人教版6年级数学下册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

® YIWU JIAOYU JIAOKESHU 义 SHUXUE 务 教 育 六年级 教 科 义务教育教科书 书 ︵ （五·四学制） 五 · 四 下册 学 制 ︶ 数学 六年级 下册 数 数学 学 六 年 级 下 册 绿色印刷产品 定价：9.35 元 数学六年级下封面 绿标.indd 1 2013.8.7 10:29:29 AM·北 京·主 编：林 群 副 主 编：田载今 薛 彬 李海东 本册主编：李海东 主要编写人员：章建跃 薛 彬 俞求是 张唯一 刘金英 吴晓燕 李果民 何志平 袁 爽 陈 艳 责任编辑：刘长明 美术编辑：王俊宏 封面设计：吕 王俊宏 版式设计：王俊宏 插 图：王俊宏 文鲁工作室（封面） 义务教育教科书（五·四学制） 数学 六年级 下册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中学数学课程教材研究开发中心 出 版 （北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081） 网 址 http://www.pep.com.cn 重 印 ×××出版社 发 行 ×××新华书店 印 刷 ×××印刷厂 版 次 2012年10月第1版 印 次 年 月第 次印刷 开 本 787毫米×1092毫米 1/16 印 张 9.5 字 数 156千字 印 数 ×××册 书 号 ISBN 978-7-107-25085-9 定 价 ×××元 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：jcyjfk.pep.com.cn 如发现印、装质量问题，影响阅读，请与×××联系调换。电话：×××本册导引 亲爱的同学，新学期又开始了． 你将要学习的这本书是我们根据 《义务教育数学课程标准 （２０１１年版）》 编写的教科书，这是你在六～九年级要学习的八册数学教科书中的第二册． 你每天都收看天气预报吗？你知道怎样表示低于０℃的气温吗？这就需要 用到一种新的数———负数．负数也是数学大家庭中重要的成员．在 “有理数” 中，我们所了解的数将扩充到更大的范围，你可以进行像 “１－２”这样的以前 不能做的运算，你还会发现许多问题的解决变得方便而简单． 用字母表示数，能更一般地表示数量关系．数和字母一起运算会使问题的 解决更简单．“整式的加减”将带你走进代数世界，通过学习列式表示数量关 系，研究整式及其加减运算，你会发现，从算术发展到代数是数学的一大 进步． “几何图形初步”将带你进一步欣赏丰富多彩的图形世界．你将学会从实 物中抽象出几何图形，了解立体图形和平面图形之间的关系，并学习线段和角 等一些基本的几何图形，掌握它们的一些性质，发现它们广泛的应用． “数据的收集、整理与描述”将带你走进统计的世界，在这里，你将学会 收集和整理数据的常用方法，还将接触到几种常见的统计图表，学会如何用图 表直观地描述数据，并初步体验合理地进行推断和预测． 数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功．让我们一起 随着这本书，畅游神奇、美妙的数学世界吧！目 录 第七章 有理数 ７．１ 正数和负数 ２ ７．２ 有理数 ６ ７．３ 有理数的加减法 １６ 实验与探究 填幻方 ２１ 阅读与思考 中国人最先使用负数 ２７ ７．４ 有理数的乘除法 ２８ 观察与猜想 翻牌游戏中的数学道理 ４０ ７．５ 有理数的乘方 ４１ 数学活动 ４９ 小结 ５０ 复习题７ ５１ 第八章 整式的加减 ８．１ 整式 ５４ 阅读与思考 数字１与字母Ｘ的对话 ６１ ８．２ 整式的加减 ６２ 信息技术应用 电子表格与数据计算 ７１ 数学活动 ７２ 小结 ７４ 复习题８ ７４第九章 几何图形初步 ９．１ 几何图形 ７８ 阅读与思考 几何学的起源 ８８ ９．２ 直线、射线、线段 ８９ 阅读与思考 长度的测量 ９５ ９．３ 角 ９６ ９．４ 课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒 １０６ 数学活动 １０８ 小结 １１０ 复习题９ １１１ 第十章 数据的收集、整理与描述 １０．１ 统计调查 １１６ 实验与探究 瓶子中有多少粒豆子 １２５ １０．２ 直方图 １２６ 信息技术应用 利用计算机画统计图 １３２ １０．３ 课题学习 从数据谈节水 １３４ 数学活动 １３７ 小结 １３８ 复习题１０ １３９ 部分中英文词汇索引 １４３第七章 有理数 在生活、生产和科研中，经常遇到数的表示和运 算等问题．例如： （１）北京冬季里某一天的气温为－３℃～３℃． “－３”的含义是什么？这一天北京的温差是多少？ （２）某年，我国花生产量比上一年增长１．８％， 油菜籽产量比上一年增长－２．７％． “增长－２．７％” 表示什么意思？ （３）夏新同学通过捡、卖废品，既保护了环境， 又积攒了零花钱．下表是他某个月的部分收支情况 （单位：元）． 收支情况表 年 月 日期 收入（＋）或支出（－） 结余 注释 ２日 ３．５ ８．５ 卖废品 ８日 －４．５ ４．０ 买圆珠笔、铅笔芯 １２日 －５．２ －１．２ 买科普书，同学代付 这里，“结余－１．２”是什么意思？怎么得到的？ 上面的例子涉及 “３－（－３）＝？”等新问题． 本章我们将认识一种新的数———负数，把数的范 围扩充到有理数，并在这个范围内研究数的表示、 大小比较和运算等．有了这些知识，上述问题就 能顺利解决了． 书书书７．１ 正数和负数 数的产生和发展离不开生活和生产的需要． 由记数、排序，产 由表示 “没有”“空 由分物、测量，产 生数１，２，３，… 位”，产生数０ １ １ 生分数 ， ，… ２ ３ 图７．１１ 本章引言中，表示温度、产量增长率、收支 你能说说３， 情况时，既要用到数３，１．８％，３．５等，还要用 １．８％，３．５ 等 的 实际意义吗？ 到数－３，－２．７％，－４．５，－１．２等，它们的实 际意义分别是：零下３摄氏度，减少２．７％，支 出４．５元，亏空１．２元． 这里 出 现 了 一 种 新 数：－３，－２．７％， －４．５，－１．２．像３，１．８％，３．５这样大于０的 数叫做正数 （ｐｏｓｉｔｉｖｅｎｕｍｂｅｒ）．像－３，－２．７％， 中国古代用算筹 （表示数的工具）进行 －４．５，－１．２这样在正数前加上符号 “－” （负） 计算，红色算筹表示正 的数叫做负数 （ｎｅｇａｔｉｖｅｎｕｍｂｅｒ）．有时，为了明 数，黑色算筹表示负数． 确表达意义，在正数前面也加上 “＋” （正）号． １ 例如，＋３，＋２，＋０．５，＋ ，… 就是３，２， ３ １ 3 2 ０．５， ，…．一个数前面的 “＋” “－”号叫做 ３ 它的符号． ０既不是正数，也不是负数． ２ !"#$%&’ 书书书例 （１）一个月内，小明体重增加２ｋｇ，小 华体重减少１ｋｇ，小强体重无变化，写出他们这 个月的体重增长值； （２）某年，下列国家的商品进出口总额比上 年的变化情况是： 美国减少６．４％， 德国增长１．３％， 法国减少２．４％， 英国减少３．５％， 意大利增长０．２％， 中国增长７．５％． 写出这些国家这一年商品进出口总额的增 长率． “负”与 “正” 解：（１）这个月小明体重增长２ｋｇ，小华体 相对．增长－１，就是 减少１；增长－６．４％， 重增长－１ｋｇ，小强体重增长０ｋｇ． 是什么意思？ （２）六个国家这一年商品进出口总额的增长 什么情况下增长 率是： 率是０？ 美国 －６．４％， 德国 １．３％， 法国 －２．４％， 英国 －３．５％， 意大利 ０．２％， 中国 ７．５％．  如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示 它们． １．２０１０年我国全年平均降水量比上年增加１０８．７ｍｍ， ２００９年比上年减少８１．５ｍｍ，２００８年比上年增加 ５３．５ｍｍ．用正数和负数表示这三年我国全年平均 降水量比上年的增长量． ２．如果把一个物体向右移动１ｍ记作移动＋１ｍ，那 么这个物体又移动了－１ｍ是什么意思？如何描述 这时物体的位置？ ３ !"#$%&’把０以外的数分为正数和负数，它们表示具 有相反意义的量．随着对正数、负数意义认识的 加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用．在 ０是正数与负数的分 界．０℃是一个确定的温 地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基 度，海拔０ｍ表示海平面 准 （规定海平面的海拔为０ｍ），通常用正数表示 的平均高度．０的意义已 高于海平面的某地的海拔，用负数表示低于海平 不仅是表示 “没有”． 面的某地的海拔．例如，珠穆朗玛峰的海拔为 ８８４８．８６ｍ，吐鲁番盆地的海拔为－１５５ｍ．记账 时，通常用正数表示收入款额，用负数表示支出 款额．  20021204(cid:0) ￥2(cid:0)300.00(cid:0) 20030103(cid:0) ￥ 1(cid:0)800.00(cid:0) 图７．１２ 图７．１３ 上面图中的正数和负数的含义是什么？你能再举一些用正数、负数表 示数量的实际例子吗？ １．读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数． ４ ２ －１，２．５，＋ ，０，－３．１４，１２０，－１．７３２，－ ． ３ ７ ２．如果８０ｍ表示向东走８０ｍ，那么－６０ｍ表示 ． ３．如果水位升高３ｍ时水位变化记作＋３ｍ，那么水位下降３ｍ时水位变化记作 ｍ，水位不升不降时水位变化记作 ｍ． ４．月球表面的白天平均温度零上１２６℃，记作 ℃，夜间平均温度零下 １５０℃，记作 ℃． ４ !"#$%&’ 书书书习题７．１  １．下面各数哪些是正数，哪些是负数？ ５ １２ ５，－ ，０，０．５６，－３，－２５．８， ，－０．０００１，＋２，－６００． ７ ５ ２．某蓄水池的标准水位记为０ｍ，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么 （１）０．０８ｍ和－０．２ｍ各表示什么？ （２）水面低于标准水位０．１ｍ和高于标准水位０．２３ｍ各怎样表示？ ３．“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？  ４．如果把一个物体向后移动５ｍ记作移动－５ｍ，那么这个物体又移动＋５ｍ是什么 意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？ ５．测量一幢楼的高度，七次测得的数据分别是：７９．４ｍ，８０．６ｍ，８０．８ｍ， ７９．１ｍ，８０ｍ，７９．６ｍ，８０．５ｍ．这七次测量的平均值是多少？以平均值为标 准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，它们对应的数分别是什么？ ６．科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．物理学规 定，原子核所带电荷为正电荷．氢原子中的原子核与电子各带１个电荷，把它们 所带电荷用正数和负数表示出来．   ７．某地一天中午１２时的气温是７℃，过５ｈ气温下降了４℃，又过７ｈ气温又下降 了４℃，第二天０时的气温是多少？ ８．某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下： 美国 德国 英国 中国 日本 意大利 －３．４％ －０．９％ －５．３％ ２．８％ －７．３％ ７．０％ 这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少 了？哪国增长率最高？哪国增长率最低？ ５ !"#$%&’７．２ 有理数 ７．２．１ 有理数  回想一下，我们认识了哪些数？ 我们学过的数有： 正整数，如１，２，３，…； 零，０； 所有正整数组成 正整数集合，所有负 负整数，如－１，－２，－３，…； 整数组成负整数集合． １ ２ １５ 正分数，如 ， ， ，０．１，５．３２，…； ２ ３ ７ ５ ２ １ 负 分 数，如 －０．５，－ ，－ ，－ ， ２ ３ ７ 因为这里的小数可 －１５０．２５，…． 以化为分数，所以我们 正整数、０、负整数统称为整数；正分数、负 也把它们看成分数． 分数统称为分数． 整数和分数统称为有理数 （ｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ）． 从小学开始，我们首先认识了正整数，后来 又增加了０和正分数，在认识了负整数和负分数 后，对数的认识就扩充到了有理数范围． １．所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合．把下面的有理数填入它属于 的集合的圈内： １ ２ １３ １５，－ ，－５， ，－ ，０．１，－５．３２，－８０，１２３，２．３３３． ９ １５ ８ … … 正数集合 负数集合 ６ !"#$%&’２．指出下列各数中的正数、负数、整数、分数： ３ １ －１５，＋６，－２，－０．９，１， ，０，３ ，０．６３，－４．９５． ５ ４ ７．２．２ 数轴 问题 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东３ｍ和 ７．５ｍ处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西３ｍ和４．８ｍ处分别有一棵 槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境． 如图７．２１，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直 线上任取一个点犗表示汽车站牌的位置，规定１个单位长度 （线段犗犃的长） 代表１ｍ长．于是，在点犗右边，与点犗距离３个和７．５个单位长度的点犅 和点犆，分别表示柳树和杨树的位置；点犗左边，与点犗距离３个和４．８个 单位长度的点犇和点犈，分别表示槐树和电线杆的位置． E(cid:0) D(cid:0) O(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) 3(cid:0) 3(cid:0) 4.8(cid:0) 7.5(cid:0) 图７．２１  怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系 （方 向、距离）？ 上面的问题中， “东”与 “西”、 “左”与 “右”都具有相反意义．如图 ７．２２，在一条直线上取一个点犗为基准点，用０表示它，再用负数表示点犗 左边的点，用正数表示点犗右边的点．这样，我们就用负数、０、正数表示出 了这条直线上的点． E(cid:0) D(cid:0) O(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) 4.8(cid:0) 3(cid:0) 0(cid:0) 1(cid:0) 3(cid:0) 7.5(cid:0) 图７．２２ ７ …"#$%&’用上述方法，我们就可以把这些树、电线杆 与汽车站牌的相对位置关系表示出来了．例如， 你能说说图中 －４．８表示位于汽车站牌西侧４．８ｍ处的电线杆， 其他数的实际意 义吗？ 等等．  图７．２３中的温度计可以看作表示正数、０ 20 15 和负数的直线．它和图７．２２有什么共同点，有 10 什么不同点？ 5 0 -5 -10 图７．２３ 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这 条直线叫做数轴 （ｎｕｍｂｅｒａｘｉｓ），它满足以下要求： （１）在直线上任取一个点表示数０，这个点叫 做原点（ｏｒｉｇｉｎ）； （２）通常规定直线上从原点向右 （或上）为 ０是正数和负数的 正方向，从原点向左 （或下）为负方向； 分界点；原点是数轴的 “基准点”． （３）选取适当的长度为单位长度，直线上从 原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表 示１，２，３，…；从原点向左，用类似方法依次表 示－１，－２，－３，… （图７．２４）． 3 2 6.5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 图７．２４ 分数或小数也可以用数轴上的点表示，例如从原点向右６．５个单位长度的 ３ ３ 点表示小数６．５，从原点向左 个单位长度的点表示分数－ （图７．２４）． ２ ２ ８ !"#$%&’ 一般地，设犪是一个正数，则数轴上表示数犪的点在原点的 边， 与原点的距离是 个单位长度；表示数－犪的点在原点的 边，与原 点的距离是 个单位长度． 用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助 图直观地表示很多与数相关的问题． １．如图，写出数轴上点犃，犅，犆，犇，犈表示的数． E B A C D 3 2 1 0 1 2 3 （第１题） ２．画出数轴并表示下列有理数： ９ ３ １．５，－２，２，－２．５， ，－ ，０． ２ ４ ３．数轴上，如果表示数犪的点在原点的左边，那么犪是一个 数；如果表示数 犫的点在原点的右边，那么犫是一个 数． ７．２．３ 相反数  在数轴上，与原点的距离是２的点有几个？这些点各表示哪个数？ 设犪是一个正数．数轴上与原点的距离等于犪的点有几个？这些点表 示的数有什么关系？ 可以发现，数轴上与原点距离是２的点有两个，它们表示的数是－２ 和２． ９ !"#$%&’ 一般地，设犪是一个正数，数轴上与原点的距离是犪的点有两个，它 们分别在原点左右，表示－犪和犪（图７．２５），我们说这两点关于原点对称． a a 5 2 0 2 5 图７．２５ 像２和－２，５和－５这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数 （ｏｐ ｐｏｓｉｔｅｎｕｍｂｅｒ）．这就是说，２的相反数是－２，－２的相反数是２；５的相反数 是－５，－５的相反数是５． 一般地，犪和－犪互为相反数．特别地，０的相反数是０．这里，犪表示任 意一个数，可以是正数、负数，也可以是０．例如： 当犪＝１时，－犪＝－１，１的相反数是－１；同时，－１的相反数是１．  设犪表示一个数，－犪一定是负数吗？ 容易看出，在正数前面添上 “－”号，就得 到这个正数的相反数．在任意一个数前面添上 你能借助数轴 说明 － （－５）＝ “－”号，新的数就表示原数的相反数．例如， ＋５吗？ －（＋５）＝－５，－（－５）＝＋５，－０＝０． １．判断下列说法是否正确： （１）－３是相反数； （２）＋３是相反数； （３）３是－３的相反数； （４）－３与＋３互为相反数． ２．写出下列各数的相反数： ５ ２ ６，－８，－３．９， ，－ ，１００，０． ２ １１ ３．如果犪＝－犪，那么表示犪的点在数轴上的什么位置？ ４．化简下列各数： （ ） ３ －（－６８），－（＋０．７５），－ － ，－（＋３．８）． ５ １０ !"#$%&’７．２．４ 绝对值 两辆汽车从同一处犗出发，分别向东、西方向行驶１０ｋｍ，到达犃，犅两 处 （图７．２６）．它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？ B O A 10 10 10 0 10 图７．２６ 一般地，数轴上表示数犪的点与原点的距离 叫做数犪的绝对值 （ａｂｓｏｌｕｔｅｖａｌｕｅ），记作 犪 ． ! ! 例如，图７．２６中犃，犅两点分别表示１０和 这里的数犪可以 是正数、负数和０． －１０，它们与原点的距离都是１０个单位长度，所 以１０和－１０的绝对值都是１０，即 １０ ＝１０， －１０ ＝１０． ! ! ! ! 显然 ０ ＝０． !! 由绝对值的定义可知： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；０的绝对 值是０．即 （１）如果犪＞０，那么｜犪｜＝犪； （２）如果犪＝０，那么｜犪｜＝０； （３）如果犪＜０，那么｜犪｜＝－犪． １．写出下列各数的绝对值： ５ ２ ６，－８，－３．９， ，－ ，１００，０． ２ １１ ２．判断下列说法是否正确： （１）符号相反的数互为相反数； （２）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右； （３）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； （４）当犪≠０时，｜犪｜总是大于０． ３．判断下列各式是否正确： （１）｜５｜＝｜－５｜； （２）－｜５｜＝｜－５｜； （３）－５＝｜－５｜． １１ !"#$%&’我们已知两个正数 （或０）之间怎样比较大小，例如 ０＜１，１＜２，２＜３，…． 任意两个有理数 （例如－４和－３，－２和０，－１和１）怎样比较大小呢？  图７．２７给出了未来一周中每 天的最高气温和最低气温，其中最 低气温是多少？最高气温呢？你能 周一 将这七天中每天的最低气温按从低 0～8℃ 周日 2～9℃ 到高的顺序排列吗？ 周二 1～7℃ 周六 3～4℃ 周三 1～6℃ * 周五 周四 4～3℃ 2～5℃ 图７．２７ 这七天中每天的最低气温按从低到高排列为 －４，－３，－２，－１，０，１，２． 按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的．按照这个 顺序把这些数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的 （图７．２８）． 4(cid:0) 3(cid:0) 2(cid:0) 1(cid:0) 0(cid:0) 1(cid:0) 2(cid:0) 图７．２８ 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大 的顺序，即左边的数小于右边的数． 由这个规定可知 －６＜－５，－５＜－４，－４＜－３，－２＜０，－１＜１，…．  对于正数、０和负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数 之间如何比较大小？前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗？ １２ !"#$%&’一般地， （１）正数大于０，０大于负数，正数大于负数； （２）两个负数，绝对值大的反而小． 例如，１ ０，０ －１，１ －１，－１ －２． 例 比较下列各对数的大小： ８ ３ １ （１）－（－１）和－（＋２）； （２）－ 和－ ； （３）－（－０．３）和 － ． ２１ ７ ３ 解：（１）先化简，－（－１）＝１，－（＋２）＝－２． 因为正数大于负数，所以１＞－２，即 －（－１）＞－（＋２）． （２）这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值． ８ ８ ３ ３ ９ － ＝ ， － ＝ ＝ ． ２１ ２１ ７ ７ ２１ ８ ９ 因为 ＜ ， ２１ ２１ ８ ３ 即 － ＜ － ， ２１ ７ ８ ３ 所以 － ＞－ ． ２１ ７ １ １ （３）先化简，－（－０．３）＝０．３， － ＝ ． ３ ３ １ 因为 ０．３＜ ， ３ １ 所以 －（－０．３）＜ － ． ３ 异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们 的绝对值． 比较下列各对数的大小： （１）３和－５； （２）－３和－５； ３ ３ （３）－２．５和－｜－２．２５｜； （４）－ 和－ ． ５ ４ １３ !"#$%&’习题７．２  １．把下面的有理数填在相应的大括号里 （将各数用逗号分开）： ３ ２２ １５，－ ，０，０．１５，－３０，－１２．８， ，＋２０，－６０． ８ ５ 正数：｛ …｝ 负数：｛ …｝ ２．在数轴上表示下列各数： ２ ３ －５，＋３，－３．５，０， ，－ ，０．７５． ３ ２ ３．在数轴上，点犃表示－３，从点犃出发，沿数轴移动４个单位长度到达点犅，则 点犅表示的数是多少？ ４．写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来： １ ９ －４，＋２，－１．５，０， ，－ ． ３ ４ ５．写出下列各数的绝对值： ２ ３ －１２５，＋２３，－３．５，０， ，－ ，－０．０５． ３ ２ 上面的数中哪个数的绝对值最大？哪个数的绝对值最小？ ６．将下列各数按从小到大的顺序排列，并用 “＜”号连接： ２ ３ １ －０．２５，＋２．３，－０．１５，０，－ ，－ ，－ ，０．０５． ３ ２ ２  ７．下面是我国几个城市某年一月份的平均气温，把它们按从高到低的顺序排列． 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 －４．６℃ ３．８℃ １３．１℃ －１９．４℃ ２．４℃ ８．如图，检测５个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数． 从轻重的角度看，哪个球最接近标准？ 5(cid:0) 3.5(cid:0) 0.7(cid:0) 2.5(cid:0) 0.6(cid:0) （第８题） １４ !"#$%&’９．某年我国人均水资源比上年的增幅是－５．６％．后续三年各年比上年的增幅分别 是－４．０％，１３．０％，－９．６％．这些增幅中哪个最小？增幅是负数说明什么？ １０．在数轴上，表示哪个数的点与表示－２和４的点的距离相等？   １ １１．（１）－１与０之间还有负数吗？－ 与０之间呢？如有，请举例． ２ （２）－３与－１之间有负整数吗？－２与２之间有哪些整数？ （３）有比－１大的负整数吗？ （４）写出３个小于－１００并且大于－１０３的数． １２．如果｜狓｜＝２，那么狓一定是２吗？如果｜狓｜＝０，那么狓等于几？如果狓＝－狓， 那么狓等于几？ １５ !"#$%&’７．３ 有理数的加减法 ７．３．１ 有理数的加法 在小学，我们学过正数及０的加法运算．引入负数后，怎样进行加法运算呢？ 实际问题中，有时也会遇到与负数有关的加法运算．例如，在本章引言中， 把收入记作正数，支出记作负数，在求 “结余”时，需要计算８．５＋（－４．５）， ４＋（－５．２）等．  小学学过的加法是正数与正数相加、正数与０相加．引入负数后，加 法有哪几种情况？ 引入负数后，除已有的正数与正数相加、正数与０相加外，还有负数与负 数相加、负数与正数相加、负数与０相加等．下面借助具体情境和数轴来讨论 有理数的加法． 看下面的问题． 一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正．向右运动 ５ｍ记作５ｍ，向左运动５ｍ记作－５ｍ．  如果物体先向右运动５ｍ，再向右运动３ｍ，那么两次运动的最后结 果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后物体从起点向右运动了８ｍ．写成算式就是 ５＋３＝８． ① 将物体的运动起点放在原点，则这个算式可用数轴表示为图７．３１． 5 3 O 0 图７ 8 ．３１ １６ !"#$%&’ 如果物体先向左运动５ｍ，再向左运动３ｍ，那么两次运动的最后结 果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后物体从起点向左运动了８ｍ．写成算式就是 （－５）＋（－３）＝－８． ② 这个运算也可以用数轴表示，其中假设原点犗为运动起点 （图７．３２）． 3 5 O 0 8 图７．３２ 从算式①②可以看出：符号相同的两个数相加，结果的符号不变，绝对值相加．  （１）如果物体先向左运动３ｍ，再向右运动５ｍ，那么两次运动的最 后结果怎样？如何用算式表示？ （２）如果物体先向右运动３ｍ，再向左运动５ｍ，那么两次运动的最 后结果怎样？如何用算式表示？ （１）结果是物体从起点向右运动了２ｍ．写 成算式就是 你能用数轴表 （－３）＋５＝２． ③ 示算式③④吗？ （２）结果是物体从起点向左运动了２ｍ．写 成算式就是 ３＋（－５）＝－２． ④ 从算式③④可以看出：符号相反的两个数相加，结果的符号与绝对值较大 的加数的符号相同，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．  如果物体先向右运动５ｍ，再向左运动５ｍ，那么两次运动的最后结 果如何？ １７ !"#$%&’结果是仍在起点处．写成算式就是 ５＋（－５）＝０． ⑤ 算式⑤表明，互为相反数的两个数相加，结果为０． 如果物体第１ｓ向右 （或左）运动５ｍ，第２ｓ原地不动，那么２ｓ后物体 从起点向右 （或左）运动了５ｍ．写成算式就是 ５＋０＝５ （或（－５）＋０＝－５）． ⑥  从算式⑥可以得出什么结论？ 从算式①～⑥可知，有理数加法运算中，既要考虑符号，又要考虑绝对 值．你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗？ 有理数加法法则： １．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ２．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较 大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得０． ３．一个数同０相加，仍得这个数． 例１ 计算： （１）（－３）＋（－９）； 先定符号，再算 （２）（－４．７）＋３．９． 绝对值． 解：（１）（－３）＋（－９）＝－（３＋９）＝－１２； （２）（－４．７）＋３．９＝－（４．７－３．９）＝－０．８． １．用算式表示下面的结果： （１）温度由－４℃上升７℃； （２）收入７元，又支出５元． ２．口算： （１）（－４）＋（－６）； （２）４＋（－６）； （３）（－４）＋６； （４）（－４）＋４； （５）（－４）＋１４； （６）（－１４）＋４； （７）６＋（－６）； （８）０＋（－６）． １８ !"#$%&’３．计算： （１）１５＋（－２２）； （２）（－１３）＋（－８）； （ ） １ ２ （３）（－０．９）＋１．５； （４） ＋ － ． ２ ３ ４．请你用生活实例解释５＋（－３）＝２，（－５）＋（－３）＝－８的意义． 我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？  计算 ３０＋（－２０）， （－２０）＋３０． 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试． 从上述计算中，你能得出什么结论？ 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变． 加法交换律：犪＋犫＝犫＋犪．  计算 ［８＋（－５）］＋（－４）， ８＋［（－５）＋（－４）］． 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试． 从上述计算中，你能得出什么结论？ 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相 加，和不变． 加法结合律：（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）． 例２ 计算１６＋（－２５）＋２４＋（－３５）． 例２中是怎样 解： １６＋（－２５）＋２４＋（－３５） 使计算简化的？根 据是什么？ ＝１６＋２４＋［（－２５）＋（－３５）］ ＝４０＋（－６０）＝－２０． １９ !"#$%&’利用加法交换律、结合律，可以使运算简化．认识运算律对于理解运算有 很重要的意义． 例３ １０袋小麦称后记录如图７．３３所示 （单位：ｋｇ）．１０袋小麦一共多 少千克？如果每袋小麦以９０ｋｇ为标准，１０袋小麦总计超过多少千克或不足多 少千克？ 91(cid:0) 91(cid:0) 91.5(cid:0) 89(cid:0) 91.2(cid:0) 91.3(cid:0) 88.7(cid:0) 88.8(cid:0) 91.8(cid:0) 91.1(cid:0) 图７．３３ 解法１：先计算１０袋小麦一共多少千克： ９１＋９１＋９１．５＋８９＋９１．２＋９１．３＋８８．７＋８８．８＋９１．８＋９１．１＝９０５．４． 再计算总计超过多少千克： ９０５．４－９０×１０＝５．４． 解法２：每袋小麦超过９０ｋｇ的千克数记作正数，不足的千克数记作负数． １０袋小麦对应的数分别为＋１，＋１，＋１．５，－１，＋１．２，＋１．３，－１．３， －１．２，＋１．８，＋１．１． １＋１＋１．５＋（－１）＋１．２＋１．３＋（－１．３）＋（－１．２）＋１．８＋１．１ ＝［１＋（－１）］＋［１．２＋（－１．２）］＋ ［１．３＋（－１．３）］＋（１＋１．５＋１．８＋１．１） 比较两种解 ＝５．４． 法．解法２中使用 了哪些运算律？ ９０×１０＋５．４＝９０５．４． 答：１０袋小麦一共９０５．４ｋｇ，总计超过５．４ｋｇ． １．计算： （１）２３＋（－１７）＋６＋（－２２）； （２）（－２）＋３＋１＋（－３）＋２＋（－４）． ２．计算： （ ） （ ） （ ） （ ） １ １ １ １ ３ ３ ２ （１）１＋ － ＋ ＋ － ； （２）３ ＋ －２ ＋５ ＋ －８ ． ２ ３ ６ ４ ５ ４ ５ ２０ !"#$%&’   填 幻 方 有人建议向火星发射如图１的图案．它叫做幻方，其中９个格中的点数分别是１，２，３， ４，５，６，７，８，９．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是１５．如果火星 上有智能生物，那么他们可以从这种 “数学语言”了解到地球上也有智能生物 （人）． 图１ 图２ 你能将－４，－３，－２，－１，０，１，２，３，４这９个数分别填入图２的幻方的９个空 格中，使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的３个数相加都得０吗？ 你是将０填入中央的格中吗？与同学交流一下，你们填这个幻方的方法相同吗？ ７．３．２ 有理数的减法 实际问题中有时还要涉及有理数的减法．例 如图 ７．３４， 如，本章引言中，北京某天的气温是－３℃～ 你能看出３℃ 比 －３℃高多少摄氏 ３℃，这天的温差（最高气温减最低气温，单位： 度吗？ ℃）就是３－（－３）．这里遇到正数与负数的减法． 减法是加法的逆运算，计算３－（－３），就是 要求出一个数狓，使得狓与－３相加得３．因为６ 与－３相加得３，所以狓应该是６，即 3 ３－（－３）＝６． ① 另一方面，我们知道 ３＋（＋３）＝６， ② 0 6 由①②，有 ３－（－３）＝３＋（＋３）． ③ 3 图７．３４ ２１ !"#$%&’ 从③式能看出减－３相当于加哪个数吗？把 ３换成０，－１，－５，用上面的方法考虑 ０－（－３），（－１）－（－３），（－５）－（－３）． 这些数减－３的结果与它们加＋３的结果相 同吗？ 换几个数再试一试． 计算 ９－８，９＋（－８）；１５－７，１５＋（－７）． 从中又有什么新发现？ 可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行． 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数． 有理数减法法则也可以表示成 犪－犫＝犪＋（－犫）． 例４ 计算： （１）（－３）－（－５）； （２）０－７； （ ） １ １ （３）７．２－（－４．８）； （４） －３ －５ ． ２ ４ 解：（１）（－３）－（－５）＝（－３）＋５＝２； （２）０－７＝０＋（－７）＝－７； （３）７．２－（－４．８）＝７．２＋４．８＝１２； （ ） （ ） （ ） １ １ １ １ ３ （４） －３ －５ ＝ －３ ＋ －５ ＝－８ ． ２ ４ ２ ４ ４  在小学，只有当犪大于或等于犫时，我们才会做犪－犫（例如２－１， １－１）．现在，当犪小于犫时，你会做犪－犫（例如１－２，（－１）－１）吗？ 一般地，较小的数减去较大的数，所得的差的符号是什么？ ２２ !"#$%&’１．计算： （１）６－９； （２）（＋４）－（－７）； （３）（－５）－（－８）； （４）０－（－５）； （５）（－２．５）－５．９； （６）１．９－（－０．６）． ２．计算： （１）比２℃低８℃的温度； （２）比－３℃低６℃的温度． 下面我们研究怎样进行有理数的加减混合运算． 例５ 计算（－２０）＋（＋３）－（－５）－（＋７）． 分析：这个算式中有加法，也有减法．可以根据有理数减法法则，把它改 写为 （－２０）＋（＋３）＋（＋５）＋（－７）， 使问题转化为几个有理数的加法． 解： （－２０）＋（＋３）－（－５）－（＋７） ＝ （－２０）＋（＋３）＋（＋５）＋（－７） 这里使用了哪 ＝［（－２０）＋（－７）］＋［（＋５）＋（＋３）］ 些运算律？ ＝（－２７）＋（＋８） ＝－１９．  引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算． 犪＋犫－犮＝犪＋犫＋（－犮）． 算式 （－２０）＋（＋３）＋（＋５）＋（－７） 是－２０，３，５，－７这四个数的和，为书写简单，可以省略算式中的括号和加 号，把它写为 －２０＋３＋５－７． 这个算式可以读作 “负２０、正３、正５、负７的和”，或读作 “负２０加３ ２３ !"#$%&’加５减７”．例５的运算过程也可以简单地写为 （－２０）＋（＋３）－（－５）－（＋７） ＝－２０＋３＋５－７ ＝－２０－７＋３＋５ ＝－２７＋８ ＝－１９．  在数轴上，点犃，犅分别表示数犪，犫．利用有理数减法，分别计算 下列情况下点犃，犅之间的距离： 犪＝２，犫＝６；犪＝０，犫＝６；犪＝２，犫＝－６；犪＝－２，犫＝－６． 你能发现点犃，犅之间的距离与数犪，犫之间的关系吗？ 计算： （１）１－４＋３－０．５； （２）－２．４＋３．５－４．６＋３．５； （ ） （ ） ３ ７ １ ２ （３）（－７）－（＋５）＋（－４）－（－１０）； （４） － ＋ － － － －１． ４ ２ ６ ３ 习题７．３  １．计算： （１）（－１０）＋（＋６）； （２）（＋１２）＋（－４）； （３）（－５）＋（－７）； （ ） ２ ３ （４）（＋６）＋（－９）； （５）（－０．９）＋（－２．７）； （６） ＋ － ； ５ ５ （ ） （ ） （ ） １ ２ １ １ （７） － ＋ ； （８） －３ ＋ －１ ． ３ ５ ４ １２ ２．计算： （１）（－８）＋１０＋２＋（－１）； （２）５＋（－６）＋３＋９＋（－４）＋（－７）； ２４ !"#$%&’（３）（－０．８）＋１．２＋（－０．７）＋（－２．１）＋０．８＋３．５； （ ） （ ） （ ） １ ２ ４ １ １ （４） ＋ － ＋ ＋ － ＋ － ． ２ ３ ５ ２ ３ ３．计算： （１）（－８）－８； （２）（－８）－（－８）； （３）８－（－８）； （４）８－８； （５）０－６； （６）０－（－６）； （７）１６－４７； （８）２８－（－７４）； （９）（－３．８）－（＋７）； （１０）（－５．９）－（－６．１）． ４．计算： （ ） （ ） （ ） （ ） ２ ３ ２ ３ （１） ＋ － － ； （２） － － － ； ５ ５ ５ ５ （ ） １ １ １ １ （３） － ； （４） － － ； ２ ３ ２ ３ （ ） （ ） ２ １ ３ （５）－ － － ； （６）０－ － ； ３ ６ ４ （ ） （ ） （ ） （ ） ２ ３ １ １ （７）（－２）－ ＋ ； （８） －１６ － －１０ － ＋１ ． ３ ４ ４ ２ ５．计算： １ ５ ２ １ （１）－４．２＋５．７－８．４＋１０； （２）－ ＋ ＋ － ； ４ ６ ３ ２ （３）１２－（－１８）＋（－７）－１５； （４）４．７－（－８．９）－７．５＋（－６）； （ ） （ ） （ ） （ ） ７ １ １ １ （５） －４ － －５ ＋ －４ － ＋３ ； ８ ２ ４ ８ （ ） （ ） ２ １ ５ １ （６） － ＋ ０－５ ＋ －４ ＋ －９ ． ３ ６ ６ ３  ６．如图，陆上最高处是珠穆朗玛峰的 8 848.86m 峰顶，最低处位于亚洲西部名为死 海的湖，两处高度相差多少？ 415 （第６题） ２５ !"#$%&’７．一天早晨的气温是 ７℃，中午上升了１１℃，半夜又下降了９℃，半夜的气温是 多少摄氏度？ ８．食品店一周中各天的盈亏情况如下 （盈余为正）： １３２元，－１２．５元，－１０．５元，１２７元，－８７元，１３６．５元，９８元． 一周总的盈亏情况如何？ ９．有８筐白菜，以每筐２５ｋｇ为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负 数，称后的记录如下： １．５，－３，２，－０．５，１，－２，－２，－２．５． 这８筐白菜一共多少千克？ １０．某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，哪天的温差最大？哪天的 温差最小？ 星 期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 １０℃ １２℃ １１℃ ９℃ ７℃ ５℃ ７℃ 最低气温 ２℃ １℃ ０℃ －１℃ －４℃ －５℃ －５℃   １１．填空： （１） ＋１１＝２７； （２）７＋ ＝４； （３）（－９）＋ ＝９； （４）１２＋ ＝０； （５）（－８）＋ ＝－１５； （６） ＋（－１３）＝－６． １２．计算下列各式的值： （－２）＋（－２）， （－２）＋（－２）＋（－２）， （－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２）， （－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２）． 猜想下列各式的值： （－２）×２，（－２）×３，（－２）×４，（－２）×５． 你能进一步猜出负数乘正数的法则吗？ １３．一种股票第一天的最高价比开盘价高０．３元，最 低价比开盘价低０．２元；第二天的最高价比开盘 价高０．２元，最低价比开盘价低０．１元；第三天 的最高价等于开盘价，最低价比开盘价低０．１３ 元．计算每天最高价与最低价的差，以及这些差 的平均值． 股票交易是市场经济中的一种 金融活动，它可以促进投资和资金 流通． ２６ !"#$%&’  中国人最先使用负数 中国人很早就开始使用负数．著名的中国古代数学著作 《九章算术》的 “方程”一 章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为 “正负术”的算 法．魏晋时期的数学家刘徽在其著作 《九章算术注》中用不同颜色的算筹 （小棍形状的记 数工具）分别表示正数和负数 （红色为正，黑色为负）． 23 54 23 54 31 “正负术”是正负数加减法则．其中有一段话是 “同名相除，异名相益，正无入负之， 负无入正之．”你知道它的意思吗？其实它就是减法法则，以现代算式为例，可以将这段 话解释如下： “同名相除”，即同号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值 减去减数的绝对值．例如 （＋５）－（＋３）＝＋（５－３）， （－５）－（－３）＝－（５－３）． “异名相益”，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值 加减数的绝对值．例如 （＋５）－（－３）＝＋（５＋３）， （－５）－（＋３）＝－（５＋３）． “正无入负之，负无入正之”，即０减正得负，０减负得正．例如 ０－（＋３）＝－３， ０－（－３）＝＋３． 史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中． 例如，在古代商业活动中，以收入为正，支出为负；以盈余为正，亏欠为负．在古代农业 活动中，以增产为正，减产为负．中国人使用负数在世界上是首创． ２７ !"#$%&’７．４ 有理数的乘除法 ７．４．１ 有理数的乘法 我们已经熟悉正数及０的乘法运算．与加法类似，引入负数后，将出现 ３×（－３），（－３）×３，（－３）×（－３）这样的乘法．该怎样进行这一类的运算呢？  观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？ ３×３＝９， ３×２＝６， ３×１＝３， ３×０＝０． 可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减１，积逐次递 减３． 要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有： ３×（－１）＝－３， ３×（－２）＝ ， ３×（－３）＝ ．  观察下面的算式，你又能发现什么规律？ ３×３＝９， ２×３＝６， １×３＝３， ０×３＝０． 可以发现，上述算式有如下规律：随着前一乘数逐次递减１，积逐次递 减３． ２８ !"#$%&’要使上述规律在引入负数后仍然成立，那么你认为下面的空格应填写什 么数？ （－１）×３＝ ， （－２）×３＝ ， （－３）×３＝ ． 从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，可以归纳如下： 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负 数．积的绝对值等于各乘数绝对值的积．  利用上面归纳的结论计算下面的算式，你发现有什么规律？ （－３）×３＝ ， （－３）×２＝ ， （－３）×１＝ ， （－３）×０＝ ． 可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减１，积逐次增 加３． 按照上述规律，下面的空格可以各填什么数？从中可以归纳出什么结论？ （－３）×（－１）＝ ， （－３）×（－２）＝ ， （－３）×（－３）＝ ． 可归纳出如下结论： 负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积． 一般地，我们有有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数与０相乘，都得０． 例如， （－５）×（－３）， 同号两数相乘 """""""""""""" （－５）×（－３）＝＋（ ）， 得正 """""""""""""" ５×３＝１５， 把绝对值相乘 """""""""""""""" 所以 （－５）×（－３）＝１５． ２９ !"#$%&’又如， （－７）×４， 我 """""""""""""""" （－７）×４＝－（ ）， 我 """""""""""" ７×４＝２８， 我 """""""""""""""" 所以 （－７）×４＝ ． 也就是：有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值． 例１ 计算： （ ） １ （１）（－３）×９； （２）８×（－１）； （３） － ×（－２）． ２ 解：（１）（－３）×９＝ －２７； （２）８×（－１）＝－８； （ ） 要得到一个数的 １ （３） － ×（－２）＝１． 相反数，只要将它乘 ２ －１． （ ） １ １ 例１ （３）中， － ×（－２）＝１，我们说－ 和－２互为倒数．一般地， ２ ２ 在有理数中仍然有： 乘积是１的两个数互为倒数． 例２ 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山 峰，每登高１ｋｍ气温的变化量为－６℃，攀登３ｋｍ后，气温有什么变化？ 解：（－６）×３＝－１８． 答：气温下降１８℃． １．计算： （１）６×（－９）； （２）（－４）×６； （３）（－６）×（－１）； （ ） （ ） ２ ９ １ １ （４）（－６）×０； （５） × － ； （６） － × ． ３ ４ ３ ４ ２．商店降价销售某种商品，每件降５元，售出６０件后，与按原价销售同样数量的 商品相比，销售额有什么变化？ ３．写出下列各数的倒数： １ １ ２ ２ １，－１， ，－ ，５，－５， ，－ ． ３ ３ ３ ３ ３０ !"#$%&’多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘．  观察下列各式，它们的积是正的还是负的？ ２×３×４×（－５）， ２×３×（－４）×（－５）， ２×（－３）×（－４）×（－５）， （－２）×（－３）×（－４）×（－５）． 几个不是０的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？  几个不是０的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的 个数是奇数时，积是负数． 例３ 计算： （ ） （ ） ５ ９ １ （１）（－３）× × － × － ； ６ ５ ４ （ ） ４ １ （２）（－５）×６× － × ． ５ ４ （ ） （ ） ５ ９ １ 解：（１） （－３）× × － × － ６ ５ ４ 多个不是０的 ５ ９ １ ９ 数相乘，先做哪一 ＝－３× × × ＝－ ； ６ ５ ４ ８ 步，再做哪一步？ （ ） ４ １ （２） （－５）×６× － × ５ ４ ４ １ ＝５×６× × ＝６． ５ ４  你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由． ７．８×（－８．１）×０×（－１９．６）． 几个数相乘，如果其中有因数为０，那么积等于０． ３１ !"#$%&’１．口算： （１）（－２）×３×４×（－１）； （２）（－５）×（－３）×４×（－２）； （３）（－２）×（－２）×（－２）×（－２）； （４）（－３）×（－３）×（－３）×（－３）． ２．计算： （１）（－５）×８×（－７）×（－０．２５）； （ ） （ ） ５ ８ １ ２ （２） － × × × － ； １２ １５ ２ ３ （ ） （ ） ５ ８ ３ ２ （３）（－１）× － × × × － ×０×（－１）． ４ １５ ２ ３ 像前面那样规定有理数乘法法则后，就可以使交换律、结合律与分配律在 有理数乘法中仍然成立． 例如， ５×（－６）＝－３０， （－６）×５＝－３０， 即 犪×犫也可以写为 ５×（－６）＝（－６）×５． 犪·犫或犪犫．当用字母表 一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因 示乘数时，“×”号可 数的位置，积相等． 以写为 “·”或省略． 乘法交换律：犪犫＝犫犪． 又如， ［３×（－４）］×（－５）＝（－１２）×（－５）＝６０， ３×［（－４）×（－５）］＝３×２０＝６０， 即 ［３×（－４）］×（－５）＝３×［（－４）×（－５）］． 一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两 个数相乘，积相等． 乘法结合律：（犪犫）犮＝犪（犫犮）． ３２ !"#$%&’再如， ５×［３＋（－７）］＝５×（－４）＝－２０， ５×３＋５×（－７）＝１５－３５＝－２０， 即 ５×［３＋（－７）］＝５×３＋５×（－７）． 一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同 这两个数相乘，再把积相加． 分配律：犪（犫＋犮）＝犪犫＋犪犮． 运算律在运算中有 （ ） 重要作用，它是解决许 １ １ １ 例４ 用两种方法计算 ＋ － ×１２． 多数学问题的基础． ４ ６ ２ （ ） １ １ １ 解法１： ＋ － ×１２ ４ ６ ２ （ ） ３ ２ ６ ＝ ＋ － ×１２ １２ １２ １２ １ ＝－ ×１２＝－１． １２ （ ） １ １ １ 解法２： ＋ － ×１２ ４ ６ ２ １ １ １ ＝ ×１２＋ ×１２－ ×１２ ４ ６ ２ ＝３＋２－６＝－１．  比较上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法２用了什么 运算律？哪种解法运算量小？ 计算： （ ） ９ １ （１）（－８５）×（－２５）×（－４）； （２） － ×３０； １０ １５ （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ７ １ ６ ２ ６ １７ （３） － ×１５× －１ ； （４） － × － ＋ － × ＋ ． ８ ７ ５ ３ ５ ３ ３３ !"#$%&’７．４．２ 有理数的除法 怎样计算８÷（－４）呢？ 根据除法是乘法的逆运算，就是要求一个数，使它与－４相乘得８． 因为 （－２）×（－４）＝８， 所以 ８÷（－４）＝－２． ① 另一方面，我们有 （ ） ８× － １ ＝－２． ② 换其他数的除 ４ 法进行类似讨论， 于是有 是否 仍 有 除 以犪 （ ） １ （犪≠０）可以转化为 ８÷（－４）＝８× － ． ③ ４ １ 乘 ？ 犪 １ ③式表明，一个数除以－４可以转化为乘－ 来 ４ １ 进行，即一个数除以－４，等于乘－４的倒数－ ． ４ 与小学学过的除法一样，对于有理数除法，我们有如下法则： 除以一个不等于０的数，等于乘这个数的倒数． 这个法则也可以表示成 １ 犪÷犫＝犪· （犫≠０）． 犫 从有理数除法法则，容易得出： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对 这是有理数除法 值相除．０除以任何一个不等于０的数，都得０． 法则的另一种说法． 例５ 计算： （ ） （ ） １２ ３ （１）（－３６）÷９； （２） － ÷ － ． ２５ ５ 解：（１）（－３６）÷９＝－（３６÷９）＝－４； （ ） （ ） （ ） （ ） １２ ３ １２ ５ ４ （２） － ÷ － ＝ － × － ＝ ． ２５ ５ ２５ ３ ５ ３４ !"#$%&’计算： （１）（－１８）÷６； （２）（－６３）÷（－７）； （３）１÷（－９）； （ ） （ ） ６ ２ （４）０÷（－８）； （５）（－６．５）÷０．１３； （６） － ÷ － ． ５ ５ 例６ 化简下列分数： －１２ －４５ （１） ； （２） ． ３ －１２ 分数可以理解为 －１２ 分子除以分母． 解：（１） ＝（－１２）÷３＝－４； ３ －４５ １５ （２） ＝（－４５）÷（－１２）＝４５÷１２＝ ． －１２ ４ 因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算． 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． 例７ 计算： （ ） （ ） ５ ５ １ （１） －１２５ ÷（－５）； （２）－２．５÷ × － ． ７ ８ ４ （ ） ５ 解：（１） －１２５ ÷（－５） ７ （ ） ５ １ ＝ １２５＋ × ７ ５ １ ５ １ ＝１２５× ＋ × ５ ７ ５ １ ＝２５＋ ７ １ ＝２５ ； ７ （ ） ５ １ （２） －２．５÷ × － ８ ４ ５ ８ １ ＝ × × ２ ５ ４ ＝１． ３５ !"#$%&’１．化简： －７２ －３０ ０ （１） ； （２） ； （３） ． ９ －４５ －７５ ２．计算： （ ） （ ） ９ １ （１） －３６ ÷９； （２）（－１２）÷（－４）÷ －１ ； １１ ５ （ ） （ ） ２ ８ （３） － × － ÷（－０．２５）． ３ ５ 有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学 的混合运算一样，按照 “先乘除，后加减”的顺序进行． 例８ 计算： （１）－８＋４÷（－２）； （２）（－７）×（－５）－９０÷（－１５）． 解：（１） －８＋４÷（－２） ＝－８＋（－２） ＝－１０； （２） （－７）×（－５）－９０÷（－１５） ＝３５－（－６） ＝３５＋６ ＝４１． 计算： （１）６－（－１２）÷（－３）； （２）３×（－４）＋（－２８）÷７； （ ） （ ） ２ ３ （３）（－４８）÷８－（－２５）×（－６）； （４）４２× － ＋ － ÷（－０．２５）． ３ ４ 例９ 某公司去年１～３月平均每月亏损１．５万元，４～６月平均每月盈利 ２万元，７～１０月平均每月盈利１．７万元，１１～１２月平均每月亏损２．３万元． 这个公司去年总的盈亏情况如何？ ３６ !"#$%&’解：记盈利额为正数，亏损额为负数．公司去年全年盈亏额 （单位：万 元）为 （－１．５）×３＋２×３＋１．７×４＋（－２．３）×２ ＝－４．５＋６＋６．８－４．６＝３．７． 答：这个公司去年全年盈利３．７万元． 计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进 行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多． 例如，可以用计算器计算例９中的 （－１．５）×３＋２×３＋１．７×４＋（－２．３）×２． 如果计算器带符号键 （－），只需按键 （－）１ · ５ × ３ ＋ ２ × ３ ＋ １ · ７ × ４ ＋ （－）２ · ３ × ２， 就可以得到答案３．７． 不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同，具体参见计算器的使用说明． 用计算器计算： （１）３５７＋（－１５４）＋２６＋（－２１２）； （２）－５．１３＋４．６２＋（－８．４７）－（－２．３）； （３）２６×（－４１）＋（－３５）×（－１７）； （４）１．２５２÷（－４４）－（－３５６）÷（－０．１９６）． 习题７．４  １．计算： （１）（－８）×（－７）； （２）１２×（－５）； （３）２．９×（－０．４）； （４）－３０．５×０．２； （５）１００×（－０．００１）； （６）－４．８×（－１．２５）． ２．计算： （ ） （ ） （ ） １ ８ ５ ３ （１） × － ； （２） － × － ； ４ ９ ６ １０ （ ） ３４ １０ （３）－ ×２５； （４）（－０．３）× － ． １５ ７ ３７ !"#$%&’３．写出下列各数的倒数： ５ （１）－１５； （２）－ ； （３）－０．２５； ９ １ ２ （４）０．１７； （５）４ ； （６）－５ ． ４ ５ ４．计算： （１）－９１÷１３； （２）－５６÷（－１４）； （３）１６÷（－３）； （４）（－４８）÷（－１６）； ４ ３ （５） ÷（－１）； （６）－０．２５÷ ． ５ ８ ５．填空： １×（－５）＝ ； １÷（－５）＝ ； １＋（－５）＝ ； １－（－５）＝ ； －１×（－５）＝ ； －１÷（－５）＝ ； －１＋（－５）＝ ； －１－（－５）＝ ． ６．化简下列分数： －２１ ３ （１） ； （２） ； ７ －３６ －５４ －６ （３） ； （４） ． －８ －０．３ ７．计算： （１）－２×３×（－４）； （２）－６×（－５）×（－７）； （ ） ８ （３） － ×１．２５×（－８）； （４）０．１÷（－０．００１）÷（－１）； ２５ （ ） （ ） （ ） ３ １ １ １１ （５） － × －１ ÷ －２ ； （６）－６×（－０．２５）× ； ４ ２ ４ １４ （７）（－７）×（－５６）×０÷（－１３）； （８）－９×（－１１）÷３÷（－３）．  ８．计算： ３ （１）２３×（－５）－（－３）÷ ； １２８ （２）－７×（－３）×（－０．５）＋（－１２）×（－２．６）； （ ） （ ） （ ） （ ） ３ ７ ７ ７ ７ ３ ７ ７ （３） １ － － ÷ － ＋ － ÷ １ － － ； ４ ８ １２ ８ ８ ４ ８ １２ ２ １ ２ １ １ （４）－ － － － × － － － －３ ． ３ ２ ３ ３ ４ ３８ !"#$%&’９．用计算器计算 （结果保留两位小数）： （１）（－３６）×１２８÷（－７４）； （２）－６．２３÷（－０．２５）×９４０； （３）－４．３２５×（－０．０１２）－２．３１÷（－５．３１５）； （４）１８０．６５－（－３２）×４７．８÷（－１５．５）． １０．用正数或负数填空： （１）小商店平均每天可盈利２５０元，一个月 （按３０天计算）的利润是 元； （２）小商店每天亏损２０元，一周的利润是 元； （３）小商店一周的利润是１４００元，平均每天的利润是 元； （４）小商店一周共亏损８４０元，平均每天的利润是 元． １１．一架直升机从高度为４５０ｍ的位置开始，先以２０ｍ／ｓ的速度上升６０ｓ，后以 １２ｍ／ｓ的速度下降１２０ｓ，这时直升机所在高度是多少？   １２．用 “＞”“＜”或 “＝”号填空： 犪 （１）如果犪＜０，犫＞０，那么犪·犫 ０， ０； 犫 犪 （２）如果犪＞０，犫＜０，那么犪·犫 ０， ０； 犫 犪 （３）如果犪＜０，犫＜０，那么犪·犫 ０， ０； 犫 犪 （４）如果犪＝０，犫≠０，那么犪·犫 ０，那么 ０． 犫 （ ） １ １ １３．计算２×１，２× ，２×（－１），２× － ． ２ ２ 联系这类具体的数的乘法，你认为一个非０有理数一定小于它的２倍吗？为 什么？ １４．利用分配律可以得到－２×６＋３×６＝（－２＋３）×６．如果用犪表示任意一个数， 那么利用分配律可以得到－２犪＋３犪等于什么？ １５．计算（－４）÷２，４÷（－２），（－４）÷（－２）． 联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立 （犪，犫是有理数，犫≠０）？ 从它们可以总结什么规律？ －犪 犪 犪 －犪 犪 （１） ＝ ＝－ ； （２） ＝ ． 犫 －犫 犫 －犫 犫 ３９ !"#$%&’ 翻牌游戏中的数学道理 桌上有９张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意２张 （包括已翻过的牌），使它们 从一面向上变为另一面向上，这样一直做下去，观察能否使所有的牌都反面向上？ 你不妨动手试一试，看看会不会出现所有牌都反面向上． 事实上，不论你翻多少次，都不能使９张牌都反面向上．从这个结果，你能想到其中 的数学道理吗？ 如果在每张牌的正面都写１，反面都写－１，考虑所有牌朝上一面的数的积．开始９ 张牌都正面向上，上面的数的积是１．每次翻动２张，就是说有２张牌同时改变符号，这 能改变朝上一面的数的积是１这一结果吗？９张牌都反面向上时，上面的数的积是什么 数？这种现象为什么不能出现？ 你能解释为什么不会使９张牌都反面向上了吗？ 如果桌上有任意奇数张牌，猜想结果会是怎样？ ４０ !"#$%&’７．５ 有理数的乘方 ７．５．１ 乘方 前面学了有理数的乘法，下面研究各个乘数都相同时的乘法运算． 我们知道，边长为２ｃｍ的正方形的面积是２×２＝４ （ｃｍ２ ）；棱长为２ｃｍ 的正方体的体积是２×２×２＝８ （ｃｍ３ ）． ２×２，２×２×２都是相同因数的乘法． 为了简便，我们将它们分别记作２２ ，２３．２２ 读作 “２的平方” （或 “２的 二次方”），２３ 读作 “２的立方”（或 “２的三次方”）． 同样： （－２）×（－２）×（－２）×（－２）记作（－２） ４ ， 读作“－２的四次方”； （－２）４ 与 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ２ ２ ２ ２ ２ －２４ 一 样 吗？为 － × － × － × － × － 记 ５ ５ ５ ５ ５ 什么？ （ ） 作 － ２ ５ ，读作 “－ ２ 的五次方”． ５ ５ 一般 地，狀个 相 同 的 因 数犪 相 乘，即 犪·犪·…·犪，记作犪狀 ，读作 “犪的狀次方”． 烏 烐 烑 狀个 求狀个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方 指数 的结果叫做幂 （ｐｏｗｅｒ）．在犪狀 中，犪叫做底数 （ｂａｓｅｎｕｍｂｅｒ），狀叫做指数 （ｅｘｐｏｎｅｎｔ），当犪狀 看 幂 ａｎ 作犪的狀次方的结果时，也可读作 “犪的狀次幂”． 例如，在９４ 中，底数是９，指数是４，９４ 读作 底数 “９的４次方”，或 “９的４次幂”． 一个数可以看作这个数本身的一次方．例如， ５就是５１．指数１通常省略不写． 因为犪狀 就是狀个犪相乘，所以可以利用有理 数的乘法运算来进行有理数的乘方运算． ４１ !"#$%&’例１ 计算： （ ） ２ ３ （１）（－４） ３ ； （２）（－２） ４ ； （３） － ． ３ 解：（１）（－４） ３＝（－４）×（－４）×（－４）＝－６４； （２）（－２） ４＝（－２）×（－２）×（－２）×（－２）＝１６； （ ） （ ） （ ） （ ） ２ ３ ２ ２ ２ ８ （３） － ＝ － × － × － ＝－ ． ３ ３ ３ ３ ２７  从例１，你发现负数的幂的正负有什么规律？ 当指数是 数时，负数的幂是 数； 当指数是 数时，负数的幂是 数． 根据有理数的乘法法则可以得出： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 显然，正数的任何次幂都是正数，０的任何正整数次幂都是０． 例２ 用计算器计算（－８） ５ 和（－３） ６． 解：用带符号键（－）的计算器． （（－）８ ） ∧ ５＝ 显示：（－８）５ ∧ －３２７６８． （（－）３ ） ∧ ６＝ 显示：（－３）６ ∧ ７２９． 所以 （－８） ５＝－３２７６８，（－３） ６＝７２９． １．（１）（－７）８ 中，底数、指数各是什么？ （２）（－１０）８ 中－１０叫做什么数？８叫做什么数？（－１０）８ 是正数还是负数？ ２．计算： （１）（－１）１０； （２）（－１）７； （３）８３； （４）（－５）３； ４２ !"#$%&’（ ） （５）０．１３； （６） － １ ４； （７）（－１０）４； （８）（－１０）５． ２ ３．用计算器计算： （１）（－１１）６； （２）１６７； （３）８．４３； （４）（－５．６）３． 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： １．先乘方，再乘除，最后加减； ２．同级运算，从左到右进行； ３．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 例３ 计算： （１）２×（－３） ３－４×（－３）＋１５； （２）（－２） ３＋（－３）×［（－４） ２＋２］－（－３） ２÷（－２）． 解：（１）原式＝２×（－２７）－（－１２）＋１５ ＝－５４＋１２＋１５ ＝－２７； （２）原式＝－８＋（－３）×（１６＋２）－９÷（－２） ＝－８＋（－３）×１８－（－４．５） ＝－８－５４＋４．５ ＝－５７．５． 例４ 观察下面三行数： －２， ４，－８，１６，－３２，６４，…； ① ０， ６，－６，１８，－３０，６６，…； ② －１， ２，－４， ８，－１６，３２，…． ③ （１）第①行数按什么规律排列？ （２）第②③行数与第①行数分别有什么关系？ （３）取每行数的第１０个数，计算这三个数的和． 分析：观察①，发现各数均为２的倍数．联系数的乘方，从符号和绝对值 两方面考虑，可发现排列的规律． 解：（１）第①行数是 －２，（－２） ２ ，（－２） ３ ，（－２） ４ ，…． （２）对比①②两行中位置对应的数，可以发现： ４３ !"#$%&’第②行数是第①行相应的数加２，即 －２＋２，（－２） ２＋２，（－２） ３＋２，（－２） ４＋２，…； 对比①③两行中位置对应的数，可以发现： 第③行数是第①行相应的数的０．５倍，即 －２×０．５，（－２） ２×０．５，（－２） ３×０．５，（－２） ４×０．５，…． （３）每行数中的第１０个数的和是 （－２） １０＋［（－２） １０＋２］＋（－２） １０×０．５ ＝１０２４＋（１０２４＋２）＋１０２４×０．５ ＝１０２４＋１０２６＋５１２ ＝２５６２． 计算： （ ） （１）（－１）１０×２＋（－２）３÷４； （２）（－５）３－３× － １ ４； ２ （ ） １１ １ １ ３ ５ （３） × － × ÷ ； （４）（－１０）４＋［（－４）２－（３＋３２）×２］． ５ ３ ２ １１ ４ ７．５．２ 科学记数法 现实中，我们会遇到一些比较大的数．例如，太阳的半径、光的速度、目 前世界人口 （图１．５１）等．读、写这样大的数有一定困难． 光 速 约 300000000m s 太阳半径约 km 696000 图７．５１ 观察１０的乘方有如下的特点： １０２＝１００，１０３＝１０００，１０４＝１００００，…． 一般地，１０的狀次幂等于１０…０ （在１的后面有狀个０），所以可以利用 １０的乘方表示一些大数，例如 ４４ !"#$%&’５６７００００００＝５．６７×１００００００００＝５．６７×１０８ ， 读作 “５．６７乘１０的８次方 （幂）”． 这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数． 像上面这样，把一个大于１０的数表示成犪×１０狀 的形式 （其中犪大于或等 于１且小于１０，狀是正整数），使用的是科学记数法． 对于小于－１０的数也可以类似表示．例如 －５６７００００００＝－５．６７×１０８． 例５ 用科学记数法表示下列各数： １００００００，５７００００００，－１２３０００００００００． 解：１００００００＝１０６ ， ５７００００００＝５．７×１０７ ， －１２３０００００００００＝－１．２３×１０１１．  上面的式子中，等号左边整数的位数与右边１０的指数有什么关系？ 用科学记数法表示一个狀位整数，其中１０的指数是 ． １．用科学记数法写出下列各数： １００００，８０００００，５６００００００，－７４０００００． ２．下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ １×１０７，４×１０３，８．５×１０６，７．０４×１０５，－３．９６×１０４． ３．中国的陆地面积约为９６０００００ｋｍ２，领水面积约为３７００００ｋｍ２，用科学记数 法表示上述两个数字． ７．５．３ 近似数 先看一个例子．对于参加同一个会议的人数， 有两个报道．一个报道说：“会议秘书处宣布，参 加今天会议的有５１３人．”这里数字５１３确切地反 映了实际人数，它是一个准确数．另一报道说： ４５ !"#$%&’“约有五百人参加了今天的会议．”五百这个数只是接近实际人数，但与实际人 数还有差别，它是一个近似数 （ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｎｕｍｂｅｒ）． 在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似 数．例如，宇宙现在的年龄约为２００亿年，长江长约６３００ｋｍ，圆周率π约为 ３．１４，这里的数都是近似数． 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示．例如，前面的五百是精 确到百位的近似数，它与准确数５１３的误差为１３． 按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有 π≈３ （精确到个位）， π≈３．１ （精确到０．１，或叫做精确到十分位）， π≈３．１４ （精确到０．０１，或叫做精确到百分位）， π≈３．１４２ （精确到 ，或叫做精确到 ）， π≈３．１４１６ （精确到 ，或叫做精确到 ）， …… 例６ 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （１）０．０１５８ （精确到０．００１）； （２）３０４．３５（精确到个位）； （３）１．８０４（精确到０．１）； 这里的１．８和 （４）１．８０４（精确到０．０１）． １．８０的精确度相同 吗？表示近似数时， 解：（１）０．０１５８≈０．０１６； 能简单地把１．８０后 （２）３０４．３５≈３０４； 面的０去掉吗？ （３）１．８０４≈１．８； （４）１．８０４≈１．８０． 用四舍五入法对下列各数取近似数： （１）０．００３５６（精确到万分位）； （２）６１．２３５（精确到个位）； （３）１．８９３５（精确到０．００１）； （４）０．０５７１（精确到０．１）． ４６ !"#$%&’习题７．５  １．计算： （１）（－３）３； （２）（－２）４； （ ） （３）（－１．７）２； （４） － ４ ３； ３ （５）－（－２）３； （６）（－２）２×（－３）２． ２．用计算器计算： （１）（－１２）８； （２）１０３４； （３）７．１２３； （４）（－４５．７）３． ３．计算： （１）（－１）１００×５＋（－２）４÷４； （ ） （２）（－３）３－３× － １ ４； ３ （ ） ７ １ １ ３ ３ （３） × － × ÷ ； ６ ６ ３ １４ ５ （４）（－１０）３＋［（－４）２－（１－３２）×２］； （ ） （５）－２３÷ ４ × － ２ ２； ９ ３ （６）４＋（－２）３×５－（－０．２８）÷４． ４．用科学记数法表示下列各数： （１）２３５００００００； （２）１８８５２００００； （３）７０１０００００００００； （４）－３８００００００． ５．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ３×１０７，１．３×１０３，８．０５×１０６，２．００４×１０５，－１．９６×１０４． ６．用四舍五入法对下列各数取近似数： （１）０．００３５６（精确到０．０００１）； （２）５６６．１２３５（精确到个位）； （３）３．８９６３（精确到０．０１）； （４）０．０５７１（精确到千分位）．  ７．平方等于９的数是几？立方等于２７的数是几？ ８．一个长方体的长、宽都是犪，高是犫，它的体积和表面积怎样计算？当犪＝２ｃｍ， 犫＝５ｃｍ时，它的体积和表面积是多少？ ４７ !"#$%&’９．地球绕太阳公转的速度约是１．１×１０５ｋｍ／ｈ，声音在空气中的传播速度约是 ３４０ｍ／ｓ，试比较两个速度的大小． １０．一天有８．６４×１０４ｓ，一年按３６５天计算，一年有多少秒 （用科学记数法表示）？   １１．（１）计算０．１２，１２，１０２，１００２．观察这些结果，底数的小数点向左 （右）移动 一位时，平方数小数点有什么移动规律？ （２）计算０．１３，１３，１０３，１００３．观察这些结果，底数的小数点向左 （右）移动 一位时，立方数小数点有什么移动规律？ （３）计算０．１４，１４，１０４，１００４．观察这些结果，底数的小数点向左 （右）移动 一位时，四次方数小数点有什么移动规律？ １２．计算（－２）２，２２，（－２）３，２３．联系这类具体的数的乘方，你认为当犪＜０时下列 各式是否成立？ （１）犪２＞０； （２）犪２＝（－犪）２； （３）犪２＝－犪２； （４）犪３＝－犪３． ４８ !"#$%&’   

帮助家庭记录一个月 （或一周）的生活收支账目，收入记为正数，支 出记为负数，计算当月 （周）的总收入、总支出、总结余以及每日平均支 出等数据． 妥善保存账目，作为日后家庭理财的参考资料． 

熟悉你所用的计算器有关有理数运算的功能和操作方法，对于包含乘 方、乘除与加减运算的算式，考虑怎样操作计算器最简便，实习这样的操 作，并与同学进行交流． 

收集现实生活中你认为非常大的数据的实例，体会科学记数法和近似 数等在实际中的应用． ４９ !"#$%&’小 结 一、本章知识结构图 



 



        



 



 



  



二、回顾与思考 本章我们认识了负数，使数的范围扩充到有理数．引入负数不仅可以表示 具有相反意义的量，而且还拓展了减法运算的范围．由此，类似于狓＋２＝１的 方程就可以解了． 我们知道，有理数是整数与分数的统称．由于整数可以看成是分母为１的分数， 狆 狆 因此有理数可以写成 （狆，狇是整数，狇≠０）的形式；另一方面，形如 （狆，狇是 狇 狇 狆 整数，狇≠０）的数都是有理数．所以，有理数可用 （狆，狇是整数，狇≠０）表示． 狇 本章我们研究了有理数的加、减、乘、除和乘方运算．实际上，与负数有 关的运算，我们都借助绝对值，将它们转化为正数之间的运算．数轴不仅能直 观表示数，而且还能帮助我们理解数的运算．在运算的过程中，数形结合、转 化是很重要的思想方法． 我们从具体数的加法和乘法中，归纳出了交换律、结合律和分配律等运算 律．运算律不仅能给数的运算带来方便，而且还是今后研究代数问题 （如解方 程、不等式等）的基础． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．你能举出一些实例，说明正数、负数在表示相反意义的量时的作用吗？ ２．你能用一个图表示有理数的分类吗？引入负数后，减法中哪些原来不 能进行的运算可以进行了？ ３．怎样用数轴表示有理数？数轴与普通直线有什么不同？怎样利用数轴 ５０ !"#$%&’解释一个数的绝对值和相反数？ ４．有理数的加法与减法、乘法与除法各有什么关系？有理数的混合运算 都能转化为加法与乘法运算吗？ ５．有理数有哪些运算律？结合例子说明运算律在有理数运算中的作用． 复习题７  １．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用 “＜”号把这些数连接起来： １ ３．５，－３．５，０，２，－２，－１．６，－ ，０．５． ３ ２．已知狓是整数，并且－３＜狓＜４，在数轴上表示狓可能取的所有数值． ２ ３．设犪＝－２，犫＝－ ，犮＝５．５，分别写出犪，犫，犮的绝对值、相反数和倒数． ３ ４．互为相反数的两数的和是多少？互为倒数的两数的积是多少？ ５．计算： （１）－１５０＋２５０； （２）－１５＋（－２３）； （３）－５－６５； （４）－２６－（－１５）； １ （５）－６×（－１６）； （６）－ ×２７； ３ （ ） ２ （７）８÷（－１６）； （８）－２５÷ － ； ３ （９）（－０．０２）×（－２０）×（－５）×４．５； （ ） １ （１０）（－６．５）×（－２）÷ － ÷（－５）； ３ （ ） １ （１１）６＋ － －２－（－１．５）； （１２）－６６×４－（－２．５）÷（－０．１）； ５ （１３）（－２）２×５－（－２）３÷４； （１４）－（３－５）＋３２×（１－３）． ６．用四舍五入法，按括号内的要求，对下列各数取近似值： （１）２４５．６３５（精确到０．１）； （２）１７５．６５（精确到个位）； （３）１２．００４（精确到百分位）； （４）６．５３７８（精确到０．０１）． ７．把下列各数用科学记数法表示： （１）１００００００００； （２）－４５０００００； （３）６９２４００００００００． ８．计算： （１）－２－｜－３｜； （２）｜－２－（－３）｜． ５１ !"#$%&’ ９．下列各数是１０名学生的数学考试成绩： ８２，８３，７８，６６，９５，７５，５６，９３，８２，８１． 先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估值能力． １０．犪，犫是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把犪，－犪，犫，－犫按 照从小到大的顺序排列，正确的是 （ ）． （Ａ）－犫＜－犪＜犪＜犫 （Ｂ）－犪＜－犫＜犪＜犫 a 0 b （Ｃ）－犫＜犪＜－犪＜犫 （Ｄ）－犫＜犫＜－犪＜犪 （第１０题） １１．某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表 （盈余为 正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 －２７．８ －７０．３ ２００ １３８．１ －８ １８８ ４５８ 表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六 是盈还是亏？盈亏是多少？ １２．当温度每上升１℃时，某种金属丝伸长０．００２ｍｍ．反之，当温度每下降１℃ 时，金属丝缩短０．００２ｍｍ．把１５℃的这种金属丝加热到６０℃，再使它冷却降 温到５℃，金属丝的长度经历了怎样的变化？最后的长度比原长度伸长多少？ １３．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，１个天文单位是地球与太阳之间的平 均距离，即１．４９６０亿ｋｍ．试用科学记数法表示１个天文单位是多少千米．   １４．结合具体的数的运算，归纳有关特例，然后比较下列数的大小： （１）小于１的正数犪，犪的平方，犪的立方； （２）大于－１的负数犫，犫的平方，犫的立方． １５．结合具体的数，通过特例进行归纳，然后判断下列说法的对错．认为对，说明 理由；认为错，举出反例． （１）任何数都不等于它的相反数； （２）互为相反数的两个数的同一偶数次方相等； （３）如果犪大于犫，那么犪的倒数小于犫的倒数． １６．用计算器计算下列各式，将结果写在横线上： １×１＝ ； １１×１１＝ ； １１１×１１１＝ ； １１１１×１１１１＝ ． （１）你发现了什么？ （２）不用计算器，你能直接写出１１１１１１１１１×１１１１１１１１１的结果吗？ ５２ !"#$%&’第八章 整式的加减 青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段 很长的冻土地段．列车在冻土地段、非冻土地段 的行驶速度分别是１００ｋｍ／ｈ和１２０ｋｍ／ｈ，请根据 这些数据回答下列问题： （１）列车在冻土地段行驶时，２ｈ行驶的路程 是多少？３ｈ呢？狋ｈ呢？ （２）在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地 段所需时间是通过冻土地段所需时间的２．１倍，如 果通过冻土地段需要狋ｈ，能用含狋的式子表示这 段铁路的全长吗？ （３）在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地 段比通过非冻土地段多用０．５ｈ，如果通过冻土地 段需要狌ｈ，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻 土地段与非冻土地段相差多少千米？ 在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字 母或含有字母的式子表示数和数量关系，这样的式子 在数学中有重要作用．在本章，我们将学习整式及其 加减运算，进一步认识含有字母的数学式子，并为一 元一次方程等后续内容的学习打下基础． １００狋＋１２０×２．１狋＝？ 西宁 格尔木 拉萨 １００狌＋１２０（狌－０．５）＝？ １００狌－１２０（狌－０．５）＝？８．１ 整式 我们来看本章引言中的问题 （１）． 列车在冻土地段的行驶速度是１００ｋｍ／ｈ，根 据速度、时间和路程之间的关系 路程＝速度×时间， 列车２ｈ行驶的路程 （单位：ｋｍ）是 在含有字母的式 １００×２＝２００， 子中如果出现乘号， ３ｈ行驶的路程 （单位：ｋｍ）是 通常将乘号写作 “·” １００×３＝３００， 或省略不写．例如， 狋ｈ行驶的路程 （单位：ｋｍ）是 １００×狋可 以 写 成 １００×狋＝１００狋． ① １００·狋或１００狋． 在式子①中，我们用字母狋表示时间，用含 有字母狋的式子１００狋表示路程． 下面，我们再来看几个用含有字母的式子表 示数量关系的问题． 例１ （１）苹果原价是每千克狆元，按８折优惠出售，用式子表示 现价； （２）某产品前年的产量是狀件，去年的产量是前年产量的犿倍，用式子 表示去年的产量； （３）一个长方体包装盒的长和宽都是犪ｃｍ，高是犺ｃｍ，用式子表示它的 体积； （４）用式子表示数狀的相反数． 解：（１）现价是每千克０．８狆元； （２）去年的产量是犿狀件； （３）由长方体的体积＝长×宽×高，得这个长方体包装盒的体积是 犪·犪·犺ｃｍ３ ，即犪２犺ｃｍ３ ； （４）数狀的相反数是－狀． ５４ !(#$)*+,-例２ （１）一条河的水流速度是２．５ｋｍ／ｈ，船在静水中的速度是狏ｋｍ／ｈ， 用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度； （２）买一个篮球需要狓元，买一个排球需要狔元，买一个足球需要狕元， 用式子表示买３个篮球、５个排球、２个足球共需要的钱数； （３）如图８．１１ （图中长度单位：ｃｍ），用式子表示三角尺的面积； !(#$)*+,- a r b x x 4 x 2 3 2 3 图８．１１ 图８．１２ （４）图８．１２是一所住宅的建筑平面图 （图中长度单位：ｍ），用式子表 示这所住宅的建筑面积． 分析：（１）船在河流中行驶时，船的速度需要分两种情况讨论： 顺水行驶时，船的速度＝船在静水中的速度＋水流速度； 逆水行驶时，船的速度＝船在静水中的速度－水流速度． 解：（１）船在这条河中顺水行驶的速度是 （狏＋２．５）ｋｍ／ｈ，逆水行驶的 速度是 （狏－２．５）ｋｍ／ｈ． （２）买３个篮球、５个排球、２个足球共需要 （３狓＋５狔＋２狕）元． （３）三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积．根据图中的数 １ 据，得三角形的面积是 犪犫ｃｍ２ ，圆的面积是π狉２ｃｍ２．因此三角尺的面积 ２ １ （单位：ｃｍ２ ）是 犪犫－π狉２． ２ （４）住宅的建筑面积等于四个长方形面积的和．根据图中标出的尺寸，可 得这所住宅的建筑面积 （单位：ｍ２ ）是狓２＋２狓＋１８． 从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可 以用式子把数量关系简明地表示出来． ５５１．某种商品每袋４．８元，在一个月内的销售量是犿袋，用式子表示在这个月内销 售这种商品的收入． ２．圆柱体的底面半径、高分别是狉，犺，用式子表示圆柱体的体积． ３．有两片棉田，一片有犿ｈｍ２ （公顷，１ｈｍ２＝１０４ｍ２），平均每公顷产棉花犪ｋｇ；另一 片有狀ｈｍ２，平均每公顷产棉花犫ｋｇ，用式子表示两片棉田上棉花的总产量． ４．在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方形的边长是犪ｍｍ，小 正方形的边长是犫ｍｍ，用式子表示剩余部分的面积．  我们来看引言与例１中的式子 １００狋，０．８狆，犿狀，犪２犺，－狀， 这些式子有什么特点？ 这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式 （ｍｏｎｏｍｉａｌ）．单 独的一个数或一个字母也是单项式． 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 （ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ）．例如，单项式 １００狋，犪２犺，－狀的系数分别是１００，１，－１．单项 式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面． 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这 个单项式的次数 （ｄｅｇｒｅｅｏｆａｍｏｎｏｍｉａｌ）．例如， 在单项式１００狋中，字母狋的指数是１，１００狋的次 对于单独一个非零 的数，规定它的次数为０． 数是１；在单项式犪２犺中，字母犪与犺的指数的和 是３，犪２犺的次数是３． 例３ 用单项式填空，并指出它们的系数和次数： （１）每包书有１２册，狀包书有 册； （２）底边长为犪ｃｍ，高为犺ｃｍ的三角形的面积是 ｃｍ２ ； （３）棱长为犪ｃｍ的正方体的体积是 ｃｍ３ ； （４）一台电视机原价犫元，现按原价的９折出售，这台电视机现在的售价 是 元； ５６ !(#$)*+,-（５）一个长方形的长是０．９ｍ，宽是犫ｍ，这个长方形的面积是 ｍ２． 解：（１）１２狀，它的系数是１２，次数是１； １ １ （２） 犪犺，它的系数是 ，次数是２； ２ ２ （３）犪３ ，它的系数是１，次数是３； （４）０．９犫，它的系数是０．９，次数是１； （５）０．９犫，它的系数是０．９，次数是１． 用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义．例如，在例３的第 （４）（５）小题中，０．９犫既可以表示电视机的售价，又可以表示长方形的面积， 当然它还可以表示更多的含义，你能赋予０．９犫一个含义吗？ １．填表： ２狏狋 单项式 ２犪２ －１．２犺 狓狔２ －狋２ － ３ 系数 次数 ２．填空： （１）全校学生总数是狓，其中女生人数占总数的４８％，则女生人数是 ， 男生人数是 ； （２）一辆长途汽车从杨柳村出发，３ｈ后到达距出发地狊ｋｍ的溪河镇，这辆长 途汽车的平均速度是 ｋｍ／ｈ； （３）产量由犿ｋｇ增长１０％，就达到 ｋｇ．  我们来看例２中的式子 １ 狏＋２．５，狏－２．５，３狓＋５狔＋２狕， 犪犫－π狉２ ，狓２＋２狓＋１８， ２ 这些式子有什么特点？ ５７ !(#$)*+,-这些式子都可以看作几个单项式的和．例如，狏－２．５可以看作单项式狏 与－２．５的和；狓２＋２狓＋１８可以看作单项式狓２ ，２狓与１８的和． 像这样，几个单项式的和叫做多项式 （ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ）．其中，每个单项式 叫做多项式的项 （ｔｅｒｍ），不含字母的项叫做常数项 （ｃｏｎｓｔａｎｔｔｅｒｍ）．例如， 多项式狏－２．５的项是狏与－２．５，其中－２．５是常数项；多项式狓２＋２狓＋１８ 的项是狓２ ，２狓与１８，其中１８是常数项． 多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多 项式的次数 （ｄｅｇｒｅｅｏｆａｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ）．例如，多 狏＋２．５，３狓＋ 项式狏－２．５中次数最高项是一次项狏，这个多项 １ ５狔＋２狕， 犪犫－π狉２ ２ 式的次数是１；多项式狓２＋２狓＋１８中次数最高项 的项分别是什么？次 是二次项狓２ ，这个多项式的次数是２． 数分别是多少？ 单项式与多项式统称整式 （ｉｎｔｅｇｒａｌｅｘｐｒｅｓ ｓｉｏｎ）．例如，上面见到的单项式１００狋，０．８狆， １ 犿狀，犪２犺，－狀，以及多项式狏＋２．５，狏－２．５，３狓＋５狔＋２狕， 犪犫－π狉２ ，狓２＋ ２ ２狓＋１８等都是整式． 例４ 如图８．１３，用式子表示圆环的面积．当 犚＝１５ｃｍ，狉＝１０ｃｍ时，求圆环的面积 （π取３．１４）． r 解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的 R 面积，所以圆环的面积是π犚２－π狉２． 当犚＝１５ｃｍ，狉＝１０ｃｍ时，圆环的面积 （单 图８．１３ 位：ｃｍ２ ）是 π犚２－π狉２＝３．１４×１５２－３．１４×１０２ ＝３９２．５． 这个圆环的面积是３９２．５ｃｍ２． １．填空： （１）犪，犫分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长犾＝ ，面积犛＝ ，当犪＝２ｃｍ，犫＝３ｃｍ时，犾＝ ｃｍ，犛＝ ｃｍ２； （２）犪，犫分别表示梯形的上底和下底，犺表示梯形的高，则梯形的面积犛＝ ５８ !(#$)*+,-x !(#$)*+,- (cid:0)2 3 (cid:0)x ，当犪＝２ｃｍ，犫＝４ｃｍ，犺＝５ｃｍ时，犛＝ ｃｍ２． ２．用整式填空，指出单项式的次数以及多项式的次数和项： （１）每袋大米５ｋｇ，狓袋大米 （ ）ｋｇ； （２）如图 （图中长度单位：ｍ），阴影部分的面积是 （ ）ｍ２； （３）体重由狓ｋｇ增加２ｋｇ后是 （ ）ｋｇ． （第２（２）题） 习题８．１  １．列式表示： （１）棱长为犪ｃｍ的正方体的表面积． （２）每件犪元的上衣，降价２０％后的售价是多少元？ （３）一辆汽车的行驶速度是狏ｋｍ／ｈ，狋ｈ行驶多少千米？ （４）长方形绿地的长、宽分别是犪ｍ，犫ｍ，如果长增加狓ｍ，新增加的绿地面积 是多少平方米？ ２．列式表示： （１）温度由狋℃上升５℃后是多少？ （２）两车同时、同地、同向出发，快车行驶速度是狓ｋｍ／ｈ， 慢车行驶速度是狔ｋｍ／ｈ，３ｈ后两车相距多少千米？ r （３）某种苹果的售价是每千克狓元 （狓＜１０），用５０元买５ｋｇ R 这种苹果，应找回多少钱？ a （４）如图 （图中长度单位：ｃｍ），钢管的体积是多少？ （第２（４）题） ３．填表： 整式 －１５犪犫 ４犪２犫２ ３狓２狔 ４狓２－３ 犪４－２犪２犫２＋犫４ ５ 系数 次数 项  ４．测得一种树苗的高度与树苗生长的年数的有关数据如下页表 （树苗原高１００ｃｍ）： ５９年数 高度／ｃｍ １ １００＋５ ２ １００＋１０ ３ １００＋１５ ４ １００＋２０ …… …… 前四年树苗高度的变化与年数有什么关系？假设以后各年树苗高度的变化与年数 保持上述关系，用式子表示生长了狀年的树苗的高度． ５．礼堂第１排有犪个座位，后面每排都比前一排多一个座位．第２排有多少个座位？ 第３排呢？用式子表示第狀排的座位数．如果第１排有２０个座位，计算第１９排 的座位数． a !(#$)*+,- (cid:0)a ６．一块三角尺的形状和尺寸如图所示．如果圆孔的半 径是狉，三角尺的厚度是犺，用式子表示这块三角尺 的体积犞．若犪＝６ｃｍ，狉＝０．５ｃｍ，犺＝０．２ｃｍ，求 犞的值 （π取３）． （第６题）   ７．设狀表示任意一个整数，用含狀的式子表示： （１）任意一个偶数； （２）任意一个奇数． ８．３个球队进行单循环比赛 （参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），总 的比赛场数是多少？４个队呢？５个队呢？狀个队呢？ ９．对于密码Ｌｄｐｄｖｗｘｇｈｑｗ，你能看出它代表什么意 思吗？如果给你一把破译它的 “钥匙”狓－３，联想 x-3 英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它． 英语字母表中字母是按以下顺序排列的： ａｂｃｄｅｆｇｈｉｊｋｌｍｎｏｐｑｒｓｔｕｖｗｘｙｚ 如果规定ａ又接在ｚ的后面，使２６个字母排成圈， 并能想到狓－３可以代表 “把一个字母换成字母表中 从它向前移动３位的字母”，按这个规律就有 （第９题） Ｌｄｐｄｖｗｘｇｈｑｗ→Ｉａｍａｓｔｕｄｅｎｔ． 这样你就能解读它的意思了． 为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的 “钥匙”．上面 的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为 “钥匙”的式子狓－３的含义， 那么他们就可以用一种保密方式通信了．你和同伴不妨也利用数学式子来制定一 种类似的 “钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信． ６０  数字１与字母Ｘ的对话 １：数学是由数产生的，数才是数学王国的真正主人． Ｘ：我是字母，我虽然不是具体的数，但是可以表示各种各样的数，我可以代表你１， 也可以代表其他数． １：由我们数组成的式子有确切的大小．例如，人们一见到１＋２就知道是１与２的 和，即３．你们字母能这样做吗？ Ｘ：有我们字母的式子进行运算和推理时具有一般性．例如，狓＋狔可以表示任何两 个数的和，包括１＋２．狓＋狔＝狔＋狓能表示任何两数相加时都可以交换顺序，即加法交 换律． １：人们解决实际问题时，必须根据已知的具体数字进行计算．而字母有什么用呢？ Ｘ：在解决实际问题时，用字母表示未知数，把字母列入算式 （方程），能更方便地 表示数量关系．数和字母一起运算会使问题的解法更简单． １：数是人们经过长期实践创造出来的，并建立了专门研究数及其运算的学科———算 术，你们字母行吗？ Ｘ：随着实践的发展，人们发现只有算术还不够，用字母表示数会起到更大的作用， 于是产生了代数这门学科．它首要研究的就是用字母表示的式子的运算法则和方程的解 法．从算术发展到代数是数学的一大进步． １：算术几乎是伴随着人类社会活动的产生和发展而逐渐形成的，它有着非常悠久的 历史，代数有怎样的历史呢？ Ｘ：代数的历史可以追溯到约３８００年前的古埃及和古巴比伦时期，那时就有了代数 的萌芽．到了公元３世纪，代数在希腊获得显著的发展，其代表人物是被誉为代数学鼻祖 的丢番图．之后，印度的代数发展很快．同时，阿拉伯地区的代数研究取得很大进展，其 中著名的代表作是数学家阿尔花拉子米于公元８２０年左右发表的 《代数学》（这本书的拉 丁文译本取名为 《对消与还原》），这本书第一次提出了这门学科的名称． ６１ !(#$)*+,-８．２ 整式的加减 我们来看本章引言中的问题 （２）． 在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是狋ｈ，那么它通过非 冻土地段的时间是２．１狋ｈ，这段铁路的全长 （单位：ｋｍ）是 １００狋＋１２０×２．１狋， 即 １００狋＋２５２狋． 类比数的运算，我们应如何化简式子１００狋＋２５２狋呢？  （１）运用运算律计算： １００×２＋２５２×２＝ ， １００×（－２）＋２５２×（－２）＝ ； （２）根据 （１）中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理： １００狋＋２５２狋＝ ． 在（１）中，我们知道，根据分配律可得 １００×２＋２５２×２＝（１００＋２５２）×２＝３５２×２， １００×（－２）＋２５２×（－２）＝（１００＋２５２）×（－２）＝３５２×（－２）． 在（２）中，式子１００狋＋２５２狋表示１００狋与２５２狋两项的和．式子 １００狋＋２５２狋 与（１）中的式子 １００×２＋２５２×２ 和 １００×（－２）＋２５２×（－２） 有相同的结构，并且字母狋代表的是一个因 （乘）数，因此根据分配律也应 该有 １００狋＋２５２狋＝（１００＋２５２）狋＝３５２狋． ６２ !(#$)*+,- 填空： （１）１００狋－２５２狋＝（ ）狋； （２）３狓２＋２狓２＝（ ）狓２ ； （３）３犪犫２－４犪犫２＝（ ）犪犫２． 上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？ 对于上面的 （１）（２）（３），利用分配律可得 １００狋－２５２狋＝（１００－２５２）狋＝－１５２狋， 注意分配律的 ３狓２＋２狓２＝（３＋２）狓２＝５狓２ ， 使用： ３犪犫２－４犪犫２＝（３－４）犪犫２＝－犪犫２． １００狋－２５２狋 观察（１）中的多项式的项１００狋和－２５２狋，它们 ＝［１００＋（－２５２）］狋 含有相同的字母狋，并且狋的指数都是１；（２）中的 ＝（１００－２５２）狋． 多项式的项３狓２ 和２狓２ ，含有相同的字母狓，并且 狓的指数都是２；（３）中的多项式的项３犪犫２ 与 －４犪犫２ ，都含有字母犪，犫，并且犪的指数都是１，犫 的指数都是２．像１００狋与－２５２狋，３狓２ 与２狓２ ，３犪犫２ 与 －４犪犫２ 这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也 相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 因为多项式中的字母表示的是数，所以我们 也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中 的同类项进行合并．例如， 通常我们把一个 多项式的各项按照某 ４狓２＋２狓＋７＋３狓－８狓２－２ 个字母的指数从大到 ＝４狓２－８狓２＋２狓＋３狓＋７－２ （交换律） 小 （降幂）或者从小 ＝（４狓２－８狓２ ）＋（２狓＋３狓）＋（７－２） （结合律） 到大 （升幂）的顺序 ＝（４－８）狓２＋（２＋３）狓＋（７－２） （分配律） 排列，如－４狓２＋５狓＋ ５ 也 可 以 写 成 ５＋ ＝－４狓２＋５狓＋５． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同 ５狓－４狓２． 类项． 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同 类项的系数的和，且字母连同它的指数不变． ６３ !(#$)*+,-例１ 合并下列各式的同类项： １ （１）狓狔２－ 狓狔２ ； ５ （２）－３狓２狔＋２狓２狔＋３狓狔２－２狓狔２ ； （３）４犪２＋３犫２＋２犪犫－４犪２－４犫２． （ ） １ １ ４ 解：（１）狓狔２－ 狓狔２＝ １－ 狓狔２＝ 狓狔２ ； ５ ５ ５ （２） －３狓２狔＋２狓２狔＋３狓狔２－２狓狔２ ＝（－３＋２）狓２狔＋（３－２）狓狔２ ＝－狓２狔＋狓狔２ ； （３） ４犪２＋３犫２＋２犪犫－４犪２－４犫２ ＝（４犪２－４犪２ ）＋（３犫２－４犫２ ）＋２犪犫 ＝（４－４）犪２＋（３－４）犫２＋２犪犫 ＝－犫２＋２犪犫． １ 例２ （１）求多项式２狓２－５狓＋狓２＋４狓－３狓２－２的值，其中狓＝ ； ２ １ １ １ （２）求多项式３犪＋犪犫犮－ 犮２－３犪＋ 犮２ 的值，其中犪＝－ ，犫＝２，犮＝－３． ３ ３ ６ 分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求 值，这样做往往可以简化计算． 解：（１） ２狓２－５狓＋狓２＋４狓－３狓２－２ ＝（２＋１－３）狓２＋（－５＋４）狓－２ ＝－狓－２． １ １ ５ 当狓＝ 时，原式＝－ －２＝－ ． ２ ２ ２ 请你把字母的 １ １ 值直接代入原式求 （２） ３犪＋犪犫犮－ 犮２－３犪＋ 犮２ ３ ３ 值．与例２的运算 （ ） １ １ 过程比较，哪种方 ＝（３－３）犪＋犪犫犮＋ － ＋ 犮２ ３ ３ 法更简便？ ＝犪犫犮． １ 当犪＝－ ，犫＝２，犮＝－３时，原式＝ ６ （ ） １ － ×２×（－３）＝１． ６ ６４ !(#$)*+,-例３ （１）水库水位第一天连续下降了犪ｈ，每小时平均下降２ｃｍ；第 二天连续上升了犪ｈ，每小时平均上升０．５ｃｍ，这两天水位总的变化情况 如何？ （２）某商店原有５袋大米，每袋大米为狓ｋｇ．上午卖出３袋，下午又购进 同样包装的大米４袋．进货后这个商店有大米多少千克？ 解：（１）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正．第一天 水位的变化量是－２犪ｃｍ，第二天水位的变化量是０．５犪ｃｍ． 两天水位的总变化量 （单位：ｃｍ）是 －２犪＋０．５犪＝（－２＋０．５）犪＝－１．５犪． 这两天水位总的变化情况为下降了１．５犪ｃｍ． （２）把进货的数量记为正，售出的数量记为负． 进货后这个商店共有大米 （单位：ｋｇ） ５狓－３狓＋４狓＝（５－３＋４）狓＝６狓． １．计算： （１）１２狓－２０狓； （２）狓＋７狓－５狓； １ ２ （３）－５犪＋０．３犪－２．７犪； （４） 狔－ 狔＋２狔； ３ ３ （５）－６犪犫＋犫犪＋８犪犫； （６）１０狔２－０．５狔２． ２．求下列各式的值： （１）３犪＋２犫－５犪－犫，其中犪＝－２，犫＝１； （２）３狓－４狓２＋７－３狓＋２狓２＋１，其中狓＝－３． ３．（１）狓的４倍与狓的５倍的和是多少？ （２）狓的３倍比狓的一半大多少？ R ４ ４．如图，大圆的半径是犚，小圆的面积是大圆面积的 ， ９ 求阴影部分的面积． （第４题） 现在我们来看本章引言中的问题（３）． 在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段需要狌ｈ，那么它通过非冻 土地段的时间是（狌－０．５）ｈ．于是，冻土地段的路程是１００狌ｋｍ，非冻土地段 的路程是１２０（狌－０．５）ｋｍ．因此，这段铁路的全长 （单位：ｋｍ）是 ６５ !(#$)*+,-１００狌＋１２０（狌－０．５）， ① 冻土地段与非冻土地段相差 （单位：ｋｍ） １００狌－１２０（狌－０．５）． ② 上面的式子①②都带有括号．类比数的运算，它们应如何化简？ 利用分配律，可以去括号，再合并同类项，得 １００狌＋１２０（狌－０．５）＝１００狌＋１２０狌－６０＝２２０狌－６０， １００狌－１２０（狌－０．５）＝１００狌－１２０狌＋６０＝－２０狌＋６０． 上面两式中 ＋１２０（狌－０．５）＝＋１２０狌－６０， ③ －１２０（狌－０．５）＝－１２０狌＋６０． ④ 比较上面③④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？ 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符 号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符 号相反． 特别地，＋（狓－３）与－（狓－３）可以分别看作１与－１分别乘 （狓－３）． 利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得 ＋（狓－３）＝狓－３， －（狓－３）＝－狓＋３． 这也符合以上发现的去括号规律． 我们可以利用上面的去括号规律进行整式化简． 例４ 化简下列各式： （１）８犪＋２犫＋（５犪－犫）； （２）（５犪－３犫）－３（犪２－２犫）． 解：（１） ８犪＋２犫＋（５犪－犫） ＝８犪＋２犫＋５犪－犫 ＝１３犪＋犫； （２） （５犪－３犫）－３（犪２－２犫） ＝５犪－３犫－（３犪２－６犫） ＝５犪－３犫－３犪２＋６犫 ＝－３犪２＋５犪＋３犫． ６６ !(#$)*+,-例５ 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在 静水中的速度都是５０ｋｍ／ｈ，水流速度是犪ｋｍ／ｈ． （１）２ｈ后两船相距多远？ （２）２ｈ后甲船比乙船多航行多少千米？ 解：顺水航速＝船速＋水速＝（５０＋犪）ｋｍ／ｈ， 逆水航速＝船速－水速＝（５０－犪）ｋｍ／ｈ． （１）２ｈ后两船相距 （单位：ｋｍ） ２（５０＋犪）＋２（５０－犪）＝１００＋２犪＋１００－２犪＝２００． （２）２ｈ后甲船比乙船多航行 （单位：ｋｍ） ２（５０＋犪）－２（５０－犪）＝１００＋２犪－１００＋２犪＝４犪． １．化简： （ ） １ （１）１２（狓－０．５）； （２）－５１－ 狓； ５ １ （３）－５犪＋（３犪－２）－（３犪－７）； （４） （９狔－３）＋２（狔＋１）． ３ ２．飞机的无风航速为犪ｋｍ／ｈ，风速为２０ｋｍ／ｈ．飞机顺风飞行４ｈ的行程是多少？ 飞机逆风飞行３ｈ的行程是多少？两个行程相差多少？ 上面研究了合并同类项、去括号等内容，它们是进行整式加减运算的基础． 例６ 计算： （１）（２狓－３狔）＋（５狓＋４狔）； （２）（８犪－７犫）－（４犪－５犫）． 分析：第 （１）题是计算多项式２狓－３狔和５狓＋４狔的和；第 （２）题是计 算多项式８犪－７犫和４犪－５犫的差． 解：（１） （２狓－３狔）＋（５狓＋４狔） ＝２狓－３狔＋５狓＋４狔 ＝７狓＋狔； （２） （８犪－７犫）－（４犪－５犫） ＝８犪－７犫－４犪＋５犫 ＝４犪－２犫． ６７ !(#$)*+,-例７ 笔记本的单价是狓元，圆珠笔的单价是狔元．小红买３本笔记本，２ 支圆珠笔；小明买４本笔记本，３支圆珠笔．买这些笔记本和圆珠笔，小红和 小明一共花费多少钱？ 解法１：小红买笔记本和圆珠笔共花费（３狓＋２狔）元，小明买笔记本和圆珠 笔共花费（４狓＋３狔）元． 小红和小明一共花费 （单位：元） （３狓＋２狔）＋（４狓＋３狔） ＝３狓＋２狔＋４狓＋３狔 ＝７狓＋５狔． 解法２：小红和小明买笔记本共花费（３狓＋４狓）元，买圆珠笔共花费（２狔＋ ３狔）元． 小红和小明一共花费 （单位：元） （３狓＋４狓）＋（２狔＋３狔） ＝７狓＋５狔． 例８ 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下 （单位：ｃｍ）： 长 宽 高 小纸盒 犪 犫 犮 大纸盒 １．５犪 ２犫 ２犮 （１）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？ （２）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？ 解：小纸盒的表面积是 （２犪犫＋２犫犮＋２犮犪）ｃｍ２ ， 大纸盒的表面积是 （６犪犫＋８犫犮＋６犮犪）ｃｍ２． （１）做这两个纸盒共用料 （单位：ｃｍ２ ） （２犪犫＋２犫犮＋２犮犪）＋（６犪犫＋８犫犮＋６犮犪） ＝２犪犫＋２犫犮＋２犮犪＋６犪犫＋８犫犮＋６犮犪 ＝８犪犫＋１０犫犮＋８犮犪． （２）做大纸盒比做小纸盒多用料 （单位：ｃｍ２ ） （６犪犫＋８犫犮＋６犮犪）－（２犪犫＋２犫犮＋２犮犪） ＝６犪犫＋８犫犮＋６犮犪－２犪犫－２犫犮－２犮犪 ＝４犪犫＋６犫犮＋４犮犪． ６８ !(#$)*+,-通过上面的学习，我们可以得到整式加减的运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． （ ） （ ） １ １ ３ １ ２ 例９ 求 狓－２狓－ 狔２ ＋ － 狓＋ 狔２ 的值，其中狓＝－２，狔＝ ． ２ ３ ２ ３ ３ （ ） （ ） １ １ ３ １ 解： 狓－２狓－ 狔２ ＋ － 狓＋ 狔２ ２ ３ ２ ３ １ ２ ３ １ ＝ 狓－２狓＋ 狔２－ 狓＋ 狔２ ２ ３ ２ ３ ＝－３狓＋狔２． 先将式子化简， 再代入数值进行计算 ２ 当狓＝－２，狔＝ 时， ３ 比较简便． （ ） 原式＝（－３）×（－２）＋ ２ ２ ＝６＋ ４ ＝６ ４ ． ３ ９ ９ １．计算： （ ） １ １ １ ２ （１）３狓狔－４狓狔－（－２狓狔）； （２）－ 犪犫－ 犪２＋ 犪２－ － 犪犫． ３ ４ ３ ３ ２．计算： （１）（－狓＋２狓２＋５）＋（４狓２－３－６狓）； （２）（３犪２－犪犫＋７）－（－４犪２＋２犪犫＋７）． ３．先化简下式，再求值： ５（３犪２犫－犪犫２）－（犪犫２＋３犪２犫）， １ １ 其中犪＝ ，犫＝ ． ２ ３ 习题８．２  １．计算： （１）２狓－１０．３狓； （２）３狓－狓－５狓； （３）－犫＋０．６犫－２．６犫； （４）犿－狀２＋犿－狀２． ２．计算： ６９ !(#$)*+,-（ ） １ （１）２（４狓－０．５）； （２）－３１－ 狓； ６ （３）－狓＋（２狓－２）－（３狓＋５）； （４）３犪２＋犪２－（２犪２－２犪）＋（３犪－犪２）． ３．计算： （１）（５犪＋４犮＋７犫）＋（５犮－３犫－６犪）； （２）（８狓狔－狓２＋狔２）－（狓２－狔２＋８狓狔）； （ ） （ ） １ １ （３） ２狓２－ ＋３狓－４狓－狓２＋ ； （４）３狓２－［７狓－（４狓－３）－２狓２］． ２ ２ ４．先化简下式，再求值： （－狓２＋５＋４狓）＋（５狓－４＋２狓２）， 其中狓＝－２． ５．（１）列式表示比犪的５倍大４的数与比犪的２倍小３的数，计算这两个数 的和； （２）列式表示比狓的７倍大３的数与比狓的６倍小５的数，计算这两个数的差． ６．某村小麦种植面积是犪ｈｍ２，水稻种植面积是小麦种植面积的３倍，玉米种植面 积比小麦种植面积少５ｈｍ２，列式表示水稻种植面积、玉米种植面积，并计算水 稻种植面积比玉米种植面积大多少．  !(#$)*+,- a a ７．窗户的形状如图所示 （图中长度单位：ｃｍ），其 上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形． 已知下部小正方形的边长是犪ｃｍ，计算： （１）窗户的面积； （２）窗户的外框的总长． ８．某轮船顺水航行３ｈ，逆水航行１．５ｈ，已知轮船 在静水中的速度是犪ｋｍ／ｈ，水流速度是狔ｋｍ／ｈ， 轮船共航行多少千米？ ９．观察下图并填表 （单位：ｃｍ）： （第７题） 梯形个数 １ ２ ３ ４ ５ ６ … 狀 图形周长 ５犪 ８犪 １１犪 １４犪 a a 2a （第９题） １０．如下页图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条 “边”（包括两个顶点）有 狀（狀＞１）个点，每个图形总的点数犛是多少？当狀＝５，７，１１时，犛是多少？ ７０n=(cid:0)2(cid:0) n=(cid:0)3(cid:0) n=(cid:0)4(cid:0) n=(cid:0)5(cid:0) （第１０题）   １１．（１）一个两位数的个位上的数是犪，十位上的数是 犫，列式表示这个两位数； （２）列式表示上面的两位数与１０的乘积； （３）列式表示 （１）中的两位数与它的１０倍的和， 这个和是１１的倍数吗？为什么？ １２．１０个棱长为犪ｃｍ的正方体摆放成如图的形状，这 （第１２题） 个图形的表面积是多少？   电子表格与数据计算 用计算机可以制作电子表格 （ｓｐｒｅａｄ ｓｈｅｅｔ）．电子表格 （如右图）通常由一些行 和列组成，行用数字１，２，３，…表示，列 用字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示．行和列相交的 部分叫做单元格．单元格用列号和行号表 示，如Ａ２表示Ａ列第２行，列号在前，行 号在后．单元格是电子表格的基本元素，是进行整体操作的最小单位． 利用电子表格可以进行数据计算．例如，计算当狓＝１６３，狔＝２３５时式子２狓２＋３狔的 值，我们可以在上面的电子表格中，分别在单元格Ａ１和Ｂ１中输入１６３和２３５（即狓和狔 的值），然后在Ｃ１中输入 “＝Ａ１＾２ !(#$)*+,-  ２＋Ｂ１  ３”（“＾”表示乘方，“  ”表示乘号），计 算机就会算出２狓２＋３狔的值，并自动填入Ｃ１．类似地，在上面的电子表格中，在单元格 Ａ２和Ｂ２分别输入１７２和３４７，在Ｃ２输入 “＝Ａ２＾２  ２＋Ｂ２  ３”，计算机就会算出当狓 ＝１７２，狔＝３４７时式子２狓２＋３狔的值，并放入Ｃ２中． 电子表格操作简单、功能强大，可以有效地进行数据计算和数据处理．在复杂的统计 问题中，电子表格的作用可以得到充分的发挥． ７１   

（１）如图１所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形 中含有２，３或４个三角形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有狀 个三角形，需要多少根火柴棍？ 图１ （２）如图２所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第１个正方形需 要４个小正方形，拼第２个正方形需要９个小正方形……拼一拼，想一想，按照 这样的方法拼成的第狀个正方形比第 （狀－１）个正方形多几个小正方形？ 图２ 

一种笔记本售价是２．３元／本，如果一次买１００本以上 （不含１００ 本），售价是２．２元／本．列式表示买狀本笔记本所需钱数 （注意对狀的大 小要有所考虑）．请同学们讨论下面的问题： （１）按照这种售价规定，会不会出现多买比少买反而付钱少的情况？ （２）如果需要１００本笔记本，怎样购买能省钱？ （３）了解实际生活中类似问题，并举出几个具体例子． ７２ !(#$)*+,-

图３是某月的月历． １ ２ ３ ４ ５ ６ （１）带阴影的方框中的９个数的和与方 ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ 框正中心的数有什么关系？ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ （２）如果将带阴影的方框移至图４的位 ２１ ２２ ２３ ２４ ２５ ２６ ２７ 置，（１）中的关系还成立吗？ ２８ ２９ ３０ ３１ （３）不改变带阴影的方框的大小，将方 图３ 框移动几个位置试一试，你能得出什么结 １ ２ ３ ４ ５ ６ 论？你能证明这个结论吗？ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ （４）这个结论对于任何一个月的月历都 １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４ ２５ ２６ ２７ 成立吗？ ２８ ２９ ３０ ３１ （５）如图５，如果带阴影的方框里的数 是４个，你能得出什么结论？ 图４ （６）如图６，对于带阴影的框中的４个数，又能得出什么结论？ １ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４ ２５ ２６ ２７ ２１ ２２ ２３ ２４ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ３０ ３１ ２８ ２９ ３０ ３１ 图５ 图６ ７３ !(#$)*+,-小 结 一、本章知识结构图 用字母表示数 单项式 合并同类项 列式表示数量关系 整式 整式加减运算 去括号 多项式 二、回顾与思考 本章学习了整式的有关概念与整式的加减运算．由具体的数到用字母表示 数，可以简明地表达一些一般的数量和数量关系，给研究问题和计算带来方 便，这是数学上的一个重大发展． 从数到式，字母参与运算，得到了各种式子．其中表示数或字母的积的式 子叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式．因此，整式可以看作包含乘法或 包含乘法与加法的式子． 整式中的每个字母都表示数，因此，数的一些运算规律也适用于整式．例 如，利用分配律可以合并同类项，去括号，从而可以进行整式的加减运算． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．举出一些用单项式、多项式表示数量关系的实际例子． ２．合并同类项和去括号是整式加减的基础，举例说明合并同类项和去括 号的依据． ３．举例说明整式加减的运算法则． 复习题８  １．列式表示： （１）某地冬季一天的温差是１５℃，这天最低气温是狋℃，最高气温是多少？ （２）买单价犮元的商品狀件要花多少钱？支付１００元，应找回多少元？ （３）某种商品原价每件犫元，第一次降价打 “八折”，第二次降价每件又减１０元， 第一次降价后的售价是多少？第二次降价后的售价是多少？ ７４ !(#$)*+,-（４）３０天中，小张长跑路程累计达到４５０００ｍ，小李跑了犪ｍ （犪＞４５０００），平 均每天小李和小张各跑多少米？平均每天小李比小张多跑多少米？ ２．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项 式的指出项和次数： － １ 犪２犫， 犿４狀２，狓２＋狔２－１，狓，３狓２－狔＋３狓狔３＋狓４－１，３２狋３，２狓－狔． ２ ７ ３．计算： （１）狓２狔－３狓２狔； （２）１０狔２＋０．５狔２； １ １ １ １ （３）－ 犪２犫犮＋ 犮犫犪２； （４） 犿狀－ 犿狀＋７； ２ ２ ４ ３ （５）７犪犫－３犪２犫２＋７＋８犪犫２＋３犪２犫２－３－７犪犫； （６）３狓３－３狓２－狔２＋５狔＋狓２－５狔＋狔２． ４．计算： （１）（４犪３犫－１０犫３）＋（－３犪２犫２＋１０犫３）； （２）（４狓２狔－５狓狔２）－（３狓２狔－４狓狔２）； （３）５犪２－［犪２＋（５犪２－２犪）－２（犪２－３犪）］； （４）１５＋３（１－犪）－（１－犪－犪２）＋（１－犪＋犪２－犪３）； （５）（４犪２犫－３犪犫）＋（－５犪２犫＋２犪犫）； （６）（６犿２－４犿－３）＋（２犿２－４犿＋１）； （７）（５犪２＋２犪－１）－４（３－８犪＋２犪２）； （ ） ［ ］ １ （８）３狓２－ ５狓－ 狓－３ ＋２狓２ ． ２ ５．先化简下式，再求值： ５狓２＋４－３狓２－５狓－２狓２－５＋６狓， 其中，狓＝－３．  ６．（１）体校里男生人数占学生总数的６０％，女生的人数是犪，学生总数是多少？ （２）体校里男生人数是狓，女生人数是狔，教练人数和学生人数的比是１∶１０，教 练人数是多少？ ７．甲地的海拔是犺ｍ，乙地比甲地高２０ｍ，丙地比甲地低３０ｍ，列式表示乙、丙两 地的海拔，并计算这两地的高度差． ８．长方形的长是２狓ｃｍ，宽是４ｃｍ．梯形的上底长是狓ｃｍ，下底长是上底长的 ３倍，高是５ｃｍ．哪个图形的面积大？大多少？ ９．某公园计划砌一个形状如图 （１）的喷水池 （图中长度单位：ｍ），后来有人建议 ７５ !(#$)*+,-改为图 （２）的形状，且外圆的直径不变，请你比较两种方案，确定哪一种方案 砌各圆形水池的周边需要的材料多． （提示：比较两种方案中各圆形水池周长 的和．） r 6 r r r 3 r 2 (1) (2) （第９题） １０．一种商品每件成本犪元，原来按成本增加２２％定出价格，每件售价多少元？现 在由于库存积压减价，按原价的８５％出售，现售价多少元？每件还能盈利多 少元？   １１．用式子表示十位上的数是犪、个位上的数是犫的两位数，再把这个两位数的十位 上的数与个位上的数交换位置，计算所得数与原数的和．这个和能被１１整除吗？ １２．把（犪＋犫）和（狓＋狔）各看成一个整体，对下列各式进行化简： （１）４（犪＋犫）＋２（犪＋犫）－（犪＋犫）； （２）３（狓＋狔）２－７（狓＋狔）＋８（狓＋狔）２＋６（狓＋狔）． ７６ !(#$)*+,-第九章 几何图形初步 现实世界中有形态各异、丰富多彩的图形． 在小学我们学过许多关于图形的知识，在章前图 的建筑中，你能找到一些熟悉的图形吗？ 千姿百态的图形美化了我们的生活空间，也 给我们带来了很多问题：怎样画出一个五角星？ 怎样设计一个产品包装盒？怎样绘制一张校园布 局平面图？不同的图形各有什么特点和性质？所 有这些，都需要我们知道更多的图形知识． 几何就是研究图形的形状、大小和位置关系 的一门学科．本章我们将认识更多的几何图形， 进一步探索直线、线段、角等最基本的几何图形 的性质，了解它们的广泛应用，为今后进一步学 习各种更复杂的几何图形及其性质作好准备． 北京奥林匹克公园占地约１１３５ｈｍ２ ，总建筑面 积约２００万ｍ２ ，内有可容纳９万观众的国家体育场 （鸟巢）、国家游泳中心 （水立方）、国家体育馆等１４ 个比赛场馆． 书书书９．１ 几何图形 从城市宏伟的建筑到乡村简朴的住宅，从四通八达的立交桥到街头巷尾的 交通标志，从古老的剪纸艺术到现代的城市雕塑，从自然界形态各异的动物到 北京的申奥标志 （图９．１１）……图形世界是多姿多彩的！ 图９．１１ 各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质外，还具有形状 （如方 的、圆的等）、大小 （如长度、面积、体积等）和位置关系 （如相交、垂直、 平行等），物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容． 图９．１２ （１）是一个纸盒，它有两个面是正方形，其余各面是长方形． 观察纸盒的外形，从整体上看，它的形状是长方体 （图９．１２ （２））；看不同 侧面，得到的是正方形或长方形 （图９．１２ （３））；只看棱、顶点等局部，得 到的是线段、点 （图９．１２ （４））等．类似地观察罐头、乒乓球的外形，可以 得到圆柱、球、圆等． 纸盒 长方体 正方形 长方形 线段 点 （１） （２） （３） （４） 图９．１２ 长方体、圆柱、球、长 （正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的 三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形 ７８ !"#$%&’()*（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｆｉｇｕｒｅ）．几何图形是数学研究的主要对象之一． ９．１．１ 立体图形与平面图形 有些几何图形 （如长方体、正方体、圆柱、 圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们 是立体图形 （ｓｏｌｉｄｆｉｇｕｒｅ）．棱柱、棱锥也是常见 请再举出一些立 体图形的例子． 的立体图形．图９．１３（１）中的帐篷、茶叶盒等都 给我们以棱柱的形象，图９．１３（２）中的金字塔则 给我们以棱锥的形象．你能再找出一些棱柱、棱 锥的实例吗？       图９．１３  图９．１４中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线 连起来．         图９．１４ ７９ !"#$%&’()*有些几何图形 （如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一 平面内，它们是平面图形 （ｐｌａｎｅｆｉｇｕｒｅ）．  图９．１５的各图中包含哪些简单平面图形？请再举出一些平面图形的 例子． 图９．１５ 虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的． 立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形． １．如图，说出下图中的一些物体的形状所对应的立体图形． （第１题） ２．图中的各立体图形的表面中包含哪些平面图形？试指出这些平面图形在立体图 形中的位置． （第２题） ８０ !"#$%&’()* 书书书对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面 图形来研究和处理．从不同方向看立体图形，往往会 得到不同形状的平面图形．在建筑、工程等设计中， 也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图 形．如图９．１６ （１），这是一个工件的立体图，设计 师们常常画出从不同方向看它得到的平面图形来表示 利用计算机，可以将 它 （图９．１６（２））． 设计图合成立体图形．         （１） （２） 图９．１６  图９．１７是一个由９个正方体组成的立体图 形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各 能得到什么平面图形？ 图９．１７ 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们 的表面适当剪开，可以展开成平面图形．这样的平面  图形称为相应立体图形的展开图 （ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇｄｒａｗ  ｉ 水 的 ｎｇ 瓶 形 ）． 包 状 如 ， 装 图 根 盒 ９ ， 据 ．１ 除 它 ８ 了 的 ， 美 展 要 术 开 设 图 设 计 来 计 、 裁 以 制 剪 外 作 ， 纸 一 还 张 个 要 ． 长 自 了 方 己 解 体 动 它 形 手 展 状 把 开 的墨 一 后  R     
       
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   个包装盒剪开铺平，看看它的展开图由哪些平面图形 图９．１８ 组成；再把展开的纸板复原为包装盒，体会包装盒与 它的展开图的关系． ８１ !"#$%&’()* 书书书 你还记得长方体和圆柱的展开图吗？图９．１９是一些立体图形的展开 图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下 来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同． 图９．１９ １．如图，右面三幅图分别是从哪个方向看这个棱柱得到的？ (1) (2) (3) （第１题） ２．如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来． (1) (2) (3) (4) (5) (6) （第２题） ８２ !"#$%&’()*３．下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是 （ ）． （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） （第３题） ９．１．２ 点、线、面、体  图９．１１０是一个长方体，它有几个面？面 和面相交的地方形成了几条棱？棱和棱相交成 几个顶点？ 图９．１１０ 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱 锥等都是几何体．几何体也简称体 （ｓｏｌｉｄ）． 包围着体的是面 （ｓｕｒｆａｃｅ）．面有平的面和曲 的面两种．平静的水面给我们以平面的形象，而 一些建筑物的屋顶 （图９．１１１）则给我们以曲面 的形象．你能再举出一些平面与曲面的例子吗？ 夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节 日的焰火画出的曲线组成优美的图案 （图９．１１２）， 图９．１１１ 这些都给我们以线 （ｌｉｎｅ）的形象．面和面相交的 地方形成线．长方体６个面相交成的１２条棱 （线） 是直的，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲的． 天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以 点 （ｐｏｉｎｔ）的形象．线和线相交的地方是点． 笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时， 图９．１１２ 就形成线 （图９．１１３ （１）），节日的焰火也可以看 ８３ !"#$%&’()*成由点运动形成的，这可以说点动成线．汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇 面 （图９．１１３（２）），这可以说线动成面．长方形硬纸片绕它的一边旋转，形成 一个圆柱体 （图９．１１３（３）），这可以说面动成体． （１） （２） （３） 图９．１１３ １．围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？ （１） （２） （３） （４） （５） （第１题） ２．如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，把有对应关 系的平面图形与立体图形连接起来． （第２题） 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素．电视 屏幕上的画面 （图９．１１４）、大型团体操的背景图案 （图９．１１５）也可以看作 由点组成． 点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多 姿多彩的图形世界． ８４ !"#$%&’()* 书书书图９．１１４ 图９．１１５ 习题９．１  １．把图中的几何图形与它们相应的名称连接起来． 圆锥 圆柱 棱柱 棱锥 球 （第１题） ２．如图，你能看到哪些立体图形？ （第２题） （第３题） ３．如图，你能看到哪些平面图形？ ４．如图，分别从正面、左面、上面观察这些立体图形，各能得到什么平面图形？ （第４题） ８５ !"#$%&’()*５．将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是 （ ）． （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） （第５题） ６．如图，上面的图形分别是下面哪个立体图形展开的形状？把它们用线连起来． （第６题） ７．如图，这些图形都是正方体的展开图吗？如果不能确定，折一折，试一试．你还 能再画出一些正方体的展开图吗？ （第７题）  ８．如图，说出下列物体中含有的一些立体图形． ８６ !"#$%&’()*（第８题） ９．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目， 只缘身在此山中．”这是宋代诗人苏轼的著名诗句 （《题西 林壁》）．你能说出 “横看成岭侧成峰”中蕴含的数学道     理吗？ １０．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方  体后，有 “建”字一面的相对面上的字是 （ ）． （第１０题） （Ａ）和 （Ｂ）谐 （Ｃ）社 （Ｄ）会 １１．如图，下列图形能折叠成什么图形？ （第１１题）   １２．你能把一个正方形纸片折叠成一个三棱锥吗？动手试一试． １３．如图，左面的图形可能是右面哪些图形的展开图？ （１）
A

B

C
（２）
A

B

C
（３）
A

B

C
（第１３题） １４．通过图书或互联网等途径，收集能够反映几何知识实际应用的图片等材料，并 和同学们交流． ８７ !"#$%&’()*  几何学的起源 我们生活的世界处处存在着关于数量和空间的问题， 数学中以空间形式 （简称形）为研究对象的分支，叫做几 何学，它有着悠久的历史． 在古埃及，由于尼罗河经常泛滥而需要不断整修土 地，由此测量土地的方法引起人们的重视．几何学的英文 单词ｇｅｏｍｅｔｒｙ就是由ｇｅｏ（土地）和ｍｅｔｒｙ（测量）组成 的．我国古代对形的研究也与测量关系密切，夏禹治水时 期就已有规、矩、准、绳等测量工具．约公元前１１世纪 的西周初期，人们已经知道了直角三角形的 “勾三，股 从古埃及金字塔可以发现， 四，弦五”（即如果直角三角形的两条直角边的长分别是３ 当时人们已掌握精度很高的几 何测量和计算方法． 和４，那么斜边的长是５）的知识．大量事实说明，测量 活动是几何学形成的直接原因． 人类从开始制作和使用工具起，就开始研究工具的造 型、体积、外表装饰等，这也对几何学的产生起了促进作 用．从现存的旧石器时代的一些工具，可以看出当时的人 们已能磨制出具有较复杂的几何造型的器皿．在新石器时 代制作的陶器上，已出现圆、三角形、正方形等基本图 形，以及更复杂的对称几何图案、等分圆周花纹等． 斜方格纹彩陶罐 随着时间的推移，人们在大量的实践中不断扩大和加 （１９７３年甘肃出土） 深对形的认识，得到了许多关于形的知识和研究形的方 法．约公元前３００年，古希腊数学家欧几里得 （Ｅｕｃｌｉｄ） 广泛收集和研究前人的成果，将已有的关于形和数的知识 作了系统编排，写成了 《原本》一书．这是数学发展史上 的一个里程碑．１６０７年，意大利传教士利玛窦和我国学者 徐光启把此书的前一部分翻译成中文，以 《几何原本》为 名成书，这对于介绍西方数学和科学起了积极的推动作 用，在中国数学发展史上具有重要影响． 欧几里得 ８８ !"#$%&’()*９．２ 直线、射线、线段 我们在小学已经学过线段、射线和直线，你能说说它们的联系与区别吗？ 下面我们进一步对它们进行研究．  经过一个点能画几条直线？经过两个点呢？动手试一试． 经过思考和画图，我们可以得到一个基本事实： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线． 简单说成：两点确定一条直线． 在日常生活和生产中常常用到这个基本事实． 例如，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分 别插一根木桩，然后拉一条直的参照线 （图９．２１）； 植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行 图９．２１ 树坑在一条直线上；等等． 因为两点确定一条直线，所以除了用一个小写字母表示直线 （如直线犾） 外，我们经常用一条直线上的两点来表示这条直线 （图９．２２）．一个点在一 条直线上，也可以说这条直线经过这个点；一个点在直线外，也可以说直线不 经过这个点 （图９．２３）． l(cid:0) P(cid:0) l(cid:0) a(cid:0) B(cid:0) O(cid:0) A(cid:0) O(cid:0) b(cid:0) 点犗在直线犾上 （直线犾经过点犗） 直线犃犅或直线犾 点犘在直线犾外 （直线犾不经过点犘） 直线犪和犫相交于点犗 图９．２２ 图９．２３ 图９．２４ 如图９．２４，当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相 交 （ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ），这个公共点叫做它们的交点 （ｐｏｉｎｔｏｆｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ）． 射线和线段都是直线的一部分．类似于直线的表示，我们可以用图９．２５ ８９ !"#$%&’()*的方式来表示线段犃犅（或线段犅犃），其中点犃、 点犅是线段的端点．用图９．２６的方式来表示射 怎样由一条线 线犗犃，其中点犗是射线的端点． 段得到一条射线或 一条直线？ a(cid:0) l(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) O(cid:0) A(cid:0) 线段犃犅或线段犪 射线犗犃或射线犾 图９．２５ 图９．２６ １．判断下列说法是否正确： （１）线段犃犅和射线犃犅都是直线犃犅的一部分； （２）直线犃犅和直线犅犃是同一条直线； （３）射线犃犅和射线犅犃是同一条射线； （４）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． ２．按下列语句画出图形： （１）直线犈犉经过点犆； （２）点犃在直线犾外； （３）经过点犗的三条线段犪，犫，犮； （４）线段犃犅，犆犇相交于点犅． ３．用适当的语句表述图中点与直线的关系： P c b l A B A B C a (1) (2) （第３题） 画一条线段等于已知线段犪，可以先量出线段犪的长度，再画一条等于这 个长度的线段．在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺 规作图．如图９．２７，我们可以用直尺画射线犃犆，再用圆规在射线犃犆上截 取犃犅＝犪．这就是 “作一条线段等于已知线段”的尺规作图． a 图９．２７ A a B C ９０ !"#$%&’()*  1.53m!  3cm 怎样比较两条线段的长短呢？ 你能从比身高上受到一些启发吗  1.5m （图９．２８）？ 你能再举出一些比较线段长 短的实例吗？ 图９．２８ 比较两条线段的长短，我们可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或 者把其中的一条线段移到另一条上作比较 （图９．２９）． A(cid:0) B(cid:0) C((cid:0)A(cid:0) (cid:0))(cid:0) B(cid:0) D(cid:0) 图９．２９ 图９．２９中，点犃与点犆重合，点犅落在犆，犇之间，这时我们说线段 犃犅小于线段犆犇，记作犃犅＜犆犇．想一想，什么情况下线段犃犅大于线段 犆犇，线段犃犅等于线段犆犇呢？ 在直线上作线段犃犅＝犪，再在犃犅的延长线上作线段犅犆＝犫，线段犃犆就 是犪与犫的和，记作犃犆＝犪＋犫．设线段犪＞犫（图９．２１０），如果在线段犃犅 上作线段犅犇＝犫，那么线段犃犇就是犪与犫的差，记作犃犇＝犪－犫． a A B C a b AC=a+b b A D B AD=a−b b a 图９．２１０ 在一张透明的纸上 如图９．２１１ （１），点犕把线段犃犅分成相等 画一条线段，折叠纸片， 的两条线段犃犕与犕犅，点犕叫做线段犃犅的中 使线段的端点重合，折 点 （ｍｉｄｐｏｉｎｔ）．类似地，还有线段的三等分点、 痕与线段的交点就是线 四等分点等 （图９．２１１ （２）（３））． 段的中点．动手试一试． ９１ !"#$%&’()*A(cid:0) M(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) M(cid:0) N(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) M(cid:0) N(cid:0) P(cid:0) B(cid:0) １ １ １ 犃犕＝犕犅＝ 犃犅 犃犕＝犕犖＝犖犅＝ 犃犅 犃犕＝犕犖＝犖犘＝犘犅＝ 犃犅 ２ ３ ４ （１） （２） （３） 图９．２１１ １．估计下列图中线段犃犅与线段犃犆的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你 的估计． C C C A B B A A B （１） （２） （３） （第１题） ２．如图，已知线段犪，犫，作一条线段，使它等于２犪－犫． a ３．如图，点犇是线段犃犅的中点，犆是线段犃犇的中点， b （第２题） 若犃犅＝４ｃｍ，求线段犆犇的长度． A(cid:0) C(cid:0) D(cid:0) B(cid:0) （第３题）  如图９．２１２，从犃地到犅地有四条道路，除它们外能否再修一条从犃地到 犅地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线．   A B 图９．２１２ ９２ !"#$%&’()*经过比较，我们可以得到一个关于线段的基 本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说 成：两点之间，线段最短． 这里最后一句话说 明了什么是 “两点的距 你能举出这条性质在生活中的一些应用吗？ 离”，它是两点的距离 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距 的定义 （ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ）． 离 （ｄｉｓｔａｎｃｅ）． 习题９．２  １．举出生活中一些可以看成直线、射线、线段的例子． ２．如图，已知三点犃，犅，犆， A （１）画直线犃犅； （２）画射线犃犆； C B （３）连接犅犆． （第２题） ３．延长线段犃犅是指按从端点犃到犅的方向延长；延长线段犅犃是指按从端点犅到 犃的方向延长，这时也可以说反向延长线段犃犅．如图，分别画出线段犃犅的延 长线和反向延长线． A B A B （第３题） ４．读下列语句，并分别画出图形： （１）直线犾经过犃，犅，犆三点，并且点犆在点犃与犅之间； （２）两条线段犿与狀相交于点犘； （３）犘是直线犪外一点，过点犘有一条直线犫与直线犪相交于点犙； （４）直线犾，犿，狀相交于点犙． ５．画一个正方形，使它的面积是图中正方形面积的４倍． B A C （第５题） （第６题） ６．如图，有一张三角形的纸片，用折纸的方法比较边犃犅与犃犆的长短． ９３ !"#$%&’()* ７．估计图中各组线段的长短，并用刻度尺或圆规验证你的结论． （１） （２） （３） （第７题） ８．（１）如图，把原来弯曲的河道改直，Ａ，Ｂ两地间的河道长度有什么变化？ （２）如图，公园里修建了曲折迂回的桥，这与修一座直的桥相比，对游人观赏湖 面风光能起什么作用？用你所学数学知识说明其中的道理． A   A  B B （１） （２） （第８题） ９．如图，已知线段犪，犫，犮，用圆规和直尺作线段，使它等 a 于犪＋２犫－犮． b １０．点犃，犅，犆在同一条直线上，犃犅＝３ｃｍ，犅犆＝１ｃｍ． c 求犃犆的长． （第９题）   １１．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点犃沿表面爬行到顶 B 点犅，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点犆呢？说出 你的理由． A １２．两条直线相交，有一个交点．三条直线相交，最多有多少 C 个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？ （第１１题） （第１２题） ９４ !"#$%&’()*  长度的测量 在日常生活和生产中，人们经常要进行长度的测量． 测量离不开测量单位．在国际单位制中，长度的基本单 位是米 （ｍ），１ｍ最早是由地球球面上经过巴黎经线的二千 （ ） １ 万分之一 定出的．常用的单位还有千米 （ｋｍ）、 ２０００００００ 分米 （ｄｍ）、厘米 （ｃｍ）、毫米 （ｍｍ）、微米 （μｍ）等． 科研中还经常用到更小和更大的长度单位．现在开始 广泛应用的纳米科学，就是在纳米 （ｎｍ）尺度上研究物质 保存在国际度量衡 的特性和相互作用，１ｎｍ等于十亿分之一米，人的头发的 局中的米的标准尺 直径就相当于７万ｎｍ！在天文学上，经常用天文单位和光 年计算星体间的距离．１天文单位是地球到太阳的平均距 离，约等于１．５×１０８ｋｍ，１光年是光１年走过的距离，约 等于９．４６×１０１２ｋｍ． 除了国际单位制的长度单位外，有时还用到其他一些长度 单位．例如，海上航行经常使用的长度单位海里 （ｎｍｉｌｅ， １ｎｍｉｌｅ＝１８５２ｍ）；人们经常提及的 “××英寸彩电”使 用的是英制长度单位等． 1 查一查资料，英制长度单位包括哪些单位？它们和国际 单位制的长度单位是如何换算的？你知道２５英寸、２９英寸 彩电的屏幕对角线长度是多少厘米吗？ 测量长度的工具有很多种，常用的工具有木尺、塑料尺、 卷尺、钢卡尺、游标卡尺等．如果测量精度要求不高，也可 以用肘、 、步长等来估计距离． 1   随着科技的发展，人们已经发明了许多测量精度很高的测距仪，例如用于测量人造卫 星的激光测距仪，测量８０００ｋｍ远的卫星时，误差不超过２ｃｍ． ９５ !"#$%&’()*９．３ 角 ９．３．１ 角 角 （ａｎｇｌｅ）也是一种基本的几何图形，钟面上的时针与分针，棱锥相交 的两条棱，三角尺两条相交的边线 （图９．３１），都给我们以角的形象． 11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5 图９．３１ 我们知道，有公共端点的两条射线组成的图 形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射 线是角的两条边．角通常用如图９．３２的方法来 如图，能把∠ 记作 ∠犗吗？为什么？∠ 表示． 还可以怎样表示呢？ A A α B α O β B 1 O C ∠犃犗犅或∠犗 ∠ ∠１ 图９．３２  角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．如图 ９．３３，射线犗犃绕点犗旋转，当终止位置犗犅和起始位置犗犃成一条直线 时，形成什么角？继续旋转，犗犅和犗犃重合时，又形成什么角？ 终边 B(cid:0) O(cid:0) A(cid:0) O(cid:0) A((cid:0)(cid:0)B)(cid:0)(cid:0) 始边 图９．３３ ９６ !"#$%&’()*我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的 角的度量单位．把一个周角３６０等分，每一份就 是１度 （ｄｅｇｒｅｅ）的角，记作１°；把１度的角６０ 角度制起源于四大 文明古国之一的古代巴 等分，每一份叫做１分的角，记作１′；把１分的 比伦．为什么选择６０ 角６０等分，每一份叫做１秒的角，记作１″． 这个数作为进制的基数 呢？据说是由于６０这 个数是许多常用的数 ２，３，４，５，６，１０， １２，１５，２０，３０ 的倍 数，６０＝１２×５，１２是 一年中的月数，５是一 只手的手指数，所以古 代巴比伦人认为６０是 一个 特 别 而 又 重 要 的数． 图９．３４ １周角＝ °，１平角＝ °， １°＝ ′，１′＝ ″． ∠α的度数是４８度５６分３７秒，记作 ∠α＝４８°５６′３７″． 角的度、分、秒的换算是６０进制的，这和计 量时间的时、分、秒的换算是一样的． 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角 度制．此外，还有其他度量角的单位制．例如， 我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧 度制，在军事上经常使用的角的密位制等． 除量角器外，工程测量中，还常用经纬仪 （图９．３５）来测量角的大小．你还见过其他的度 量角的工具吗？ 借助三角尺，我们可以画出３０°，４５°，６０°， ９０°等特殊角，借助量角器，可以画出任何给定度 数 （如３６°，１０８°）的角． 图９．３５ ９７ !"#$%&’()* 书书书１．６时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？８时呢？８时３０分呢？ ２．（１）３５°等于多少分？等于多少秒？ （２）３８°１５′和３８．１５°相等吗？如不相等，哪一个大？ ３．从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形 （六条边相等，六个角也相等）构成， 按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形． 60e （第３题） ９．３．２ 角的比较与运算 你已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的大小呢？ 与线段长短的比较类似，我们可以用量角器量出角的度数，然后比较它们 的大小；也可以把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较 两个角的大小 （图９．３６）． B
B B(B
) B B
O(O
) A(A
) O(O
) A(A
) O(O
) A(A
) ∠犃犗犅＜∠犃′犗′犅′ ∠犃犗犅＝∠犃′犗′犅′ ∠犃犗犅＞∠犃′犗′犅′ 图９．３６ C  B 如图９．３７，图中共有几个角？它们之间有 什么关系？ O A 图９．３７ ９８ !"#$%&’()*图９．３７中，∠犃犗犆是∠犃犗犅与∠犅犗犆的和，记作∠犃犗犆＝∠犃犗犅＋ ∠犅犗犆．∠犃犗犅是∠犃犗犆与∠犅犗犆的差，记作∠犃犗犅＝∠犃犗犆－∠犅犗犆． 类似地，∠犃犗犆－∠犃犗犅＝ ．  如图９．３８，借助三角尺画出 １５°，７５°的角．用一副三角尺，你还 能画出哪些度数的角？试一试． 75e 15e 图９．３８ 我们知道，线段的中点把线段分成相等的两条线段．类似地，图９．３９中， 如果∠犃犗犅＝∠犅犗犆，那么射线犗犅把∠犃犗犆分成两个相等的角，这时有 １ ∠犃犗犆＝２∠犃犗犅＝２ ，∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝ ． ２ 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这 个角的平分线 （ａｎｇｕｌａｒｂｉｓｅｃｔｏｒ）．类似地，还有角的三等分线等 （图９．３１０）． C D C B B O A O A 犗犅是∠犃犗犆的平分线 犗犅，犗犆是∠犃犗犇的三等分线 图９．３９ 图９．３１０  仿照图９．３１１，通过折纸作角平分线． 犙 P P 犙 P( R) 犙 R R 图９．３１１ ９９ !"#$%&’()*例１ 如图９．３１２，犗是直线犃犅上一点， C ∠犃犗犆＝５３°１７′，求∠犅犗犆的度数． 分析：犃犅是直线，∠犃犗犅是平角．∠犅犗犆 A O B 与∠犃犗犆的和是∠犃犗犅． 图９．３１２ 解：由题意可知，∠犃犗犅是平角，∠犃犗犅＝ ∠犃犗犆＋∠犅犗犆． 所以∠犅犗犆＝∠犃犗犅－∠犃犗犆 这里的加与减，要 将度与度、分与分、秒 ＝１８０°－５３°１７′ 与秒 分 别 相 加、减， ＝１２６°４３′． 分、秒分别相加时逢６０ 要进位，分别相减时要 “借１作６０”．本题中应 例２ 把一个周角７等分，每一份是多少度 借１°，化为６０′． 的角 （精确到分）？ 解：３６０°÷７＝５１°＋３°÷７ ＝５１°＋１８０′÷７ 注意度、分、秒的 ≈５１°２６′． 换算是６０进制的，要 答：每份是５１°２６′的角． 把剩余的度数化成分． １．估计图中∠１与∠２的大小关系，并用适当的方法检验． 2 2 1 1 （第１题） ２．如图，把一个蛋糕等分成８份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是 １５°，这个蛋糕应等分成多少份？ C D A O B （第２题） （第３题） ３．如图，犗是直线犃犅上一点，犗犆是∠犃犗犅的平分线，∠犆犗犇＝３１°２８′，求 ∠犃犗犇的度数． １００ !"#$%&’()*９．３．３ 余角和补角 在一副三角尺中，每块都有一个角是９０°，而其他两个角的和是９０°（３０°＋ ６０°＝９０°，４５°＋４５°＝９０°）．一般地，如图９．３１３，如果两个角的和等于９０° （直角），就说这两个角互为余角 （ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎｇｌｅ），即其中每一个角是 另一个角的余角． 两个角互为余角简 称为两个角互余，两个 4 2 角互为补角简称为两个 3 1 角互补． 图９．３１３ 图９．３１４ 类似地，如图９．３１４，如果两个角的和等于１８０°（平角），就说这两个角 互为补角 （ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎｇｌｅ），即其中一个角是另一个角的补角．  ∠１与∠２，∠３都互为补角，∠２与∠３的大小有什么关系？ ∠１与∠２，∠３都互为补角，那么∠２＝１８０°－∠１，∠３＝１８０°－∠１，所以 ∠２＝∠３．由此，我们得到关于补角的一个性质： 同角 （等角）的补角相等． 对于余角也有类似的性质： 同角 （等角）的余角相等． 例３ 如图９．３１５，点犃，犗，犅在同一条直线 D C 上，射线犗犇和射线犗犈分别平分∠犃犗犆和∠犅犗犆， 图中哪些角互为余角？ E 解：因为点犃，犗，犅在同一条直线上，所以 A B O 图９．３１５ ∠犃犗犆和∠犅犗犆互为补角． 又因为射线犗犇和射线犗犈分别平分∠犃犗犆和∠犅犗犆，所以 １ １ １ ∠犆犗犇＋∠犆犗犈＝ ∠犃犗犆＋ ∠犅犗犆＝ （∠犃犗犆＋∠犅犗犆） ２ ２ ２ ＝９０°． １０１ !"#$%&’()*所以，∠犆犗犇和∠犆犗犈互为余角． 同理，∠犃犗犇和∠犅犗犈，∠犃犗犇和∠犆犗犈，∠犆犗犇和∠犅犗犈也互为余角． 例４ 如图９．３１６ （１），货轮犗在航行过程 中，发现灯塔犃在它南偏东６０°的方向上．同时， 有时以正北、正南 在它北偏东４０°、南偏西１０°、西北 （即北偏西 方向为基准，描述物体 ４５°）方向上又分别发现了客轮犅、货轮犆和海岛 运动的方向，如 “北偏 犇．仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮犅、 东３０°”“南偏东２５°”． 货轮犆和海岛犇方向的射线． 表示方向的角在航 行、测绘等工作中经常 用到． 北 北 B(cid:0) 40°(cid:0) 西 东 西 东 O(cid:0) O(cid:0) 60°(cid:0) A(cid:0) 60°(cid:0) A(cid:0) 南 南 （１） （２） 图９．３１６ 画法：以点犗为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画４０°的角，使它 的另一边犗犅落在东与北之间．射线犗犅的方向就是北偏东４０° （图９．３１６ （２）），即客轮犅所在的方向． 请你在图９．３１６ （２）上画出表示货轮犆和海岛犇方向的射线． １．图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 80e 10e 30e 60e 100e 150e 170e 120e （第１题） １０２ !"#$%&’()*２．一个角是７０°３９′，求它的余角和补角． ３．∠α的补角是它的３倍，∠α是多少度？ ４．一个角是钝角，它的一半是什么角？ 习题９．３  １．如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，那么时针旋转出一个平 角及一个周角，至少各需要多长时间？ ２．凭你的感觉画出３０°，４５°，９０°，１２０°，１３５°的角，再用量角器量一量，你画的准 确度如何？ ３．计算： （１）４８°３９′＋６７°３１′； （２）２１°１７′×５． ４．如果∠１＝∠２，∠２＝∠３，则∠１ ∠３； A 如果∠１＞∠２，∠２＞∠３，则∠１ ∠３． ５．如图，犅犇和犆犈分别是∠犃犅犆和∠犃犆犅的平分线，且 E D ∠犇犅犆＝∠犈犆犅＝３１°，求∠犃犅犆和∠犃犆犅的度数，它们相 B C 等吗？ （第５题） ６．按图填空： （１）∠犃犗犅＋∠犅犗犆＝ ； （２）∠犃犗犆＋∠犆犗犇＝ ； （３）∠犅犗犇－∠犆犗犇＝ ； （４）∠犃犗犇－ ＝∠犃犗犅． D C O A B B A O （第６题） （第７题） ７．如图，要测量两堵围墙所形成的∠犃犗犅的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ ８．按照上北下南，左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表 示下列方向的射线： １０３ !"#$%&’()*（１）北偏西３０°； （２）南偏东６０°； （３）北偏东１５°； （４）西南方向 （南偏西４５°）．  ９．如图，犗犅是∠犃犗犆的平分线，犗犇是∠犆犗犈的平分线． （１）如果∠犃犗犅＝４０°，∠犇犗犈＝３０°，那么∠犅犗犇是多少度？ （２）如果∠犃犗犈＝１４０°，∠犆犗犇＝３０°，那么∠犃犗犅是多少度？ D(cid:0) C(cid:0) E(cid:0) B(cid:0) α A(cid:0) O(cid:0) （第９题） （第１０题） １０．如图，一个齿轮有１５个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多 少度？如果是２２个齿的齿轮，这个夹角又是多少度 （精确到分）？ １１．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β 互余？在哪 种摆放方式中∠α与∠β 互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β 相等？ β α β α β β αα α ββ （１） （２） （３） （４） （第１１题） １２．如图，犃地和犅地都是海上观测站，从犃地发  现它的北偏东６０°方向有一艘船，同时，从犅  地发现这艘船在它北偏东３０°方向．试在图中确 定这艘船的位置． １３．（１）互余且相等的两个角，各是多少度？ （２）一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？ A B （第１２题） １０４ !"#$%&’()*  １４．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有３０°，９０°，１０５°的角，量一量这些四 边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？ １５．（１）图 （１）中，射线犃犇，犅犈，犆犉构成∠１，∠２，∠３，量出∠１，∠２，∠３， 并计算∠１＋∠２＋∠３．画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有 什么发现？ F 1 4 3 A B 2 3 E C 1 2 D (1) (2) （第１５题） （２）类似地，量出图 （２）中∠１，∠２，∠３，∠４，计算∠１＋∠２＋∠３＋∠４． 再换几个类似的图试试，你有什么发现？ 综合 （１）（２）的发现，你还能进一步得到什么猜想？ １０５ !"#$%&’()*９．４ 课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒 日常生活中，我们经常可以看到各种各样的长 （正）方体形状的包装盒， 如粉笔盒、文具盒、牙膏盒等 （图９．４１）．   R   


  图９．４１ 设计这类包装盒时，要先绘制长方体的展开图，再把它剪出并折叠成长方 体．此外，还会用到美术知识 （图案、视觉效果、美术字）、语言知识 （文字 设计、广告语言、汉语拼音或英语词组）、生产常识 （材料、生产成本）等． 本节中，我们将通过下面的设计和制作长方体纸盒的实践活动，进一步体会立 体图形与平面图形之间的相互转化． 活动名称：设计制作长方体形状的包装纸盒 方 法：观察、讨论、动手设计制作 材 料：厚 （硬）纸板、直尺、裁纸刀、剪刀、胶水、彩笔等 准 备：收集一些长方体形状的包装盒，如墨水瓶盒、粉笔盒、饼干 盒、牛奶包装盒、牙膏盒等，作为参考物． 活动步骤： １．观察、讨论 以５～６人为一组，各组确定所要设计制作的包装盒的类别 （这里以长城 牌墨水瓶纸盒为例），明确分工． （１）观察作为参考物的包装盒，分析其各面、各棱的大小与位置关系． （２）拆开盒子，把它铺平，得到展开图；观察它的形状，找出对应长方体 各面的相应部分；度量各部分的尺寸，找出其中的相等关系． （３）把展开图复原为包装盒，观察它是如何折叠并粘到一起的． （４）多拆、装几个包装盒，注意它们的共同特征． （５）经过讨论，确定本组的设计方案 （包括包装盒的形状、尺寸、外表图 案、文字等）． １０６ !"#$%&’()*２．设计、制作 （１）先在一张软纸上画出包装盒展开图的草图，简单设计一下，裁纸、折 叠，观察效果．如果发生问题，应调整原来的设计，直至达到满意的初步设计． （２）在硬纸板上，按照初步设计，画好包装盒的展开图 （如图９．４２，单 位：ｍｍ）．注意要预留出黏合处，并要适当剪去棱角．在展开图上进行图案 与文字的美术设计． （３）裁下展开图，折叠并粘好黏合处，得到长方体包装盒 （图９．４３）． !"#$%&’()* 04 70 40 70 40 04 56    R        
   
   !     
      


   图９．４２ 图９．４３ ３．交流、比较 各组展示本组的作品，并介绍设计思想和制作过程． 讨论各组的作品，重点探究以下几个问题： （１）制成的包装盒是否是长方体？如果不是，是哪个地方出了问题？如何 改进？ （２）从实用性上看，包装盒形状、尺寸是否合理？用料是否节省？是否需 要改进？ （３）包装盒的外观设计是否美观？ （４）对平面图形与立体图形的联系有哪些新认识？ ４．评价、小结 评价各组的活动情况，小结活动的主要收获． ５．巩固、提高 （１）自己设计制作一个正六棱柱形状 （底面是６条边都相等、６个角都相 等的六边形，６个侧面都是长方形）的包装纸盒； （２）自己设计制作一个圆柱形状的包装纸盒． １０７   

图１是一些火车车厢的模型，它们对应着什么样的立体图形？选择适 当的比例，在一张硬纸板上分别画出它们的展开图，折叠起来，得到火车 车厢的模型．你还可以给它们加上窗子，或是装上货物，加上车轮…… 图１ 你还见过其他形状的火车车厢吗？类似地制作出它们的模型． 

仿照下面的步骤画一个五角星 （图２）： （１）任意画一个圆； （２）以圆心为顶点，连续画７２°（即３６０°÷５）的角，与圆相交于５点； （３）连接每隔一点的两个点； （４）擦去多余的线，就得到五角星． （１） （２） （３） （４） 图２ 你能说出这种画法的道理吗？你还有其他的画法吗？类似地，你能画 出一个六角星吗？ 通过折纸 （图３），你能制作一个五角星吗？沿不同的角α剪开，得到的 五角星形状相同吗？哪一种更美观？变换不同的角α试一试！ １０８ !"#$%&’()*α 图３ 许多艺术设计和图案设计都与星形有关，在你画出的五角星和六角星 上着色，可得到如图４的艺术图案，你能在此基础上再设计一些图案吗？ 图４ １０９ !"#$%&’()*小 结 一、本章知识结构图          

         二、回顾与思考 几何是研究图形的形状、大小和位置关系的学科．本章我们学习了图形与几 何的一些最基本的知识，如几何图形、立体图形、平面图形；点、线、面、体 等．我们还学习了确定直线的基本事实，直线、射线、线段和角的表示，以及线 段和角的度量和大小比较等．这些知识都是进一步学习图形与几何知识的基础． 几何图形是从各种物体中抽象出来的，是更一般的 “形”．另外，我们还 要注意几何图形之间的联系，如点动成线、线动成面、面动成体，这种联系有 助于我们理解和掌握知识． 在研究几何图形的过程中，我们常常采用类比的方法．例如，类比线段的 大小比较、线段中点研究角的大小比较、角平分线等．类比的方法既引导我们 发现问题，也帮助我们找到解决问题的途径． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．下面是本章学到的一些数学名词，你能简短地描述这些数学名词吗？你 能画出图形来表示它们吗？ 立体图形 平面图形 展开图 两点的距离 余角 补角 ２．你能举出几个立体图形和平面图形的实例吗？ ３．找几个简单的立体图形，分别画出它们的展开图和从不同方向看得到的 平面图形．你能由此说说立体图形与平面图形的联系吗？ １１０ !"#$%&’()*４．在本章中，关于直线和线段有哪些重要结论？ ５．本章学习了有关角的哪些知识？有哪些重要结论？ 复习题９  １．说出下列图形的名称． （第１题） ２．如图，从上往下看Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ六个物体，分别能得到ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ 哪个图形？把上下两行中对应的图形与物体连接起来． a b c d e f A  A B  


       
  
!  
   A B C D E F （第２题） ３．如图，分别从正面、左面、上面观察这些立体图形，各能得到什么平面图形？ （第３题） ４．如下页图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ １１１ !"#$%&’()*（１）
A

B

C

D
（２）
A

B

C

D
（第４题） ５．如图，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合．如果甲尺经校订是直的，那么乙 尺是直的吗？为什么？ A B   A B C D （第５题） （第６题） ６．在一张零件图中，已知犃犇＝７６ｍｍ，犅犇＝７０ｍｍ，犆犇＝１９ｍｍ，求犃犅和犅犆的长． ７．判断题： （１）锐角的补角一定是钝角； （ ） （２）一个角的补角一定大于这个角； （ ） （３）如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等； （ ） （４）锐角和钝角互补． （ ） ８．已知∠α和∠β 互为补角，并且∠β 的一半比∠α小３０°，求∠α，∠β．  ９．如图，已知犅犆是圆柱底面的直径，犃犅是圆柱的高，在圆柱的侧 A 面上，过点犃，犆嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿 犃犅剪开，所得的圆柱侧面展开图是 （ ）． B C A A
A A
A A
A C
A
B C B
B C B
B C B
B C B
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） （第９题） １１２ !"#$%&’()*１０．图中的几个图形能否折叠成为棱柱？先想一想，再折一折． （第１０题） １１．如图，犃，犅两地隔着池塘，从犆地测得犆犃＝５０ｍ，犆犅＝６０ｍ，∠犃犆犅＝ １１５°，用１ｃｍ代表１０ｍ，画出类似的图形，量出犃犅的长 （精确到１ｍｍ），再 换算出犃，犅两地的实际距离． （第１１题） １２．如图，长方形纸片犃犅犆犇，点犈，犉分别在边犃犅，犆犇上，连接犈犉．将∠犅犈犉 对折，点犅落在直线犈犉上的点犅′处，得折痕犈犕；将∠犃犈犉对折，点犃落在 直线犈犉上的点犃′处，得折痕犈犖，求∠犖犈犕的度数． A
D C F N M B
A E B （第１２题） （第１３题） １３．如图，这是一幅动物园某一景区的示意图，海洋世界、狮虎园、猴山、大象馆分 别在大门的什么方向？ １１３ !"#$%&’()* 书书书  １４．任意画一个四边形犃犅犆犇，四边形的四边中点分别为犈，犉，犌，犎，连接犈犉， 犉犌，犌犎，犎犈，并量出它们的长，你发现了什么？量出图中∠１，∠２，∠３， ∠４的度数，你又发现了什么？多画几个四边形试试．你能得到什么猜想？ A A D H 4 D E 1 B 3 G O 2 B F C C （第１４题） （第１５题） １５．如图，在四边形犃犅犆犇内找一点犗，使它到四边形四个顶点的距离的和犗犃＋犗犅＋ 犗犆＋犗犇最小，并说出你的理由．由本题你得到什么数学结论？举例说明它在实 际中的应用． １１４ !"#$%&’()*第十章 数据的收集、整理 与描述 从报纸、杂志、电视、互联网等媒体上，我 们经常可以看到很多统计数据和统计图表．例如， 某地义务教育的普及率达９８％，某电视节目的收 视率为９％，某地年人均生活用水量为３６ｍ ， ３ ２０１０年我国国内生产总值为４０１２０２亿元，比上年 增长１０．４％等．这些数据可以帮助人们了解周围 世界的现状和变化规律，从而为人们制定决策提 供依据．你知道它们是怎样得到的吗？ 统计学 （ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）能帮我们回答上述问题． 这一章我们将在小学所学统计知识的基础上，学 习收集数据的一些基本方法，在此基础上进一步 学习如何整理数据，并用统计图表直观形象地描 述数据，从中发现数据蕴含的规律，获取我们需 要的信息． 节目类型 划记 人数 百分比 Ａ新闻 正 ６ ６％ Ｂ体育 正正正正 ２２ ２２％ Ｃ动画 正正正正正 ２９ ２９％ Ｄ娱乐 正正正正正正正 ３８ ３８％ Ｅ戏曲 正 ５ ５％ 合计 １００ １００％１０．１ 统计调查 问题１ 如果要了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视 节目的喜爱情况，你会怎么做？ 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 为解决问题１，需要进行统计调查． 首先可以对全班同学采用问卷调查的方法收 集数据．为此要设计调查问卷． 调查问卷 如果想了解 年 月 男、女生喜爱节目 在下面五类电视节目中，你最喜爱的是 的差异，问卷中还 应该包含什么内容？ （ ）（单选） （Ａ）新闻． （Ｂ）体育． （Ｃ）动画． （Ｄ）娱乐． （Ｅ）戏曲． 填完后，请将问卷交给数学课代表． 利用调查问卷，可以收集到全班每位同学最喜爱的节目的编号 （字母）， 我们把它们称为数据．例如，某同学经调查，得到如下５０个数据： ＣＣＡＤＢＣＡＤＣＤ ＣＥＡＢＤＤＢＣＣＣ ＤＢＤＣＤＤＤＣＤＣ 用字母代替节目 ＥＢＢＤＤＣＣＥＢＤ 的类型，可方便统计． ＡＢＤＤＣＢＣＢＤＤ 从上面的数据中，你能看出全班同学喜爱各 类节目的情况吗？ １１６ !+#$,-./01 23456杂乱无章的数据不利于我们发现其中的规律．为了更清楚地了解数据所蕴含 的规律，需要对数据进行整理．统计中经常用表格整理数据，对前面数据的整理如 表１０１所示． 表１０１ 全班同学最喜爱节目的人数统计表 节目类型 划记 人数 百分比 Ａ新闻 ■ ４ ８％ Ｂ体育 正正 １０ ２０％ Ｃ动画 正正正 １５ ３０％ Ｄ娱乐 正正正 １８ ３６％ Ｅ戏曲 ３ ６％ 合计 ５０ ５０ １００％ 此例中，用划记法记录数据时，“正”字的每一划 （笔画）代表一名同学． 例如，编号为Ａ的节目对应的人数是４，记为 “■”． 表１０１可以清楚地反映全班同学喜爱各类节目的情况．例如，最喜爱新 闻节目的同学有４名，占全班同学的８％；最喜爱体育节目的同学有１０名， 占全班同学的２０％；等等． 为了更直观地看出表１０１中的信息，还可以 用条形图和扇形图来描述数据 （图１０．１１）．  20 18 6% 8% 15 15 20%  10 10 36%  4 5 3  30% 0     （１） （２） 图１０．１１ 你能根据表１０１和图１０．１１说出全班同学喜 爱五类电视节目的情况吗？ 我们知道，扇形图用圆代表总体，每一个扇 圆心角越大，扇形 在圆中占的百分比就 形代表总体中的一部分，通过扇形的大小来反映 越大． 各个部分占总体的百分比．画扇形图１０．１１ （２） 时，首先按各类节目所占的百分比算出对应扇形 的圆心角度数．例如，“体育”和 “动画”对应扇   形的圆心角分别为３６０°×２０％＝７２°，３６０°×３０％＝ １１７ !+#$,-./01 23456１０８°．然后在一个圆中，根据算得的各圆心角度数画出各个扇形，并注明各类 节目的名称及其相应的百分比． 在上面的调查中，我们利用调查问卷得到全班同学喜爱电视节目的数据， 利用表格整理数据，并用统计图进行直观形象的描述．通过分析表和图，了解 到了全班同学喜爱电视节目的情况．在这个调查中，全班同学是要考察的全体 对象，我们对全体对象都进行了调查．像这样考察全体对象的调查叫做全面调 查．例如，２０１０年我国进行的第六次人口普查，就是一次全面调查． １．小明为了解同学们的课余生活，设计了如下调查问题： 你平时最喜欢的一项课余活动是 （ ）． （Ａ）看课外书 （Ｂ）体育活动 （Ｃ）看电视 （Ｄ）踢足球 你认为此问题的答案选项设计合理吗？为什么？如果不合理，请修改． ２．经调查，某班学生上学所用的交通工具中，自行车占６０％，公交车占３０％，其 他占１０％，请画出扇形图描述以上统计数据． ３．请你举出一些生活中运用全面调查的例子． 问题２ 某校有２０００名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、 娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，怎样进行调查？ 可以用全面调查的方法对全校学生逐个进行调查，然后整理收集到的数 据，统计出全校学生对五类电视节目的喜爱情况．但是，由于学生比较多，全 面调查花费的时间长，消耗的人力、物力大．因此，需要寻找一种不作全面调 查就能了解全校学生喜爱各类电视节目的情况的方法，达到既省时省力又能解 决问题的目的．这就是我们要讨论的抽样调查． 抽样调查 （ｓａｍｐｌｉｎｇｓｕｒｖｅｙ）是这样一种方 法，它只抽取一部分对象进行调查，然后根据调 查数据推断全体对象的情况．在问题２中，我们 为了强调调查目 的，人们有时也把全 只抽取一部分学生进行调查，然后通过分析被调 校学生喜爱的电视节 查学生的数据来推断全校学生喜爱电视节目的情 目作为总体，每一个 况．全校学生是要考察的全体对象，称为总体， 学生喜爱的电视节目 组成总体的每一个学生称为个体，而被抽取调查 作为个体． 的那部分学生构成总体的一个样本． １１８ !+#$,-./01 23456  那么，抽取多少名学生进行调查比较合适？ 被调查的学生又如何抽取呢？ 如果抽取调查的学生很少，样本就不容易具 想了解一锅八宝 粥里各种成分的比例， 有代表性，也就不能客观地反映总体的情况；如 只要搅拌均匀后，舀 果抽取调查的学生很多，虽然样本容易具有代表 一勺查看，就能对整 性，但花费的时间、精力也很多，达不到省时省 锅的情况估计个八九 力的目的．因此抽取调查的学生数目要适当．例 不离十．你能说说这 与抽取部分学生估计 如，这个问题中可以抽取１００名学生作为样本进 全校学生情况之间的 行调查．一个样本中包含的个体的数目称为样本 相似之处吗？ 容量，上述抽取的样本容量为１００． 为了使样本尽可能具有代表性，除了抽取调 查的学生数要合适外，抽取样本时，不能偏向某 你还能想出使 些学生，应使学校中的每一个学生都有相等的机 每个学生都有相等 机会被抽到的方 会被抽到．例如，上学时在学校门口随意调查 法吗？ １００名学生；在全校学生的注册学号中，随意抽 取１００个学号，调查这些学号对应的学生；等等． 下面是某同学抽取样本容量为１００的调查数据统计表． 表１０２ 抽样调查１００名学生最喜爱节目的人数统计表 节目类型 划记 人数 百分比 Ａ新闻 正■ ６ ６％ Ｂ体育 正正正正■ ２２ ２２％ Ｃ动画 正正正正正■ ２９ ２９％ Ｄ娱乐 正正正正正正正■ ３８ ３８％ Ｅ戏曲 正 ５ ５％ 合计 １００ １００％ １１９ !+#$,-./01 23456从表１０２可以看出，样本中喜爱娱乐节目的学生最多，为３８％．据此可 以估计出，这个学校的学生中，喜爱娱乐节目的最多，约为３８％．类似地， 由上表可以估计这个学校喜爱其他节目的学生的百分比，如图１０．１２所示． 5%6% 22%  38%   29% 图１０．１２ 上面抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像 这样的抽样方法是一种简单随机抽样 （ｓｉｍｐｌｅｒａｎｄｏｍｓａｍｐｌｉｎｇ）． 抽样调查是实际中经常采用的收集数据的方式．除了具有花费少、省时省 力的特点外，还适用于一些不宜用全面调查的情况，例如，检测某批次灯泡的 使用寿命、火柴的质量等具有破坏性的调查．需要注意的是，在抽样调查中， 如果抽取样本的方法得当，一般样本能客观地反映总体的情况，抽样调查的结 果会比较接近总体的情况，否则抽样调查的结果往往会偏离总体的情况．  全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式．全面调查收集到的数据 全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽 样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关 系到对总体估计的准确程度． 请以小组为单位解决如下问题． 问题３ 比较你所在学校三个年级同学的平均体重： （１）制定调查方案，利用课余时间实施调查； （２）根据收集到的数据，分析出每个年级同学的平均体重，并用折线图表 示平均体重随年级增加的变化趋势； （３）每组安排一位代表向全班介绍本组完成上述问题的情况，并进行比较 和评议． １２０ !"#$%&’()* +,-./ 书书书１．为了解全校同学的平均身高，小明调查了座位在自己旁边的３名同学，把他们 身高的平均值作为全校同学平均身高的估计． （１）小明的调查是抽样调查吗？ （２）这个调查结果能较好地反映总体的情况吗？如果不能，请说明理由． ２．某班要选３名同学代表本班参加班级间的交流活动．现在按下面的办法抽取： 把全班同学的姓名分别写在没有明显差别的小纸片上，把纸片混放在一个盒子 里，充分搅拌后，随意抽取３张，按照纸片上所写的名字选取３名同学．你觉 得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？为什么？ ３．以下调查中，哪些适宜全面调查，哪些适宜抽样调查？ （１）调查某批次汽车的抗撞击能力； （２）了解某班学生的身高情况； （３）调查春节联欢晚会的收视率； （４）选出某校短跑最快的学生参加全市比赛． ４．请你举出一些不宜用全面调查的例子，并说明理由． 习题１０．１  １．请对全班同学进行调查，并填写下表． 全班同学出生月份统计表 月份 划记 人数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ １２１ !+#$,-./01 23456续表 月份 划记 人数 ９ １０ １１ １２ 合计 ２．两名同学在作抽样调查时使用下面两种提问方式，你认为哪一种更好些？ （１）难道你不认为科幻片比纪录片更有意思吗？ （２）你更喜欢哪一类电影———科幻片还是纪录片？ ３．要调查下面几个问题，你认为应该作全面调查还是抽样调查？ （１）了解全班同学每周体育锻炼的时间． （２）调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准． （３）鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数． ４．根据下图中所标世界七大洲的面积 （单位：万ｋｍ２），画扇形图表示各大洲面积占 全球陆地面积的百分比，并用语言描述你获得的信息．       1000 2400  4400        3000  1800     900   1400 !+#$,-./01 23456          （第４题） １２２５．我国体育健儿在最近七届奥运会上获得奖牌的情况如图所示．  120 100 100 80 63 60 54 59 50 40 32 28 20 0 23 24 25 26 27 28 29  （第５题） （１）最近七届奥运会上，我国体育健儿共获得多少枚奖牌？ （２）用条形图表示折线图中的信息．  ６．一家食品公司的市场调查员将本公司生产的一种新 点心免费送给３６人品尝，以调查这种点心的甜度是 Ａ太甜 否适中．调查结果如下： Ｂ稍甜 Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ适中 Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｅ Ｃ Ｄ稍淡 Ｅ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｅ Ｃ Ｂ Ｃ Ｅ太淡 Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ 请用表格整理上面的数据，画出条形图，并推断甜点的甜度是否适中． ７．为了了解六年级同学对三种元旦活动方案的意见，校学生会对六年级全体同学进 行了一次调查 （每人至多赞成一种方案）．结果有１１５人赞成方案１，６２人赞成方 案２，４０人赞成方案３，８人弃权．请用扇形图描述这些数据，并对校学生会采用 哪种方案组织元旦活动提出建议． ８．随着对外开放程度的不断扩大，我国对外贸易迅速发展．下表是我国近几年的进 出口额数据．请选择适当统计图描述这两组数据，并对它们进行比较． 年份 ２００４ ２００５ ２００６ ２００７ ２００８ ２００９ ２０１０ 出口额／亿美元 ５９３３ ７６２０ ９６８９ １２１７８ １４３０７ １２０１６ １５７７７ 进口额／亿美元 ５６１２ ６６００ ７９１５ ９５６０ １１３２６ １００５９ １３９６２ １２３ !+#$,-./01 23456９．镇政府想了解李家庄的经济情况，用简单随机抽样的方法，在１３０户家庭中抽取 ２０户调查过去一年收入 （单位：万元），结果如下： １．３ １．７ ２．４ １．１ １．４ １．６ １．６ ２．７ ２．１ １．５ ０．９ ３．２ １．３ ２．１ ２．６ ２．１ １．０ １．８ ２．２ １．８ 试估计李家庄家庭平均年收入、全村年收入以及村中家庭年收入超过１．５万元的 百分比． １０．小明想了解光明小区的家庭教育费用支出情况，调查了自己学校家住光明小区 的３０名同学的家庭，并把这３０个家庭的教育费用的平均数作为光明小区家庭教 育费用的平均数的估计，你觉得合理吗？若不合理，请说明理由，并设计一个 抽样调查的方案．   １１．据统计，Ａ，Ｂ两省人口总数基本相同．２０１１年Ａ省的城镇在校中学生人数为 １５６万，农村在校中学生人数为７２万；Ｂ省的城镇在校中学生人数为８４万，农 村在校中学生人数为１０３万．李军同学根据数据画出下面两种复合条形统计图． 学生人数 学生人数 250(cid:0) 200(cid:0) 200(cid:0) 150(cid:0) 150(cid:0) 农村 农村 100(cid:0) 100(cid:0) 城镇 城镇 50(cid:0) 50(cid:0) 0(cid:0) 0(cid:0) A(cid:0)省 B(cid:0)省 省份 A(cid:0)省 B(cid:0)省 省份 （第１１题） （１）哪种图能更好地反映两省在校中学生总人数？ （２）哪种图能更好地比较Ａ （Ｂ）省城镇与农村在校中学生人数？ （３）说说这两种图的特点． １２．设计一份关于一周内丢弃塑料袋个数的调查问卷，并设计一个抽样调查方案， 对全校同学作抽样调查．估计全校同学的家庭一周内共丢弃的塑料袋个数，并 根据调查结果估计一个月的情况． １２４ !+#$,-./01 23456   瓶子中有多少粒豆子 一个瓶子中装有一些豆子，你能用几种方法估计出这个瓶子中豆子的数目？请 同学们小组合作完成下面的活动： （１）从瓶子中取出一些豆子， （２）给这些豆子做上记号； 记录这些豆子的粒数犿； （３）把这些豆子放回瓶子中， （４）从瓶子中再取出一些豆子， 充分摇匀； 记录这些豆子的粒数狆和其中 带有记号的豆子的粒数狀； （５）利用得到的数据犿，狆，狀，估计原来瓶子中豆子的粒数狇，狇＝ ； （６）数出瓶子中豆子的总数，验证你的估计． 上面的试验利用了抽样调查的方法．类似的试验在生产和科研中经常用到．例如，我 们可以用这种方法估计一个养鱼池中鱼的数目． 首先从鱼池的不同地方捞出一些鱼，在这些鱼的身上做上记号，并记录捞出的鱼的数 目犿，然后把鱼放回鱼池．过一段时间后，在同样的地方再捞出一些鱼，记录这些鱼的数 狀 目狆，数出其中带有记号的鱼的数目狀，计算 ，并把它作为整个鱼池中带有记号的鱼在 狆 鱼的总数中所占的比值．这样就可以估计鱼池里鱼的数目狇，即 狆 狇≈ ×犿． 狀 １２５ !+#$,-./01 23456１０．２ 直方图 我们学习了条形图、折线图、扇形图等描述数据的方法，下面介绍另一种 常用来描述数据的统计图———直方图． 问题 为了参加全校各年级之间的广播体操比赛，六年级准备从６３名同 学中挑选身高相差不多的４０名同学参加比赛．为此收集到这６３名同学的身高 （单位：ｃｍ）如下： １５８ １５８ １６０ １６８ １５９ １５９ １５１ １５８ １５９ １６８ １５８ １５４ １５８ １５４ １６９ １５８ １５８ １５８ １５９ １６７ １７０ １５３ １６０ １６０ １５９ １５９ １６０ １４９ １６３ １６３ １６２ １７２ １６１ １５３ １５６ １６２ １６２ １６３ １５７ １６２ １６２ １６１ １５７ １５７ １６４ １５５ １５６ １６５ １６６ １５６ １５４ １６６ １６４ １６５ １５６ １５７ １５３ １６５ １５９ １５７ １５５ １６４ １５６ 选择身高在哪个范围的同学参加呢？ 为了使选取的参赛选手身高比较整齐，需要知道数据 （身高）的分布情 况，即在哪些身高范围的同学比较多，而哪些身高范围的同学比较少．为此可 以通过对这些数据适当分组来进行整理． １．计算最大值与最小值的差 在上面的数据中，最小值是１４９，最大值是１７２，最大值与最小值的差是 ２３，说明身高的变化范围是２３． １２６ !+#$,-./01 23456２．决定组距和组数 把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离 （组内数据的取 值范围）称为组距．根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同．本问题中 我们作等距分组，即令各组的组距相同．如果从最小值起每隔３作为一组，那 么由于 最大值－最小值 ２３ ２ ＝ ＝７ ， 组距 ３ ３ 所以要将数据分成８组：１４９≤狓＜１５２，１５２≤ 狓＜１５５，…，１７０≤狓＜１７３．这里组数和组距分 别为８和３． 组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经 验和所研究的具体问题来决定．将一批数据分组， 你能举出其他 一般数据越多分的组数也越多．当数据在１００个以 分组的例子吗？ 内时，按照数据的多少，常分成５～１２组． ３．列频数分布表 对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数 （叫做 频数 （ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ））．整理可得下面的频数分布表： 表１０３ 频数分布表 身高分组 划记 频数 １４９≤狓＜１５２ ■ ２ １５２≤狓＜１５５ 正■ ６ １５５≤狓＜１５８ 正正■ １２ １５８≤狓＜１６１ 正正正■ １９ １６１≤狓＜１６４ 正正 １０ １６４≤狓＜１６７ 正■ ８ １６７≤狓＜１７０ ■ ４ １７０≤狓＜１７３ ■ ２ 从表１０３中可以看出，身高在１５５≤狓＜１５８，１５８≤狓＜１６１，１６１≤狓＜ １６４三个组的人数最多，一共有１２＋１９＋１０＝４１ （人）． 因此可以从身高在１５５ｃｍ至１６４ｃｍ （不含１６４ｃｍ）的同学中挑选参加比 赛的同学． １２７ !+#$,-./01 23456 上面对数据进行分组时，组距取３，把数据分成８组．如果组距取２ 或４，那么数据分成几个组？这样能否选出需要的４０名同学呢？ ４．画频数分布直方图 如图１０．２１，为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据表１０３ 画出频数分布直方图 （ｈｉｓｔｏｇｒａｍ）． 频数/组距 7(cid:0) 6(cid:0) 5(cid:0) 4(cid:0) 3(cid:0) 2(cid:0) 1(cid:0) 0(cid:0) 149(cid:0)152(cid:0) 155(cid:0) 158(cid:0) 161(cid:0) 164(cid:0) 167(cid:0) 170(cid:0) 173(cid:0)身高/cm(cid:0) 图１０．２１ 在图１０．２１中，横轴表示身高，纵轴表示频数与组距的比值．容易看出， 频数 小长方形面积＝组距× ＝频数． 组距 可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数 的大小，小长方形的高是频数与组距的比值． 等距分组时，各小长方形的面积 （频数）与高的比是常数 （组距）．因此， 画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的 高表示频数．例如，图１０．２１表示的等距分组问题通常用图１０．２２的形式 表示． ! ! 20 15 10 5 0 149 152 155 158 161 164 167 170 173  cm 图１０．２２ １２８ !+#$,-./01 23456例 为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了１００根麦 穗，量得它们的长度如下表 （单位：ｃｍ）： ６．５ ６．４ ６．７ ５．８ ５．９ ５．９ ５．２ ４．０ ５．４ ４．６ ５．８ ５．５ ６．０ ６．５ ５．１ ６．５ ５．３ ５．９ ５．５ ５．８ ６．２ ５．４ ５．０ ５．０ ６．８ ６．０ ５．０ ５．７ ６．０ ５．５ ６．８ ６．０ ６．３ ５．５ ５．０ ６．３ ５．２ ６．０ ７．０ ６．４ ６．４ ５．８ ５．９ ５．７ ６．８ ６．６ ６．０ ６．４ ５．７ ７．４ ６．０ ５．４ ６．５ ６．０ ６．８ ５．８ ６．３ ６．０ ６．３ ５．６ ５．３ ６．４ ５．７ ６．７ ６．２ ５．６ ６．０ ６．７ ６．７ ６．０ ５．５ ６．２ ６．１ ５．３ ６．２ ６．８ ６．６ ４．７ ５．７ ５．７ ５．８ ５．３ ７．０ ６．０ ６．０ ５．９ ５．４ ６．０ ５．２ ６．０ ６．３ ５．７ ６．８ ６．１ ４．５ ５．６ ６．３ ６．０ ５．８ ６．３ 列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图． 解：（１）计算最大值与最小值的差． 在样本数据中，最大值是７．４，最小值是４．０，它们的差是 ７．４－４．０＝３．４． （２）决定组距与组数． 在本例中，最大值与最小值的差是３．４．如果取组距为０．３，那么由于 ３．４ １ ＝１１ ， ０．３ ３ 可分成１２组，组数适合．于是取组距为０．３，组数为１２． （３）列频数分布表． 表１０４ 分组 划记 频数 ４．０≤狓＜４．３ ■ １ ４．３≤狓＜４．６ ■ １ ４．６≤狓＜４．９ ■ ２ ４．９≤狓＜５．２ 正 ５ ５．２≤狓＜５．５ 正正■ １１ ５．５≤狓＜５．８ 正正正 １５ ５．８≤狓＜６．１ 正正正正正■ ２８ ６．１≤狓＜６．４ 正正■ １３ ６．４≤狓＜６．７ 正正■ １１ ６．７≤狓＜７．０ 正正 １０ ７．０≤狓＜７．３ ■ ２ ７．３≤狓＜７．６ ■ １ 合计 １００ １２９ !+#$,-./01 23456（４）画频数分布直方图． 30 25 20 15 10 5 0 4.0 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8 6.1 6.4 6.7 7.0 7.3 7.6  cm 图１０．２３ 从表１０４和图１０．２３看到，麦穗长度大部分落在５．２ｃｍ至７．０ｃｍ之 间，其他范围较少．长度在５．８≤狓＜６．１范围内的麦穗根数最多，有２８根， 而长度在４．０≤狓＜４．３，４．３≤狓＜４．６，４．６≤狓＜４．９，７．０≤狓＜７．３， ７．３≤狓＜７．６范围内的麦穗根数很少，总共只有７根． 下面数据是截至２０１０年费尔兹奖得主获奖时的年龄： ２９ ３９ ３５ ３３ ３９ ２８ ３３ ３５ ３１ ３１ ３７ ３２ ３８ ３６ ３１ ３９ ３２ ３８ ３７ ３４ ２９ ３４ ３８ ３２ ３５ ３６ ３３ ２９ ３２ ３５ ３６ ３７ ３９ ３８ ４０ ３８ ３７ ３９ ３８ ３４ ３３ ４０ ３６ ３６ ３７ ４０ ３１ ３８ ３８ ４０ ４０ ３７ 请根据下面不同的分组方法列出频数分布表，画出 费尔兹奖是国际上享有崇 频数分布直方图，比较哪一种分组能更好地说明费 高声誉的一个数学奖项， 尔兹奖得主获奖时的年龄分布： 每４年评选一次，主要授 （１）组距是２，各组是２８≤狓＜３０，３０≤狓＜３２，…； 予年轻的数学家．美籍华 （２）组距是５，各组是２５≤狓＜３０，３０≤狓＜３５，…； 人丘成桐 （１９４９年出生） １９８２年获费尔兹奖． （３）组距是１０，各组是２０≤狓＜３０，３０≤狓＜４０，…． １３０ !+#$,-./01 23456习题１０．２  １．江涛同学统计了他家１０月份的长途电话明细清单，按通话时间画出直方图 （如图）． （１）他家这个月一共打了多少次长途电话？ （２）通话时间不足１０ｍｉｎ的多少次？ （３）哪个时间范围的通话最多？哪个时间范围的通话最少？ ! ! 30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25  min （第１题） ２．从蔬菜大棚中收集到５０株西红柿秧上小西红柿的个数： ２８ ６２ ５４ ２９ ３２ ４７ ６８ ２７ ５５ ４３ ３６ ７９ ４６ ５４ ２５ ８２ １６ ３９ ３２ ６４ ６１ ５９ ６７ ５６ ４５ ７４ ４９ ３６ ３９ ５２ ８５ ６５ ４８ ５８ ５９ ６４ ９１ ６７ ５４ ５７ ６８ ５４ ７１ ２６ ５９ ４７ ５８ ５２ ５２ ７０ 请按组距为１０将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图，分析数据分 布的情况．  ３．体育委员统计了全班同学６０秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 ６０≤狓＜８０ ８０≤狓＜１００１００≤狓＜１２０１２０≤狓＜１４０１４０≤狓＜１６０１６０≤狓＜１８０１８０≤狓＜２００ 频数 ２ ４ ２１ １３ ８ ４ １ （１）全班有多少学生？ （２）组距是多少？组数是多少？ （３）跳绳次数狓在１００≤狓＜１４０范围的学生有多少？占全班学生的百分之几？ （４）画出适当的统计图表示上面的信息． （５）你怎样评价这个班的跳绳成绩？ １３１ !+#$,-./01 23456４．一家面粉批发商铺统计了前４８个星期的销售量 （单位：ｔ）： ２４．４ １９．１ ２２．７ ２０．４ ２１．０ ２１．６ ２２．８ ２０．９ ２１．８ １８．６ ２４．３ ２０．５ １９．７ ２３．５ ２１．６ １９．８ ２０．３ ２２．４ ２０．２ ２２．３ ２１．９ ２２．３ ２１．４ １９．２ ２３．５ ２０．５ ２２．１ ２２．７ ２３．２ ２１．７ ２１．１ ２３．１ ２３．４ ２３．３ ２１．０ ２４．１ １８．５ ２１．５ ２４．４ ２２．６ ２１．０ ２０．０ ２０．７ ２１．５ １９．８ １９．１ １９．１ ２２．４ 请将数据适当分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图，并分析这家面粉批 发商铺每星期进面粉多少吨比较合适．   ５．下面是２００９年全国一些省 （自治区、直辖市）的城市园林绿地面积 （单位： ｈｍ２）． 北京 ６１６９５ 上海 １１６９２９ 湖北 ５４８８４ 云南 ２２３７２ 天津 １７３６９ 江苏 ２１４９８９ 湖南 ４２９４０ 西藏 ２１７４ 河北 ６０９２３ 浙江 ７４３６２ 广东 ４０１６０４ 陕西 ２３４２６ 山西 ２７９７３ 安徽 ６７２６９ 广西 ５７８１２ 甘肃 １４７０２ 内蒙古 ２９５８５ 福建 ４１３３０ 海南 ４８９４７ 青海 ３２９０ 辽宁 ８４１４５ 江西 ３７５９６ 重庆 ３２４５１ 宁夏 １４５２５ 吉林 ３４７５５ 山东 １４６９９３ 四川 ６６８１７ 新疆 ３６３５９ 黑龙江 ６４２３４ 河南 ６２９４７ 贵州 ２７７７１ 根据上面提供的数据，分析２００９年这些地区的城市园林绿地面积的分布情况．   利用计算机画统计图 在计算机上画统计图不但快捷方便，而且画出的统计图标准、美观．我们可以用电子 表格画统计图．下面以画扇形图１０．１１（２）为例，简单介绍一下操作过程． １．打开电子表格 （如Ｅｘｃｅｌ）软件，按列 （或行）输入数据并选中它们 （图１）． ２．利用软件图表功能，打开 “图表向导”窗口 （图２）． １３２ !+#$,-./01 23456图１ 图２ ３．在 “标准类型”的 “图表类型”中选择 “饼图”（扇形图），点击 “下一步”，出现 窗口 （图３）． 图３ 图４ ４．选择 “列”，点击 “下一步”，出现窗口 （图４）． ５．在 “数据标志”的 “数据标签包括”中选择 “百分比 （Ｐ）”，并点击完成，就可以 作出扇形图． 利用电子表格不仅能够画扇形图，还可以画出其他类型的统计图．请利用电子表格画 出条形图１０．１１（１）和直方图１０．２２． １３３ !+#$,-./01 23456１０．３ 课题学习 从数据谈节水 阅读下面资料． 地球上的水包括大气水、地表水和地下水三大类．地表水可分为海洋水和陆 地水．陆地水又可分为冰川、河流、湖泊等．地球上水的总体积是１４．２亿ｋｍ３． 其中，海洋水约占９６．５３％以上，淡水约占２．５３％．而在淡水中，大部分在两 极的冰川、冰盖和以地下水的形式存在，其中冰川、冰盖占７７．２％，地下水 占２２．４％，而人类可以利用的水还不到１％． 目前，由于世界人口增长、水污染以及水资源浪费等原因，使全世界面临 着淡水资源不足的问题．世界各国特别是发展中国家水资源紧缺问题越来越严 重．发展中国家疾病死亡事件中８０％与缺水和水资源污染有关． 我国是世界上严重缺水的国家之一． 中国年水资源总量约为２．７５×１０４ 亿ｍ３ ， 居世界第六位，人均占有水量仅为 １ ２４００ｍ３ 左右，只相当于世界人均的 ， ４ 居世界第１１０位．中国已被联合国列为 １３个贫水国家之一． 随着水利事业的发展，我国的水利 建设工程取得了突飞猛进的发展．但由 于经济的进一步发展和人们生活用水量 的日益增长，水资源供应和需求出现了日益尖锐的矛盾．缺水状况在全国范围 内普遍存在．以城市供水为例，全国大约６７０个城市中，一半以上不同程度缺 水，其中严重缺水的有１１０多个．２０世纪８０年代以来，我国北方许多大中城 市因缺水致使居民定量供水，电厂、工厂停产或限产． 我国一方面存在水资源供不应求的情况，另一方面水资源得不到合理利用． 例如，２００８年，全国农业用水量为３６６４亿ｍ３ ，占全国总用水量的６２％，但在 灌溉农田时，有６０％左右的水消耗于蒸发渗透；全国工业用水量为１４０１亿ｍ３ ， 而水的重复利用率仅为５０％左右；全国生活用水量逐年上升，如下页表所示， 这除了与人口增长有关，生活中浪费水的现象也不容忽视． １３４ !+#$,-./01 23456２０００～２００８年全国生活用水量 （单位：亿ｍ３） 年份 ２０００ ２００１ ２００２ ２００３ ２００４ ２００５ ２００６ ２００７ ２００８ 用水量 ５７７ ６０１ ６１６ ６３１ ６５１ ６７５ ６９４ ７１０ ７２９ 水资源的短缺已成为制约社会和经济发展的重要因素．合理利用水资源是 人类可持续发展的当务之急．而节约用水是水资源合理利用的关键所在，是最 快捷、最有效、最可行的维护水资源可持续利用的途径之一．我们每个人都应 该有节约用水的意识，积极参与节水行动，这是实现水资源合理利用的前提和 保证． 一、根据阅读材料，完成下列问题． １．请给短文配上合适的统计图形，直观地表示地球上水资源和淡水资源 的分布情况． ２．根据国外的经验，一个国家的用水量超过其水资源总量的２０％，就有 可能发生 “水危机”．依据这个标准，２００８年我国是否属于可能发生 “水危 机”的行列？ ３．由表 “２０００～２００８年全国生活用水量”可知，全国生活用水量逐年上 升．若在平面直角坐标系中描出表中各对值所对应的点，其中横坐标表示年份， 纵坐标表示年用水量 （图１０．３１），可以发现，这些散点近似落在某条直线上． P 800 750 700 650 600 550 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010  图１０．３１ （１）如果用靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的这种发展趋势，你能 试着在图１０．３１上作出这条直线吗？ １３５ !+#$,-./01 23456（２）根据所作直线，估计２００９年和２０１０年的全国生活用水量，并和自己 查阅的这两年实际的用水量进行比较．你的估计准确吗？为什么？ 二、进行统计调查，完成统计报告． 请以小组为单位，以 “家庭人均月生活用水量”为题，在全校范围内开展 一次统计调查活动，并完成一篇调查报告． １．给出调查目的，调查对象，调查问卷，调查方法． ２．用表格整理收集到的数据，用直方图描述数据，并分析数据中蕴含的 信息． ３．计算或估计全校同学家庭人均月生活用水量的平均数，并与全国人均 月生活用水量比较． ４．结合我国水资源短缺的形势，谈谈节约用水的意义，以及节约用水如 何从我做起． １３６ !+#$,-./01 23456   

 

小组合作完成下列活动： 根据本班人数准备相同数量的小纸片， 这些小纸片没有明显差别． １．调查并记录全班每个同学的身高，分 别写在不同小纸片上，算出全班同学的平均 身高，然后把所有的小纸片放在一个纸盒里． ２．充分搅拌盒中的纸片，随意抽取出１５ 张纸片作为一个样本，计算纸片上数字的平 均值，将抽取的纸片放回纸盒． ３．比较样本平均身高和全班平均身高，谈谈你对这个结果的看法． ４．重复上述步骤２若干次，把每次求得的样本平均身高和全班平均 身高作比较，你有什么发现？ 



准备一把带刻度的直尺，和一位同学合 作来测量反应速度． 第一步：伸出一只手，拇指和其余四指 分开； 第二步：让同伴把直尺直立，刻度０在 下方，拿到你的拇指和四指之间，使刻度０ 的位置与拇指在同一高度，然后松手，你要 以最快的速度抓住直尺； 第三步：记录手抓在直尺上的刻度犾（单位：ｃｍ）； 第四步：重复试验１０次，记录并整理试验所得数据． 在１０次试验中，所得犾的最大值和最小值各是多少？犾的平均值是多 少？犾的值与反应速度有什么关系？与你的同伴对调，并重复上面的过程， 看谁的反应速度快． １３７ !+#$,-./01 23456小 结 一、本章知识结构图 数据处理的一般过程：                  二、回顾与思考 为了更好地了解周围世界，根据现有信息作合理推断和预测，我们经常需 要有目的地收集一些数据． 本章我们学习了两种收集数据的方法———全面调查和抽样调查．全面调查 要考察全体调查对象，而抽样调查只考察部分调查对象．因为抽样调查是根据 样本来推断总体，所以在设计抽样方案时，要注意样本对总体的代表性．简单 随机抽样是一种基本且实用的抽样方法，它要求总体中的每一个体有相等的机 会被抽到．除了抽样方法要合理外，为了使样本能比较客观地反映总体，还要 考虑样本容量的大小． 利用统计图表等整理和描述数据，有利于我们发现和探索数据中蕴含的规 律，获取数据中的信息．不同的统计图从不同侧面描述了数据的特点，因此， 选用合适的统计图描述数据，对发现和探索数据的特点和规律是很重要的． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．什么是全面调查和抽样调查？它们各有什么优缺点？ ２．哪些情况下宜用全面调查？哪些情况下宜用抽样调查？ ３．为什么抽样调查可以作为了解总体的方法？为了使样本对总体有较好的 代表性，抽样时需要注意什么？ ４．简单随机抽样有什么特点？用简单随机抽样抽出的样本是否一定具有代 表性？请举例说明． ５．条形图、扇形图、折线图和直方图在表示数据方面各有什么特点？ １３８ !+#$,-./01 23456条形图 扇形图 能够显示每组中的具体数据 能够显示部分在总体中所占的百分比 折线图 直方图 能够显示数据的变化趋势 能够显示数据的分布情况 复习题１０  １．要调查下列问题，你觉得应采用全面调查还是抽样调查？说说理由． （１）检测某城市的空气质量； （２）了解全国中学生的视力和用眼卫生情况； （３）企业招聘，对应聘人员进行面试； （４）调查某池塘中现有鱼的数量． ２．请指出下列哪些调查的样本缺乏代表性． （１）了解全校同学喜欢课程情况，对某班男同学进行调查； （２）了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查； （３）了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查． ３．校医院调查在校六年级学生的体重，对六年级３０名男生进行了调查，平均体重为 ４８ｋｇ，你觉得这个可以作为六年级学生平均体重的估计吗？为什么？ ４．为更好地开展体育运动，增强学生体质，学校准备在运动会前购买一批运动鞋， 供学生借用．六 （２）班为配合学校工作，从全校各个年级共随机抽查了３８名同 学的鞋号，具体数据如下： １３９ !+#$,-./01 23456３５ ３７ ３６ ３５ ３７ ３６ ３７ ３８ ３６ ３７ ３７ ３５ ３５ ３４ ３４ ３５ ３５ ３６ ３７ ３６ ３８ ３９ ３７ ３５ ３６ ３５ ３６ ３７ ３３ ３４ ４０ ３６ ３５ ３４ ３５ ３６ ３７ ３６ 整理上面的数据，看看穿不同鞋号的同学各有多少，他们各占调查总人数的百分 之几，请你对学校购鞋提出建议． ５．某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为２∶７∶３， 如图所示的扇形图表示上述分布情况． 甲 丙 （１）如果来自甲地区的为１８０人，求这个学校学生的 总数； 乙 （２）求各个扇形的圆心角的度数． （第５题） ６．下面是某年参加国际教育评估的１５个国家学生的数学平 均成绩 （狓）的统计图． （１）哪一个图能更好地说明一半以上国家的学生成绩在６０≤狓＜７０之间？ （２）哪一个图能更好地说明学生成绩在７０≤狓＜８０的国家多于在５０≤狓＜６０的国家？ ! ! 10 6.7% 8 6 26.7% 13.3% 40
x!50 50
x!60 4 60
x!70 2 53.3% 70
x!80 0 40 50 60 70 80  （第６题）  ７．对 “您觉得该不该在公共场所禁烟”作民意调查，下面是三名同学设计的调查 方案： 同学Ａ：我把要调查的问题放到访问量很大的网站上，这样大部分上网的人就可 以看到调查的问题，并很快就可以反馈给我． 同学Ｂ：我给我们小区的居民每一住户发一份问卷，一两天也就可以得到结果了． 同学Ｃ：我只要在班级上调查一下同学就可以了，马上就可以得到结果． 上面三名同学能获得比较准确的民意吗？为什么？ １４０ !+#$,-./01 23456８．下表给出了我国２００５～２０１０年国内生产总值 （ＧＤＰ）． 年 份 ２００５ ２００６ ２００７ ２００８ ２００９ ２０１０ ＧＤＰ／亿元 １８４９３７ ２１６３１４ ２６５８１０ ３１４０４５ ３４０９０３ ４０１２０２ （１）请选择合适的统计图描述表中的数据，并分析这几年国内生产总值的变化 趋势． （２）如果到２０２０年国内生产总值比２００５年翻两番，那么２０２０年的国内生产总值 是多少？增长了百分之几？ ９．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过 简单随机抽样调查获得的５０个家庭去年的月均用水量 （单位：ｔ）． ４．７ ２．０ ３．１ ２．３ ５．２ ２．８ ７．３ ４．３ ４．８ ６．７ ４．５ ５．１ ６．５ ８．９ ２．０ ４．５ ３．２ ３．２ ４．５ ３．５ ３．５ ３．５ ３．６ ４．９ ３．７ ３．８ ５．６ ５．５ ５．９ ６．２ ５．７ ３．９ ４．０ ４．０ ７．０ ３．７ ８．３ ４．２ ６．４ ３．５ ４．５ ４．５ ４．６ ５．４ ５．６ ６．６ ５．８ ４．５ ６．２ ７．５ （１）请选择合适的组距和组数，列出样本频数分布表，画出频数分布直方图．从 直方图中你能得到什么信息？ （２）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按１．５ 倍价格收费．若要使６０％的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量 应该定为多少？为什么？ １０．下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况． 
32 30 28 26 24 22 20 18 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00  （第１０题） （１）这一天的最高气温是多少？什么时候达到最高气温？ （２）这一天的最低气温是多少？什么时候达到最低气温？ （３）估计这一天７时、１１时、１５时和１９时的气温． １４１ !+#$,-./01 23456１１．在同一条件下，对同一型号的３０辆汽车进行耗油１Ｌ所行驶的路程的试验，结 果如下 （单位：ｋｍ）： １４．１ １２．３ １３．７ １４．０ １２．８ １２．９ １３．１ １３．６ １４．４ １３．８ １３．８ １２．６ １３．２ １３．３ １４．２ １３．９ １２．７ １３．０ １３．２ １３．５ １３．６ １３．４ １３．６ １２．１ １２．５ １３．１ １３．５ １３．２ １３．４ １２．６ 请统计分析汽车的耗油情况． １２．请你设计一个抽样调查的方案，了解自己所在学校有多少初中生帮父母做过 家务．   １３．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生 活……给我们带来种种好处．请你设计一个调查方案，了解你所在学校同学课 余阅读的情况，并比较男、女生在阅读爱好和阅读量上是否有差异． １４２ !+#$,-./01 23456部分中英文词汇索引 中文 英文 页码 正数 ｐｏｓｉｔｉｖｅｎｕｍｂｅｒ ２ 负数 ｎｅｇａｔｉｖｅｎｕｍｂｅｒ ２ 有理数 ｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ ６ 数轴 ｎｕｍｂｅｒａｘｉｓ ８ 原点 ｏｒｉｇｉｎ ８ 相反数 ｏｐｐｏｓｉｔｅｎｕｍｂｅｒ １０ 绝对值 ａｂｓｏｌｕｔｅｖａｌｕｅ １１ 乘方、幂 ｐｏｗｅｒ ４１ 底数 ｂａｓｅｎｕｍｂｅｒ ４１ 指数 ｅｘｐｏｎｅｎｔ ４１ 近似数 ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｎｕｍｂｅｒ ４６ 单项式 ｍｏｎｏｍｉａｌ ５６ 系数 ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ５６ 单项式的次数 ｄｅｇｒｅｅｏｆａｍｏｎｏｍｉａｌ ５６ 多项式 ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ５８ 项 ｔｅｒｍ ５８ 常数项 ｃｏｎｓｔａｎｔｔｅｒｍ ５８ 多项式的次数 ｄｅｇｒｅｅｏｆａｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ５８ 整式 ｉｎｔｅｇｒａｌｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ５８ 几何图形 ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｆｉｇｕｒｅ ７９ 立体图形 ｓｏｌｉｄｆｉｇｕｒｅ ７９ 平面图形 ｐｌａｎｅｆｉｇｕｒｅ ８０ 展开图 ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇｄｒａｗｉｎｇ ８１ 体 ｓｏｌｉｄ ８３ 面 ｓｕｒｆａｃｅ ８３ １４３ 789:;<=>?线 ｌｉｎｅ ８３ 点 ｐｏｉｎｔ ８３ 相交 ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ８９ 交点 ｐｏｉｎｔｏｆｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ８９ 中点 ｍｉｄｐｏｉｎｔ ９１ 距离 ｄｉｓｔａｎｃｅ ９３ 定义 ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ９３ 角 ａｎｇｌｅ ９６ 度 ｄｅｇｒｅｅ ９７ 角的平分线 ａｎｇｕｌａｒｂｉｓｅｃｔｏｒ ９９ 余角 ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎｇｌｅ １０１ 补角 ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎｇｌｅ １０１ 统计学 ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ １１５ 抽样调查 ｓａｍｐｌｉｎｇｓｕｒｖｅｙ １１８ 简单随机抽样 ｓｉｍｐｌｅｒａｎｄｏｍｓａｍｐｌｉｎｇ １２０ 频数 ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ １２７ 直方图 ｈｉｓｔｏｇｒａｍ １２８ １４４ 789:;<=>?后 记 本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发 中心依据教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，经国家基础 教育课程教材专家工作委员会2012年审查通过. 本册教科书集中反映了基础教育教科书研究与实验的成果，凝聚了参与课 改实验的教育专家、学科专家、教研人员以及一线教师的集体智慧. 我们感谢所 有对教科书的编写、出版提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友，感谢整体 设计艺术指导吕敬人等. 本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、 画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持. 对此，我们表示衷心的感 谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请入选作品的作者与我们联系，以便支 付稿酬. 我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝 贵意见，并将这些意见和建议及时反馈给我们. 让我们携起手来，共同完成义务 教育教材建设工作！ 联系方式 电 话：010-58758333 电子邮箱：jcfk@pep.com.cn 人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 2012年5月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU 义 SHUXUE 务 教 育 六年级 教 科 义务教育教科书 书 ︵ （五·四学制） 五 · 四 下册 学 制 ︶ 数学 六年级 下册 数 数学 学 六 年 级 下 册 绿色印刷产品 定价：9.35 元 数学六年级下封面 绿标.indd 1 2013.8.7 10:29:29 AM