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2016年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的
方框涂黑，不选、多选、错选均不给分
1．（3分）计算（﹣20）+16的结果是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2016 D．2016
2．（3分）为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动，下列图形中既是
轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）受“乡村旅游第一市”的品牌效应和2015年国际乡村旅游大会的宣传效应的影响，
2016年湖州市在春节黄金周期间共接待游客约 2800000人次，同比增长约 56%，将
2800000用科学记数法表示应是（ ）
A．28×105 B．2.8×106 C．2.8×105 D．0.28×105
5．（3分）数据1，2，3，4，4，5的众数是（ ）
A．5 B．3 C．3.5 D．4
6．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若
第1页（共24页）AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．（3分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷
一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算|x﹣4|，则其结果恰为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，
交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ）
A．25° B．40° C．50° D．65°
9．（3分）定义：若点P（a，b）在函数y＝ 的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构
造的二次函数y＝ax2+bx称为函数y＝ 的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数y＝
的图象上，则函数y＝2x2+ 称为函数y＝ 的一个“派生函数”．现给出以下两个命
题：
（1）存在函数y＝ 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧
（2）函数y＝ 的所有“派生函数”，的图象都经过同一点，下列判断正确的是（ ）
A．命题（1）与命题（2）都是真命题
B．命题（1）与命题（2）都是假命题
C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题
D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
第2页（共24页）10．（3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝7．如图2，在底边BC上取一点
D，连结AD，使得∠DAC＝∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落
在点E处，连结BE，得到四边形ABED，则BE的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．2
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）数5的相反数是 ．
12．（4分）方程 ＝1的根是x＝ ．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，分别以点A，B为圆心，大于线
段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结
CD，则CD的长是 ．
14．（4分）如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其
中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2所示的∠1与
∠2，则∠1与∠2的度数和是 度．
15．（4分）已知四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：b＞a，x+y＝a+b，y﹣x＜a﹣b．请
将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来是 ．
16．（4分）已知点P在一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左
平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y＝kx+b的图象上．
第3页（共24页）（1）k的值是 ；
（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y＝ 图象
交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S 为四边形CEOB的
1
面积，S 为△OAB的面积，若 ＝ ，则b的值是 ．
2
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：tan45°﹣sin30°+（2﹣ ）0．
18．（6分）当a＝3，b＝﹣1时，求下列代数式的值．
（1）（a+b）（a﹣b）；
（2）a2+2ab+b2．
19．（6分）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．
（1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式；
（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少
米？
20．（8分）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若圆O的半径为3，求 的长．
21．（8分）中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委
第4页（共24页）组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生
的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中
200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统
计图表：
抽取的200名学生海选成绩分组表
组别 海选成绩x
A组 50≤x＜60
B组 60≤x＜70
C组 70≤x＜80
D组 80≤x＜90
E组 90≤x＜
100
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为 ，表
示C组扇形的圆心角 的度数为 度；
（3）规定海选成绩在9θ0分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛
的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？
22．（10分）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步
推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年
（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，
第5页（共24页）这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个
养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间
数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
①求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
23．（②10分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，
4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶
点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接
写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
24．（12分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD＝
120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋
转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，
AD于点E，F（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若AD＝AB，求证： △BCE≌△ACF， AE+AF＝AC；
（2）类比发现 ① ②
如图2，若AD＝2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE＝2FH；
（3）深入探究
如图3，若AD＝3AB，探究得： 的值为常数t，则t＝ ．
第6页（共24页）第7页（共24页）2016年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的
方框涂黑，不选、多选、错选均不给分
1．【分析】根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（﹣20）+16，
＝﹣（20﹣16），
＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的加法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180
度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能
够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能
够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
3．【分析】根据主视方向确定看到的平面图形即可．
【解答】解：结合几何体发现：从主视方向看到上面有一个正方形，下面有3个正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解主视图是由主视方向
看到的平面图形，属于基础题，难度不大．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
第8页（共24页）要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：2800000＝2.8×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】直接利用众数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵数据1，2，3，4，4，5中，4出现的次数最多，
∴这组数据的众数是：4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了众数的定义，正确把握定义是解题关键．
6．【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝
PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线
是解题的关键．
7．【分析】先求出绝对值方程|x﹣4|＝2的解，即可解决问题．
【解答】解：∵|x﹣4|＝2，
第9页（共24页）∴x＝2或6．
∴其结果恰为2的概率＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查概率的定义、绝对值方程等知识，解题的关键是理解题意，如果一个事件
有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
P（A）＝ ，属于中考常考题型．
8．【分析】首先连接OC，由∠A＝25°，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得
OC⊥CD，继而求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∵∠A＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D＝90°﹣∠BOC＝40°．
故选：B．
【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
9．【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴
在y轴右侧即可判断．
（2）根据“派生函数”y＝ax2+bx，x＝0时，y＝0，经过原点，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵P（a，b）在y＝ 上，
∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，
第10页（共24页）∴存在函数y＝ 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．
（2）∵函数y＝ 的所有“派生函数”为y＝ax2+bx，
∴x＝0时，y＝0，
∴所有“派生函数”为y＝ax2+bx经过原点，
∴函数y＝ 的所有“派生函数”，的图象都经过同一点，是真命题．
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理、二次函数的性质，理解题意是解题的关键，记住二次函数y
＝ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧，属于基础题．
10．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得 ＝ ，只要求出BM、BD即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠DAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ABC，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CD＝ ，BD＝BC﹣CD＝ ，
∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，
∴△ADM∽△BDA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴DM＝ ，MB＝BD﹣DM＝ ，
∵∠ABM＝∠C＝∠MED，
第11页（共24页）∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，
∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，
推出∠ADB＝∠BEM也可以！）
∴ ＝ ，
∴BE＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比
较难，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：数5的相反数是：﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．
12．【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x﹣3进行检验即可．
【解答】解：两边都乘以x﹣3，得：2x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x﹣3＝﹣5≠0，
故方程的解为x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
13．【分析】首先说明AD＝DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．
【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，
第12页（共24页）∴AD＝DB，
Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∵AD＝DB，∠ACB＝90°，
∴CD＝ AB＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查勾股定理．直角三角形斜边中线性质、基本作图等知识，解题的关键是知
道线段的垂直平分线的作法，出现中点想到直角三角形斜边中线性质，属于中考常考题型．
14．【分析】如图2，AB∥CD，∠AEC＝90°，作EF∥AB，根据平行线的传递性得到EF∥CD，
则根据平行线的性质得∠1＝∠AEF，∠2＝∠CEF，所以∠1+∠2＝∠AEC＝90°
【解答】解：如图2，AB∥CD，∠AEC＝90°，
作EF∥AB，则EF∥CD，
所以∠1＝∠AEF，∠2＝∠CEF，
所以∠1+∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝90°．
故答案为90．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；
两直线平行，内错角相等．
15．【分析】由x+y＝a+b得出y＝a+b﹣x，x＝a+b﹣y，求出b＜x，y＜a，即可得出答案．
【解答】解：∵x+y＝a+b，
∴y＝a+b﹣x，x＝a+b﹣y，
把y＝a+b﹣x代入y﹣x＜a﹣b得：a+b﹣x﹣x＜a﹣b，
第13页（共24页）2b＜2x，
b＜x ，
把x＝①a+b﹣y代入y﹣x＜a﹣b得：y﹣（a+b﹣y）＜a﹣b，
2y＜2a，
y＜a ，
∵b＞②a ，
∴由 ③ 得：y＜a＜b＜x，
故答①案为②：③y＜a＜b＜x．
【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，能选择适当的方法求出 是解此题的关
键． ①②
16．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在一次函数
y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k、m、n、b的四元一次方程
组，两式做差即可得出k值；
（2）根据BO⊥x轴，CE⊥x轴可以找出△AOB∽△AEC，根据相似三角形的性质可得出
＝ ，设点C的坐标为（x，﹣2x+b），则OB＝b，CE＝﹣2x+b，根据 ＝ 结合点C为两
函数图象的交点，即可得出关于x、b的方程组，解之即可求出b值，取其正值即可得出结
论．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），
依题意得： ，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
（2）根据题意得： ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
设点C的坐标为（x，﹣2x+b），则OB＝b，CE＝﹣2x+b，
第14页（共24页）∴ ，
解得：b＝3 ，或b＝﹣3 （舍去）．
故答案为：3 ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数k的几何意义以
及相似三角形的判定及性质，解题的关键：（1）由P点坐标表示出Q点坐标；（2）利用相似
三角形的性质结合点C为两函数图象的交点找出关于x、b的方程组．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣ +1
＝ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】（1）把a与b的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣1时，原式＝2×4＝8；
（2）当a＝3，b＝﹣1时，原式＝（a+b）2＝22＝4．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．【分析】（1）根据矩形的面积＝长×宽，列出y与x的函数表达式即可；
（2）把x＝20代入计算求出y的值，即可得到结果．
【解答】解：（1）由长方形面积为2000平方米，得到xy＝2000，即y＝ ；
（2）当x＝20（米）时，y＝ ＝100（米），
第15页（共24页）则当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．
【点评】此题考查了反比例函数的应用，弄清题意是解本题的关键．
20．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB＝∠DBC求出答案；
（2）首先求出 的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°，
∵∠DBC＝75°，
∴∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴BD＝CD；
（2）解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝30°，
由圆周角定理，得， 的度数为：60°，
故 ＝ ＝ ＝ ，
π
答： 的长为 ．
【点评】此题主要π 考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出∠DCB的度
数是解题关键．
21．【分析】（1）用随机抽取的总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，从而补全
统计图；
（2）用B组抽查的人数除以总人数，即可求出a；用360乘以C组所占的百分比，求出C组
扇形的圆心角 的度数；
（3）用该校参加θ这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上（包括90分）所占的百分比，
即可得出答案．
【解答】解：（1）D的人数是：200﹣10﹣30﹣40﹣70＝50（人），
补图如下：
第16页（共24页）（2）B组人数所占的百分比是 ×100%＝15%，
则a的值是15；
C组扇形的圆心角 的度数为360× ＝72°；
θ
故答案为：15，72；
（3）根据题意得：
2000× ＝700（人），
答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．【分析】（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长
率为x，根据“2015年的床位数＝2013年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的
一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2） 设规划建造单人间的房间数为（t 10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间
的房①间数为100﹣3t，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间
数”即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；
设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的
②双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t
的取值范围，即可得出结论．
第17页（共24页）【解答】解：（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增
长率为x，由题意可列出方程：
2（1+x）2＝2.88，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2） 设规划建造单人间的房间数为（t 10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间
的房①间数为100﹣3t，
由题意得：t+4t+3（100﹣3t）＝200，
解得：t＝25．
答：t的值是25．
设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
②由题意得：y＝t+4t+3（100﹣3t）＝﹣4t+300（10≤t≤30），
∵k＝﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小．
当t＝10时，y的最大值为300﹣4×10＝260（个），
当t＝30时，y的最小值为300﹣4×30＝180（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．
【点评】本题考查了一次函数的应用、解一元一次方程以及解一元二次方程，解题的关键
是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程；（2） 根据数量关系找出关于t的一元
一次方程； 根据数量关系找出y关于t的函数关系式．①本题属于中档题，难度不大，解决
该题型题目②时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．
23．【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点
M的坐标；
（2）点M是沿着对称轴直线x＝1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x＝1代入
求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；
（3）由题意分析可得∠MCP＝90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成
△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．
【解答】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c得，
解得
第18页（共24页）∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+4，
配方得y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴点M的坐标为（1，5）；
（2）设直线AC解析式为y＝kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，
解得
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，如图所示，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别交于点
E、点F
把x＝1代入直线AC解析式y＝﹣x+4解得y＝3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）
∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；
（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）
∵MG＝1，GC＝5﹣4＝1
∴MC＝ ＝ ，
把y＝5代入y＝﹣x+4解得x＝﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），
∵NG＝GC，GM＝GC，
∴∠NCG＝∠GCM＝45°，
第19页（共24页）∴∠NCM＝90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP＝90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
若有△PCM∽△BDC，则有
①
∵BD＝1，CD＝3，
∴CP＝ ＝ ＝ ，
∵CD＝DA＝3，
∴∠DCA＝45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH＝45°，CP＝
∴PH＝ ＝
把x＝ 代入y＝﹣x+4，解得y＝ ，
∴P （ ）；
1
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x＝﹣ 代入y＝﹣x+4，解得y＝
∴P （ ）；
2
若有△PCM∽△CDB，则有
②
∴CP＝ ＝3
∴PH＝3 ÷ ＝3，
若点P在y轴右侧，把x＝3代入y＝﹣x+4，解得y＝1；
若点P在y轴左侧，把x＝﹣3代入y＝﹣x+4，解得y＝7
∴P （3，1）；P （﹣3，7）．
3 4
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P（ ），P（ ），P（3，1），P
1 2 3 4
（﹣3，7）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数解析式及相似三角形性质，解题的
第20页（共24页）关键是分类讨论三角形相似的不同情况，结合特殊角的使用来求出点P的坐标．
24．【分析】（1） 先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明∠BCE＝∠ACF即可解决
问题． 根据① 的结论得到BE＝AF，由此即可证明．
② ①
（2）设DH＝x，由题意，CD＝2x，CH＝ x，由△ACE∽△HCF，得 ＝ 由此即可证明．
（3）如图 3 中，作 CN⊥AD 于 N，CM⊥BA 于 M，CM 与 AD 交于点 H．先证明
△CFN∽△CEM，得 ＝ ，由AB•CM＝AD•CN，AD＝3AB，推出CM＝3CN，所以
＝ ＝ ，设CN＝a，FN＝b，则CM＝3a，EM＝3b，想办法求出AC，AE+3AF即可解决问
题．
【解答】解；（1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°，
∴∠D＝∠B＝60°，①
∵AD＝AB，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠B＝∠CAD＝60°，∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
∴△BCE≌△ACF．
∵△BCE≌△ACF，
②∴BE＝AF，
∴AE+AF＝AE+BE＝AB＝AC．
（2）设DH＝x，由题意，CD＝2x，CH＝ x，
∴AD＝2AB＝4x，
∴AH＝AD﹣DH＝3x，
∵CH⊥AD，
第21页（共24页）∴AC＝ ＝2 x，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ACH＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠HCF＝∠ACE，
∴△ACE∽△HCF，
∴ ＝ ＝2，
∴AE＝2FH．
（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．
∵∠ECF+∠EAF＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∵∠AFC+∠CFN＝180°，
∴∠CFN＝∠AEC，∵∠M＝∠CNF＝90°，
∴△CFN∽△CEM，
∴ ＝ ，
∵AB•CM＝AD•CN，AD＝3AB，
∴CM＝3CN，
∴ ＝ ＝ ，设CN＝a，FN＝b，则CM＝3a，EM＝3b，
∵∠MAH＝60°，∠M＝90°，
∴∠AHM＝∠CHN＝30°，
∴HC＝2a，HM＝a，HN＝ a，
∴AM＝ a，AH＝ a，
∴AC＝ ＝ a，
AE+3AF＝（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）＝EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN＝3AH+3HN﹣AM
第22页（共24页）＝ a，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
第23页（共24页）【点评】本题考查几何变换综合题．全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、
等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，学会添加常
用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
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