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2018年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答
选项，其中只有一个是正确的。请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记3
分，不涂、错涂或多涂记0分。
1．（3分）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．扇形 B．正五边形 C．菱形 D．平行四边形
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查
B．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件
C．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨
D．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣a4b÷a2b＝﹣a2b B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a2•a3＝a6 D．﹣3a2+2a2＝﹣a2
5．（3分）如图，BC是 O的直径，A是 O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．58° B．60° C．64° D．68°
6．（3分）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）直线y＝2x向下平移2个单位长度得到的直线是（ ）
A．y＝2（x+2） B．y＝2（x﹣2） C．y＝2x﹣2 D．y＝2x+2
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，
第1页（共23页）若BC＝2，则EF的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
9．（3分）已知 ＝3，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点
E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正
确的是（ ）
A．CE＝ B．EF＝ C．cos∠CEP＝ D．HF2＝EF•CF
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应的横线上。
11．（3分）某地某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣4℃，则该地当天的温差为 ℃．
12．（3分）甲、乙两名同学的5次射击训练成绩（单位：环）如下表．
甲 7 8 9 8 8
乙 6 10 9 7 8
比较甲、乙这5次射击成绩的方差S甲 2，S乙 2，结果为：S甲 2 S乙 2．（选填“＞”
“＝”或“＜“）
13．（3分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，
∠FAE＝19°，则∠C＝ 度．
第2页（共23页）14．（3分）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n＝0的根，则m﹣n的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD＝1，
BD＝2，BC＝4，则EF＝ ．
16．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，
n）．给出下列结论：
2a+c＜0；
①
若（﹣ ，y ），（﹣ ，y ），（ ，y ）在抛物线上，则y ＞y ＞y ；
1 2 3 1 2 3
②
关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；
③
当n＝﹣ 时，△ABP为等腰直角三角形．
④
其中正确结论是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（6分）计算： ﹣（1﹣ ）0+sin45°+（ ）﹣1
18．（6分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．
第3页（共23页）求证：∠C＝∠E．
19．（6分）“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组
织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛，成绩如下表：
成绩/分 7 8 9 10
人数/人 2 5 4 4
（1）这组数据的众数是 ，中位数是 ．
（2）已知获得10分的选手中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽
取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x ，x ，且x 2+x 2＝10，求m的值．
1 2 1 2
21．（8分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝ （m≠0）交于点A（﹣ ，2），B（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点P在x轴上，如果S△ABP ＝3，求点P的坐标．
22．（8分）如图，C是 O上一点，点P在直径AB的延长线上， O的半径为3，PB＝2，PC＝
4． ⊙ ⊙
（1）求证：PC是 O的切线．
⊙
第4页（共23页）（2）求tan∠CAB的值．
23．（10分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与
用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于
16件，设购进A型丝绸m件．
求m的取值范围．
①已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本
②为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式
（每件销售利润＝售价﹣进价﹣销售成本）．
24．（10 分）如图，矩形 ABCD 中，AC＝2AB，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形
AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F
＝AB．
（1）求证：AE＝C′E．
（2）求∠FBB'的度数．
（3）已知AB＝2，求BF的长．
25．（10分）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
第5页（共23页）（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．
是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不
存在，请说明理由．
第6页（共23页）2018年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答
选项，其中只有一个是正确的。请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记3
分，不涂、错涂或多涂记0分。
1．【分析】将各项数字按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．
【解答】解：根据题意得：﹣ ＜0＜1＜ ，
则最小的数是﹣ ．
故选：A．
【点评】此题考查了实数大小比较，正确排列出数字是解本题的关键．
2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、扇形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
3．【分析】利用概率的意义以及实际生活常识分析得出即可．
【解答】解：A、调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，此选项正确；
B、篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是随机事件，此选项错误；
C、天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天下雨可能性较大，此选项错误；
D、小南抛掷两次硬币都是正面向上，并不能说明每次抛出硬币一定向上，即抛掷硬币正
面向上的概率不是1，此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了随机事件的定义和概率的意义，正确把握相关定义是解题关键．
4．【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：﹣a4b÷a2b＝﹣a2，故选项A错误，
第7页（共23页）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项B错误，
a2•a3＝a5，故选项C错误，
﹣3a2+2a2＝﹣a2，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5．【分析】根据半径相等，得出OC＝OA，进而得出∠C＝32°，利用直径和圆周角定理解答即
可．
【解答】解：∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC＝32°，
∵BC是直径，
∴∠B＝90°﹣32°＝58°，
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注
意数形结合思想的应用．
6．【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：移项，得：x﹣2x≥﹣1﹣1，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得：x≤2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥
向右画；＜，≤向左画），注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，
“＞”要用空心圆点表示．
7．【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线y＝2x向下平移2个单位得到的函数解析式
为y＝2x﹣2．
【解答】解：直线y＝2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y＝2x﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y＝kx（k≠0）的图象为直线，当直
线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y＝kx+m．
第8页（共23页）8．【分析】根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AD，得到△CBD为等边三角形，根据三角
形的中位线定理计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD＝AD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△CBD为等边三角形，
∴CD＝BC＝2，
∵E，F分别为AC，AD的中点，
∴EF＝ CD＝1，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中
位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9．【分析】由 ＝3得出 ＝3，即x﹣y＝﹣3xy，整体代入原式＝ ，计算可
得．
【解答】解：∵ ＝3，
∴ ＝3，
∴x﹣y＝﹣3xy，
则原式＝
＝
＝
＝ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思
想的运用．
10．【分析】首先证明BH＝AH，推出EG＝BG，推出CE＝CB，再证明△CEH≌△CBH，
第9页（共23页）Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．
【解答】解：连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB═BC＝AD＝2，CD∥AB，
∵BE⊥AP，CH⊥BE，
∴CH∥PA，
∴四边形CPAH是平行四边形，
∴CP＝AH，
∵CP＝PD＝1，
∴AH＝PC＝1，
∴AH＝BH，
在Rt△ABE中，∵AH＝HB，
∴EH＝HB，∵HC⊥BE，
∴BG＝EG，
∴CB＝CE＝2，故选项A错误，
∵CH＝CH，CB＝CE，HB＝HE，
∴△CBH≌△CEH，
∴∠CBH＝∠CEH＝90°，
∵HF＝HF，HE＝HA，
∴Rt△HFE≌Rt△HFA，
∴AF＝EF，设EF＝AF＝x，
在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2＝（2+x）2，
∴x＝ ，
∴EF＝ ，故B错误，
∵PA∥CH，
第10页（共23页）∴∠CEP＝∠ECH＝∠BCH，
∴cos∠CEP＝cos∠BCH＝ ＝ ，故C错误．
∵HF＝ ，EF＝ ，FC＝
∴HF2＝EF•FC，故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的
压轴题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应的横线上。
11．【分析】用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算
即可得解．
【解答】解：6﹣（﹣4），
＝6+4，
＝10℃．
故答案为：10
【点评】本题考查了温差问题，正确列出式子是解本题的关键．
12．【分析】首先求出各组数据的平均数，再利用方差公式计算得出答案．
【解答】解： ＝ （7+8+9+8+8）＝8，
＝ （6+10+9+7+8）＝8，
＝ [（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]
＝0.4；
＝ [（6﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2]
＝2；
则S甲 2＜S乙 2．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了方差，正确掌握方差计算公式是解题关键．
13．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的
第11页（共23页）定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平
分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝2n代入方程得到x2﹣2mx+2n＝0，然后把等
式两边除以n即可．
【解答】解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n＝0的根，
∴4n2﹣4mn+2n＝0，
∴4n﹣4m+2＝0，
∴m﹣n＝ ．
故答案是： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解．
15．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答
即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠F＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠F＝∠DBF，
∴DB＝DF，
第12页（共23页）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得：DE＝ ，
∵DF＝DB＝2，
∴EF＝DF﹣DE＝2﹣ ，
故答案为：
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．
16．【分析】利用二次函数的性质一一判断即可；
【解答】解：∵﹣ ＜ ，a＞0，
∴a＞﹣b，
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故 错误，
①
若（﹣ ，y ），（﹣ ，y ），（ ，y ）在抛物线上，
1 2 3
由图象法可知，y ＞y ＞y ；故 正确，
1 2 3
∵抛物线与直线y＝t有交点时，②方程ax2+bx+c＝t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c﹣t＝0有实数解
要使得ax2+bx+k＝0有实数解，则k＝c﹣t≤c﹣n；故 错误，
设抛物线的对称轴交x轴于H． ③
∵ ＝﹣ ，
∴b2﹣4ac＝4，
∴x＝ ，
∴|x ﹣x |＝ ，
1 2
∴AB＝2PH，
第13页（共23页）∵BH＝AH，
∴PH＝BH＝AH，
∴△PAB是直角三角形，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．故 正确．
故答案为 ． ④
②④
【点评】本题考查二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次
根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝ ﹣1﹣1+ +2
＝ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】由∠BAE＝∠DAC 可得到∠BAC＝∠DAE，再根据“SAS”可判断
△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C＝∠E．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∵ ，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
第14页（共23页）∴∠C＝∠E．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有
“SSS ”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．
19．【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）由于8分出现次数最多，
所以众数为8，
中位数为第8个数，即中位数为9，
故答案为：8、9；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中恰好抽到八年级两名领操员的有2种结果，
所以恰好抽到八年级两名领操员的概率为 ＝ ．
【点评】本题主要考查众数、中位数及列表法与树状图法，解题的关键是掌握众数和中位
数的定义，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，
但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形
图．
20．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x +x ＝2m﹣2，x x ＝m2﹣2m，
1 2 1 2
∴ + ＝（x +x ）2﹣2x x ＝10，
1 2 1 2
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m＝﹣1或m＝3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次
第15页（共23页）方程的解法，本题属于中等题型．
21．【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入
反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解
析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据
三角形的面积公式结合S△ABP ＝3，即可得出|x﹣ |＝2，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝ （m≠0）经过点A（﹣ ，2），
∴m＝﹣1．
∴双曲线的表达式为y＝﹣ ．
∵点B（n，﹣1）在双曲线y＝﹣ 上，
∴点B的坐标为（1，﹣1）．
∵直线y＝kx+b经过点A（﹣ ，2），B（1，﹣1），
∴ ，解得 ，
∴直线的表达式为y＝﹣2x+1；
（2）当y＝﹣2x+1＝0时，x＝ ，
∴点C（ ，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ABP ＝3，A（﹣ ，2），B（1，﹣1），
∴ ×3|x﹣ |＝3，即|x﹣ |＝2，
解得：x ＝﹣ ，x ＝ ．
1 2
∴点P的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）．
第16页（共23页）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐
标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：
（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及
S△ABP ＝3，得出|x﹣ |＝2．
22．【分析】（1）可以证明OC2+PC2＝OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是 O的
切线 ⊙
（2））AB是直径，得∠ACB＝90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而
，得出tan∠CAB＝ ．
【解答】解：（1）如图，连接OC、BC
∵ O的半径为3，PB＝2
∴⊙OC＝OB＝3，OP＝OB+PB＝5
∵PC＝4
∴OC2+PC2＝OP2
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC
∴PC是 O的切线．
第17页（共23页）
⊙（2）∵AB是直径
∴∠ACB＝90°
∴∠ACO+∠OCB＝90°
∵OC⊥PC
∴∠BCP+∠OCB＝90°
∴∠BCP＝∠ACO
∵OA＝OC
∴∠A＝∠ACO
∴∠A＝∠BCP
在△PBC和△PCA中：
∠BCP＝∠A，∠P＝∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴
∴tan∠CAB＝
【点评】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能证明图中相似三
角形是解决问题的关键．
23．【分析】（1）根据题意应用分式方程即可；（2） 根据条件中可以列出关于m的不等式组，
求m的取值范围； 本问中，首先根据题意，可①以先列出销售利润y与m的函数关系，通
过讨论所含字母n②的取值范围，得到w与n的函数关系．
【解答】解：（1）设B型丝绸的进价为x元，则A型丝绸的进价为（x+100）元
根据题意得：
解得x＝400
经检验，x＝400为原方程的解
∴x+100＝500
答：一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元．
（2） 根据题意得：
①
∴m的取值范围为：16≤m≤25
第18页（共23页）设销售这批丝绸的利润为y
②根据题意得：
y＝（800﹣500﹣2n）m+（600﹣400﹣n）•（50﹣m）
＝（100﹣n）m+10000﹣50n
∵50≤n≤150
∴（Ⅰ）当50≤n＜100时，100﹣n＞0
m＝25时，
销售这批丝绸的最大利润w＝25（100﹣n）+10000﹣50n＝﹣75n+12500
（Ⅱ）当n＝100时，100﹣n＝0，
销售这批丝绸的最大利润w＝5000
（Ⅲ）当100＜n≤150时，100﹣n＜0
当m＝16时，
销售这批丝绸的最大利润w＝﹣66n+11600．
综上所述：w＝ ．
【点评】本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）问 中，
进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题． ②
24．【分析】（1）在直角三角形ABC中，由AC＝2AB，得到∠ACB＝30°，再由折叠的性质得到
一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°，即可
求出所求角度数；
（3）法1：由AB＝2，得到B′B＝B′F＝2，∠B′BF＝15°，过B作BH⊥BF，在直角三角
形BB′H中，利用锐角三角函数定义求出BH的长，由BF＝2BH即可求出BF的长；
法2：连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角
形，分别利用三角函数定义求出MF与AM，根据AM＝BM，即BM+MF＝BF即可求出．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC＝2AB，
∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°，
由旋转可得：AB′＝AB，∠B′AC′＝∠BAC＝60°，
∴∠EAC′＝∠AC′B′＝30°，
∴AE＝C′E；
第19页（共23页）（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B＝60°，即∠BB'F＝∠AB'B+∠AB'F＝150°，
∵BB'＝B'F，
∴∠FBB′＝∠B'FB＝15°；
（3）法1：解：由AB＝2，得到B′B＝B′F＝2，∠B′BF＝15°，
过B作B′H⊥BF，
在Rt△BB′H中，cos15°＝ ，即BH＝2× ＝ ，
则BF＝2BH＝ + （cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝ × +
× ＝ ）；
法2：连接AF，过A作AM⊥BF，
（2）可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，
∴∠AFB′＝45°，
∴∠AFM＝30°，∠ABF＝45°，
在Rt△AMF中，AM＝BM＝AB•cos∠ABM＝2× ＝ ，
在Rt△AMF中，MF＝ ＝ ＝ ，
则BF＝ + ．
第20页（共23页）【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、直角三角
形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
25．【分析】（1）设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可；
（2）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行， 过P作PQ∥BC，交抛物线于
点Q，如图1所示； 设G（1，2），可得PG＝GH＝2，过H①作直线Q Q ∥BC，交x轴于点
2 3
H，分别求出Q的坐②标即可；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作
NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x ，y ），N
1 1
（x ，y ），设直线MN解析式为y＝﹣x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一
2 2
元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF为等腰直角三角形，得到MN2＝
2NF2，若四边形MNED为正方形，得到NE2＝MN2，求出b的值，进而确定出MN的长，即
为正方形边长．
【解答】解：（1）设y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4＝3，即a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∵S△PBC ＝S△QBC ，
∴PQ∥BC，
过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，
①
第21页（共23页）∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y＝﹣x+5，
联立得： ，
解得： 或 ，即（1，4）与P重合，Q （2，3）；
1
∵S△BCQ ＝S△BCP ，
②∴PG＝GH
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，P（1，4）
∴G（1，2），
∴PG＝GH＝2，
过H作直线Q Q ∥BC，交x轴于点H，则直线Q Q 解析式为y＝﹣x+1，
2 3 2 3
联立得： ，
解得： 或 ，
∴Q （ ， ），Q （ ， ）；
2 3
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，
第22页（共23页）如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与
△NEH都为等腰直角三角形，
设M（x ，y ），N（x ，y ），设直线MN解析式为y＝﹣x+b，
1 1 2 2
联立得： ，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3＝0，
∴NF2＝|x ﹣x |2＝（x +x ）2﹣4x x ＝21﹣4b，
1 2 1 2 1 2
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2＝2NF2＝42﹣8b，
∵H（x ，﹣x +3），
2 2
∴NH2＝[y ﹣（﹣x +3）]2＝（﹣x +b+x ﹣3）2＝（b﹣3）2，
2 2 2 2
∴NE2＝ （b﹣3）2，
若四边形MNED为正方形，则有NE2＝MN2，
∴42﹣8b＝ （b2﹣6b+9），
整理得：b2+10b﹣75＝0，
解得：b＝﹣15或b＝5，
∵正方形边长为MN＝ ，
∴MN＝9 或 ．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数
的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的
性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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