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2019年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小題，每小題3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项正确）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2019年6月5日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验，
该火箭重58000kg，将数58000用科学记数法表示为（ ）
A．58×103 B．5.8×103 C．0.58×105 D．5.8×104
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为
（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，3） C．（1，1） D．（5，1）
5．（3分）不等式5x+1≥3x﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形
7．（3分）计算（﹣2a）3的结果是（ ）
A．﹣8a3 B．﹣6a3 C．6a3 D．8a3
第1页（共28页）8．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，
放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8．
则D′F的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．2
10．（3分）如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D
在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线
相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
二、填空题（本题共6小题，每小題分，共18分）
11．（3分）如图AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝ °．
12．（3分）某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数是 ．
第2页（共28页）13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则
AD的长为 ．
14．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器
五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个
小桶可以盛酒3斛（斛，音hu，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒
2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶
可以盛酒y斛，根据题意，可列方程组为 ．
15．（3分）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为
53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为 m（结果取整数，参考数
据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．
第3页（共28页）16．（3分）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，
都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时间x（单
位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）
的函数图象，则a﹣b＝ ．
三、解答题（本题共4小题，17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）计算：（ ﹣2）2+ +6
18．（9分）计算： ÷ +
19．（9分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．
第4页（共28页）20．（12分）某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行
测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
成绩等级 频数（人） 频率
优秀 15 0.3
良好
及格
不及格 5
根据以上信息，解答下列问题
（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数为 人，成绩等级为“及格”
的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 %；
（2）被测试男生的总人数为 人，成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生
总人数的百分比为 %；
（3）若该校八年级共有180名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生成绩等级为“良
好”的学生人数．
四、解答题（本共3小，其中21、22题各分，23题10分，共28分）
21．（9分）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年
村该村的人均收入是多少元？
22．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
第5页（共28页）点B在OA的廷长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接
AC，AD．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若S△ACD ＝ ，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．
23．（10分）如图1，四边形ABCD内接于 O，AC是 O的直径，过点A的切线与CD的延长
线相交于点P．且∠APC＝∠BCP ⊙ ⊙
（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求 O的半径．
⊙
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26題各12分，共35分）
第6页（共28页）24．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+3与x轴，y轴分别相交于点A，
B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD＝ OC，以CO，CD为邻边作 COED．
▱
设点C的坐标为（0，m）， COED在x轴下方部分的面积为S．求：
（1）线段AB的长； ▱
（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．
25．（12分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD
＝AB，AB＝kBD（其中 ＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于
点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交
流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”
……
老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出 的
值．”
第7页（共28页）（1）求证：∠BAE＝∠DAC；
（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；
（3）直接写出 的值（用含k的代数式表示）．
26．（12分）把函数C ：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数
1
C 的图象，我们称C 是C 关于点P的相关函数．C 的图象的对称轴与x轴交点坐标为
2 2 1 2
（t，0）．
（1）填空：t的值为 （用含m的代数式表示）
（2）若a＝﹣1，当 ≤x≤t时，函数C 的最大值为y ，最小值为y ，且y ﹣y ＝1，求C 的
1 1 2 1 2 2
解析式；
（3）当m＝0时，C 的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点
2
D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C 的
2
图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
第8页（共28页）2019 年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小題，每小題3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项正确）
1．（3分）
【考点】15：绝对值.
【分析】根据绝对值是实数轴上的点到原点的距离，可得答案．
【解答】解：﹣2的绝对值是2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0
的绝对值等于0．
2．（3分）
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数58000用科学记数法表示为5.8×104．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】根据向下平移，横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解．
第9页（共28页）【解答】解：将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（3，1﹣2），即（3，
﹣1），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左
移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．（3分）
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：5x+1≥3x﹣1，
移项得5x﹣3x≥﹣1﹣1，
合并同类项得2x≥﹣2，
系数化为1得，x≥﹣1，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来
（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表
示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．
在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．（3分）
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7．（3分）
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
第10页（共28页）【分析】利用积的乘方的性质求解即可求得答案．
【解答】解：（﹣2a）3＝﹣8a3；
故选：A．
【点评】此题考查了积的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关
键．
8．（3分）
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总
数的几分之几即可．
【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
∴P两次都是红球＝ ．
故选：D．
【点评】考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现
的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
9．（3分）
【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】由矩形的性质得出∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝4，AD∥BC，得出∠AFE＝∠CEF，
由折叠的性质得：∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，∠D'＝∠D＝90°，AD'＝CD＝4，∠AFE＝
∠AEF，得出AF＝AE＝CE，设AF＝AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定
理得出方程，解方程得出AF＝5，在Rt△AFD'中，由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝4，AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
由折叠的性质得：∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，∠D'＝∠D＝90°，AD'＝CD＝4，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE＝CE，
第11页（共28页）设AF＝AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴AF＝5，
在Rt△AFD'中，由勾股定理得：D'F＝ ＝ ＝3；
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练
掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10．（3分）
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，
利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E
的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ
的长．
【解答】解：当y＝0时，﹣ x2+ x+2＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
当x＝0时，y＝﹣ x2+ x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
当y＝2时，﹣ x2+ x+2＝2，
解得：x ＝0，x ＝2，
1 2
∴点D的坐标为（2，2）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：
，解得： ，
第12页（共28页）∴直线AD的解析式为y＝ x+1．
当x＝0时，y＝ x+1＝1，
∴点E的坐标为（0，1）．
当y＝1时，﹣ x2+ x+2＝1，
解得：x ＝1﹣ ，x ＝1+ ，
1 2
∴点P的坐标为（1﹣ ，1），点Q的坐标为（1+ ，1），
∴PQ＝1+ ﹣（1﹣ ）＝2 ．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一
次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求
出点P，Q的坐标是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小題分，共18分）
11．（3分）
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】首先根据平行线的性质可得∠B＝∠C＝50°，再根据BC∥DE可根据两直线平行，
同旁内角互补可得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵BC∥DE，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130．
第13页（共28页）【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 两直线
平行，内错角相等．
12．（3分）
【考点】W5：众数．
【分析】根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数．
【解答】解：观察条形统计图知：为25岁的最多，有8人，
故众数为25岁，
故答案为：25．
【点评】考查了众数的定义及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂条形统计图及了
解众数的定义，难度较小．
13．（3分）
【考点】KK：等边三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形．
【分析】AB＝AC＝BC＝CD，即可求出∠BAD＝90°，∠D＝30°，解直角三角形即可求得．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝2 ．
故答案为2 ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得
△ABD是含30°角的直角三角形是解题的关键．
14．（3分）
【考点】1O：数学常识；99：由实际问题抽象出二元一次方程组.
【分析】设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可
以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
第14页（共28页）根据题意得： ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二
元一次方程组是解题的关键．
15．（3分）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据正切的定义分别求出AC、BC，结合图形计算即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝ ，
则BC＝CD•tan∠BDC＝10，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝ ，
则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，
∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），
故答案为：3．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．（3分）
【考点】FH：一次函数的应用.
【分析】从图1，可见甲的速度为 ＝60，从图2可以看出，当x＝ 时，二人相遇，即：
（60+V已 ）× ＝120，解得：已的速度V已 ＝80，已的速度快，从图2看出已用了b分钟走完
全程，甲用了a分钟走完全程，即可求解．
【解答】解：从图1，可见甲的速度为 ＝60，
从图2可以看出，当x＝ 时，二人相遇，即：（60+V已 ）× ＝120，解得：已的速度V已 ＝
80，
∵已的速度快，从图2看出已用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，
第15页（共28页）a﹣b＝ ＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确
利用待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程＝时间×速度．
三、解答题（本题共4小题，17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）
【考点】79：二次根式的混合运算．
【分析】直接利用完全平方公式以及结合二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：原式＝3+4﹣4 +2 +6×
＝3+4﹣4 +2 +2
＝7．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（9分）
【考点】6C：分式的混合运算．
【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简，进而利用分式的加减运算法则计算得出答案；
【解答】解：原式＝ × ﹣
＝ ﹣
＝ ．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简是解题关键．
19．（9分）
【考点】KD：全等三角形的判定与性质.
【分析】利用SAS定理证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
第16页（共28页）∴△ABF≌△DCE（SAS）
∴AF＝DE．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理
是解题的关键．
20．（12分）
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．
菁
【分析】（1）由统计图表可知，成绩等级为“优秀”的男生人数为15人，被测试男生总数
15÷0.3＝50（人），
成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为20%
（2）被测试男生总数15÷0.3＝50（人），成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生
总人数的百分比： ；
（3）由（1）（2）可知，优秀30%，及格20%，不及格10%，则良好40%，该校八年级男生成绩
等级为“良好”的学生人数180×40%＝72（人）．
【解答】解：（1）由统计图表可知，成绩等级为“优秀”的男生人数为15人，
被测试男生总数15÷0.3＝50（人），
成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为20%．
故答案为15，20；
（2）被测试男生总数15÷0.3＝50（人），
成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比： ，
故答案为50，10；
（3）由（1）（2）可知，优秀30%，及格20%，不及格10%，则良好40%，
该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数180×40%＝72（人）
答：该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数72人．
【点评】本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
四、解答题（本共3小，其中21、22题各分，23题10分，共28分）
21．（9分）
【考点】AD：一元二次方程的应用.
第17页（共28页）【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2016年的
人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，
解之取其较小值即可得出结论；
（2）由2019年村该村的人均收入＝2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得
出结论．
【解答】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，
根据题意得：20000（1+x）2＝24200，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．
答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一
元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
22．（9分）
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待
定系数法求反比例函数解析式．
【分析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y＝ ，即可求出函数解析式；
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据S△ACD ＝ ，建
立方程可以解出a的值，进而求出BD的长．
【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数y＝ ；
答：反比例函数的关系式为：y＝ ；
（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，连接AC，
设直线OA的关系式为y＝kx，将A（3，2）代入得，k＝ ，
第18页（共28页）∴直线OA的关系式为y＝ x，
∵点C（a，0），把x＝a代入y＝ x，得：y＝ a，把x＝a代入y＝ ，得：y＝ ，
∴B（a， ），即BC═ a，
D（a， ），即CD＝
∵S△ACD ＝ ，
∴ CD•EC＝ ，即 ，解得：a＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝ ＝3；
答：线段BD的长为3．
【点评】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线
段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
23．（10分）
【考点】M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质；MC：切线的性质．
【分析】（1）作DF⊥BC于F，连接DB，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据圆周角定
理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC，根据线段垂直平分线的性质、
圆周角定理证明即可；
（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE＝FC＝
3，根据射影定理计算即可．
【解答】（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，
∵AP是 O的切线，
⊙ 第19页（共28页）∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，
∵AC是 O的直径，
∴∠ADC⊙＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，
∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，
∵∠APC＝∠BCP，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∵DF⊥BC，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴DF经过点O，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠BDC＝2∠ODC，
∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；
（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，
∴FC＝ BC＝3，
在△DEC和△CFD中，
，
∴△DEC≌△CFD（AAS）
∴DE＝FC＝3，
∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，
∴DE2＝AE•EC，
则EC＝ ＝ ，
∴AC＝2+ ＝ ，
∴ O的半径为 ．
⊙
第20页（共28页）【点评】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理，掌
握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26題各12分，共35分）
24．（11分）
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；L5：平行四边形的性质．
【分析】（1）由直线y＝﹣ x+3与令x＝0，或y＝0，分别求出对应的y、x的值，从而确定
A、B两点的坐标；
（2）分两种情况进行分别探究， 当 ＜m≤3时， 当0＜m≤ 时，分别画出相应的图
① ②
象，根据三角形相似，求出相应的边的长用含有m的代数式表示，再表示面积，从而确定
在不同情况下S与m的函数解析式．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝4，
∴直线y＝﹣ x+3与x轴点交A（4，0），与y轴交点B（0，3）
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ，
第21页（共28页）因此：线段AB的长为5．
（2）当CD∥OA时，如图，
∵BD＝ OC，OC＝m，
∴BD＝ m，
由△BCD∽△BOA得：
，即： ，解得：m＝ ；
当 ＜m≤3时，如图1所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F，
①
此时在x轴下方的三角形与△CDF全等，
∵△BDF∽△BAO，
∴ ，
∴DF＝ ，同理：BF＝m，
∴CF＝2m﹣3，
∴S△CDF ＝ ＝ （2m﹣3）× ＝ m2﹣2m，
即：S＝ m2﹣2m，（ ＜m≤3）
当0＜m≤ 时，如图2所示：DE＝m≤ ，此时点E在△AOB的内部，
②
S＝0 （0＜m≤ ）；
当﹣3＜m≤0时，如图3所示：同理可得：点D（﹣ m，m+3）
③
设直线CD关系式为y＝kx+b，把C（0，m）、D（﹣ m，m+3）代入得：
，解得：k＝﹣ ，b＝m，
直线CD关系式为y＝﹣ x+m，
第22页（共28页）当y＝0时，0＝﹣ x+m，解得x＝ m2
F（ ，0）
∴S△COF ＝ OC•OF＝ （﹣m）× ＝﹣ m3，
即：S＝﹣ m3，（﹣3＜m≤0）
当m＜﹣3时，如图4所示：同理可得：点D（﹣ m，m+3）
④
此时，DF＝﹣m﹣3，OC＝﹣m，OF＝﹣ ，
∴S梯形OCDF ＝ （﹣m﹣3﹣m）×（﹣ ）＝
即：S＝ （m＜﹣3）
综上所述：S与m的函数关系式为：S＝ ．
第23页（共28页）【点评】考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质，全等三角形等知识，分类讨论，分
别探究在不同情况下，存在的不同函数解析式，根据不同情况，画出相应的图形，再利用
第24页（共28页）所学的知识探究出不同函数解析式．
25．（12分）
【考点】SO：相似形综合题．
【分析】（1）利用三角形的外角性质可求解；
（2）由直角三角形的性质和角平分线的性质可得 AF＝FC，AF＝BF，通过证明
△ABG∽△BCA和△ABF∽△BAD，利用相似三角形的性质可求解；
（3）通过证明△ABH∽△ACB，可得AB2＝AC×AH，设BD＝m，AB＝km，由勾股定理可求
AC的长，可求AH，HC的长，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AD
∴∠ABD＝∠ADB
∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE
∴∠BAE＝∠DAC
（2）设∠DAC＝ ＝∠BAE，∠C＝
∴∠ABC＝∠ADBα＝ + β
∵∠ABC+∠C＝ + +α ＝β +2 ＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝ +∠EAC
∴∠EAC＝2 α β β α β α
∵AF平分∠βEAC
∴∠FAC＝∠EAF＝
∴∠FAC＝∠C，∠AβBE＝∠BAF＝ +
∴AF＝FC，AF＝BF α β
∴AF＝ BC＝BF
∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90°
∴△ABG∽△BCA
∴
∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB
∴△ABF∽△BAD
∴ ，且AB＝kBD，AF＝ BC＝BF
∴k＝ ，即
第25页（共28页）∴
（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90°
∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC
∴△ABH∽△ACB
∴
∴AB2＝AC×AH
设BD＝m，AB＝km，
∵
∴BC＝2k2m
∴AC＝ ＝km
∴AB2＝AC×AH
（km）2＝km ×AH
∴AH＝
∴HC＝AC﹣AH＝km ﹣ ＝
∴
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活
运用相似三角形的判定是本题的关键．
26．（12分）
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）C ：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转
1
180°的对称点为（2m﹣1，4a），即可求解；
（2）分 t＜1、1≤t 、t 三种情况，分别求解；
（3）分a＞0、a＜0两种情况，分别求解．
第26页（共28页）【解答】解：（1）C ：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
1
顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），
C ：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1，
2
t＝2m﹣1，
故答案为：2m﹣1；
（2）a＝﹣1时，
C ：y＝（x﹣1）2﹣4，
1
当 t＜1时，
①
x＝ 时，有最小值y ＝ ，
2
x＝t时，有最大值y ＝﹣（t﹣1）2+4，
1
则y ﹣y ＝﹣（t﹣1）2+4﹣ ＝1，无解；
1 2
1≤t 时，
②
x＝1时，有最大值y ＝4，
1
x＝ 时，有最小值y ＝﹣（t﹣1）2+4，
2
y ﹣y ＝ ≠1（舍去）；
1 2
当t 时，
③
x＝1时，有最大值y ＝4，
1
x＝t时，有最小值y ＝﹣（t﹣1）2+4，
2
y ﹣y ＝（t﹣1）2＝1，
1 2
解得：t＝0或2（舍去0），
故C ：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；
2
（3）m＝0，
C ：y＝﹣a（x+1）2+4a，
2
点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），
当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，
第27页（共28页）当C 过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝ ，
2
当C 过点D′时，同理可得：a＝1，
2
故：0＜a 或a≥1；
当a＜0时，
当C 过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣ ，
2
故：a≤﹣ ；
综上，故：0＜a 或a≥1或a≤﹣ ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转等，其中（2）（3），要
注意分类求解，避免遗漏．
第28页（共28页）
