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2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣2020 B．﹣ C． D．2020
2．（3分）如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．（a3）2＝a5
C．（a+1）2＝a2+1 D．a•a＝a2
4．（3分）我市某一周内每天的最高气温如下表所示：
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．26.5和28 B．27和28 C．1.5和3 D．2和3
5．（3分）如图，直线l ∥l ，点A在直线l 上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线
1 2 1
l ，l 于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（ ）
1 2
第1页（共29页）A．36° B．54° C．72° D．73°
6．（3分）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240
个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个
零件，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图， O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（ ）
⊙
A．30° B．25° C．15° D．10°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，A ，…在x轴正半轴上，点B ，B ，B ，…
1 2 3 4 1 2 3
在直线y＝ x（x≥0）上，若A（1，0），且△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
形，则线段B B 的长度为（ ）
2019 2020
A．22021 B．22020 C．22019 D．22018
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
第2页（共29页）9．（3分）据《光明日报》报道：截至2020年5月31日，全国参与新冠肺炎疫情防控的志愿者
约为8810000，将数据8810000科学记数法表示为 ．
10．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝ ．
11．（3分）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球
搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20
次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 ．
12．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是
．
13．（3分）不等式组 的解集为 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F．若
△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，6），B（﹣2，2），在x轴上取两点C，D（点C
在点D左侧），且始终保持CD＝1，线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值最小时，点C
的坐标为 ．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，AF
与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论： △ACF≌△CDE； CG2＝
① ②
GH•BG； 若DF＝2CF，则CE＝7GF； S四边形ABCG ＝ BG2．其中正确的结论有
③ ④
．（只填序号即可）
第3页（共29页）三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：（x﹣1﹣ ）÷ ，其中x＝ ﹣2．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE
＝CF，求证：CB＝CD．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19．（10分）为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天
睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，
C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
注 ： 学 生 的 平 均 每 天 睡 眠 时 间 不 低 于 6 时 且 不 高 于 10 时 ．
第4页（共29页）请回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；
（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时
间低于7时．
20．（10分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有
两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．
酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品
牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制
品的概率．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．（10分）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，
灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知
∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：
≈1.414， ≈1.732， ≈2.449）
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点
A，点B，与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC
＝3 ．
（1）求反比例函数的解析式；
第5页（共29页）（2）求△CDE的面积．
六、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，AB是 O的直径，点C，点D在 O上， ，AD与BC相交于点E，AF
与 O相切于点A，与⊙BC延长线相交于点F．⊙
（1⊙）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF＝ ，求 O的半径．
⊙
24．（10分）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场
调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数
据如下表所示：
每件售价x … 15 16 17 18 …
（元）
每天销售量 … 150 140 130 120 …
y（件）
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利
润是多少元？
第6页（共29页）七、解答题（满分12分）
25．（12分）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，
交直线CD于点F．
（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三
角形CFH，连接EH．
如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是 ，位置关系是
①；
如图2，若点E在线段BC的延长线上， 中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；
②如果不成立，请说明理由； ①
（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，
连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，
0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出
第7页（共29页）点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将
△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC
面积的 时，请直接写出线段AM的长．
第8页（共29页）2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．【分析】﹣ 的绝对值等于它的相反数，据此求解即可．
【解答】解：|﹣ |＝ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确： 当a是正有
理数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反①数﹣a； 当
a是零时，a的绝对值是零． ② ③
2．【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象
是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考
题型．
3．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2a2，不符合题意；
B、原式＝a6，不符合题意；
C、原式＝a2+2a+1，不符合题意；
D、原式＝a2，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式
及运算法则是解本题的关键．
4．【分析】根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可．
【解答】解：共7天，中位数应该是排序后的第4天，
则中位数为：27，
28℃的有3天，最多，
第9页（共29页）所以众数为：28．
故选：B．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将
一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间
位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数
就是这组数据的中位数．
5．【分析】根据平行线的性质得出∠2的度数，再由作图可知AC＝AB，根据等边对等角得出
∠ACB的度数，最后用180°减去∠2与∠ACB即可得到结果．
【解答】解：∵l ∥l ，∠ABC＝54°，
1 2
∴∠2＝∠ABC＝54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 、l 于B、C两点，
1 2
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝54°，
∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，
∴∠1＝72°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等边对等角，解题的关键是要根据作图过程得到AC＝
AB．
6．【分析】设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（x+6）个，根据甲加工240个零件所用
的时间与乙加工300个零件所用的时间相等，列方程．
【解答】解：设甲每小时加工x个零件，根据题意可得：
＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，根据题意
找到合适的等量关系．
第10页（共29页）7．【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定
理得出∠A．
【解答】解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC＝2，
∵OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝ ∠BOC＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅
助线．
8．【分析】设△B A A 的边长为a ，根据直线的解析式能的得出∠A OB ＝30°，再结合等边
n n n+1 n n n
三角形的性质及外角的性质即可得出∠OB A ＝30°，∠OB A ＝90°，从而得出B B ＝
n n n n+1 n n+1
a ，由点A 的坐标为（1，0），得到a ＝1，a ＝1+1＝2，a ＝1+a +a ＝4，a ＝1+a +a +a
n 1 1 2 3 1 2 4 1 2 3
＝8，…，a ＝2n﹣1．即可求得B B ＝ a ＝ ×22018＝22018 ．
n 2019 2020 2019
【解答】解：设△B A A 的边长为a ，
n n n+1 n
∵点B ，B ，B ，…是直线y＝ x上的第一象限内的点，
1 2 3
∴∠A OB ＝30°，
n n
又∵△B A A 为等边三角形，
n n n+1
∴∠B A A ＝60°，
n n n+1
∴∠OB A ＝30°，∠OB A ＝90°，
n n n n+1
∴B B ＝OB ＝ a ，
n n+1 n n
∵点A 的坐标为（1，0），
1
第11页（共29页）∴a ＝1，a ＝1+1＝2，a ＝1+a +a ＝4，a ＝1+a +a +a ＝8，…，
1 2 3 1 2 4 1 2 3
∴a ＝2n﹣1．
n
∴B B ＝ a ＝ ×22018＝22018 ，
2019 2020 2019
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解直角
三角形等，解题的关键是找出规律B B ＝OB ＝ a ，本题属于基础题，难度不大，解决
n n+1 n n
该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：8810000＝8.81×106，
故答案为：8.81×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2b+ab2，
＝a（a2﹣2ab+b2），
＝a（a﹣b）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的
关键，分解因式一定要彻底．
11．【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.2，然后根据概率公式构建方
程求解即可．
【解答】解：设白球有x个，
根据题意得： ＝0.2，
解得：x＝24，
经检验：x＝24是分式方程的解，
即白球有24个，
故答案为24个．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位
置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋
第12页（共29页）势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，
随试验次数的增多，值越来越精确．
12．【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k＝0，
解得k＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有
如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数
根；当△＜0时，方程无实数根．
13．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：解不能等式2x﹣1≤3，得：x≤2，
解不等式2﹣x＜1，得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故答案为：1＜x≤2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可
以观察不等式的解，大小小大取中间．
14．【分析】根据 ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；
然后证明△AB▱F∽△ECF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1
求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE ＝S△ABF ﹣S△CEF ＝3．
【解答】解：∵在 ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，
∴EC是△ABF的中▱位线；
∵∠B＝∠DCF，∠F＝∠F（公共角），
∴△ABF∽△ECF，
∵ ，
∴S△ABF ：S△CEF ＝1：4；
又∵△ECF的面积为1，
∴S△ABF ＝4，
∴S四边形ABCE ＝S△ABF ﹣S△CEF ＝3．
故答案为：3．
第13页（共29页）【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质；解得此题的关键
是根据平行四边形的性质及三角形的中位线的判定证明EC是△ABF的中位线，从而求
得△ABF与△CEF的相似比．
15．【分析】把A（3，6）向左平移1得A′（2，6），作点B关于x轴的对称点B′，连接B′A′
交x轴于C，在x轴上取点D（点C在点D左侧），使CD＝1，连接AD，则AD+BC的值最
小，求出直线B′A′的解析式为y＝2x+2，解方程即可得到结论．
【解答】解：把A（3，6）向左平移1得A′（2，6），
作点B关于x轴的对称点B′，连接B′A′交x轴于C，在x轴上取点D（点C在点D左
侧），使CD＝1，连接AD，
则AD+BC的值最小，
∵B（﹣2，2），
∴B′（﹣2，﹣2），
设直线B′A′的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线B′A′的解析式为y＝2x+2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的
解析式，正确的作出图形是解题的关键．
16．【分析】根据等边三角形的性质证明△ACF≌△CDE，可判断 ；过点F作FP∥AD，交
CE于P点，利用平行线分线段成比例可判断 ；过点B作BM⊥①AG于M，BN⊥GC于N，
第14页（共③29页）得到点A、B、C、G四点共圆，从而证明△ABM≌△CBN，得到S四边形ABCG ＝S四边形BMGN ，再
利用S四边形BMGN ＝2S△BMG 求出结果即可判断 ；证明△BCH∽△BGC，得到 ，推
④
出GH•BG＝BG2﹣BC2，得出若等式成立，则∠BCG＝90°，根据题意此条件未必成立可判
断 ．
【②解答】解：∵ABCD为菱形，
∴AD＝CD，
∵AE＝DF，
∴DE＝CF，
∵∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠D＝∠ACD＝60°，AC＝CD，
∴△ACF≌△CDE（SAS），故 正确；
过点F作FP∥AD，交CE于P点①．
∵DF＝2CF，
∴FP：DE＝CF：CD＝1：3，
∵DE＝CF，AD＝CD，
∴AE＝2DE，
∴FP：AE＝1：6＝FG：AG，
∴AG＝6FG，
∴CE＝AF＝7GF，故 正确；
过点B作BM⊥AG于③M，BN⊥GC于N，
∵∠AGE＝∠ACG+∠CAF＝∠ACG+∠GCF＝60°＝∠ABC，
即∠AGC+∠ABC＝180°，
∴点A、B、C、G四点共圆，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∠CGB＝∠CAB＝60°，
∴∠AGB＝∠CGB＝60°，
∴BM＝BN，又AB＝BC，
∴△ABM≌△CBN（HL），
∴S四边形ABCG ＝S四边形BMGN ，
∵∠BGM＝60°，
第15页（共29页）∴GM＝ BG，BM＝ BG，
∴S四边形BMGN ＝2S△BMG ＝2× × ＝ BG2，故 正确；
④
∵∠CGB＝∠ACB＝60°，∠CBG＝∠HBC，
∴△BCH∽△BGC，
∴ ，
则BG•BH＝BC2，
则BG•（BG﹣GH）＝BC2，
则BG2﹣BG•GH＝BC2，
则GH•BG＝BG2﹣BC2，
当∠BCG＝90°时，BG2﹣BC2＝CG2，此时GH•BG＝CG2，
而题中∠BCG未必等于90°，故 不成立，
故正确的结论有 ， ②
故答案为： ①③．④
①③④
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作
出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面积转化为两个全等三角形的面积是解题
的关键．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将x的值代入进行计算即可
【解答】解：（x﹣1﹣ ）÷ ，
＝（ ﹣ ） ，
＝ ，
第16页（共29页）＝ ，
当x＝ ﹣2时，原式＝ ＝ ＝ ＝1﹣2 ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，并
注意将结果分母有理化．
18．【分析】先证明△AEC≌△AFC，根据全等三角形的性质得出∠CAE＝∠CAF，利用角平分
线的性质解答即可．
【解答】证明：连接AC，
在△AEC与△AFC中
，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠CAE＝∠CAF，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴CB＝CD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和
性质，属于中考常考题型．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19．【分析】（1）根据D组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
（2）根据频数分布直方图中的数据和（1）中的结果，可以得到C组的人数，从而可以将频
数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；
（4）根据频数分布直方图中的数据，可以计算该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7
时．
【解答】解：（1）本次共调查了17÷34%＝50名学生，
第17页（共29页）故答案为：50；
（2）C组学生有50﹣5﹣18﹣17＝10（名），
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是：360°× ＝72°，
即扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是72°；
（4）1500× ＝150（名），
答：该校有150名学生平均每天睡眠时间低于7时．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确
题意，利用数形结合的思想解答．
20．【分析】（1）用纯牛奶的个数除以总牛奶的个数即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两人选购到同一种类奶制品的情况
数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个
种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，
∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是： ；
故答案为： ；
（2）根据题意画树状图如下：
第18页（共29页）共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，
则两人选购到同一种类奶制品的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到
的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．【分析】如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结
论．
【解答】解：如图2，过C作CD⊥MN于D，
则∠CDB＝90°，
∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），
∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40× ＝20 （cm），
∵∠ACB＝15°，
∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，
∴BC＝ CD＝20 ≈49（cm），
答：支架BC的长约为49cm．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于
中等题型．
22．【分析】（1）根据一次函数表达式推出△CAE为等腰直角三角形，得到AE＝CE，再由AC
的长求出AE和CE，再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值；
第19页（共29页）（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用 乘以CE乘以C、D两
点横坐标之差求出△CDE的面积．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴∠CAE＝45°，即△CAE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
∵AC＝ ，即 ，
解得：AE＝CE＝3，
在y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴OE＝2，CE＝3，
∴C（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数表达式为： ，
（2）联立： ，
解得：x＝2或﹣3，
当x＝﹣3时，y＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣2），
∴S△CDE ＝ ×3×[2﹣（﹣3）]＝ ．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，解一元二次方程，
三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图形作答．
六、解答题（每小题10分，共20分）
23．【分析】（1）由切线的性质得出∠FAB＝90°，由圆周角定理得出∠CAE＝∠D，∠D＝∠B，
证得∠F＝∠CEA，则可得出结论；
（2）由锐角三角函数的定义得出 ，求出AE＝10，由勾股定理求出AC，则可求
出AB的长．
【解答】（1）证明：∵AF与 O相切于点A，
⊙
第20页（共29页）∴FA⊥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠B＝90°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵ ＝ ，
∴∠CAE＝∠D，
∴∠D+∠CEA＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠B+∠CEA＝90°，
∴∠F＝∠CEA，
∴AE＝AF．
（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴CF＝CE＝ EF＝6，
∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，
∴sin∠ABF＝sin∠CAE＝ ，
∴ ，
∴AE＝10，
∴AC＝ ＝ ＝8，
∵sin∠ABC＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝ ，
∴OA＝ AB＝ ．
即 O的半径为 ．
⊙
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判
定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
第21页（共29页）24．【分析】（1）根据表格中数据利用待定系数法求解；
（2）利用利润＝销售量×（售价﹣成本）即可表示出w；
（3）根据（2）中解析式求出当x为何值，二次函数取最大值即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
由表可知：当x＝15时，y＝150，当x＝16时，y＝140，
则 ，解得： ，
∴y关于x的函数解析式为：y＝﹣10x+300；
（2）由题意可得：
w＝（﹣10x+300）（x﹣11）＝﹣10x2+410x﹣3300，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+410x﹣3300；
（3）∵对称轴x＝ ＝20.5，a＝﹣10＜0，x是整数，
∴x＝20或21时，w有最大值，
当x＝20或21时，代入，可得：w＝900，
∴该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最
大利润是900元．
【点评】本题考查了求一次函数表达式，二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题中所
含的数量关系，正确列出相应表达式．
七、解答题（满分12分）
25．【分析】（1） 证明△ABE≌△BCF，得到BE＝CF，AE＝BF，再证明四边形BEHF为平行
四边形，从而①可得结果；
根据（1）中同样的证明方法求证即可；
（②2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE＝x，证明
△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF＝ ，求出最值即可得
到GM的最小值．
【解答】解：（1） ∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝①∠BCD＝90°，即∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，又AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
第22页（共29页）∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH，
故答案为：相等；垂直；
成立，理由是：
②当点E在线段BC的延长线上时，
同理可得：△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH；
（2）∵∠EGF＝∠BCD＝90°，
∴C、E、G、F四点共圆，
∵四边形BEHF是平行四边形，M为BH中点，
∴M也是EF中点，
∴M是四边形GECF外接圆圆心，
则GM的最小值为圆M半径的最小值，
∵AB＝3，BC＝2，
设BE＝x，则CE＝2﹣x，
同（1）可得：∠CBF＝∠BAE，
又∵∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴ ，即 ，
第23页（共29页）∴CF＝ ，
∴EF＝ ＝ ，
设y＝ ，
当x＝ 时，y取最小值 ，
∴EF的最小值为 ，
故GM的最小值为 ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的
性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题
的关键．
八、解答题（满分14分）
26．【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用待定系数法求解；
（2）在x轴正半轴上取点E，使OB＝OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，构造出∠PBC＝
∠BDE，分点P在第三象限时，点P在x轴上方时，点P在第四象限时，共三种情况分别求
解；
（3）设EF与AD交于点N，分点F在直线AC上方和点F在直线AC下方时两种情况，利
用题中所给面积关系和中线的性质可得MN＝AN，FN＝NE，从而证明四边形FMEA为平
行四边形，继而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），
第24页（共29页）则 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）存在，理由是：
在x轴正半轴上取点E，使OB＝OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，
在y＝﹣x2+x+2中，
令y＝0，解得：x＝2或﹣1，
∴点B坐标为（﹣1，0），
∴点E坐标为（1，0），
可知：点B和点E关于y轴对称，
∴∠BDO＝∠EDO，即∠BDE＝2∠BDO，
∵D（0，2），
∴DE＝ ＝ ＝BD，
在△BDE中，有 ×BE×OD＝ ×BD×EF，
即2×2＝ ×EF，解得：EF＝ ，
∴DF＝ ，
∴tan∠BDE＝ ，
若∠PBC＝2∠BDO，
则∠PBC＝∠BDE，
∵BD＝DE＝ ，BE＝2，
则BD2+DE2＞BE2，
∴∠BDE为锐角，
当点P在第三象限时，
∠PBC为钝角，不符合；
当点P在x轴上方时，
∵∠PBC＝∠BDE，设点P坐标为（c，﹣c2+c+2），
过点P作x轴的垂线，垂足为G，
则BG＝c+1，PG＝﹣c2+c+2，
第25页（共29页）∴tan∠PBC＝ ＝ ，
解得：c＝ ，
∴﹣c2+c+2＝ ，
∴点P的坐标为（ ， ）；
当点P在第四象限时，
同理可得：PG＝c2﹣c﹣2，BG＝c+1，
tan∠PBC＝ ，
解得：c＝ ，
∴ ，
∴点P的坐标为（ ， ），
综上：点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
第26页（共29页）（3）设EF与AD交于点N，
∵A（﹣2，﹣4），D（0，2），设直线AD表达式为y＝mx+n，
则 ，解得： ，
∴直线AD表达式为y＝3x+2，
设点M的坐标为（s，3s+2），
∵A（﹣2，﹣4），C（2，0），设直线AC表达式为y＝m x+n ，
1 1
则 ，解得： ，
∴直线AC表达式为y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴点E坐标为（0，﹣2），
可得：点E是线段AC中点，
∴△AME和△CME的面积相等，
由于折叠，
∴△CME≌△FME，即S△CME ＝S△FME ，
由题意可得：
当点F在直线AC上方时，
∴S△MNE ＝ S△AMC ＝ S△AME ＝ S△FME ，
即S△MNE ＝S△ANE ＝S△MNF ，
第27页（共29页）∴MN＝AN，FN＝NE，
∴四边形FMEA为平行四边形，
∴CM＝FM＝AE＝ AC＝ ，
∵M（s，3s+2），
∴ ，
解得：s＝ 或0（舍），
∴M（ ， ），
∴AM＝ ，
当点F在直线AC下方时，如图，
同理可得：四边形AFEM为平行四边形，
∴AM＝EF，
由于折叠可得：CE＝EF，
∴AM＝EF＝CE＝ ，
第28页（共29页）综上：AM的长度为 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图象和性质，折叠问题，
平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能
力要求较高．
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日期：2020/9/3 10:59:22；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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