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Born to win
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) _____________.
(2) 曲面 在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
(3) 设 ,则 在点 处的值为_____________.
(4) 设区域 为 ,则 _____________.
(5) 已知 ,设 ,其中 是 的转置,则 _________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 设 , , ,
则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 二元函数 在点 处两个偏导数 、 存在是 在
该点连续的 ( )
(A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件
(3) 设常数 ,且级数 收敛,则级数 ( )
(A) 发散 (B) 条件收敛
(C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 有关
(4) ,其中 ,则必有 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 已知向量组 线性无关,则向量组 ( )Born to win
(A) 、 、 、 线性无关
(B) 、 、 、 线性无关
(C) 、 、 、 线性无关
(D) 、 、 、 线性无关
三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)
(1) 设 求 、 在 的值.
(2) 将函数 展开成 的幂级数.
(3) 求 .
四、(本题满分6分)
计算曲面积分 ,其中 是由曲面 及两平面
所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设 具有二阶连续导数, ,且
为一全微分方程,求 及此全微分方程的
通解.
六、(本题满分8分)
设 在点 的某一领域内具有二阶连续导数,且 ,证明级数
绝对收敛.
七、(本题满分6分)
已知点 与 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段 绕 轴旋转一周所围成
的旋转曲面为 .求由 及两平面 所围成的立体体积.Born to win
八、(本题满分8分)
设四元线性齐次方程组 为 又已知某线性齐次方程组 的通解为
.
(1) 求线性方程组 的基础解系；
(2) 问线性方程组 和 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没
有,则说明理由.
九、(本题满分6分)
设 为 阶非零方阵, 是 的伴随矩阵, 是 的转置矩阵,当 时,证明
.
十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)
(1) 已知 、 两个事件满足条件 ,且 ,则 __________.
(2) 设相互独立的两个随机变量 、 具有同一分布律,且 的分布律为
则随机变量 的分布律为_______.
十一、(本题满分6分)
已知随机变量 服从二维正态分布,且 和 分别服从正态分布 和
, 与 的相关系数 ,设 ,
(1) 求 的数学期望 和方差 ；
(2) 求 与 的相关系数 ；
(3) 问 与 是否相互独立？为什么？Born to win
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】原式变形后为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,所以连
续应用两次洛必达法则,有
原式
. (由重要极限 )
(2)【答案】
【解析】所求平面的法向量 为平行于所给曲面在点 处法线方向的方向向量 ,取
,又平面过已知点 .
已知平面的法向量 和过已知点 可唯一确定这个平面：
.
因点 在曲面 上.曲面方程 .
曲面在该点的法向量
,
故切平面方程为 , 即 .
(3)【答案】
【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先Born to win
求 ,再求 .
,
.
(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)
【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 都在点 具有
对 及对 的偏导数,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数
在点 的两个偏导数存在,且有
；
.
(4)【答案】
【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：
原式 .
注意： ,
则 原式 .Born to win
(5)【答案】
【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 是一个数,
而 ,(是一个三阶矩阵)
于是,
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.
由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分
为0,故 ,且
由定积分的性质,如果在区间 上,被积函数 ,则 .
所以 , .
因而 ,应选(D).Born to win
(2)【答案】(D)
【解析】 在点 连续不能保证 在点 存在偏导数
.反之, 在点 存在这两个偏导数 也不能保
证 在点 连续,因此应选(D).
二元函数 在点 处两个偏导数存在和在点 处连续并没有相关性.
(3)【答案】(C)
【解析】考查取绝对值后的级数.因
,
(第一个不等式是由 得到的.)
又 收敛, 收敛,(此为 级数： 当 时收敛；当 时发散.)
所以 收敛,由比较判别法,得 收敛.
故原级数绝对收敛,因此选(C).
(4)【答案】(D)
【解析】因为 ,
故 ,
,
因此,原式左边 原式右边, .
当 时,极限为0；
当 时,极限为 ,均与题设矛盾,应选(D).
【相关知识点】1.无穷小的比较：
设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限Born to win
（1） 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小；
（2） 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；
（3） 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为
.
若 不存在(不为 ),称 不可比较.
2. 无穷小量的性质：当 时, 为无穷小,则
.
(5)【答案】(C)
【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式.
(A)：由于 ,所以(A)线性相关.
(B)：由于 ,所以(B)线性相关.
对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由 的系数构成的行列式,即
,
由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C).
当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由
,
知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).
【相关知识点】 线性相关的充分必要条件是存在某 可以由
线性表出.
线性无关的充分必要条件是任意一个 均不能由
线性表出.
三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)Born to win
(1)【解析】
同理 ,
代入参数值 ,
则 , .
【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果 在点 可导,而 在点
可导,则复合函数 在点 可导,且其导数为
或 .
2.对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶可导,则
.
(2)【解析】 .
先求 的展开式.将 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数
展开.所以由
该级数在端点 处的收敛性,视 而定.特别地,当 时,有
得
,
积分,由牛顿-莱布尼茨公式得Born to win
.
(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式 ,并利用换元积分,结
合拆项法求积分,得
( )
,
其中 为任意常数.
方法2：换元 后,有
原式 .
用待定系数法将被积函数分解:
,
.
于是,Born to win
.
四、(本题满分6分)
【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化
为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.
这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若 垂直 平面,则
.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.
先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.
方法1：注意 ,(因为 关于 平面对称,被积函数关于 轴对称)
所以 .
由上下底圆及圆柱面组成.分别记为 . 与平面 垂直
.
在 上将 代入被积表达式 .
在 平面上投影区域为 ,在 上, , 关
于 平面对称,被积函数对 为奇函数,可以推出
.
方法2： 是封闭曲面,它围成的区域记为 ,记 .Born to win
再用高斯公式得
(先一后二的求三重积分方法)
其中 是圆域： .
【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成,函数
、 、 在 上具有一阶连续偏导数,则有
或
这里 是 的整个边界曲面的外侧, 、 、 是 在点 处的法向量的
方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.
五、(本题满分9分)
【解析】由全微分方程的条件,有
,
即 ,亦即 .
因而是初值问题 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的
齐次方程的特征方程为 的根为 ,原方程右端 中的 ,不同
于两个特征根,所以方程有特解形如 .
代入方程可求得 ,则特解为 .
由题给 ,解得 .
的解析式代入原方程,则有Born to win
.
先用凑微分法求左端微分式的原函数：
,
.
其通解为 其中 为任意常数.
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 是二阶线性非齐次方程
的一个特解. 是与之对应的齐次方程
的通解,则 是非齐次方程的通解.
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
,可用特征方程法求解：即 中的 、 均是常数,方程
变为 .其特征方程写为 ,在复数域内解出两个特征根 ；
分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根 ,则通解为
(2) 两个相等的实数根 ,则通解为
(3) 一对共轭复根 ,则通解为 其中
为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程 的一个特解 ,可用待定
系数法,有结论如下：
如果 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中 是与 相同次数的多项式,而 按 不是特征方程的根、是特征方
程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果 ,则二阶常系数非齐次线性微分方程
的特解可设为
,
其中 与 是 次多项式, ,而 按 (或 )不是特征Born to win
方程的根、或是特征方程的单根依次取为 或 .
六、(本题满分8分)
【解析】 表明 时 是比 高阶的无穷小,若能进一步确定 是
的 阶或高于 阶的无穷小, 从而 也是 的 阶或高于 阶的无穷小,这就
证明了级数 绝对收敛.
方法一：由 及 的连续性得知 ,再由 在点
的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则, 为“ ”型的极限未定式,又分
子分母在点 处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有
.
由函数极限与数列极限的关系 .
因 收敛 收敛,即 绝对收敛.
方法二：由 得知 ,可用泰勒公式来实现估计. 在点
有泰勒公式：
因 在点 的某一领域内具有二阶连续导数,
在 有界,即 ,有
.Born to win
对此 , 时, .
又 收敛 收敛,即 绝对收敛.
【相关知识点】正项级数的比较判别法：
设 和 都是正项级数,且 则
1 当 时, 和 同时收敛或同时发散；
2 当 时,若 收敛,则 收敛；若 发散,则 发散；
3 当 时,若 收敛,则 收敛；若 发散,则 发散.
七、(本题满分6分)
【解析】方法1：用定积分.
设高度为 处的截面 的面积为 ,则所求体积 .
所在的直线的方向向量为 ,且过 点,
所以 所在的直线方程为 或 .
截面 是个圆形,其半径的平方 ,则面积
,
由此 .
方法2：用三重积分.
,Born to win
或者
.
八、(本题满分8分)
【解析】(1)由已知, 的系数矩阵, .
由于 所以解空间的维数是2.
取 为自由变量,分别令 ,求出 的解.
故 的基础解系可取为 .
(2)方程组 和 有非零公共解.
将 的通解 代入方程组 ,则有
.
那么当 时,向量 是 与 的非
零公共解.
九、(本题满分6分)
【解析】证法一：由于 ,根据 的定义有
,其中 是行列式 中 的代数余子式.
由于 ,不妨设 ,那么
,
故 .Born to win
证法二：(反证法)若 ,则 .
设 的行向量为 ,则 .
于是 .
进而有 ,这与 是非零矩阵相矛盾.故 .
十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)
(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有
.
因题目已知 ,故有
, .
(2)【解析】由于 、 相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量
只取0与1两个可能的值,且
,
.
所以随机变量 的分布律为：
0 1
十一、(本题满分6分)
【解析】此题的第一小问是求数学期望 和方差 ,是个常规问题；(2)求相关系数
,关键是计算 与 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.Born to win
(1) 由 , ,知
.
由数学期望和方差的性质：
,
,
其中 为常数.
得
(2) 因为
所以 .
(3) 由于 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而
, ,故 和 都是其线性组合,则 服从二维正态分布,根据
,所以 与 是相互独立的.
