文档内容
南通市 2019 年初中毕业、升学考试试卷
数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项
1. 本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一
并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题
卡指定的位置。
3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的）
1．下列选项中，比—2℃低的温度是（ ）
A．—3℃ B．—1℃ C．0℃ D．1℃
2．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱
5．已知a、b满足方程组 则a+b的值为（ ）
A．2 B．4 C．—2 D．—4
6．用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ）A． B． C． D．
7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数
轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3（如图）．以O为圆心，OB的长
为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED读数为（ ）
A．110° B．125° C．135° D．140°
9．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：
min）的函数图像，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部
分。下列说法不正确的是（ ）
A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
10．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0<α<120°）得到
， 与BC，AC分别交于点D，E。设 ， 的面积为 ，则 与
的函数图像大致为（ ）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）
11．计算： ．
12．5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为 ．
13．分解因式： ．
14．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度．
15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈
十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九
钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有 个人
共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ．
16．已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 cm．
17．如图，过点C（3,4）的直线 交 轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线
过点B，将点A沿 轴正方向平移 个单位长度恰好落在该曲线上，则 的值
为 ．
18．如图， ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则
的最小值等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分8分）解不等式： ，并在数轴上表示解集．
20．（本小题满分8分）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（本小题满分8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点
C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD=CA．连接BC
并延长到点E，使CE=CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？22．（本小题满分9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些
球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1
个黄球的概率．
23．（本小题满分8分）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西
游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，
用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演
义》的价格．
24．（本小题满分10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统
计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等
于9分为优秀）．
平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率
一班 7.2 2.11 7 6 92.5% 20%
二班 6.85 4.28 8 8 85% 10%
根据图表信息，回答问题：
（1）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些；
（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平
更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？
25．（本小题满分9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点
O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P为\s\up6(⌒)中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；
（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．
26．（本小题满分10分）已知：二次函数 ．
（1）请写出该二次函数图像的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图像在 的部分与一次函数 的图
像有两个交点，求 的取值范围．
27、（13分）如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E,FF分别在AD,BC上，点A与点C关于EF
所在的直线对称，P是边DC上的一动点，
（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；
（2）当 的周长最小时，求 的值；
（3）连接BP交EF于点M，当 时，求CP的长。28、（13分）定义：若实数x，y满足 ， ，且 ，则称点M（x，y）为
“现点”。例如，点（0,2）和（-2,0）是“线点”。
已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n），
（1） 和 两点中，点 是“线点”；
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当
时，直接写出t的值。南通市 2019 年初中毕业、升学考试试卷
数学参考答案
1．A 解析：本题考查了有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，因此—3比—2
小．
2．B 解析：本题考查了二次根式的化简， ．
3．D 解析：本题考查了幂的运算法则，A项正确结果应该是 ；B项不是同类项，不能合
并；C项同底数幂相除，底数不变，指数相减，正确答案应该是 ；D项正确运用了幂的乘方
公式，正确．
4．C 解析：本题考查了常见几何体的三视图，球的三种视图都是圆；圆锥的三视图中有两
个是三角形，一个是圆，不符合；棱柱的三视图中没有圆，也不正确．
5．A 解析：直接将两个方程相加，可得 ，化简得 ．
6．D 解析：本题考查了配方法解一元二次方程，本题首先要移项，得 ，然后两
边同时加上一次项系数一半的平方是16，得 ，然后将左边化为平方的形式．
7．C 解析：本题考查了勾股定理和无理数的估值，由作法过程可知，OA=2，AB=3，利用勾
股定理可得OB= ，则P点所表示的数就是 ， ．
8．B 解析：本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，由AB∥CD，可知
∠BAC+∠C=180°，所以∠CAB=110°．又由于AE平分∠BAC，所以∠CAE=55°，所以
∠AED=∠C+∠CAE=125°．
9．C 解析：本题考查了函数图像的应用问题，C项的图像由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的．
10．B 解析：本题考查的是几何综合题，用到全等和函数的知识，也可以用轴对称的知识来
解决，从轴对称的角度，整个图形是一个轴对称图形， ，因此 ，又由已知
条件可求得 ，所以 ，对于 来说，底为 ，高是AH，可
利用30°所对直角边等于斜边一半求得AH等于1，所以 ，所以本题答案为B．
11．3 解析：本题考查了实数的计算， ．
12． 解析：本题考查了科学计数法，300000000= = ．
13． 解析：本题考查了分解因式，遵循先提取公因式，再利用平方差公式
的顺序， ．
14．70 解析：本题考查了全等的判定，先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证
∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°．
15． 解析：本题考查了一元一次方程的应用，总钱数=9×人数—11；总钱
数=6×人数+16．
16．5 解析：本题考查了圆锥侧面积公式，根据 ，可知 ，可求得
R=5．
17．4 解析：本题考查了反比例函数与几何图形的综合，可考虑分别过点B、点C作 轴和
轴的平行线，两条平行线相交于点M，与 轴的交点为N．将C（3,4）
代入 可得b=—2，然后求得A点坐标为（1,0），利用全等的
判定可证明△ABN≌△BCM，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B
（4,1），即可求出k=4，A点向上平移4个单位后得到的点（1,4）在上，即a=4．
18． 解析：本题考查了平行四边形的性质和线段之和最短问题，过点P作PQ⊥AD
于点Q，由于∠PDQ=60°，因此 ，当B、P、Q三点共线时，即点B到AD的垂线
段上即为 的最小值， 的最小值为 ．
19．解析：本题考查了一元一次不等式的解法，按照去父母、去括号、合并同类项的步骤做即
可．
解：两边同乘以3，得 ．移项，得 ．合并同类项，得 ．
把解集在数轴上表示为：
20．解析：本题考查分式的化简求值，按照先将分子、父母因式分解，然后约分化简，最后代入
求值的步骤来做．
解：原式 ．
把 代入上式，原式 ．
21．解析：本题考查了全等的应用，本题只需证明△ABC与△DEC全等，即可通过全等三角
形对边相等来完成证明．
证明：在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC．∴AB=DE．
22．解析：本题考查了概率的求法，可先画出树状图列出所有可能性．解：根据题意画出树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等．其中1白1
黄的有3种．所以 ．
23．解析：本题考查了分式方程的应用问题，题目中包含两个相等关系，“《西游记》单价=
《三国演义》单价+40元”，“3200元购买《三国演义》的套数=用2400元购买《西游记》套数
的2倍”，利用第一个相等关系设出未知数，第二个相等关系列出方程．
解：设每套《三国演义》的价格为 元，则每套《西游记》的价格为 元．
由题意，得 ．方程两边乘 ，得 ．
解得 ．经检验， 是原方程的解，且符合题意．所以，原分式方程的解为 ．
答：每套《三国演义》的价格为80元．
24．解析：本题考查了数据的收集整理与描述，在解决第2个问题的时候一定要注意．
解：（1）二 一
（2）乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中可以
看出，二班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较
大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些．（答案不唯一，理由
只要有理有据，参照给分）
25．解析：本题考查了圆、勾股定理、垂径定理等知识．
（1）若连接OB．则△BCO是一个含30°角的直角三角形，△AOB是底角为30°的等腰三角形，
可得∠OBC=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OB；（2）可先证明△POQ与△ABC相似，
所以Rt△AOC是一个含30°角的直角三角形，且斜边长为半径长，也可用同角三角函数值相
同来求；（3）可在Rt△PCQ中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan∠PCA的值．
解：（1）连接OB，∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=30°．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°∴∠OBC=30°．
在Rt△OBC中， ，即 ．解得 ．即⊙O的半径为 ．
（2）连接OP．∵点P为\s\up6(⌒)的中点，∴OP⊥AB．∴∠QPO=∠A=30°．
在Rt△OPQ中， ， ，
即 ， ．
∴ ， ．
（3）在Rt△OBC中， ，∴ ．∴ ．
26．解析：本题考查了二次函数的性质，（1）可从开口方向、对称轴、开口大小这些角度来研
究；（2）逐一将限制条件转化为不等式，有两个极限位置，一是直线经过抛物线上横坐标为4
的点，而是抛物线与直线有一个交点．
解：（1）①图像开口向上；②图像的对称轴为直线 ；③当 时， 随 的增大而增大；
④当 时， 随 的增大而减小；⑤当 时，函数有最小值．
（2）∵二次函数的图像与一次函数 的图像有两个交点，
∴ ，即 ．
，解得 ．
∵二次函数的图像在 的部分与一次函数 的图像有两个交点，
∴二次函数 的图像与 轴 的部分有两个交点．
结合图像，可知 时， ．
∴当 时， ，得 ．
∴当二次函数的图像在 的部分与一次函数 的图像有两个交点时，的取值范围为 ．
27．解析：本题考查了几何综合题．（1）利用垂直平分线的性质证明AE=CE，AF=CF，然后再
利用对称的性质和平行的性质，证得AE=AF，即可证得四条边都相等；（2）△PEF中，EF长
是定值，因此本题考查的实际上是PE+PF的最小值，我们作E关于CD的对称点为 ，此时
最小；（3）利用45°构造等腰直角三角形，设BP交AC于点Q，作BN⊥AC于点N．这时
△BQN为等腰直角三角形，△ABN与△ABC相似，先在Rt△ABN中求出BN和AN的长，
然后求出AQ、CQ的长，再根据△BAQ与△PCQ相似，求出PC的长．
解：（1）连接AC，交EF于点O．
由对称可知：OA=OC，AC⊥EF．∴AF=CF．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC．
∴△OAE≌△OCF．∴AE=CF．
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）∵△PEF的周长=PE+PF+EF，又EF长为定值，∴△PEF的周长最小时，即PE+PF最小．
作E关于直线CD的对称点 ，连接 交DC于点 ，则 ，
因此，当点P与点 彼此重合时，△PEF的周长最小．
∵AB=2，AD=4，∴ ．∴ ．
由△COF∽△CBA，得 ．∴ ．
∴ ．
由画图可知： ．由 ，得 ．
（3）设BP交AC于点Q，作BN⊥AC于点N．
∵∠EMP=45°，∴OM=OQ，NQ=BN．
由 ，得 ．
∴ ．在Rt△ABN中， ．
∴ ． ．
由AB∥CP，得△ABQ∽△CPQ，得 ．即 ．解得 ．
28．解析：本题考查的是利用完全平方公式进行的新定义；（1）由“ ，
”消去 ，可得， ，由于 ，可得 ，即当一个点的横纵
坐标之和为—2的时候，这个点就是线点．利用这一结论很容易判断 是线点；（2）利用完全
平方公式的变形，可用含 的代数式表示 ，然后再利用完全平方公式的非负性求出 的取
值范围；（3）如果 是“线点”那么 ，即Q是直线 上一点，又由
于P、Q的横纵坐标互换了位置，因此∠POB=15°（点P在第四象限）或∠POA=15°（点P在第
二象限），这就可以求出P点坐标，代入之前的定义即可求出 的值．
解：（1） ；
（2）∵ 是“线点”，∴ ， ．
∴ ， ．∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．即 ．∴ ．解得 ．
∴ 的取值范围为 ．
（3） 或6．
