文档内容
2018 年宁夏中考数学试卷（教师版）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是
符合题目要求的）
1．（3分）计算：| | 的结果是（ ）
A．1 B． C．0 D．﹣1
【微点】实数的运算．
【思路】原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义计算即可求出值．
【解析】解：原式 0，
故选：C．
【点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a）3＝a3 B．（a2）3＝a5
C．a2÷a﹣2＝1 D．（﹣2a3）2＝4a6
【微点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂．
【思路】根据单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，对各选项分析判断后利
用排除法求解．
【解析】解：A、（﹣a）3＝﹣a3，错误；
B、（a2）3＝a6，错误；
C、a2÷a﹣2＝a4，错误；
D、（﹣2a3）2＝4a6，正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了整式的除法，单项式的乘法，是基础题，熟记运算法则是解题的关
键．
3．（3分）小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（
）
第 1 页 / 共 25 页A．30和 20 B．30和25 C．30和22.5 D．30和17.5
【微点】中位数；众数．
【思路】将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可
得．
【解析】解：将这10个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、
30、30、30，
所以该组数据的众数为30、中位数为 22.5，
故选：C．
【点拨】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将
一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均
数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排
列，就会出错．
4．（3分）若2 是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【微点】一元二次方程的解．
【思路】把2 代入方程x2﹣4x+c＝0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．
【解析】解：把2 代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2 ）2﹣4（2 ）+c＝0，
解得c＝1；
故选：A．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两
边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做
这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
第 2 页 / 共 25 页5．（3分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这
两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（ ）
A．300（1+x）＝507
B．300（1+x）2＝507
C．300（1+x）+300（1+x）2＝507
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507
【微点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【思路】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可
得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：设这两年的年利润平均增长率为x，
根据题意得：300（1+x）2＝507．
故选：B．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
6．（3分）用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径
是（ ）
A．10 B．20 C．10 D．20
【微点】圆锥的计算． π π
【思路】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2 r ，
π
解得r＝10．
故小圆锥的底面半径为10．
故选：A．
【点拨】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：
1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
7．（3分）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
第 3 页 / 共 25 页A．40° B．50° C．60° D．70°
【微点】平行线的性质．
【思路】结合平行线的性质得出：∠1＝∠3＝∠4＝40°，再利用翻折变换的性质得出答
案．
【解析】解：由题意可得：∠1＝∠3＝∠4＝40°，
则∠2＝∠5 70°．
故选：D．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
8．（3分）如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀
注水，60秒后将容器内注满．容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数
关系图象大致是（ ）
A． B．
第 4 页 / 共 25 页C． D．
【微点】函数的图象．
【思路】根据实心长方体在水槽里，长方体底面积减小，水面上升的速度较快，水淹没
实心长方体后一直到水注满，底面积是圆柱体的底面积，水面上升的速度较慢进行分析
即可．
【解析】解：根据题意可知，刚开始时由于实心长方体在水槽里，长方体底面积减小，
水面上升的速度较快，水淹没实心长方体后一直到水注满，底面积是圆柱体的底面积，
水面上升的速度较慢，
故选：D．
【点拨】此题考查函数的图象问题，关键是根据容器内水面的高度h（cm）与注水时间
t（s）之间的函数关系分析．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）不透明的布袋里有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，
那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 ．
【微点】概率公式．
【思路】由在不透明的袋中装有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其它都
相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率
【解析】解：∵在不透明的袋中装有1个黄球、4个红球、5个白球，共10个球且它们
除颜色外其它都相同，
∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）已知m+n＝12，m﹣n＝2，则m2﹣n2＝ 2 4 ．
第 5 页 / 共 25 页【微点】平方差公式．
【思路】根据平方差公式解答即可．
【解析】解：∵m+n＝12，m﹣n＝2，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2×12＝24，
故答案为：24
【点拨】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式的形式解答．
11．（3分）反比例函数y （k是常数，k≠0）的图象经过点（1，4），那么这个函数
图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
【微点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【思路】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用反比例函数的性质，
即可得出：这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而减小．
【解析】解：∵反比例函数y （k是常数，k≠0）的图象经过点（1，4），
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的解析式为y ，
∴这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而减小．
故答案为：减小．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利用反比
例函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
12．（3分）已知： ，则 的值是 ．
【微点】比例的性质．
【思路】根据等式的性质，可用a表示b，根据分式的性质，可得答案．
【解析】解：由 ，得
b a．
第 6 页 / 共 25 页，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出 b a是解题关键，又利用了
分式的性质．
13．（3分）关于x的方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 c
．
【微点】根的判别式．
【思路】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即
可得出结论．
【解析】解：∵关于x的方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×2c＝9﹣8c＞0，
解得：c ．
故答案为：c ．
【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是
解题的关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为
BC中点，反比例函数y （k是常数，k≠0）的图象经过点M，交AC于点N，则MN
的长度是 5 ．
第 7 页 / 共 25 页【微点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【思路】根据矩形的性质，可得M点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自
变量与函数值的对应关系，可得N点坐标，根据勾股定理，可得答案．
【解析】解：由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，得
M（8，3），N点的纵坐标是6．
将M点坐标代入函数解析式，得
k＝8×3＝24，
反比例函数的解析是为y ，
当y＝6时， 6，解得x＝4，N（4，6），
NC＝8﹣4＝4，CM＝6﹣3＝3，
MN 5，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出M点坐标是解题关键，又利用了
待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系求出 N点坐标，勾股定理求MN
的长．
15．（3分）一艘货轮以18 km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发
现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它
的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是 1 8 km．
第 8 页 / 共 25 页【微点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【思路】作CE⊥AB于E，根据题意求出AC的长，根据正弦的定义求出CE，根据三角
形的外角的性质求出∠B的度数，根据正弦的定义计算即可．
【解析】解：作CE⊥AB于E，
18 km/h×30分钟＝9 km，
∴AC＝9 km，
∵∠CAB＝45°，
∴CE＝AC•sin45°＝9km，
∵灯塔B在它的南偏东15°方向，
∴∠NCB＝75°，∠CAB＝45°，
∴∠B＝30°，
∴BC km，
故答案为：18．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角
三角函数的定义是解题的关键．
16．（3分）如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规
律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸
长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A4规格的纸
是我们日常生活中最常见的，那么由一张A4的纸可以裁 1 6 张A8的纸．
第 9 页 / 共 25 页【微点】规律型：图形的变化类．
【思路】根据题意可以得到一张A4的纸可以裁2张A5的纸，以此类推，得到答案．
【解析】解：由题意得，一张A4的纸可以裁2张A5的纸
一张A5的纸可以裁2张A6的纸
一张A6的纸可以裁2张A7的纸
一张A7的纸可以裁2张A8的纸，
∴一张A4的纸可以裁24＝16张A8的纸，
故答案为：16．
【点拨】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律
是解题的关键．
三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）解不等式组：
【微点】解一元一次不等式组．
【思路】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解析】解： ，
∵解不等式 得：x≤﹣1，
解不等式 ①得：x＞﹣7，
∴原不等②式组的解集为﹣7＜x≤﹣1．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是
解此题的关键．
第 10 页 / 共 25 页18．（6分）先化简，再求值：（ ） ，其中，x 3．
【微点】分式的化简求值．
【思路】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式
当 时，原式
【点拨】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题
型．
19．（6分）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C
（﹣1，﹣5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A B C ，请在网格中画
2 2 2
出△A B C ，并写出点B 的坐标．
2 2 2 2
【微点】作图﹣轴对称变换；作图﹣位似变换．
【 思 路 】 （ 1 ） 利 用 关 于 y 轴 对 称 点 的 性 质 得 出 对 应 点 得 出 即 可 ；
第 11 页 / 共 25 页（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案．
【解析】解：（1）如图所示：△A B C 即为所求：
1 1 1
（2）如图所示：△A B C 即为所求； B （10，8）或B （﹣10，﹣8）
2 2 2 2 2
【点拨】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．
20．（6分）某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时．为了解学生参加户外体
育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调
查结果绘制成如下的统计表（不完整）．
组别 时间（小时） 频数（人数） 频率
A 0≤t＜0.5 20 0.05
B 0.5≤t＜1 a 0.3
第 12 页 / 共 25 页C 1≤t＜1.5 140 0.35
D 1.5≤t＜2 80 0.2
E 2≤t＜2.5 40 0.1
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝ 12 0 ，将频数分布直方图补全；
（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？
（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画
树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【微点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；列表法与树状
图法．
【思路】（1）先根据A组频数及其频率求得总人数，再用总人数乘以B组的频率即可
得a的值，从而补全条形图；
（2）用总人数乘以A、B组频率之和可得；
（3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是 1名男生
和1名女生的概率．
【解析】解：（1）∵被调查的学生总人数为20÷0.05＝400，
∴a＝400×0.3＝120，
补全图形如下：
第 13 页 / 共 25 页（2）每天户外体育活动的时间不足 1小时的学生大约有 8000×（0.05+0.3）＝2800
（名）；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到1名男生和1名女生的可能性有6种．
∴P（抽到1名男生和1名女学生） ．
【点拨】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题
时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．一般来说，用样本去估
计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
21．（6分）已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂
足为M，交AB于点N．
（1）求证：△ABE≌△BCN；
（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE．
第 14 页 / 共 25 页【微点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．
【思路】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和三角函数解答即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB＝BC，∠A＝∠CBN＝90°，∠1+∠2＝90°
∵CM⊥BE，
∴∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3
在△ABE和△BCN中
∴△ABE≌△BCN（ASA）；
（2）∵N为AB中点，
∴BN AB
又∵△ABE≌△BCN，
∴AE＝BN AB
在Rt△ABE中，tan∠ABE═ ．
【点拨】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定解答．
22．（6分）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B
种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．
（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超
过多少元？
第 15 页 / 共 25 页（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件
产品的零售价比批发价多30元．现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000
元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
【微点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【思路】（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为（x+10）
元，根据每件产品的成本价不超过34元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其
中的最大值即可得出结论；
（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a+30）元，根据数量＝总价÷单价结合
用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相
同，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】解：（1）设B种原料每千克的价格为 x元，则 A种原料每千克的价格为
（x+10）元，
根据题意得：1.2（x+10）+x≤34，
解得：x≤10．
答：购入B种原料每千克的价格最高不超过10元．
（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a+30）元，
根据题意得： ，
解得：a＝50，
经检验，a＝50是原方程的根，且符合实际．
答：这种产品的批发价为50元．
【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出
分式方程．
四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）已知：AB为 O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，
连接AC，且AC＝CP．⊙
（1）求∠P的度数；
（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝20，求 O的面积．
（ 取3.14） ⊙
π
第 16 页 / 共 25 页【微点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路】（1）连接OC，由PC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OCP为直角，利用
等边对等角及外角性质求出所求即可；
（2）连接AD，由D为弧AB的中点，利用等弧所对的圆周角相等，再由公共角相等，
得到三角形ACD与三角形EAD相似，由相似得比例求出AD的长，进而求出AB的长，
求出OA的长，求出面积即可．
【解析】解：（1）连接OC，
∵PC为 O的切线，
∴∠OCP⊙＝90°，即∠2+∠P＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠1，
∵AC＝CP，
∴∠P＝∠CAO，
又∵∠2是△AOC的一个外角，
∴∠2＝2∠CAO＝2∠P，
∴2∠P+∠P＝90°，
∴∠P＝30°；
（2）连接AD，
∵D为 的中点，
∴∠ACD＝∠DAE，
∴△ACD∽△EAD，
∴ ，即AD2＝DC•DE，
∵DC•DE＝20，
∴AD＝2 ，
∵ ，
第 17 页 / 共 25 页∴AD＝BD，
∵AB是 O的直径，
∴Rt△A⊙DB为等腰直角三角形，
∴AB＝2 ，
∴OA AB ，
∴S ＝ •OA2＝10 ＝31.4．
O
⊙
π π
【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，以及切线的性
质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．（8分）抛物线y x2+bx+c经过点A（3 ，0）和点B（0，3），且这个抛物线
的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
【微点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析
式．
【思路】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用割补法求ABC的面积．
【解析】解：（1）∵抛物线 经过A 、B（0，3）
第 18 页 / 共 25 页∴ 由上两式解得
∴抛物线的解析式为： ；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x
把x 代入， 得y＝4
则点C坐标为（ ，4）
设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有 ，
解得
∴AB解析式为：
∵线段AB所在直线经过点A 、B（0，3）
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D
将点D 代入 ，解得m＝2
∴点D坐标为 ，
∴CD＝CE﹣DE＝2
第 19 页 / 共 25 页过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE
∵BF+AE＝OE+AE＝OA
∴S ＝S +S CD•BF CD•AE
△ABC △BCD △ACD
∴S CD（BF+AE） 2
△ABC
【点拨】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面
积．解答时注意数形结合．
25．（10分）空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz．
这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox
（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐
标系．
将相邻三个面的面积记为S 、S 、S ，且S ＜S ＜S 的小长方体称为单位长方体，现将
1 2 3 1 2 3
若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S 所在的面
1
与x轴垂直，S 所在的面与y轴垂直，S 所在的面与z轴垂直，如图1所示．
2 3
若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列
数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直
角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作
（1，2，6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2，3，4）．这
样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式．
（1）如图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有
序数组为 （ 2 ， 3 ， 2 ） ，组成这个几何体的单位长方体的个数为 1 2 个；
（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是 ；（只填序号）
每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放①方②式⑤．
①有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数．
②有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同．
③不同的有序数组所表示的几何体的体积不同．
④有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S
1
、S
2
、S
3
的个数．
⑤（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S ，某同学针
（x，y，z）
对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：
第 20 页 / 共 25 页几何体 单位长方体的 表面上面积为 表面上面积为 表面上面积为 表面积
个数 S 的个数 S 的个数 S 的个数
有序数组 1 2 3
（1，1，1） 1 2 2 2 2S +2S +2S
1 2 3
（1，2，1） 2 4 2 4 4S +2S +4S
1 2 3
（3，1，1） 3 2 6 6 2S +6S +6S
1 2 3
（2，1，2） 4 4 8 4 4S +8S +4S
1 2 3
（1，5，1） 5 10 2 10 10S +2S +10S
1 2 3
（1，2，3） 6 12 6 4 12S +6S +4S
1 2 3
（1，1，7） 7 14 14 2 14S +14S +2S
1 2 3
（2，2，2） 8 8 8 8 8S +8S +8S
1 2 3
… … … … … …
根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S ；（用
（x，y，z）
x、y、z、S 、S 、S 表示）
1 2 3
（4）当S ＝2，S ＝3，S ＝4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了
1 2 3
节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据
探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最
小面积．（缝隙不计）
【微点】几何变换综合题．
【思路】（1）根据有序数组（x，y，z）的定义即可判断；
（2）根据有序数组（x，y，z）的定义，结合图形即可判断；
第 21 页 / 共 25 页（3）探究观察寻找规律，利用规律即可解决问题；
（4）当S ＝2，S ＝3，S ＝4时S ＝2（yzS +xzS +xyS ）＝2（2yz+3xz+4xy），
1 2 3 （x，y，z） 1 2 3
欲使S 的值最小，不难看出x、y、z应满足x≤y≤z（x、y、z为正整数）．在由
（x，y，z）
12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为（1，1，12），（1，2，
6），（1，3，4），（2，2，3）．求出各个表面积即可判断；
【解析】解：（1）这种码放方式的有序数组为（2，3，2），组成这个几何体的单位长
方体的个数为2×3×2＝12个，
故答案为（2，3，2），12；
（2）正确的有 ．
故答案为 ①；②⑤
①②⑤
（3）S ＝2yzS +2xzS +2xyS ＝2（yzS +xzS +xyS ）．
（x，y，z） 1 2 3 1 2 3
（4）当S ＝2，S ＝3，S ＝4时S ＝2（yzS +xzS +xyS ）＝2（2yz+3xz+4xy）
1 2 3 （x，y，z） 1 2 3
欲使S 的值最小，不难看出x、y、z应满足x≤y≤z（x、y、z为正整数）．
（x，y，z）
在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为（1，1，12），（1，
2，6），（1，3，4），（2，2，3）．
而S ＝128，S ＝100，S ＝96，S ＝92
（1，1，12） （1，2，6） （1，3，4） （2，2，3）
所以，由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为：（2，2，3），
最小面积为S ＝92．
（2，2，3）
【点拨】本题考查几何变换综合题、空间直角坐标系、有序数组（x，y，z）的定义等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会从特殊到一般的探究
规律的方法，属于中考创新题目．
26．（10分）如图：一次函数y x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y
x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．
（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；
第 22 页 / 共 25 页（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．
【微点】一次函数综合题．
【思路】（1）先设出点P的坐标，进而得出点P的纵横坐标的关系，进而建立△OPM
的面积与点P的横坐标的函数关系式，即可得出结论；
（2）分两种情况，利用等腰三角形的两边相等建立方程即可得出结论．
【解析】解：（1）令点P的坐标为P（x ，y ）
0 0
∵PM⊥y轴
∴S OM•PM
△OPM
将 代入得S （x﹣2）2
△OPM
∴当x ＝2时，△OPM的面积，有最大值S ，
0 max
即：PM＝2，
∴PM∥OB，
∴
即
∵直线AB分别交两坐标轴于点A、B，
∴A（0，3），B（4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
第 23 页 / 共 25 页∴AP ；
（2） 在△BOP中，当BO＝BP时
BP＝B①O＝4，AP＝1
∵P M∥OB，
1
∴
∴ ，
将 代入代入 中，得
∴P （ ， ）；
1
在△BOP中，当OP＝BP时，如图，
②过点P作PN⊥OB于点N
∵OP＝BP，
∴ON
将ON＝2代入 中得，NP
∴点P的坐标为P（2， ），
即：点P的坐标为（ ， ）或（2， ）．
第 24 页 / 共 25 页【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，等腰三角形的性质，
用方程的思想和函数思想解决问题是解本题的关键．
第 25 页 / 共 25 页
