文档内容
2017 年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣4
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）函数y=√x+2中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣2
4．（3分）一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（m+1，2﹣m）在第二象限，则m的取
值范围为（ ）
A．m＜﹣1 B．m＜2 C．m＞2 D．﹣1＜m＜2
6．（3分）某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的 3倍比绘画小组的人
数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘
画小组各有多少人？若设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组
为（ ）
{& y-3x=15 {& y-3x=15 {&3x- y=15 {&3x- y=15
A． B． C． D．
&x-2y=5 &2y-x=5 &x-2y=5 &2y-x=5
5 1-x
7．（3分）分式方程 = ﹣2的解为（ ）
x-2 2-x
A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．无解
8．（3分）如图，在矩形 ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为
点 F，连接 DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；② DF=DC；
第1页（共34页）√2
③S =4S ；④tan∠CAD= ．其中正确结论的个数是（ ）
△DCF △DEF 2
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为
．
10．（3分）分解因式2x2y﹣8y的结果是 ．
11．（3分）有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为 1，﹣√2
，0，π，﹣3，若将这5张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张
卡片正面上的数字为无理数的概率是 ．
1
12．（3分）如图，在口ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长
2
为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，
F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，则∠BAF等于 ．
13．（3 分）若一个圆锥的底面圆半径为 1cm，其侧面展开图的圆心角为
120°，则圆锥的母线长为 cm．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点
A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在
点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为 ．
第2页（共34页）15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶
k
点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S =4，反比例函数y= （x＞
△ADF x
0）的图象经过点E，则k= ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC边于点
E，且AE=4，则BE•DE= ．
三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）
1 x2+2x+1
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x=√2﹣1．
x+2 2x+4
第3页（共34页）18．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线
AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．
四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学
生，对学生每天的课外阅读时间x（单位：min）进行分组整理，并绘制了如图
所示的不完整的统计图表，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取 名学生．
（2）统计表中a= ，b= ．
（3）将频数分布直方图补充完整．
（4）若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．
课外阅读时间x/min 频数/人 频率
0≤x＜15 6 0.1
15≤x＜30 12 0.2
30≤x＜45 a 0.25
45≤x＜60 18 b
60≤x＜75 9 0.15
第4页（共34页）20．（10分）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有 5
名学生（3名男生，2名女生）获奖．
（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰
好是男生的概率为 ．
（2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用
画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．
五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
21．（10分）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出
发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的
北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．
参考数据：√3≈1.73）
22．（10 分）如图，△ACE，△ACD 均为直角三角形，∠ACE=90°，
第5页（共34页）∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与
AC，AE分别交于点B和点F．
（1）求证：∠ADF=∠EAC．
2
（2）若PC= PA，PF=1，求AF的长．
3
六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130
元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这
款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前
一天降 1 元，通过市场调查发现，该时装单价每降 1 元，每天销售量增加 5
件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？
（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一
天的利润最大，最大利润是多少．
第6页（共34页）3
24．（10分）如图，一次函数y= x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，
4
∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴
于点E．
（1）求直线CE的解析式；
（2）在线段 AB 上有一动点 P（不与点 A，B 重合），过点 P 分别作 PM⊥x
轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存
在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
七、解答题（本大题共1小题，共12分）
25．（12分）如图，∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点 C分
别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC=4√2，点P为线段BE上的
一点（点 P 不与点 B、E 重合），连接 CP，以 CP 为直角边，点 P 为直角顶
点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧．
CP CE
（1）求证： = ；
CD CB
（2）连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
第7页（共34页）八、解答题（本大题共1小题，共14分）
1 3
26．（14分）如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于A、B两点（点A在点
2 2
B的左侧），与y轴交于点C．
（1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；
（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S =S ，求∠APB的度
△PBC △ABC
数；
（3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴
上一点，是否存在这样的点 E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共34页）2017 年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣4
【考点】18：有理数大小比较．
【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜0，
∴比﹣3小的数是﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记0大于负数，负数比较大
小绝对值大的反而小．
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】从左面观察结合体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线．
【解答】解：图中几何体的左视图如图所示：
故选：C．
【点评】本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．
第9页（共34页）3．（3分）函数y=√x+2中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣2
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由x+2≥0可得x≥﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题
的关键．
4．（3分）一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】W1：算术平均数．
【分析】根据平均数的定义列出方程，解方程可得答案．
2+4+3+x+4
【解答】解：根据题意，得： =3，
5
解得：x=2，
故选：B
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数的定义．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（m+1，2﹣m）在第二象限，则m的取值范围为（
）
A．m＜﹣1 B．m＜2 C．m＞2 D．﹣1＜m＜2
【考点】CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标．
【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正得出关于m的不等式组，解之可
得．
{&m+1＜0
【解答】解：根据题意，得： ，
&2-m＞0
解得m＜﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据点的坐标特点列出
关于m的不等式组．
6．（3分）某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的 3倍比绘画小组的人数多15
第10页（共34页）人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少
人？若设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为（ ）
{& y-3x=15 {& y-3x=15 {&3x- y=15 {&3x- y=15
A． B． C． D．
&x-2y=5 &2y-x=5 &x-2y=5 &2y-x=5
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】根据题意可得等量关系：书法小组人数×3﹣绘画小组的人数=15；绘画小组人数
×2﹣书法小组的人数=5，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：若设书法小组有x人，绘画小组有y人，由题意得：
{&3x- y=15
，
&2y-x=5
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出
题目中的等量关系．
5 1-x
7．（3分）分式方程 = ﹣2的解为（ ）
x-2 2-x
A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．无解
【考点】B3：解分式方程．
【分析】本题需先根据解分式方程的步骤，先乘以最简公分母，再去掉分母，即可求出x
的值，再进行检验即可求出答案．
【解答】解：两边同时乘以（x﹣2）得：5=（x﹣1）﹣2（x﹣2），
解得：x=﹣2，
检验：当x=﹣2时，x﹣2≠0，
∴x=﹣2是原方程的根．
故选B．
【点评】本题主要考查了解分式方程，在解题时要注意把分式方程转化为整式方程进行解
答是本题的关键．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接
DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF=DC；③S =4S ；④tan∠CAD=
△DCF △DEF
√2
．其中正确结论的个数是（ ）
2
第11页（共34页）A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；
1
②根据已知条件得到四边形BMDE是平行四边形，求得BM=DE= BC，根据线段垂直平
2
分线的性质得到DM垂直平分CF，于是得到结论，
③根据三角形的面积公式即可得到结论；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，S =4S
△DCF △DEF
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
②∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
1
∴BM=DE= BC，
2
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故②正确；
③∵点E是AD边的中点，
1
∴S = S ，
△DEF 2 △ADF
∵△AEF∽△CBA，
第12页（共34页）1
∴AF：CF=AE：BC= ，
2
∴S =2S =4S ，
△CDF △ADF △DEF
故③正确；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，
b 2a
由△BAE∽△ADC，有 = ，即b=√2a，
a b
CD b √2
∴tan∠CAD= = = ．故④正确；
AD 2a 2
故选A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解
直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：
相似三角形的对应边成比例．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为 6. 7 × 1 0 6
．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6 700 000=6.7×106，
故答案为：6.7×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）分解因式2x2y﹣8y的结果是 2 y （ x + 2 ）（ x﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
第13页（共34页）【专题】11 ：计算题；44 ：因式分解．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=2y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2y（x+2）（x﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
11．（3分）有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为1，﹣√2，0，π，﹣
3，若将这5张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为
2
无理数的概率是 ．
5
【考点】X4：概率公式；26：无理数．
【分析】根据所有等可能的结果数有5种，其中任取一张，这张卡片上的数字为无理数的
结果有2种，根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵在1，﹣√2，0，π，﹣3中，无理数有﹣√2，π，共2个，
2
∴这张卡片正面上的数字为无理数的概率是 ；
5
2
故答案为： ．
5
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
m
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
1
12．（3分）如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作
2
弧，两弧相交于 M，N 两点，作直线 MN，分别交 AD，BC 于点 E，F，连接 AF，
∠B=50°，∠DAC=30°，则∠BAF等于 70 ° ．
第14页（共34页）【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】根据∠BAF=∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF，想办法求出∠BAD、∠CAD、∠CAF即
可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠B=130°，∠ACF=∠CAD=30°，
由作图痕迹可知EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF=30°，
∴∠BAF=∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF=70°．
故答案为70°．
【点评】本题考查基本作图、线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
13．（3分）若一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的
母线长为 3 cm．
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．
120⋅π⋅l
【解答】解：设母线长为l，则 =2π×1
180
解得：l=3．
第15页（共34页）故答案为：3．
【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决
本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋
转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，
27
则四边形AEDB的面积为 ．
2
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公
式解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AD=AB=5，
∴CD=AD﹣AC=1，
1 1 27
∴四边形AEDB的面积为2× ×4×3+ ×1×3= ，
2 2 2
27
故答案为： ．
2
【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性
质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x
第16页（共34页）k
轴上，顶点C，D在y轴上，且S =4，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点E，则
△ADF x
k= 8 ．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
【分析】设正方形 ABOC 和正方形 DOFE 的边长分别是 m、n，则 AB=OB=m，
DE=EF=OF=n，BF=OB+OF=m+n，
然后根据S =S +S ﹣S =4，得到关于n的方程，解方程求得n的值，最后
△ADF 梯形ABOD △DOF △ABF
根据系数k的几何意义求得即可．
【解答】解：设正方形 ABOC 和正方形 DOFE 的边长分别是 m、n，则 AB=OB=m，
DE=EF=OF=n，
∴BF=OB+OF=m+n，
1 1 1
∴S =S +S ﹣S = m（m+n）+ n2﹣ m（m+n）=4，
△ADF 梯形ABOD △DOF △ABF 2 2 2
∴n2=8，
k
∵点E（n．n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
x
∴k=n2=8，
故答案为8．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，根据面积得出方程是
解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC边于点 E，且
AE=4，则BE•DE= 2 0 ．
第17页（共34页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质．
【专题】17 ：推理填空题．
【分析】根据题意可以证明△FEB∽△DEC，然后根据相似三角形对应边的比相等，即可求
得BE•DE的值，本题得以解决．
【解答】解：延长CA到F，使得AF=AB，连接BF，
1
则∠F=∠ABF= ∠BAC，
2
∵∠BAC=2∠BDC，
∴∠F=∠BDC，
∵∠FEB=∠DEC，
∴△FEB∽△DEC，
BE FE
∴ = ，
CE DE
∵AE=4，AB=AC=6，
∴EF=10，CE=2，
BE 10
∴ = ，
2 DE
∴BE•DE=20，
故答案为：20．
第18页（共34页）【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确
题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）
1 x2+2x+1
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x=√2﹣1．
x+2 2x+4
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再将x的值代入即可解答本题．
1 x2+2x+1 x+2-1 2(x+2) 2(x+1) 2
【解答】解：（1﹣ ）÷ = ⋅ = = ，
x+2 2x+4 x+2 (x+1) 2 (x+1) 2 x+1
2
当x=√2﹣1时，原式= =√2．
√2-1+1
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分
别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由平行四边形的性质，结合角平分线的定义可证得 AE∥CF，结合AF∥CE，
可证得结论；
（2）由条件可证得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性质可求得DG与AG的关系，结
合条件可求得AG的长，从而可求得答案．
【解答】（1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
第19页（共34页）∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BCG=∠CGD=∠HAD，
∴AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：
由（1）可知∠BCF=∠DCF=∠F，
∴BF=BC=AD=8，
∵AB=CD=5，
∴AF=BF﹣AB=3，
∵BF∥DE，
∴∠DCG=∠F，∠D=∠FAG，
∴△DCG∽△AFG，
DG CD 5
∴ = = ，
AG FA 3
5
∴DG= AG，
3
8
∴AD=AG+DG= AG=8，
3
∴AG=3，
∴AF+AG=3+3=6．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对边平行且相等是解
题的关键，注意相似三角形的应用．
四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每
天的课外阅读时间x（单位：min）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的统计图
表，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取 6 0 名学生．
（2）统计表中a= 1 5 ，b= 0. 3 ．
（3）将频数分布直方图补充完整．
（4）若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．
第20页（共34页）课外阅读时间x/min 频数/人 频率
0≤x＜15 6 0.1
15≤x＜30 12 0.2
30≤x＜45 a 0.25
45≤x＜60 18 b
60≤x＜75 9 0.15
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
【分析】（1）根据0≤x＜15min阶段的频数和频率求出总数即可；
（2）根据题意列出算式a=60×0.25，b=18÷60，求出即可；
（3）根据频数是15画出即可；
（4）根据题意列出算式，再求出即可．
【解答】解：（1）6÷0.1=60，
即本次调查共抽取60名学生，
故答案为：60；
（2）a=60×0.25=15，b=18÷60=0.3，
故答案为：15，0.3；
（3）如图所示： ；
18+9
（4）1200× =540，
60
答：若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有540人．
【点评】本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表等知识点，能根据题
意和图形列出算式是解此题的关键．
第21页（共34页）20．（10分）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有 5名学生（3
名男生，2名女生）获奖．
（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的
3
概率为 ．
5
（2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法
或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）根据概率公式用男生人数除以总人数即可得；
（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果
数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）所有等可能结果共有5种，其中男生有3种，
3
∴恰好是男生的概率为 ，
5
3
故答案为： ；
5
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，
12 3
所以恰好选出1名男生和1名女生的概率= = ．
20 5
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．
五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
21．（10分）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东
40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求
观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：√3≈1.73）
第22页（共34页）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
1
【分析】过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB= AB=65m，AD=√3BD=65√3m．
2
再解Rt△ADC，得出CD=AD=65√3m，根据BC=BD+CD即可求解．
【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D．
根据题意，得∠ABC=40°+20°=60°，AB=130m．
在Rt△ADB中，∵∠DAB=30°，
1 1
∴DB= AB= ×130=65m，AD=√3BD=65√3m．
2 2
∵∠BAC=180°﹣65°﹣40°=75°，
∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣75°=45°．
AD
在Rt△ADC中，∵tanC= =1，
CD
∴CD=AD=65√3m，
∴BC=BD+CD=65+65√3≈177.5m．
故观测点B与建筑物C之间的距离约为177.5m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转
化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
22．（10分）如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与
CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．
第23页（共34页）（1）求证：∠ADF=∠EAC．
2
（2）若PC= PA，PF=1，求AF的长．
3
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理．
【专题】55C：与圆有关的计算．
【分析】（1）根据圆周角定理，等角的余角相等可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和三角形相似的知识可以求得AF的长．
【解答】（1）证明：∵∠ADC=90°，∠ACE=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，∠EAC+∠CEF=90°，
∵∠FDC=∠CEF，
∴∠ADF=∠EAC；
（2）连接FC，
∵CD是圆O的直径，
∴∠DFC=90°，
∴∠FDC+∠FCD=90°，
∵∠ADF+∠FDC=90°，∠ADF=∠EAC，
∴∠FCD=∠EAC，
即∠FCP=CAP，
∵∠FPC=∠CPA，
∴△FPC∽△CPA，
PF PC
∴ = ，
PC PA
2
∵PC= PA，PF=1，
3
第24页（共34页）2
PA
1 3
∴ = ，
2 PA
PA
3
9
解得，PA= ，
4
9 5
∴AF=PA﹣PF= -1= ，
4 4
5
即AF= ．
4
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天
销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天
降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降 1元，通过市场调查发
现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量
为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？
（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最
大，最大利润是多少．
【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；
（2）表示出网络经销商所获得的利润=6300，解方程即可求出x的值；
（3）根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数
的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的．
【解答】解：（1）由题意可知y=5x+30；
（2）根据题意可得（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）=6300，
即x2﹣60x+864=0，
解得：x=24或36（舍）
∴在这30天内，第24天的利润是6300元．
第25页（共34页）（3）根据题意可得：w=（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30），
=﹣5x2+300x+1980，
=﹣5（x﹣30）2+6480，
∵a=﹣5＜0，
∴函数有最大值，
∴当x=30时，w有最大值为6480元，
∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关
键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判
断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
3
24．（10分）如图，一次函数y= x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平
4
分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y
轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定
出点C（﹣3，0），
再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即
可；
3 3 25
（2）设P（﹣m，﹣ m+6），∴PN=m，PM=﹣ m+6，根据勾股定理得，MN2= （m
4 4 16
第26页（共34页）72 576
﹣ ）2+ ，即可得出点P横坐标，即可得出结论．
25 25
【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，
∴B（0，6），A（﹣8，0），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=√OA2+OB2=10，
∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，
∴CD=CO，
∵BC=BC，
∴Rt△BCD≌Rt△BCO，
∴BD=BO=6，
∴AD=AB﹣BD=4，
∵∠ADC=∠AOB=90°，
∠CAD=∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
AD AC
∴ = ，
AO AB
4 AC
∴ = ，
8 10
∴AC=5，
∴OC=OA﹣AC=3，
∴C（﹣3，0），
∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO，∠EBD=∠ABO，
∴△EBD≌△ABO，
∴BE=AB=10，
∴OE=BE﹣OB=4，
∴E（0，﹣4），
设直线CE的解析式为y=kx﹣4，
∴﹣3k﹣4=0，
4
∴k=﹣ ，
3
第27页（共34页）4
∴直线CE的解析式为y=﹣ x﹣4，
3
72 96
（2）解：存在，（﹣ ， ），
25 25
如图，
3
∵点P在直线y= x+6上，
4
3 3
∴设P（﹣m，﹣ m+6），∴PN=m，PM=﹣ m+6，
4 4
3 25 72 576
根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2=m2+（﹣ m+6）2= （m﹣ ）2+ ，
4 16 25 25
72
∴当m= 时，MN2有最小值，则MN有最小值，
25
72 3 3 72 96
当m= 时，y=﹣ x+6=﹣ × +6= ，
25 4 4 25 25
72 96
∴P（﹣ ， ）．
25 25
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相
似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C的坐标，解（2）的关键是
得出MN2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．
七、解答题（本大题共1小题，共12分）
25．（12 分）如图，∠MBN=90°，点 C 是∠MBN 平分线上的一点，过点 C 分别作
AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC=4√2，点P为线段BE上的一点（点P不与
点B、E重合），连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，
点D落在BC左侧．
第28页（共34页）CP CE
（1）求证： = ；
CD CB
（2）连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
【考点】SO：相似形综合题．
【分析】（1）由△CPD∽△CEB证得结论；
（2）AC∥BD．欲推知AC∥BD，只需推知∠ACB+∠DBC=180°；
（3）如图所示，过点P作PF⊥BD．交DB的延长线于点F．通过解直角三角形、（2）中
相似三角形的对应边成比例和三角形的面积公式写出函数关系式即可．
【解答】（1）证明：∵∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，
∴∠CBE=45°，
又CE⊥BN，
∴∠BCE=45°，
∴BE=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形．
又∵△CPD是等腰直角三角形，
∴△CPD∽△CEB，
CP CD
∴ = ，
CE CB
CP CE
∴ = ；
CD CB
（2）解：AC∥BD，理由如下：
∵∠PCE+∠BCP=∠DCB+∠BCP=45°，
∴∠PEC=∠DCB．
CP CE
由（1）知， = ，
CD CB
∴△EPC∽△BDC，
∴∠PEC=∠DBC．
第29页（共34页）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DBC=180°，
∴AC∥BD；
（3）解：如图所示，过点P作PF⊥BD．交DB的延长线于点F．
∵AC=4√2，△ABC与△BEC都是等腰直角三角形，
∴BC=4√2，BE=CE=4．
由（2）知，△EPC∽△BDC，
PE CE x 4
∴ = ．即 = ，
DB CB DB 4√2
∴DB=√2x．
∵∠PBF=∠CBF﹣∠CBP=90°﹣45°=45°，即BP=BE﹣PE=4﹣x，
√2 √2
∴PF=BP•sin∠PBF=（4﹣x）× =2√2﹣ x，
2 2
1 1 √2 1 1
∴S= DB•PF= ×√2x×（2√2﹣ x）=﹣ x2+2x，即：S=﹣ x2+2x．
2 2 2 2 2
【点评】本题考查了相似综合题．需要灵活掌握并运用等腰三角形的判定与性质，相似三
角形的判定与性质，三角形的面积公式以及解直角三角形等知识点，难度不大，但是综合
性比较强，需要多加训练，以达灵活运用的目的．
八、解答题（本大题共1小题，共14分）
1 3
26．（14分）如图，抛物线y=﹣
x2+
x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
2 2
侧），与y轴交于点C．
（1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；
（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S =S ，求∠APB的度数；
△PBC △ABC
（3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是
否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存
第30页（共34页）在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）先确定出点 A，B，C 的坐标，进而求出 AC，BC，AB，即可判断出
△ABC的形状，判断出外接圆的圆心的位置即可；
（2）先确定出直线BC的解析式，进而设出点P的坐标，得出点Q的坐标，再分两种情
况，用S =S ，建立方程求解，最后判断出△ABN∽△APM即可求出∠APB的度数；
△PBC △ABC
（3）设出点E的坐标，用点E到对称轴的距离建立方程求出点E的坐标，即可得出结
论．
1 3
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣
x2+
x+2与y轴交于点C，
2 2
∴C（0，2），
1 3
令y=0，则0=﹣
x2+
x+2，
2 2
∴x=﹣1或x=4，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
根据勾股定理得，AC=√5，BC=2√5，
∵AB=OA+OB=5，
∴AC2+BC2=5+20=25=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AB是Rt△ABC的外接圆的直径，
∴△ABC的外接圆的圆心是线段AB的中点，
3
∴其坐标为（ ，0）；
2
（2）∵C（0，2）设直线BC的解析式为y=kx+2，
第31页（共34页）∵B（4，0），
∴4k+2=0，
1
∴k=﹣ ，
2
1
∴直线BC的解析式为y=﹣ x+2，
2
∵P是抛物线上一点，
1 3
设点P（m，﹣ m2+ m+2）
2 2
1
如图1，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q，∴Q（m，﹣ m+2），
2
①当点P在直线BC上方时，S =S +S =S ，
△PBC △PQC △PBQ △ABC
1 1 3 1 1 1 3 1
∴ [（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）]×m﹣ [（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）]（m﹣
2 2 2 2 2 2 2 2
1
4）= ×5×2
2
∴m2﹣4m+5=0，
∵△=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
∴此方程没有实数根；
∴当点P在直线BC上方时，S ≠S ，
△PBC △ABC
②当点P在直线BC下方时，S =S ﹣S =S ，
△PBC △PQC △PBQ △ABC
1 1 1 3 1 1 1 3
∴ [（﹣ m+2）﹣（﹣ m2+ m+2）]×m﹣ [（ m+2）﹣（﹣ m2+ m+2）]（m﹣4）
2 2 2 2 2 2 2 2
1
= ×5×2
2
∴m2﹣4m﹣5=0，
∴m=﹣1（舍）或m=5，
∴P（5，﹣3）
第32页（共34页）如图1所示，设PQ交x轴于点M，则PM⊥x轴，
∴PM=3，MB=1，根据勾股定理得，BP=√10，AP=3√5，
过点B作BN⊥AP于点N，
∴∠ANB=∠AMP=90°，∠BAN=∠PAM，
∴△ABN∽△APM，
AB BN
∴ = ，
AP PM
5 BN
∴ = ，
3√5 3
∴BN=√5，
在Rt△BPN中，PN=√BP2-BN2=√5，
∴BN=PN，
∴∠APB=45°；
（3）存在，
1 3 3
如图2，∵抛物线y=﹣
x2+
x+2的对称轴为x= ，
2 2 2
1 3
由（2）知，P（5，﹣3），BP=√10，设E（n，﹣ n2+ n+2），
2 2
①当点E在抛物线对称轴右侧时，
即：点E处时，EF=BP=√10，
∴点E到对称轴的距离为EG=BM=1，
3
∴n﹣ =1，
2
5
∴n= ，
2
第33页（共34页）5 21
∴E（ ， ），
2 8
易知，FG=PM=3，
3 45
∴F（ ， ）；
2 8
②当点E在抛物线对称轴左侧时，
即：E'处时，E'F'=BP=√10，
∴点E'到对称轴的距离为E'G'=BM=1，
3
∴ ﹣n=1，
2
1
∴n= ，
2
1 21
∴E'（ ， ），
2 8
易知，F'G'=PM=3，
3 3
∴F'（ ，﹣ ）．
2 8
3 45 3 3
即：满足条件的点F的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）．
2 8 2 8
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的外接圆，直角三角形
的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，解本题的关键是用分
类讨论的思想思考问题，是一道中考压轴题．
第34页（共34页）
