文档内容
2018年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共8小题24分）
1．（3分）2018的相反数是（ ）
A．2018 B．﹣2018 C． D．
2．（3分）2018年3月5日，李克强总理代表国务院在十三届全国人大一次会议上，作政府工
作报告时向全国人民交出亮丽成绩单．五年来，中央财政投入专项扶贫资金2800多亿元，
贫困人口减少6800多万．将数据2800亿用科学记数法可表示为（ ）
A．0.28×1012 B．0.28×1011 C．2.8×1012 D．2.8×1011
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）近年来，共享单车已成为人们出行的一种交通工具，下表是从某高校随机调查的
100名师生在一天中使用共享单车次数的统计表：
使用次数 0 1 2 3 4 5
人数 5 15 10 25 30 15
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．4，2.5 B．4，3 C．30，17.5 D．30，15
5．（3分）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，骑自行车前往C地．已知A，C两地的距离为
60km，B，C两地的距离为50km，甲骑行的平均速度比乙快3km/h，两人同时到达C地．设
乙骑行的平均速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
第1页（共26页）A．k＞ 且k≠0 B．k＜ 且k≠0 C．k≤ 且k≠0 D．k＜
7．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，CE与BD相交于点G，EF⊥BD于点F，若
EF＝2，则EG的长为（ ）
A． B． C． D．4
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点
G．下列结论： AC垂直平分EF； BE+DF＝EF； 当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三
① ② ③
角形； 当∠EAF＝60°时，S△ABE ＝ S△CEF ．其中正确的是（ ）
④
A． B． C． D．
二、填空①题③（共8小题，每小②题④3分，共24分） ①③④ ②③④
9．（3分）分解因式：ax2+2ax+a＝ ．
10．（3分）小颖和小芳两人参加学校组织的理化动手实验操作测试，近期的5次测试成绩如
图所示，则小颖和小芳理化动手实验操作成绩较稳定的是 ．
第2页（共26页）11．（3分）某鱼塘里养了1600条鲤鱼、若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞
试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则
捞到鲤鱼的概率约为 ．
12．（3分）不等式组 的整数解为 ．
13．（3分）如图，在 ▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交
AD于点E，若 的长为2 ，则 A的半径为 ．
π ⊙
14．（3分）已知，点A（﹣4，y ），B（ ，y ）在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y 与y 的大
1 2 1 2
小关系为 ．
15．（3分）已知，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且BC＝2AD，则等腰三角形ABC底
角的度数为 ．
16．（3分）如图，分别过x轴上的点A（1，0），A（2，0），…，A（n，0）作x轴的垂线，与反比例
1 2 n
函数y＝ （x＞0）图象的交点分别为B ，B ，…，B ，A B 与A B 相交于点P ，A B 与A B
1 2 n 1 2 2 1 1 2 3 3 2
相交于点P ，…，A B 与A B 相交于点P ，若△A B P 的面积记为S ，△A B P 的面积
2 n n+1 n+1 n n 1 1 1 1 2 2 2
记为S ，△A B P 的面积记为S ，…△A B P 的面积记为S ，则S ＝ ．
2 3 3 3 3 n n n n n
三、解答题（共2小题，共16分）
第3页（共26页）17．先化简，再求值： ，其中x＝4．
18．如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，
HE，求证：四边形EFGH是菱形．
四、解答题（共2小题，20分）
19．某校数学兴趣小组发现，很多同学矿泉水没有喝完便扔掉，造成了极大的浪费，为增强同
学们的节水意识，小组成员在学校的春季运动会上，随机对部分同学半天时间内喝矿泉水
的浪费情况进行了问卷调查（半天时间每人按一瓶500mL的矿泉水量计算）．问卷中将同
学们扔掉的矿泉水瓶中剩余水量大致分为四种：A．全部喝完；B．喝剩约满瓶的 ；C．喝
剩约满瓶的 ；D．喝剩约满瓶的 ．小组成员将收集的调查问卷进行数据整理，并根据整
理结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）此次问卷共调查了多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）计算平均每人半天浪费的矿泉水约为多少毫升？
（4）请估计这次春季运动会全校1000名同学半天浪费的水量相当于多少瓶矿泉水（每瓶
按500mL计算）．
第4页（共26页）20．某校举办学生综合素质大赛，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，比赛题目包括
下列五类：A．人文艺术；B．历史社会；C．自然科学；D．天文地理；E．体育健康．
（1）若小明参加“单人项目”，他从中抽取一个题目，那么恰好抽中“自然科学”类题目
的概率为 ．
（2）小林和小丽参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，
且每人只能抽取一次，求他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是多少？
（用画树状图或列表的方法求解）
五、解答题（共2小题，20分）
21．如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路MN，某快递员从小路旁的A处出发沿南偏东
53°方向行走258m将快递送至B楼，又继续从B楼沿南偏西30°方向行走172m将快递送
至C楼，求此时快递员到小路MN的距离．（计算结果精确到1m．参考数据：sin53°≈0.80，
cos53°≈0.60，tan53°≈1.33， ≈1.73）
22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝ （m≠0，x＞0）图象的两个交点分别为
A（4， ），B（1，2），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？
（2）求一次函数的解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标．
六、解答题（共2小题，20分）
第5页（共26页）23．如图，四边形ABCD内接于 O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC
交CD的延长线于点E． ⊙
（1）求证：EC＝AC．
（2）若cos∠ADB＝ ，BC＝10，求DE的长．
24．某公司去年年初投资1000万元引进先进的生产线生产某种新产品．根据对该产品的市
场分析，生产每件该产品需成本60元，产品售价不超过200元/件，且产品的年销售量y
（万件）是产品售价x（元/件）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
产品售价x（元/件） … 120 140 160 180 …
销售量y（万件） … 9 8 7 6 …
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）去年该公司是盈利还是亏损？并求出盈利最多或亏损最少时的产品售价；
（3）在（2）的前提下，若公司想使去年和今年生产的新产品共获利395万元，那么该公司
今年应怎样重新确定产品售价？
七、解答题（12分）
25．如图1，∠PAQ＝90°，分别在∠PAQ的两边AP，AQ上取点B，E，使AB＝AE，点D在
∠PAQ的平分线AM上，DF⊥AB于点F，点F在线段AB上（不与点A重合），以AB，AD
为邻边作 ▱ABCD，连接CF，EF．
（1）猜想CF与EF之间的关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，连接CE交AM于点H．
求证：AD+2DH＝ AB．
①
若AB＝9， ＝ ，求线段BC的长．
②
第6页（共26页）八、解答题（14分）
26．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点C（0，﹣3），
顶点为P（﹣1，﹣4），PB⊥x轴于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，在x轴下方的抛物线上存在点N，BN与AC的交点F平分BN，求点F的坐标；
（3）将线段BP和BA绕点B同时顺时针旋转相同的角度，得到线段BE，BD，直线PE，AD
相交于点M．
如图2，设PE与x轴交于点H，线段BE与AD交于点G，求 的值；
①
连接OM，OM的长随线段BP，BA的旋转而发生变化，请直接写出线段OM长度的取值
②范围．
第7页（共26页）2018年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共8小题24分）
1．【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
【解答】解：2018的相反数是﹣2018，
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2800亿＝2.8×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
4．【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：∵总人数为100，
∴中位数为第50、51个数据的平均数，即中位数为 ＝3次，众数为4次，
故选：B．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将
一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间
第8页（共26页）位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数
就是这组数据的中位数．
5．【分析】设乙骑行的平均速度为xkm/h，则甲骑行的平均速度为（x+3）km/h，根据时间＝路
程÷速度结合甲、乙所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设乙骑行的平均速度为xkm/h，则甲骑行的平均速度为（x+3）km/h，
依题意，得： ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
6．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，
解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且△＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k≤ 且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的
判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
7．【分析】由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，由
“SAS”可证∠ACE＝∠DBC，由外角的性质可得∠EGF＝60°，由直角三角形的性质可求
EG的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∵AE＝CD，∠BAC＝∠ACB，AC＝BC
∴△AEC≌△CDB（SAS）
∴∠ACE＝∠DBC，
∵∠EGF＝∠BCG+∠DBC＝∠BCG+∠ACE＝∠ACB
∴∠EGF＝60°，且EF⊥BD
∴∠FEG＝30°
∴EF＝ FG＝2，EG＝2FG
第9页（共26页）∴EG＝
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，求
∠EGF＝60°是本题的关键．
8．【分析】 通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方
形的性质①就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，
设BC＝x，CE＝y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判
②断BE+DF与EF关系不确定；
当∠DAF＝15°时，可计算出∠EAF＝60°，即可判断△EAF为等边三角形，
③当∠EAF＝60°时，设EC＝x，BE＝y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE
④与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和S△ABE ，再通过比较大小就可以得出结
论．
【解答】解： 四边形ABCD是正方形，
∴AB═AD，∠①B＝∠D＝90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF．（故 正确）．
设BC＝a，CE＝y， ①
②∴BE+DF＝2（a﹣y）
EF＝ ，
∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y＝（ ）a时成立，（故 错误）．
当∠DAF＝15°时， ②
③∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE＝15°，
∴∠EAF＝90°﹣2×15°＝60°，
第10页（共26页）又∵AE＝AF
∴△AEF为等边三角形．（故 正确）．
当∠EAF＝60°时，设EC＝x③，BE＝y，由勾股定理就可以得出：
④
∴x2＝2y（x+y）
∵S△CEF ＝ x2，S△ABE ＝ ，
∴S△ABE ＝ S△CEF ．（故 正确）．
④
综上所述，正确的有 ，
故选：C． ①③④
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的
运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的
性质解题时关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2＝
（a±b）2．
【解答】解：ax2+2ax+a，
＝a（x2+2x+1）﹣﹣（提取公因式）
＝a（x+1）2．﹣﹣（完全平方公式）
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二
次分解，注意要分解彻底．
10．【分析】先从图片中读出小芳和小颖的测试数据，分别求出方差后比较大小．
【解答】解：小芳数据的平均数＝ （9+8+10+9+9）＝9，方差s 2＝ [（9﹣9）2+（8﹣9）
1
2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2]＝0.4，
小颖数据的平均数＝ （7+10+10+8+10）＝9，方差s 2＝ [（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）
2
2+（8﹣9）2+（10﹣9）2]＝2.6，
∴S 2＜S 2．
1 2
∴两人的平均成绩一样好，小芳的方差小，成绩较为稳定，
第11页（共26页）故答案为：小芳．
【点评】本题考查了方差的意义．方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越
大，反之也成立．
11．【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤
鱼的概率．
【解答】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
设草鱼的条数为x，可得： ；
解得：x＝2400，
∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为 ，
故答案为：
【点评】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率
可以计算出鱼的数量．
12．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解
集，再在解集内确定其整数解即可．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣1）≤7，得：x≥﹣2，
解不等式2x+1＞3x，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
∴该不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，
故答案为：﹣2，﹣1，0．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，正确求出每一个不等式
解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是
解答此题的关键．
13．【分析】连接AC，根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，求出∠DAC＝45°，根据
弧长公式求出即可．
【解答】解：连接AC，
第12页（共26页）∵CD切 A于C，
∴AC⊥C⊙D，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∠DAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°＝∠DAC，
∵ 的长为2 ，
π
∴ ＝2 ，
π
解得：AC＝8，
即 A的半径是8，
故⊙答案为：8．
【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，弧长公式等知识点，能求出∠DAC的
度数是解此题的关键．
14．【分析】可先求二次函数y＝﹣x2+2x+c的对称轴为x＝ ＝ ＝1，根据点A关于x
＝1的对称点即可判断
【解答】解：
二次函数y＝﹣x2+2x+c的对称轴为x＝1
∵a＝﹣1＜0
∴二次函数的值，在x＝1左侧为增加，在x＝1右侧减小，
∵﹣4＜ ＜1
∴点A、点B均在对称轴的左侧，
∴y ＜y
1 2
故答案为：＜
【点评】此题主要考查的是二次函数的增减性，当a＜0时，函数图象从左至右先增加后减
小．
15．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，从而得到AD＝BD＝CD，再利用
等边对等角的性质可得∠B＝∠BAD，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
第13页（共26页）【解答】解：如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝ BC，
∵BC＝2AD，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD＝ （180°﹣90°）＝45°．
当AB＝BC，AD垂直于BC延长线，∠B＝150°，底角＝15°；
当AB＝BC，AD垂直于BC，∠B＝30°； 底角＝75°，
故答案为：45°或15°或75°．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，得出AD＝BD＝CD
是解题的关键．
16．【分析】设△A B P 的A B 边上的高为h ，△A B P 的边A B 上的高为h ，根据
n n n n n n n+1 n+1 n n+1 n+1 n+1
反比例函数的性质求出A B 和A B ，再由相似三角形的性质得h ，进而由三角形面积
n n n+1 n+1 n
公式求得结果．
【解答】解：设△A B P 的A B 边上的高为h ，△A B P 的边A B 上的高为h ，
n n n n n n n+1 n+1 n n+1 n+1 n+1
则有h +h ＝A A ＝1，
n n+1 n n+1
根据题意得，
， ，
∵A B ∥A B ，
n n n+1 n+1
△P A B ∽△P A B ，
n n n n n+1 n+1
∴ ，
∴ ，
∵h +h ＝1，
n n+1
第14页（共26页）∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，相似三角形的性质，解题的关键是
根据反比例函数解析式求出三角形的底边，用相似三角形求出高，属于中考压轴题．
三、解答题（共2小题，共16分）
17．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等
于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即
可求出值．
【解答】解：
＝ •
＝ •
＝ ，
当x＝4时，原式＝ ＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简
公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
18．【分析】连接AC，BD，根据三角形的中位线定理和矩形的对角线相等证明EF＝FG＝GH
＝HE，即可得出结论．
【解答】证明：连接AC，BD，如图所示：
∵E为AB的中点，F为BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF＝ AC，
同理HG＝ AC，EH＝FG＝ BD，
第15页（共26页）∵矩形ABCD，
∴AC＝BD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理和矩形的性质，根据题意正确找
出辅助线是解决问题的关键．
四、解答题（共2小题，20分）
19．【分析】（1）由B种类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各种类人数之和等于总人数求得C的人数即可补全条形图；
（3）根据加权平均数的定义计算可得；
（4）用这1000人浪费的水的总体积，再除以500即可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为80÷40%＝200（人）；
（2）C种类人数为200﹣（60+80+20）＝40（人），
补全图形如下：
（3） ＝137.5（毫升），
答：平均每人半天浪费的矿泉水约137.5毫升；
（4） ＝275（瓶），
第16页（共26页）答：估计这次春季运动会全校1000名同学半天浪费的水量相当于275瓶矿泉水．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．【分析】（1）小明一共有五种不同的选择，所以恰好抽中“自然科学”类题目的概率为
（2）由同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次可知第一名同学抽
取之后，第二名同学只能有四种选择，所以画树状图可知一共有20种情况，
而他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目有两次机会，所以概率是
【解答】解：（1）∵比赛题目共包括五类：A．人文艺术；B．历史社会；C．自然科学；D．天文
地理；E．体育健康
∴小明恰好抽中“自然科学”类题目的概率为
故答案为：
（2）由题意画树状图为：
有图可知他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是：
∴他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是：
【点评】本题是典型的利用树状图解决实际问题的题目，关键是清楚每一步有几种情况发
生是解决该类题的关键．
五、解答题（共2小题，20分）
第17页（共26页）21．【分析】过B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E，过B作BF⊥EC于F，则四边形
DEFB是矩形，得到BD＝EF，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E，过B作BF⊥EC于F，
则四边形DEFB是矩形，
∴BD＝EF，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠DAB＝53°，AB＝258m，
∴BD＝AB•sin53°＝258×0.8＝206.4，
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠CBF＝30°，BC＝172，
∴CF＝ BC＝86，
∴CE＝EF﹣CF＝BD﹣CF＝206.4﹣86≈120m，
答：快递员到小路MN的距离是120m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确把握定义是解题关键．
22．【分析】（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）设出P点的坐标，用其未知数表示三角形的底和高，根据三角形面积相等，可列出方
程进行解答．
【解答】解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，1＜x＜4，
当1＜x＜4时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）把A（4， ），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）中，得
，
第18页（共26页）解得， ，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣ x+ ；
把B（1，2）代入y＝ （m≠0，x＞0）中，得
m＝1×2＝2；
（3）设P（t，﹣ t+ ），
∵A（4， ），B（1，2），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
∴AC＝ ，BD＝1，
∵S△ACP ＝S△BPD ，
，
∴ ，
解得，t＝ ，
∴P（ ， ）．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题以及待定系数法求解析式，重点是
先求解出反比例函数及一次函数的解析式．最后一题要数形结合，正确找准三角形的底边
与高．
六、解答题（共2小题，20分）
第19页（共26页）23．【分析】（1）欲证明CE＝CA，只要证明∠E＝∠CAE即可．
（2）设AE交 O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．想办法证明ME＝MD＝BC＝10，解直
角三角形求出⊙EH即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BC∥AE，
∴∠ACB＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠BAD，
∴∠EAC＝∠BAD，
∴∠EAD＝∠CAB，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，
∴CE＝CA．
（2）解：设AE交 O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．
⊙
∵∠EAD＝∠CAB，
∴ ＝ ，
∴DM＝BC＝10，
∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°，
∴∠MDE＝∠CAM，
∵∠E＝∠CAE，
∴∠E＝∠MDE，
∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE，
∴EH＝DH，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，
第20页（共26页）∴cos∠E＝ ＝ ，
∴EH＝4，
∴DE＝2EH＝8．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．【分析】（1）将已知点的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法确定其函数解析式
即可
（2）表示出有关总利润的二次函数解析式，配方后即可确定最值
（3）根据总利润等于395万元列方程求解即可．
【解答】解：（1）设y与x间的函数关系式为y＝kx+b，
由图表得将（120，9）和（140，8）代入得： ，
解得：k＝﹣ ，b＝15，
∴y与x间的函数关系式为y＝﹣ x+15；
（2）设公司去年的盈利为w万元，
w＝y（x﹣60）﹣1000＝（﹣ x+15）（x﹣60）﹣1000＝﹣ （x﹣180）2﹣280
又∵x≤200，
∴当商品售价定为180元/件时，亏损最小，
w最小 ＝﹣280，
∴去年公司亏损了，最小亏损为280万元；
（3）两个年共盈利395万元，令w＝（﹣ x+15）（x﹣60）﹣280＝395，
整理得，﹣ （x﹣180）2＝﹣45
整理得；（x﹣180）2＝900
解得，x ＝210，x ＝150
1 2
∵产品售价不超过200
∴x值取150
∴第二年公司重新确定产品售价为150元，能使两年共盈利达395万元；
第21页（共26页）【点评】此题主要考查二次函数的最值及一元二次方程应用．对于销售问题，灵活运用得
总利润＝（售价﹣成本）×数量即可．
七、解答题（12分）
25．【分析】（1）如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明△CGF≌△FAE（SAS），得CF＝EF，
∠GFC＝∠AEF，根据同角的余角相等可得：∠CFE＝90°，所以CF⊥EF；
（2） 如图2，作辅助线，构建正方形ABRE和平行四边形CDER，先证明四边形BAER是
正方①形，得RE＝AB＝CD，再证明四边形CDER是平行四边形，则DH＝RH，由AR＝
AB，代入可得结论；
设HD＝2x，AH＝7x，代入 中的等式可得x的值，从而求得：BC＝AD＝5 ．
②【解答】解：（1）CF＝EF，且①CF⊥EF，理由是：
如图1，过C作CG⊥AP于G，
∵DF⊥AP，
∴DF∥CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即CD∥FG，
∵∠GFD＝90°，
∴四边形GFDC是矩形，
∴CG＝DF＝AF，FG＝CD＝AB＝AE，
∵∠CGF＝∠FAE＝90°，
∴△CGF≌△FAE（SAS），
∴CF＝EF，∠GFC＝∠AEF，
∵∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AFE+∠GFC＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴CF⊥EF；
（2） 如图2，过B作BR⊥AP，交AM于R，连接RE、CR、DE，
∵∠PA①E＝90°，
∴BR∥AE，
∵∠BAR＝45°，
∴△ABR是等腰直角三角形，
∴AB＝BR＝AE，AR＝ AB，
第22页（共26页）∴四边形BAER是正方形，
∴RE＝AB＝CD，
∵AB∥RE，AB∥CD，
∴CD∥RE，
∴四边形CDER是平行四边形，
∴DH＝RH，
∵AR＝ AB，
∴AD+RD＝ AB，
∴AD+2DH＝ AB；
∵ ，
②
设HD＝2x，AH＝7x，
∴AD＝5x，
由 知：AD+2DH＝ AB，
5x+①4x＝9 ，
x＝ ，
∴BC＝AD＝5 ．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，平行四边形的性质和
第23页（共26页）判定，正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，综合性较强，作辅助线是本
题的关键．
八、解答题（14分）
26．【分析】（1）设顶点式代入顶点坐标和点C坐标，求出a，h，k参数，得到解析式；
（2）过点N作x轴的平行线交AC于一点M，由NF＝BF可证△ABF≌△NMF，设点M坐
标，由全等可得点N坐标，代入二次函数解析式，求得点M和N点坐标，利用中点关系求
得点F坐标；
（3） 由旋转的关系可证△BPH∽△BDG， 的值即为 ；
①
由图象可知，点M在以AP为直径的圆上运动，所以过O点的直径与圆周的两个交点
②与O点的距离即为OM长度的最大值和最小值．
【解答】解：（1）设解析式y＝a（x﹣h）2+k，代入顶点P（﹣1，﹣4），C（0，﹣3），可得解析式
y＝x2+2x﹣3
点A（﹣3，0），点B（﹣1，0）
（2）如图，过点N作NM∥AB交AC于M
在△ABF和△NFM中
∴△ABF≌△NMF（ASA）
∴AB＝NM
直线AC解析式为y＝﹣x﹣3
设点M（m，﹣m﹣3）
AB＝NM＝2
∴N（m﹣2，﹣m﹣3）
∴﹣m﹣3＝（m﹣2）2+2（m﹣2）﹣3
解得m＝0或1
∴N（﹣2，﹣3）或（﹣1，﹣4）
∴BN的中点F的坐标为（ ， ）或（﹣1，﹣2）
第24页（共26页）（3） 如图，∵∠EBP＝∠ABD，BE＝BP，AB＝DB
∴∠E①＝∠D＝∠P＝∠DAB
∴∠DBG＝∠ABP＝90°
∴△BGD∽△HBP
∴ ＝ ＝ ＝ ＝
由题意分析可得，点M运行在以AP为直径的圆上，所以点M是经过O点和圆心的直
②线与圆的交点位置
∵AB＝2，BP＝4
∴可得AP＝2
∴圆的半径为
∵圆心坐标为（﹣2，﹣2）
∴OM ＝
1
OM ＝
2
∴ ≤OM≤
第25页（共26页）【点评】本题考查了数形结合，全等的性质与判定，相似，线段极值问题，手拉手模型的应
用，难点在最后一问，线段极值通常含有轨迹路径，需要观察体会点M的运动路径，从而
得出隐藏圆，才能发现极值的真正位置，是一道很好的压轴题．
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