文档内容
2016 年甘肃省天水市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．四个数﹣3，0，1，π中的负数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1D．π
2．下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．366人中至少有2人的生日相同
D．实数的绝对值是非负数
4．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线AB∥CD，OG是∠EOB的平分线，∠EFD=70°，则∠BOG的度数是（ ）
A．70° B．20° C．35° D．40°
6．反比例函数y=﹣ 的图象上有两点P（x ，y ），P（x ，y ），若x ＜0＜x ，则下列结论正确的是（ ）
1 1 1 2 2 2 1 2
A．y ＜y ＜0 B．y ＜0＜y C．y ＞y ＞0 D．y ＞0＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
7．已知分式 的值为0，那么x的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1D．1或﹣2
第1页（共31页）8．1.58×106米的百万分之一大约是（ ）
A．初中学生小丽的身高 B．教室黑板的长度
C．教室中课桌的宽度 D．三层楼房的高度
9．有一根40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段，剩余部分作废料处理，若使废料
最少，则正整数x，y应分别为（ ）
A．x=1，y=3 B．x=4，y=1 C．x=3，y=2 D．x=2，y=3
10．如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始
时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C重
合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．函数 中，自变量x的取值范围是__________．
12．若点P（a，4﹣a）是第一象限的点，则a的取值范围是__________．
13．规定一种运算“*”，a*b= a﹣ b，则方程x*2=1*x的解为__________．
14．如图，直线y =kx（k≠0）与双曲线y = （x＞0）交于点A（1，a），则y ＞y 的解集为__________．
1 2 1 2
第2页（共31页）15．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟
图”中有245个“○”，则n=__________．
16．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片
OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB= ，tan∠BOC= ，则点A′的坐标为__________．
17．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点
F，点P是优弧 上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是__________．
第3页（共31页）18．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结
论：①abc＜0；② ；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣ ．其中正确结论的序号是__________．
三、解答题（本大题共8小题，共28分）
19．（1）计算： ﹣（π﹣1）0+tan60°+| |；
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
20．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角
为45°，已知OA=200米，山坡坡度为 （即tan∠PAB= ），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高
度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
21．近年来，我国持续的大面积的雾霾天气让环境和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了
解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了
解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
第4页（共31页）请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有__________人，n=__________；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是__________度；
（3）请补全条形统计图；
（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人
参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个
不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两
个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
22．先化简，再求值： ，其中x=2sin60°﹣1．
第5页（共31页）23．如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M
作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当OB=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．
24．天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按
时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=
（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第
x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利
润=出厂价﹣成本）
25．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，
请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE
与CD有什么数量关系？并说明理由；
（3）运用（1），（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，
AC=AE，求BE的长（结果保留根号）．
第6页（共31页）26．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC
绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；
（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的
坐标．
第7页（共31页）2016 年甘肃省天水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．四个数﹣3，0，1，π中的负数是（ ）
A．﹣3 B．0C．1D．π
【考点】正数和负数．
【分析】根据负数的意义求解．
【解答】解：四个数﹣3，0，1，π中的负数是﹣3．
故选A．
【点评】本题考查了正数与负数：在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符
号． 0既不是正数也不是负数．
2．下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，由此可确定答案．
【解答】解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，
故选D
【点评】主要考查立体图形的左视图，关键是几何体的左视图．
3．下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．366人中至少有2人的生日相同
D．实数的绝对值是非负数
【考点】随机事件．
【分析】根据概率、平行线的性质、负数的性质进行填空即可．
第8页（共31页）【解答】解：A、抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上的概率为 ，故A错误；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B错误；
C、367人中至少有2人的生日相同，故C错误；
D、实数的绝对值是非负数，故D正确；
故选D．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．
4．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】逐一分析四个选项中的图形，可那个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，由此即可得出结论．
【解答】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形；
B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形；
D、是轴对称图形不是中心对称图形．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，解题的关键是牢记中心对称图形及轴对称图形的特点．
本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，对折（或旋转）图形验证其是否为轴对称（或中心对称）图
形是关键．
5．如图，直线AB∥CD，OG是∠EOB的平分线，∠EFD=70°，则∠BOG的度数是（ ）
A．70° B．20° C．35° D．40°
【考点】平行线的性质．
【分析】先由平行线的性质得出∠BOE=∠EFD=70°，再根据角平分线的定义求出∠BOG的度数即可．
第9页（共31页）【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BOE=∠EFD=70°，
∵FG平分∠EFD交AB于点G，
∴∠BOG= ∠BOE=35°；
故选C．
【点评】本题考查的是平行线的性质、角平分线定义，用到的知识点为；两直线平行，同位角相等．
6．反比例函数y=﹣ 的图象上有两点P（x ，y ），P（x ，y ），若x ＜0＜x ，则下列结论正确的是（ ）
1 1 1 2 2 2 1 2
A．y ＜y ＜0 B．y ＜0＜y C．y ＞y ＞0 D．y ＞0＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】由反比例函数的解析式可知xy=﹣1，故x与y异号，于是可判断出y 、y 的正负，从而得到问题的答
1 2
案．
【解答】解：∵y=﹣ ，
∴xy=﹣1．
∴x、y异号．
∵x ＜0＜x ，
1 2
∴y ＞0＞y ．
1 2
故选：D．
【点评】本题主要考查是反比例函数图象上点的坐标特点，确定出y 、y 的正负时解题的关键．
1 2
7．已知分式 的值为0，那么x的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1D．1或﹣2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式 的值为0，
第10页（共31页）∴（x﹣1）（x+2）=0且x2﹣1≠0，
解得：x=﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分母不为零是解题关键．
8．1.58×106米的百万分之一大约是（ ）
A．初中学生小丽的身高 B．教室黑板的长度
C．教室中课桌的宽度 D．三层楼房的高度
【考点】数学常识．
【分析】这个高度的百万分之一，即除以106，由此即可解决问题．
【解答】解：1.58×106米的百万分之一=1.58×106÷106=1.58米．
相当于初中生的身高．
故选A．
【点评】本题属于基础题，考查了基本的计算能力和估算的能力，解答时可联系生活实际去解．
9．有一根40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段，剩余部分作废料处理，若使废料
最少，则正整数x，y应分别为（ ）
A．x=1，y=3 B．x=4，y=1 C．x=3，y=2 D．x=2，y=3
【考点】二元一次方程的应用．
【分析】根据金属棒的长度是40cm，则可以得到7x+9y≤40，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的
结果，分别计算出省料的长度即可确定．
【解答】解：根据题意得：7x+9y≤40，
则x≤ ，
∵40﹣9y≥0且y是正整数，
∴y的值可以是：1或2或3或4．
当y=1时，x≤ ，则x=4，此时，所剩的废料是：40﹣1×9﹣4×7=3cm；
当y=2时，x≤ ，则x=3，此时，所剩的废料是：40﹣2×9﹣3×7=1cm；
第11页（共31页）当y=3时，x≤ ，则x=1，此时，所剩的废料是：40﹣3×9﹣7=6cm；
当y=4时，x≤ ，则x=0（舍去）．
则最小的是：x=3，y=2．
故选C．
【点评】本题考查了不等式的应用，读懂题意，列出算式，正确确定出x，y的所有取值情况是本题的关键．
10．如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始
时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C重
合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】分为0＜x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公
式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
【解答】解：如图1所示：当0＜x≤1时，过点D作DE⊥BC′．
∵△ABC和△A′B′C′均为等边三角形，
∴△DBC′为等边三角形．
第12页（共31页）∴DE= BC′= x．
∴y= BC′•DE= x2．
当x=1时，y= ，且抛物线的开口向上．
如图2所示：1＜x≤2时，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为E．
∵y= B′C′•A′E= ×1× = ．
∴函数图象是一条平行与x轴的线段．
如图3所示：2＜x≤3时，过点D作DE⊥B′C，垂足为E．
y= B′C•DE= （x﹣2）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．函数 中，自变量x的取值范围是 x ＞ ﹣ 1 ．
第13页（共31页）【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x+1＞0，解得x＞﹣1．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数．
12．若点P（a，4﹣a）是第一象限的点，则a的取值范围是 0 ＜ a ＜ 4 ．
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【分析】根据第一象限内点的坐标特点列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵点P（a，4﹣a）是第一象限的点，
∴ ，解得0＜a＜4．
故答案为：0＜a＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知第一象限内点的坐标特点是解答此题的关键．
13．规定一种运算“*”，a*b= a﹣ b，则方程x*2=1*x的解为 ．
【考点】解一元一次方程．
【专题】新定义．
【分析】根据新定义运算法则列出关于x的一元一次方程，通过解该方程来求x的值．
【解答】解：依题意得： x﹣ ×2= ×1﹣ x，
x= ，
x= ．
故答案是： ．
【点评】本题立意新颖，借助新运算，实际考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括
号、移项、系数化为1等．
第14页（共31页）14．如图，直线y =kx（k≠0）与双曲线y = （x＞0）交于点A（1，a），则y ＞y 的解集为 x ＞ 1 ．
1 2 1 2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】y ＞y 的解集即直线位于双曲线上时，x的取值范围．
1 2
【解答】解：∵根据图象可知当x＞1时，直线在双曲线的上方，
∴y ＞y 的解集为x＞1．
1 2
故答案为：x＞1．
【点评】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数学结合是解题的关键．
15．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟
图”中有245个“○”，则n= 1 6 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由图可知：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数
为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟
图”中有245个“○”是n的值．
【解答】解：第一个图形有：5个○，
第二个图形有：2×1+5=7个○，
第三个图形有：3×2+5=11个○，
第四个图形有：4×3+5=17个○，
由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，
则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245
解得：n =16，n =﹣15（舍去）．
1 2
第15页（共31页）故答案为：16．
【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问
题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
16．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片
OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB= ，tan∠BOC= ，则点A′的坐标为 （ ， ） ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【分析】如图，作辅助线；根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出A′D、OD的长度，即可解决
问题．
【解答】解：如图，过点A′作A′D⊥x轴与点D；
设A′D=λ，OD=μ；
∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠OCB=90°；四边形ABA′D为梯形；
设AB=OC=γ，BC=AO=ρ；
∵OB= ，tan∠BOC= ，
∴ ，
解得：γ=2，ρ=1；
由题意得：A′O=AO=1；△ABO≌△A′BO；
由勾股定理得：λ2+μ2=1①，
第16页（共31页）由面积公式得： ②；
联立①②并解得：λ= ，μ= ．
故答案为（ ， ）．
【点评】该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的
定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
17．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点
F，点P是优弧 上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是 6﹣ π ．
【考点】扇形面积的计算；切线的性质．
【分析】由于BC切⊙A于D，连接AD可知AD⊥BC，从而可求出△ABC的面积；根据圆周角定理，易求得
∠EAF=2∠EPF=100°，圆的半径为2，可求出扇形AEF的面积；图中阴影部分的面积=△ABC的面积﹣扇形
AEF的面积．
【解答】解：连接AD，
∵BC是切线，点D是切点，
∴AD⊥BC，
第17页（共31页）∴∠EAF=2∠EPF=100°，
∴S = = π，
扇形AEF
S = AD•BC= ×2×6=6，
△ABC
∴S =S ﹣S =6﹣ π．
阴影部分 △ABC 扇形AEF
故答案为：6﹣ π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，同时用到了圆周角定理和切线的概念及性质等知识，解决本题的关键
是利用圆周角与圆心角的关系求出扇形的圆心角的度数，难度一般．
18．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结
论：①abc＜0；② ；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣ ．其中正确结论的序号是 ①③④ ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
第18页（共31页）【分析】观察函数图象，根据二次函数图象与系数的关系找出“a＜0，c＞0，﹣ ＞0”，再由顶点的纵坐标在
x轴上方得出 ＞0．①由a＜0，c＞0，﹣ ＞0即可得知该结论成立；②由顶点纵坐标大于0即可
得出该结论不成立；③由OA=OC，可得出x =﹣c，将点A（﹣c，0）代入二次函数解析式即可得出该结论成
A
立；④结合根与系数的关系即可得出该结论成立．综上即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象，发现：
开口向下 a＜0；与y轴交点在y轴正半轴 c＞0；对称轴在y轴右侧 ﹣ ＞0；顶点在x轴上方
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
＞0．
①∵a＜0，c＞0，﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，①成立；
②∵ ＞0，
∴ ＜0，②不成立；
③∵OA=OC，
∴x =﹣c，
A
将点A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c中，
得：ac2﹣bc+c=0，即ac﹣b+1=0，③成立；
④∵OA=﹣x ，OB=x ，x •x = ，
A B A B
∴OA•OB=﹣ ，④成立．
第19页（共31页）综上可知：①③④成立．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，解题的关键是观察函数图象逐条验证
四条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图形，利用二次函数图象与系数的关
系找出各系数的正负是关键．
三、解答题（本大题共8小题，共28分）
19．（1）计算： ﹣（π﹣1）0+tan60°+| |；
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；在数轴上表示不等式的解集；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）分别根据数的开方法则、0指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质分别计算出
各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（1）原式=3﹣1+ +2﹣
=2+ +2﹣
=4；
（2）由①得，x≥﹣3，由②得x≤4，
故不等式的解集为：﹣3≤x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到”的原则是解答此题的关键．
20．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角
为45°，已知OA=200米，山坡坡度为 （即tan∠PAB= ），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高
度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
第20页（共31页）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】在直角△AOC中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、
RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解
决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO=200米，∠CAO=60°，
∴CO=AO•tan60°=200 （米）
（2）设PE=x米，
∵tan∠PAB= = ，
∴AE=3x．
在Rt△PCF中，
∠CPF=45°，CF=200 ﹣x，PF=OA+AE=200+3x，
∵PF=CF，
∴200+3x=200 ﹣x，
解得x=50（ ﹣1）米．
答：电视塔OC的高度是200 米，所在位置点P的铅直高度是50（ ﹣1）米．
第21页（共31页）【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直
角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．近年来，我国持续的大面积的雾霾天气让环境和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了
解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了
解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾所了解程度的统计表：
对雾霾的了解程度 百分比
A．非常了解 5%
A．比较了解 15%
C．基本了解 45%
D．不了解 n
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有 40 0 人，n= 35% ；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是 12 6 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人
参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个
不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两
个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【考点】游戏公平性；统计表；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．
【专题】统计与概率．
【分析】（1）根据统计图可以求出这次调查的学生数和n的值；
（2）根据统计图可以求得扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角的度数；
（3）根据题意可以求得调查为D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
第22页（共31页）（4）根据题意可以写出树状图，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）本次调查的学生有：20÷5%=400（人），
n=1﹣5%﹣15%﹣45%=35%，
故答案为：400，35%；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是：360°×35%=126°，
故答案为：126；
（3）调查的结果为D等级的人数为：400×35%=140，
故补全的条形统计图如右图所示，
（4）由题意可得，树状图如右图所示，
P（奇数）= = ，
P（偶数）= = ，
故游戏规则不公平．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、列表法和树状图法，解题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
第23页（共31页）22．先化简，再求值： ，其中x=2sin60°﹣1．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式= ，接着利用特殊角的三角函数值
得到x= ﹣1时，然后把x的值代入原式= 中计算即可．
【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
当x=2× ﹣1= ﹣1时，原式= =3 ﹣5．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在
化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化
成最简分式或整式．
23．如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M
作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当OB=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．
第24页（共31页）【考点】切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）求证：MN是⊙O的切线，就可以证明∠NMC=90°
（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半
径，根据△NMC∽△BOC就可以求出MN的长．
【解答】（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G
∴∠OBC= ∠ABC，∠DCB=2∠DCM（1分）
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠DCB）= ×180°=90°
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣90°=90°（2分）
∵MN∥OB
∴∠NMC=∠BOC=90°
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径
∴MN是⊙O的切线（4分）
（2）解：连接OF，则OF⊥BC（5分）
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC= = =10，
∵S = •OB•OC= •BC•OF
△BOC
∴6×8=10×OF
∴0F=4.8cm
∴⊙O的半径为4.8cm（6分）
由（1）知，∠NCM=∠BCO，∠NMC=∠BOC=90°
∴△NMC∽△BOC（7分）
∴ ，即 = ，
第25页（共31页）∴MN=9.6（cm）．（8分）
【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），
再证垂直即可．
24．天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按
时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=
（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第
x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利
润=出厂价﹣成本）
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）令函数y=20x+60的函数值为260，然后求对应的自变量的值即可；
（2）先利用函数图象得到P与x的关系：0≤x≤9时，p=2；，当9＜x≤19时，解析式为y= x+ ，然后分类
讨论：当0≤x≤5时，w=（4﹣2）•32x；当5＜x≤9时，w=（4﹣2）•（20x+60）；当9＜x≤19时，w=[4﹣（ x+
第26页（共31页））]•（20x+60），再利用一次函数和二次函数的性质求出三种情况下的w的最大值，于是比较大小即可得
到利润的最大值．
【解答】解：（1）设李红第x天生产的粽子数量为260只，
根据题意得20x+60=260，解得x=10，
答：李红第10天生产的粽子数量为260只；
（2）根据图象得当0≤x≤9时，p=2；
当9＜x≤19时，设解析式为y=kx+b，
把（9，2），（19，3）代入得 ，解得 ，
所以p= x+ ，
①当0≤x≤5时，w=（4﹣2）•32x=64x，x=5时，此时w的最大值为320（元）；
②当5＜x≤9时，w=（4﹣2）•（20x+60）=40x+120，x=9时，此时w的最大值为480（元）；
③当9＜x≤19时，w=[4﹣（ x+ ）]•（20x+60）=﹣2x2+52x+174=﹣2（x﹣13）2+786，x=13时，此时w的
最大值为786（元）；
综上所述，第13天的利润最大，最大利润是786元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其
最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量
x的取值范围．
25．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，
请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE
与CD有什么数量关系？并说明理由；
（3）运用（1），（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，
AC=AE，求BE的长（结果保留根号）．
第27页（共31页）【考点】四边形综合题．
【分析】（1）作图：分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD；再分别以A、C为圆心，
以AC为半径画弧，交于E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；
利用等边三角形的性质证明△DAC≌△BAE可以得出结论；
（2）相等，利用正方形性质证明△DAC≌△BAE，则BE=CD；
（3）构建等腰直角△ABD，得BE=CD，利用勾股定理求CD的长，即是BE的长．
【解答】证明：（1）如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
（2）如图2，BE=CD，
∵正方形ABFD和正方形ACGE，
∴∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
（3）由（1）（2）的解题经验可知：过点A向△ABC外作等腰直角△ABD，使∠DAB=90°，AD=AB=100，
∠ABD=45°，
∴BD=100 ，
如图3，连接CD，则由（2）可得：BE=CD，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=90°，
第28页（共31页）在Rt△DBC中，BC=100，BD=100 ，
∴CD= =100 ，
∴BE=CD=100 ，
答：BE的长为100 米．
【点评】本题是一个由三角形向外作两个等边三角形或正方形得一相同结论，并利用这一结论解决生活中的
实际问题；考查了等边三角形、正方形的性质及全等三角形的判定和性质；找出图形中三角形全等是解决此
题的关键；并利用勾股定理计算边长．
26．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC
绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．
（1）求该二次函数的解析式；
第29页（共31页）（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；
（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的
坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求出点A坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出S =S ﹣S =﹣ （x﹣1）2+ ，即可求出最大面积；
△PCE △PBC △PBE
（3）先求出抛物线顶点坐标，由等腰三角形的两腰相等建立方程求出点Q坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），C（0，3），
∴OB=1，OC=3．
∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．
∴OA=OC=3，
∴A（﹣3，0），
∵点A，B，C在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
（2）设点P（x，0），则PB=1﹣x，
第30页（共31页）∴S = （1﹣x）2，
△PBE
∴S =S ﹣S = PB×OC﹣ （1﹣x）2= （1﹣x）×3﹣ （1﹣x）2=﹣ （x﹣1）2+ ，
△PCE △PBC △PBE
当x=1时，S 的最大值为 ．
△PCE
（3）∵二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标（﹣1，4），
∵△OMQ为等腰三角形，OM为底，
∴MQ=OQ，
∴ = ，
∴8x2+18x=7=0，
∴x= ，
∴y= 或y= ，
∴Q（ ， ），或（ ， ）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算方法，等腰三角形的性质，解本
题的关键是确定出抛物线解析式，难点是确定三角形PCE的面积．
第31页（共31页）
