文档内容
® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
义
SHUXUE 务
教
育
六年级
教
科
义务教育教科书
书
︵ （五·四学制）
五
·
四
上册
学
制
︶
数学 六年级 上册
数
数学
学
六
年
级
上
册
绿色印刷产品
数学六上封面-环境标.indd 1 2013.5.8 1:27:11 PM·北 京·主 编：林 群 杨 刚
本册主编：王永春 陶雪鹤
主要编写人员：周小川 熊 华 刘 丽 刘福林 王永春 丁国忠
责任编辑：丁国忠
美术编辑：王俊宏
封面设计：吕 旻 王俊宏
版面设计：王俊宏
插 图：王俊宏 绘哏堂艺术工作室
文鲁工作室（封面）
图片提供：朱 京
义务教育教科书（五·四学制）数学 六年级 上册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
小学数学课程教材研究开发中心
出版发行
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
重 印 黑龙江出版集团
发 行 黑龙江省新华书店
印 刷 黑龙江新华印刷二厂
版 次 2012年6月第1版
印 次 2018年7月第7次印刷
开 本 787毫米×1092毫米 1/16
印 张 9
字 数 150千字
书 号 ISBN 978-7-107-24483-4
定 价 9.20元
版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究
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厂址：哈尔滨市阿城区通城街 电话：0451-53755467 邮编：150301
质量监督电话：0451-84632411主编的话
同学们，欢迎大家使用这套数学教科书，希望它能成为你们学习数学的好帮手．
为什么要学习数学呢？最主要的理由有两方面：
数学应用很广泛．数学是重要的基础科学，是通向科学大门的金钥匙．华罗庚说：
“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无
处不在．”当今，由于与计算机技术的结合，数学已渗透到人类社会的各个领域．在我们
的生活、学习、工作乃至娱乐中，数学的作用与日俱增．
数学使人更聪明．数学是锻炼思维的体操．学习数学能使我们更合乎逻辑、更有条
理、更严密、更精确、更深入地思考和解决问题，能增强我们的好奇心、想象力和创造
性，有助于提高学习能力．懂得并能运用数学，就意味着你有更多的机会和选择．
如何使用这套教科书学好数学呢？下面提出一些想法，供大家参考．
勤于思考，勇于探究，善于归纳．数学的发展源远流长，我们所学的数学基础知识，大
多是从丰富的实际背景中抽象概括而成的．例如，当你感到 “人很多”“月亮很圆”“速度变
了”时，会进一步想到人数的估算、圆的特征、速度的变化规律等，由此又可引发关于数量和
图形的一系列问题，这是一个循序渐进、由表及里、逐步深入的过程．这套书安排了 “思考”
“探究”“归纳”等栏目，引导大家经历上述过程，通过观察、分析、猜想、试验、推理、反
思、交流等活动获取数学知识，积累学习经验，逐步学会发现、提出、分析和解决问题．
巩固基础，注重运用，提高能力．学数学首先要充分重视概念、公式和定理等，并且
要通过解题等实践活动，深化认识和提高能力．为此，这套书设计了 “复习巩固”“综合
运用”“拓广探索”等不同层次的习题，每章后面都有 “数学活动”．学习这些内容时，同
学们应加强独立思考，认真地分析问题、探寻解题思路、落实解题步骤，并要及时反思解题过
程．只要采取科学合理的、适合自己的学习方式，学数学、用数学的能力一定能不断提高．
开阔视野，自主学习，立足发展．数学通今达古、博大精深，奥妙无穷．为使同学们
在更广阔的数学天地中提升自学能力，这套书提供了 “阅读与思考”“观察与猜想”“实验
与探究”和 “信息技术应用”等选学内容．希望同学们通过生动活泼、积极主动的学习，
培养更广泛的数学学习兴趣，不断增强探究能力．
千里之行，始于足下，让我们从六年级上册开始学习吧！在这册书中，数的运算扩展
到 “分数乘法”和 “分数除法”，这两章内容也是后面学习 “百分数”和 “比例”的基础．
“圆的初步认识”和 “圆柱与圆锥”将带你走进丰富多彩的图形世界，认识和了解这几位
图形朋友．
同学们，你们处在学习数学的最佳时期，学好数学将会终生受益．未来的世界等待你
们去建设，科学的高峰等待你们去攀登．预祝你在新的学习征途上不断奋进！目 录
第一章 分数乘法
１．１ 分数乘法 ２
阅读与思考 分式 １０
１．２ 倒数的认识 １１
１．３ 分数乘法的应用 １２
数学活动 １８
小结 １９
复习题１ ２０
第二章 分数除法
２．１ 分数除法 ２３
２．２ 混合运算 ３０
２．３ 分数除法的应用 ３３
２．４ 比 ３８
阅读与思考 黄金比 ４４
数学活动 ４５
小结 ４６
复习题２ ４７第三章 圆的初步认识
３．１ 认识圆 ５０
阅读与思考 圆的妙用 ５５
３．２ 圆的周长 ５６
３．３ 圆的面积 ６０
３．４ 扇形 ６４
数学活动 ６６
小结 ６７
复习题３ ６８
第四章 百分数
４．１ 百分数的意义和写法 ７０
４．２ 百分数与小数、分数的互化 ７２
４．３ 百分数的应用 ７６
阅读与思考 什么是 “成数”？ ８３
４．４ 扇形统计图 ８４
阅读与思考 其他形式的扇形统计图 ８７
数学活动 ８８
小结 ８９
复习题４ ９０第五章 圆柱与圆锥
５．１ 圆柱 ９４
阅读与思考 圆柱容球 １０２
５．２ 圆锥 １０３
数学活动 １０７
小结 １０８
复习题５ １０９
第六章 比例
６．１ 比例的意义和基本性质 １１２
６．２ 正比例和反比例的意义 １１６
阅读与思考 反比例关系图象 １２１
６．３ 比例的应用 １２２
数学活动 １３１
小结 １３２
复习题６ １３３
部分中英文词汇索引
１３４
附页第一章 分数乘法
在小学，你们已经认识了分数，并掌握了分
数加减法的计算方法．
分数乘法的意义是什么？怎样计算分数乘法？
这是本章要研究的主要问题．
通过本章的学习，你将进一步了解有关分数
的运算，并利用分数乘法解决一些实际问题．
２００３年，世界人均耕地面积为２５００ｍ２ ，
２
我国人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的 ．
５
书书书１．１ 分数乘法
１．１．１ 分数与整数相乘
先看下面的问题 （图１．１１）：
２
小新、爸爸、妈妈一起吃蛋糕，每人吃 块．３人一共吃多少块？
９
?块
图１．１１
２ ２ ２ ２＋２＋２ ６ ２
用加法算： ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ （块）．
９ ９ ９ ９ ９ ３
２ ２ ２ ２ ２＋２＋２ ２×３ ６ ２
用乘法算： ×３＝ ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ （块）．
９ ９ ９ ９ ９ ９ ９ ３
２
用乘法算也可以这样列式：３× ．
９
通过上面的计算，你能发现分数与整数相乘的计算方法吗？
分数与整数相乘，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变．
３
例１ 计算： ×６．
８
３
３ ３×６＼ ９
解： ×６＝ ＝ ．
８ ８＼ ４ 能约分的可以先
４
约分，再计算．
２
!"#$%&’(１．看图写算式．
2 2 2
＋ ＋ ＝ ，
7 7 7
× ＝ ．
２．计算：
?
２ ５ ３ ２
（１） ×４； （２） ×８； （３）２× ； （４）３× ．
１５ １２ ４ １１
３
３．一袋面包重 ｋｇ，３袋面包重多少千克？
１０
１．１．２ 一个数乘分数
１
先看下面的问题 （图１．１２）：一杯水重 ｋｇ．
２
１ １
（１） 算式： ×３ 求３个 ｋｇ的和，也就是求
２ ２
１
ｋｇ的３倍是多少．
２
3杯水重？kg
１ １ １
（２） 算式： × 把 ｋｇ平均分成２份，求其
２ ２ ２
中的一份是多少，也就是求
1
杯水重？kg １ １
2 ｋｇ的 是多少．
２ ２
（３） 算式： １ × ３ 求 １ ｋｇ的 ３ 是多少．
２ ４ ２ ４
3
杯水重？kg
4
图１．１２
一个数与分数相乘，可以看做是求这个数的几分之几是多少．
３
!"#$%&’(
１ １ １
如图１．１３，先涂出一张纸的 ，再涂出 的 ，看看是这张纸的几分之几．
５ ５ ４
1
—
4
— 1 — 1 的— 1
5 5 4
图１．１３
１ １ １ １
求 的 是多少，算式是 × ．
５ ４ ５ ４
１
可以这样想：把 平均分成４份，取其中的一份就是把１平均分成（５×４）
５
１ １×１
份，取其中的一份，结果是 ×１＝ ．
５×４ ５×４
１ １ １×１ １
× ＝ ＝ ．
５ ４ ５×４ ２０
１ １ ３
先涂出图１．１４中这张纸的 ，再涂出 的 ，看看是这张纸的几分
５ ５ ４
之几．
１ ３ １ ３
求 的 是多少，算式是 × ．
５ ４ ５ ４
１ ３ □×□ □
× ＝ ＝ ．
５ ４ □×□ □
图１．１４
从上面的涂色实验和算式中，你能发现分数乘分数的计算方法吗？
分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母．
４
!"#$%&’(３ ４ １１
例２ 计算：（１） × ； （２）６× ．
７ ３ １２
１
３ ４ ３＼×４ ４
解：（１） × ＝ ＝ ；
７ ３ ７×３＼ ７
分数乘分数的计
１
算法则也适用于分数
１
（２）６×
１１
＝
６
×
１１
＝
＼６×１１
＝
１１
．
与整数相乘．
１２ １ １２ １×＼１２ ２
２
为了计算简便，也可以不把相乘的两个数改写成分子、分母分别相乘的形
式，直接进行约分后再分别相乘．
１
３ ４ ＼３ ４ ４ １１ １ １１ １１
例如： × ＝ × ＝ ； ６× ＝＼６× ＝ ．
７ ３ ７ ＼３ ７ １２ ＼１２ ２
１ ２
１．计算：
４ １ ５ ３ ８ ５
（１） × ； （２） ×９； （３） × ； （４）１０× ．
５ ２ ６ ４ ９ １４
３
２．１支粉笔长 ｄｍ．
４
１ ２
２支长多少分米？ 支长多少分米？ 支长多少分米？
２ ３
３ ２
３．蜂鸟是目前所发现的世界上最小的鸟，每分钟它可飞行 ｋｍ． 分钟它可飞
１０ ３
行多少千米？５分钟它可飞行多少千米？
１．１．３ 混合运算及运算定律
分数混合运算的顺序与整数的运算顺序相同．
（ ）
７ ３ ７ １ ３
例３ 计算：（１） ＋ × ； （２）１２× ＋ ．
１２ ８ ９ ３ ４
５
!"#$%&’(（ ）
７ ３ ７ １ ３
解：（１） ＋ × （２） １２× ＋
１２ ８ ９ ３ ４
１ （ ）
７ ＼３ ７ ４ ９
＝ ＋ × ＝１２× ＋
１２ ８ ＼９ １２ １２
３
７ ７ １ １３
＝ ＋ ＝＼１２×
１２ ２４ ＼１２
１
７
＝ ． ＝１３．
８
观察每组的两个算式，看看它们有什么关系．
５ １ １ ５
（１） × ， × ；
６ ７ ７ ６
（ ） （ ）
１ ２ ３ １ ２ ３
（２） × × ， × × ；
４ ３ ８ ４ ３ ８
（ ）
１ １ ２ １ ２ １ ２
（３） ＋ × ， × ＋ × ．
２ ３ ５ ２ ５ ３ ５
比较上面每组算式中的得数，你发现了什么规律？
整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法同样适用．
应用乘法运算定律，可以使一些计算更简便．
（ ）
３ １ １ １
例４ 计算：（１） × ×５； （２） ＋ ×４．
５ ７ １０ ４
３ １ ３ １
解： （１） × ×５ × ×５
５ ７ ５ ７
３ １ ３ １ １
＝
５
×５×
７
为了计算简便， ＝ × ×５＼
５＼ ７
可以直接约分 １
３
＝ ．
７ 后再计算。 ３
＝ ．
７
６
!"#$%&’(（ ）
１ １
（２） ＋ ×４
１０ ４
应用了什么运
１ １ 算定律？
＝ ×４＋ ×４
１０ ４
＝
＝ ．
１．计算：
（ ）
２ ４ １ ３ １ ５ １
（１） － × ； （２）１４× － ； （３）６× ＋ ．
５ ５ ３ ４ ２ ９ ６
２．用简便方法计算下面各题．
（ ）
２ １ ８ ４ ３ ３ ５
（１） × ×３； （２） ＋ ×２７； （３） － × ．
３ ４ ９ ２７ ７ ７ ６
习题１．１
１．填空：
３ ３ ３ ３ ５ ５ ５
（１） ＋ ＋ ＋ ＝ × ＝ ； （２） ＋ ＋ ＝ × ＝ ．
４ ４ ４ ４ ８ ８ ８
７ １
２． （１）５个 的和是多少？ （２） 的１０倍是多少？
１０ ６
３．计算：
１ ３
３ ５
８ １
×３＝ ×５＝
９ ６
２ １１
１３ １５
１
４．每千克衣物用 勺洗衣粉．洗衣机里有５ｋｇ衣物，一共需要放几勺洗衣粉？
２
７
５．大约从一万年前开始，青藏高原平均每年上升 ｍ．按照这个速度，５０年它能
１００
上升多少米？１００年呢？
７
!"#$%&’(４ １ ７ ４
６． （１） ｋｇ的 是多少千克？ （２） 小时的 是多少小时？
９ ２ １２ ７
７．计算：
２ ３ ６ ７ ６ ５ ９ ５
（１） × ； （２） × ； （３） × ； （４） × ；
９ ５ ７ ９ ５ ３ ２０ ２１
５ ４ ７ １５ ３ １ １９ １０
（５） × ； （６） × ； （７） × ； （８） × ．
８ １５ ２５ １４ １１ ２ ５０ １９
３ １
８．某种农药 ｋｇ加水稀释后可喷洒１公顷菜地．喷洒 公顷菜地需要多少千克这
２ ５
种农药？
９．计算：
（ ）
３ ７ ４ １ ４ ５ １
（１） － ×５； （２） × ＋ ； （３）６× － ；
４ １０ ５ ２ ５ ８ ２
（ ）
３ １ １ ５ １ １
（４） ＋ × ； （５）１５０－１４４× ； （６） ＋ ×２８．
４ ３ ６ ６ ７ ４
１０．填空：
８ ７
（１） ×２５× ＝２５× × ＝ ；
７ ８
（ ）
７ １
（２） １４＋ × ＝ × ＋ × ＝ ；
２ １４
１ ２ １ １
（３） × ＋ × ＝ × （ ＋ ）＝ ．
１２ ３ １２ ３
１１．用简便方法计算下面各题．
５ ２１ １ １ １ １ ２ ７ ２
（１） ×１６× ； （２） × ＋ × ； （３） － × ．
７ ５ ２ １５ ４ ２ ９ １６ ９
３
１２．一段钢材长４ｍ．做一个零件用钢材 ｍ，已经用这段钢材做了１５个这样的零
２０
件，还剩多少米钢材？
１
１３．剪一朵花要用 张纸．小明剪了９朵花，小红剪了１１朵花．他们一共用了多少
４
张纸？
１
１４．每头奶牛平均日产牛奶 ｔ，４２头奶牛１００天可产奶多少吨？
５０
１５．在○里填上 “＞”“＜”或 “＝”．
２ ２ ５ ６ ８ ３ ３
（１） ×２○ ； （２） × ○１； （３） × ○ ．
７ ７ ６ ５ ９ ４ ４
１６．下面的计算正确吗？把错误的改正过来．
８
!"#$%&’(１ ３
１
４ ４＼ １ ７ ６ ７ ６＼ １０
（１）４× ＝４＼× ＝ ； （２） × ＝ × ＝ ＝１．
７ ７ ７ １０ ５ ＼１０ ５ １０
５
１ ５
１７．下面哪两个数的积在 和 之间？
４ ８
１ １ ３ ５ ３ １
（１） × ； （２） × ； （３）７× ； （４） ×９．
４ ２ ５ ６ １４ １２
１８．计算下面各题，能用简便方法的就用简便方法．
（ ）
１ ３ ７ ６ １ ２
（１） × ＋１； （２） ×６＋ ×６； （３） × ４－ ；
３ ５ １３ １３ ６ ３
４ ７ ３ ５ ３ ５
（４） ×５×１８； （５） ×７＋ ； （６） － × ．
９ ８ ８ ７ ４ ７
４
１９．一种大豆每千克含油 ｋｇ，１００ｋｇ大豆含油多少千克？１ｔ大豆呢？
２５
５
２０．胜利路长１ｋｍ，延安路的长度是胜利路的 倍．延安路比胜利路长多少千米？
４
２１．一个垃圾处理场平均每天收到７０车生活垃圾，平均每车垃圾中可回收利用的垃
１
圾是 ｔ．１５天收到多少吨可回收利用的垃圾？
３
９
２２．一个长方形桌面的面积是１ｍ２．一个正方形桌面的边长是 ｍ．长方形桌面的
１０
面积比正方形桌面的面积多多少平方米？
２３．下面的□里可以填的最大整数是多少？
５ ３ ５ □ ４ ５ ５ □
（１） × ＜ ； （２） × ＜ ； （３） × ＜１．
１２ ４ □ ６ ５ ６ ７ ４
１
２４．有两筐苹果，第一筐重３０ｋｇ，如果从第一筐中取出 ｋｇ放入第二筐，则两筐
２
苹果同样重．两筐苹果一共重多少千克？（用不同方法解答．）
２５．两列火车同时从甲、乙两地对开．Ａ车每小时行６２ｋｍ，Ｂ车每小时行７０ｋｍ，
２
经过 小时两车相遇．甲、乙两地间的铁路长多少千米？
３
９
!"#$%&’(
分 式
你还记得分数与除法之间的关系吗？请你用分数的形式表示出下面各题的结果．
（１）长方形的面积是１２ｃｍ２，长是犪ｃｍ．宽是多少？
（２）甲、乙两地相距２００ｋｍ，一辆小汽车从甲地到乙地用了狋小时．这辆小汽
车的平均速度是多少？
１２ ２００
答案分别是 ｃｍ、 千米／时．
犪 狋
１２ ２００
， 这两个式子的分母中都含有字母，它们都是分式．
犪 狋
分式的基本性质和计算方法与分数很相似，联系学过的分数知识，思考并回答
下面的问题：
１２
（１）如果将 的分子与分母同时乘上一个不为０的数，该分式的大小有变化吗？
犪
１２ ６ １２ ６ １２ 犪 １２ ６
（２）计算： ＋ ， － ， × ， × ．
犪 犪 犪 犪 犪 ６ 犪 犪
在解答上面的问题时，你可以应用类比的方法，把分数的一些性质和方法推广
到分式．在今后的学习中，你会学到更多有关分式的知识．
１０
!"#$%&’(１．２ 倒数的认识
先计算，再观察，看看有什么规律．
３ ８ ７ １５ １ １
× × ５× ×１２
８ ３ １５ ７ ５ １２
每个算式中两个数的乘积都是１．
我们称乘积是１的两个数互为倒数． 什么样的两个
３ ８ ３
数互为倒数？
和 互为倒数，就是指： 的倒数是
８ ３ ８
８ ８ ３
， 的倒数是 ．
３ ３ ８
３
例１ 写出 、６的倒数．
５
３ 分子、分母调换位置 ５
解： →
５ ３
１的倒数是多
６ 分子、分母调换位置 １ 少？０有倒数吗？
６＝ →
１ ６
３ ５ １
× ＝１，６× ＝１．
５ ３ ６
３ ５ １
所以， 的倒数是 ，６的倒数是 ．
５ ３ ６
求一个数 （０除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置．
写出下面各数的倒数．
４ １６ ７ １
， ，３５， ， ．
１１ ９ ８ １０
１１
!"#$%&’(１．３ 分数乘法的应用
下面，我们运用分数乘法来解决一些实际问题．
例１ 据统计，２００３年世界人均耕地面积为２５００ｍ２ ，我国人均耕地面积
２
仅占世界人均耕地面积的 ．我国人均耕地面积是多少平方米？
５
分析：根据题意，可以画出线段图 （图１．３１）．
2 500m2
？m2
2
—
5
图１．３１
求我国人均耕地面积，就是求２５００ｍ２ 的
２
是多少． 我国人多地少的
５
２ ５００ ２
矛盾日益突出，应控
解：２５００×
５
＝２５００×
＼５
＝１０００ （ｍ２ ）．
制人口增长，并保护
１ 好耕地．
答：我国人均耕地面积是１０００ｍ２．
３
例２ 海象的平均寿命大约是４０年，海狮的平均寿命是海象的 ，海豹的
４
２
平均寿命是海狮的 ．海豹的平均寿命大约是多少年？
３
分析：根据题意，可以画出线段图 （图１．３２）．
40年
海象：
海狮：
?年
海豹：
图１．３２
１２
!"#$%&’(３
解：第一步，根据海狮的平均寿命是海象的 ，先求出海狮的平均寿命．
４
３ １０ ３
４０× ＝＼４０× ＝３０ （年）．
４ ＼４
１
２
第二步，根据海豹的平均寿命是海狮的 ，求出海豹的平均寿命．
３
２ １０ ２
３０× ＝＼３０× ＝２０ （年）．
３ ＼３
１
上面的分步算式还可以列成综合算式．
１
３ ２ １０ ＼３ ２
４０× × ＝＼４０× × ＝２０ （年）．
４ ３ ４＼ ＼３
１ １
答：海豹的平均寿命大约是２０年．
２
１．一头鲸长２８ｍ，一个人的身高是鲸体长的 ．这个人身高多少米？
３５
２．人体血液在动脉中的流动速度是５０厘米／秒，在静脉中的流动速度是动脉中的
２ １
，在毛细血管中的速度只有在静脉中的 ．血液在毛细血管中每秒流动多少
５ ４０
厘米？
１
例３ 马路上的噪音是８０分贝，绿化带可将噪音降低 ．隔着绿化带的行
８
人听到的声音是多少分贝？
解法１：先求出噪音降低了多少分贝，再求出行人听到的声音是多少分贝
（图１．３３）．
分贝
80
听到 ？分贝 降低 ？分贝
1
—
8
图１．３３
１３
!"#$%&’(１
８０－８０×
８
１０ １
＝８０－＼８０×
“分贝”是计量声
＼８
音强度的单位．
１
＝７０ （分贝）．
答：隔着绿化带的行人听到的声音是７０分贝．
解法２：先求出行人听到的声音占８０分贝的几分之几，再求出行人听到的
声音是多少分贝 （图１．３４）．
80分贝
听到 ？分贝
1
— —8
图１．３４
（ ）
１
８０× １－
８ 这两种解法有
１０ ７ 什么区别？
＝＼８０×
＼８
１
＝７０ （分贝）．
答：隔着绿化带的行人听到的声音是７０分贝．
例４ 人的心脏每分钟跳动的次数随年龄而变化．青少年每分钟心跳约７５
４
次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多 ．婴儿每分钟心跳多少次？
５
４
分析：“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多 ”就是指婴儿每分钟比青少
５
４
年多跳的次数是青少年心跳次数的 （图１．３５）．
５
青少年：
4
比青少年多
75次 —5
婴儿：
？次
图１．３５
１４
!"#$%&’(解：先求出婴儿每分钟比青少年多跳的次数，再求出婴儿每分钟心跳的次数．
４
７５＋７５×
５ 还有其他的解
１５ ４ 法吗？
＝７５＋＼７５×
＼５
１
＝１３５ （次）．
答：婴儿每分钟心跳１３５次．
５
１．为举行校庆，六 （２）班要做１８０面小旗．已经做了 ，还有多少面没做？
６
１
２．１９９９年世界人口达６０亿，到２０１１年增加了约 ．２０１１年世界人口达到了多
６
少亿？
习题１．２
１．写出下面各数的倒数．
５ ９ ５ １
，７， ， ，１０２， ．
６ ４ ８ ３
２．下面的说法正确吗？为什么？
７ １２ ７ １２
（１） 与 的乘积为１，所以 和 互为倒数．
１２ ７ １２ ７
１ ４ ３ １ ４ ３
（２） × × ＝１，所以 ， ， 互为倒数．
２ ３ ２ ２ ３ ２
（３）０的倒数还是０．
（４）一个数的倒数一定比这个数小．
１１
３．全世界有桦树约４０种，我国桦树的种类占其中的 ．我国有多少种桦树？
２０
２
４．成昆铁路全长１１００ｋｍ，桥梁和隧道约占全长的 ．桥梁和隧道约长多少千米？
５
７
５．牛郎星运行速度是２６千米／秒，织女星运行速度是牛郎星的 ．织女星每秒运行
１３
多少千米？
１５
!"#$%&’(１
６．六 （１）班有３６人， 的同学长大后想成为教师，想成为科学家的人数是想成为
３
５
教师人数的 ．有多少名同学想成为科学家？
６
１４ ３
７．鹅的孵化期是３０天，鸭的孵化期是鹅的 ，鸡的孵化期是鸭的 ．鸡的孵化期
１５ ４
是多少天？
８．口算：
３ ５ ２ ２ １ １
（１） ×１２； （２） ＋ ； （３） × ； （４）６０× ；
４ ７ ７ ５ ３ １２
７ ３ １ １ ２ ６ ５
（５） － ； （６） × ； （７） × ； （８） ×０×６．
８ ４ １０ ４ ９ ５ ６
５
９．生物小组采集标本１５２件，其中 是植物标本，其余的是昆虫标本．昆虫标本有
８
多少件？
１
１０．严重的水土流失致使每年大约有１６亿吨的泥沙流入黄河．其中 的泥沙沉积在
４
河道中，其余被带到入海口．每年有多少亿吨泥沙被带到入海口？
２
１１．一种服装原价１０５元，现在降价 ．现在的售价是多少元？
７
２
１２．五年级师生向希望小学捐书１５０本，六年级师生比五年级多捐了 ．六年级师
１５
生共捐书多少本？
１３．昆虫飞行时需要振动翅膀．蜜蜂每秒能振动翅膀
１０９
２３６次，蝗虫每秒振动翅膀的次数比蜜蜂少 ．
１１８
蝗虫每秒能振动翅膀多少次？
“千瓦时”就是平
１４．明光小学上个月共用电６００千瓦时，这个月比上个
时人们所说的 “度”．
１
月节约了 ．这个月用电多少千瓦时？
１２
５
１５．一块长方形地长２４ｍ，宽是长的 ．这块地的面积是多少平方米？
１２
３
１６．儿童的负重不能超过体重的 ．如果长期背负过重的物体，会导致腰痛及背痛，
２０
严重的甚至会妨碍骨骼生长．
（１）王明体重３０ｋｇ，书包重５ｋｇ．他的书包超重吗？为什么？
（２）称一称你的体重，算一算你负重不能超过多少千克．
１６
!"#$%&’(２
１７．球从高处自由下落，每次接触地面后弹起的高度是前次下落高度的 ．如果球
５
从３５ｍ高处落下，那么第二次弹起的高度是多少米？第三次呢？
１ １
１８．小红读一本８０页的故事书．第一天读了全书的 ，第二天读了全书的 ，还剩
５ ４
多少页没读？
５
１９．某汽车厂去年计划生产汽车１２６００辆．结果上半年完成全年计划的 ，下半年
９
３
完成全年计划的 ．全年超产汽车多少辆？
５
３ ３
２０．有两根同样长的钢管，第一根用去 ｍ，第二根用去 ．哪一根剩下的部分长
１０ １０
一些？
２１．用５个３分别组成４个算式，要使算式中至少有一个分数，得数分别等于０，１，
２，３．
１７
!"#$%&’(
计算下面三组算式，你发现了什么规律？
１ １ １ １
（１） － ， × ；
２ ３ ２ ３
１ １ １ １
（２） － ， × ；
４ ５ ４ ５
１ １ １ １
（３） － ， × ．
６ ７ ６ ７
你能写出几组像上面这样的算式吗？
计算：
１ １
＋ ＝
１×２ ２×３
１ １ １
＋ ＋ ＝
１×２ ２×３ ３×４
１ １ １ １
＋ ＋ ＋ ＝
１×２ ２×３ ３×４ ４×５
通过上面的计算，你发现了什么规律？
用你发现的规律直接写出下面两个算式的结果，再检验一下是否
正确．
１ １ １ １ １
＋ ＋ ＋ ＋ ＝
１×２ ２×３ ３×４ ４×５ ５×６
１ １ １ １ １ １
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝
１×２ ２×３ ３×４ ４×５ ５×６ ６×７
你能再写出几个这样的算式吗？
１８
!"#$%&’(小 结
一、本章知识结构图
分数与整数相乘
分数乘法 一个数乘分数
混合运算及运算定律
分 倒数的概念
圆
数
倒数
乘
求一个数的倒数
法
解决问题
二、回顾与思考
本章中，我们了解了分数乘法的意义，掌握了分数乘法的计算方法，认识
了倒数，并应用分数乘法的知识解决了一些实际问题．
一个数乘分数，可以看做是求这个数的几分之几是多少；计算分数乘法
时，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；利用分数乘法解决实际问
题，应先明确条件和问题，再根据数量关系选择合适的算法，从而把实际问题
转化为数学问题，然后通过计算获得数学结论，最后用数学结论去解释实际
问题．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明分数乘法的意义．
２．说一说分数乘法的计算方法．
３．整数乘法的运算定律适用于分数乘法吗？
４．什么是倒数？怎样求一个数的倒数？举出３组互为倒数的例子．
５．举出几个运用分数乘法解决实际问题的例子．
１９
!"#$%&’(复习题１
１．计算：
３ ４ １ ２ ４ １
（１） ×２０； （２） ＋ ； （３）１８× ； （４） × ；
５ ７ ３ ９ ５ ８
３ １ １１ ５ ７ ５ ６
（５） － ； （６） × ； （７） × ； （８）０× ．
４ ６ １５ ８ １０ １４ １３
９
２．无脊椎动物中游得最快的是乌贼，它的速度是 千米／分．３０分钟它能游多少千
１０
米？１小时呢？
１８ ５
３．每公顷柳杉林每年可吸收 ｔ二氧化硫． 公顷柳杉林每年可吸收多少吨二氧
２５ ６
化硫？
４．用简便方法计算下面各题．
（ ）
５ １ ９ １１ ２ ４ ５ ３ ５
（１） × × ； （２） － ×３６； （３） × ＋ × ．
１８ ４ ２０ １２ ９ ７ ９ ７ ９
１
５．有一批糖果．每袋装 ｋｇ，每箱装２５袋，正好装了４箱．这批糖果一共有多少
２
千克？
６．写出下面各数的倒数．
１ ５１ ８ １２
， ， ，５， ，１．
９ ６２ ３ ２３
１
７．骆驼驼峰中贮藏的脂肪相当于体重的 ．一头骆驼重２２５ｋｇ，它的驼峰里贮藏多
５
少千克脂肪？
９ ２
８．校园里有２０棵杨树，柳树棵数是杨树的 ，槐树棵数是柳树的 ．槐树有多
１０ ３
少棵？
１
９．国家一级保护动物野生丹顶鹤，２００１年全世界约有２０００只，我国占其中的 ．
４
其他国家约有多少只？
３６
１０．磁悬浮列车运行速度可达到４３０千米／时，普通列车比它慢 ．普通列车的速度
４３
是多少？
２０
!"#$%&’(
１１．王阿姨在庙会上卖灯笼．第一天收入７８０元，在扣
除这一天的成本 （进货和租摊位等费用）后，王阿
姨把利润 （剩余的钱）存入了银行．根据图示回答
收入分配情况
下面的问题：
（１）王阿姨第一天卖灯笼的成本是多少钱？ 1(cid:0)
3(cid:0)
（２）第一天进货费用比租摊位等费用多多少钱？
1(cid:0)
（３）如果接下来每天都能有和第一天同样多的利 2(cid:0) 存入银行
1(cid:0)
润，在７天庙会中，王阿姨共能获得多少 进货
6(cid:0)
利润？ 摊位费等
１２．周伯伯家的院子里有一块长方形地，他用这块地的
（第１１题）
５ ２
种蔬菜，其余的种草莓．蔬菜地的 种小白菜，
８ ３
其余种生菜．
（１）周伯伯种的小白菜和生菜分别占这块地的几分
之几？
２
（２）这块地长１２ｍ，宽是长的 ．这块地的面积是
３
多少？
（３）你能提出一个数学问题并解答吗？
１３．计算：
５ １ ４ ９ ３ １ ２
（１）１ ×１８； （２）６ × ； （３） ×３ ； （４）１ ×２ ．
６ ２ ７ １０ ４ ３ ５
１
１４．你会计算０．６× 吗？
４
４ １１
１５．已知犪× ＝ ×犫＝犮，并且犪，犫，犮都不等于零．把犪，犫，犮这三个数按从大
３ １２
到小的顺序排列，并说明排列理由．
２１
!"#$%&’(第二章 分数除法
我们已经学习了分数乘法，怎样计算分数除
法呢？如何运用分数除法解决实际问题呢？这是
本章要学习的主要内容．
此外，我们还要学习一个新的知识———比．比
在日常生活中有着广泛的应用，例如按照瓶子上
标明的比配制一定浓度的消毒液等．本章我们除了
认识比，还要探索比的基本性质，并运用比的知
识解决一些简单的实际问题．２．１ 分数除法
２．１．１ 分数除法的意义
先看下面的问题 （图２．１１）：
（１）每盒水果糖重１００ｇ，３盒有多重？
１００×３＝３００ （ｇ）．
（２）３盒水果糖重３００ｇ，每盒有多重？
图２．１１
３００÷３＝１００ （ｇ）．
（３）把３００ｇ水果糖装盒，每盒装１００ｇ，可以装几盒？
３００÷１００＝３ （盒）．
１ ３
如果把１００ｇ看成 ｋｇ，３００ｇ看成 ｋｇ，上面的算式应该怎样表
１０ １０
示呢？
上面的三个算式还可以表示成：
１ ３
×３＝ （ｋｇ），
１０ １０
３ １
÷３＝ （ｋｇ），
１０ １０
３ １
÷ ＝３ （盒）．
１０ １０
通过上面两组算式的对比，你能发现分数除法的意义与整数除法的意义之
间的关系吗？
分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积和其
中一个因数，求另一个因数的运算．
２３
!)#$%&*(根据乘法算式直接写出除法算式的得数．
８ ４
÷ ＝ ；
２１ ７
２ ４ ８
× ＝
３ ７ ２１
８ ２
÷ ＝ ．
２１ ３
２．１．２ 分数除以整数
我们已经会进行分数乘法的计算，怎样计算分数除法呢？
４
把一张纸的 平均分成２份，每份是这张纸的几分之几？自己动手折
５
一折、涂一涂，再算一算．
４ ４
把 平均分成２份，求每份是多少，算式是 ÷２．
５ ５
图２．１２ 图２．１３
４ ４
把 平均分成２份，就是把４ 还可以这样想：把 平均分
５ ５
１ ４ １
个 平均分成２份，每份就是２ 成２份，每份就是 的 ，也就
５ ５ ２
１ ２ ４ １
个 ，就是 （图２．１２）． 是 × （图２．１３）．
５ ５ ５ ２
４ ４÷２ ２ ４ ４ １ ４ ２
÷２＝ ＝ ． ÷２＝ × ＝ ＝ ．
５ ５ ５ ５ ５ ２ １０ ５
２４
!)#$%&*(
４
如果把这张纸的 平均分成３份（图２．１４），每份是这张纸的几分之几？
５
４
÷３＝ × ＝ ．
５
图２．１４
从上面的探究可以看出：分数除以整数时，可以用分数的分子除以整数，
但不是总能得到整数的商，所以通常把分数除以整数转化为分数乘这个整数的
倒数．
分数除以整数 （０除外），等于分数乘这个整数的倒数．
例１ 计算：
９ ３
（１） ÷３； （２） ÷２．
１０ ８
３
９ ＼９ １ ３
解：（１） ÷３＝ × ＝ ；
１０ １０ ３＼ １０
１
３ ３ １ ３
（２） ÷２＝ × ＝ ．
８ ８ ２ １６
６
例２ 把 ｍ铁丝平均分成４段，每段长多少？
７
３
６ ６＼ １ ３
解： ÷４＝ × ＝ （ｍ）．
７ ７ ４＼ １４
２
３
答：每段长 ｍ．
１４
２５
!)#$%&*(１．计算：
８ ６ ３ １５
（１） ÷４； （２） ÷４； （３） ÷６； （４） ÷６．
９ １３ ４ ２８
２
２．小东家的鸡一天生了８个鸡蛋，一共重 ｋｇ，平均每个鸡蛋重多少千克？
５
７
３．一个正方形的周长是 ｍ，它的边长是多少？
１０
２．１．３ 一个数除以分数
２ ５ ５
问题：小明 小时走了２ｋｍ，小红 小时走了 ｋｍ．谁走得快些？
３ １２ ６
分析：要比较谁走得快，就要先计算小明、小红平均每小时各走多少千米．
２
解：小明平均每小时走的千米数：２÷ ．
３
1小时走了 ？km
怎么计算呢？画个
1
小时走了 ？km
3 图试试吧 （图２．１５）．
2
3
小时走了2 k m
图２．１５
１
第一步，求 小时走了多少千米．
３
１ １
因为２个 小时走了２ｋｍ，所以要求１个 小时走了多少千米，就要算
３ ３
１
２÷２，也就是２× ．
２
第二步，求１小时走了多少千米．
１
因为１小时是３个 小时，所以要求１小时走了多少千米，就要算
３
１ ３
２× ×３，也就是２× ．
２ ２
根据上面的推导，可以这样计算：
２ １ １ ３
２÷ ＝２× ×３＝２＼× ＝３（ｋｍ）．
３ ２ ２＼
１
２６
!)#$%&*(小红平均每小时走：
５ ５ ５ １２ 为什么可以变
÷ ＝ × ＝２（ｋｍ）．
６ １２ ６ ５ １２
成“× ”？
５
答：小明走得快些．
通过上面的推导，你发现了什么？你会用自己的方式表示你的发现吗？
你能用字母表
一个数除以一个不等于０的数，等于乘这 示分数除法的计算
法则吗？
个数的倒数．
例３ 计算：
８ ７ ４
（１）２４÷ ； （２） ÷ ．
９ １６ ５
８ ３ ９
解：（１）２４÷ ＝２＼４× ＝２７；
９ ＼８
１
７ ４ ７ ５ ３５
（２） ÷ ＝ × ＝ ．
１６ ５ １６ ４ ６４
５ １
例４ 一个数的 是 ，这个数是多少？
８ １２
解：设这个数是狓．
５ １ ５ １
狓＝ ， 狓＝ ，
８ １２ ８ １２
５ ５ １ ５ ２
狓÷ ＝ ÷ ，
８ ８ １２ ８ 或
８
×
５
狓＝
＼８
×
１
，
５ ８ ５ ＼１２
２
３
１ ＼８
狓＝ × ，
２
＼１２ ５
狓＝ ．
３ １５
２
狓＝ ．
１５
２７
!)#$%&*(１．计算：
１０ ４ ３ ３ ９ ３ １４
（１）１５÷ ； （２） ÷ ； （３） ÷ ； （４） ÷ ．
１３ ５ ５ ８ １６ １０ １５
３
２．张叔叔骑自行车上班， 小时行９ｋｍ，照这个速度，１小时行多远？
５
６ ２
３．一个数的 是 ，这个数是多少？
５ １５
习题２．１
１．根据乘法算式写出两道除法算式．
３ １５
（１） ×５＝ ÷ ＝ ，
４ ４
÷ ＝ ；
３ ２ ６
（２） × ＝ ÷ ＝ ，
７ ５ ３５
÷ ＝ .
２．先看清每组两题之间的关系，再写出得数．
１ ５ １ ２
（１） ×５＝ ， （２） ×２＝ ， （３） ×７＝ ， （４） ×４＝ ，
７ １６ １５ ９
５ ５ ７ １ ８ ２
÷５＝ ； ÷２＝ ； ÷ ＝ ； ÷ ＝ ．
７ ８ １５ １５ ９ ９
４
３．芳芳将 ｍ长的丝带剪成同样长的８段，每段丝带多长？
５
４．填空：
７
１０
１０
１ ５
３÷ ＝ ２ ÷ ＝
６ ６
９
１５
８
２８
!)#$%&*(５．计算：
１ ３ ４ ８ １ ３ ５ １０
（１） ÷ ； （２） ÷ ； （３） ÷ ； （４） ÷ ；
４ ５ ５ １５ ３ ４ １４ ２１
２ ４ ２ １６ ８ ２ ４ ２８
（５） ÷ ； （６） ÷ ； （７） ÷ ； （８） ÷ ．
３ １７ ７ ３５ ２７ ９ １５ ４５
６．解方程：
１ ４ ３
（１）３狓＝ ； （２） 狓＝ ．
２ ５ １０
３ １
７．把 Ｌ橙汁分装在容量是 Ｌ的瓶子里，可以装
４ ４
几瓶？
８．如图，某饮料厂使用一种自动检测仪来检测饮料
１
瓶是否有缺陷，检测一个瓶子所用的时间为 秒．
２５
１分钟可以检测多少个瓶子？
（第８题）
９．我们平时看到的电影画面实际上是由许多连续拍
１
摄的照片以每张 秒的速度连续播放的．请你算
２４
一算：半秒可以播放多少张照片？１分钟呢？
１０．不用计算，你能判断下面哪些题的商大于被除数，哪些题的商小于被除数吗？
６ １５ ３ ５
（１） ÷３； （ ２） ÷２； （３）９÷ ； （４）６÷ ；
７ ８ ４ ４
１ ２ １４ ７ ５ ５ ４ ４
（５） ÷ ； （６） ÷ ； （ ７） ÷ ； （８） ÷ ．
２ ３ ９ ３０ ７ ２ ５ ５
１１．在下面的□里填上适当的整数．
□ ７ □ ３ ６ ５ □ □
（１） ÷３＝ ； （２） × ＝ ； （３） ÷ ＝ ．
１１ □ ５ □ ３５ ９ ４ ２７
１
１２．用汽车运一堆货物，每天运这堆货物的 ，几天可以运完？每天运这堆货物的
４
２
，几天可以运完？
７
２９
!)#$%&*(２．２ 混合运算
分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同．
例１ 计算：
［（ ） ］
１ １ ２ １ ２ １
（１） ＋ ÷ ； （２） ÷ ＋ ×０．６ ．
２ ３ ３ ５ ３ ５
１ １ ２
解： （１） ＋ ÷
２ ３ ３
１ １ ３
＝ ＋ ×
２ ３ ２
＝
＝ ；
［（ ） ］
１ ２ １ 一个算式里既有
（２） ÷ ＋ ×０．６
５ ３ ５ 小括号又有中括号，
［（ ） ］
１ １０ ３ ３ 要先算小括号里面的．
＝ ÷ ＋ ×
５ １５ １５ ５
［ ］
１ １３ ３
＝ ÷ ×
５ １５ ５
＝ ÷
＝
＝ ．
１．计算：
８ ５ ５ ５ ４
（１） ÷４× ； （２） ×１．２÷ ； （３）３０－１．６÷ ；
１３ ６ ９ ６ １５
（ ）
２ ７ １ １４ １ １ ６
（４）１８÷０．６÷ ； （５） ÷ ÷ ； （６） ＋ ÷ ．
３ ９ ３ ９ ６ ２ ７
２．计算：
（ ） （ ）
［ ］ ［ ］
３ ３ ４ ３ １
（１） ４－ － × ； （２） １－ ０．２５＋ ÷ ．
４ ８ ２９ ８ ４
３．李爷爷每天绕操场跑６圈，２分钟可以跑半圈．照这个速度，李爷爷每天跑步
要用多少时间？
３０
!)#$%&*(在分数四则混合运算中，有时可以应用运算定律使计算更简便．
１ ７ ７ ３
例２ 计算 ＋ ÷ ＋ ．
７ ８ ５ ８
１ ７ ７ ３
解： ＋ ÷ ＋
７ ８ ５ ８
１
应用了什么运
１ ＼７ ５ ３
＝ ＋ × ＋
７ ８ ＼７ ８ 算定律？
１
（ ）
１ ５ ３
＝ ＋ ＋
７ ８ ８
１
＝ ＋１
７
８
＝ ．
７
计算：
１ ４ １ １ ４ １ １
（１） ÷３＋ × ； （２） ÷ ＋ ＋ ；
５ ５ ３ ３ ９ ３ ４
（ ）
４ ２ １５ １０ ２
（３） － × ； （４）３－１．５× － ．
５ ３ ２ ２１ ７
习题２．２
１．计算：
３ １ ５ ８ ４ １ ５ ４
（１） × × ； （２） ÷ ÷ ； （３） ÷ ×０．６４；
５ ６ ７ ９ ７ ３ １４ ２１
（ ） （ ）
６ ９ ２ ３ ２ １
（４）２－ ÷ － ； （５） ０．７５－ × ＋ ．
１３ ２６ ３ １６ ９ ３
１
２．李叔叔３小时录入一篇论文的 ．照这样的速度，李叔叔工作８小时，可以录入
３
这篇论文的几分之几？还剩几分之几没录入？
３１
!)#$%&*(１ ３
３．现有２４０ｋｇ水果糖，每袋装 ｋｇ．已经装了总量的 ，装了多少袋？
４ ４
４．计算：
１５ ９ ２ ８
（１） ÷１０； （２）４５÷ ； （３） ÷ ；
２２ １４ ７ ２１
２ ６ ８ ３ ５ ３ １
（４） ×０．３７５÷ ； （５）４÷ －０．６； （６） × ＋ × ；
９ ７ ３ ４ ６ ４ ６
（ ） （ ）
［ ］
８ １ ６ １２ ５ ３ ４ １ ３ ３ ７
（７） ÷７＋ × ； （８） × ＋ ＋ ； （９） － － ÷ ．
１３ ７ １３ ５ ６ ４ ５ ２ ４ ５ １０
５．解方程：
１５ ８ ４ ４ １５ ２ １
（１）５狓＝ ； （２） 狓＝ ； （３）狓÷ ＝ ； （４） 狓÷ ＝１２．
１９ ２１ １５ ５ ２８ ３ ４
３
６．一盏６０瓦的灯１小时耗电 千瓦时，某个传达室除了一盏６０瓦的灯外，没有别
５０
的电器．这个传达室上个月的用电量是６千瓦时，这盏灯上个月共使用多少小时？
９
７．某种手机的自动化生产线在手机机板上插入每个零件的时间为 秒．３分钟可以
１００
插入多少个零件？
８．一盒药共１２片，如果每天吃３次，每次吃半片，可以吃几天？
９．在横线上填入适当的分数．
（ ）
４ ３ ２ １
（１） ÷ － ＝ ； （２）１÷ － ＝３．
５ １０ ５ ５
１０．找出下面每组数的排列规律，在括号里填上适当的数．
４ ２ １ １
（１） ， ， ，（ ）， ，（ ），（ ）；
５ ５ ５ ２０
１ ３ ９ ２７
（２） ， ， ， ，（ ），（ ）．
２ ４ ８ １６
３２
!)#$%&*(２．３ 分数除法的应用
以前我们运用分数乘法解决了许多实际问题，运用分数除法同样能解决一
些实际问题．我们来看下面的问题．
４
例１ 根据测定，儿童体内的水分约占体重的 ．小明体内有２８ｋｇ的水
５
７
分，他的体重是爸爸的 ．
１５
（１）小明的体重是多少千克？
（２）小明爸爸的体重是多少千克？
（１）分析：根据题意，可以画出线段图 （图２．３１）．
4
占体重的
5
水分 28kg
体重 ？kg
图２．３１
４
由 “儿童体内的水分占体重的 ”，可以列出下面的关系式：
５
４
小明的体重× ＝小明体内水分的质量．
５
解：设小明的体重是狓ｋｇ．
４
狓＝２８，
５
请你检验一下．
４
狓＝２８÷ ，
５
狓＝３５．
答：小明的体重是３５ｋｇ．
３３
!)#$%&*(（２）分析：根据题意，可以画出线段图 （图２．３２）．
？kg
爸爸：
7
爸爸体重的
15
小明：
35k g
图２．３２
７
由 “小明的体重是爸爸的 ”，可以列出下面的关系式：
１５
７
爸爸的体重× ＝小明的体重．
１５
解：设小明爸爸的体重是狓ｋｇ．
７
狓＝３５，
１５
狓＝ ，
狓＝ ．
答：小明爸爸的体重是 ｋｇ．
２ ４
１．学校图书馆有科普读物３２０本，占全部图书的 ，相当于故事书的 ．
５ ３
（１）图书馆共有多少本书？
（２）图书馆有多少本故事书？
５２
２．我国幅员辽阔，东西相距５２００ｋｍ，东西相距是南北相距的 ．南北相距多
５５
少千米？
４
３．某电视机厂去年上半年生产电视机４８万台，是下半年产量的 ．这个电视机厂
５
去年全年的产量是多少万台？
３４
!)#$%&*(１
例２ 美术小组有２５人，人数比航模小组多 ．航模小组有多少人？
４
分析：可以画出线段图 （图２．３３）．
航模小组：
？人 1
比航模小组多 的人数
4
美术小组：
25人
图２．３３
根据线段图可以找出等量关系：
航模小组人数＋美术小组比航模小组多的人数＝美术小组人数．
解：设航模小组有狓人．
１
狓＋ 狓＝２５，
４
（ ）
对于上面的问
１ 题，你还能列出不
１＋ 狓＝２５，
４
同的方程吗？如果
５ 能，你依据的是什
狓＝２５÷ ，
４
么等量关系？
狓＝ ．
答：航模小组有 人．
习题２．３
５
１．小红周末读一本课外读物，读了３５页，正好是这本书的 ．这本课外读物一共有
７
多少页？
３ ３
２．一杯２５０ｍＬ的鲜牛奶大约含有 ｇ的钙质，占一个成年人一天所需钙质的 ．
１０ ８
一个成年人一天大约需要多少克钙质？
４０
３．人造地球卫星的速度是８千米／秒，相当于宇宙飞船速度的 ．宇宙飞船的速度
５７
是多少？
３５
!)#$%&*(１
４．在通常情况下，体积相等的冰的质量比水的质量少 ．现有一块重９ｋｇ的冰，如
１０
果有一桶水的体积和这块冰的体积相等，这桶水有多重？
５．计算：
１５ １２ ４ ２
（１） ÷５； （２） ÷８； （３）８÷ ； （４）１６÷ ；
１６ ２５ ５ １７
２１ ７ １８ ２ ４ １５ ５
（５） ÷ ； （６） ÷０．６× ； （７） × ÷ ；
４０ ８ ３５ ３ ９ １６ ６
（ ）
７ ６ ７ ３５ １ ３
（８） ÷ ； （９）（２－０．６）÷ ； （１０） ÷ ＋ ；
２４ ４９ １５ ６４ ８ ４
（ ） （ ）
［ ］
１ ３ ７ ３ １ ２ ２
（１１） １－ ÷ ÷ ； （１２） －０÷ ＋ × ．
４ ８ ９ ４ ７ １３ ３
３
６．小华家每月开支要占爸爸妈妈工资总数的 ．爸爸每月工资是２０００元，妈妈每
５
月工资是１５００元．小华家每月开支是多少元？
７．学校举行科技作品大奖赛，共收到科技作品１２０件．
（１）填表：
占获奖作品总数的几分之几 获奖作品件数
１
一等奖
６
１
二等奖
３
１
三等奖 ２４
２
（２）获奖作品占收到的作品总数的几分之几？
８．解方程：
３ ２５ ８ １ １６ ６ ２６ １３
（１） 狓＝ ； （２） 狓＝ × ； （３）狓÷ ＝ ÷ ．
５ ７２ ９ ６ ５１ ３５ ４５ ２５
２
９．有一批大米要运往灾区，４车运走大米总量的 ．平均每车运走这批大米的几分
５
之几？剩下的大米还要运几车才能运完？
１０．有一组互相咬合的齿轮．
１
（１）小齿轮有２８个齿，是大齿轮齿数的 ．大齿轮有
５
多少个齿？
（２）大齿轮每分钟转８０周，比小齿轮每分钟转的
４
周数少
５
．小齿轮每分钟转多少周？
（第１０题）
３６
!)#$%&*(１１．我国２００４年上半年进口钢材约１８０４万吨，约占２００３年上半年钢材进口量的
３９
．２００３年上半年我国大约进口钢材多少万吨？（得数保留整数．）
４０
１２．２０１０年第六次全国人口普查结果表明，我国人口最多的两个省是广东省和山东
１
省，山东省约有９６００万人，比广东省少 ．广东省大约有多少万人？
１３
１ １
１３．六 （１）班学生人数是本年级学生人数的 ，六年级学生人数是全校的 ．
３ ６
六 （１）班的学生人数是全校的几分之几？如果六 （１）班有学生４８人，全校有
学生多少人？
３７
!)#$%&*(２．４ 比
２．４．１ 比的意义
２００３年１０月１５日，我国第一艘载人飞
船神舟五号顺利升空．在太空中，执行此次
任务的航天员杨利伟在飞船里向人们展示了
联合国旗和中华人民共和国国旗 （图２．４１）．
问题１ 在图２．４１中，杨利伟展示的
两面旗都是长１５ｃｍ，宽１０ｃｍ．怎样用算
式表示它们的长与宽的关系？ 图２．４１
可以用 “１５÷１０”表示长是宽的多少
倍，也可以用 “１０÷１５”表示宽是长的几分
之几．
有时我们也把这两个数量之间的关系说成：
长与宽的比是１５比１０，宽与长的比是１０比１５．
问题２ 神舟五号进入运行轨道后，在距地３５０ｋｍ的高空作圆周运动，
平均９０分钟绕地球一周，大约运行４２２５２ｋｍ．怎样用算式表示神舟五号进
入轨道后平均每分钟飞行多少千米？
这里实际上是问神舟五号的速度如何表示．速度可以用 “路程÷时间”表
示，所以神舟五号平均每分钟飞行 “４２２５２÷９０”ｋｍ．也可以用比来表示路程
与时间的关系：
路程与时间的比是４２２５２比９０．
３８
!)#$%&*(两个数相除又叫做两个数的比 （ｒａｔｉｏ）．
１５比１０ 记作 １５∶１０，
１０比１５ 记作 １０∶１５，
“∶”是比号．
４２２５２比９０ 记作 ４２２５２∶９０．
在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后
项．比的前项除以后项所得的商，叫做比值．例如：
３
１５ ∶ １０＝１５÷１０＝ ．
２
比值通常用分数
表示，也可以用小数
前 比 后 比
或整数表示．
项 号 项 值
根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式．例如：１５∶１０
１５
也可以写成 ，仍读作 “１５比１０”．
１０
比的前项、后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？比的后
项可以是０吗？
１．小敏和小亮在文具店买同样的练习本．小敏买了６本，共花了１．８元．小亮买
了８本，共花了２．４元．小敏和小亮买的练习本本数之比是 （ ）∶（ ），比值
是 （ ）；花的钱数之比是 （ ）∶（ ），比值是 （ ）．
２．填空：
（１）３∶（ ）＝２４； （２）（ ）∶８＝０．５．
２．４．２ 比的基本性质
你还记得商不变的性质和分数的基本性质吗？
联系这些性质，猜想一下：在比中有什么样的规律？比如，下面的两组比
３９
!)#$%&*(分别相等吗？
６∶８○ （６×２）∶（８×２）；
６∶８○ （６÷２）∶（８÷２）．
根据比与除法、分数的关系，验证一下这一猜想．
根据比与除法的关系，可以得到：
６÷８＝（６×３）÷（８×３），６÷８＝（６÷２）÷（８÷２）； 你能根据比与
分数的关系研究这
↓ ↓ ↓ ↓
个规律吗？
６∶８＝（６×３）∶（８×３），６∶８＝（６÷２）∶（８÷２）．
比的前项和后项同时乘或除以相同的数 （０除外），比值不变．这个
性质叫做比的基本性质．
根据比的基本性质，可以把比化成最简单的
整数比 （前、后项的最大公因数是１）．
例１ 神舟五号搭载了两面联合国旗，一面
长１５ｃｍ，宽 １０ｃｍ （图 ２．４１），另 一 面 长
１８０ｃｍ，宽１２０ｃｍ （图２．４２）．这两面联合国
旗长和宽的最简单的整数比分别是多少？
解：１５∶１０＝（１５÷５）∶（１０÷５）＝３∶２；
图２．４２
１８０∶１２０＝（１８０÷ ）∶（１２０÷ ）＝ ５是１５和１０
∶ ．
的什么数？为什么
要除以５？
４０
!)#$%&*(例２ 把下面各比化成最简单的整数比．
１ ２
（１） ∶ ； （２）０．７５∶２．
６ ９
（ ） （ ）
１ ２ １ ２ 为什么要乘
解：（１） ∶ ＝ ×１８ ∶ ×１８ ＝
６ ９ ６ ９ １８？
∶ ；
（２）０．７５∶２＝（０．７５×１００）∶（２×１００）
＝７５∶２００＝ ∶ ．
当一个比的前项或后项不是整数时，怎样把这个比化成最简单的整数比？
把下面各比化成最简单的整数比．
（１）３２∶１６； （２）４８∶４０； （３）０．１５∶０．３；
５ １ ７ ３ ５
（４） ∶ ； （５） ∶ ； （６）０．１２５∶ ．
６ ６ １２ ８ ８
２．４．３ 比的应用
在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分
配，比如本章开始前图中溶液的稀释．
例３ 图２．４３是某种清洁剂浓缩液的稀释瓶，
瓶子上标明的比表示浓缩液与水的体积之比．按照
这些比，可以配制出不同浓度的稀释液．
如果按１∶４的比配制一瓶５００ｍＬ的稀释液，
其中浓缩液和水的体积分别是多少？
解法１：按１∶４的比配制稀释液，可以这样 图２．４３
４１
!)#$%&*(想：把配成的稀释液平均分成５份，其中浓缩液占了１份，水占
了４份．
每份是５００÷５＝１００（ｍＬ），
浓缩液有１００×１＝１００（ｍＬ），
水有１００×４＝４００（ｍＬ）．
１ （ ）
解法２：浓缩液占稀释液的 ，水占稀释液的 ．
１＋４ （ ）
１
浓缩液有５００× ＝１００（ｍＬ），
１＋４
（ ）
水有５００× ＝（ ）（ｍＬ）．
（ ）
答：浓缩液的体积是 ，水的体积是 ．
１．某妇产医院上月新生婴儿３０３个，男女婴儿人数之比是５１∶５０．上月新生男女
婴儿各有多少个？
２．学校把栽７０棵树的任务，按照六年级三个班的人数分配给各班， （１）班有
４６人，（２）班有４４人，（３）班有５０人．三个班各应栽多少棵树？
习题２．４
１．航海模型小组有男生１４人，女生８人．航空模型小组共有２６人，其中男生有１６
人．汽车模型小组共有１２人，共做了１８个汽车模型．
（１）航海模型小组男女生人数的比是 （ ）∶（ ），比值是（ ）；
（２）航空模型小组男女生人数的比是（ ）∶（ ），比值是 （ ），女生人数
与小组总人数的比是 （ ）∶ （ ），比值是 （ ）；
（３）汽车模型小组做的模型总数与人数的比是 （ ）∶（ ），比值是（ ）．
２．下页哪个长方形的长与宽的比是３∶２？
４２
!)#$%&*(① ② ③
（第２题）
３．求下面各比的比值．
２ ６ １
（１）５∶９； （２）０．６∶０．１６； （３） ∶ ； （４）０．８∶ ．
３ ７ ２
４．把下列各比化成后项是１００的比．
（１）学校种植树苗，成活的棵数与种植总棵数的比是４９∶５０；
（２）要配制一种药水，药剂的质量与药水总质量的比是０．１２∶１；
（３）某企业去年实际产值与计划产值的比是２７５万∶２５０万．
５．空气中氧气与氮气的体积比是２１∶７８．６６０ｍ３ 空气中有氧气和氮气各多少立
方米？
６．用１份蜂蜜和９份水冲兑蜂蜜水．一个杯子的容积是２００ｍＬ，要冲兑一满杯这样
的蜂蜜水，需要蜂蜜和水各多少？
７．每个橡皮艇上有１名救生员和７名游客，一共５６人乘坐橡皮艇．一共有多少名游
客？多少名救生员？
８．搅拌混凝土需要水泥、沙子和石子共２０ｔ，水泥、沙子和石子的比是２∶３∶５．
三种原料分别需要多少吨？
９．不同蔬菜中钙和磷含量的比是不同的．
蔬菜 芹菜 菠菜 茄子
钙、磷含量比 ７∶５ ２∶１ ２３∶２０
哪种蔬菜的钙磷含量比的比值最高？哪种最低？
１０．如图， “小亮和他的表妹的身高的比是１５０∶１”
这一说法正确吗？正确的比应该是多少？你会化
简吗？
150c m
１１．用１２０ｃｍ的铁丝做一个长方体的框架．长、宽、
1m
高的比是３∶２∶１．这个长方体的长、宽、高分
别是多少？
小亮
（第１０题）
４３
!"#$%&’(
书书书２
１２．张伯伯家里的菜地共８００ｍ２．他准备用菜地的 种西红柿，剩下的按２∶１的面
５
积比种黄瓜和茄子．三种蔬菜的面积分别是多少？
１３．有一个两位数，十位上的数和个位上的数的比是２∶３．十位上的数加上２，就和
个位上的数相等．这个两位数是多少？
１４．如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方
１ １
形面积的 ，相当于小长方形面积的 ．大长方
６ ４
形和小长方形的面积的比是多少？
１５．甲数与乙数的比是２∶３，乙数与丙数的比是４∶５．
（第１４题）
甲数与丙数的比是多少？
黄 金 比
你听说过 “黄金比”吗？
把一条线段分成两部分，如果较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之
比，我们把这个比称为黄金比 （约为０．６１８∶１）．当一个物体的两个部分长度的比大致符合黄
金比时，会给人以一种优美的视觉感受．所以，许多艺术作品 （图１）都是按黄金比来设计的．
b
a
b
a
a∶b≈0.618∶1
图１
上图中的五角星内还有其他线段符合黄金比吗？
请你自己收集一些有关黄金比的信息与同学交流．
４４
!)#$%&*(
按下面的步骤计算，再把最后的得数与开始的数相比较，你能发现什
７
么规律？然后把 换成其他的分数试试，看看有没有同样的规律．你能解
１５
释其中的原因吗？
2(cid:0) 3(cid:0) 1(cid:0)
÷ ÷ ×
7(cid:0) 3(cid:0) 4(cid:0) 2(cid:0)
15(cid:0)
2(cid:0) 3(cid:0) 1(cid:0)
÷ ÷ ×
3(cid:0) 4(cid:0) 2(cid:0)
找一些大小不同的国旗 （或国旗图片），量出它们的长和宽，再算出
长和宽的比值，看看有什么规律．
４５
!)#$%&*(小 结
一、本章知识结构图
分数除法的意义
分数除法 分数除以整数
一个数除以分数
分 混合运算
数
除
法
解决问题
比的意义
比 比的基本性质
比的应用
二、回顾与思考
在掌握了分数乘法的基础上，本章我们通过学习分数除法，系统掌握了分
数的四则运算，还开始了比的初步知识的系统学习，为后面学习百分数和比例
打下了基础．
通过探究，我们掌握了分数除法的计算方法．在进行分数四则运算时，要
注意灵活运用运算定律进行简便运算．
用分数除法解决实际问题，重要的是分析数量关系．这里主要有两种情
况：一种是数量关系与用整数除法解决的实际问题相同，只是数据由整数变成
了分数；另一种是已知一个数的几分之几是多少，要求这个数．事实上和前面
分数乘法中的求一个数的几分之几是多少的实际问题数量关系相同，只是已知
数和未知数交换了位置．
比的初步认识也是从概念到性质再到应用的递进学习过程．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．结合具体的例子说明为什么除以一个数可以转化为乘这个数的倒数．
２．结合具体的例子说说什么是比，指出比的前项和后项．
３．比与除法、分数有什么关系？结合实例说明比的基本性质．
４．举例说明运用分数除法和比的知识可以解决哪些实际问题．
４６
!)#$%&*(复习题２
１．判断下列说法是否正确．
（１）两个分数相除，商一定大于被除数； （ ）
１
（２）如果犪÷犫＝ ，犫就是犪的３倍； （ ）
３
（３）如果犪∶犫＝３∶５，那么犪＝３，犫＝５； （ ）
（４）从学校走到电影院，小明用８分钟，小红用１０分钟，小明和小红的速度之比
是４∶５． （ ）
２．把上下两行计算结果相等的算式用线连起来．
２ ２ ３ ２ ３ ２
÷４ ÷ × ×４
５ ５ ４ ５ ４ ５
２ ４ ２ ２ ４ ２×４
÷ ×
５ ３ ５×４ ５ ３ ５
３．计算：
１ ４ ３ ４ ５ ２ ５
（１） ×８÷ ； （２） ＋０．５× ； （３） ÷ ÷ ；
５ ５ ５ ５ ６ ３ ６
（ ） （ ）
５ ５ ４ ５ ２ ７ ７
（４） ＋ × ； （５） － ×０．９； （６）１－ ÷ ；
８ ６ ２５ ６ ３ ９ ８
（ ） （ ）
［ ］ ［ ］
４ １ １ １ １ ２
（７） ÷ ０．８－ ＋ ； （８） １－ － × ．
９ ５ ３ ２ ４ ３
９
４．冰融化成水后，水的体积变为冰的体积的 ．
１０
现有一块冰，融化成水以后的体积是３０ｄｍ３，
这块冰的体积是多少？
５．狮子奔跑时的最高时速可以达到６０千米／时，
６
大约是猎豹的 ．猎豹奔跑时的最高时速大约
１１
是多少？
（第５题）
４７
!)#$%&*(
６．动物心跳的快慢是与体重有关系的，体重越大，心跳越慢，体重越小，心跳越快．
你能根据下面的信息算出猫每分钟大约心跳多少次吗？
老鼠每分钟心跳约500次 大象每分钟心跳次数约是 猫每分钟心跳约____ 次
老鼠的 — 2 (cid:0)， 约(cid:0) 是猫的— 1
25 6
（第６题）
７．填空：
（ ）
（１）８∶１０＝ ＝４０÷（ ）＝（ ）（填小数）；
５
（２）学校电脑小组有男生２５人，女生２０人．男生人数是女生的 （ ）倍，女生
人数与男生人数的最简单的整数比是 （ ）∶ （ ），女生人数占总人数
（ ）
的 ；
（ ）
（３）２０ｋｇ∶０．２ｔ的比值是 （ ）．
８．夏至是北半球一年中白昼最长、黑夜最短的一天．这一天，北京的白昼时间与黑
夜时间的比是５∶３．白昼和黑夜分别是多少小时？
９．某仓库里储存了１５０ｔ大米、６０ｔ面粉和１５ｔ杂粮．求这个仓库里储存的大米、
面粉和杂粮的比，并把它化成最简单的整数比．
１０．请你根据下面的信息，寻找合适的量，写出这些量之间的比．
小华今年１２岁，爸爸３８岁．爸爸一年的工资是３００００元，妈妈每月的工资是
１５００元．
你还能在生活中发现一些信息并用比来表示这些信息中各个量之间的关系吗？
１
１１．学校运动会上，某班参加比赛的女生占全班人数的 ，参加比赛的男生占全班
６
１
人数的 ，参加比赛的男生比女生多４人．这个班有学生多少人？
４
１
１２．有甲、乙两袋米，甲袋装米１０ｋｇ．如果从乙袋中倒出 给甲袋，两袋米就一样
３
重了．乙袋原来装了多少千克米？
４８
!)#$%&*(第三章 圆的初步认识
在以前的学习中，你们已经学习了很多图形，
在下图中找一找，看看能找到哪些你熟悉的图形．
看着图中熟悉的圆形，你有没有想过：在施
工时，用什么方法能把圆形花坛、圆形喷水池修
得那么圆呢？车轮为什么设计成圆形的？……所
有这些，都需要我们了解更多的有关圆的知识．
在这一章，你们将通过自己的思考和活动，
探索圆的特征，了解圆的应用．３．１ 认识圆
从奇妙的自然界到文明的人类社会，从精巧的手工艺品到气势宏伟的各种
建筑……到处都可以看到大大小小的圆 （图３．１１）．
图３．１１
你能想办法在纸上画一个圆吗 （图３．１２）？
图３．１２
如图３．１３，把画好的圆剪下来，对折，打开，再换个方向对折，再打
开，反复折几次．折过几次之后，你发现了什么？
……
图３．１３
折痕相交于圆中心的一点．
如图３．１４，点犗到圆上任意一点的距离
都相等，这一点叫做圆心 （ｃｅｎｔｅｒｏｆａｃｉｒｃｌｅ）．
d
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径 O
r
（ｒａｄｉｕｓ），一般用字母狉表示．通过圆心并且两
端都在圆上的线段叫做直径 （ｄｉａｍｅｔｅｒ），一般 图３．１４
用字母犱表示．
５０
!+#$,-./01用彩笔描出下面各圆的直径和半径．每个圆中你分别描出了几条半径？
在同一个圆内，有多少条半径？多少条直径？直径与半径的长度有什
么关系？
在同一个圆内，半径、直径都有无数条；所有半径的长度都相等，所有直
１
径的长度也都相等．直径的长度是半径的２倍，半径的长度是直径的 ，用公
２
犱
式表示就是犱＝２狉，狉＝ ．
２
由于同一个圆内半径都相等，我们可以用圆规来画圆．
（１）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离 （图３．１５）；
圆规的两脚间
的距离是所画的圆
的什么？
0 1 2 3 4 5 6 7
图３．１５
（２）把有针尖的一只脚固定在一点上；
５１
!+#$,-./01（３）把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆 （图３．１６）．
有针尖的一脚
固定的点是所画的
圆的什么？
图３．１６
１．用圆规画一个半径是２ｃｍ的圆，并用字母犗、狉、犱标出它的圆心、半径和直径．
２．找出下面各圆的圆心和直径．
（第２题）
我们以前学过轴对称图形，长方形、正方形和圆等都是轴对称图形，都有
对称轴．
你能分别画出图３．１７中两个圆的对称轴吗？可以画几条？
图３．１７
直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴．
５２
!+#$,-./01１．我们已经学过的平面图形中有哪些是轴对称图形？哪些图形的对称轴只有一条？
哪些不止一条？
２．根据对称轴画出下面各图形的轴对称图形．
（第２题）
３．画出下面各图形的对称轴．
O
（第３题）
习题３．１
１．按下面的要求，用圆规画圆．
（１）狉＝３ｃｍ； （２）犱＝５ｃｍ； （３）狉＝３．５ｃｍ．
２．填空：
O 3 cm 6 cm O O 高
O 3.5 cm
10cm
d =_____ r =_____ r=_____ d =_____
（第２题）
３．（１）用彩色笔描出图中圆的直径．
（２）比较这些线段的长度，你发现了什么？
（第３题）
５３
!+#$,-./01４．在下列各图形中，你能分别画出几条对称轴？
（第４题）
５．画一个只有一条对称轴的四边形，再画一个只有两条对称轴的四边形．
６．填表 （单位：ｍ）：
狉 ０．２４ １．４２ ２．６
犱 ０．８６ １．０４
７．学校要建一个直径是１０ｍ的圆形花坛，你能用什么方法画出这个圆？
８．画出自己喜欢的轴对称图形，并和同桌交流．
９．如图，在长方形中有三个大小相等的圆．已知这个长方形的长是１８ｃｍ，圆的直径
是多少？长方形的周长是多少？
18 cm(cid:0)
（第９题）
１０．你能利用圆规和三角尺画出下面这些美丽的图案吗？试试看．
（第１０题）
１１．车轮为什么是圆形的？车轴应装在什么位置？
５４
!+#$,-./01
圆的妙用
如果你仔细观察就会发现：我们周围很多东西的形状都是圆形的，如车轮、马路上的
大多数井盖 （图１）……
图１
这是为什么呢？
车轮制成圆形，是利用同一圆的半径都相等的性质．把车轴装在车轮的圆心上，当车
轮在地面上滚动的时候，车轴离地面的距离总是等于车轮的半径，因此只要道路平坦，车
子就会平稳地在地面上行驶．对于这一点，人们很
早就认识到了．大约在６０００年前，美索不达米亚人
就做出了世界上第一个轮子———圆的木轮．后来约
在４０００年前，人们将圆的木轮固定在木架上，就成
了最初的车子．试想一下，如果车轮是正方形的，
为了保持车辆的平稳行驶，道路应该是什么样子的
呢 （图２）？
图２
井盖做成圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都
不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这里利用了同一圆的直径都相等的性质 （图３）．
图３
５５
!+#$,-./01３．２ 圆的周长
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长．怎样才能知道一个圆的周长是多
少呢？
如图３．２１，我们可以用一根线 （或纸条）绕圆一周，剪去多余的部分，
再拉直量出它的长度，来得到圆的周长．
!+#$,-./01
0
(cid:0)mc01
1 0 2 0 3 0 cm(cid:0)
图３．２１
如图３．２２，我们也可以把圆放在直尺上滚动一周，来直接量出圆的周长．
0
mc01
1 0 2 0 3 0 cm
图３．２２
圆的周长与什么有关？有什么关系呢？
找一些圆形的物品，分别量出它们的周长和直径，并算出周长和直径
的比值，把结果填入给出的表格中．观察表格中的数据，你发现了什么？
周长
物品名称 周长 直径 直径
（保留两位小数）
一个圆的周长总
是它的直径的３倍多
一些．
５６其实，早就有人研究了圆的周长与直径的关
系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是
约１５００年前，中
一个固定的数，我们把圆的周长与它的直径的比
国伟大的数学家和天
值叫做圆周率，用字母π （狆à犻）表示．圆周率是 文学家祖冲之计算出圆
一个无限不循环小数，π＝３．１４１５９２６５３５…．但在实 周率应在３．１４１５９２６和
３．１４１５９２７之间，成为
际应用中一般只取它的近似值，即π≈３．１４．
世界上第一个把圆周
如果用犆表示圆的周长，就有：
率的值的计算精确到７
犆＝π犱 或 犆＝２π狉． 位小数的人．
例 一个圆形花坛的直径是２０ｍ，它的周长是多少？
解：３．１４×２０＝６２．８ （ｍ）．
答：花坛的周长是６２．８ｍ．
１．一个圆形喷水池的半径是５ｍ，它的周长是多少？
２．在一个圆形地面的亭子里，小丽走完这个圆的直径需用１２步，平均每步长
５５ｃｍ．这个圆的周长是多少？
习题３．２
１．求下面各圆的周长．
r= 3c m d= 8cm r= 5cm
（第１题）
２．一张圆桌面的直径是０．９５ｍ，如果沿圆桌面的外缘包一层银色的边，需要多长银
色的边？（得数保留两位小数．）
５７
!+#$,-./01３．一辆自行车的车轮半径是０．３５ｍ，车轮往前滚动８周前
进了多远？
４．爸爸用一根３．６ｍ长的塑料管做了一个呼拉圈，呼拉圈
的半径是多少？（得数保留两位小数．）
５．如图，小红量得一座古代建筑中的大圆柱某个横截面的
周长是３．７７ｍ．这个横截面的直径是多少？（得数保留
一位小数．） （第５题）
６．小东有一辆自行车，车轮的直径大约是６６ｃｍ．从家到学校的路程是２０００ｍ，如
果车轮平均每分钟转１００周，小东骑车上学大约需要多少分钟？（得数保留整数．）
７．一只挂钟的分针长２０ｃｍ，经过３０分钟后，分针的尖端所走的路程是多少？经过
４５分钟呢？
８．如图，一个圆形牛栏的半径是２０ｍ，要用多长的粗铁丝才能把牛栏围上３圈 （接
头处忽略不计）？如果每隔２ｍ装一根木桩，大约要装多少根木桩？
d(cid:0)=50 (cid:0) cm(cid:0)
!+#$,-./01
(cid:0)mc
(cid:0)05
（第８题）
（第９题）
９．李明家的一扇门要装上形状如图所示的装饰木条，需要多长的木条？
１０．填空 （单位：ｃｍ）：
（１） （２）
r(cid:0)=2(cid:0) r(cid:0)=1.(cid:0)5(cid:0)
正方形的周长是 （ ）ｃｍ， 圆的周长是 （ ）ｃｍ，
圆的周长是 （ ）ｃｍ． 长方形的周长是 （ ）ｃｍ．
５８１１．如图，杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为４０ｃｍ，要骑过５０ｍ长的钢
丝，车轮需要转动多少周？（得数保留整数．）
（第１１题） （第１２题）
１２．如图，一台压路机的前轮直径是１．７ｍ．如果前轮每分钟转动６周，１０分钟前进
多远？
１３．在一张周长为１００ｃｍ的正方形纸片内，剪一个最大的圆，这个圆的周长是多少？
１４．求出图形 （如图）的周长，并说一说你是怎样算的．
5cm
（第１４题）
１５．为方便销售，售货员把啤酒瓶捆成如下图的形状．如果每组分别捆５圈 （接头处
不计），每组至少需要多长的绳子？你发现了什么？
d=7cm
（第１５题）
５９
!+#$,-./01３．３ 圆的面积
圆所占平面的大小叫做圆的面积．
怎样计算圆的面积呢？能不能把圆转化为学过的图形来计算呢？
如图３．３１，把一个圆分成若干 （偶数）等份 （可利用附页）．剪开
后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？
!+#$,-./01
11
3
2
61
51
4
1
4
3
5
1 2
6
1
1 1
7
890
1
1 6
2
1 5
3
1 4
4
1 3
5
1 2
6
1 1
7
1 0
8
9
图３．３１
如图３．３２所示，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形．
图３．３２
如果分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近于长方形．
拼成的近似长方形的长和宽与圆的周长、半径有什么关系呢？
r ……
C 长方形
—（=πr）
2
图３．３３
从图３．３３中可以看出圆的半径是狉，长方形的长是 （ ），宽是 （ ）．
因为长方形的面积＝（ ）×（ ），
６０所以圆的面积＝（ ）×（ ）＝（ ）．
如果用犛表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是：
犛＝π狉２．
例１ 一个圆形花坛的直径是２０ｍ，它的面积是多少？
解：圆的半径：２０÷２＝１０ （ｍ）；
圆的面积： ３．１４×１０２
＝
＝ ．
答：它的面积是 ｍ２．
１．一个圆形茶几面的直径是１ｍ，它的面积是多少？
２．儿童乐园要修建一个旋转木马场地，木马旋转范
围的直径是８ｍ，周边还要留出１ｍ宽的小路，
并在外侧围上栏杆．这块场地的占地面积是多少？
（第２题）
例２ 如图３．３４所示，光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是２ｃｍ，
外圆半径是６ｃｍ．圆环的面积是多少？
解法１：３．１４×６２－３．１４×２２
＝
＝ ． m
c
2
解法２：３．１４×（６２－２２ ） 6cm
＝
＝ ．
图３．３４
答：圆环的面积是 ｃｍ２．
６１
!+#$,-./01１．如图，一座圆形环岛的直径是５０ｍ，中间是一个直径为１０ｍ的圆形花坛，其
他地方是草坪．草坪的占地面积是多少？
8 cm
12 cm
（第１题） （第２题）
２．图中阴影部分是个半圆环，它的面积是多少？
习题３．３
１．填表：
半 径 ４ｃｍ ２０ｍ
直 径 ９ｄｍ ６ｍ
圆面积
２．如图，公园草地上一个自动旋转喷灌
装置的射程是１０ｍ，它能喷灌的面
积是多少？
３．计算各图形 （如图）中阴影部分的面积．
（第２题）
12cm 10cm r=5cm
8
cm
（第３题） （第４题）
４．如图，圆的半径是５ｃｍ，把圆平均分成４份，其中１份的面积是多少？３份的面
积是多少？
６２
!"#$%&’()*
书书书
５．如图，计算各圆的周长和面积．
100 m
d=10 cm
r=3cm 32m
O
（第５题） （第６题）
６．如图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形．这
个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？
７．篮球场上有圆和半圆的区域，你知道它们分别是什么
区域吗？请你先测量，再计算出它们的周长和面积．
８．如图，街心公园有两块半圆形的草坪，它们的周长都
是１２８．５ｍ．这两块草坪的总面积是多少？
（第８题）
９．在每个正方形中分别作一个最大的圆，并完成下面的表格．
正方形的边长 正方形的面积 圆的面积 面积之比
１ｃｍ
２ｃｍ
３ｃｍ
４ｃｍ
你发现了什么？任意画一个正方形，在其中画一个最大的圆，也能得出相同的结
论吗？
１０．圆在生活中有哪些应用？为什么草原上的蒙古包要围成圆形的？为什么绝大多
数植物的根和茎的横截面是圆形的？
（第１０题）
６３
!+#$,-./01３．４ 扇形
如图３．４１，圆上犃，犅两点之间的部分叫做弧
（ａｒｃ），读作 “弧犃犅”．一条弧和经过这条弧两端的
A
两条半径所围成的图形叫做扇形 （ｓｅｃｔｏｒ）．图３．４１
中涂色部分就是扇形．
像∠犃犗犅这样，顶点在圆心的角叫做圆心角 O
（ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ）．
B
可以发现，在同一个圆中，扇形的大小与这个
图３．４１
扇形的圆心角的大小有关．
１．以半圆为弧的扇形的圆心角是多少度 （图３．４２）？
１
２．以 圆为弧的扇形的圆心角是多少度 （图３．４３）？
４
A
A B B
O O
图３．４２ 图３．４３
下面哪些涂色部分的图形是扇形？在 （ ）里画 “”．
O O O O O
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
６４
!+#$,-./01习题３．４
１．指出下列物体中的扇形．
（第１题）
２．下面图形中哪些角是圆心角？在 （ ）里画 “”．
A B
A
B B
B O
O O O
A
A
( ) ( ) ( ) ( )
（第２题）
３．画一个半径是２ｃｍ的圆，再在圆中画一个圆心角是１００°的扇形．
４．你在生活中见过下面这些图案吗？
（第４题１）
像下面这样一个圆环被截得的部分叫做扇环．你能求出下面各扇环的面积吗？
1 dm
2 dm
r=4 dm
O
O
r=5 dm
（第４题２）
６５
!+#$,-./01
４００ｍ赛跑时，为什么运动员站在不同的起
跑线上 （图１）？请到学校运动场上观察一下，
把你的答案写在下面．
图１
!+#$,-./01
m6.27
下面是一个标准的４００ｍ跑道运动场的示意图 （图２），其直道的长
度是８５．９６ｍ，第一条半圆形跑道的直径为７２．６ｍ，每条跑道宽１．２５ｍ．
1.25 m
85.96 m
图２
如果要在这个运动场上进行４００ｍ的比赛，计算出相邻两条跑道上的
起跑线应该相差多少．（π取３．１４１５９．）
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
直径／ｍ ７２．６ ７５．１
周长／ｍ ２２８．０８２３５．９３
全长／ｍ ４００ ４０７．８５
如果是２００ｍ的比赛，相邻两条跑道上的起跑线应该相差多少？
６６小 结
一、本章知识结构图
感受圆的曲线特征
认识圆 圆的认识及其画法
圆的对称性
圆的周长计算公式
圆
圆 圆的周长
计算公式的应用
圆的面积计算公式
圆的面积
计算公式的应用
扇形的认识
扇形
圆心角
二、回顾与思考
圆是由曲线围成的图形．在同一个圆中，所有半径的长度都相等，也就是
圆上任意一点到圆心的距离都相等，利用这一原理可以用圆规画圆；同一个圆
的直径的长度是半径的２倍，所以同一个圆的直径的长度都相等．
圆的周长和面积公式的探索，利用了转化的数学思想；解决问题贯穿在整
个学习过程中……你都体会到了吗？
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．用自己的语言描述出下面这些概念的含义，并用图形表示它们 （圆周率
除外）．
圆心、直径、半径、轴对称图形、圆周率、扇形、弧、圆心角．
２．同一个圆中的半径与直径有什么关系？圆的周长与直径和半径分别有什
么关系？圆的面积与半径有什么关系？
３．回顾如何用转化的方法得出圆的面积计算公式．
４．请你说出几种轴对称图形．
５．与以前相比，你对圆有什么新的认识？请与你的同桌进行交流．
６７
!+#$,-./01复习题３
１．判断下列说法是否正确．
（１）圆周率π就是３．１４； （ ）
（２）圆的半径扩大到原来的２倍，周长和面积也扩大到原来的２倍； （ ）
（３）半径相等的两个圆周长相等； （ ）
（４）两个圆的直径相等，它们的半径也一定相等； （ ）
（５）用４个圆心角都是９０°的扇形，一定可以拼成一个圆． （ ）
２．一种汽车的方向盘的直径是４０ｃｍ，它的周长是多少？
３．用一根长２５１．２ｃｍ的铁条焊接成一个圆形铁环，它的
半径是多少？
４．钟表厂生产一种圆形钟面，它的周长是１００．４８ｃｍ．它
的直径是多少？
５．如图，一个铁炉子的底面是圆形的，周长是９４．２ｃｍ．这
个炉子的占地面积是多大？ （第５题）
６．一张圆形餐桌面的直径是２ｍ，它的周长是多少？它的面积是多少？如果一个人
需要弧长为０．５ｍ的位置就餐，这张餐桌大约能坐多少人？
７．一个圆的周长是６２．８ｍ，半径增加了２ｍ后，面积增加了多少？
８．如图，中间是一个边长为４ｃｍ的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是一个
圆的四分之一．整个图形的面积是多少？
（第８题） （第９题）
９．如图，学校操场的跑道由正方形的两条对边和两个半圆组成．跑道一周的长度是多少？
１０．一根绳子长３１．４ｍ，用这根绳子在操场上围出一块地．怎样围面积最大？
１１．（１）扇形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
（２）圆心角是１°的扇形，其面积是整个圆面积的几分之几？圆心角是４０°，狀°的
扇形呢？
６８
!+#$,-./01第四章 百分数
在前面，我们已经学过分数，并会解决与分
数相关的问题．在生产、工作和生活中，我们还
经常会用到一种特殊分数———百分数，例如：
（１）星期一，六 （１）班４６人中有３人请假，
六 （２）班４２人中有２人请假，两个班的出勤率分
别约是９３．５％和９５．２％．
（２）２００９年我国农村居民人均纯收入５１５３
元，２０１０年是５９１９元，年增长率约是１４．９％．
百分数有什么特点？百分数与小数、分数有
什么联系与区别？如何解决与百分数相关的实际
问题？这是本章要学习的主要内容．
百分数与分数有着紧密的联系，合理利用已
有的分数知识，可有效促进百分数知识的学习．
项目 ２００９年 ２０１０年 增长率
粮食产量／万吨 ５３０８２ ５４６４１ ２．９％
手机／万台 ６１９２４．５ ９９８２７．４ ６１．２％
出境人数／万人 ４７６６ ５７３９ ２０．４％
书书书４．１ 百分数的意义和写法
!
!
!
图４．１１
像图４．１１中这样的数，如６４．２％，６５％，
９８％……叫做百分数 （ｐｅｒｃｅｎｔ）．百分数也叫做 你还在什么地
百分率或百分比． 方见过百分数？
你能说说上图中百分数的具体含义吗？
经过分析，我们知道：小学生的近视率为
１８％，就是说小学生近视的人数占全体小学生人
１８
数的 ；初中生的近视率为４９％，就是说初中
１００
４９
生近视的人数占全体初中生人数的 ……
１００
百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号 “％”来表
示．例如：
百分之九十 写作 ９０％，
百分之六十四 写作 ６４％，
百分之一百零八点五 写作 １０８．５％．
７０
!"#$%&’１．写出下面的百分数．
百分之一 百分之二十八 百分之零点五
２．读一读下面的百分数．
０．６％ ２５％ ３３．３％ １２１．７％ ３００％
习题４．１
１．读出服装面料成分中的百分数．
602!
86! 632!
364!
14! 368!
34!
（第１题）
２．写出下面的百分数．
（１）我国总人口中有将近百分之七十的人口年龄在１５～５９岁之间；
（２）感冒百分之九十左右由病毒引起，百分之十左右由细菌引起．
３．找出报栏中的百分数，并将它们读、写出来．
2009 !
! !
! 70!
40
（第３题）
４．收集一些生活中的百分数，说说它们的含义．
７１
!"#$%&’
书书书４．２ 百分数与小数、分数的互化
４．２．１ 百分数与小数的互化
例１ 把百分数２７％、１３５％化成小数．
分析：可以先把百分数写成分母是１００的分数，再直接写成小数．
２７
解：２７％＝ ＝０．２７；
１００
（ ）
１３５％＝ ＝（ ）．
（ ）
例２ 把０．２４、１．４、０．１２３化成百分数．
２４
解：０．２４＝ ＝２４％；
１００
１４ １４０
１．４＝ ＝ ＝（ ）％；
１０ １００
１２３ （ ）
０．１２３＝ ＝ ＝（ ）％．
１０００ １００
先做一做，再观察，看看你能发现什么．
（１）把百分数化成小数：９７％，８％，０．５％，１３．２％；
（２）把小数化成百分数：０．９７，０．０８，０．００５，０．１３２．
想一想：怎样才能很快地进行百分数与小数的互化？
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两
位；把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百
分号．
７２
!"#$%&’４．２．２ 百分数与分数的互化
例３ 把１７％、４０％、１２．５％化成分数．
１７
解：１７％＝ ；
１００
４０ ２ 能约分的要约成最
４０％＝ ＝ ；
１００ ５ 简分数．
１２．５％＝（ ）＝（ ）．
１ １
例４ 把 、 化成百分数．
５ １４
分析：把分数化成百分数，可以把它先化成小数再化成百分数．
１
解： ＝０．２＝２０％；
５
１ 除不尽时，通常保
＝１÷１４≈０．０７１＝７．１％．
１４ 留三位小数．
想一想：百分数与分数怎样互化？
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分
数；把分数化成百分数，通常先把分数化成小数 （除不尽时，通常保留三
位小数），再把小数化成百分数．
１．把下面的百分数化成分数．
１４％＝（ ）； ３．５％＝（ ）； １２０％＝（ ）．
２．每人写几个百分数，同桌同学互相交换，并把它们化成分数．
３．把下面的分数化成百分数．
１ １ １ ３
＝（ ）； ＝（ ）； ＝（ ）； ＝（ ）．
４ ８ ６ ５
７３
!"#$%&’４．分别用分数、小数、百分数表示图中的涂色部分．
分数： 小数： 百分数：
（第４题）
习题４．２
１．把下面的小数化成百分数，百分数化成小数．
２．１ ０．３１３ １８．５％ １．０７
２６．３４％ ５９．８ １．４１ ０．６９
２．找出相等的两个数，用线连起来．
１１％ ４５％ ２％ ２７％ １６３％
１．６３ ０．１１ ０．２７ ０．４５ ０．０２
３．用百分数、分数表示出各图的涂粉色部分．
百分数 （ ） 百分数 （ ） 百分数 （ ）
分 数 （ ） 分 数 （ ） 分 数 （ ）
４．分别用百分数、分数、小数表示直线上的各点．
0 1
百分数 20％
1
分数 —
5
小数
７４
!"#$%&’５．填表，使每列的三个数相等．
百分数 ３２％ ０．５％
小 数 １．５ ０．０２５
１ ３
分 数
３ ８
１０
６．（１）（ ）∶１６＝ ＝０．１２５＝（ ）％；
（ ）
１
（２）大西洋面积约是太平洋面积的 ，也就是太平洋面积的 （ ）％．
２
７．据医学测试，人静止不动时，从头部散失的热量很多．如果一个人穿得暖和但不
戴帽子，在气温为１５℃时，从头部散失的热量占人体散失总热量的３０％，在气温
３ ３
为４℃时占 ，在气温为零下１５℃时占 ．因此，有句俗话说 “冬季戴棉帽，如
５ ４
同穿棉袄”．在以上哪种气温时从头部散失的热量最多？怎样比较更快一些？
７５
!"#$%&’４．３ 百分数的应用
由于百分数表示一个数是另一个数的百分之几，所以解决有关百分数的实
际问题的方法可以依照解决有关分数的实际问题的方法．
４．３．１ 一般的百分数问题
例１ 六年级有学生１６０人，已达到 《国家体育锻炼标准 （儿童组）》的
有１３６人，占六年级学生人数的百分之几？
解：１３６÷１６０＝０．８５＝８５％．
答：占六年级学生人数的８５％．
达标学生人数占学生总人数的百分数 （率）叫做达标率．
通常用下面的公式计算：
达标学生人数
达标率＝ ×１００％．
学生总人数
实行科学种田，播种前需要进行种子发芽试验，然后根据发芽率的高低，
选择种子品种和确定播种量．
求发芽率就是求发芽的种子数占试验种子总数的百分之几．通常用下面的
公式来计算：
发芽种子数
发芽率＝ ×１００％．
试验种子总数
例２ 生物小组进行小麦种子发芽试验，试验结果如下，计算出每次试验
的发芽率．
试验编号 试验种子数／粒 发芽种子数／粒 发芽率
１ ３００ ２８５
２ ３００ ２８２
３ ３００ ２９４
４ ３００ ２９１
７６
!"#$%&’在实际生活中，像上面这样需要求百分率的
情况还有很多，例如： 你还能说出一些
实际出勤学生人数
百分率的例子吗？
学生的出勤率＝ ×１００％；
应出勤学生总人数
合格的产品数
产品的合格率＝ ×１００％；
产品总数
面粉的质量
小麦的出粉率＝ ×１００％．
小麦的质量
１．填空：
（１）我国目前人均水资源占有量约为２２００ｍ２，北京市人均水资源占有量约为
３００ｍ３，占全国人均水资源占有量的 ％．
（２）全球陆地面积约为１４９５０万平方千米，目前全球荒漠化土地面积有３６００
万平方千米，荒漠化土地面积约占全球陆地面积的 ％．
２．用２０００ｋｇ花生米榨出花生油７６０ｋｇ，这些花生米的出油率是多少？
例３ 青山乡原计划造林１２公顷，实际造林１４公顷．实际造林比原计划
增加了百分之几？
分析：可先画出线段图 （图４．３１）来分析数量关系．
原计划：
12(cid:0)公顷 比原计划增加的
实 际 ：
14(cid:0)公顷
在解决有关百分数
图４．３１
的实际问题时，遇到除
解：（１４－１２）÷１２＝２÷１２≈０．１６７＝１６．７％． 不尽的情况，百分号前
答：实际造林比原计划增加了１６．７％． 的小数通常保留一位．
在实际生活中，人们常用 “增加百分之几” 举例说明这些
“减少百分之几”“节约百分之几”……来表达增 话的含义．
加、减少的幅度．
７７
!"#$%&’１．小飞家原来每月用水约１０ｔ，更换了节水龙头后每月用水约９ｔ，每月用水比原
来节约了百分之几？
２．填空：
（１）为迎接运动会，同学们做了２５面黄旗，３０面红旗，做的红旗比黄旗多
面，多 ％；
（２）育新中学图书馆有图书１５００册，新风中学图书馆有图书１８００册，育新中
学的图书比新风中学的少 册，少 ％．
３．我国２００５年共有１５５６个博物馆，到２０１０年增加到２１４１个．２０１０年博物馆
的数量比２００５年约增加了百分之几？
例４ 学校图书室原有图书１４００册，今年图书册数增加了１２％．今年图
书室有多少册图书？
解法１：１４００×１２％＝１６８ （册），
１４００＋１６８＝１５６８ （册）．
答：现在图书馆有１５６８册图书．
解法２： １４００×（１＋１２％）
＝１４００×１１２％
＝１５６８ （册）．
答：现在图书室有１５６８册图书．
龙泉镇去年有中学生１４００人，今年比去年减少了０．５％．今年有中学生多少人？
４．３．２ 折扣
商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称 “打折”．几折就表示十
分之几，也就是百分之几十．例如，打九折出售，就是按原价的９０％出售；
打八五折出售，就是按原价的８５％出售．
例５ （１）爸爸给小雨买了一辆自行车，原价１８０元，现在商店打八五
７８
!"#$%&’折出售．买这辆车用了多少钱？
（２）爸爸买了一个随身听，原价１６０元，现在商店打九折出售．现价比原
价便宜了多少钱？
解：（１）１８０×８５％＝ （元）．
答： ．
（２）１６０×（１－９０％）＝ ＝ （元）．
答： ．
１．算出下面各物品打折后出售的价钱 （单位：元）．
原价：８０．００ 原价：１０５．００ 原价：３５．００
现价： 现价： 现价：
（ 第 １ 题）
２．看图回答下面的问题：
（１）打完折后，每种面包多少元？
（２）晚８：００以后，玲玲要买３元钱
的面包，她可以怎样买？
（第２题）
４．３．３ 税率
纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一
部分缴纳给国家．税收是国家收入的主要来源之一．国家用收来的税款发展经
济、科技、教育、文化和国防等事业．因此，每个
公民都有依法纳税的义务．
税收主要分为消费税、增值税和个人所得税 你知道哪些纳
等几类．缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与 税项目？
各种收入 （销售额、营业额……）中应纳税部分
的比率叫做税率．
７９
!"#$%&’
书书书例６ 一家饭店１０月份的营业额中应纳税的部分是３０万元．如果按应纳
税部分的３％缴纳增值税，这家饭店１０月份应缴纳增值税多少万元？
解：３０×３％＝０．９ （万元）．
答：１０月份应缴纳增值税０．９万元．
李阿姨的月工资是４５００元，扣除３５００元免税项目后的部分需要按３％的税率缴
纳个人所得税，她应缴个人所得税多少元？
４．３．４ 利率
人们常常把暂时不用的钱存入银行储蓄起来．储蓄不仅可以支援国家建
设，也使得个人钱财更安全和有计划，还可以增加一些收入．
在银行存款的方式有多种，如活期、整存整取、零存整取等．存入银行的
钱叫做本金；取款时银行多支付的钱叫做利息；单位时间 （如１年、１月、１
日等）内的利息与本金的比率叫做利率．利息的计算公式是：
利息＝本金×利率×存期．
根据国家经济的发展变化，银行存款的利率有时会有所调整．２０１５年１０
月中国人民银行公布的存款利率如下表：
存期 三个月 半年 一年 二年 三年
年利率 （％） １．１０ １．３０ １．５０ ２．１０ ２．７５
例７ ２０１５年１１月，王奶奶把５０００元钱存入银行，存期为两年，年利
率为２．１０％．到期时王奶奶可以取回多少钱？
分析：到期时，除了本金，还应加上利息，就是王奶奶可取回的钱．
解法１：
５０００×２．１０％×２＝２１０ （元），
５０００＋２１０＝５２１０ （元）．
答：到期时王奶奶可以取回５２１０元．
解法２：
５０００×（１＋２．１０％×２）
８０
!"#$%&’＝５０００×（１＋０．０４２）
＝５０００×１．０４２
＝５２１０ （元）．
答：到期时王奶奶可以取回５２１０元．
１．小组同学互相说一说：
（１）储蓄的意义是什么？
（２）什么是利息？什么是利率？
２．下面是张叔叔到银行存款时填写的存款凭证．到期时张叔叔可以取回多少钱？
（第２题）
３．２０１５年１１月，张奶奶把儿子寄来的８０００元钱存入银行，存期为３年，年利率
为２．７５％．
（１）到期支取时，张奶奶可得到多少利息？
（２）到期时张奶奶能取回多少钱？
习题４．３
１．先调查，再填空．
本班有学生 人．
（１）女生有 人，占全班总数的 ％，男生有 人，占全班总数的 ％；
（２）昨天出勤 人，出勤率是 ％，今天出勤 人，出勤率是 ％．
８１
!"#$%&’２．六年级有两个班．每班各派６名男生和６名女生参加拔河比赛．六 （１）班和六
（２）班的学生总数分别是４２人、４０人．
（１）六 （１）班和六 （２）班参加拔河比赛的人数分别占本班学生总数的百分之几？
（２）参加拔河比赛的人数占六年级学生总数的百分之几？
（３）你还能提出什么数学问题？你能解答提出的问题吗？
３．志强小学去年植树６５０棵，植的树活了６３４棵，成活率是多少？
４．妈妈给奶奶汇２０００元钱，邮局规定要交１％的汇费．汇费是多少？
５．向本班同学调查 “遇到事情时，你和谁讨论”，将统计结果填入下表：
讨论对象 父母 老师 同学 其他人
人 数
占调查总人数百分比／％
６．晓风的爸爸妈妈去买新家具，他们选中了以下的家具，打完折后，分别应付多
少钱？
（第６题）
７．地球表面积约为５１０００万平方千米，陆地面积约为１４９５０万平方千米．
（１）陆地面积约占地球表面积的百分之几？
（２）海洋面积约占地球表面积的百分之几？
８．百花中学有学生４８０人，只有５％的学生没有参加意外事故保险．参加保险的学
生有多少人？
９．城关一中和城关二中的男生人数分别占全校学生总数的５２％和５４％．城关一中有
学生８００人，城关二中有学生７５０人，哪个学校的男生多？多多少人？
１０．女声合唱团共有６０人，分三个声部．高声部有３０人，中声部有１８人，低声部
有１２人．高声部的人数比中声部、低声部的人数分别多百分之几？
８２
!"#$%&’
书书书１１．书法比赛共收到参赛作品１２５幅，一等奖６幅，二等奖占参赛作品的１６％，三
等奖比二等奖多占参赛作品的４％．请你提出需要用百分数解决的问题，并
解答．
１２．童趣玩具店的玩具凭优惠卡可打八折．陈冬用优惠卡买了一个玩具，省了９．６
元．这个玩具原价多少钱？
１３．２０１５年１１月，小东把平时积攒的３００元钱存入银行，定期三年，年利率为
２．７５％．到期时，他能取回多少钱？
１４．如图，一个长方体木块的长、宽、高分别是５ｃｍ，
４ｃｍ，３ｃｍ．如果用它锯成一个最大的正方体，体积 m
c
3
要比原来减少百分之几？
m
１５．一种电脑原价为７６００元，第一次降价１０％，第二次又 4 c
5 cm
在降价的基础上降价１０％．两次降价后电脑售价为多 （第１４题）
少钱？
什么是 “成数”？
农业收成，经常用 “成数”来表示．例如，报纸上写道：“今年我县油菜籽比去年增
产二成”……
成数就是表示一个数是另一个数的十分之几的数．几成就是十分之几．例如，“一成”
就是十分之一，改写成百分数是１０％．“二成”就是十分之二，改写成百分数是 （ ）
…… “三成五”是十分之三点五，改写成百分数就是３５％．
现在，“成数”已经广泛应用于表示各行各业的发展变化情况．例如：进口车总量增
加三成，北京出游人数比去年增加二成……
某工厂去年用电３５０万千瓦时，今年比去年节电二成五，今年用电多少千瓦时？
８３
!"#$%&’４．４ 扇形统计图
从条形统计图 （图４．４１）中，我
!!
们可以清楚地看出六 （１）班学生最喜 2011 10
14
欢各种运动项目的人数．
12
12
10 9
算一算喜欢每种运动项目的人数各 8
8
6
6 5
占全班人数的百分比．
4
2
0
图４．４１
图４．４１能表示最喜欢每种运动项目的人数与全班总人数之间的关系
吗？怎样才能更清楚、更直观地表示出这种关系呢？
扇形统计图可以清楚、直观地表示
出各部分数量与总数之间的关系．
图４．４２中用整个圆表示全班学生 !!
2011 10
的人数，用圆内各个扇形表示最喜欢各
种运动项目的人数．每个扇形占整个圆
20!
的百分比，与它所表示的人数占全班人
15!
数的百分比一致． 30!
（１）最喜欢乒乓球的人数占全班人
125!
225!
数的 ％；
（２）你还能提出什么数学问题吗？ 图４．４２
８４
!"#$%&’5(cid:0)％
牛奶里含有丰富的营养成分，所含营 4(cid:0)％ 0.(cid:0)7(cid:0)％
3.(cid:0)3(cid:0)％
养成分如图所示．每天喝一袋２５０克 水分
的牛奶，能补充的几种营养成分各多 蛋白质
少克？ 脂肪
8(cid:0)7(cid:0)％
乳糖
其他
习题４．４
１．李明每天的作息时间安排如图所示．
（１）你能得到哪些信息？
（２）你认为李明的作息时间安排得合理吗？
（３）你的作息时间与李明的有什么不同？
4％(cid:0) 13％(cid:0) 睡眠 5％ 10％ 食品
上课
4％(cid:0) 30％ 还购房贷款
活动 10％
41％(cid:0) 教育
8％(cid:0) 做作业
服装
看电视 15％
13(cid:0)％
进餐 30％ 水电
17％(cid:0)
其他 其他
（第１题） （第２题）
２．陈东家每月生活费支出计划如图所示．
（１）你能得到哪些信息？
（２）如果陈东家每月生活费支出２０００元，你能提出哪些问题？试着解决一下。
３．空气的主要成分按照体积含量占总体积百分比情况如图所示．
（１）在１００Ｌ空气中含有多少氧气？
（２）估计一下，教室内大约有多少氧气？
８５
!"#$%&’1!
21!
20!
30!
78! 15!
35!
（第３题） （第４题）
４．一块３００ｍ２ 的菜地，４种蔬菜的种植面积分布情况如图所示．
（１）每种蔬菜的种植面积各是多少？
（２）如果黄瓜和西红柿每平方米产量都是８ｋｇ，一共能产多少黄瓜和西红柿？
５．要表示下面几组数据，分别选用哪种统计图更合适？
（１）绿荫中学２００７～２０１１年树木总量变化情况统计表：
年份／年 ２００７ ２００８ ２００９ ２０１０ ２０１１
总量／棵 １００ １２０ １５０ １７０ ２００
（２）绿荫中学各种树木占树木总量的百分比情况统计表：
树 种 杨树 柳树 松树 槐树 其他
百分比／％ ２５ ２０ １５ １５ ２５
（３）绿荫中学各种树木数量统计表：
树 种 杨树 柳树 松树 槐树 其他
数量／棵 ５０ ４０ ３０ ３０ ５０
６．量一量第４题统计图中每个扇形圆心角的度数，想一想 “度数”与 “百分数”之
间有什么关系．
８６
!"#$%&’
其他形式的扇形统计图
扇形统计图还可以画成分离型扇形、圆柱形、分离型圆柱形等多种形式．例如，我国
人口最多的５个省的人口数量占全国的百分比情况可表示成以下的形式 （图１）：
7.79!
7.15!
7.79!
7.15!
7.02!
7.02!
6.00!
6.00!
5.87!
5.87!
66.17! 66.17!
7.15! 7.79!
7.02!
6.00!
5.87!
66.17!
图１
你从书报中看到过什么样的扇形统计图？课余时间查找一下，想一想图中各数据表示
的意思．
８７
!"#$%&’
收集一些生活中的百分数，说明它们的含义．
调查本班同学的上学方式，统计出采用不同方式上学的人数，再计算
出不同上学方式的人数占全班总人数的百分比．
调查生活中常缴纳的一些税，给家人讲一讲依法纳税的意义．
去附近的银行调查最新的利率，并与第８０页的利率表进行对比，了
解国家调整利率的原因．
李阿姨准备给儿子存２万元，供他六年后上大学．银行给李阿姨提供
了三种类型的理财方式：普通储蓄存款、购买国债和购买理财产品，已知
下面一些信息：
（１）普通储蓄存款利率 （２０１５年１０月２４日）：
存期 年利率／％ 零整存 存期 年利率／％
三个月 １．１０
整 存存本
存 六个月 １．３０ 一年 １．１０
整零取
整 一年 １．５０
取 取取息 三年 １．３０
二年 ２．１０
三年 ２．７５ 活期利率 ０．３５
（２）国债有一年期、三年期和五年期等，理财产品种类繁多，利率
不一。
请你先调查一下国债和理财产品的利率，然后帮李阿姨设计一个合理
的存款方案，使六年后的收益最大．
８８
!"#$%&’小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
百分数在实际生活中有广泛的应用，如增长率、合格率、利率等．
百分数实际上就是表示一个数是另一个数的百分之几的数，因此，它与分
数有密切的关系，也可说百分数是一种比较特殊的分数，“特殊”主要体现在
以下两点：一是分母必须为１００，分子不一定是整数；二是它仅表示两个数量
的 “比”的关系，不用于表示具体数量的大小．所以，与百分数相关的实际问
题都可以转化为学过的分数问题来解决．
扇形统计图利用各部分数量占总数量的百分比来表示和呈现统计数据，对
认识局部与整体的数量关系十分重要．学习时，应结合已学过的统计图来加深
对扇形统计图作用的理解．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．百分数在生产、工作和生活中有哪些应用？百分数和分数的含义有什么
不同？
２．举例说明：在实际应用中，什么情况下最多能达到１００％？什么情况下
达不到１００％？什么情况下能超过１００％？
３．百分数与分数、小数怎样互化呢？
４．怎样解决含百分数的实际问题呢？你能说说解决百分数问题与解决分数
问题的联系吗？
５．扇形统计图有哪些特点和作用？它与条形统计图、折线统计图有什么联
系和区别？
８９
!"#$%&’复习题４
１．填表，使每行三个数相等．
小数 分数 百分数
０．４５
１７
２０
１２５％
２．记录一周的天气情况，完成下表．
!
３．取小麦５００ｇ，烘干后小麦重４２８ｇ．计算这种小麦的烘干率和含水率．
烘干后的质量 烘前的质量－烘干后的质量
烘干率＝ ×１００％；含水率＝ ×１００％．
烘前的质量 烘前的质量
４．李平家用６００ｋｇ稻谷碾出４５０ｋｇ大米．他家稻谷的出米率是多少？
５．根据第６次全国人口普查，我国人口总数约为１３．７亿人，其中城镇人口约为６．７
亿人，农村人口占全国人口总数的百分之几？
６．某市中小学校开展回收废纸活动，共回收废纸８７．５ｔ．用废纸生产再生纸的再生
率为８０％，这些回收的废纸能生产多少吨再生纸？
北纬70°
７．（１）在北纬７０°以上的一些地方，一年连续约有２个月
斯德哥尔摩
的时间没有夜晚，没有夜晚的时间占全年的
％；
（２）由于纬度比较高，瑞典首都斯德哥尔摩７月份的
每天平均日照时间大约是一天的７５％，有
小时．
（第７题）
９０
!"#$%&’８．以前陈平乘火车去奶奶家要用１６小时，现在火车提速了，１０小时就能到达．现
在乘火车去奶奶家的时间比原来节省了百分之几？
９．２０１０年我国农村居民人均纯收入为５９１９元，２００９年为５１５３元．２０１０年比２００９
年增长百分之几？
１０．学校的女子跳高纪录是１．２ｍ，王芳跳了１．２５ｍ．王芳的成绩比学校纪录高百
分之几？
１１．２０１５年赵叔叔购买 “中国邮政贺卡有奖明信片”获得一等奖，奖金是５０００元，
根据税法规定他应按照２０％的税率缴纳个人所得税．
赵叔叔实际可以获得奖金多少元？
１２．某中学六年级共有学生２００人，参加课外活动小组
20!
35!
情况如图所示 （每人只参加一项）．
20!
（１）参加科技小组的学生有 人；
25!
（２）参加美术小组的比参加体育小组的学生多多
少人？
（第１２题）
１３．滨海中学对学生吃早餐的情况进行了调查，结果如下表，填出表中未填的数据．
人 数 占学校总人数百分比／％
能保证每天吃早餐 ３９１ ８５
不能保证每天吃早餐
１４．小明统计了自己的储蓄罐里有１２５枚硬币，其中１元的硬币占４４％，５角的硬币
占２０％，１角的硬币占３６％．储蓄罐里共有多少钱？
１５．张阿姨录入一篇４５００字的文章，已经录入了全文的４０％．还剩多少字没有
录入？
１６．文化宫电影院正在播放一部新电影，每张票价２０元．丁丁和父母拿着优惠卡去
买票，每张票打八五折，买三张票共花多少钱？
１７．王叔叔２０１５年１１月买了５０００元五年期国债，年利率为
４．４２％．到期时，王叔叔可以取回多少钱？
１８．近年来，我国石油进口量占全部石油消费量的比重在逐
年递增．２０１０年我国石油进口量占石油总消费量的百分
比如图所示．
（１）石油进口量大约是２．３９亿吨，总消费量是多少？ 54 46
（２）国产石油多少亿吨？
（第１８题）
９１
!"#$%&’
１９．六 （１）班的同学订阅了三种刊物，其中８０％的人订了 《中学生作文》，７５％的
人订了 《小灵通》，６０％的人订了 《中学生》．这三种杂志都订阅的同学最多能
占全班的百分之几？
２０．新兴商场进了两批电吹风，售价都是５００元．同进价比，第一批赚了２５％，第
二批赔了２５％．那么新兴商场赚钱了吗？
２１．李叔叔准备从自己的经营所得款中拿出１万元存入银行，每年把利息捐给 “希望
工程”支援贫困的失学儿童．如果请你为他设计储蓄方式，你准备怎样设计？
为什么？
２２．我国城市空气质量正逐步提高，在
1.2
２０１０年监测的３３０个城市中，有２７３个
城市空气质量达到二级标准．监测城市
16.1
的空气质量情况如图所示．
（１）空气质量达到三级标准的城市有多
82.7
少个？
（２）了解所在城市的空气质量，想想如
（第２２题）
何提高空气质量．
９２
!"#$%&’第五章 圆柱与圆锥
圆柱与圆锥是基本的立体图形．从精密的机
器零件到威力巨大的导弹，从普通的生活用品到
气势恢弘的建筑，圆柱与圆锥是人们在生产、生
活中经常遇到的形体．
你能在下图中找出圆柱与圆锥吗？它们与以
前学过的立体图形有什么不同吗？一个圆柱形物
体的表面积和体积应该怎样计算呢？圆锥的体积
与圆柱的体积有什么关系呢？
通过本章的学习，我们将对上述问题进行探
索与解答．５．１ 圆柱
５．１．１ 圆柱的认识
正方体和长方体都是由平面围成的立体图形．现在，我们再来研究一种立
体图形———圆柱．
图５．１１中这些物体的形状有什么共同特点？
图５．１１
图５．１１中这些物体的形状都是圆柱体，
你还见过哪些
简称圆柱 （ｃｉｒｃｕｌａｒｃｙｌｉｎｄｅｒ）．
圆柱形的物体？
观察一个圆柱形的物体，看一看它是由哪几
部分组成的，有什么特征．
O底面
如图５．１２，圆柱的上、下两个面叫做底面．
它们是完全相同的两个圆． 侧
高
面
圆柱周围的面 （上、下底面除外）是一个曲
O 底面
面，叫做侧面．
图５．１２
圆柱两个底面之间的距离叫做高．
如图５．１３所示，把一张长方形的硬纸
贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出来的
是什么形状．
图５．１３
９４
!(#$)*+),指出下面圆柱的底面、侧面和高．
把罐头盒的商标纸如图５．１４所示那样剪开，再展开．看一看圆柱的侧面
展开后是什么形状．
把一张长方形
的纸横着或竖着卷
起来，看看可以卷
成什么形状．
图５．１４
圆柱侧面展开后得到的长方形的长、宽与圆柱有什么关系？
底面 底面
高 底面的周长 高
底面的周长
底面
底面
图５．１５
由图５．１５可以看出，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱
的高．
９５
!(#$)*+),( ) ( ) ( ) ( ) ( )
（第１题）
（第２题）
（ ） （ ） （ ）
（第３题）
3
3
3
!(#$)*+),
2
4
15
4
4
2
6.28
2
3
１．下面的图形哪些是圆柱？在下面的 （ ）里画 “”。
２．如图，切完后的截面或剪完后展开的侧面分别是什么形状？连一连．
３．折一折，想一想，能得到什么图形，写在 （ ）里．
４．下面哪个图形是圆柱的展开图 （单位：ｃｍ）？
（第４题）
９６５．１．２ 圆柱的表面积
圆柱的表面积指的是什么？怎样计算呢？
图５．１６
由圆柱的展开图 （图５．１６）可以得到：
圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋两个底面的面积 ．
如何计算圆柱的侧面积呢？实际上就是求图５．１６中长方形的面积．
圆柱的侧面积＝底面周长×高．
例１ 一顶圆柱形厨师帽，高２８ｃｍ，帽顶直径２０ｃｍ，做这样一顶帽子需
要用多少平方厘米的面料？（得数保留整十数．）
分析：求需要用多少面料，就是求帽子的侧面积和帽顶面积的和．
解：帽子的侧面积：
３．１４×２０×２８＝１７５８．４（ｃｍ２ ）；
帽顶的面积：
３．１４×（２０÷２） ２＝３１４（ｃｍ２ ）；
需要用的面料：
１７５８．４＋３１４＝２０７２．４≈２０８０（ｃｍ２ ）．
答：做这样一顶帽子需要用２０８０ｃｍ２ 的面料．
９７
!(#$)*+),12
!(#$)*+),
61
5
18
20
51
（第２题）
8 cm
mc31
8 cm
mc31
１．求下面各圆柱的侧面积．
（１）底面周长是１．６ｍ，高０．７ｍ； （２）底面半径是３．２ｄｍ，高５ｄｍ．
２．计算下面各圆柱的表面积 （图中长度单位：ｃｍ）．
３．一个圆柱的侧面积是１８８．４ｄｍ２，底面半径是２ｄｍ．它的高是多少？
４．找一个圆柱形的实物，量出有关数据，计算它的表面积．（得数保留一位小数．）
５．小亚做了一个笔筒，她想给笔筒的侧面和底面贴上彩纸，至少需要用多少彩纸？
（第５题）
５．１．３ 圆柱的体积
我们会计算长方体和正方体的体积，能不能将圆柱转化成我们学过的立体
图形，计算出它的体积呢？
如图５．１７，把圆柱的
底面分成许多相等的扇形，
然后把圆柱切开，再拼起
来，就能得到一个近似的长
方体．分成的扇形越多，拼
成的立体图形就越接近于长
图５．１７
方体．
９８
拼成的长方体与原来的圆柱有什么关系？
如果知道圆柱
这个长方体的底面积等于圆柱的 ，
的底面半径狉和
高等于圆柱的 ．
高犺，你能写出圆
由长方体的体积等于底面积乘高可以得到：
柱的体积公式吗？
圆柱的体积＝底面积×高 ．
犞 犛 犺
圆柱的体积计算公式是：
犞＝犛犺．
例２ 图５．１８中的杯子能不能装下这袋牛奶？（杯子的数据是从里面测
量得到的．）
8cm
498 ml
!(#$)*+),
mc
01
8cm
498 mL
mc
01
mc
01
图５．１８
分析：要回答这个问题，先要计算出杯子的容积．
解：杯子的底面积： ３．１４×（８÷２）
２
＝３．１４×４２
＝３．１４×１６
＝５０．２４（ｃｍ２ ）；
杯子的容积： ５０．２４×１０
＝５０２．４（ｃｍ３ ）
＝５０２．４（ｍＬ）．
答：５０２．４大于４９８，所以杯子能装下这袋牛奶．
９９１．填表：
底面积／ｍ２ 高／ｍ 圆柱的体积／ｍ３
７ ３
５．６ ４
２．一根圆柱形材料，底面积为７５ｃｍ２，长９０ｃｍ，它的
体积是多少？
３．如图，这个圆柱形水桶可以装多少水？
60cm
４．两个底面积相等的圆柱，一个高为４．５ｄｍ，体积为
８１ｄｍ３．另一个高为３ｄｍ，它的体积是多少？ 90cm
（第３题）
习题５．１
１．求下面各图形的表面积和体积 （图中长度单位：ｃｍ）．
6
!(#$)*+),
21
15
10
14
20
5
（第１题）
２．一个圆柱的体积是８０ｃｍ３，底面积是１６ｃｍ２．它的高是多少？
３．某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径为６ｃｍ，高
为１２ｃｍ．将２４罐这种饮料按如图所示的方式放入
箱内，这个箱子的长、宽、高至少是多少厘米？
４．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽２ｍ，直径１．６ｍ．
前轮转动一周，压路的面积是多少平方米？
（第３题）
１００!(#$)*+),
mc11
５．学校建了两个同样大小的圆柱形花坛．花坛的底
面内直径为３ｍ，高为０．８ｍ．如果里面填土的
高度是０．５ｍ，两个花坛中共需要填土多少立
方米？
６．一个圆柱形粮囤，从里面量得底面半径是１．５ｍ，
6 cm
高２ｍ．如果每立方米玉米约重７００ｋｇ，这个粮
囤能装多少吨玉米？
７．明明家里来了两位小客人，妈妈冲了１０００ｍＬ
果汁．如果用图中的玻璃杯装果汁，明明和客人
每人能得到一杯吗？ （第７题）
８．如图，求这根钢管所用钢材的体积 （图中长度单位：ｃｍ）．
01 8
80
（第８题）
９．一根圆柱形木料的底面半径是０．３ｍ，长是２ｍ．如图所示，将它截成４段，这些
木料的表面积比原木料增加了多少平方米？
（第９题） （第１０题）
１０．如图，一个圆柱形玻璃容器的底面直径是１０ｃｍ．把一块铁块从这个容器的水中
取出后，水面下降２ｃｍ．这块铁块的体积是多少？
１０１
圆柱容球
古希腊著名的数学家阿基米德 （Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ）是历史上最杰出的数学家之一．按照他
生前的遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个 “圆柱容球”的几何图形．为什么阿基米德希望
在自己的墓碑上刻圆柱容球的图形呢？这是因为在他众多的科学发现当中，以圆柱容球定
理最为得意．
!(#$)*+),
r2
如图１，圆柱容球就是把一个球放在一个圆柱形容器中，
盖上容器上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧密
相触．
r
如图１，当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直
径相等．假设圆柱的底面半径为狉，那么圆柱的体积犞 ＝
柱
π狉２×２狉＝２π狉３．阿基米德运用 “平衡法”和穷竭法发现并证
４ ２
明了球的体积公式是犞 ＝ π狉３，所以犞 ＝ 犞 ，即当圆
球 ３ 球 ３ 柱
柱容球时，球的体积正好是圆柱体积的三分之二．
阿基米德还发现，当圆柱容球时，球的表面积也是圆柱 图１
表面积的三分之二．
如果球的表面积为犛 ＝４π狉２，你能求出圆柱的表面积，
球
并验证 “球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”这一结论吗？
圆柱容球中涉及到的球的体积和表面积的公式同学们可能觉得比较陌生，我们今后会
学习这些知识．
１０２５．２ 圆锥
５．２．１ 圆锥的认识
图５．２１中这些物体的形状有什么共同的特点？
图５．２１
图５．２１中这些物体的形状都是圆锥体，简 你还见过哪些
称圆锥 （犮犻狉犮狌犾犪狉犮狅狀犲）． 圆锥形的物体？
拿一个圆锥形的物体，观察它有哪些特征．
h
如图５．２２，圆锥的底面是个圆，侧面是一
个曲面．从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥
O r
的高．
图５．２２
如何测量圆锥的高？拿一个圆锥形物体，试着测量它的高．
１０３
!(#$)*+),如图５．２３所示，可以测量出圆锥的高．
测量时，圆锥的底
面要放平；上面的平板
要水平地放在圆锥的顶
点上面．
!(#$)*+),
mc
图５．２３
如图５．２４所示，把一张直角三角形的
硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出
来的是什么形状．
图５．２４
指出下面圆锥的底面、侧面和高．
５．２．２ 圆锥的体积
如何计算圆锥的体积？它与圆柱的体积有没有关系呢？
１０４
（１）准备一组等底、等高的圆柱和圆锥形容器 （图５．２５）．
图５．２５
（２）往空圆锥里装满沙土或水，倒入空圆柱里，看看像这样倒几次正
好装满圆柱。把圆柱里装满沙土或水，倒入空圆锥里，看看倒满圆锥几次
后，正好把圆柱里的沙土或水倒完？
（３）你发现圆锥的体积与同它等底、等高的圆柱的体积之间的关系
了吗？
通过探究，可以看出圆锥的体积犞等于和它等底等高的圆柱体积的三分
之一，即
１ １
犞 ＝ 犞 ＝ 犛犺．
圆锥 ３ 圆柱 ３
例 工地上有一堆沙子，近似于一个圆锥 （图５．２６）．这堆沙子的体积
大约是多少？（得数保留两位小数．）
!(#$)*+),
m2.1
解：沙堆底面积：
（ ）
４ ２ ３．１４× ＝３．１４×４＝１２．５６ （ｍ２ ）；
２
沙堆的体积：
4m
１
×１２．５６×１．２＝５．０２４≈５．０２ （ｍ３ ）． 图５．２６
３
答：这堆沙子的体积大约是５．０２ｍ３．
１０５一个圆锥形的零件，底面积是１９ｃｍ２，高是１２ｃｍ．这个零件的体积是多少？
习题５．２
１．填表：
图形名称 已知条件 侧面积 表面积 体积
圆 柱 底面半径６ｃｍ，高７ｃｍ
圆 锥 底面积７．８ｃｍ２，高１．８ｃｍ — —
圆 锥 底面直径６ｄｍ，高６ｄｍ — —
２．判断下列说法是否正确．
１
（１）圆锥的体积等于圆柱体积的 ． （ ）
３
（２）圆柱的体积大于与它等底等高的圆锥的体积． （ ）
（３）圆锥的高是圆柱的高的３倍，它们的体积一定相等． （ ）
３．（１）一个圆柱的体积是７５．３６ｍ３，与它等底等高的圆锥的体积是 （ ）ｍ３；
（２）一个圆锥的体积是１４１．３ｃｍ３，与它等底等高的圆柱的体积是 （ ）ｃｍ３．
４．找一个圆锥形的物体，你能想办法算出它的体积吗？说说测量和计算的方法．
５．一个圆锥的底面周长是３１．４ｃｍ，高是９ｃｍ．它的体积是多少？
６．一堆煤成圆锥形，底面半径是１．５ｍ，高是１．１ｍ．这堆煤的体积是多少？如果
每立方米的煤约重１．４ｔ，这堆煤约有多少吨？（得数保留整数吨．）
７．打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆，测得底面直径是４ｍ，如果每立方米小
麦约重７５０ｋｇ，这堆小麦大约有１８．８４ｔ．这堆小麦的高是多少米？
８．求图中所示立体图形的体积 （图中长度单位：ｃｍ）．
7
1
4
16
（第８题）
１０６
!(#$)*+),
在一张硬纸板上画出一个底面直径和高都是１２ｃｍ的圆柱展开图，然
后把这个展开图折叠起来，做一个圆柱模型．算一算做这个模型至少要用
多少硬纸板．
在一张硬纸板上画出下面的图样 （图１），做一个圆锥模型．量一量
这个圆锥模型的底面直径和高，计算它的体积．
图１
１０７
!(#$)*+),小 结
一、本章知识结构图
V V Sh.
二、回顾与思考
圆柱和圆锥是人们在日常生产和生活中经常遇到的空间几何体．本章通过
生活中具有圆柱和圆锥特征的实物直观引出圆柱和圆锥，为应用几何知识解决
简单的实际问题和进一步学习立体几何打下基础．
圆柱是由圆和曲面围成的立体图形．求圆柱的表面积就是求上下两个圆的
面积和侧面展开图的面积的和；通过把圆柱转化成长方体，推导出了圆柱的体
积计算公式．与长方体的体积公式相似，可以用底面积乘高来计算圆柱的
体积．
圆锥也是由圆和曲面围成的立体图形．通过实验发现圆锥的体积等于与它
等底等高的圆柱体积的三分之一．
以上这些知识的学习，利用了转化的思想方法，就是想办法把新知识转化
成学过的知识来解决，转化的思想是非常重要的思想方法．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．通过学习本章，你对圆柱与圆锥有哪些认识？举例说明生活中见过的圆
柱、圆锥形物体．
２．圆柱的侧面展开图与圆柱的底面周长和圆柱的高有什么关系？
３．你能说一说如何通过转化的思想求出圆柱的体积吗？
１０８
!(#$)*+),复习题５
１．将下面图形分类，说说每类图形的名称和特征．
（第１题）
２．填表：
图形名称 半 径 直 径 高 表面积 体 积
５ｄｍ ４ｄｍ
圆 柱 ２ｍ ０．７ｍ
２０ｃｍ ５ｃｍ
４ｄｍ ２．４ｄｍ —
圆 锥
０．５ｍ ４．５ｍ —
３．计算下面各图形的体积．
m
8
c
16 cm
!(#$)*+),
mc5
8cm
mc5
15cm
mc8
（第３题）
４．修建一个圆柱形的沼气池，底面直径是３ｍ，深２ｍ．在池的侧面与下底面抹上
水泥，抹水泥部分的面积是多少？
１０９10 cm
!(#$)*+),
mc02
５．如图，妈妈给小明的水杯做了一个布套，至少用了多
少布料？这个水杯大约能装多少升水？（水杯的厚度
忽略不计．）
（第５题）
2 cm
12 cm
mc9
６．如图，一块蜂窝煤大约需要用煤多少立方分米？（得
数保留整数．）
７．一个圆锥形沙堆，底面积是２８．２６ｍ２，高２．５ｍ．用
这堆沙在１０ｍ宽的公路上铺２ｃｍ厚的路面，能铺
多长？
８．如图，有一块正方体的木料，它的棱长是４ｄｍ．把 （第６题）
这块木料加工成一个最大的圆柱．这个圆柱的体积是
多少？
９．在一个圆柱形水桶里，垂直放入一段半径是３ｃｍ的
圆柱形钢材．如果把钢材全部浸入水中，桶里的水面
上升１０ｃｍ；如果再把钢材垂直露出水面６ｃｍ，桶里
的水面下降４ｃｍ．整段钢材的体积是多少？
（第８题）
１１０第六章 比例
你知道下图中的 “比例尺１∶３６００００００”表
示什么意思吗？你知道照相时人物和风景为什么
不会变形吗？你知道怎样利用树的影子测量树的
高度吗？……实际上，这些都是比例的实际应用．
那么，什么是比例？比例的基本性质是什么？怎
样解比例？什么是正比例关系和反比例关系？这
些都是本章要研究的问题．
比例的内容与比、方程的知识关系密切．因
此，在学习本章之前，对这两部分知识进行适当
的复习是很有必要的．
比例在日常生活中有着广泛的应用．通过本
章的学习，你可以利用比例的有关知识解决许多
实际问题．６．１ 比例的意义和基本性质
６．１．１ 比例的意义
10
5 m m 2.4 m 1.6 m 60 cm 40 cm
3 图６．１１
问题 图６．１１中操场上和教室里的两面国旗长和宽的比值有什么关系？
３
操场上的国旗：２．４∶１．６＝ ；
２
在图６．１１的
教室里的国旗：６０∶４０＝ ３ ． 三面国旗的尺寸
２
中，还有哪些比可
因此，２．４∶１．６＝６０∶４０，也可以写成 以组成比例？
２．４ ６０
＝ ．
１．６ ４０
像这样表示两个比相等的式子叫做比例 （ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ）．
!-#$./
mc
3
4cm
mc
5.1
１．下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来．
（１）６∶１０和９∶１５； （２）２０∶５和１∶４；
１ １ ３ １
（３） ∶ 和６∶４； （４）０．６∶０．２和 ∶ ．
２ ３ ４ ４
２．用图中的４个数据可以组成多少个比例？
2cm
（第２题）
１１２６．１．２ 比例的基本性质
组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的
两项叫做比例的内项．
例如： ２．４∶１．６＝６０∶４０．
内项
外项
两个外项的积是２．４×４０＝ ，
两个内项的积是１．６×６０＝ ．
如果把比例改成分数形式，等号两边的分子和分母分别交叉相乘，所得的
积有什么关系？
２．４ ６０
２．４×４０○１．６×６０．
１．６ = ４０
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．这叫做比例的基
本性质．
应用比例的基本性质，判断下面哪组中的两个比可以组成比例．
（１）６∶３和８∶５； （２）０．２∶２．５和４∶５０；
１ １ １ １ ３ ４
（３） ∶ 和 ∶ ； （４）１．２∶ 和 ∶５．
３ ６ ２ ４ ４ ５
６．１．３ 解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例
中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例．
例１ 法国巴黎的埃菲尔铁塔 （图６．１２）高３２０ｍ．北京的世界公园里有
一座埃菲尔铁塔的模型，它的高度与原塔高度的比是１∶１０．这座模型高多
少米？
１１３
!-#$./解：设这座模型的高度是狓ｍ．
狓∶３２０＝１∶１０，
１０狓＝３２０×１，
３２０×１
狓＝ ，
１０
狓＝３２．
答：这座模型高３２ｍ．
１．５ ６
例２ 解比例 ＝ ．
２．５ 狓
解：１．５狓＝２．５×６，
（ ）× （ ）
狓＝ ，
（ ） 图６．１２
狓＝（ ）．
解比例：
１ １ １２ ３
（１）狓∶１０＝ ∶ ； （２）０．４∶狓＝１．２∶２； （３） ＝ ．
４ ３ ２．４ 狓
习题６．１
１．下面各表中相对应的两个量的比能否组成比例？如果能，把组成的比例写出来．
年龄／岁 １２ １４ 箱子数量／个 ２ ８
身高／ｍ １．４ １．６ 质 量／ｋｇ ３０ １２０
时间／时 ２ ３ 衣服数量／件 ５ １０
路程／ｋｍ ３０ ４０ 总 价／元 １００ ２００
２．哪组中的四个数可以组成比例？把组成的比例写出来．
（１）４，５，１２和１５； （２）２，３，４和５；
１ １ １ １
（３）１．６，６．４，２和５； （４） ， ， 和 ．
２ ３ ６ ４
１１４
!-#$./３．写出比值是５的两个比，并组成比例．
４．李叔叔承包了两块水稻田，面积分别为０．５公顷和０．８公顷．秋收时，两块水稻
田的产量分别为３．７５ｔ和６ｔ．
（１）两块水稻田的产量与面积之比，是否可以组成比例？
（２）如果可以组成比例，指出比例的内项和外项．
５．应用比例的基本性质，判断下面哪组中的两个比可以组成比例．
（１）６∶９和９∶１２； （２）１．４∶２和２８∶４０；
１ １ ５ １
（３） ∶ 和 ∶ ； （４）７．５∶１．３和５．７∶３．１．
２ ５ ８ ４
６．医生给小红测了一下心率，４５秒跳５４次．请问１分钟是不是跳７２次？
７．解比例：
１ １ １ ３
（１） ∶ ＝ ∶狓； （２）０．８∶４＝狓∶８； （３） ∶狓＝３∶１２；
２ ５ ４ ４
３６ ５４ ２ ８
（４） ＝ ； （５） ＝ ； （６）１．２５∶０．２５＝狓∶１．６．
狓 ３ ９ 狓
８．汽车厂按１∶２４的比生产了一批汽车模型．
（１）轿车模型长２４．９２ｃｍ，轿车的实际长度是多少？
（２）公共汽车长１１．７６ｍ，模型车的长度是多少？
９．博物馆展出了一个高为１９．６ｃｍ的秦代将军俑模型，它的高度与实际高度的比是
１∶１０．这个将军俑的实际高度是多少？
１０．按照下面的条件列出比例，并且解比例．
（１）５与８的比等于４０与狓的比；
３ １ ２
（２）狓与 的比等于 与 的比；
４ ５ ５
（３）等号左端的比是１．５∶狓，等号右端比的前项和后项分别是３．６和４．８；
（４）比例的两个内项分别是２和５，两个外项分别是狓和２．５．
１１．妈妈按消毒液与水的比是１∶１５０对衣物进行消毒。她在盆里倒了３Ｌ水，应该
加多少毫升消毒液？
１２．把下面的等式改写成比例．
（１）３×４０＝８×１５； （２）２．５×０．４＝０．５×２．
１１５
!-#$./６．２ 正比例和反比例的意义
６．２．１ 成正比例的量
问题 如图６．２１，在相同的杯子里倒
水，水的高度和体积的情况如下表：
图６．２１
高度／ｃｍ ２ ４ ６ ８ １０ １２
体积／ｃｍ３ ５０ １００ １５０ ２００ ２５０ ３００
观察上表回答下面的问题：
（１）表中有哪两种量？
（２）水的体积是怎样随着高度变化的？
（３）相对应的体积与高度的比分别是多少？比值是多少？
从上表可以看出，体积和高度是两种相关联的量，体积是随着高度的变化而
５０ １００ １５０
变化的，而且体积与相应高度的比值总是一定的．例如： ＝ ＝ ＝…＝２５．
２ ４ ６
比值２５，实际就是杯子的底面积．用式子表示它们的关系就是：
体积
＝底面积 （一定）．
高度
像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两
种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关
系叫做正比例关系．
在上面的实验中，体积与高度成正比例关系，体积和高度是成正比例的量．
如果用字母狓和狔表示两种相关联的量，用犽（常数）表示它们的比值，
正比例关系可以用下面的式子表示：
狔
＝犽．
狓
１１６
!-#$./上面的实验结果可以用图象 （图６．２２）表示．
体积
/(cid:0)cm3(cid:0)(cid:0)
300(cid:0)
250(cid:0)
200(cid:0)
150(cid:0)
100(cid:0)
50(cid:0)
高度
0(cid:0)
2(cid:0) 4(cid:0) 6(cid:0) 8(cid:0) 10(cid:0) 12(cid:0) 14(cid:0) /(cid:0)cm(cid:0)
图６．２２
根据图象回答下面的问题：
（１）从图中你发现了什么？
（２）不计算，根据图象判断，如果杯中水的高度是７ｃｍ，那么水的体积
是多少？２２５ｃｍ３ 的水有多高？
一辆汽车行驶的时间和路程如下表：
时间／时 １ ２ ３ ４ ５ ６
路程／ｋｍ ８０ １６０ ２４０ ３２０ ４００ ４８０
（１）写出几组路程与相对应的时间的比，
路程
并比较比值的大小． /km
（２）说一说这个比值表示什么． 480
（３）汽车行驶的路程与时间成正比例吗？ 400
为什么？ 320
（４）在图中描出表示路程和相应时间的点， 240
然后把它们按顺序连起来．并估计一 160
80
下行驶１２０ｋｍ大约要用多少时间．
0 时间/时
1 2 3 4 5 6
１１７
!-#$./６．２．２ 成反比例的量
问题 如图６．２３，把相同体积的
水倒入底面积不同的杯子，杯子的底面
积和水的高度的情况如下表：
图６．２３
杯子的底面积／ｃｍ２ １０ １５ ２０ ３０ ６０
水 的 高 度／ｃｍ ３０ ２０ １５ １０ ５
观察上表回答下面的问题：
（１）表中有哪两种量？
（２）水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的？
（３）相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积分别是多少？
从上表可以看出，水的高度和杯子的底面积是两种相关联的量，水的高度
是随着杯子的底面积的变化而变化的，而且水的高度与杯子的底面积的乘积总
是一定的．例如：３０×１０＝２０×１５＝１５×２０＝…＝３００．
积３００，实际就是倒入杯子的水的体积．用式子表示它们的关系就是：
底面积×高度＝体积 （一定）．
像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两
种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关
系叫做反比例关系．
在上面的实验中，高度与底面积成反比例关系，高度和底面积是成反比例
的量．
如果用字母狓和狔表示两种相关联的量，用犽（常数）表示它们的乘积，
反比例关系可以用下面的式子表示：
狓狔＝犽．
１１８
!-#$./运一批货物，每天运的吨数和运货的天数如下表：
每天运的吨数／ｔ ３００ １５０ １００ ７５ ６０ ５０
运货的天数／天 １ ２ ３ ４ ５ ６
（１）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？
（２）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小．说一说这个积
表示什么．
（３）运货的天数与每天运的吨数成反比例吗？为什么？
习题６．２
１．一架飞机的空中飞行时间和航程如下表：
飞行时间／时 ２ ５ ６ ９
航 程／ｋｍ １４６０ ３６５０ ４３８０ ６５７０
（１）分别写出各组航程与飞行时间的比，比较比值的大小；
（２）说明这个比值所表示的意义；
（３）飞机的航程与飞行时间成正比例吗？为什么？
２．判断下面每题中的两种量是否成正比例，并说明理由．
（１）《中学生作文》的单价一定，总价与订阅的数量；
（２）一个人跳高的高度与他的身高；
（３）小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数；
（４）书的总页数一定，未读的页数与已读的页数．
３．下面是某种汽车所行路程和耗油量的对应数值表：
所行路程／ｋｍ １５ ３０ ４５ ７５
耗 油 量／Ｌ ２ ４ ６ １０
（１）汽车的耗油量与所行路程成正比例吗？
耗油量
/(cid:0)L(cid:0)
为什么？
10(cid:0)
9(cid:0)
（２）表示汽车所行路程与相应耗油量关系的 8(cid:0)
7(cid:0)
图象如图所示，说一说它有什么特点． 6(cid:0)
5(cid:0)
（３）利用图象估计一下，汽车行驶５５ｋｍ的 4(cid:0)
3(cid:0)
耗油量是多少？ 2(cid:0)
1(cid:0)
0(cid:0) 路程
5(cid:0)10(cid:0)15(cid:0)20(cid:0)25(cid:0)3（0第(cid:0)35(cid:0)4３04(cid:0)题5(cid:0)5）0(cid:0)55(cid:0)60(cid:0)65(cid:0)70(cid:0)75(cid:0) /(cid:0)km(cid:0)
１１９
!-#$./４．给一间长９ｍ、宽６ｍ的教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖数量如下表：
每块地砖的面积／ｃｍ２ ９００ １８００ ３６００
所需地砖数量／块 ６００ ３００ １５０
所需地砖数量与每块地砖的面积是否成反比例？为什么？
５．食品加工厂准备把一批新酿的醋装瓶运往商店．
每瓶容量／ｍＬ ２５０ ５００ ７５０ １５００
所装瓶数／瓶 １２００ ６００ ４００ ２００
所装瓶数与每瓶容量是否成反比例？为什么？
６．下表中狓和狔两个量成反比例，请把表格填写完整．
１
狓 ２ ４０
５
５
狔 ５ ０．１
６
７．判断下面各题中的两种量是否成反比例，并说明理由．
（１）学校食堂新进一批煤，使用天数与每天的平均用煤量；
（２）全班的人数一定，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数；
（３）圆柱体积一定，圆柱的底面积与高；
（４）在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积；
（５）书的总册数一定，按各包册数相等的规定分包装书，包数与每包的册数．
８．同一时间、同一地点测得３棵树的树高及其影长如下表：
树高／ｍ ２ ３ ６
影长／ｍ １．６ ２．４ ４．８
（１）在图中描出表示树高与对应影长的点，然后把它们连起来，观察一下图象的特点；
（２）影长与树高成正比例吗？你是依据什么做出判断的？
影长
/m
4.8
4.0
3.2
2.4
1.6
0.8
树高
0 1 2 3 4 5 6 7 /m
（第８题）
１２０
!-#$./９．举出一个生活中两种量成正比例关系的例子，
并在图中画出它的图象．
１０．生活中还有哪些成反比例的量？请你举出一个
例子．
（第９题）
１１．右面的图象表示斑马和长颈鹿的奔跑情况． 路程
/(cid:0)km(cid:0)
（１）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比
24(cid:0)
例？长颈鹿呢？
20(cid:0)
（２）估计一下，斑马和长颈鹿１８分钟各跑多
16(cid:0)
少米？ 12(cid:0)
（３）从图象上看，斑马跑得快还是长颈鹿跑 8(cid:0)
4(cid:0)
得快？ (cid:0)
0(cid:0) 时间/分
5(cid:0) 10(cid:0) 15(cid:0) 20(cid:0) 25(cid:0)
（第１１题）
反比例关系图象
反比例关系也可以用图象来
/cm
表示．例如，第１１８页表格中的
数据可以用右面的图象 （图１）
60
55
表示．
50
45
反比例关系的图象是光滑的
40
曲线．由右面的图象，你能否看 35
30
出杯子的底面积分别是４０ｃｍ２， 25
20
５０ｃｍ２，５５ｃｍ２ 时，水的高度分 15
10
别是多少吗？
5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 /cm2
图１
１２１
!-#$./６．３ 比例的应用
６．３．１ 比例尺
在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比缩小 （或扩
大），再画在图纸上．这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比．
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺 ．
图上距离
图上距离∶实际距离＝比例尺 或 ＝比例尺
实际距离
例如，一幅中国地图的比例尺是１∶１００００００００，这是数值比例尺，有时
１
也写成 ．又如，一幅北京地图的比例尺是这样表示的：０ ５０ｋｍ，
１００００００００
这是线段比例尺，表示地图上１ｃｍ的距离相当于地面上５０ｋｍ的实际距离．
你能把上面的线段比例尺改成数值比例尺吗？
图上距离∶实际距离＝１ｃｍ∶５０ｋｍ
单位要相同！
＝１ｃｍ∶５００００００ｃｍ
＝１∶５００００００
想一想：比例尺１∶５００００００表示图上距离
是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？
在生产中，有时由于机器零件比较小，需要把实际距离扩大一定的倍数以
后，再画在图纸上．
图６．３１中的
２∶１表示什么？
为了计算方便，一
般把比例尺写成前项或
后项是１的形式．
图６．３１
１２２
!(#$)*例１ 北京到天津的实际距离是１２０ｋｍ，
在一幅地图上量得两地的图上距离是２ｃｍ．求
这幅地图的比例尺．
解：图上距离∶实际距离＝比例尺， 题中图上距离和实
１２０ｋｍ＝１２００００００ｃｍ， 际距离的单位不同，先
要把它们化成相同单位，
２∶１２００００００＝１∶６００００００．
再求比例尺并化简．
答：这幅地图的比例尺是１∶６００００００．
一栋楼房东西方向长４０ｍ，在图纸上的长度是５０ｃｍ．这幅图纸的比例尺是
多少？
例２ 图６．３２是北京轨道交通路线示意图．地铁１号线从苹果园站至四
惠东站在图中的长度大约是６．２ｃｍ，从苹果园站至四惠东站的实际长度大约
是多少？
图上距离
分析：根据 “ ＝比例尺”，可以用解比例的方法求出实际距离．
实际距离
图６．３２
１２３
!(#$)*解：设从苹果园站至四惠东站的实际长度是狓ｃｍ．
６．２ １
＝ ，
狓 ５０００００
狓＝６．２×５０００００，
狓＝３１０００００．
３１０００００ｃｍ＝ ｋｍ．
答：从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是 ｋｍ．
例３ 学校要建一个长８０ｍ、宽６０ｍ的长方形操场．把它画在比例尺是
１
的图纸上，长和宽各应画多少厘米？
１０００
图上距离
分析：根据 “ ＝比例尺”，推出 “图上距离＝实际距离×比例
实际距离
尺”，可以求出长和宽的图上距离．
１
解：８０ｍ＝８０００ｃｍ，８０００× ＝８ｃｍ；
１０００
１
６０ｍ＝６０００ｃｍ，６０００× ＝６ｃｍ．
１０００
答：长应画８ｃｍ，宽应画６ｃｍ．
用直尺量出图中河西村与汽车站之间的距离是多
河西村
少厘米，并计算出两地的实际距离大约是多少． 汽车站
0 600m
例４ 按２∶１画出图６．３３中三个图形放大后的图形．
按２∶１放大，也
就是把各边放大到原来
的２倍．
图６．３３
１２４
!(#$)*三角形的两条
直角边放大到原来
的２倍后，斜边是
否也变为原来的２
倍呢？
放大后的图形与原来的图形相比，有什么相同的地方？有什么不同的
地方？
如果把放大后的三个图形的各边按１∶３缩小，图形又会发生什么变化？
画画看．
１２５
!(#$)*
图形的各边按相同的比放大或缩小后，所得图形的形状会发生改
变吗？
按４∶１画出下面的三角形放大后的图形．
６．３．２ 用比例解决问题
例５ 小明对家里的一个滴水的水龙头进行观测．这个水龙头２小时的滴
水量是１．６Ｌ．照这样计算，这个水龙头５小时浪费多少升水？
分析：因为单位时间内的滴水量一定，所以滴水总量与滴水的时间成正比
例，可以用比例的知识解决．
解：设这个水龙头５小时浪费狓Ｌ水．
１．６ 狓
＝ ，
２ ５
２狓＝１．６×５， 这个水龙头１天
１．６×５
浪费多少升水？
狓＝ ，
２
狓＝４．
答：这个水龙头５小时浪费４Ｌ水．
１２６
!(#$)*例６ 李红家原来平均每天用电５千瓦时，改用节能灯以后，平均每天用
电３．５千瓦时．原来一星期的用电量现在可以用多少天？
分析：当总的用电量一定时，用电时间与单位时间内的用电量成反比例，
也就是说，每天的用电量与用电天数的乘积相等．
解：设原来一星期的用电量现在可以用狓天．
３．５狓＝５×７，
５×７
现在一个月 （３０
狓＝ ，
３．５ 天）的用电量原来只
够用多少天？
狓＝１０．
答：原来一星期的用电量现在可以用１０天．
１．小明买了４支圆珠笔用了６元．小刚想买３支同样的圆珠笔，要用多少钱？
２．学校小商店有两种圆珠笔．小明带的钱刚好可以买４支单价是１．５元的，如果
他想都买单价是２元的，可以买多少支？
１２７
!(#$)*习题６．３
１．一套房子的客厅东西方向长４ｍ，
在图纸上的长度是４ｃｍ．这幅图
纸的比例尺是多少？
4m
（第１题）
２．团结路的实际长度是１８００ｍ．
北
学校
双清小区
邮电大厦
团 结 路
建 设 路 青 年 路
银行 医院 幼儿园
图书馆
（第２题）
（１）量一量团结路在图上的长度，求出这幅图的比例尺．
（２）将这幅图的比例尺用线段比例尺表示出来．
３．七星瓢虫的实际长度是５ｍｍ．量出图中七星瓢
虫的长度，求这幅图的比例尺．
（第３题）
１２８
!(#$)*４．填表：
比例尺 图上距离 实际距离
１∶５００００ １．８ｋｍ
１∶２００００００ ４５０ｋｍ
１∶６０００００００ １５ｃｍ
５．兰州到乌鲁木齐的铁路线大约长１９００ｋｍ．在比例尺是１∶４０００００００的地图上，
它的长是多少？
６．在一幅比例尺是１∶５００００００的地图上，量得上海到杭州的距离是３．４ｃｍ．上海
到杭州的实际距离是多少？
７．Ｂ，Ｃ，Ｄ中哪个图形是图形Ａ按２∶１放大后得到的图形？
A
A B
C D
（第７题） （第８题）
８．（１）将三角形Ａ的各条边按４∶１放大，得到三角形Ｂ；
（２）将三角形Ｂ的各条边按１∶２缩小，得到三角形Ｃ；
（３）画出上述图形，并指出哪些是三角形Ａ经过放大后的图形，哪个是三角形Ｃ
经过缩小后的图形．
９．如图，小兰的身高１．５ｍ，她的影长是
２．４ｍ．如果同一时间、同一地点测得
一棵树的影子长４ｍ，这棵树有多高？
１０．工程队修一条水渠，每天工作６小
时，１２天可以完成．如果工作效率
不变，每天工作８小时，多少天可
以完成任务？
１１．我国发射的科学实验人造地球卫星，
在空中绕地球运行６周需要１０．６小 （第９题）
时，运行１４周要用多少时间？
１２９
!-#$./
１２．篮球场长２８ｍ，宽１５ｍ．用１∶５００的比例尺画出它的平面图 （只画出边界）．
１３．小明家正西方向５００ｍ是街心公园，街心公园正北方向３００ｍ是科技馆，科技馆
正东方向１ｋｍ是动物园，动物园正南方向４００ｍ是医院．先确定比例尺，再画
出上述地点的平面图．
１４．一个晒盐场用１００ｇ海水可以晒出３ｇ盐．照
这样计算，如果一块盐田一次放入５８５０００ｔ海
水，可以晒出多少吨盐？多少吨海水可以晒出
９ｔ盐？
１５．车队向灾区运送一批救灾物资，去时每小时行
６０ｋｍ，６．５小时到达灾区．回来时每小时行
（第１４题）
７８ｋｍ，多长时间能够返回出发地点？
１６．在一幅中国地图上，选取两个城市．量出它们在图上的直线距离，再根据比例
尺，算出两个城市的实际距离．
１７．先确定比例尺，再画出你家的房屋平面图．
１３０
!-#$./
找一辆普通自行车，测量出以下数据：
前齿轮齿数 后齿轮齿数 车 轮 半 径
这辆自行车蹬一圈，能走多远？你准备怎样解决这个问题？
实际上，利用前面所学的比例知识，你就能既准确又快速地解决这个
问题．
想一想：前、后齿轮的齿数与它们的转数
之间有什么关系？
前齿轮齿数×前齿轮转数＝后齿轮齿数×
后齿轮转数
蹬一圈的路程： ．
找一辆变速自行车，测量出前、后齿轮数，看看有多少种组合．
齿 前齿轮
数 齿数
比
后齿轮
齿数
思考：蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远？
１３１
!-#$./小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
在本章，你们首先学习了比例的相关知识．比例是以前面所学的比的知识为
基础的，描述的是两个比之间的相等关系．任一比例中的内项之积等于外项之
积，利用这一性质，通过解方程的方法，可以求出比例中的未知项，即解比例．
接下来，你们又学习了正比例关系和反比例关系．在此之前，我们接触的
更多的是数与数之间的关系，而正比例关系和反比例关系反映的是一个量随着
另一个量的变化而变化的动态关系，它帮助我们进一步理解现实世界的事物是
联系的、变化的，并学会用数学的方法来刻画现实世界中量与量之间的关系．
将来，你们还要学习更多的 “两个量之间的关系”．
之后，你们又学习了利用比例的相关知识来解决一些实际问题，体会所学
数学知识的应用价值．在解决这些实际问题的过程中，你们对数学概念、数学
方法、数学思想的理解也越来越深入．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．什么是比例？请你举出一些实例加以说明．比例和比有什么关系？你会
用两种不同的写法表示比例吗？
２．比例的基本性质是什么？你会利用比例的基本性质来解比例吗？
３．什么样的两个量成正比例关系？什么样的两个量成反比例关系？你会用
字母表达式分别表示这两种关系吗？
４．你会利用解比例的方法以及正、反比例的关系式来解决一些实际
问题吗？
１３２
!-#$./复习题６
１．填空：
（１）两个相互咬合的圆形齿轮的齿数之比是４∶３，其中大齿轮有３６个齿，小齿
轮有 （ ）个齿；
（２）一幅地图中某两地的图上距离５ｃｍ表示实际距离１５ｋｍ，这幅图的比例尺是
（ ）；
（３）一个长５ｃｍ、宽３ｃｍ 的长方形按３∶１放大，得到的图形的面积是
（ ）ｃｍ２．
２．解比例：
３ ２ ６ ２
（１）狓∶ ＝ ∶４； （２） ＝ ；
８ ３ 狓 ７
０．７５ 狓
（３）狓∶０．３＝０．４∶０．８； （４） ＝ ．
１．５ ６
３．下面各题中的两种量是不是成比例？如果成比例，成哪种比例关系？
（１）比例尺一定，图上距离与实际距离；
（２）被除数一定，商与除数；
（３）梯形的上底和下底不变，梯形的面积与高；
（４）狓和狔是两种量，如果狔＝５狓，狔与狓．
４．在一幅比例尺是１∶２００００００的地图上，量得甲、乙两个城市之间高速公路的距
离是５．５ｃｍ．在另一幅比例尺是１∶５００００００的地图上，这条公路的图上距离是
多少？
５．学校举行团体操表演，如果每列２５人，要排２４列．如果每列２０人，要排多少列？
６．一个长方形各边按２∶１放大后，周长是原来的多少倍？面积是原来的多少倍？如
果把长方形换成平行四边形 （各边及高均按２∶１放大）、三角形 （各边及高均按
２∶１放大）、梯形 （各边及高均按２∶１放大）、圆 （半径按２∶１放大），结果又
是怎样的呢？请你在方格纸上画一画，试一试．
１３３
!-#$./部分中英文词汇索引
中文 英文 页码
比 ｒａｔｉｏ ３８
圆心 ｃｅｎｔｅｒｏｆａｃｉｒｃｌｅ ５０
半径 ｒａｄｉｕｓ ５０
直径 ｄｉａｍｅｔｅｒ ５０
弧 ａｒｃ ６４
扇形 ｓｅｃｔｏｒ ６４
圆心角 ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ ６４
百分数 ｐｅｒｃｅｎｔ ７０
圆柱 ｃｉｒｃｕｌａｒｃｙｌｉｎｄｅｒ ９４
圆锥 ｃｉｒｃｕｌａｒｃｏｎｅ １０３
比例 ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ １１２
１３４
0&1234567附页后 记
本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心依据教
育部《义务教育数学课程标准》（2011年版）编写的，经国家基础教育课程教材专家工作
委员会2012年审查通过.
本册教科书集中反映了基础教育教科书研究与实验的成果，凝聚了参与课改实验的教
育专家、学科专家、教研人员以及一线教师的集体智慧. 我们感谢所有对教科书的编写、出
版提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友，以及整体设计艺术指导吕敬人等.
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作
者进行了联系，得到了他们的大力支持. 对此，我们表示衷心的感谢！但仍有部分作者未能
取得联系，恳请入选作品的作者与我们联系，以便支付稿酬.
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵意见，并
将这些意见和建议及时反馈给我们. 让我们携起手来，共同完成义务教育教材建设工作！
联系方式
电 话：010-58758305
电子邮箱：jcfk@pep.com.cn
人民教育出版社 课程教材研究所
小学数学课程教材研究开发中心
2012年5月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
义
SHUXUE 务
教
育
六年级
教
科
义务教育教科书
书
︵ （五·四学制）
五
·
四
上册
学
制
︶
数学 六年级 上册
数
数学
学
六
年
级
上
册
绿色印刷产品
数学六上封面-环境标.indd 1 2013.5.8 1:27:11 PM
