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2022 年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每题3分，共24分）
1. 2022的相反数是（ ）
A. B. C. −2022 D. 2022
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】解：2022的相反数是−2022．
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】找到几何体从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：从左面可看，底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方和幂的乘方运算
法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答
的关键是对相应的运算法则的掌握．
4. 为了解居民用水情况，小丽在自家居住的小区随机抽查了10户家庭月用水量，统计如下表：
月用水量/ 7 8 9 10
户数 2 3 4 1
则这10户家庭的月用水量的众数和中位数分别是（ ）
A. 8，7.5 B. 8，8.5 C. 9，8.5 D. 9，7.5
【答案】C
【解析】
【分析】找中位数要把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：表中数据为从小到大排列，数据9出现了4次最多为众数，
在第5位、第6位是8和9，其平均数8.5为中位数，所以本题这组数据的中位数是8.5，众数是9．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据从
小到大（或从大到小）依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
5. 如图，直线 ，等边三角形 的顶点 在直线 上， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据
平行线的性质得到∠1的度数．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180°−40°−60°＝80°，
∵ ，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的性质．
6. 如图，在 中， ， ，延长 到点 ，使 ，连接 ，则
的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等边对等角求得 ，然后利用三角形的内角和求得答案即可．
【详解】解： ， ，
．
， ， ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，
难度不大．
7. 如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，
连接 ，则扇形 的面积为（ ）
A. B. C. D.【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】C
【解析】
【分析】解直角三角形求出 ，推出 ，再利用扇形的面积公式求解．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出 的度数．
8. 如图，在 中， ， ， ， ，垂足为点 ，动点
从点 出发沿 方向以 的速度匀速运动到点 ，同时动点 从点 出发沿射线 方向以
的速度匀速运动．当点 停止运动时，点 也随之停止，连接 ，设运动时间为 ，
的面积为 ，则下列图象能大致反映 与 之间函数关系的是（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A B. C.
.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出M在AD和在BD上时 MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
△
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ，
∴∠B＝60°， ， ，
∵CD⊥AB，
∴ ， ， ，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
， ，
∴ ，
当M在BD上时，3＜t≤4，
，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获
取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 教育部2022年5月17日召开第二场“教育这十年”“1＋1”系列新闻发布会，会上介绍我国已建成世
界最大规模高等教育体系，在学总人数超过44300000人．将数据44300000用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：44300000＝ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 一个不透明的口袋中装有5个红球和 个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从
袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，
可以估计出 的值为_________．
摸球的总次数 100 500 1000 2000 …
摸出红球的次数 19 101 199 400 …
摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 …
【答案】20
【解析】
【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根
据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解
即可．
【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，
∴ ＝0.2，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得：m＝20．
经检验m＝20是原方程的解，
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率和解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事
件的概率．关键是根据摸出红球的频率得到相应的等量关系．
11. 如图， ， ， 相交于点 ，若 ， ，则 的长为
_________．
【答案】5
【解析】
【分析】由平行线的性质求出∠B＝∠C，∠A＝∠D，得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的性质求出线
段CD即可．
【详解】解：∵ ，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，
∴△EAB∽△EDC，
∴AB：CD＝AE：DE＝1：2，
又∵AB＝2.5，
∴CD＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
12. 某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的
产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工 件产品，根据
题意可列方程为_________．
【答案】
【解析】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】根据题意可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多
用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5
倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13. 如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别在 ， 上，将
沿直线 翻折，点 的对应点 恰好落在 上，连接 ，若 ，则 的长为_________．
【答案】7.5
【解析】
【分析】在 中，利用勾股定理求出 的长，然后根据 得出 ，再根
据折叠的性质可得 ．根据 求得 的长．
【详解】解：在 中，
，
， ，
．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
．
．
．
．
将 沿直线 翻折，点 的对应点 恰好落在 上，
．
．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是在直角三角形中根据 通过推
理论证得到 是斜边上的中线．
14. 如图，菱形 的边长为2， ，对角线 与 交于点 ， 为 中点， 为
中点，连接 ，则 的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得FH【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
＝ AO＝ ，FH AO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，取OD的中点H，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝ AB＝1，BO＝ ＝DO，
∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，
∴FH＝ AO＝ ，FH AO，
∴FH⊥BD，
∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，
∴OE＝ ，OH＝ ，
∴EH＝ ，
∴EF＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点．在 中， ，边 在 轴上，点
是边 上一点，且 ，反比例函数 的图象经过点 交 于点 ，连接 ．若【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，则 的值为_________．
【答案】1
【解析】
【分析】设D（m， ），由OD：DB＝1：2，得出B（3m， ），根据三角形的面积公式以及反比例
函数系数k的几何意义得到 ，解得k＝1．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点D，∠OAB＝90°，
∴D（m， ），
∵OD：DB＝1：2，
∴B（3m， ），
∴AB＝3m，OA＝ ，
∴反比例函数 的图象经过点D交AB于点C，∠OAB＝90°，
∴ ，
∵ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，即 ，
解得k＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，
掌握反比例函数的性质、正确表示出B的坐标是解题的关键．
16. 如图，在正方形 中，点 为 的中点， ， 交于点 ， 于点 ， 平分
，分别交 ， 于点 ， ，延长 交 于点 ，连接 ．下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正
确的是_________．（填序号即可）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，证明∠CDF＝∠ECB，求出 ，可得①正确；
根据平行线分线段成比例结合勾股定理求出 ， ， ，进而求
出 可得②错误；过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EC于点P，用a表示出GM，GF，
FN可得③正确；证明∠BEF＝∠HCD，求出 ，可得④正确．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EC于点P，设正方形ABCD的边长为2a．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AE＝EB＝a，BC＝2a，
∴ ，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ECB＋∠DCF＝90°，
∵∠DCF＋∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ECB，
∴ ，故①正确，
∵BE CD，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
在Rt CDF中， ，CD＝2a，
△
∴ ， ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②错误；
∵FM平分∠DFE，GQ⊥DF，GP⊥EC，
∴GQ＝GP，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴BG＝DG，
∵DM BN，
∴ ，
∴GM＝GN，
∵ ，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∵∠GPF＝∠PFQ＝∠FQG＝90°，GP＝GQ，
∴四边形GPFQ是正方形，
∴ ，
过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴MG＝GN＝GF＋FN＝ ，
∴MG：GF：FN＝ ，故③正确，
∵ ，
∴∠BEF＝∠HCD，
∵ ， ，
∴ ，
∴△BEF∽△HCD，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角
形，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴
题．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
三、解答题（每小题8分，共16分）
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算将式子进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当 时，
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．
18. 如图，在四边形 中， 与 交于点 ， ， ，垂足分别为点 ， ，
且 ， ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】结合已知条件推知 ；然后由全等三角形的判定定理 证得 ，则其
对应边相等： ；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．
【详解】证明： ，
．
．
在 与 中，
．
．
．
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的
判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19. 某校开展“凝心聚力颂家乡”系列活动，组建了四个活动小组供学生参加： （朗诵）， （绘画），
（唱歌）， （征文），学校规定：每名学生都必须参加且只能参加其中一个活动小组．学校随机抽取
了部分学生，对其参加活动小组情况进行了调查．根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1和
图2）．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了_________名学生，扇形统计图中“ ”对应的圆心角度数为_________．
（2）请补全条形统计图．
（3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，请你估计这所学校参加 活动小组的学生人数．
【答案】（1）100，126°
（2）见解析 （3）320
【解析】
【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得抽查的学生人数；用360°乘“C”所占比例可得扇形统计图中
“C”对应的圆心角度数；
（2）总人数减去A、C、D的人数求得B对应人数，据此可补全图形；
（3）总人数乘以样本中D的人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：这次学校抽查的学生人数是24÷24%=100（人），
扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为 ×360°=126°
故答案为：100，126°；
【小问2详解】
B人数为：100-（24+35+16）=25（人），
补全条形图如下：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问3详解】
（人），
答：估计这所字校参加D活动小组的学生人数有320人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
20. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过
评比后，七年级的两名学生（用 ， 表示）和八年级的两名学生（用 ， 表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好
一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
【答案】（1） ；
（2）作图见解析， ．
【解析】
【
分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故答案为： ；
【小问2详解】
树状图如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21. 北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校
在教学楼上悬挂了一幅长为 的励志条幅（即 ）．小亮同学想知道条幅的底端 到地面的距
离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点 处，在点 正上方点 处测得条幅顶端 的仰角为
，然后向教学楼条幅方向前行 到达点 处（楼底部点 与点 ， 在一条直线上），在点 正上
方点 处测得条幅底端 的仰角为 ，若 ， 均为 （即四边形 为矩形），请你帮
助小亮计算条幅底端 到地面的距离 的长度．（结果精确到 ，参考数据： ，
， ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【解析】
【分析】设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝
90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，
从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解
答．
【详解】解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH•tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝ ，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点
，与 轴交于点 ．
（1）求点 的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；
（2）6
【解析】
【分析】（1）由一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作BD x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，利用函数解析式求得B、D的坐标，然后根
据三角形面积公式即可求得．
【小问1详解】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解：∵一次函数y＝x＋2的图象过点A（1，m），
∴m＝1＋2＝3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数 （x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴B（3，1），
作BD x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x＋2得，1＝x＋2，解得x＝−1，
∴D（−1，1），
∴BD＝3＋1＝4，
∴ ．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求
反比例函数的解析式，三角形的面积，注意数形结合思想的运用．
六、解答题（每小题10分，共20分）
23. 如图， 是 的外接圆， 为 的直径，点 为 上一点， 交 的延长线【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
于点 ， 与 交于点 ，连接 ，若 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）过程见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出 ，再由
，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；
（2）先说明 ，再设 的半径为r，并表示 ， ， ，然后根据对应边成比例得
出 ，根据比例式求出半径即可．
【小问1详解】
证明：连接OE．
∵ ， ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴∠ABC=∠BOE，
∴ ，
∴∠OED=∠BCD．
∵ ，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴ ．
∵EO是 的半径，
∴EF是 的切线．
【小问2详解】
∵ ，
∴ ．
∵BF=2， ．
设 的半径为r，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的
∴ 半径是3．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．
24. 某超市购进一批水果，成本为8元/ ，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价 （元/
）与时间第 天之间满足函数关系式 （ ， 为整数），又通过分析销售情况，发现
每天销售量 与时间第 天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第 天 … 2 5 9 …
销售量 … 33 30 26 …
（1）求 与 的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
【答案】（1）y＝−x＋35（1≤x≤10，x为整数）；
（2）在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设销售这种水果的日利润为w元，得出w＝ ＝ ，，再
结合1≤x≤10，x为整数，利用二次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx＋b，
根据题意，得： ，
解得 ，
∴y＝−x＋35（1≤x≤10，x为整数）；
【小问2详解】
解：设销售这种水果的日利润为w元，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
则w＝
＝
＝ ，
∵1≤x≤10，x为整数，
∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，
答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
【点睛】本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质
是解题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
25. 如图，在 中， ， ，点 在直线 上，连接 ，将 绕点 逆时
针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）当点 在线段 上（点 不与点 ， 重合）时，求 的值；
（3）过点 作 交 于点 ，若 ，请直接写出 的值．
【答案】（1）证明见解析；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝ AB，BC＝2BH，进而得出结论；
（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；
（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则
AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结
果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果．
【小问1详解】
证明：如图1，
作AH⊥BC于H，
∵AB＝AB，
∴∠BAH＝∠CAH＝ ∠BAC＝ ×120°＝60°，BC＝2BH，
∴sin60°＝ ，
∴BH＝ AB，
∴BC＝2BH＝ AB；
【小问2详解】
解：∵AB＝AC，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴∠ABC＝∠ACB＝ ，
由（1）得， ，
同理可得，
∠DBE＝30°， ，
∴∠ABC＝∠DBE， ，
∴∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴ ；
【小问3详解】
：如图2，
当点D在线段AC上时，
作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，
设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，
由（1）得， ，
在Rt△ABF中，∠BAF＝180°−∠BAC＝60°，AB＝3a，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴AF＝3a•cos60°＝ ，BF＝3a•sin60°＝ ，
在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝ ，
，
∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AN DE，
∴∠AND＝∠BDE＝120°，
∴∠ANG＝60°，
∴ ，
∴ ，
如图3，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
当点D在AC的延长线上时，
设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，
由（1）得，
CE＝ ，
作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，
同理可得，
AR＝a，BR＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
综上所述： 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关
键是正确分类和较强的计算能力．
八、解答题（本题满分14分）
26. 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点 是第三象限抛物线上一点，直线 与 轴交于点 ， 的面积为12，求点 的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点 是线段 上点，连接 ，将 沿直线 翻折得到 ，当
直线 与直线 相交所成锐角为 时，求点 的坐标．
【答案】（1） ；
（2）P（−3，−7）；
（3） 的坐标为 或 ．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为（0，−4），再由待定系数法求出直线BD的
解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；
（3）当 在第一象限时，由∠ODB＝45°，可知 ，求出直线BC的解析式，可设E（t，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
），在 中， ，则 ，在Rt△BHE中，由勾股定
理得 ，求出t的值即可求 坐标；当 在第二象限时，
轴，可得四边形 是平行四边形，则 ，由折叠的性质可判断平行四边
形 是菱形，再由BE＝OB，可得
，求出t的值即可求 坐标．
【小问1详解】
将A（−1，0），C（0，2）代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
【小问2详解】
令y＝0，则 ，
解得x＝−1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴OD＝4，
∴D（0，−4），
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x−4，
联立方程组 ，
解得 或 ，
∴P（−3，−7）；
【小问3详解】
如图1，当 在第一象限时，
设直线BC的解析式为 ，
，
解得 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
设E（t， ），，
∴OE＝t，EH＝ ，
∵D（0，−4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线 与直线BP相交所成锐角为45°，
∴ ，
由折叠可知， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴
在Rt△BHE中， ，
解得 ，
∵0≤t≤4，
∴t＝ ，
∴ ；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
如图2，当 在第二象限， 时，
∵∠ABP＝45°，
∴ 轴，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知 ，
∴平行四边形 是菱形，
∴BE＝OB，
∴ ，
解得 或 ，
∵0≤t≤4，
∴ ，
∴ ；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
综上所述： 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的
性质，勾股定理的应用是解题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
