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排列组合和概率问题思维导图
题型分类 必会知识点
“全部减不符”使用时机：有“至少”表述或“不
有序为排列，无序为组合；分步用乘法，分类 能”等否定提示；
一般排列组合问题
用加法；从特殊入手，全部减不符。 “至少”反面的求法：至少2个，即数量≥2，反面
为数量＜2，即只能是0个或1个。
符合要去的情况
一般概率问题 考点与排列组合基本一致， ，即为概率；特别考法有几何概型、独立重复试验等。
所有可能的情况
常用方法为捆绑法，将必须相邻的元 素捆在一 问：5人排成1列，甲乙丙必须站在一起，有多少种
起，看做一个元素； 排法？
相邻问题
捆绑法需要注意两点：总元素个数发生改变， 答：甲乙丙合并成一个元素，总人数变为3人，甲乙
捆绑在一起的元素要考虑是否内部排序 丙内部排序，即有 × 种排法。
常用方法为插空法，即先将无位置要求的人排 问：5人排成1列，3甲乙3不能相邻，有多少种排法？
𝐴𝐴3 𝐴𝐴3
列好（需要注意是否有顺序），再将“不相 答：先将另外3人排好( )，包括两端共有4个空，
不相邻问题
邻”的元素插入无位置元素形成的“空位”中 将甲乙有顺序插入空中（ 3 ），共有 种排
𝐴𝐴3
（插入时也需注意是否有顺序）。 列方式。 2 3 2
𝐴𝐴4 𝐴𝐴3×𝐴𝐴4
n个元素环形排列，共有A(n-1,n-1)种排列方 问：5人坐在一桌吃饭，共有多少种坐法？ 答：共
环形排列
式。 有 种坐法。
1、2、3、4、5、6个元素的错位排序共有0、 问
𝐴𝐴
：4 4四封信都放入了其他人的信箱，共有几种放法？
错位排序
1、2、9、44、265种排法，需要记忆。 答：4元素的错位排序，对应9种放法。
问：8人平均分成2组，有多少种分法？
需要注意后续是否有顺序：
若只是单纯分堆，需要把人为产生的顺序除 答：后续无顺序的平均分堆， .
特殊 4 4
𝐶𝐶8×𝐶𝐶4
掉，有n堆数量相等除去Ann；
2
情境 平均分堆 问：8人平均分成2组到不同的城𝐴𝐴2市出差，有多少种
若后续有顺序，可将“平均分n堆”、“再为
分法？
n堆有顺序的选择”两步合并，直接有顺序的
答：后续有顺序的平均分堆，两步合并，直接为两个
选择元素即可。
城市选人， × .
常用方法为插板法，插板法的使用条件有二： 问：9个相同 𝐶𝐶8 4小球 𝐶𝐶4分4 给3人，每人至少1个，有多少
一是要分配的元素相同，二是满足“每人至少 种分法？没有要求，有多少种分法？每人至少2个，
一个”的要求； 有多少种分法？
若无法满足条件二，可构造：没有“每人至少 答：“每人至少1个”，符合使用条件，8个空插2
相同元素分配 一个”的要求：“把n个元素分配给m个人” 个板， ；“没有要求”等价于“把12个小球分给
等价于“把n+m个元素分给m个人，每人至少 3个人，2每人至少1个”，11个空插2个板，共有
𝐶𝐶8
一个”；若有“每人至少n个”的要求，先给 C(11,2)种分法；“每人至少2个”，先分别给3人
每人n-1个，此时每人还至少分配一个，符合 1个，此时还有6个球，每人还至少分得1个，5个
使用条件，需要注意总量也相应减少。 空插2个板，共有 种分法。
各个元素之间互不干扰，若每种元素有n种选 问：电话号码可从02-9，后3位共有多少种可能？
𝐶𝐶5
重复排列
择，则m个元素共有nm种选择。 答：每一位有10种选择，一共有103种可能。
问：班级有5排座位，每排有4组小李小王坐在同一
排概率是多少？
先让一人任意选位，再考虑另一人与其同组概
两人同组概率 答：先让小李任选一个位置坐下，小王还有39个座
率即可。
位可选，若和小李同一排还有7个座位可选，即二人
同一排的概率为 .
7
问：5人抓阄，只有1张纸条写了字，第2个人抽到
39
抽奖概率 无论先抽后抽，概率都是一样。 写字纸条的概率是？
答：5人抽中的概率相同，都是 .
1
例：甲乙比赛结果为2:1，甲输的1场只能在第一、
易错点：无论3局2胜，5局3胜，7局4 5
比赛类概率 二场，若第三场甲负，意味着前2场甲胜，比分已经
胜，比赛类概率问题都需要注意负场的位置。
是2:0，不会进行第三场比赛。几何问题思维导图
题型分
类 必会知识点
几何问题常用长度公式：
长方形周长=2（a+b），正方形周长=4a，圆周长= ，弧长 圆周长 ，n为圆心角。
n nπr
几何问题常用面积公式：
2πr l=360°× =180°
= ， =ab ， = 底边 高， =（上底 下底） 高 ， = ， =对角线 对角线 ，
正方形 长方形 三角形 梯形 圆 菱形
2 1 + × 2 ×
S 𝑎𝑎 S S 2 × S 2 S 𝜋𝜋𝜋𝜋 S 2
正三角形 = 边长 边长， 扇形 = 圆面积 ，l为弧长。
2
√3 n nπr 𝑙𝑙𝑙𝑙
S × S
几何问题常4 用体积公式： 360°× =360° = 2
几何计算
与
正方体、长方体、柱体：V=sh,椎体体积为柱体 ，球体体积= 。
几何构造 1 4 3
3 3𝜋𝜋𝜋𝜋
几何等比放缩性质：若边长（或半径）为n倍，则周长也为n倍，面积为n2倍，体积为n3倍。
七大常考图形有正六边形（可分割成6个正三角形，七枚硬币的放法）、正三角形（可分割成2个30、60度直角
三角形，面积公式）、圆（直径两边端点与圆上任意一点连线为直接三角形，扇形面积公式、弧长长度公式）、
矩形（正方形为特殊矩形，周长一定正方形面积最大）、30、60度直角三角形（三边之比为1:2:√3）、345直
角三角形（最常见勾股数）、等腰直角三角形（三边之比为1:1:√2）。
√2取值1.414，√3取值1.732，√5取值2.236.
几何最值性质：
周长一定，越接近圆，面积越大（记忆小技巧：用绳子捆柴，捆成圆形时捆的最多）；反之，面积一定，越接近
圆，周长越小；
表面积一定，越接近球，体积越大（记忆小技巧：用一块布包裹杂物，包成个球，装的东西最多）；反之，体积
几何最值
一定，越接近球，表面积越小。
最常考性质：周长一定，矩形中正方形面积最大。
长方体切割最值性质：从长方体最长边开始，沿侧面对角线切割，形成的切面周长、面积均最大。
常用性质和解法：
一是“两点之间线段距离最短”，常用解法为“做对称点，连接两点，线段即为最短距离”；
最短距离
二是“点到直线距离垂线最短”，直接做垂线即可。
若是两点或点与直线在立体图形的两个面上，先展开两个面使之在同一平面。
考察知识点与常见解法：
考察的知识点为一笔画，只有0或2个奇点的图形可以一笔画完（奇点为发出奇数条射线的点）；
最短遍历
若图形有0个奇点，可以从任意点开始画起，并在起点处结束；
路径
若图形有2个奇点，必须从一个奇点开始到另一个奇点结束。
根据题目的起点、终点要求，确定保留奇点数量，消去奇点需重复走过两个奇点的最短连线。行程问题思维导图
题型分
必会知识点
类
公式：路程＝速度×时间；
比例关系：路程一定速度和时间成反比，速度（时间）一定，路程和时间（路程和速度）成正比；
常用解题方法：比例法（通过速度比找到时间比，与时间实际量建立对应关系）、方程法、画图法等
一般行程
问题
单位换算：m/s-》km/h，小单位到大单位乘3.6，Km/h-》m/s，大单位到小单位除以3.6
匀变速运动速度公式：V＝V0+at，a＝(v2-v1)/t，V0为初始速度，a为加速度
相遇追及问题常用公式：
相遇距离＝速度和×时间，追及距离＝速度差×时间。
解题技巧：相遇要找相遇点，追及要知距离差。
多次相遇问题常见解题方式：
注意相遇次数和走了n个全程之间的关系，常根据相遇次数确定所走过的路程和或根据路程和确定相遇次数；
相遇追及
多次相遇公式：两端出发的第N次相遇，可走2N-1个全程，即路程和＝(2N-1)×全程。
问题
也可记忆为：相遇1、2、3、4……次，分别走了1、3、5、7……个全程。
单岸型相遇问题公式：
全程＝(3S1＋S2)/2；单岸指的是S1、S2为两次相遇点到同一边的距离。
双岸型相遇问题公式：
全程＝3S1－S2；双岸指的是S1、S2为两次相遇点分别到两边的距离。
常考知识点：
环形运动 同一起点同向出发，追上一次多跑一圈，路程差＝1圈；
同一起点背向而行，相遇一次，路程和＝1圈。
常用公式：
流水问题
V顺＝V船+V水，V逆＝V船-V水；V船＝(V顺＋V逆)/2，V水＝(V顺－V逆)/2.
常用公式：
汽车间距＝(汽车速度＋行人速度)×相遇时间；
间隔发车
汽车间距＝(汽车速度－行人速度)×追及时间；
汽车间距＝汽车速度×汽车发车时间间隔。
火车过桥 火车车身很长，无法忽略不计，从车头上桥到车尾下桥，实际行驶距离为桥长和车身长之和，需要注意。
等距离平均速度公式： 平均速度＝2VV/(V+V)；
1 2 1 2
平均速度 可拓展为：A＝B×C，若A相等，B或C的平均值也可运用此公式；
例如，总售价＝单价×数量，若两件商品总售价相等，则平均单价也为调和平均数。最值问题思维导图
题型分类 必会知识点
常用解题思路： 问：10个小球分给3个人，拿球最多的人最少能拿多
若各部分不能相等：问某部分最多，则其他部分尽量 少小球？若3人拿到的均不等，拿球最多的人最少能拿
少，问某部分最少，则其他部分尽量多，但注意符合 多少小球？
和定最值 其排名要求；“问什么设什么”，最后用总量列方程 答：各部分可能相等，10÷3＝3余1，拿球最多的人最
解题。 少能拿4个小球；各部分不能相等，设最多的人最少拿
若各部分可能相等：问第一名最少或问最后一名最 x球，其他人尽量多，但不能和x一样多，即x＋x－1
多，可根据抽屉原理求出平均值求解。 ＋x-2＝10，解得x≈4.33，x最小可取整数5.
常用解题方法： 问：y＝(x＋2)×(8－2x)，y的最大值为多少？
一是对于y=ax2+bx+c，当 时，y取最值，a＞ 答：①y＝ −2 +4x+16，当x＝ ＝1时，
𝑏𝑏 2 4
0，y取最小值，a＜0，y取x=最−大2值𝑎𝑎 ； y＝18. 𝑥𝑥 −2×(−2)
函数最值
二是利用均值定理解题，若y＝(x+a)×(b-x)，无论 ②y＝(x＋2)×(8－2x)＝2×(x＋2)×(4－x)，
x取值多少，(x+a)与(b-x)之和为定值，即当x+a＝ 当x＋2＝4－x，即x＝1时，y最大，
b-x时，y取最大值。 此时y＝3×6＝18.
常用解题思路： 问：今年财会、法律、软件、艺术系毕业生分别有5、
构造最不利的情形，注意“小抽屉”和“不符合情 6、8、11人，另有3人延迟毕业，至少要找到多少
况”； 人，才能保证有6名毕业生专业相同？
最不利问题
最不利问题可记公式：至少有[正常抽屉数×(n-1)＋ 答：3人延迟毕业的学生为不符合的情况，财会系为小
小抽屉数量＋1]人，才能保证有n人满足要求； 抽屉，套入公式，至少有3+5+5×3+1＝24人，才能保
注：若有不符合的情况，应先去掉。 证6人同专业。
问：某班级有30人，平均分为70分，所有人得分为整
常用解题思路：
数，不及格的人数最多有多少人？
此类问题类似天平，砝码总量一定，要想天平左侧砝
答：不及格人数×平均分1＋及格人数×平均分2＝30
码最多，需天平左侧力臂尽量短；天平右侧砝码最
×70，要想不及格人数最多，其平均分应尽量接近总平
少，需天平右侧力臂尽量长；
均分，则让不及格的学生都考59分；及格人数尽量
乘积最值 一般所列方程为“a×b＋a×b＝总和”的形式；
1 1 2 2
少，其平均分应尽量远离总平均分，则让及格学生都考
要想a 最多，b 应尽量接近平均值，b 应尽量远离平
1 1 2
100分；设不及格人数最多为x人，及格人数为30-x
均值，根据十字相乘法可更明晰此思路：
（人），可有：59x＋100×(30－x)＝2100，解得x＝
21.95，即不及格人数最多有21人（此步骤也可采用十
𝑏𝑏1 𝑏𝑏2−𝑏𝑏 𝑎𝑎1
字相乘法）。
𝑏𝑏 � �=
要想 最多， 𝑏𝑏2 应尽量𝑏𝑏−大𝑏𝑏，1 𝑎𝑎2 应尽量小
常用𝑎𝑎解 1 题思路𝑏𝑏： 2 −𝑏𝑏 𝑏𝑏−𝑏𝑏1
此类问题可想象成用热水、温水、冷水混合一部分中 问：有80%、50%、20%浓度盐水各100g，想配成50%浓
等温度的水； 度盐水100g，问最多可使用多少80%浓度盐水？
若想热水用的多，需要足够的冷水中和水温，则冷水 答：三端最值，要想80%浓度盐水最多，80%、20%浓度
三端最值 需尽量多（冷水用的多同理）； 盐水都应尽量多，50%浓度盐水尽量少，其最少可取
若想热水用的少，无足够热水中和水温，冷水也应尽 0；设80%浓度盐水最多可使用xg，则20%浓度盐水可
量少（冷水用的少同理）； 使用100-x(g)，则有0.8x+0.2×(100-x)＝50%×100，
即，要想两端的某一端最多/少，则两端都应尽量多/ 解得x＝50g（此步骤也可采用十字相乘法）.
少。工程问题、经济利润问题、统筹规划问题思维导图
题型分类 必会知识点
公式：工作总量＝效率×时间；
比例关系：工作总量一定，效率和时间成反比，效率（时间）一定，工作总量和时间（工作总量
和效率）成正比；
常用解题方法：赋值法、比例法、方程法等。
常用解题思路：
若已知条件为时间，设最小公倍数为工作总量，根据工作总量和时间可求出效率；
工程问题 若已知条件为效率比，直接将其赋值为效率，根据效率和时间可求出工作总量；
若已知条件为不同的工作情况，可用根据工作量相同列方程求解。
多人合作完工问题常用解题思路：无论如何分配工作，效率和不变，根据工作总量可求得工作时
间。
常考难点之休息时间：
题中给出的是某一人休息的时间，但一人休息意味着另一人工作，先算出一人单独工作量，剩余
工作即两人合作。
单件商品销 常用公式：成本×利润率＝利润，成本＋利润＝售价，成本×(1+利润率)＝售价，定价×折扣＝
售 实际售价
多件商品销
常用公式：总成本/总收入/总利润＝数量×单个商品成本/售价/利润。
售
经济利润问 常用解题方式：利用收入列方程（问什么设什么）：第一批收入+第二批收入+……第n批收入＝
题 分批销售 总收入；
常用公式为：收入＝成本×(1+利润率)＝成本+利润。
解题思路：无需考虑两人间资金往来的过程，只需保证：某人应收回的钱＝拿出的所有钱＋应得
资金往来
的收益－应承担的损失。
常用解题思路:
工程统筹：比较各部分的效率，找到各部分擅长的工作，先分工再合作；
最优方案 运输统筹：比较各种运输方式的耗能，优先选取低耗能且尽量不空载，最后一部分货物需要多方
式比较；
经济统筹：比较各种方案的单价，优先选取低单价且尽量不浪费，最后一部分需要多方式比较。
常用解题思路：
若要所有时间（包括大家等待时间）最少，无论顺序如何，大家做完所有事情的总时间不变，可
时间统筹
改变的只有等待时间，时间短的优先，此时等待时间最短；
（了解）
若是煎饼类问题，注意时间可共用，需统筹好最后几张饼的制作时间；例如：用2张饼铛煎3张
统筹规划问 饼，可以正正、正反、反反。
题 货物集中 常用解题思路：一是不看距离，只看重量；二是谁重谁不动；
（了解） 将公路看做天平，依次假设支点，左右两侧比大小，轻的向重的移动。
比赛策略 常用解题思路：利用周期循环的思想，保证每次两人拿掉数量之和为一个周期，根据题目确定剩
（了解） 余部分归属。
装卸工问题 解题公式：装卸工最少数量＝需要装卸工最多的n家单位需要装卸工人数之和(n为车辆数量或轮
（了解） 船数量等)。
天平称重
常用解题思路：若球数最接近3n，则需要n次称重才能找到重球。
（了解）
空瓶换酒
常用解题思路：n瓶换1瓶酒，转化为n-1个空瓶换1瓶无瓶酒，m个空瓶能喝到m/(n-1)瓶酒。
（了解）容斥问题、浓度问题、周期循环问题、日期星期问题、年龄问题思维导图
题型分类 必会知识点
常用解题方法：
①直接代入公式：全部人数－圈外人数＝人次之和－重复部分；
一般容 ②有时需要另一种计数方式，圈内总人数＝只参加一种的人数＋只参加两种的人数＋……＋所有都参
斥问题 加的人数（此公式只在部分题目中需要使用，编者称之为隐含公式）。
容斥问题
易错点：误将“符合A和B”当做“只符合A和B”，前者包含“符合A、B、C”的元素，而后者不包
含。
容斥最
常见解题思路：常用方法为反向构造，要想相交的部分尽量小，则反向应尽量相斥。
值
常用解题方法：
溶质
①直接代入浓度基础公式，浓度＝ ；
溶液
浓度问题
②可用溶质不变列方程：各部分溶质之和＝混合溶液溶质；
③当两部分溶液、混合溶液浓度均为已知量时（即已知3r），可利用十字相乘法求得两部分溶液量之
比.
解题思路：虽称之为“周期循环问题”，但解题实质是“去掉周期循环数余数”，例如第18天，18
÷7余4，即第18天星期与第4天星期一样。
平年与闰年：平年365天，闰年366天（2月29天），能被4整除不能被400整除的为闰年。
周期循环问题 星期：平年包含52周零1天，闰年包含52周零2天。
最小公倍数：两个循环的周期为两者的最小公倍数，例如甲4天值日一次和乙6天值日一次，则两人
每12天共同值日一次。
常见错误：注意每5天和每隔5天（实际为每6天）的区别。
天数计算常用方法：
①先粗算：先按照每个月30天估算；②再修正：2月要减天数、1、3、5、7、8、10、12月要加天
数；③最后加上日期差。
示例：平年2月1日到12月11日，2月1日到12月1日一共有10个月，粗算有300天，其中有5
个月有31天（3、5、7、8、10），再加上5天，2月有28天，再减去2天；日期差为11-1=10天，
则两个日期间一共有300＋5-2+10＝313天。
星期推断常用方法：
日期星期问题
将整个时间段分成若干星期和额外n天，每星期内的工作日、休息日、星期几都是固定的，只有额外
几天能根据题意调整；注：额外几天可在月初可在月末，根据后续所求确定位置即可。
示例：闰年2月有4周和额外1天，每周内都只有1个星期天，4周共有4个星期天，若题目中明确
说明2月有5个星期天，则额外1天只能是星期天。
整年星期计算规则如下：平年星期向后推1天，闰年星期向后推2天；
示例：2014年3月1日为周三，则2015年3月1日为周四，2016年3月1日为周六；
注：2015年3月1日至2016年3月1日，包含的是2016年2月，判断此整年为闰年。
解题常用切入点：①无论时间如何改变，年龄差不变；②时间改变，年龄增量相同；③和实际相关，
爷爷奶奶年龄多在60+，父母在30-40，儿女在0-10；
常见年龄平方数：64、36、9；21世纪年龄平方数：45×45=2025；同属相年龄差：多为24岁；
年龄问题
常用解题方法：方程法、代入法、根据年龄差不变秒杀等。
十二生肖为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。数列问题、约数倍数问题、平均数问题、余数问题、计算问题思维导图
题型分类 必会知识点
等差数列常用公式：
an＝a1+(n-1)d，am＝an+(m-n)d；
示例：a6＝a1+5d，a10＝a3+7d；
求和公式：Sn＝项数×中位数＝项数×平均数＝n×(a1＋an)/2。
常用整数数列和：1-4之和为10，1-9之和为45，1-10之和为55.
数列问题
奇数数列求和公式：1＋3＋5……＋2n－1＝n2.
等比数列通项公式：an＝a1*qn-1.
斐波那契数列（1、1、2、3、5、8、13、21、34…）等其他数列，多采用归纳法找规律：先写出已知量，再
递推出第n项的数量。
常考考点之平方数：
约数成对出现，一般数字会有偶数个约数，但平方数会有奇数个约数，质数的平方数只有3个约数。
约数倍数问题
熟练掌握最小公倍数、最大公约数求法。
以平均速度为例，S＝vt，等距离平均速度＝调和平均数＝2V1V2/(V1+V2)，等时间平均速度＝算术平均数＝
(V1+V2)/2，调和平均数≤算术平均数。
平均数问题 可拓展为：A＝B×C，若A相等，B或C的平均值也可运用此公式；
例如，总售价＝单价×数量，若两件商品总售价相等，则平均单价也为调和平均数。
常用解题方法：十字相乘法、方程法、赋值法等。
满足某种特征余数问题常用解题方法：
找到满足口诀“余同取余、和同加和、差同减差”的特征，求出除数的最小公倍数，即可写出被除数的表达
式；
示例：一个数除4余3、除6余3、除7余3，满足“余同”特征，除数4、6、7的最小公倍数为84，则被除
数可表示为84n+3.
余数问题
无余数特征余数问题解题方法：
无法使用口诀时，可以将该数表示成(除数最小公倍数)×n＋x的形式，再依次试解；
示例：一个数除6余5、除7余8，可表示为42n+x的形式，x为满足两个条件的最小数，可以从满足一个条
件开始枚举，例如，满足除6余5的数字为11、17、23、29......依次试验是否满足其他条件，可以看出29
是满足两个条件的最小数字；即，满足题干要求的数字可表示成：42n+29.
常用公式：
平方差公式：a2－b2＝(a+b)×(a-b)；完全平方公式：(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a-b)2＝a2-2ab+b2；
立方和公式：a3+b3＝(a+b)×(a2-ab+b2)；立方差公式：(a-b)3＝(a-b)×(a2+ab+b2)；
常用方法：提取公因式法，1/n(n-1)＝1/n-1/(n-1)，示例：1/6＝1/2×3＝1/2-1/3.
计算问题
乘方尾数常用方法：底数留个位，指数除4留余数，整除指数留4.
示例：20162013尾数与6相同，20172014尾数与72相同。不定方程问题、鸡兔问题、盈亏问题、牛吃草问题、比赛问题、植树问题、钟表问题、方阵问
题思维导图
题型分类 必会知识点
常用性质或解法：奇偶性质、整除性质、代入法、消元法、质合性质、尾数法、赋零法等。
常用的整除性质：
①a、b能被x整除，a+b、a-b也能被x整除。
不定方程
②对于x＝ay/b，若x、y为整数，a/b为最简分数，则x是a的倍数，y是b的倍数。
解不定方程时的赋零法：若求的是A+B+C的和，可设某个未知数为0，再求出另外两个未知数，和
不变。
鸡兔问题公式：小数＝(理论最大数值－实际数值)/单个差值。
鸡兔同笼问题
常见考法：工资报酬、对错题得分、阶梯收费、元素分配等。
盈亏问题公式：分配对象数＝(盈数＋亏数)/分配标准差；
其中，分配对象多指车、房间、人等，即把元素分配到某个对象中；盈数是指剩余的元素数，亏
盈亏问题 数是指离填满分配对象不足的元素数。
常见考法：人分配坐车、住宿，将物品分配给人等。
牛吃草问题的常见解法：“白吃牛原有草，问中数字少不了”
将牛分成两类，吃掉每日生长草的称之白吃牛，一直在吃原有草的称之干活牛；
牛吃草问题 第一步：白吃牛＝每日草生长量＝时间×牛数－时间×牛数时间差（注意时间大的在前）；
第二步：草场原有草量＝干活牛×时间＝(牛数－白吃牛)×时间；
第三步：问时间，则时间＝原有草÷干活牛；问牛数，则牛数＝原有草÷时间＋白吃牛。
赛事场次、轮次、轮空问题常考知识点：
①循环赛场次问题：单循环赛，n个队伍共有C(N,2)场比赛；双循环赛，场次是单循环比赛数量
的2倍；
场次、轮次、轮
②淘汰赛场次问题，2n个队伍当轮有n场比赛，若队伍数为奇数，则有1队轮空；决出冠军共有
比赛 空问题
2n-1（场）比赛，每场比赛会淘汰一队，最后只剩冠军一队；
问题
③淘汰赛轮次问题，若队伍数接近2n，则一共有n轮；将队伍数除2，直至剩余2队，有n轮剩余
队伍为奇数，即有n轮存在轮空，也意味着某队最多轮空n次。
已赛/未赛问题 可采用连线法解决，已完成比赛数＝该点发出射线数。
植树问题常用公式为：
两端植树，植树总棵数＝路长÷间隔＋1；一端植树或环形植树，植树总棵数＝路长÷间隔；两端
一般植树问题
不植树，植树总棵数＝路长÷间隔－1；植树问题易错点：忘记道路两侧植树，求出单侧植树棵数
植树 后别忘记乘2。
问题
两次植树重合棵数问题解题思路：
①求出两次植树的间隔数；
重合棵数
②求得两次间隔数的最大公约数；
③考虑两端植树情况，无需移动的树木数量＝最大公约数－1＋两端情况。
分针的速度是6°/分钟，时针的速度是0.5°/分钟，可将钟表问题看做为追及问题，每分钟可追
钟表问题
上5.5°；
常考知识点：①方阵总人数＝最外层每边人数2；②每层人数＝每边人数×4－4；③相邻两层人数
方阵问题
差为8.
