度为12，2×12＝24，
∴第（2013）的直角顶点为第671循环组的最后一个直角三角形的直角顶点，
12×671＝8052，
∴第（2013）的直角顶点的坐标是（8052，0）．
故答案为：（8052，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，是对图形变化规律，观察出每三次旋转为一
个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的
直角顶点重合是解题的关键，也是本题的难点．
16．【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分
线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【解答】解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
第15页（共25页）∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝2，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP′＝P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝4，
∵AP′＝P′D'，
2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝4，
∴P′D′＝ ，即DQ+PQ的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
二、解答题（17.18.19.20题每题10分，21.22题每题12分，共64分）
17．【分析】（1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经
检验即可得到分式方程的解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出a的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣3﹣2＝4﹣x，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解；
（2）原式＝[ ﹣ ]• ＝ • ＝ ，
当a＝tan60°+4sin30°＝ +2时，原式＝ ．
第16页（共25页）【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O顺时针旋转90°后的对应点A′、B′的位
置，然后顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标都是互为相反数即可求解；
（3）根据弧长公式即可得出结论；
（4）根据外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，知它是三角形三边的垂直平分线的
交点，则作其两边的垂直平分线，以交点为圆心，交点到其中一个顶点的距离为半径的圆
是三角形的外接圆．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）点B（﹣1，4）关于原点O的对称点的坐标为（1，﹣4）；
（3）∵OB＝ ＝ ，∠BOB′＝90°，
∴点B到点B′所经过的路径长为： ＝ ；
π
（4）如图所示：
第17页（共25页）【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，关于原点对称的点的坐标，旋转的性质，弧长的计算，
三角形外接圆的作法，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．【分析】（1）根据D类型的人数是240人，所占的比例是40%，据此即可求得总人数；
（2）利用总人数，减去其它各组的人数，即可求得C类的人数，据此即可完成直方图；
（3）利用总人数8000乘以对应的百分比即可求解；
（4）利用列举法可以列举出所有的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）调查的居民数有：240÷40%＝600（人），
故答案为：600；
（2）C类的人数是：600﹣180﹣60﹣240＝120（人）．
（3）爱吃D种水饺的人数是：8000×40%＝3200（人），
故答案为：3200
（4）画树形图得：
．
则P＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．【分析】（1）共需费用y＝A型所需费用+B型所需费用，列出函数关系式．
（2）根据占地面积应小于等于708m2和可供使用户至少应为264户，列出不等式组进行求
解．
（3）选出建造所需费用最少的方案，所需的总费用＝政府补助的费用+居民筹集的总费用，
若大于等于建造所需的最少费用，则能满足要求．
第18页（共25页）【解答】解：（1）y＝3x+2（20﹣x）＝x+40；
（2）由题意可得 ，
解 得x≥12，解 得x≤14，
∴①不等式组的解集②为12≤x≤14，
∵x是正整数，
∴x的取值为12，13，14，即有3种修建方案：
A型12个，B型8个； A型13个，B型7个； A型14个，B型6个；
① ② ③
（3）∵y＝x+40中，y随x的增大而增大，要使费用最少，则x＝12，
∴最少费用为y＝x+40＝52（万元），
村民每户集资700元与政府补助共计700×264+340000＝524800＞520000，
∴每户集资700元能满足所需要费用最少的修建方案．
【点评】本题综合考查一次函数和一元一次不等式组，解题的关键是根据题意列出正确的
函数关系式．
21．【分析】（1）AE+BF＝AB，可证明△CBF≌△CAD和△CDB≌△CAE分别得到AD＝BF，
BD＝AE，易得结论；
（2）BF﹣AE＝AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD＝BF，BD＝AE，易
得结论；
（3）AE﹣BF＝AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD＝BF，BD＝AE，易
得结论．
【解答】解：（1）AE+BF＝AB，如图1，
∵△ABC和△DCF是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°．
∴∠ACD＝∠BCF，
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴AD＝BF
第19页（共25页）同理：△CBD≌△CAE（SAS）
∴BD＝AE
∴AE+BF＝BD+AD＝AB；
（2）BF﹣AE＝AB，
如图2，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD＝BF，BD＝AE，
∴BF﹣AE＝AD﹣BD＝AB；
（3）AE﹣BF＝AB，
如图3，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD＝BF，BD＝AE，
∴AE﹣BF＝BD﹣AD＝AB．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，灵活运用类比思想，在变化中发现不
变是解决问题的关键．
22．【分析】（1）已知A、B的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点
第20页（共25页）D的坐标；
（2）过C作CF∥x轴交BD于F，当C点运动在CF之间时，△COB与△CDB重叠部分是
个四边形；当C点运动到F点右侧时，△COB与△CDB重叠部分是个三角形．按上述两种
情况按图形之间的和差关系进行求解；
（3）分点P在点Q的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点A、C
的坐标关系，用点P的坐标表示出点Q的坐标，然后把点Q的坐标代入抛物线解析式求
解即可；
（4）表示出PQ和BQ的长，列方程求解即可；
（5）求出D的坐标和对称轴的表达式，分为两种情况： 若以CD为底边，则QC＝QD．设
Q点坐标为（a，b），根据勾股定理求出b＝4﹣a，代入抛①物线求出a、b， 若以CD为一腰，
根据抛物线对称性得出点Q与点C关于直线x＝1对称，即可求出Q的②坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴
解得：a＝﹣1，b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b．
将B（3，0），D（1，4）代入，
得 ，解得
∴y＝﹣2x+6．
过点C作射线CF∥x轴交BD于点F，当y＝3时，得x＝ ，
∴F（ ，3）．
情况一：如图1，当0＜t≤ 时，设△COB平移到△GNM的位置，MG交BD于点H，MN交
BC于点S
则ON＝BG＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
第21页（共25页）由△BHG∽△FHM，得 ，
即 ，解得HK＝2t．
∴S阴 ＝S△MNG ﹣S△SNB ﹣S△HBG ＝ ×3×3﹣ （3﹣t）2﹣ t•2t＝﹣ t2+3t；
情况二：如图2，当 ＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于
点V．
由△IQB∽△IPF，得 ，
即 ，解得IQ＝2（3﹣t）．
∵BQ＝VQ＝3﹣t，
∴S阴 ＝ IV•BQ＝ （3﹣t）2＝ t2﹣3t+ ．
综上所述：s＝ ；
（3）存在，
∵直线l∥AC，
∴PQ∥AC且PQ＝AC，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴设点P的坐标为（x，0），
则 若点Q在x轴上方，则点Q的坐标为（x+1，3），
此①时，﹣（x+1）2+2（x+1）+3＝3，
解得x ＝﹣1（舍去），x ＝1，
1 2
所以，点Q的坐标为（2，3），
若点Q在x轴下方，则点Q的坐标为（x﹣1，﹣3），
②此时，﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）+3＝﹣3，
整理得，x2﹣4x﹣3＝0，
解得x ＝2+ ，x ＝2﹣ ，
1 2
第22页（共25页）所以，点Q的坐标为（1+ ，﹣3）或（1﹣ ，﹣3），
综上所述，点Q的坐标为（2，3）或（1+ ，﹣3）或（1﹣ ，﹣3）；
（4）存在，
点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
①∵P、Q是抛物线上一对对称点，对称轴为x＝1，
∴p（2﹣x，﹣x2+2x+3）
∵四边形QPHG为矩形，
∴当PQ＝BQ时，四边形QPHG为正方形，
∴x﹣（2﹣x）＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝ 或x＝﹣ （不合题意舍去），
当x＝ 时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5+2 +3＝2 ﹣2；
如图5所示，Q P H G 为正方形，设点Q 的坐标为（c，d），则点G 的坐标为（c，0），点
2 2 2 2 2 2
②H 的坐标为（c+d，0），点P 的坐标为（c+d，d），
2 2
∵点Q 和点P 在抛物线上，
2 2
∴将点Q （c，d），点P （c+d，d）代入抛物线解析式得 ，
2 2
解得 ．
所以Q 的坐标为（2+ ，﹣2﹣2 ）
2
∴当Q的坐标为（ ，2 ﹣2）或（2+ ，﹣2﹣2 ）时，四边形QPHG为正方形；
（5）存在．
由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1，
若以CD为底边，则PC＝PD．设P点坐标为（a，b），
①由勾股定理，得：a2+（3﹣b）2＝（a﹣1）2+（4﹣b）2，
即b＝4﹣a．
又点P（a，b）在抛物线上，b＝﹣a2+2a+3，
则 4﹣a＝﹣a2+2a+3．整理，得a2﹣3a+1＝0，
解，得a＝存在．
第23页（共25页）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1，
若以CD为底边，则PC＝PD．设P点坐标为（a，b），
①由勾股定理，得：a2+（3﹣b）2＝（a﹣1）2+（4﹣b）2，
即b＝4﹣a．
又点P（a，b）在抛物线上，b＝﹣a2+2a+3，
则 4﹣a＝﹣a2+2a+3．整理，得a2﹣3a+1＝0，
解得a＝ ＞0或a＝
则b＝4﹣ ＝ ，
∴Q（ ， ），Q（ ， ）
若以CD为一腰，因点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关
②于直线x＝1对称，
此时点P坐标为（2，3），
综上所述，符合条件的点Q坐标为Q（ ， ）或（ ， ）或（2，3）．
第24页（共25页）【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的顶点坐标，勾股定理，三
角形相似的判定与性质，三角形面积计算，平行四边形的对边平行且相等的性质，正方形
的判定和性质，等腰三角形的判定等知识点的运用，培养学生运用性质进行计算的能力，
用的数学思想是分类讨论思想，题目综合性比较强，有一定的难度．
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日期：2020/9/14 12:44:22；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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