沪教版数学选修第一册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

普通高中教科书 普 通 高 选择性必修 中 教 科 书 第 一 册 上 海 教 育 出 版 社 上 海 教 育 出 版 社 数 学 选 择 性 必 修 S H U X U E SHUXUE 普通高中教科书 选择性必修 第 一 册 第 一 册 定 价： 13.60元普通高中教科书 S H U X U E 选择性必修 第 一 册 上 海 教 育 出 版 社主 编 李大潜 王建磐 副 主 编 应坚刚 鲍建生 本册编写人员 曾国光 虞 涛 李 英 王 华 施洪亮 叶莎莎 许亚善 责任编辑 周明旭 装帧设计 陆 弦 王 捷 周 吉 本册教材图片提供 图虫网（P1一幅图，P31一幅图，P39四幅图，P123一幅图）；壹图网（封面 一幅图，P45三幅图，P49一幅图，P59一幅图，P61两幅图，P75一幅图， P151一幅图，封底一幅图） 插图绘制 肖征波 周 吉 朱泽宇 普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册 上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织编写 出 版 上海教育出版社有限公司（上海市闵行区号景路159弄C座） 发 行 上海新华书店 印 刷 上海中华印刷有限公司 版 次 2021年12月第1版 印 次 2021年12月第1次 开 本 890×1240 1/16 印 张 11 字 数 250 千字 书 号 978-7-5720-0186-4/G·0143 定 价 13.60 元 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241 如发现印、装质量问题，影响阅读，请与上海教育出版社有限公司联系. 电话021-64373213 全国物价举报电话：12315 声明 按照《中华人民共和国著作权法》第二十五条有关规定，我们已尽量寻找著作权人支 付报酬.著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社联系.前言 前 言 数学应该是绝大多数人一生中学得最多的一门功课．认真学习数学，努 力学好数学，不仅可以牢固地打好数学的知识基础，掌握一种科学的语言， 为走进科学的大门提供有力的工具和坚实的后盾；更重要地，通过认真而严 格的数学学习和训练，可以领会到数学的思想方法和精神实质，造就一些特 有而重要的素质和能力，形成自己的数学素养，让人变得更加聪明，更有智 慧，更有竞争力，终身受用不尽．从这个意义上，可以毫不夸张地说，数学 教育看起来似乎只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，其意义是十 分深远的． 中学阶段的数学学习，应该为学生今后的成长和发展奠定坚实的基础， 编写教材也要力求遵循这一根本宗旨．那种以种种名义，将一些“高级”或“时 髦”的东西，不顾实际情况地下放进中学的教材，和数学的基础训练“抢跑道” 的做法，是不可取的．同时，数学学科是一个有机联系的整体，一定要避免 知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法．人为地 将知识链条打断，或将一些关键内容以“减负”的名义删去，只会造成学生思 维的混乱，影响学生对有关知识的认识与理解，实际上反而会加重学生学习 的负担，是不值得效法的．在任何情况下，都要基于课程标准，贯彻“少而 精”“简而明”的原则，精心选择与组织教材内容，抓住本质，返璞归真，尽可 能给学生以明快、清新的感受，使学生能更深入地领会数学的真谛，让数学 成为广大学生喜闻乐见的一门课程． 怎么才算“学好了数学”呢？对这个问题是需要一个正确的认识的．作为 一门重思考与理解的学科，数学学习要强调理解深入、运作熟练和表达明晰 这三个方面．这儿所说的“运作”泛指运算、推理及解题等环节．三者的关键是 深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握数学的精髓，更 好地实现另外两方面的要求．如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多与快为 荣，但不求甚解，就难以和数学真正结缘，是不值得鼓励与提倡的．表达能 力的培养也要引起足够的重视．要使表述简明清晰并不是一件容易的事，别 １ 书书书前言 人三言两语就说清楚了的，自己却颠三倒四、不得要领，能够说真正弄懂了 数学吗？！ 为了帮助学生学好数学，也为了帮助教师教好数学，本教材秉承上述理 念，在编写上做了认真的探索与实践，希望能成为广大师生的良师益友，更 好地发挥引路和示范的作用．书中各章的章首语，虽只有不到一页的篇幅， 但却是该章入门的一个宏观向导，务请认真注意．各章末的内容提要，简明 扼要地列出了该章的核心内容，希望对复习能起到较好的帮助．各章的主体 内容，包括正文、练习及复习题以及边注，更是字斟句酌、精心编写的．希 望广大同学养成认真阅读及钻研教材的习惯，这样就一定会发现，学习中所 碰到的种种问题，原则上都可以从教材中找到答案，大家的学习方法和自学 能力也一定会得到极大的提升，从而牢牢掌握住学习数学的主动权． 本套教材涵盖《普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）》所规定 的必修课程和选择性必修课程的内容，共分七册，包括必修四册、选择性必 修三册，其中必修第四册和选择性必修第三册是数学建模的内容．必修前三 册和选择性必修前两册共同构建了高中数学的知识体系和逻辑结构；数学建 模内容与数学知识的逻辑结构没有直接的关系，不依附于特定知识性内容的 教学，而在于强调数学知识在解决实际问题中的应用，强调它的活动性、探 索性和综合性．因此，两册数学建模教材不是前三册或前两册教材的后继， 而且都包含比教学课时数要求更多的内容，供各个年段灵活地、有选择地使 用，以实现数学建模的教学目标． ２０２０年６月 ２目 录 第１章 平面直角坐标系中的直线 １．１ 直线的倾斜角与斜率 ２ １．２ 直线的方程 ６ １．３ 两条直线的位置关系 １６ １．４ 点到直线的距离 ２４ 内容提要 ２８ 复习题 ２９ 第２章 圆锥曲线 ２．１ 圆 ３２ ２．２ 椭圆 ４５ ２．３ 双曲线 ５２ ２．４ 抛物线 ６１ ２．５ 曲线与方程 ６９ 内容提要 ８３ 复习题 ８４ 第３章 空间向量及其应用 ３．１ 空间向量及其运算 ９０ １ 书书书目录 ３．２ 空间向量基本定理 ９６ ３．３ 空间向量的坐标表示 １０１ ３．４ 空间向量在立体几何中的应用 １０７ 内容提要 １１８ 复习题 １１９ 第４章 数列 ４．１ 等差数列 １２４ ４．２ 等比数列 １３２ ４．３ 数列 １４２ ４．４ 数学归纳法 １５１ ４．５ 用迭代序列求 的近似值 １５８ 内容提要 １６２ 复习题 １６２ ２１ 第 章 在本册教材的这一章和下一章中，我们将 学习解析几何的初步知识与方法．解析几何的 平面直角坐标系 研究思路是通过引进坐标系，建立“点”与“数” 之间的一一对应，从而用代数的观点与方法解 中的直线 决几何问题． 几何中，与直线相关的问题主要包括：点 与直线、直线与直线之间的位置关系，以及由 直线组成的平面图形的性质与度量．虽然其中 的许多问题我们并不陌生，用以往学过的平面 几何的方法也能解决，但本章所采取的是一种 新的思路和方法，它具有一般性和普适性．通 过学习，可以帮助我们理解解析几何的一些基 本特点． 书书书１ 平面直角坐标系中的直线 直线的倾斜角 １．１ 与斜率 设平面直角坐标系中有一条直线犾，我们如何确定该直线在 坐标系中的位置并把它描述出来呢？ 在平面直角坐标系中，已经有了两条互相垂直的直线，即两 条坐标轴，我们只要能确定直线犾与其中一条坐标轴的相对位 置，就能描述出该直线在坐标系中的位置．不妨先设直线犾与狓 轴相交于点犃，如图１１１所示．将狓轴绕点犃沿逆时针方向旋 转到与犾重合时所转过的最小正角θ叫做直线犾的倾斜角（ａｎｇｌｅ ｏｆｉｎｃｌｉｎａｔｉｏｎ）．显然，０＜θ＜π．当直线犾与狓轴平行或重合时， 规定倾斜角为０，这样，直线犾的倾斜角的取值范围就可扩大为 图１１１ π ０≤θ＜π，即θ∈［０，π）．特别地，当倾斜角θ＝ 时，直线犾与 ２ 狓轴垂直． 如果知道了直线犾的倾斜角以及它经过的一个确定的点，那 么就准确地给出了直线犾在坐标系中的位置．由于倾斜角难以直 接用坐标表示出来，而倾斜角的三角函数与坐标的关系更为密 π 切．为此，我们引进一个新的概念：当直线犾的倾斜角θ≠ 时， ２ 定义ｔａｎθ为直线犾的斜率（ｓｌｏｐｅ），常用字母犽表示，即犽＝ｔａｎθ； π 当θ＝ ，即犾与狓轴垂直时，我们说直线犾的斜率不存在． ２ 我们来看如何用坐标表示一条直线的斜率． 设直线犾经过不同的两点犃（狓，狔）、犅（狓，狔）．当狓＝狓 １ １ ２ ２ １ ２ π 时，直线犾与狓轴垂直（图１１２），此时，直线犾的倾斜角θ＝ ， ２ 斜率不存在． 图１１２ 图１１３ 图１１４ ２１．１ 直线的倾斜角与斜率 当狓≠狓 时，不妨设狓＜狓，有以下３种情况： １ ２ １ ２ （１）若狔＜狔，则犾的倾斜角θ为锐角．如图１１３，作直 １ ２ 狔－狔 角三角形犃犅犆，可得犽＝ ２ １． 狓－狓 ２ １ （２）若狔＝狔，则直线犾与狓轴平行或重合，所以犾的倾斜角 １ ２ θ＝０，斜率也等于０，这就是（１）结果中令狔＝狔 所得的值． １ ２ （３）若狔＞狔，则直线犾的倾斜角θ为钝角．如图１１４， １ ２ 同样作直角三角形犃犅犆，则∠犃犅犆＝π－θ．在直角三角形犃犅犆 ｜犆犃｜ 狔－狔 中，因为ｔａｎ∠犃犅犆＝ ＝ １ ２，所以ｔａｎ（π－θ）＝ ｜犆犅｜ 狓－狓 ２ １ 狔－狔 狔－狔 狔－狔 １ ２，由此得ｔａｎθ＝ ２ １，即犽＝ ２ １，这与（１）中的 狓－狓 狓－狓 狓－狓 ２ １ ２ １ ２ １ 结果相同． 综上所述，可以得到：在平面直角坐标系中，经过不同的两 点犃（狓，狔）、犅（狓，狔）（狓≠狓）的直线犾的斜率为 １ １ ２ ２ １ ２ 狔－狔 犽＝ ２ １． 狓－狓 ２ １ 例１ 已知直线犾经过点犃（－１，－１）、犅（２，３），求它的 斜率与倾斜角． 解 设直线犾的斜率为犽，倾斜角为θ，则 ３－（－１） ４ 犽＝ｔａｎθ＝ ＝ ， ２－（－１） ３ ４ 从而θ＝ａｒｃｔａｎ ． ３ 例２ 求一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）所表示直线的斜率． 解 设一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图像是直线犾．在函数表 达式中，狓的值分别取狓＝０及狓＝１，得狔＝犫及狔＝犽＋犫． １ ２ １ ２ 所以，犃（０，犫）与犅（１，犽＋犫）是直线犾上的两点．依据斜率公式， 一次函数狔＝ 得直线犾的斜率为 犽狓＋犫（犽≠０）的一次 项系数犽就是其对应 狔－狔 （犽＋犫）－犫 ２ １＝ ＝犽． 直线的斜率． 狓－狓 １－０ ２ １ 例３ 已知三点犃（－１，２）、犅（３，４）、犆（狓，狔）共线，求 点犆的坐标狓与狔所满足的关系式． 解 因为犃、犅两点的横坐标不同，所以直线犃犅的斜率是 ４－２ １ 犽＝ ＝ ． ３－（－１） ２ ３１ 平面直角坐标系中的直线 又由题设知，点犆在直线犃犅上，即犃犅与犃犆是同一条 直线． 当点犆与点犃不重合时，用犃、犆两点的坐标表示斜率得 狔－２ 狔－２ 犽＝ ＝ ， 狓－（－１）狓＋１ 狔－２ １ 此时狓与狔要满足的关系式是 ＝ ，变形得 狓＋１ ２ １ 狔－２＝ （狓＋１）． ２ 当点犆与点犃重合时，点犆的坐标也满足上式． １ 所以，狓与狔满足的关系式是狔－２＝ （狓＋１）． ２ 练习１．１ １．求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： （１）犘（－２，２）、犙（２，－２）； （２）犘（５，槡３）、犙（２，２槡３）． ２．在平面直角坐标系中有一个边长为１的正方形犗犃犅犆，其中犗为坐标原点，点犃、 犆分别在狓轴和狔轴上，点犅在第一象限．求直线犗犅和犃犆的斜率． ３．证明：在平面直角坐标系中，如果两条直线平行，那么它们的倾斜角相等． 习题１．１ 犃组 １．如图，在平面直角坐标系中，直线犾与犾垂直，垂足为犃， １ ２ π 犾、犾与狓轴的交点分别为犅、犆，∠犃犅犆＝ ．试分别求直线犾、 １ ２ ６ １ 犾的倾斜角和斜率． ２ ２．求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角： （１）犘（１，２）、犙（２，－１）； （２）犕（２，１）、犖（犪，－２），其中实数犪是常数． （第１题） ３．根据下列直线犾的倾斜角θ的取值范围，计算斜率犽的取值 范围： ４１．１ 直线的倾斜角与斜率 ［ ］ π π （１）θ∈ ， ； ４ ３ （ ） π２π （２）θ∈ ， ． ２ ３ ４．已知三个不同的点犃（２，犪）、犅（犪＋１，２犪＋１）、犆（－４，１＋犪） 在同一条直线上，求实数犪的值及该直线的斜率． ５．如图，已知点犃（２，４）、犅（－１，－１）、犆（４，１），过点犅的直 线犾与线段犃犆相交．求直线犾的斜率犽的取值范围． （第５题） 犅组 １．已知常数θ∈［０，π），试用θ表示经过犘（０，０）、犙（ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）两点的直线犾的 倾斜角． π ２．设直线犾、犾的倾斜角分别为θ、θ，求证：犾⊥犾的充要条件是｜θ－θ｜＝ ． １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ ２ ３．已知直线犾在平面直角坐标系中的斜率是犽，向量犪珗在直线犾上．求向量犪珗在狓轴 上的投影向量． ５１ 平面直角坐标系中的直线 １．２ 直线的方程 １ 几种特殊形式的直线方程 本章１．１节的例３中我们证明了与点犃（－１，２）、犅（３，４）共 １ 线的点犆（狓，狔）的坐标一定满足关系式狔－２＝ （狓＋１）．反过来， ２ １ 也容易验证：如果点犆（狓，狔）的坐标满足关系式狔－２＝ （狓＋１）， ２ 那么点犆（狓，狔）一定与点犃（－１，２）、犅（３，４）共线．这就是说， 经过点犃（－１，２）、犅（３，４）的直线犃犅上的点正好是以方程 １ 狔－２＝ （狓＋１）的解作为坐标的点．在这种情况下，我们说“直 ２ １ １ 线犃犅的方程是狔－２＝ （狓＋１）”，或者说“方程狔－２＝ （狓＋１） ２ ２ 表示了直线犃犅”．可见，直线犃犅的方程是一个关于狓与狔的二 元一次方程．本节中我们将看到，任何直线的方程都是关于狓与 狔的二元一次方程，反过来，任何关于狓与狔的二元一次方程都 表示一条直线．而且，这个方程实质上是唯一的，即同一直线的 不同方程通过简单变形可以互化．然而，不同形式的直线方程关 注直线的不同几何要素，在解决具体问题时也会有各自不同的 作用． （１）直线的点斜式方程 现在我们讨论，在平面直角坐标系中，当直线的斜率存在 时，如何通过直线上的一个点犕和直线的斜率犽来求直线的 方程． 如图１２１，在平面直角坐标系中，设犘（狓，狔）是过点 犕（狓，狔）、斜率为犽的直线犾上的任意一点．当点犘（狓，狔）与点 ０ ０ 狔－狔 犕不重合时，由犽＝ ０，可得 狓－狓 ０ 狔－狔＝犽（狓－狓）． ① 图１２１ ０ ０ ６１．２ 直线的方程 当点犘（狓，狔）与点犕重合时，点犘的坐标就是（狓，狔），同样 ０ ０ 满足方程①．这样，直线犾上任意一点的坐标（狓，狔）都满足方 程①． 反之，可以证明以方程①的解为坐标的点一定在这条直线犾 上：若点犙的坐标（狓′，狔′）满足方程①，即狔′－狔＝犽（狓′－狓）成 ０ ０ 狔′－狔 立．当狓′≠狓 时，直线犕犙经过点犕且斜率犽 ＝ ０＝犽， ０ 犕犙 狓′－狓 ０ 于是直线犕犙与犾重合，从而点犙在犾上；当狓′＝狓 时，有 ０ 狔′＝狔，点犙与点犕重合，点犙也在犾上． ０ 这就证明了方程①是经过定点犕（狓，狔）且斜率为犽的直线 ０ ０ 的方程．这种形式的直线方程叫做直线的点斜式方程． 本章１．１节中例３ 得到的方程就是一个 在点斜式方程①中，如果把定点选成直线与狔轴的交点 点斜式方程． （０，犫），那么方程改写为 狔＝犽狓＋犫． ② 其中，数值犫称为该直线在狔轴上的截距（图１２２）．当然，直线 在狔轴上的截距本质上是确定了直线上的一点（０，犫），所以给定 直线的斜率和在狔轴的截距，就唯一地确定了这条直线． 方程②称为直线的斜截式方程．当犽≠０时，它表示狔是狓 的一次函数，这个函数图像也就是我们所讨论的直线．当犽＝０ 时，该直线与狓轴平行或重合，其方程为狔＝犫． 我们也可以定义直线在狓轴上的截距，它就是直线与狓轴 图１２２ 交点（犪，０）的横坐标犪（图１２２）． 如果直线与狔轴平行或重合，它的斜率与在狔轴上的截距 都不存在，但此时直线与狓轴垂直，设垂足为（犪，０），那么该直 线在狓轴上的截距为犪，且直线上所有点的横坐标都是犪，从而 直线的方程是狓＝犪． ２π 例１ 求倾斜角是 且在狓轴上的截距是－３的直线犾的 ３ 点斜式方程． 解 因为犾在狓轴上的截距是－３，所以犾经过点犃（－３，０）． ２π 因为犾的斜率犽＝ｔａｎ ＝－槡３，所以犾的点斜式方程是狔＝ ３ －槡３（狓＋３）． 例２ 已知直线犾在狓轴、狔轴上的截距分别为－２、４， 求直线犾的方程，并判断点犃（２，６）是否在直线犾上． ７１ 平面直角坐标系中的直线 解 因为犾在狔轴上的截距是４且斜率犽存在，所以可设犾 的方程为狔＝犽狓＋４．又因为犾经过点（－２，０），所以－２犽＋４＝０， 解得犽＝２． 所以，犾的方程为狔＝２狓＋４． 因为６≠２×２＋４，所以点犃（２，６）不在直线犾上． 练习１．２（１） １．求经过点犘（－２，３）且斜率为－１的直线犾的点斜式方程． ５π ２．求倾斜角是 且在狓轴上的截距为－１的直线犾的点斜式方程． ６ ３．求经过点犃（２，３）且垂直于狓轴的直线犾的方程． ４．已知直线犾经过点犕（－２，－１）且在狓轴、狔轴上截距相等，求犾的方程． （２）直线的两点式方程 两点确定一条直线，因此，只要给定平面上两个点的坐标， 就可以写出过这两点的直线的方程．如果两点的横坐标或纵坐标 相同，那么这条直线与某条坐标轴平行或重合，这种情况前面已 经讨论过了． 现在考虑经过两点犕（狓，狔）、犖（狓，狔），并且不与任一坐标 １ １ ２ ２ 这就是本章１．１ 轴平行或重合的直线犾，可知狓≠狓，且狔≠狔，直线犾的斜率是 节中例３的解题过程． １ ２ １ ２ 狔－狔 狔－狔 犽＝ ２ １，于是该直线的点斜式方程为狔－狔＝ ２ １（狓－狓）， 狓－狓 １ 狓－狓 １ ２ １ ２ １ 整理成关于两个坐标对称的形式，得 直线的两点式方 狔－狔 狓－狓 １＝ １． ③ 程也可以写成 狔－狔 狓－狓 （狓－狓）（狔－狔）＝ ２ １ ２ １ ２ １ １ （狔－狔）（狓－狓）． ２ １ １ 它对直线平行或重合于 方程③称为直线的两点式方程． 坐标轴的情形也适用． 例３ 已知直线犾经过点犃（２，１）、犅（４，４），求犾的方程． 解 直接把点犃、犅的坐标代入直线的两点式方程，得 狔－１ 狓－２ ＝ ， ４－１ ４－２ ３ 化简，犾的方程可写为狔＝ 狓－２． ２ 例４ 如图１２３， △犃犅犆三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 图１２３ 犃（－２，－２）、犅（５，０）、犆（－２，３）．分别求边犃犆所在直线的方 ８１．２ 直线的方程 程与边犃犅上的中线犆犇所在直线的方程． 解 因为点犃与点犆的横坐标相等，所以犃犆所在直线与 狓轴垂直，从而边犃犆所在直线的方程为狓＝－２． 烄 －２＋５ ３ 狓＝ ＝ ， ０ ２ ２ 设点犇的坐标为（狓，狔），则 烅 所以， ０ ０ －２＋０ 狔＝ ＝－１． 烆 ０ ２ （ ） ３ 点犇的坐标为 ，－１ ． ２ 又因为点犆的坐标为（－２，３），所以犆犇所在直线的两点式 狔－３ 狓＋２ ８ ５ 方程是 ＝ ，化简，得狔＝－ 狓＋ ． －１－３ ３ ７ ７ ＋２ ２ 所以，△犃犅犆中边犃犅上的中线犆犇所在直线的方程为 ８ ５ 狔＝－ 狓＋ ． ７ ７ 例５ 已知直线犾与狓轴、狔轴分别交于犃、犅两个不同 的点且｜犗犃｜＝｜犗犅｜，其中犗是坐标原点；又点犆（１，－２）在直 线犾上．求直线犾的方程． 解 设犃、犅两点的坐标分别为（犪，０）、（０，犫）．因为｜犗犃｜＝ ｜犗犅｜，所以犫＝±犪且犪≠０． 狔－０ 狓－犪 当犫＝犪时，直线犾的方程为 ＝ ，即狔＝－（狓－犪）． 犪－０ ０－犪 因为点犆（１，－２）在直线犾上，所以－２＝－（１－犪），得 犪＝－１．所以，直线犾的方程为狔＝－狓－１． 同理，当犫＝－犪时，可得直线犾的方程为狔＝狓－３． 所以，直线犾的方程为狔＝－狓－１或狔＝狓－３． 练习１．２（２） １．求经过点犃（－２，３）、犅（０，６）的直线犾的两点式方程． ２．已知三个不同的点犃（３，１）、犅（犪＋１，３）、犆（２犪－１，３－犪）都在一条直线犾上，求 实数犪的值和直线犾的方程． ３．在平面直角坐标系中，犗是坐标原点．已知犃、犅两点的坐标分别为（４，０）、 （０，３），分别求△犃犅犗的三条边上的中线所在直线的方程． ９１ 平面直角坐标系中的直线 ２ 直线的一般式方程 由前面的讨论可以看到，不管哪种形式的直线方程都是关于 狓、狔的二元一次方程，因此都可以化为如下二元一次方程的一般 形式 犪狓＋犫狔＋犮＝０ （犪、犫不同时为零）． ④ 反过来，二元一次方程④是否都表示一条直线呢？ 犪 犮 犪 若犫≠０，方程④化为狔＝－ 狓－ ，它表示斜率为－ ， 犫 犫 犫 犮 在狔轴上的截距为－ 的直线；若犫＝０，则犪≠０，方程④化为 犫 （ ） 犮 犮 狓＝－ ，它表示过点 － ，０ 且与狓轴垂直的直线．可见，只 犪 犪 要犪、犫不同时为零，方程④都表示平面直角坐标系中的一条直 线．我们把方程④称为直线的一般式方程． 例６ 在平面直角坐标系中，根据所给直线方程，作出相 应图形，并求出该直线的斜率和在狔轴上的截距： （１）犾：２狔＋１＝０； １ （２）犾：狓＋２狔＋１＝０． ２ （ ） １ １ 解 （１）因为犾：狔＝－ ，所以该直线过点犅０，－ 且 １ ２ ２ 平行于狓轴（图１２４）．所以，犾的斜率为０且在狔轴上的截距 １ １ 是－ ． ２ （２）在方程狓＋２狔＋１＝０中，令狔＝０，得狓＝－１；令狓＝０， （ ） １ １ 图１２４ 得狔＝－ ２ ．这就得到直线犾 ２ 上两个不同的点犃（－１，０）、犅０，－ ２ ， 连接犃、犅两点的直线即为直线犾（图１２４）． ２ １ １ 因为方程狓＋２狔＋１＝０可化为狔＝－ 狓－ ，所以直线犾 ２ ２ ２ １ １ 的斜率是－ ，在狔轴上的截距是－ ． ２ ２ 例７ 已知直线犾的方程为犪狓＋狔＋犪＋１＝０（犪∈犚），求证： 无论犪取何值时，直线犾都经过一个定点，并写出该定点的坐标． １ ０１．２ 直线的方程 解 由犪狓＋狔＋犪＋１＝０，变形得狔＋１＝－犪（狓＋１）．这是 直线犾的点斜式方程，－犪是犾的斜率，点（－１，－１）是犾经过的 定点． 所以，无论犪取何值时，直线犾都经过一个定点，该定点的 坐标为（－１，－１）． 例８ 如图１２５，直线犾：（犿＋１）狓＋犿狔＋２－犿＝０经过 平面直角坐标系的第一、第二与第四象限．求实数犿的取值范围． 解 当犿＝０时，直线犾的方程为狓＝－２，它只经过第二、 第三象限，不符题意，所以犿≠０．于是，直线犾的方程可化为 犿＋１ 犿－２ 狔＝－ 狓＋ ． 犿 犿 因为直线犾经过第一、第二与第四象限，所以其斜率小于０， 图１２５ 且在狔轴上的截距大于０，则 烄 犿＋１ － ＜０， 犿 烅 犿－２ ＞０， 烆 犿 解得犿＜－１或犿＞２． 所以，实数犿的取值范围是（－∞，－１）∪（２，＋∞）． 练习１．２（３） １．求下列方程所表示直线的斜率与倾斜角： （１）狓＝１； （２）狓＋狔－１＝０； （３）狓＋２狔－１＝０； （４）狔＝１． ２．求证：无论实数犿取何值，直线犾：狓＋（犿＋１）狔＋１＝０都经过一个定点． ３．已知直线犾：犽狓＋２狔＋３－犽＝０经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，求 实数犽的取值范围． 例９ 已知点犃（狓，狔）与犅（狓，狔）是直线犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０ １ １ ２ ２ （犪、犫不同时为零）上任意两点，且向量狀珗＝（犪，犫）．求证：向量 → 狀珗与犃犅垂直． 证明 因为点犃（狓，狔）与犅（狓，狔）在直线犾上，所以犪狓＋ １ １ ２ ２ １ 犫狔＋犮＝０且犪狓＋犫狔＋犮＝０．两式相减，得犪（狓－狓）＋ １ ２ ２ ２ １ → → 犫（狔－狔）＝０，即狀珗·犃犅＝０，所以向量狀珗与犃犅垂直． ２ １ 例９中的向量狀珗＝（犪，犫）与直线犾上的任意一个向量都垂直． 一般地，与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的 法向量（ｎｏｒｍａｌｖｅｃｔｏｒ）．于是，例９可以总结为如下结论： １ １１ 平面直角坐标系中的直线 以直线犾的一般式方程犪狓＋犫狔＋犮＝０ （犪、犫不同时 如果狀珗＝（犪，犫）是 为零）的一次项系数为坐标的向量狀珗＝（犪，犫）是犾的一个法 直线犾的一个法向量， 那么，只要犽是非零 向量． 实数，犽狀珗＝（犽犪，犽犫）也 是犾的法向量． 如果知道了直线犾上的一个点犕（狓，狔）和犾的一个法向量 ０ ０ 狀珗＝（犪，犫），那么平面上一点犘（狓，狔）在直线犾上的充要条件是 → → → 狀珗⊥犕犘，或用向量数量积写成狀珗·犕犘＝０．因为向量犕犘＝ （狓－狓，狔－狔），所以平面上一点犘（狓，狔）在直线犾上的充要条 ０ ０ 件变成了 犪（狓－狓）＋犫（狔－狔）＝０． ⑤ ０ ０ 这又给出了直线犾的一个方程，这个方程称为直线的点法式方程， 它是一个几何意义明确、没有任何附加限制条件的直线方程．只要令 犮＝－犪狓－犫狔，直线的点法式方程⑤就化归为一般式方程④了． ０ ０ 例１０ 已知△犃犅犆的三个顶点的坐标分别是犃（１，６）、 犅（－１，－２）与犆（６，３），求边犅犆上的高犃犇所在直线的方程． → 解 因为犃犇⊥犅犆，所以向量犅犆＝（７，５）是犃犇所在直线 的一个法向量；又因为直线犃犇经过点犃（１，６），所以犃犇所在 直线的点法式方程是７（狓－１）＋５（狔－６）＝０． 化简，得△犃犅犆的高犃犇所在直线的方程为７狓＋５狔－３７＝０． 例１１ 已知直线犾经过点犘（３，２），且狀珗＝（犿，１－犿）是 它的一个法向量．若犾与坐标轴围成的三角形的面积是２，求实 数犿的值． 解 根据条件写出直线犾的点法式方程 犿（狓－３）＋（１－犿）（狔－２）＝０． 化简为 犿狓＋（１－犿）狔－犿－２＝０． 如果犿＝０或犿＝１，直线犾与狓轴或狔轴平行，这样的直线无 法与坐标轴围成三角形，所以犿≠０且犿≠１． 在上述方程中分别令狔与狓等于零，求得直线犾在狓轴与 犿＋２ 犿＋２ 狔轴上的截距分别是 与 ．所以，犾与坐标轴围成的三 犿 １－犿 角形的面积为 １ 犿＋２ 犿＋２ × × ＝２， ２ 犿 １－犿 ４＋２槡７ ４－２槡７ 解得犿＝ 或犿＝ ． ３ ３ １ ２１．２ 直线的方程 练习１．２（４） １．写出下列直线的一个法向量： （１）２狓－３狔＋１＝０； （ ２ ）３狓＋２狔＋１＝０； １ （３）狓＋３＝０； （４）狔＝ 狓－３． ２ ２．已知直线犾的方程是（犪－３）狓＋（２犪＋１）狔－３＝０，它的一个法向量是狀珗＝（３，２）．求 实数犪的值． ３．根据下列条件，求直线犾的方程： （１）犾在狓轴上的截距为－１，且犾的一个法向量是狀珗＝（－１，２）； （２）犾经过点（２，３），且犾上的任何向量都与向量犪珗＝（１，２）平行． 习题１．２ 犃组 ３ １．已知直线犾经过点犘（３，５），倾斜角为α且ｃｏｓα＝ ．求直线犾的点斜式方程． ５ ３ ２．已知直线犾在狔轴上的截距为４，倾斜角为α且ｓｉｎα＝ ．求直线犾的斜截式方程． ５ ３．求下列直线的斜率与在狓、狔两坐标轴上的截距： 槡３ （１）犾：狔＋１＝－ （狓＋１）； １ ３ （２）犾：狔＝－３狓＋槡３． ２ ４．已知直线犾：狔＝犽狓＋２经过点（１，－３）． （１）求犾的倾斜角的大小； （２）求犾在狓轴上的截距． ５．直线犾经过点犘（－２，１），在狓轴、狔轴上的截距分别为犪、犫．已知犪＋犫＝４，求 直线犾的方程． ６．根据给定条件，求下列直线的两点式方程： （１）直线犾经过点犃（２，０）、犅（３，７）； １ （２）直线犾与坐标轴的交点分别为（３，０）、（０，－１）． ２ ７．已知△犃犅犆的三个顶点的坐标分别为犃（３，８）、犅（３，－２）、犆（－３，０）． （１）求边犅犆所在直线的方程； （２）求边犅犆上的中线所在直线的方程． ８．设直线犾在狓轴与狔轴上的截距分别是犪与犫，且犪与犫均不为零．求证：直线犾 １ ３１ 平面直角坐标系中的直线 狓 狔 的方程可以写成 ＋ ＝１． 犪 犫 ９．一个弹簧在弹性限度内挂４ｋｇ的物体时弹簧长度为２０ｃｍ，挂５ｋｇ物体时弹簧长 度为２１．５ｃｍ．已知在弹性限度内所挂物体的质量狓（单位：ｋｇ）与弹簧长度狔（单位：ｃｍ） 的关系可以用直线的方程表示，求该直线的方程，并求弹簧自身的长度． １０．在平面直角坐标系中，作出下列直线，并求它们的斜率与倾斜角． （１）犾：３狓－狔－２＝０； １ （２）犾：３狓＋２狔－１＝０． ２ １１．设直线犾的方程是犪狓＋犫狔＋犮＝０，在下列条件下，求实数犪、犫、犮满足的条件： （１）犾与狓轴、狔轴均相交； （２）犾经过第二、第三、第四象限． １２．已知直线犾：犪狓＋（４－２犪）狔－３＝０，根据下列条件，求实数犪的值： （１）犾经过点（１，１）； （２）犾在两个坐标轴上的截距相等． １３．已知犃（７，－４）、犅（－５，６）两点，求线段犃犅的垂直平分线的点法式方程． １４．已知直线犾：３犽狓＋（犽＋２）狔＋６＝０，直线犾：犽狓＋（２犽－３）狔＋２＝０．若这两条 １ ２ 直线的法向量互相垂直，求犽的值． 犅组 １．已知平行四边形犃犅犆犇中，三个顶点的坐标分别为犃（１，２）、犅（３，４）、犆（２，６）． 分别求边犃犇、犆犇所在直线的方程． → → ２．已知直线犾经过点犘（２，－１），与狓轴、狔轴分别交于犃、犅两点．若２犘犃＋犘犅＝ ０，求直线犾的方程． ３．直线犾：狔＝犽狓＋犫（犽、犫∈犚）与线段犃犅相交，其中点犃为（４，２），点犅为（１，５）． （１）当犫＝－１时，求犽的取值范围； （２）当犽＝１时，求犫的取值范围． ４．已知△犃犅犆中，两个顶点的坐标分别为犃（－２，１）、犅（４，－３），点犌（０，２）是此三 角形的重心．求边犅犆、犃犆所在直线的方程． ５．若２狓＋３狔＝１，２狓＋３狔＝１，且狓≠狓．求经过两点犃（狓， １ １ ２ ２ １ ２ １ 狔）、犅（狓，狔）的直线犾的方程． １ ２ ２ ６．如图是一个 Ｗ形的霓虹灯（灯管宽度忽略不计），每边长都是２ｍ， 每相邻两边相交所成的锐角都是３０°．试建立适当的平面直角坐标系， 写出此霓虹灯的每条边所在直线在这个坐标系中的方程． （第６题） ７．证明：直线２狓＋（１－ｃｏｓ２θ）狔－ｓｉｎθ＝０（θ∈犚且不是π的整数倍）和两坐标轴围 成图形的面积是定值． ８．已知直线犾：（犪－１）狓＋（３－２犪）狔＋犪＋１＝０． （１）若直线的斜率犽∈［－１，２］，求实数犪的取值范围； （２）求证：对任意实数犪，直线犾都经过一个定点． １ ４１．２ 直线的方程 ９．已知向量狀珗＝（５，－１）是直线犾的一个法向量，在下列条件下求直线犾的方程： （１）在狓轴、狔轴上的截距之和为４； （２）与狓轴、狔轴围成的三角形面积为２０． １０．已知狀珗＝（犪，犫）（其中犪犫≠０）是直线犾的一个法向量，试用犪、犫表示直线犾的倾 斜角． １１．我们把与直线上任意两点构成的向量均平行的非零向量称为该直线的方向向量． 求经过点犘（狓，狔）且以犱珝＝（狌，狏）为方向向量的直线的方程． ０ ０ １ ５１ 平面直角坐标系中的直线 两条直线的 １．３ 位置关系 １ 两条直线的相交、平行与重合 在平面几何中，可依据公共点的个数判定两条直线的三种位置 关系：如果两条直线无公共点，那么这两条直线平行；如果两条直 线有且只有一个公共点，那么这两条直线相交；如果两条直线至少 有两个不同的公共点，那么这两条直线重合为一条直线，即有无穷 多个公共点．但用平面几何方法来判断两条直线是否有公共点、有多 少个公共点，有时候并不是一件容易的事． 在解析几何中，我们可以将上述几何问题转化为代数问题来 解决，一般性的方法如下： 在平面直角坐标系中，已知两条直线： 犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０（犪、犫 不同时为零）， １ １ １ １ １ １ 犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０（犪、犫 不同时为零）． ２ ２ ２ ２ ２ ２ 如果这两条直线有公共点犕（狓，狔），那么点犕（狓，狔）的坐标 ０ ０ ０ ０ 烄狓＝狓， 要同时满足这两条直线的方程，即 ０ 是方程组 烅 烆狔＝狔 ０ 烄犪狓＋犫狔＋犮＝０， 烅 １ １ １ ① 烆犪狓＋犫狔＋犮＝０ ２ ２ ２ 的解；反过来，以方程组①的解为坐标的点也必是犾与犾的公 １ ２ 共点．这样，我们可以通过讨论方程组①的解的情况来判断两条 直线的位置关系． 方程组①的解可分３种情况讨论： （１）若存在λ∈犚，使得犪＝λ犪，犫＝λ犫 且犮＝λ犮，则方 １ ２ １ ２ １ ２ 程组①的两个方程表示的是同一条直线，也就是说，直线犾 与 １ 犾重合（此时方程组①有无数组解）； ２ （２）若存在λ∈犚，使得犪＝λ犪，犫＝λ犫 但犮≠λ犮，把第 １ ２ １ ２ １ ２ 二个方程两边同乘λ后减去第一个方程，得到λ犮－犮＝０，这个 ２ １ 等式不可能成立，则方程组①无解，即直线犾 与犾 无公共点， １ ２ 从而犾∥犾； １ ２ （３）若不存在λ∈犚，使得犪＝λ犪，犫＝λ犫，这个条件等 １ ２ １ ２ １ ６１．３ 两条直线的位置关系 价于犪犫≠犪犫，此时可以求得方程组①的唯一解 １ ２ ２ １ 烄 犮犫－犮犫 狓＝ ２ １ １ ２， 犪犫－犪犫 １ ２ ２ １ 烅 犮犪－犮犪 狔＝ １ ２ ２ １， 烆 犪犫－犪犫 １ ２ ２ １ 说明直线犾与犾有唯一的公共点，即犾与犾相交． １ ２ １ ２ 总结一下：给定两条直线 犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０（犪、犫 不同时为零）， １ １ １ １ １ １ 犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０（犪、犫 不同时为零）， ２ ２ ２ ２ ２ ２ 那么： 犾与犾重合  存在λ∈犚，使得犪＝λ犪，犫＝λ犫， １ ２ １ ２ １ ２ 且犮＝λ犮； １ ２ 犾∥犾  存在λ∈犚，使得犪＝λ犪，犫＝λ犫， １ ２ １ ２ １ ２ 但犮≠λ犮； １ ２ 犾与犾相交 犪犫≠犪犫． １ ２ １ ２ ２ １ 如果犾的方程中三个系数犪、犫 与犮均不为零，那么上述 ２ ２ ２ ２ 的充要条件可以写成更易于记忆的形式： 犪 犫 犮 犾与犾重合  １＝ １＝ １； １ ２ 犪 犫 犮 ２ ２ ２ 犪 犫 犮 犾∥犾  １＝ １≠ １； １ ２ 犪 犫 犮 ２ ２ ２ 犪 犫 犾与犾相交  １≠ １． １ ２ 犪 犫 ２ ２ 还有其他一些量可以简单地刻画两条直线相交与否： 因为狀珬＝（犪，犫）与狀珬＝（犪，犫）分别是犾 与犾 的法向量， １ １ １ ２ ２ ２ １ ２ 所以上述第三个充要条件表明，犾与犾 相交的充要条件是它们 １ ２ 的法向量不平行，从而犾与犾平行或重合的充要条件是它们的 １ ２ 法向量平行（这个结论也可以从另外两个充要条件得出）． 如果犫与犫均不为零，那么容易求出犾与犾的斜率分别是 １ ２ １ ２ 犪 犪 犽＝－ １与犽＝－ ２，上述第三个充要条件又可以表明，犾与犾 １ 犫 ２ 犫 １ ２ １ ２ 相交的充要条件是它们的斜率不相等，从而犾与犾平行或重合的 １ ２ 充要条件是它们的斜率相等（这也可以从另外两个充要条件得出）． 用法向量或斜率表述的充要条件从几何上看也很直观． １ ７１ 平面直角坐标系中的直线 例１ 判断下列两条直线的位置关系．若相交，求交点 坐标． （１）犾：０．５狓－狔＋１＝０，犾：３狓－６狔＋８＝０； １ ２ （２）犾：狔＝２狓＋３，犾：狔＝－２狓＋１． １ ２ ０．５ －１ １ 解 （１）因为 ＝ ≠ ，所以犾∥犾． ３ －６ ８ １ ２ （２）因为犾与犾的斜率分别为犽＝２，犽＝－２，则犽≠犽， １ ２ １ ２ １ ２ 所以两条直线相交． 烄 １ 烄狔＝２狓＋３， 狓＝－ ， 解方程组 得 ２ 烅 烅 烆狔＝－２狓＋１， 烆狔＝２． （ ） １ 所以，两条直线的交点坐标为 － ，２ ． ２ 例２ 已知直线犾：犿狓－２狔＋１＝０，犾：狓－（犿＋１）狔＋ １ ２ １＝０，求实数犿的取值范围，使得： （１）犾与犾相交； １ ２ （２）犾∥犾； １ ２ （３）犾与犾重合． １ ２ 解 因为犾与犾相交的充要条件是犿［－（犿＋１）］≠１×（－２）， １ ２ 所以先解方程犿［－（犿＋１）］＝１×（－２），得犿＝－２或犿＝１． 于是有： （１）当犿≠－２且犿≠１时，犾与犾相交． １ ２ １ －（犿＋１） １ （２）当犿＝－２时，因为 ＝ ≠ ，所以犾∥犾． 犿 －２ １ １ ２ １ －（犿＋１） １ （３）当犿＝１时，因为 ＝ ＝ ，所以犾与犾重合． 犿 －２ １ １ ２ 练习１．３（１） １．判断下列两条直线的位置关系．若相交，求交点坐标． （１）犾：狓＋３狔＋１＝０，犾：３狓＋４＝０； １ ２ １ （２）犾：狓－３狔＋１＝０，犾：狔＝ 狓＋４． １ ２ ３ ２．已知直线犾：（犪＋１）狓＋狔＋犪＝０，犾：狓＋（犪＋１）狔－２＝０．若犾∥犾，求实数犪 １ ２ １ ２ 的值． ３．求经过直线犾：狓－狔－４＝０与犾：２狓－３狔－７＝０的交点，且与直线犾：２狓＋ １ ２ ３ 狔＋１＝０平行的直线犾的方程． １ ８１．３ 两条直线的位置关系 ２ 两条直线垂直的判定与夹角的求法 我们已经知道，平面上两条相交直线交得的锐角或直角叫做 这两条直线的夹角．当两条直线的夹角为直角时，称这两条直线 垂直． 在平面直角坐标系中，给定两条相交的直线 犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０ （犪、犫 不同时为零）， １ １ １ １ １ １ 犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０ （犪、犫 不同时为零）． ２ ２ ２ ２ ２ ２ 如何根据方程判定两条直线是否垂直呢？ 我们知道，狀珬＝（犪，犫）与狀珬＝（犪，犫）分别是直线犾 与犾 １ １ １ ２ ２ ２ １ ２ 的法向量．由于直线与其法向量所在直线垂直（图１３１），因此 犾⊥犾狀珬⊥狀珬，再由必修课程８．３节的向量垂直的充要条件 １ ２ １ ２ 狀珬⊥狀珬犪犪＋犫犫＝０，我们得到 １ ２ １ ２ １ ２ 犾⊥犾犪犪＋犫犫＝０． １ ２ １ ２ １ ２ 图１３１ 特别地，当犫犫≠０时，直线犾 与犾 的斜率都存在，分别为 １ ２ １ ２ 犪 犪 犪 犪 犽＝－ １与犽＝－ ２，条件犪犪＋犫犫＝０可以改写为 １· ２＝ １ 犫 ２ 犫 １ ２ １ ２ 犫 犫 １ ２ １ ２ －１，即犽犽＝－１．于是 １ ２ 犾⊥犾犽犽＝－１． １ ２ １ ２ 例３ 已知直线犾：狓＋犿狔－２＝０与犾：（犿－２）狓＋ １ ２ ３犿狔＋２犿＝０互相垂直，求实数犿的值． 解 由两条直线互相垂直的充要条件，得 （犿－２）＋３犿２＝０， 解得 ２ 犿＝ 或犿＝－１． ３ １ 例４ 求经过点（４，５）且与直线犾：狔＝－ 狓＋２垂直的 ３ 直线犾′的方程． １ 解 因为犾的斜率犽＝－ ，且犾⊥犾′，所以犾′的斜率犽′＝３． ３ １ ９１ 平面直角坐标系中的直线 因为犾′经过点（４，５），所以犾′的点斜式方程是狔－５＝ ３（狓－４），化简为３狓－狔－７＝０． 例５ 已知直角三角形犃犅犆的斜边犅犆在狓轴上，且长 度为８，直角顶点犃的坐标是（２，４）．求直角边犃犅所在直线的 方程． 解 根据条件可知，直角边犃犅斜率存在且不为零．不妨设 １ 此斜率为犽，则犃犆所在直线的斜率为－ ．所以犃犅与犃犆所 犽 １ 在的直线方程分别为狔－４＝犽（狓－２）与狔－４＝－ （狓－２）．令 犽 ４ 狔＝０，得点犅与点犆的横坐标分别为２－ 与２＋４犽． 犽 ４ 由｜犅犆｜＝８，得 ４犽＋ ＝８，解得犽＝１或犽＝－１． 犽 所以，直角边犃犅所在直线的方程为狔＝狓＋２或狔＝－狓＋６． 练习１．３（２） １．已知直线犾：（犪－２）狓＋犪狔－２＝０与犾：（１－犪）狓＋（犪＋１）狔＋１＝０互相垂直， １ ２ 求实数犪的值． ２．求过点（－１，－１）且分别与下列直线垂直的直线方程： （１）狔＝２； （２）狔＝狓； （３）２狓＋狔＋２＝０； （４）狓ｃｏｓθ＋狔ｓｉｎθ＝１，θ为给定的实数． 如果犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０与犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０是给定 １ １ １ １ ２ ２ ２ ２ 的两条相交直线，我们该如何求出它们的夹角α呢？ 根据必修课程８．３节的向量夹角的余弦公式，我们立即可以 得到犾与犾 的法向量狀珬＝（犪，犫）与狀珬＝（犪，犫）的夹角θ的 １ ２ １ １ １ ２ ２ ２ 余弦 犪犪＋犫犫 ｃｏｓθ＝ １ ２ １ ２ ． 槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２ １ １ ２ ２ 因此，只要理清角θ与角α的关系，就能得出角α的余弦公式． 如图１３２，设两条直线（实线所示）的夹角为α，不妨从夹 ２ ０１．３ 两条直线的位置关系 角内部的一点分别作两条直线的一个法向量，法向量夹角为θ． 两个法向量所在直线（虚线所示）和原来的两条直线围成了一个 四边形，其中一组对角均是直角，另外一组对角是α与θ或者 α与π－θ．由此可见α＋θ＝π或者α＋（π－θ）＝π，推出α＝π－θ π 或者α＝θ．这样，ｃｏｓα＝±ｃｏｓθ．因为０＜α≤ ，ｃｏｓα≥０，所 ２ 以ｃｏｓα＝｜ｃｏｓθ｜． （１） （２） 图１３２ 把这个一般的讨论用于直线犾 与犾 的情况，则犾：犪狓＋ １ ２ １ １ 犫狔＋犮＝０与犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０的夹角α的余弦公式为 １ １ ２ ２ ２ ２ ｜犪犪＋犫犫｜ ｃｏｓα＝ １ ２ １ ２ ． 槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２ １ １ ２ ２ 例６ 求直线犾：狓＋３狔－１＝０与犾：狔＝２狓＋７的夹角 １ ２ 的大小． 解 直线犾的一般式方程可写成２狓－狔＋７＝０，因此直线 ２ 犾与直线犾的夹角α的余弦值为 １ ２ ｜２－３｜ 槡２ ｃｏｓα＝ ＝ ， １０ 槡１＋９×槡４＋１ 槡２ 于是α＝ａｒｃｃｏｓ ． １０ 例７ 已知直线犾′经过点犘（２，１），与直线犾：狓＋２狔＋１＝０ 槡５ 夹角为ａｒｃｃｏｓ ．求直线犾′的方程． ５ 解 设直线犾′的一个法向量为（犪，犫），其中犪、犫不同时为 零，则犾′的点法式方程为犪（狓－２）＋犫（狔－１）＝０． 根据夹角的余弦公式，得 ２ １１ 平面直角坐标系中的直线 ｜犪＋２犫｜ 槡５ ＝ ， 槡犪２＋犫２ ·槡１２＋２２ ５ ４ 化简为３犫２＋４犪犫＝０．所以犫＝０或犫＝－ 犪，此时犪≠０． ３ ４ 把犫＝０或犫＝－ 犪代入直线犾′的方程，得狓＝２或３（狓－ ３ ２）－４（狔－１）＝０． 所以直线犾′的方程有两个，一个是狓＝２，另一个是３狓－ ４狔－２＝０． 练习１．３（３） １．根据下列方程，求直线犾与犾的夹角的大小： １ ２ （１）犾：３狓－５狔＋１＝０与犾：２狓＋狔＝３； １ ２ （２）犾：狔＝５狓－３与犾：狔＝－３狓＋２． １ ２ π ２．已知直线犾：槡３狓－狔＋３＝０与直线犾：狔＝犽狓＋３的夹角为 ，求实数犽的值． １ ２ ４ π ３．求经过点犃（４，－３）且与直线犾：狓＋狔－３＝０的夹角为 的直线犾′的方程． ３ 习题１．３ 犃组 １．根据下列方程，判定直线犾与犾的位置关系： １ ２ （１）犾：２狓－３狔－１＝０，犾：４狓－６狔－２＝０； １ ２ １ （２）犾：狔＝ 狓＋１，犾：狓－６狔－２＝０； １ ３ ２ （３）犾：（槡５－１）狓－２狔＋１＝０，犾：２狓－（槡５－１）狔－２＝０． １ ２ ２．已知直线犾：６狓＋（狋－１）狔－８＝０，直线犾：（狋＋４）狓＋（狋＋６）狔－１６＝０．根据下 １ ２ 列条件，求实数狋的取值范围： （１）犾与犾相交； １ ２ （２）犾∥犾； １ ２ （３）犾与犾重合． １ ２ ３．已知两条直线犾：（狋－１）狓＋２狔－狋＝０和犾：狓＋狋狔＋狋－２＝０，且犾∥犾．求实数 １ ２ １ ２ 狋的值． ２ ２１．３ 两条直线的位置关系 ４．已知平行四边形犃犅犆犇中，一组对边犃犅、犆犇所在直线的方程分别为犪狓＋４狔＝犪＋２， 狓＋犪狔＝犪．求实数犪的值． ５．已知四边形犃犅犆犇的四个顶点的坐标分别为犃（－１，２）、犅（３，４）、犆（３，２）、犇（１，１）， 求证：四边形犃犅犆犇是梯形． ６．已知直线犾：（犽－３）狓＋（５－犽）狔＋１＝０与直线犾：２（犽－３）狓－２狔＋（２－犽）＝０ １ ２ 互相垂直，求实数犽的值． ７．已知直线犾垂直于直线犾′：２狓＋３狔－４＝０，根据下列条件求犾的方程： （１）犾经过点（１，１）； （２）犾与坐标轴围成的三角形的面积是３． ８．已知等腰直角三角形犃犅犆的斜边犃犅所在直线的方程为３狓－狔－５＝０，直角顶点 为犆（４，－１）．求两条直角边所在直线的方程． ９．根据下列方程，求直线犾与犾的夹角的大小： １ ２ （１）犾：狓＋３狔＋２＝０，犾：４狓＋２狔－１＝０； １ ２ （２）犾：狓＋２狔－３＝０，犾：狓－狔－５＝０； １ ２ （３）犾：２狓－３狔＋６＝０，犾：狓－５＝０． １ ２ π １０．若直线狓＋犿狔＋５＝０与直线狓＋狔＋１＝０的夹角为 ，求实数犿的值． ４ １１．已知等腰直角三角形犃犅犆的直角边犅犆所在直线的方程为狓－２狔－６＝０，顶点犃的坐 标为（０，６）．分别求直角边犃犆、斜边犃犅所在直线的方程． 犅组 ３π １．给定直线犾：狔＝犪狓＋犫，直线犾：狔＝犫狓－犪．已知直线犾的倾斜角为 ，且它与 １ ２ １ ４ 直线犾的交点落在直线犾：２狓＋狔－２＝０上．求实数犫的值． ２ ３ ２．求证：不论实数λ取何值，直线犾：２狓＋狔－４＋λ（狓－狔＋２）＝０经过同一个点， 并求所有这些直线的公共点． ３．已知集合犃＝｛（狓，狔）｜２狓－（犪＋１）狔－１＝０｝，犅＝｛（狓，狔）｜犪狓－狔＋１＝０｝，且 犃∩犅＝．求实数犪的值． ４．分别求经过直线犾：５狓＋２狔－３＝０和犾：３狓－５狔－８＝０的交点，且与直线 １ ２ 狓＋４狔－７＝０垂直、平行的直线的方程． ５．已知△犃犅犆的一个顶点为犃（３，－４），有两条高所在直线的方程分别是７狓－ ２狔－１＝０与２狓－７狔－６＝０．求△犃犅犆三条边所在直线的方程． ６．求直线犾：狓＋狔－３＝０与直线犾：７狓－狔－５＝０夹角平分线的方程． １ ２ ７．一束光线经过点（－２，１），由直线犾：狔＝狓反射后，经过点（３，５）射出．求反射光线 所在直线的方程． ２ ３１ 平面直角坐标系中的直线 １．４ 点到直线的距离 我们首先讨论直线犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０ （犪、犫不同时为零） 外一点犘（狓，狔）到这条直线的距离．根据点到直线距离的定义， ０ ０ 如图１４１，过点犘作直线犾的垂线，设垂足是犙（狓，狔），则 犙 犙 线段犘犙的长度就是点犘到直线犾的距离犱．因此，只要求出 犘犙所在直线的方程，然后与犾的方程联立得到一个二元一次方 程组，解这个方程组就可以得到点犙的坐标，进而利用两点间 图１４１ 的距离公式求出犘犙的长度．这种方法的思路很清晰，但运算量 比较大．为了简便计算，我们介绍另外一种方法． 由直线犾的一般式方程知，狀珗＝（犪，犫）是犾的一个法向量， → → 所以犘犙∥狀珗，即｜ｃｏｓ〈犘犙，狀珗〉｜＝１，从而 → → ｜犘犙·狀珗｜ ｜犪（狓－狓）＋犫（狔－狔）｜ 犱＝｜犘犙｜＝ ＝ 犙 ０ 犙 ０ ｜狀珗｜ 槡犪２＋犫２ ｜（犪狓＋犫狔）－（犪狓＋犫狔）｜ ＝ 犙 犙 ０ ０ ． 槡犪２＋犫２ 因为点犙在犾上，所以犪狓＋犫狔＋犮＝０，即 犙 犙 犪狓＋犫狔＝－犮． 犙 犙 ｜－犮－（犪狓＋犫狔）｜ 所以，犱＝ ０ ０ ，从而得到点犘（狓，狔）到直 槡犪２＋犫２ ０ ０ 线犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０的距离公式 ｜犪狓＋犫狔＋犮｜ 犱＝ ０ ０ ． 槡犪２＋犫２ 当点犘在直线犾上时，上述公式仍然成立，此时犱＝０． 例１ 根据下列条件，求点犘到直线犾的距离犱： （１）犘（１，２），犾：狓＋２狔＋５＝０； （２）犘（－槡３，３），犾：狔＝槡３狓＋３． 解 （１）由点到直线的距离公式，得 ｜１＋２×２＋５｜ 犱＝ ＝２槡５． 槡１２＋２２ ２ ４１．４ 点到直线的距离 （２）将直线犾的方程化为槡３狓－狔＋３＝０，所以由点到直线 的距离公式，得 ｜槡３×（－槡３）＋（－１）×３＋３｜ ３ 犱＝ ＝ ． 槡 ２ （槡３）２＋（－１） ２ 例２ 求平行直线犾：槡２狓＋狔＋１＝０与犾：槡２狓＋狔＋４＝０ １ ２ 之间的距离． 解 两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一点到另 一条直线的距离．为方便计算，我们在直线犾 上取一个特殊点 １ 犘（０，－１），点犘到直线犾：槡２狓＋狔＋４＝０的距离为 ２ ｜槡２×０＋１×（－１）＋４｜ 犱＝ ＝槡３． 槡２＋１ 所以，直线犾与犾之间的距离为槡３． １ ２ 如图１４２，对于两条平行线犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０与犾：犪狓＋ １ １ ２ 犫狔＋犮＝０（犪、犫不同时为零），我们可以采取同样的方法求它们 ２ 之间的距离．取犾上一点犘（狓，狔），则犪狓＋犫狔＋犮＝０．点犘 １ ０ ０ ０ ０ １ ｜犪狓＋犫狔＋犮｜ 到犾的距离犱＝ ０ ０ ２ ．由犪狓＋犫狔＋犮＝０，得犪狓＋ ２ 槡犪２＋犫２ ０ ０ １ ０ ｜－犮＋犮｜ 犫狔＝－犮，所以犱＝ １ ２ ．也就是说：平行线犾：犪狓＋ ０ １ 槡犪２＋犫２ １ 图１４２ 犫狔＋犮＝０与犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０的距离为 １ ２ ２ ｜犮－犮｜ 犱＝ １ ２ ． 槡犪２＋犫２ 例３ 已知直线犾：狔＝槡２狓＋１，直线犾与犾平行，且 １ ２ １ 与犾的距离为２．求直线犾的方程． １ ２ 解 由题意，可设犾的方程为狔＝槡２狓＋犫（犫∈犚且犫≠１）． ２ 直线犾与犾的一般式方程为 １ ２ 犾：槡２狓－狔＋１＝０与犾：槡２狓－狔＋犫＝０． １ ２ 由两条平行直线之间的距离公式，得 ｜１－犫｜ ＝２． 槡 １２＋（槡２）２ 解得犫＝２槡３＋１或犫＝－２槡３＋１． 所以，直线犾的方程为狔＝槡２狓＋２槡３＋１或狔＝槡２狓－２槡３＋１． ２ ２ ５１ 平面直角坐标系中的直线 练习１．４ １．根据下列条件，求点犕（－２，－１）到直线犾的距离犱： （１）犾：狓＝３； （２）犾：狔＝３； （３）犾：狓＋狔＝３； （４）犾：狔＝３狓－５． π ２．在直角三角形犃犅犆中，∠犃＝ ，｜犃犅｜＝６，｜犃犆｜＝８．求三角形的重心犌到斜 ２ 边犅犆所在直线的距离． 习题１．４ 犃组 １．求点犘（２，３）到直线犾的距离： （１）犾：３狓－２狔＝１３； （２）犾：狔＝－２狓＋３． ２．已知点犃（犪，６）到直线３狓－４狔－４＝０的距离等于４，求实数犪的值． ３．求下列两条平行线之间的距离： （１）犾：２狓－３狔＋１＝０，犾：４狓－６狔＋１＝０； １ ２ 槡３ （２）犾：狔＝ 狓＋１，犾：槡３狓－２狔＋１＝０． １ ２ ２ ７槡５ ４．已知直线犾：２狓－狔＋犪＝０与直线犾：－４狓＋２狔＋１＝０的距离为 ，求实数犪 １ ２ １０ 的值． 犅组 １．已知点犃（１，０）、犅（４，－４）．若点犃与点犅到直线犾的距离都为２，求直线犾的 方程． ２．已知点犘是直线３狓－４狔＋２＝０上任意一点，求点犘与点犃（３，－１）之间距离的最小值． ３．已知直线犾经过点犘（１，１）且与直线犾：狔＝槡３狓＋１和犾：狔＝槡３狓＋３分别交于点 １ ２ 犃和点犅．若｜犃犅｜＝槡２，求直线犾的方程． ２ ６１．４ 点到直线的距离 课后阅读 解析几何的诞生 文艺复兴以来，生产力的发展对科学技术提出了全新的要求．到１６世纪，对运动与 变化的研究已成为自然科学的中心问题．这迫切需要一种新的数学工具，从而诞生了解析 几何． 有别于传统的纯几何方法，解析几何将数与形有机地结合起来，形成一门新的学科． 它的基本思想是在平面上引进“坐标”的概念，并借助于平面上的点和有序实数对之间所建 立的一一对应关系，将一个代数方程与平面上一条曲线对应起来．于是几何问题便可归结 为代数问题，反过来又可通过代数问题的研究发现新的几何结果． 借助于坐标来确定点的位置的思想在古代曾经出现过，古希腊数学家阿波罗尼斯 （Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ）关于圆锥曲线性质的推导，阿拉伯数学家通过圆锥曲线交点求解三次方程的 研究，都蕴含着这种思想． 解析几何的建立主要归功于两位１７世纪的法国数学家笛卡儿（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ）和费马 （Ｐ．ｄｅＦｅｒｍａｔ）．他们工作的出发点不同，却殊途同归． １６３７年笛卡儿出版了著名的哲学著作《方法论》，该书有三个附录，《几何学》是其中 之一，解析几何的发明就在这篇附录中．笛卡儿的出发点是一个著名的古希腊数学问题： 帕普斯问题．笛卡儿解决了一些特殊的情形，由此建立起了历史上第一个斜坐标系．在 《几何学》中，笛卡儿也给出了直角坐标系的例子．基于坐标系和曲线方程的思想，笛卡儿 还提出了一系列新颖的想法．例如，曲线的次数与坐标轴的选择无关，利用曲线的方程表 示求出两条不同曲线的公共点，曲线的分类，等等． 与笛卡儿不同，费马工作的出发点是想恢复已失传的阿波罗尼斯的《论平面轨迹》，为 此，他写成《平面与立体轨迹引论》（１６２９）一书，其中清晰地阐述了自己的解析几何思想． 费马在书中写道：“在最后的方程中出现两个未知量时，我们就得到一个轨迹，其中一个 未知量的一端画出了一条直线或曲线．”这就是说，用代数方法解几何问题时，最后得到 含两个未知量的方程，所得结果表示一轨迹（直线或曲线）．因此，费马以研究古希腊轨迹 问题为目的，以韦达（Ｆ．Ｖｉèｔｅ）的符号代数为工具，通过建立只含一条轴的坐标系，将二 元代数方程与几何曲线对应起来，导引着解析几何的诞生． 解析几何的发明具有伟大的意义．它使得原先以常量为主导的数学转变为以变量为主 导的数学，从而为微积分的创立搭起数学舞台；它使得代数和几何融合为一体，实现了几 何图形的代数化；经由代数和几何的相互转化，它使数学家得以摆脱现实的束缚，从三维 空间进入高维空间，探索更深层次的概念． 解析几何为我们打开了一扇通往全新数学世界的大门．在解析几何诞生的背后，蕴藏 诸多有趣的数学故事，充分体现了数学的人文精神． ２ ７１ 平面直角坐标系中的直线 内容提要 １．与平面直角坐标中直线有关的重要的量 （１）倾斜角：当直线犾与狓轴相交于一点犃时，将狓轴绕点犃沿逆时针方向旋转到 与犾重合时所转过的最小正角θ称为直线犾的倾斜角；当犾平行于狓轴或与狓轴重合时， 规定倾斜角θ＝０．于是，倾斜角的取值范围为０≤θ＜π． （２）斜率：当直线犾不与狓轴垂直时，定义它的斜率为犽＝ｔａｎθ，其中θ为犾的倾斜 角；当直线犾与狓轴垂直时，斜率不存在．过两点犃（狓，狔）与犅（狓，狔）（狓≠狓）的直线 １ １ ２ ２ １ ２ 狔－狔 的斜率是犽＝ ２ １． 狓－狓 ２ １ （３）截距：直线犾与狔轴交点的纵坐标称为直线犾在狔轴上的截距；直线犾与狓轴交 点的横坐标称为直线犾在狓轴上的截距． ２．直线的各种形式的方程 （１）直线的点斜式方程：过点犕（狓，狔）且斜率为犽的直线的方程是狔－狔＝犽（狓－狓）． ０ ０ ０ ０ （２）直线的斜截式方程：斜率为犽且在狔轴上的截距为犫的直线的方程是狔＝犽狓＋犫． （３）直线的两点式方程：经过两点犕（狓，狔）、犖（狓，狔）（狓≠狓 且狔≠狔）的直线 １ １ ２ ２ １ ２ １ ２ 狔－狔 狓－狓 的方程是 １＝ １． 狔－狔 狓－狓 ２ １ ２ １ （４）直线的点法式方程：过点犕（狓，狔）且一个法向量为狀珗＝（犪，犫）的直线的方程是 ０ ０ 犪（狓－狓）＋犫（狔－狔）＝０． ０ ０ （５）直线的一般式方程：直线一般形式的方程是犪狓＋犫狔＋犮＝０，其中犪、犫不同时为 零．这个方程的一次项系数给出了它的一个法向量狀珗＝（犪，犫）． ３．两条直线的位置关系 给定两条直线犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０与犾：犪狓＋犫狔＋犮＝０ （犪、犫 不同时为零， １ １ １ １ ２ ２ ２ ２ １ １ 犪、犫 不同时为零）． ２ ２ （１） 直 线 相 交、 平 行 与 重 合：犾 与犾 相 交、 平 行 或 重 合 取 决 于 方 程 组 １ ２ 烄犪狓＋犫狔＋犮＝０， １ １ １ 解的情况： 烅 烆犪狓＋犫狔＋犮＝０ ２ ２ ２ ①犾与犾重合方程组有无数组解存在λ∈犚，使得犪＝λ犪，犫＝λ犫且犮＝λ犮； １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ ②犾∥犾 方程组无解  存在λ∈犚，使得犪＝λ犪，犫＝λ犫 但犮≠λ犮； １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ ③犾与犾相交  方程组有唯一的解 犪犫≠犪犫． １ ２ １ ２ ２ １ （２）两条直线垂直的充要条件：犾⊥犾犪犪＋犫犫＝０；如果两条直线的斜率犽 与 １ ２ １ ２ １ ２ １ 犽 都存在，那么犾⊥犾犽犽＝－１． ２ １ ２ １ ２ （３）两条直线的夹角：犾与犾的夹角α的余弦公式为 １ ２ ｜犪犪＋犫犫｜ ｃｏｓα＝ １ ２ １ ２ ． 槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２ １ １ ２ ２ ２ ８复习题 ４．点到直线的距离：点犘（狓，狔）到直线犪狓＋犫狔＋犮＝０（犪、犫不同时为零）的距离为 ０ ０ ｜犪狓＋犫狔＋犮｜ 犱＝ ０ ０ ． 槡犪２＋犫２ 复习题 犃组 １．求直线槡２狓－４狔＋５＝０的倾斜角．（用ａｒｃｔａｎ表示） ２．若直线犪狓＋２狔＋６＝０和直线狓＋犪（犪＋１）狔＋（犪２－１）＝０互相垂直，求实数犪的值． ３．直线狓－狔＋１＝０上一点犘的横坐标是３，若该直线绕点犘逆时针旋转９０°得到直 线犾，求直线犾的方程． ２槡５ ４．设直线狓－犪狔－４＝０与直线狔＝－２狓＋４的夹角为ａｒｃｃｏｓ ，求实数犪的值． ５ ［ ） π ５．已知α∈ ０， ，求直线狓ｃｏｓα＋槡３狔＋２＝０的倾斜角的取值范围． ２ ６．求过点（３，－２）且在狓轴、狔轴上截距相等的直线的方程． ７．已知点犘（１，１）到直线狓＋犪狔－２＝０的距离为１，求实数犪的值． ８．已知平行四边形犃犅犆犇中，边犃犅所在直线的方程为狓＋狔－１＝０，边犃犇所在直 线的方程为３狓－狔＋４＝０． （１）求点犃的坐标； （２）若点犆的坐标为（３，３），分别求边犅犆与犇犆所在直线的方程． ９．已知直线犾：狓＋犿狔＋６＝０，犾：（犿－２）狓＋３狔＋２犿＝０，求实数犿的取值范围， １ ２ 使得： （１）犾与犾相交； （２）犾⊥犾； １ ２ １ ２ （３）犾∥犾； （４）犾与犾重合． １ ２ １ ２ ４９ １０．已知直线犾与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为 ．求直线犾 ２ 的方程． １１．在△犃犅犆中，边犃犅、犃犆上的高所在直线的方程分别为２狓－３狔＋１＝０与狓＋狔＝０， 点犃的坐标为（１，２）．求边犅犆所在直线的方程． １２．已知直线犾垂直于直线３狓＋４狔－９＝０，点犃（２，３）到直线犾的距离为１．求直线犾 的方程． １３．已知三条直线犾：犪狓＋犫狔＋４＝０，犾：（犪－１）狓＋狔＋犫＝０，犾：狓＋２狔＋３＝０． １ ２ ３ （１）若犾⊥犾且犾经过点（－１，１），求犪、犫的值； １ ２ １ （２）若犾∥犾∥犾，求犪、犫的值． １ ２ ３ ２ ９１ 平面直角坐标系中的直线 犅组 １．已知过点（０，－２）且具有斜率犽的直线犾与以点犃（３，１）和犅（－２，５）为端点的线段 犃犅相交，求实数犽的取值范围． （ ） π ２．已知两条直线犾：狔－狓＝０，犾：狔＝犪狓，其中犪∈犚．当这两条直线的夹角在 ０， １ ２ １２ 内变化时，求实数犪的取值范围． ３．直线犾过原点且平分平行四边形犃犅犆犇的面积，若此平行四边形的两个顶点为 犅（１，４）、犇（５，０），求直线犾的方程． ４．求直线犾：３狓－２狔－６＝０关于直线犾：２狓－３狔＋１＝０对称的直线犾的方程． １ ２ ３ ５．已知动点犕（犪，犫）在直线３狓＋４狔－１５＝０上，求槡犪２＋犫２ 的最小值． ６．已知两条平行直线犾与犾分别过点犘（１，０）与点犘（０，５），犾、犾之间的距离为犱． １ ２ １ ２ １ ２ 求犱的最大值，并指出此时犾、犾的方程． １ ２ ７．已知直线犾经过点犆（２，１），且与狓轴、狔轴的正半轴分别交于点犃、点犅，犗是 坐标原点． （１）当△犃犗犅的面积最小时，求直线犾的方程； （２）当｜犆犃｜·｜犆犅｜取最小值时，求直线犾的方程，并求此最小值． 拓展与思考 １．作出方程｜狓｜＋｜狔｜＝１所表示的图形，并求该图形围成的区域的面积． ２．给定直线犾：狔＝犽狓＋犫 与犾：狔＝犽狓＋犫，求证：如果直线犾与犾不互相垂 １ １ １ ２ ２ ２ １ ２ 犽－犽 直，那么它们的夹角α满足ｔａｎα＝ １ ２ ． １＋犽犽 １ ２ ３．已知直线犾：４狓＋狔＝４，犾：犿狓＋狔＝０，犾：２狓－３犿狔＝４．当犿为何值时，它 １ ２ ３ 们不能围成三角形？ ４．点到直线的距离是该点到直线上任意一点距离的最小值．如果把一个给定点到线段 上任意一点的距离的最小值定义为该点到该线段的距离，试求点犘（１，１）到线段犾：狓－ 狔－３＝０（３≤狓≤５）的距离． ３ ０２ 第 章 在上一章中，我们初步领略了解析几何的 一些基本特点，知道通过建立平面直角坐标系 得到直线的方程，然后利用方程讨论点与直 圆锥曲线 线、直线与直线的位置关系．在这一章中，通 过对圆锥曲线的研究，我们进一步深入解析几 何的核心领域并体验解析几何的思想和作用． 对圆锥曲线的研究虽然可以追溯到两千多 年前的古希腊时代，但直到笛卡儿坐标系的引 入，才找到更一般且统一的处理方法．在直角 坐标平面上，所有圆锥曲线都可以用二元二次 方程来表示，从而可以用方程的思想去解决与 这些曲线有关的问题．由于圆锥曲线是日常生 活中常见的曲线，在航天、航海、光学等领域 都有广泛的应用，这使得解析几何成为数学的 一个重要分支． 除了直线和圆以外，椭圆、双曲线和抛物 线已经与平面几何所涉及的内容有本质的区 别，但却与函数有了联系，如反比例函数的图 像是双曲线、二次函数的图像是抛物线等． 书书书２ 圆锥曲线 ２．１ 圆 １ 曲线方程的概念 在上一章１．２节中，我们针对具体的例子解释了什么是 “直线的方程”，从而引导了全章的学习．通过上一章的学习， 我们对“直线方程”有了更多认识．在此基础上我们不难总结 出“直线方程”的严格定义：在一个平面直角坐标系中给定一 条直线和一个关于狓与狔的二元一次方程，如果给定直线上 的每一个点的坐标都是该给定方程的解，而且以给定方程的 解为坐标的点都在该给定直线上，那么称这个给定的方程是 给定直线的方程． 如果考虑更为一般的平面曲线（直线是它的特例），可以直接 把这个定义推广而给出曲线方程的概念：在一个平面直角坐标系 中给定一条曲线和一个关于狓与狔的二元方程，如果给定曲线 上的每一个点的坐标都是该给定方程的解，而且以给定方程的解 为坐标的点都在该给定曲线上，那么称这个给定的方程是给定曲 线的方程，也称这条给定的曲线是给定方程的曲线． ２ 圆的标准方程 在各种非直线的平面曲线中，我们最熟悉的是圆． 在平面几何中已经知道，圆（ｃｉｒｃｌｅ）是到一个定点的距离等 于定长（大于零）的点的轨迹．这个定点就是圆心（ｃｅｎｔｅｒ），定长 就是圆的半径（ｒａｄｉｕｓ）．如果一个圆在直角坐标平面上，我们该 如何确定这个圆的位置，并且建立圆的方程呢？ 显然，只要圆心的位置及圆的半径确定，一个圆在平面上的 位置就完全确定了．假设在平面直角坐标系中，已知圆犆的圆心 是犆（犪，犫），半径是狉（狉＞０），如图２１１所示．我们来考察这个 圆上的动点犘（狓，狔）的坐标所满足的方程． ３ ２２．１ 圆 因为｜犘犆｜＝狉，即槡（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉，两边平方后得 （狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２ ， ① 所以圆犆上任意一点犘（狓，狔）的坐标都满足方程①． 反之，若平面上有一点犕的坐标（狓，狔）是方程①的解，则 １ １ （狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２ ，即｜犕犆｜２＝狉２ ，可得｜犕犆｜＝狉．所 １ １ 图２１１ 以，点犕在以犆为圆心、以狉为半径的圆上． 因此，方程①是圆犆的方程．我们把它叫做圆的标准方程． 特别地，当犪＝犫＝０，即圆心在原点犗（０，０）时，圆的标准 方程为 狓２＋狔２＝狉２． 例１ 已知两点犘（３，４）、犙（－５，６），求以犘犙为直径的 圆犆的方程． 若设犖（狓，狔）为 圆犆上任意一点，能 解 由已知，圆心犆为线段犘犙的中点，可得圆心犆的坐 → → 否由犖犘⊥犖犙求得 标为（－１，５）． 圆犆的方程？ 又半径狉为直径犘犙长度的一半，即 １ １ 狉＝ ｜犘犙｜＝ 槡（－５－３） ２＋（６－４） ２＝槡１７． ２ ２ 因此，所求圆的标准方程为（狓＋１） ２＋（狔－５） ２＝１７． 例２ 设平面上有一条长度为４的线段犃犅，试建立适当 的平面直角坐标系，求到线段犃犅两端点的距离的平方和为１６ 的点的轨迹方程． 解 如图２１２，取犃犅的中点犗为原点，犃犅所在直线为 狓轴，射线犗犅方向为它的正方向，以过点犗且垂直于犃犅的直 线为狔轴，建立平面直角坐标系，则有犃（－２，０）、犅（２，０）． 设点犘（狓，狔）到犃、犅两点的距离的平方和为１６，就有 ［（狓＋２） ２＋狔２ ］＋［（狓－２） ２＋狔２ ］＝１６， 化简，得 狓２＋狔２＝４． 因此，所求轨迹方程为狓２＋狔２＝４，其轨迹是以犗（０，０）为 图２１２ 圆心、以犃犅为直径的圆． 例３ 造船时，为了船体放样，要画出甲板圆弧线．由于 这条圆弧线的半径很大，无法直接在钢板上用圆规画出，需要先 建立这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线．如图２１３， ３ ３２ 圆锥曲线 ︵ ︵ 已知圆弧犃犅的半径狉为２９ｍ，圆弧犃犅所对的弦长犾为１２ｍ， ︵ 以ｍ为单位，建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧犃犅的方 程．（结果精确到０．００１ｍ） 解 以弦犃犅所在直线为狓轴（射线犃犅方向为狓轴正方向）， 弦犃犅的垂直平分线为狔轴，建立平面直角坐标系．可知弦的端点 坐标分别为犃（－６，０）、犅（６，０）． 设圆弧的圆心为犆，连接犃犆，则 １ ｜犃犗｜＝ ｜犃犅｜＝６（ｍ），｜犃犆｜＝狉＝２９（ｍ）， ２ 从而 ｜犗犆｜＝槡｜犃犆｜２－｜犃犗｜２＝槡２９２－６２≈２８．３７３（ｍ）， 即圆心的坐标为犆（０，－２８．３７３）． 图２１３ ︵ 所以，圆弧犃犅的方程为狓２＋（狔＋２８．３７３） ２＝８４１（－６≤狓≤６， 狔≥０）． 例４ 已知一个圆与狔轴相切，其圆心在直线狓－３狔＝０ 上，且直线狔＝狓被该圆截得的弦长为２槡７．求此圆的方程． 解 如图２１４，设所求圆的圆心为犆（犪，犫），半径为狉，则 由圆心在直线狓－３狔＝０上，得犪＝３犫，又圆与狔轴相切，得半 径狉＝｜犪｜． 圆心到直线狓－狔＝０的距离 ｜犪－犫｜ ｜３犫－犫｜ 犱＝ ＝ ＝槡２｜犫｜， 槡２ 槡２ 图２１４ 由勾股定理，可得狉２－犱２＝（槡７） ２ ，即 ｜犪｜２－（槡２｜犫｜） ２＝９犫２－２犫２＝７犫２＝７， 解得 犫＝±１． 当犫＝１时，犪＝３，狉＝３，圆的方程为（狓－３） ２＋（狔－１） ２＝９； 当犫＝－１时，犪＝－３，狉＝３，圆的方程为（狓＋３） ２＋（狔＋１） ２＝９． 因此，所求圆的方程为（狓－３） ２＋（狔－１） ２＝９或（狓＋３） ２＋ （狔＋１） ２＝９． 练习２．１（１） １．求以犆（３，４）为圆心，且过点犕（１，－３）的圆的方程． ２．求以犆（－１，２）为圆心，且与直线２狓－３狔－５＝０相切的圆的方程． ３．一个圆与狔轴相切于点（０，４），且在狓轴正半轴上截得长为６的弦．求此圆的方程． ３ ４２．１ 圆 ３ 圆的一般方程 我们知道直线的一般式方程是犪狓＋犫狔＋犮＝０（犪、犫不同时 为零）． 下面来建立圆的一般方程． 把圆的标准方程（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２ 展开并整理，可得 狓２＋狔２－２犪狓－２犫狔＋犪２＋犫２－狉２＝０． 由此可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： 狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０． ② 其中，犇、犈、犉均为实常数． 反过来，如果给定实常数犇、犈、犉，方程②是否都表示一 个圆呢？将方程②左边配方并整理，可得 （ ） （ ） 犇 ２ 犈 ２ 犇２＋犈２－４犉 狓＋ ＋狔＋ ＝ ． ２ ２ ４ 由此可以看出： （ ） 犇 犈 （１）当犇２＋犈２－４犉＞０时，方程②表示以 － ，－ 为圆 ２ ２ 槡犇２＋犈２－４犉 心、以 为半径的圆； ２ （ ） 犇 犈 （２）当犇２＋犈２－４犉＝０时，方程②表示一个点 － ，－ ； ２ ２ 犇２＋犈２－４犉可 以称为方程②的判别 （３）当犇２＋犈２－４犉＜０时，方程②没有实根，此时方程 式． ②不表示任何图形． 因此，当犇２＋犈２－４犉＞０时，方程②叫做圆的一般方程． 例５ 求经过犃（１，０）、犅（３，０）、犆（２，２）三点的圆的 方程． 解 设所求圆的方程为 狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０， 其中犇、犈、犉是待定常数． 因为点犃、犅、犆在所求圆上，所以有方程组 烄犇＋犉＋１＝０， 烅３犇＋犉＋９＝０， 烆２犇＋２犈＋犉＋８＝０． ３ ５２ 圆锥曲线 解得 烄犇＝－４， ３ 烅犈＝－ ， ２ 烆犉＝３． ２５ 此时 犇２＋犈２－４犉＝ ＞０． ４ ３ 因此，所求圆的方程为狓２＋狔２－４狓－ 狔＋３＝０． ２ 例６ 若圆狓２＋狔２－２狓＋狋＝０与直线２狓＋狔＝０相交于 → → 犃、犅两点，且犗犃·犗犅＝－１（其中点犗为坐标原点）．求狋的 值和圆的方程． 解 由圆的一般方程，知（－２） ２＋０２－４狋＞０，即狋＜１． 设两个交点犃、犅的坐标分别为（狓，狔）、（狓，狔），它们 １ １ ２ ２ 应满足如下方程组 烄狓２＋狔２－２狓＋狋＝０， ① 烅 烆２狓＋狔＝０， ② 将②代入①，整理得 ５狓２－２狓＋狋＝０． ③ 因为方程③有两个相异实根狓 和狓，所以 １ ２ Δ＝（－２） ２－４×５×狋＞０， １ 即狋的值应满足狋＜ ，此时狋＜１，满足圆方程的条件． ５ 狋 由根与系数的关系，得狓狓＝ ． １ ２ ５ 再由方程②，得狔＝－２狓，狔＝－２狓． １ １ ２ ２ → → 所以，犗犃·犗犅＝狓狓＋狔狔＝狓狓＋（－２狓）（－２狓）＝ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ ５狓狓＝狋． １ ２ → → １ 再由犗犃·犗犅＝－１，得狋＝－１，满足条件狋＜ ． ５ 因此，所求圆的方程为狓２＋狔２－２狓－１＝０． 练习２．１（２） １．求经过犃（３，２）、犅（１，１）、犆（２，－１）三点的圆的方程． ２．讨论方程狓２＋狔２－２狔＋λ（狓２＋狔２－２狓）＝０（λ为实数）所表示的曲线． ３．已知两点犃（－５，０）、犅（５，０），动点犘到点犃的距离是它到点犅的距离的３倍． 求点犘的轨迹方程． ３ ６２．１ 圆 ４ 直线与圆的位置关系 在平面几何中，我们已经知道直线与圆的三种位置关系：有 两个不同的公共点时二者相交，有且只有一个公共点时二者相 切，没有公共点时二者相离．本节我们将借助圆和直线的方程， 利用代数方法来讨论直线与圆的位置关系． 如果给定圆犆：狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０和直线犾：犪狓＋ 犫狔＋犮＝０，与上一章讨论两条直线交点类似，平面上一点是直线 把圆的方程写成 （狓－狊）２＋（狔－狋）２＝ 犾与圆犆的公共点的充要条件是这一点的坐标是如下方程组 狉２，依据平面几何知 识，直线犾：犪狓＋犫狔＋ 的解： 犮＝０与圆的位置关系 取决于圆心（狊，狋）到犾 烄狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０， 的距离和半径狉的大 烅 烆犪狓＋犫狔＋犮＝０． 小关系，请用上一章 所学的点到直线距离 从而，可以通过讨论上述方程组的解的不同情形来判断直线与圆 的知识，把各种不同 的位置关系描述出来． 的位置关系． 例７ 已知圆犆的方程是狓２＋狔２＝９．当犫为何值时，直 线犾：２狓－狔＋犫＝０与圆犆分别有两个不同的公共点？有一个公 共点？没有公共点？ 解 解方程组 烄２狓－狔＋犫＝０， ① 烅 烆狓２＋狔２＝９． ② 把①化为狔＝２狓＋犫，代入②式，得 狓２＋（２狓＋犫） ２＝９， 即 ５狓２＋４犫狓＋犫２－９＝０． ③ 方程③的判别式是 Δ＝（４犫） ２－４×５（犫２－９）＝－４（犫２－４５）． 当Δ＞０，即－３槡５＜犫＜３槡５时，方程③有两个不相等的实 根，从而原方程组有两组不同的实数解，所以直线犾与圆犆有两 个不同的公共点． 当Δ＝０，即犫＝－３槡５或犫＝３槡５时，方程③有两个相等的 实根，从而原方程组有两组相同的实数解，所以直线犾与圆犆只 图２１５ 有一个公共点（图２１５）． ３ ７２ 圆锥曲线 当Δ＜０，即犫＜－３槡５或犫＞３槡５时，方程③没有实根，从 而原方程组没有实数解，所以直线犾与圆犆没有公共点． 例８ （１）如图２１６，已知犕（狓，狔）为圆犗：狓２＋狔２＝４ ０ ０ 上一点，求过点犕的圆犗的切线犾的方程； （２）求过点犖（２，２槡３）且与圆犗：狓２＋狔２＝４相切的直线的 方程． 解 （１） 因为 犕（狓，狔）是犾与圆犗的切点， 可知 ０ ０ → 狓２＋狔２＝４，且过点犕的半径犗犕与犾垂直，即犗犕＝（狓，狔） ０ ０ ０ ０ 图２１６ 是犾的一个法向量，于是可得切线犾的点法式方程为 狓（狓－狓）＋狔（狔－狔）＝０． ０ ０ ０ ０ 整理，得 狓狓＋狔狔＝狓２＋狔２． ０ ０ ０ ０ 所以，过点犕的圆犗的切线犾的方程为狓狓＋狔狔＝４． ０ ０ 请将例８（１）的结 论加以推广，使之成 （２）由｜犗犖｜＝ 槡 ２２＋（２槡３） ２＝４，知点犖在已知圆犗外． 为推广后命题的一个 特例． 先考虑过点犖且具有斜率犽的直线，可设其方程为 狔－２槡３＝犽（狓－２），即犽狓－狔－２犽＋２槡３＝０． 此直线与圆犗相切当且仅当圆心犗（０，０）到该直线的距离为 ２，所以 ｜－２犽＋２槡３｜ ＝２，即（犽－槡３）２＝犽２＋１， 槡犽２＋１ 槡３ 解得犽＝ ． ３ 因此，得到过点犖的圆犗的一条切线，它的方程为 我们还可以验证 槡３ ２槡３ 圆心到直线狓－２＝０ 狓－狔－ ＋２槡３＝０，即狓－槡３狔＋４＝０． 的距离等于半径２． ３ ３ 想一想，这个验证是 过点犖可以作圆犗的两条切线，故另一条切线的斜率不存 否必须？ 在，则其方程只能是狓＝２，即狓－２＝０． 因此，所求直线的方程为狓－槡３狔＋４＝０或狓－２＝０． 例９ 过圆犗：狓２＋狔２＝１６外一点犕（２，－６）任意作一条 割线交圆犗于犃、犅两点，求弦犃犅的中点犆的轨迹． 解 如图２１７，设弦犃犅的中点犆的坐标为（狓，狔），连接 → → → → 犗犆．可得犗犆⊥犃犅，即犗犆⊥犕犆，从而 → → 犗犆·犕犆＝０． 图２１７ → → 又因为犗犆＝（狓，狔），犕犆＝（狓－２，狔＋６）， ３ ８２．１ 圆 所以狓（狓－２）＋狔（狔＋６）＝０，即 （狓－１） ２＋（狔＋３） ２＝１０． 因此，点犆的轨迹是以（１，－３）为圆心、以槡１０为半径，且 例９还有其他解 ︵ 法吗？ 位于圆犗内的一段圆弧犘犙（图２１７）． 练习２．１（３） １．（１）求经过点（－３，４）且与圆狓２＋狔２＝２５相切的直线的方程； （２）求经过点（２，４）且与圆狓２＋狔２＝４相切的直线的方程． ２．当犪为何值时，直线狓＋狔－犪＝０与圆狓２＋狔２＝２分别有如下位置关系： （１）相交； （２）相切； （３）相离． ３．已知直线犾经过点犘（６，－４）且被圆狓２＋狔２＝２０截得长为６槡２的弦，求犾的方程． ５ 圆与圆的位置关系 圆是常见的平面几何图形，两个或多个圆之间不同位置关系 的合理使用，会对装置的功能或艺术品的美感产生不同的作用． 如图２１８中的自行车双轮、滚珠轴承、奥运五环、花布图案， 都是圆的位置关系应用的实例． 图２１８ 我们只讨论两个圆的位置关系． 从初中的平面几何学习中，我们知道两个圆之间有内含（包 括同心）、内切、相交、外切和外离五种位置关系．在平面直角 坐标系中，如果给出两个圆的标准方程 犆：（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２ ， １ １ １ １ 犆：（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２ ， ２ ２ ２ ２ ３ ９２ 圆锥曲线 我们就可以从方程中读出两个圆的圆心坐标（犪，犫）、（犪，犫）， １ １ ２ ２ 半径狉、狉，进而由圆心坐标求得圆心距 １ ２ 犱＝槡（犪－犪） ２＋（犫－犫） ２． １ ２ １ ２ 所以 当犱＜｜狉－狉｜时，两圆内含； １ ２ 当犱＝｜狉－狉｜时，两圆内切； １ ２ 当｜狉－狉｜＜犱＜狉＋狉 时，两圆相交； １ ２ １ ２ 当犱＝狉＋狉 时，两圆外切； １ ２ 当犱＞狉＋狉 时，两圆外离． １ ２ 如果给出两个圆的一般方程 犆：狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０， １ １ １ １ 犆：狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０， ２ ２ ２ ２ 我们当然可以把它们都化成标准方程，然后用上述圆心距与半径 的关系判断这两个圆的位置关系．此外，我们也可以像判断两条 直线的位置关系与判断直线和圆的位置关系那样，通过解联立方 程组判断两个圆有几个公共点，从而得知它们是相交、相切（包 括内切与外切）还是相离（包括内含与外离）．因此，我们解方 程组 烄狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０， １ １ １ 烅 烆狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０． ２ ２ ２ 如果上述方程组有两组不同的解，那么圆犆 与圆犆 相交；如 １ ２ 果上述方程组只有一组解（实际上应该理解为两组相同的解，因 为它们是由一元二次方程两个相同的根得出的），那么圆犆 与圆 １ 犆 内切或外切；如果上述方程组无解，那么圆犆 与圆犆 内含 ２ １ ２ 或外离． 上述方程组由两个二元二次方程组成，只要把这两个方程相 当犇 －犇 与 减，一般情况下可以得到一个二元一次方程 １ ２ 犈－犈 不同时为零 时 １ ，二 ２ 元一次方程 （犇－犇）狓＋（犈－犈）狔＋（犉－犉）＝０． １ ２ １ ２ １ ２ （犇－犇）狓＋（犈－ １ ２ １ 因此，求解上述方程组，只要把这个二元一次方程和上述方程组 犈）狔＋（犉－犉）＝０ ２ １ ２ 所表示的直线有什么 中的任何一个方程联立求解就可以了． 几何意义吗？ 当 犇 １ －犇 ２ 与 例１０ 判断圆犆：狓２＋狔２－２狓＝０与圆犆：狓２＋狔２－４狔＝０ 犈－犈 同时为零时， １ ２ １ ２ 两圆有什么样的位置 的位置关系． 关系？ 烄狓２＋狔２－２狓＝０， 解 联立方程组 烅 将两方程相减并化简， 烆狓２＋狔２－４狔＝０． 得狓＝２狔．把它代入第一个方程得到５狔２－４狔＝０，解得狔＝０， １ ４ ０２．１ 圆 ４ ８ 狔＝ ，从而狓＝０，狓＝ ． ２ ５ １ ２ ５ （ ） ８ ４ 所以，圆犆 与圆犆 相交于两点（０，０）、 ， ． １ ２ ５ ５ 我们介绍了两种判断两个圆的位置关系的方法：一是化成 标准方程后利用两圆圆心距和半径的关系来判断；二是用解方 程法求出公共点坐标后再判断．两种方法各有利弊，前者能够 准确区分内切与外切、内含与外离，但无法给出公共点坐标； 后者可以给出公共点坐标，但无法区分内切与外切、内含与外 离．解题时应根据需要采用适当的方法，或者两者并用，求出 所有需要的信息． 例１１ 证明圆犆：狓２＋狔２－４狓＋６狔＋５＝０与圆犆： １ ２ 狓２＋狔２－６狓＋４狔＋１１＝０内切，并求切点坐标． 解 把两个方程都化成圆的标准方程： 犆：（狓－２） ２＋（狔＋３） ２＝８， １ 犆：（狓－３） ２＋（狔＋２） ２＝２． ２ 这两个圆的圆心坐标分别是（２，－３）与（３，－２），从而它们的圆心 距是犱＝槡（２－３） ２＋（－３＋２） ２＝槡２．两个圆的半径分别是狉＝２槡２ １ 与狉＝槡２．于是犱＝｜狉－狉｜，所以圆犆 与圆犆 内切． ２ １ ２ １ ２ 把两个圆的方程相减并整理得狓＝３－狔．代入圆犆 的方 １ 程并化简得狔２＋２狔＋１＝０．这个一元二次方程有两个相同的 根狔＝－１，从而狓＝４．由此得到圆犆 与圆犆 的切点是 １ ２ （４，－１）． 例１２ 如图２１９（１），圆犗 与圆犗 的半径都是１， １ ２ 犗犗＝４，过动点犘分别作圆犗、圆犗 的切线犘犕、犘犖（犕、 １ ２ １ ２ 犖分别为切点），使得｜犘犕｜＝槡２｜犘犖｜．试通过建立适当的平面 直角坐标系，求动点犘的轨迹． （１） （２） 图２１９ 解 如图２１９（２），以犗犗 的中点犗为原点，犗犗 所在 １ ２ １ ２ ４ １２ 圆锥曲线 直线为狓轴，以线段犗犗 的垂直平分线为狔轴，建立平面直 １ ２ 角坐标系，则犗 的坐标为（－２，０），犗 的坐标为（２，０）．由 １ ２ ｜犘犕｜＝槡２｜犘犖｜，得｜犘犕｜２＝２｜犘犖｜２． 又因为两圆的半径均为１，所以由勾股定理，得｜犘犕｜２＝ ｜犘犗｜２－１，｜犘犖｜２＝｜犘犗｜２－１，从而｜犘犗｜２－１＝２（｜犘犗｜２－１）． １ ２ １ ２ 设点犘的坐标为（狓，狔），则 （狓＋２） ２＋狔２－１＝２［（狓－２） ２＋狔２－１］， 整理，得 狓２＋狔２－１２狓＋３＝０， 化为标准方程，得 注意轨迹与轨迹 （狓－６） ２＋狔２＝３３． 的方程二者的区别与 联系． 因此，所求的轨迹是以（６，０）为圆心、以槡３３为半径的圆． 练习２．１（４） １．已知圆犆：（狓－２） ２＋（狔－２） ２＝１和圆犆：狓２＋（狔－犿） ２＝犿２ （犿＞０），当犿为 １ ２ 何值时，圆犆 与圆犆 分别内切、相交？ １ ２ ２．求与圆狓２＋狔２＝２５外切于点犘（４，－３）且半径为１的圆的方程． ３．已知圆狓２＋狔２－２狓＋２狔－３＝０和圆狓２＋狔２＋４狓－１＝０相交于犃、犅两点，求公 共弦犃犅的长． 习题２．１ 犃组 １．根据下列条件，分别求圆的方程： （ ） ３ （１）圆心为犆－ ，３ ，半径狉＝槡３； ２ （２）圆心为犆（槡２，１），过点犃（－１，槡２）； （３）与狓轴相交于犃（１，０）、犅（５，０）两点，且半径等于槡５． ２．已知圆（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２ （狉＞０），求在下列情况下，实数犪、犫、狉应分别满 足什么条件： （１）圆过原点； （２）圆心在狓轴上； （３）圆与狓轴相切； （４）圆与两坐标轴均相切． ４ ２２．１ 圆 ３．求过点犕（５，２）、犖（３，２），且圆心在直线狔＝２狓－３上的圆的方程． ４．已知犪２狓２＋（犪＋２）狔２＋２犪狓＋犪＝０表示圆，求实数犪的值． ５．直线犾与圆狓２＋狔２＋２狓－４狔＋犪＝０（犪＜３）相交于犃、犅两点，且弦犃犅的中点为 （０，１）．求直线犾的方程． ６．已知圆过原点，且与狓轴、狔轴的交点的坐标分别为（犪，０）、（０，犫），其中犪犫≠０． 求这个圆的方程． ７．判断直线狓ｃｏｓθ＋狔ｓｉｎθ＝狉与圆狓２＋狔２＝狉２ 的位置关系． ８．已知直线２狓＋３狔＋１＝０和圆狓２＋狔２－２狓－３＝０相交于犃、犅两点，求弦犃犅的 垂直平分线的方程． ９．求与圆狓２＋狔２＝２５内切于点犘（３，－４）且半径为１的圆的方程． １０．已知圆犆过点（－４，０）且与圆狓２＋狔２－４狓－６狔＝０相切于原点，求圆犆的方程． １１．圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度犃犅为２０ｍ，拱高犗犘为４ｍ，在建 造过程中每隔４ｍ需用一个支柱支撑．求支柱犃犅 的高度．（结果精确到０．０１ｍ） ２ ２ （第１１题） 犅组 １．给定点犃（２，３）与圆犆：狓２＋狔２＝２５，求圆犆的过点犃最短弦所在直线的方程． ２．一个圆过点（２，－１），圆心在直线２狓＋狔＝０上，且与直线狓－狔－１＝０相切．求这 个圆的方程． ３．已知圆狓２＋狔２＋６狓－８狔＋２５＝狉２ 与狓轴相切，求这个圆截狔轴所得的弦长． ４．求圆犆：狓２＋狔２＋４狓＋２狔－３＝０关于点犕（１，１）对称的圆的方程． ５．已知动直线犽狓－狔＋１＝０（其中犽∈犚）和圆狓２＋狔２＝４相交于犃、犅两点，求弦 犃犅的中点的轨迹方程． ６．求经过点（５，－５）且与圆狓２＋狔２＝２５相切的直线的方程． ７．已知直线狔＝狓＋犿和曲线狔＝槡１－狓２ 有两个不同的交点，求实数犿的取值范围． ８．已知直线犾：狓－狔＋４＝０与圆犆：（狓－１） ２＋（狔－１） ２＝２，求圆犆上各点到直线犾 的距离的最大值． 狔 ９．已知实数狓、狔满足（狓－２） ２＋狔２＝３，求 的取值范围． 狓 １０．４００ｍ标准跑道的内圈如图所示（４００ｍ标准跑道最内圈的长度为４００ｍ），其中左 右两端均是半径为３６ｍ的半圆弧． （１）求每条直道的长度；（π取３．１４，结果精确到１ｍ） ４ ３２ 圆锥曲线 （２）建立适当的平面直角坐标系，写出上半部分跑道所对应的函数表达式． （第１０题） 探究与实践 追捕走私船 如图２１１０，设直线犾为公海与领海的分界线，一巡逻艇在犃处发现北偏东６０°海面 犅处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮犆航行，以便上海轮后 逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的２倍，犃与公海相距约１２海里，走私船可能向 任一方向逃窜．请回答下列问题： 图２１１０ （１）如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，那么走私船能被截获的点是哪些？ （２）根据截获点的轨迹，探讨“可截获区域”和“非截获区域”； （３）如果走私船在非截获区域就进入公海，那么巡逻艇追捕失败．要保证在领海内捕 获，就应保证“非截获区域”与公海区域不相交（即交集为空集）．此时，犃、犅相距最远是 多少海里？ ４ ４２．２ 椭圆 ２．２ 椭圆 １ 椭圆的标准方程 椭圆是一类重要的曲线．早在１６０９年，德国天文学家开普 勒（Ｊ．Ｋｅｐｌｅｒ）就提出了行星运动定律：每一个行星都沿各自的椭 圆轨道环绕太阳转动，而太阳则处在椭圆的一个焦点上．生活中 我们还可以在许多地方看到椭圆的形状，如篮球在地面上的影子 边界，圆柱（台）形水杯倾斜时液面的边界线，等等． 作为一条平面曲线，椭圆有多种定义方式，我们这里只给出 其中的一种．为此，先做一个简单的实验：取一段长为２犪的绳 子，如果把这段绳子的两个端点分别固定在画图板上不同的两点 犉 和犉 处，当绳长２犪＞｜犉犉｜时，将铅笔尖套在绳子里并拉 图２２１ １ ２ １ ２ 紧绳子，使笔尖犕顺势移动一周，笔尖犕画出来的图形就是一 个椭圆（图２２１）．从上面的画图过程可以看出，椭圆是由到两 当点犉、犉 重 １ ２ 合时，点集犘表示一 定点距离之和为定值的点所组成的集合． 个圆，所以圆可以看 作是椭圆的特殊情形． 我们把平面上到两个定点犉、犉 的距离之和等于常数２犪 但在本章中，除非特 １ ２ （２犪＞｜犉犉｜）的点的轨迹叫做椭圆（ｅｌｌｉｐｓｅ）．用集合的记号表 殊指出，所说的椭圆 １ ２ 均不包含圆这一特殊 示，椭圆就是下述点集： 情形． 犘＝｛犕｜犕犉｜＋｜犕犉｜＝２犪，２犪＞｜犉犉｜｝． １ ２ １ ２ 定点犉、犉 叫做椭圆的焦点（ｆｏｃｕｓ），两个焦点之间的距离 １ ２ ｜犉犉｜叫做椭圆的焦距． １ ２ 下面推导椭圆的方程． → 以线段犉犉 的中点为原点，以犉犉的方向为狓轴的正方 １ ２ １ ２ 向，建立如图２２２所示的平面直角坐标系．设椭圆的焦距为 ２犮，则点犉、犉 的坐标分别为（－犮，０）、（犮，０）． １ ２ 图２２２ 设点犕（狓，狔）是椭圆上的任意一点，由定义有 ４ ５２ 圆锥曲线 ｜犕犉｜＋｜犕犉｜＝２犪（犪＞犮＞０）． １ ２ 因为｜犕犉｜＝槡（狓＋犮） ２＋狔２ ，｜犕犉｜＝槡（狓－犮） ２＋狔２ ，所以 １ ２ 槡（狓＋犮） ２＋狔２＋槡（狓－犮） ２＋狔２＝２犪， 即 槡（狓＋犮） ２＋狔２＝２犪－槡（狓－犮） ２＋狔２． 将上式两边平方，得 （狓＋犮） ２＋狔２＝４犪２－４犪槡（狓－犮） ２＋狔２＋（狓－犮） ２＋狔２． 整理，得 犪２－犮狓＝犪槡（狓－犮） ２＋狔２． 两边再平方，得 犪４－２犪２犮狓＋犮２狓２＝犪２狓２－２犪２犮狓＋犪２犮２＋犪２狔２． 整理，得 （犪２－犮２ ）狓２＋犪２狔２＝犪２ （犪２－犮２ ）． 因为犪＞犮＞０，所以犪２－犮２＞０．设犫２＝犪２－犮２ ，且犫＞０．我们 得到 犫２狓２＋犪２狔２＝犪２犫２ ， 即 狓２ 狔２ ＋ ＝１ （犪＞犫＞０）． ① 犪２ 犫２ 上面的推导表明，椭圆上任意一点犕的坐标（狓，狔）都是方 程①的解；反过来，可以证明以方程①的解为坐标的点都在这个 椭圆上（只需将上述推理过程反过来推演即可）．所以，方程①就 是这个椭圆的方程，它表示的是焦点在狓轴上的椭圆． 如果所建立的平面直角坐标系使焦点犉、犉 在狔轴上，设点 １ ２ 犉、犉 的坐标分别为（０，－犮）、（０，犮），仍然设犫２＝犪２－犮２ （犫＞０）， １ ２ 只要将方程①的狓、狔互换，那么所得椭圆（图２２３）的方程为 狔２ 狓２ ＋ ＝１ （犪＞犫＞０）． ② 犪２ 犫２ 图２２３ 方程①和②都叫做椭圆的标准方程． 例１ 已知椭圆的焦距是６，椭圆上的一点到两个焦点的 距离之和等于１０．求椭圆的标准方程． 解 因为｜犉犉｜＝２犮＝６，２犪＝１０，即犮＝３，犪＝５，所以 １ ２ 犫２＝犪２－犮２＝２５－９＝１６． ４ ６２．２ 椭圆 当焦点在狓轴上时，得椭圆的标准方程为 狓２ 狔２ ＋ ＝１； ２５ １６ 当焦点在狔轴上时，得椭圆的标准方程为 狔２ 狓２ 例１为什么有两 ＋ ＝１． 种椭圆的标准方程？ ２５ １６ 狓２ 狔２ 狔２ 狓２ 故椭圆的标准方程为 ＋ ＝１或 ＋ ＝１． ２５ １６ ２５ １６ 例２ 求焦点在狓轴上，焦距为２槡６，且过点（槡３，槡２）的 椭圆的标准方程． 解 因为椭圆焦点在狓轴上，所以设其方程为 狓２ 狔２ ＋ ＝１（犪＞犫＞０）． 犪２ 犫２ 由２犮＝２槡６，得犮＝槡６，因此 犪２＝犫２＋６． 又由于椭圆过点（槡３，槡２），因此 ３ ２ ＋ ＝１． 犪２ 犫２ 求解上述二式组成的联立方程组，得犪２＝９，犫２＝３． 狓２ 狔２ 因此，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝１． ９ ３ 练习２．２（１） １．分别写出满足下列条件的动点犘的轨迹方程： （１）点犘到点犉（－３，０）、犉（３，０）的距离之和为１０； １ ２ （２）点犘到点犉（０，－２）、犉（０，２）的距离之和为１２； １ ２ （３）点犘到点犉（－４，０）、犉（４，０）的距离之和为８． １ ２ ２．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： （１）焦点在狔轴上，焦距为２槡１５，且经过点（０，－４）； （２）焦距为４，且经过点（槡５，０）． ２ 椭圆的性质 在解析几何中，可利用曲线的方程研究曲线的几何性质．我 们从椭圆的标准方程 狓２ 狔２ ＋ ＝１（犪＞犫＞０） ① 犪２ 犫２ ４ ７２ 圆锥曲线 出发，可以得到椭圆的下列性质． （１）对称性 从椭圆的形状上看，椭圆有两条相互垂直的对称轴．这里，也 可以通过方程①讨论椭圆的对称性．容易验证，如果点犕（狓，狔） １ 的坐标满足方程①，那么它关于狔轴的对称点犕（－狓，狔）、关于 ２ 狓轴的对称点犕（狓，－狔）及关于坐标原点的对称点犕（－狓，－狔） ３ ４ 的坐标也都满足方程①（图２２４）．所以椭圆关于狔轴、狓轴和 坐标原点对称．因此，椭圆既是轴对称图形，有两条互相垂直的 对称轴；也是中心对称图形，其唯一的对称中心叫做椭圆的中心． 图２２４ （２）顶点 如图２２５，椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点 （ｖｅｒｔｅｘ）． 在方程①中，令狔＝０，得狓＝±犪；令狓＝０，得狔＝±犫． 所以椭圆与两条坐标轴的交点分别是犃（－犪，０）、犃（犪，０）、 １ ２ 犅（０，－犫）、犅（０，犫）．这四个点都是椭圆的顶点． １ ２ 因为犪＞犫＞０，我们把线段犃犃 叫做椭圆的长轴（ｌｏｎｇａｘｉｓ）， １ ２ 图２２５ 长轴的长等于２犪；线段犅犅 叫做椭圆的短轴（ｓｈｏｒｔａｘｉｓ），短 １ ２ 轴的长等于２犫．方便起见，把犪和犫分别称为椭圆的长半轴的长 和短半轴的长．椭圆的焦距为２犮，椭圆的半焦距为犮．椭圆的两 个焦点都在它的长轴上．由于犪２＝犫２＋犮２ ，焦点和短半轴顶点的 距离就等于长半轴的长（图２２５）． 由椭圆的对称性知，椭圆的长轴和短轴分别所在的直线就是 椭圆的两条对称轴． （３）范围 由方程①可知，椭圆上每一点的坐标（狓，狔）都满足不等式 狓２ 狔２ ≤１， ≤１， 犪２ 犫２ 即 －犪≤狓≤犪，－犫≤狔≤犫． 这说明椭圆位于直线狓＝±犪和直线狔＝±犫所围成的矩形 内（图２２６）． （４）离心率 图２２６ 犮 椭圆的焦距与长轴长的比犲＝ ，叫做椭圆的离心率 犪 （ｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙ）． ４ ８２．２ 椭圆 因为犪＞犮＞０，所以０＜犲＜１．在犪确定的条件下，犲越接近 犪＝犫时，犮＝０， 于１，则犮越接近于犪，从而犫＝槡犪２－犮２ 越小，因此椭圆越扁； 这时两个焦点重合于 椭圆的中心，椭圆变 反之，犲越接近于０，则犮越接近于０，从而犫越接近于犪，这时 为 圆， 其 方 程 为 椭圆就越接近于圆． 狓２＋狔２＝犪２． 例３ 求椭圆９狓２＋２５狔２＝２２５的长轴和短轴的长、离心 率以及焦点和顶点的坐标． 解 将给定的椭圆方程化成标准方程 狓２ 狔２ ＋ ＝１． ２５ ９ 这里犪＝５，犫＝３，犮＝槡犪２－犫２＝４． 犮 ４ 所以，椭圆的长轴和短轴的长分别是１０和６，离心率犲＝ ＝ ， 犪 ５ 两个焦点在狓轴上，它们的坐标分别是（－４，０）和（４，０），四个顶 点的坐标分别是（－５，０）、（５，０）、（０，－３）、（０，３）． 练习２．２（２） １．已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标： 狓２ 狔２ （１） ＋ ＝１； （２）２５狓２＋４狔２＝１００． ４ ３ ２．用离心率作为指标衡量，下列每组两个椭圆中哪一个更接近圆？ 狓２ 狔２ 狓２ 狔２ （１） ＋ ＝１与 ＋ ＝１； ４ ９ １６ １２ （２）狓２＋９狔２＝３６与５狓２＋３狔２＝３０． ３．若一椭圆以原点为中心，一个焦点的坐标为（槡２，０），且长轴长是短轴长的槡３倍． 求该椭圆的标准方程． 例４ 我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是 以地球的中心犉 为一个焦点的椭圆，椭圆长轴的两个端点犃、 ２ 犅分别为近地点和远地点，如图２２７所示．卫星在近地点犃与 地球表面的距离约为４４０ｋｍ，在远地点犅与地球表面的距离约 为２３８４ｋｍ，地球中心与犃、犅在同一直线上．已知地球的半径 犚约为６３７１ｋｍ．以ｋｍ为单位，建立适当的平面直角坐标系， 求卫星轨道的方程．（结果精确到１ｋｍ） 图２２７ ４ ９２ 圆锥曲线 解 如图２２８，以卫星轨道的中心犗为原点，线段犃犅所 → 在的直线为狓轴，犗犃方向为狓轴的正方向，建立平面直角坐标 为什么近地点和 系．因焦点犉 在狓轴正半轴上，可设地球的中心为犉（犮，０）， 远地点分别在椭圆的 ２ ２ 长轴的两个端点处？ 所求卫星轨道的方程为 狓２ 狔２ ＋ ＝１（犪＞犫＞０）． 犪２ 犫２ 设犃′、犅′是犃犅与地球表面的两个交点．因为 犪－犮＝｜犃犉｜＝｜犃犃′｜＋犚＝４４０＋６３７１＝６８１１， ２ 犪＋犮＝｜犅犉｜＝｜犅犅′｜＋犚＝２３８４＋６３７１＝８７５５， ２ 所以 犪＝７７８３，犮＝９７２． 图２２８ 从而 犫＝槡犪２－犮２≈７７２２． 狓２ 狔２ 因此，所求卫星轨道的方程为 ＋ ＝１． ７７８３２ ７７２２２ 例５ 设直线与椭圆的方程分别为２狓－狔＝犫与 狓２ 狔２ ＋ ＝１，当犫为何值时，它们满足下列关系： ７５ ２５ （１）直线与椭圆有且只有一个公共点； （２）直线与椭圆有两个公共点； （３）直线与椭圆没有公共点． 解 如图２２９，当犫变化时，方程２狓－狔＝犫表示的是斜 率为２的一组平行线．由直线的方程得狔＝２狓－犫，代入椭圆的 方程后整理得 图２２９ １３狓２－１２犫狓＋３犫２－７５＝０． 此一元二次方程根的判别式 Δ＝（１２犫） ２－４×１３（３犫２－７５）＝１２（３２５－犫２ ）． 由此可知： （１）当Δ＝０，即犫＝±槡３２５＝±５槡１３时，直线与椭圆只有 一个公共点． （２）当Δ＞０，即－５槡１３＜犫＜５槡１３时，直线与椭圆有两个 椭圆的切线具有 公共点． 下面的光学性质：从 椭圆的一个焦点发出 （３）当Δ＜０，即犫＞５槡１３或犫＜－５槡１３时，直线与椭圆没 的光线在到达椭圆上 后，被经过到达点的 有公共点． 切线反射后必经过椭 圆的另一个焦点．椭 例５中的（１），直线与椭圆有且只有一个公共点．一般地， 圆的这一光学性质在 医学等领域有广泛的 如果一条直线与一个椭圆有且只有一个公共点，就说这条直线与 应用． 这个椭圆相切，这条直线称为这个椭圆的切线．显然，如果椭圆 ５ ０２．２ 椭圆 狓２ 狔２ 的标准方程是 ＋ ＝１（犪＞犫＞０），那么直线狓＝±犪，狔＝±犫 犪２ 犫２ 都是这个椭圆的切线，其切点分别为椭圆的四个顶点． 练习２．２（３） 狓２ 狔２ １．已知犘是椭圆 ＋ ＝１上一个动点，犉 是椭圆的左焦点．求｜犘犉｜的最大值和 ３６ ２０ １ １ 最小值． 狓２ 狔２ ２．点犘在焦点为犉、犉 的椭圆 ＋ ＝１上，且∠犉犘犉＝９０°．求｜犘犉｜·｜犘犉｜ １ ２ ４５ ２０ １ ２ １ ２ 的值． 狓２ 狔２ ３．已知直线犾：狔＝犿狓－２与椭圆犆： ＋ ＝１相交于两个不同的点，求实数犿的 ４ ３ 取值范围． 习题２．２ 犃组 １．若方程１６狓２＋犽狔２＝１６犽表示焦点在狔轴上的椭圆，求实数犽的取值范围． ２．设犉是椭圆的一个焦点，犅犅 是椭圆的短轴，∠犅犉犅＝６０°．求椭圆的离心率． １ ２ １ ２ ３．已知椭圆的一个焦点是犉（－３，０），且经过点犘（２，槡２）．求这个椭圆的标准方程． １ ４．直线狔＝２狓＋犫被椭圆４狓２＋狔２＝１６所截得的弦长为槡３５，求实数犫的值． 狓２ 狔２ ５．若对于任意实数犽，直线狔＝犽狓＋１与椭圆 ＋ ＝１恒有公共点．求实数犿的取 ５ 犿 值范围． 犅组 狓２ 狔２ １．已知犘是椭圆 ＋ ＝１上的点，犉、犉 是椭圆的两个焦点． ２５ ９ １ ２ （１）若∠犉犘犉＝６０°，求△犘犉犉 的面积； １ ２ １ ２ （２）若△犘犉犉 的面积为９，求∠犉犘犉 的大小． １ ２ １ ２ ２．水星的运行轨道是以太阳的中心为一个焦点的椭圆，轨道上离太阳中心最近的距离 约为４．７×１０８ｋｍ，最远的距离约为７．０５×１０８ｋｍ．以这个轨道的中心为原点，以太阳中心及 轨道中心所在直线为狓轴，建立平面直角坐标系．求水星运行轨道的方程．（长半轴的长 和短半轴的长精确到０．１×１０８ｋｍ） ５ １２ 圆锥曲线 ２．３ 双曲线 １ 双曲线的标准方程 我们知道平面上到两个定点的距离之和等于常数（此常数大 于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么平面上到两个定 点的距离之差等于常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ 如图２３１，给定两个定点犉 与犉，将一条拉链先拉开一 １ ２ 部分，并将拉开的一支的一端固定在犉 处，在另一支上选择一 ２ 点固定在犉 处，在拉链头犕处放上一支铅笔，然后逐渐拉开拉 １ 图２３１ 链，让铅笔尖犕顺势移动，则笔尖犕画出的图形（图２３２中实 线所示的曲线在直线犉犉 上方的部分）就是使｜犕犉｜－｜犕犉｜为 １ ２ ２ １ 常数｜犘犉｜的点犕的轨迹的一部分． １ 如果把拉链想象成无限长，那么得到的点犕的轨迹就向上方 无限伸展了；如果把拉链翻转１８０°，又可以画出图２３２中实线 所示的曲线在直线犉犉 下方的部分．交换犕犉 与犕犉 的长度， １ ２ １ ２ 图中用虚线表示的曲线也可用类似方法画出． 图２３２ 我们把平面上到两个定点犉、犉 的距离之差的绝对值等于常 １ ２ 数２犪（０＜２犪＜｜犉犉｜）的点的轨迹叫做双曲线（ｈｙｐｅｒｂｏｌａ）．双曲 １ ２ 线也可表示为如下点集： ｛ ｝ 犘＝ 犕 ｜犕犉｜－｜犕犉｜ ＝２犪，０＜２犪＜｜犉犉｜ ． １ ２ １ ２ 为什么要加条件： 定点犉、犉 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离｜犉犉｜叫 “绝对值”？为什么要 １ ２ １ ２ 加 条 件：０＜２犪＜ 做双曲线的焦距． ｜犉犉｜？ １ ２ 下面根据双曲线的定义，参照求椭圆的方程的方法推导双曲 线的方程． → 取线段犉犉 的中点为原点，犉犉的方向为狓轴的正方向， １ ２ １ ２ 建立平面直角坐标系，如图２３３所示．设两个焦点之间的距离 ｜犉犉｜＝２犮（０＜犪＜犮），则点犉、犉 的坐标分别是（－犮，０）、（犮，０）． １ ２ １ ２ 设犕（狓，狔）是双曲线上的任意一点，由定义，有 ｜犕犉｜－｜犕犉｜ ＝２犪（犮＞犪＞０）． １ ２ 图２３３ 因为｜犕犉｜＝槡（狓＋犮） ２＋狔２ ，｜犕犉｜＝槡（狓－犮） ２＋狔２ ， １ ２ ５ ２２．３ 双曲线 所以 ｜槡（狓＋犮） ２＋狔２－槡（狓－犮） ２＋狔２｜＝２犪， 即 槡（狓＋犮） ２＋狔２＝槡（狓－犮） ２＋狔２±２犪． 将上式两边平方，并整理后可得 犮狓－犪２＝±犪槡（狓－犮） ２＋狔２． 再将上式两边平方，并整理后可得 （犮２－犪２ ）狓２－犪２狔２＝犪２ （犮２－犪２ ）． 因为犮＞犪＞０，所以犮２－犪２＞０．从而可令犫２＝犮２－犪２ （犫＞０）， 并将上式改写为 狓２ 狔２ － ＝１（犪＞０，犫＞０）． ① 犪２ 犫２ 因此，双曲线上任意一点犕的坐标（狓，狔）都是方程①的解．反过 来，可以证明以方程①的解为坐标的点都在这个双曲线上（只需 将上述推理过程反过来推演即可）． 方程①所表示的双曲线的焦点在狓轴上，且坐标分别为 犉（－犮，０）、犉（犮，０），而犮２＝犪２＋犫２．如图２３３，双曲线由两 １ ２ 支分开的曲线组成． 如果以连接两个焦点犉 和犉 的直线为狔轴，线段犉犉 １ ２ １ ２ 的垂直平分线为狓轴，如图２３４所示，那么两个焦点可分别设 为犉（０，－犮）、犉（０，犮），此时只要将方程①的狓、狔互换，就 １ ２ 可得双曲线的方程是 狔２ 狓２ － ＝１（犪＞０，犫＞０）， ② 犪２ 犫２ 图２３４ 其中，犪、犫、犮的关系仍是犮２＝犪２＋犫２． 方程①和②都叫做双曲线的标准方程． 例１ 已知双曲线的焦距是６，双曲线上的点到两个焦点 距离之差的绝对值等于４．写出双曲线的标准方程和焦点的坐标． 解 因为２犮＝６，２犪＝４，即犮＝３，犪＝２，所以 犫２＝犮２－犪２＝９－４＝５． 狓２ 狔２ 于是，焦点在狓轴上的双曲线的标准方程是 － ＝１，它 ４ ５ 的两个焦点的坐标是（－３，０）和（３，０）． ５ ３２ 圆锥曲线 狔２ 狓２ 焦点在狔轴上的双曲线的标准方程是 － ＝１，它的两个 ４ ５ 焦点的坐标是（０，－３）和（０，３）． 例２ 已知点犕（狓，狔）到点犉（－３，０）的距离减去它到点 １ 犉（３，０）的距离之差是犿，分别求下列条件下点犕的轨迹方程： ２ （１）犿＝４； （２）犿＝６． 例２（１）中，点犕 解 （１）依题意， 的轨迹为什么只是双 曲线的右支？ ｜犕犉｜－｜犕犉｜＝４． １ ２ 而４＜｜犉犉｜＝６，所以点犕的轨迹是以犉、犉 为焦点的双曲 １ ２ １ ２ 线的右支，且犮＝３，犪＝２． 狓２ 狔２ 因为犫２＝犮２－犪２＝５，所以点犕的轨迹方程为 － ＝１（狓＞０）． ４ ５ （２）当犿＝６时，｜犕犉｜－｜犕犉｜＝｜犉犉｜，此时点犕的 １ ２ １ ２ 轨迹是以犉 为端点在狓轴上向正方向的射线，轨迹方程为 ２ 狔＝０（狓≥３）． 例３ 在相距２０００ｍ的两个观察站犃、犅先后听到远处 传来的爆炸声，已知犃站听到的时间比犅站早４ｓ，声速是 ３４０ｍ／ｓ．建立适当的平面直角坐标系，判断爆炸点可能分布在 什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程． 解 设爆炸点为犘，由题意知 ｜犘犅｜－｜犘犃｜＝３４０×４＝１３６０． 图２３５ 又 ｜犃犅｜＝２０００＞１３６０， 所以点犘分布在以犃、犅为焦点的双曲线且靠近犃处的一支上． 双曲线具有很好 → 如图２３５，以犃犅的中点为原点，以犃犅的方向为狓轴正 的定位功能．航海中 使用的就是一种双曲 方向，且以ｍ为单位，建立平面直角坐标系． 线定位系统．这一系 统是由设置在岸上的 由｜犃犅｜＝２犮＝２０００，｜犘犅｜－｜犘犃｜＝２犪＝１３６０，得 两个发射台以及船上 犮＝１０００，犪＝６８０， 的接收机（定位仪）等 组成，通过测定两个 犫２＝犮２－犪２＝１０００２－６８０２＝５３７６００． 发射台发射的电磁波 传播到船上的时差来 狓２ 狔２ 确定船舶的位置． 所以，点犘所在的轨迹的方程为 － ＝１（狓＜０）． ４６２４００ ５３７６００ 练习２．３（１） １．已知犉（－５，０）、犉（５，０）两点，根据下列条件，写出动点犕的轨迹方程： １ ２ （１）｜犕犉｜－｜犕犉｜＝１０； １ ２ （２）｜犕犉｜－｜犕犉｜＝８； １ ２ （３） ｜犕犉｜－｜犕犉｜ ＝６． １ ２ ５ ４２．３ 双曲线 狓２ 狔２ ２．已知双曲线 － ＝１的焦点在狓轴上，焦距为１０．求实数犿的值． ９ 犿 狓２ 狔２ π ３．已知双曲线 － ＝１的两个焦点分别为犉、犉，犘为双曲线上一点，且∠犉犘犉＝ ． １６ ９ １ ２ １ ２ ２ 求△犘犉犉 的面积． １ ２ ２ 双曲线的性质 下面利用双曲线犆的标准方程 狓２ 狔２ － ＝１（犪＞０，犫＞０） ① 犪２ 犫２ 研究它的性质． （１）对称性 与探讨椭圆的对称性类似，可知双曲线既是轴对称图形，有 两条互相垂直的对称轴，也是中心对称图形，其唯一的对称中心 叫做双曲线的中心． （２）顶点 双曲线与它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点． 在方程①中，令狔＝０，得狓＝±犪，所以犃 （－犪，０）、 １ 犃（犪，０）是双曲线的两个顶点．当狓＝０时，狔没有实数解，所 ２ 以双曲线与狔轴没有交点，但我们也把点犅（０，－犫）、犅（０，犫） １ ２ 画在狔轴上，如图２３６所示． 线段犃犃 和犅犅 分别在双曲线的两条对称轴上，我们把 １ ２ １ ２ 图２３６ 线段犃犃 叫做双曲线的实轴（ｒｅａｌａｘｉｓ），实轴的长是２犪；线段 １ ２ 犅犅 叫做双曲线的虚轴（ｉｍａｇｉｎａｒｙａｘｉｓ），虚轴的长是２犫．犪和 １ ２ 犫分别叫做双曲线的实半轴长和虚半轴长．双曲线的焦距为２犮， 半焦距为犮，且满足犮２＝犪２＋犫２．显然，双曲线的两个焦点都在 它的实轴上． 狓２ 狔２ 在方程 － ＝１中，如果犪＝犫，那么这种双曲线的实轴 犪２ 犫２ 和虚轴的长都等于２犪．我们把实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴 双曲线． ５ ５２ 圆锥曲线 （３）范围 狓２ 狔２ 狓２ 由方程①可知 －１＝ ≥０，所以 ≥１，也即｜狓｜≥犪， 犪２ 犫２ 犪２ 且随着｜狓｜不断增大，｜狔｜也相应地不断增大．因此，双曲线 狓２ 狔２ － ＝１在不等式狓≥犪和狓≤－犪所表示的区域内（图２３７）， 犪２ 犫２ 且由两支组成：一支双曲线在直线狓＝－犪的左侧，向左上、左 下两方无限延伸；另一支双曲线在直线狓＝犪的右侧，向右上、 图２３７ 右下两方无限延伸． （４）渐近线 狓２ 狔２ 双曲线 － ＝１在第一象限内部分的方程是 犪２ 犫２ 犫 狔＝ 槡狓２－犪２ （狓＞犪）． 犪 如图２３８，设直线狓＝狓 （狓＞犪＞０）与双曲线和射线狔＝ ０ ０ 犫 狓（狓＞０）分别交于点犕（狓，狔 ）、犘（狓，狔），可得 犪 ０ 犕 ０ 犘 犫 犫 狔 ＝ 槡狓２－犪２＜ 狓＝狔， 犕 犪 ０ 犪 ０ 犘 图２３８ 犫 即在第一象限内，双曲线总在射线狔＝ 狓（狓＞０）的下方，且 犪 犫 犫 ｜犕犘｜＝ 狓－ 槡狓２－犪２ 犪 ０ 犪 ０ 犫 （ ） ＝ 犪 狓－槡狓２－犪２ ０ ０ 犪犫 ＝ ． 狓＋槡狓２－犪２ ０ ０ 因此，当狓 逐渐增大时，｜犕犘｜的值趋近于零． ０ 犫 这样，双曲线的右支向右上方无限延伸时，它总在直线狔＝ 狓 犪 犫 的下方，与直线狔＝ 狓无限趋近，但永不相交． 犪 狓２ 狔２ 犫 犫 根据对称性，双曲线 － ＝１和两条直线狔＝ 狓，狔＝－ 狓 这是双曲线与其 犪２ 犫２ 犪 犪 他圆锥曲线不同的特 在其他象限也有类似性质． 有性质． 犫 犫 狓２ 狔２ 我们把直线狔＝ 狓和狔＝－ 狓叫做双曲线 － ＝１的渐 犪 犪 犪２ 犫２ ５ ６２．３ 双曲线 近线（ａｓｙｍｐｔｏｔｅ）．可以证明，双曲线位于以两条渐近线为边界的 左、右平面区域内（图２３９）． （５）离心率 犮 双曲线的焦距与实轴长的比犲＝ ，叫做双曲线的离心率． 犪 因为犮＞犪＞０，所以双曲线的离心率犲＞１． 图２３９ 由等式犮２－犪２＝犫２ ，可得 （ ） 犫 槡犮２－犪２ 槡 犮２ ＝ ＝ －１＝槡犲２－１． 犪 犪 犪 犫 犫 因此，离心率犲越大， 也越大，即渐近线狔＝± 狓的斜 犪 犪 率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．这 说明，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔；反之，离心率 越小，双曲线的开口就越狭窄． 例４ 求双曲线１６狓２－９狔２＝１４４的顶点坐标、焦点坐 标、离心率与渐近线方程． 解 把给定的双曲线的方程化成标准方程 狓２ 狔２ － ＝１． ９ １６ 因此实半轴的长犪＝３，虚半轴的长犫＝４．于是 犮＝槡犪２＋犫２＝５， 从而双曲线的两个顶点的坐标分别是（－３，０）、（３，０），两个焦点 犮 ５ 的坐标分别是（－５，０）、（５，０），离心率为犲＝ ＝ ，两条渐近 犪 ３ ４ ４ 线的方程是狔＝ 狓和狔＝－ 狓． ３ ３ 练习２．３（２） １．分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标和渐近 线方程： 狔２ 狓２ （１）９狓２－１６狔２＝１４４； （２） － ＝１． ４ ３ １ ２．在下列双曲线中，以狔＝± 狓为渐近线的是 （ ） ２ 狓２ 狔２ 狓２ 狔２ 狓２ 狔２ Ａ． － ＝１； Ｂ． － ＝１； Ｃ． －狔２＝１； Ｄ．狓２－ ＝１． １６ ４ ４ １６ ２ ２ ５ ７２ 圆锥曲线 狓２ 狔２ 狔２ 狓２ ３．判断双曲线 － ＝１与双曲线 － ＝１的四个焦点是否共圆． ４ ５ ５ ４ 例５ 已知双曲线过点犘（４，３），它的一条渐近线的方程 １ 为狔＝ 狓．求双曲线的标准方程． ２ １ 解 因为双曲线的一条渐近线方程为狔＝ 狓，当狓＝４时， ２ １ 渐近线上对应点的纵坐标为狔＝ ×４＝２，小于点犘的纵坐标３ ２ （图２３１０），所以双曲线的焦点在狔轴上．设双曲线的标准方 程为 图２３１０ 狔２ 狓２ － ＝１（犪＞０，犫＞０）． 犪２ 犫２ １ 犪 １ 由狔＝ 狓，可知 ＝ ．若令犪＝犽，则犫＝２犽． ２ 犫 ２ 又因为点犘（４，３）在双曲线上，所以 如果双曲线的渐 ９ １６ 犿 － ＝１． 近线方程是狔＝± 狀 狓 犽２ ４犽２ （犿＞０，狀＞０），即 犿狓±狀狔＝０，那么双 解得犽２＝５． 曲线的方程应具有什 么形式？ 因此，所求双曲线的标准方程为 狔２ － 狓２ ＝１． ５ ２０ 例６ 设直线与双曲线的方程分别为狔＝犽狓和狓２－狔２＝ １，当实数犽取何值时，直线与双曲线分别有两个公共点？有一 个公共点？没有公共点？ 解 将直线方程狔＝犽狓代入双曲线方程狓２－狔２＝１，得 （１－犽２ ）狓２＝１． ① 当１－犽２＞０，即｜犽｜＜１时，方程①有两个不同的实根狓＝ １ ± 槡 ，从而直线与双曲线有两个不同的公共点；当１－ １－犽２ 犽２≤０，即｜犽｜≥１时，方程①无实根，从而直线与双曲线没有公 共点；直线与双曲线只有一个公共点的情况不存在． 例６的结果从图像上（图２３１１）看也是显然的，因为此双曲 图２３１１ 线夹在两条渐近线狔＝±狓之间的左右平面区域内，所以只有当 直线也经过这个区域时，它与双曲线才有公共点． ５ ８２．３ 双曲线 例７ 双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一 部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图２３１２ 所示．已知它的最小半径为１２ｍ，上口半径为１３ｍ，下口半径 为２５ｍ，高为５５ｍ．建立适当的平面直角坐标系，求此双曲线 的方程．（结果精确到０．１ｍ） 图２３１２ 图２３１３ 解 图２３１３是通风塔过中轴的剖面．以剖面最窄处的水 平线为狓轴，则狓轴与双曲线的交点犃′与犃是双曲线的顶点； 又以通风塔的中轴为狔轴．在这样的平面直角坐标系中，设双曲 线的标准方程是 狓２ 狔２ － ＝１（犪＞０，犫＞０）． 犪２ 犫２ 点犅、犆的坐标可分别设为（２５，狔）、（１３，狔），其中狔＜０， １ ２ １ 狔＞０．又因为塔高为５５ｍ，所以狔－狔＝５５． ２ ２ １ 由犃犃′是双曲线的实轴，得犪＝１２． 因为点犅、犆在双曲线上，所以 ２５２ 狔２ １３２ 狔２ － １＝１， － ２＝１． １２２ 犫２ １２２ 犫２ 解得 槡４８１犫 ５犫 狔＝－ ，狔＝ ． １ １２ ２ １２ 代入狔－狔＝５５，得 ２ １ ５犫 槡４８１犫 ＋ ＝５５． １２ １２ 解得犫≈２４．５． 因此，所求双曲线的方程为 狓２ 狔２ － ＝１． １２２ ２４．５２ ５ ９２ 圆锥曲线 练习２．３（３） １．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （１）顶点在狓轴上，两顶点间的距离是１０，且经过点（１０，３）； （２）一个焦点的坐标为（５，０），一条渐近线方程为３狓－４狔＝０． 犫 ２．给定一对直线狔＝± 狓（犪＞０，犫＞０），写出所有以这对直线为渐近线的、实轴在 犪 狓轴上的双曲线的方程． 狓２ 狔２ 狔２ 狓２ ３．联系双曲线 － ＝１（犪＞０，犫＞０）的性质，讨论并叙述双曲线 － ＝１（犪＞０， 犪２ 犫２ 犪２ 犫２ 犫＞０）的性质．（不要求推理过程） 习题２．３ 犃组 狓２ 狔２ １．双曲线 － ＝１上一点犘到焦点犉 的距离等于６，求点犘到另一焦点犉 的距离． ６４ ３６ １ ２ ２．已知双曲线以坐标轴为对称轴，两个顶点间的距离为２，焦点到渐近线的距离为 槡２．求该双曲线的方程． ３．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴的长为８，焦距为１０．写出 此双曲线的方程． 狓２ 狔２ ４．如果方程 － ＝１表示焦点在狔轴上的双曲线，求实数犿的取值范围． 犿＋２ 犿＋１ ５．已知双曲线经过点（１，１），其渐近线方程为狔＝±槡２狓．求此双曲线的方程． 犅组 １．已知双曲线的中心在原点，焦点在狔轴上，并且双曲线上两点犘、犘 的坐标分别 （ ） １ ２ ９ 为（３，－４槡２）、 ，５ ．求该双曲线的方程． ４ ５ 狓２ 狔２ ２．已知离心率为 的双曲线与椭圆 ＋ ＝１有公共焦点，求此双曲线的方程． ３ ４０ １５ ３．犃、犅、犆是我方三个炮兵阵地．犃地在犅地的正东，相距６ｋｍ；犆地在犅地的北 偏西３０°，相距４ｋｍ．犘为敌方炮兵阵地．某时刻犃地发现犘地某种信号，１２ｓ后犅、犆 两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为０．３３３ｋｍ／ｓ）．若从犃地炮击犘地，求准 确炮击的方位角．（结果精确到１°） ６ ０２．４ 抛物线 ２．４ 抛物线 １ 抛物线的标准方程 抛物线是一种常见的曲线，例如喷泉中喷出的水珠、投出的 篮球所经过的轨迹都是抛物线．抛物线的用途很广泛，在太阳 灶、探照灯、雷达天线、卫星天线、射电望远镜、工程建筑等工 程技术中都有它的身影，体现了抛物线在光学、力学等方面的独 有特性． 与椭圆、双曲线一样，我们也通过操作先画出一段抛物线， 然后建立平面直角坐标系推导抛物线方程．如图２４１，将一把直 尺在一个平面上固定不动．另取一块三角板，设直角顶点为犆，并 在它的一条直角边上取定点犃．再取一条细线使它的长度正好等于 犃犆的长．将这条细线的一端固定在三角板的点犃，另一端固定在 同一平面上的点犉．用一支铅笔靠着细线将它绷紧，当三角板的另 一条直角边靠着直尺滑动时，铅笔尖犘画出了一段曲线．观察这 图２４１ 段曲线的生成过程可以发现，如果把直尺看作一条定直线犾，那么 动点犘到直线犾的距离始终等于它到定点犉的距离． 一般地，平面上到一个定点犉和到一条定直线犾（犉不在犾 上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线（ｐａｒａｂｏｌａ），点犉叫做抛物 为什么需加条件 “犉不在犾上”？ 线的焦点，定直线犾叫做抛物线的准线（ｄｉｒｅｃｔｒｉｘ）．过点犉作准 线犾的垂线，设垂足为犓，则线段犓犉的中点称为此抛物线的顶 点．因为这一点到点犉和到直线犾的距离相等，所以这是抛物线 上的一点． 下面根据抛物线的定义来求它的方程． ６ １２ 圆锥曲线 → 如图２４２，取抛物线的顶点为原点犗，以向量犓犉的方向 为狓轴的正方向，建立平面直角坐标系． 设焦点到准线的距离｜犓犉｜＝狆（狆＞０），则焦点犉的坐标是 （ ） 狆 狆 ，０ ，准线犾的方程为狓＝－ ． ２ ２ 设犘（狓，狔）是抛物线上任意一点，点犘到犾的距离为犱，则 （ ） 图２４２ 槡 狆２ 狆 ｜犘犉｜＝ 狓－ ＋狔２ ，犱＝狓＋ ． ２ ２ 由抛物线定义知｜犘犉｜＝犱，于是有 这里，还可以怎 （ ） 样建立平面直角坐标 槡 狆２ 狆 系？相应的抛物线方 狓－ ＋狔２＝狓＋ ． ２ ２ 程又具有怎样的形式？ 将上式两边平方，并化简，得 狔２＝２狆狓（狆＞０）． 从这个推导过程可以知道，抛物线上任意一点犕的坐标（狓，狔） 都是上述方程的解．反过来，可以证明以上述方程的解为坐标的 点，都在这条抛物线上（只需将上述推理过程反过来推演即可）． 形如狔２＝２狆狓（狆＞０）的方程叫作抛物线的标准方程，它所 （ ） 狆 表示的抛物线的顶点置于坐标原点，且具有焦点犉 ，０ 和准线 ２ 狆 犾：狓＝－ ．我们还注意到，这条抛物线上任何一点的横坐标狓≥０， ２ 所以抛物线位于狔轴及其右侧；当狓增大时，抛物线上相应点 我们学过二次函 数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠ 的纵坐标狔的绝对值也随着增大．可见，此抛物线从顶点出发的 ０）的图像，可以看出， 上下两部分随着狓的增大，在狓轴的正方向（即坐标系的右方） 当犫＝犮＝０时，此图 像是一（个具有方程） 形成了不再封闭的开口（我们形象地称此抛物线的“开口向右”）． １ 狓２＝２狆狔此时狆＝ 仿照上述过程，如果将抛物线的顶点仍置于坐标原点，但将 ２犪 的抛物线．当犫、犮不 焦点分别置于狓轴的负半轴、狔轴的正半轴和负半轴，就可以相 全为零时，二次函数 的图像是这个抛物线 应地得到抛物线的另外三种标准方程：狔２＝－２狆狓，狓２＝２狆狔与 的平移． 狓２＝－２狆狔．其中，后两种形式稍作变形就是我们所熟知的二次 函数的表达式． 例１ 求顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上且经过点 犕（－２，－４）的抛物线的方程． 解 由于抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，因此 抛物线的方程是上述四种标准方程之一． 若抛物线的焦点在狓轴上，由于它过第三象限的点犕（－２，－４）， 图２４３ 可知此抛物线开口向左（图２４３），因此可设其方程为 ６ ２２．４ 抛物线 狔２＝－２狆狓（狆＞０）． 把点犕的坐标代入，得到 （－４） ２＝－２狆·（－２）． 解得狆＝４．从而抛物线的方程为狔２＝－８狓． 若抛物线的焦点在狔轴上，由于它过第三象限的点犕（－２，－４）， 可知此抛物线开口向下（图２４３），因此可设其方程为 狓２＝－２狆狔（狆＞０）． 把点犕的坐标代入，得到 （－２） ２＝－２狆·（－４）． １ 解得狆＝ ．从而抛物线的方程为狓２＝－狔． ２ 因此，所求抛物线的方程为狔２＝－８狓或狓２＝－狔． 例２ 证明：以抛物线狔２＝２狆狓的任一过焦点的弦为直 径的圆与抛物线的准线相切． 证明 如图２４４，设犃犅是此抛物线过焦点犉的一条弦， 取犃犅的中点犕，设点犃、犅、犕在抛物线的准线犾上的射影依 次是点犃′、犅′、犕′，则犕犕′是直角梯形犃犃′犅′犅的中位线． 因为点犃、犅在抛物线上，所以 ｜犃犃′｜＝｜犃犉｜，｜犅犅′｜＝｜犅犉｜． 于是 １ １ １ ｜犕犕′｜＝ （｜犃犃′｜＋｜犅犅′｜）＝ （｜犃犉｜＋｜犅犉｜）＝ ｜犃犅｜． ２ ２ ２ 图２４４ 即点犕到准线的距离等于圆的半径． 由此可见，以犃犅为直径的圆与准线犾相切． 练习２．４（１） １．填写下表： 图示 标准方程 狔２＝２狆狓（狆＞０） 狓２＝２狆狔（狆＞０） （ ） （ ） 狆 狆 焦点坐标 ，０ ０，－ ２ ２ 狆 狆 准线方程 狓＝－ 狔＝ ２ ２ ６ ３２ 圆锥曲线 ２．分别写出满足下列条件的抛物线的标准方程： （１）焦点是犉（－２，０）； （２）准线方程是狔＝１． ３．求抛物线狔２＝４狓上到焦点的距离等于９的点的坐标． ２ 抛物线的性质 下面，我们以顶点在原点、焦点在狓轴正半轴上的抛物线为 例，讨论抛物线的性质．此时抛物线的标准方程为： 狔２＝２狆狓（狆＞０）． （１）对称性 因为抛物线上任意一点 犕（狓，狔）关于狓轴的对称点 犕′（狓，－狔）也满足方程，所以抛物线狔２＝２狆狓关于狓轴对称． 抛物线有且只有一条对称轴．对称轴与抛物线的交点就是抛物线 的顶点． （２）范围 因为狆＞０，由方程狔２＝２狆狓可知狓≥０，抛物线的开口向 右．除原点外，这条抛物线上的点都在狔轴的右侧，且当狓无限 增大时，｜狔｜也无限增大．这说明此抛物线向右上方和右下方无 限延伸． 从抛物线方程可知，对于同一个狓值，当狆越大，｜狔｜就越 大．这说明狆越大，抛物线的开口就越大． 例３ 过抛物线狔２＝４狓的焦点且斜率为２的直线与抛物 线相交于犃、犅两点，求线段犃犅的长． 解 由题意可知，抛物线的焦点为犉（１，０），则直线的方 程为 狔＝２（狓－１）． ① 将方程①代入抛物线方程狔２＝４狓，并化简得 狓２－３狓＋１＝０． 设两个交点犃、犅的坐标分别为（狓，狔）、（狓，狔），则有 １ １ ２ ２ 狓＋狓＝３． １ ２ ６ ４２．４ 抛物线 由抛物线定义可知，｜犃犉｜、｜犅犉｜分别等于点犃、犅到准线 狓＝－１的距离｜犃犃｜、｜犅犅｜，如图２４５所示． １ １ 又因为｜犃犃｜＝狓＋１，｜犅犅｜＝狓＋１，所以 １ １ １ ２ ｜犃犅｜＝｜犃犉｜＋｜犅犉｜＝｜犃犃｜＋｜犅犅｜＝狓＋狓＋２＝５． １ １ １ ２ 例４ 求过定点犕（０，１）且与抛物线狔２＝２狓只有一个公 共点的直线的方程． 图２４５ 解 先考虑过点犕（０，１）且不垂直于狓轴的直线，可设其方 程为狔＝犽狓＋１． 烄狔＝犽狓＋１， 由方程组 得 烅 烆狔２＝２狓， 犽２狓２＋２（犽－１）狓＋１＝０． ① １ 当犽＝０时，方程①为一元一次方程，其解为狓＝ ，此时 ２ （ ） １ 直线狔＝１与抛物线只有一个公共点犘 ，１ ． ２ 当犽≠０时，方程①为一元二次方程，它只有一个解的充要 例４中，判别式 １ 条件是其判别式Δ＝４（犽－１） ２－４犽２＝０，解得犽＝ ．由此得到 为零是直线与抛物线 ２ 仅有一个公共点的什 么条件？ １ 直线狔＝ 狓＋１与抛物线也只有一个公共点． ２ 此外，过点犕（０，１）且垂直于狓轴的直线狓＝０也满足题意 （图２４６）． １ 因此，所求直线的方程为狔＝１或狔＝ 狓＋１或狓＝０． ２ 在前面学习圆和椭圆时，我们曾经介绍过圆和椭圆的切线， 图２４６ 可以发现，当直线与圆或椭圆有且仅有一个公共点时，直线与圆 或椭圆相切．这仅仅是对圆或椭圆而言的情况．由例４知，在抛 物线的情况下没有这样的结论．例如，当一条直线平行于一条抛 物线的对称轴时（如例４中的直线狔＝１），这条直线与这条抛物 线有且只有一个公共点，但它不是抛物线的切线（切线的确切含 义见选择性必修课程５．１节）． 例５ 如图２４７，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛 物线的一部分，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是２４ｃｍ， 灯深１０ｃｍ，求灯泡与反射镜顶点的距离． ６ ５２ 圆锥曲线 抛物线具有如下 的光学性质：所有从 抛物线焦点发出的光 线经过抛物线反射后 都与这条抛物线的对 称轴平行或重合．制 作探照灯、汽车远光 灯时正是依据这个原 图２４７ 图２４８ 理，把光源放在抛物 线的焦点处，使得光 解 以抛物线的对称轴为狓轴，抛物线的顶点为原点，建立 线经过抛物面的反射 后都变成平行光束， 平面直角坐标系，如图２４８所示． 照得又亮又远． 由题意，得点犃的坐标为（１０，１２）． 设抛物线的方程为 狔２＝２狆狓（狆＞０）． 因为点犃在抛物线上，所以 １２２＝２狆·１０， 解得狆＝７．２．因此，抛物线焦点犉的坐标为（３．６，０）． 所以，灯泡与反射镜顶点的距离为３．６ｃｍ． 练习２．４（２） １．过点犘（２，４）且与抛物线狔２＝８狓有且只有一个公共点的直线有 （ ） Ａ．１条； Ｂ．２条； Ｃ．３条； Ｄ．４条． ２．求抛物线狔２＝４狓上的点到直线４狓＋３狔＋７＝０的最短距离． ３．由抛物线的标准方程知，函数狔＝槡狓的图像是某条抛物线的一部分．求这条抛物 线的焦点坐标和准线方程． 习题２．４ 犃组 １．求抛物线狔２＝犪狓（犪≠０）的焦点坐标和准线方程． ２．若抛物线狔２＝２狓上的犃、犅两点到焦点犉的距离之和是５，求线段犃犅的中点的 横坐标． ３．求以坐标原点为顶点，以狔轴为对称轴，并经过点犘（－６，－３）的抛物线的标准 方程． ６ ６２．４ 抛物线 ４．已知直线狔＝犽狓－４与抛物线狔２＝８狓有且只有一个公共点，求实数犽的值． ５．已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是５ｍ，跨度为１０ｍ．建立适当的平面直角坐 标系，求此拱形所在的抛物线方程． 犅组 １．已知动点犘与定点（１，０）的距离比点犘到狔轴的距离大１，求动点犘的轨迹方程． ２．过抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）焦点的一条直线与抛物线相交于两个不同的点，求证： 这两个点的纵坐标狔、狔 满足狔狔＝－狆２． １ ２ １ ２ ３．过抛物线狔２＝２狆狓的焦点且倾斜角为α的直线犾与抛物线交于犃、犅两点，求证： ２狆 ｜犃犅｜＝ ． ｓｉｎ２α 课后阅读 章名“圆锥曲线”释义 本章的前面几节分别学习了圆、椭圆、双曲线和抛物线，但这一章的章名却叫“圆锥 曲线”，这是为什么呢？这些曲线与圆锥有什么关系呢？下面就来探讨这些问题． 如图２４９，我们取两个相同的圆锥，把其中一个倒置后组成 一个共顶点、共轴的旋转体，想象这个旋转体可上下无限延伸．设 这个旋转体也可 圆锥的旋转轴与母线所成的角为α，用一不过圆锥顶点的平面截这 以看作是由两条相交 直线绕其角平分线旋 个圆锥，设这个平面与圆锥旋转轴所成的角为θ，则平面与圆锥的 转而成． 侧面相截得到的平面曲线有以下几种情况： π （１）当α＜θ≤ 时，平面与圆锥的侧面相截所得的是一个椭圆，如图２４９（１）所示； ２ π 特别地，当θ＝ 时，得到的是一个圆． ２ （２）当α＝θ，即平面与圆锥的一条母线平行时，所截得的是一条抛物线，如图２４９（２） 所示． （３）当０≤θ＜α，且这个平面不经过圆锥的顶点时，所截得的是一条双曲线，如图 ２４９（３）所示． ６ ７２ 圆锥曲线 （１） （２） （３） 图２４９ 可见，椭圆（包括圆）、抛物线、双曲线都可以看作是由不同的平面截同一个圆锥得到 的，所以它们统称为圆锥曲线（ｃｏｎｉｃｓｅｃｔｉｏｎｓ）．这是本章章名的由来． ６ ８２．５ 曲线与方程 ２．５ 曲线与方程  １ 求轨迹的方程 在本章２．１节中我们给出了曲线方程的定义．根据此定义， 要确认一个二元方程犉（狓，狔）＝０是一条平面曲线犆的方程，必 须验证如下两个条件都满足： （１）曲线犆上的点的坐标都是方程犉（狓，狔）＝０的解； （２）以方程犉（狓，狔）＝０的解为坐标的点都是曲线犆上的点． 现在大家对这个过程应该比较熟悉了，因为在上一章和本章 中给出直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线时，都强调过这样的验 证．例如，在本章２．１节中圆的方程的推导过程中我们就详细写 出了正反两个方向的推导过程．但在椭圆、双曲线和抛物线方程 的推导过程中，为了避免行文的累赘，在强调反方向验证时，我 们只说“将上述推理过程反过来推演即可”．希望同学们能自行补 充“反过来推演”的过程（见本章习题２．５Ａ组第１题）． 下面的例１用反例再次说明上述条件（１）和条件（２）缺一不可． 例１ （１）方程狓＝槡１－狔２ 是圆心在坐标原点、半径为１ 试在平面直角坐 的圆的方程吗？为什么？ 标系中作出例１（１）和 （２）中犉（狓，狔）＝０所 （２）方程狓２－狔２＝０是过点（０，０）与（１，１）的直线的方程吗？ 表示的曲线． 为什么？ 解 （１）不是．条件（１）不满足，如点（－１，０）在此圆上，但 烄狓＝－１， 烅 不是给定方程的解． 烆狔＝０ 烄狓＝－１， （２）不是．条件（２）不满足，如 烅 是给定方程的解， 烆狔＝１ 但点（－１，１）不在给定的直线上． 在解析几何中，曲线经常是用满足一些条件的动点轨迹给出的， 如本章的椭圆就定义为到两个定点距离之和等于一个给定常数（此常 数大于两定点之间的距离）的点的轨迹．双曲线、抛物线也是类似地 定义．根据曲线方程的定义，并通过本章的学习，我们把求轨迹方程 ６ ９２ 圆锥曲线 的基本步骤总结如下： 步骤１ 根据轨迹的特征，建立适当的平面直角坐标系 （如果平面直角坐标系在轨迹定义中已经给出，一般就采用给定 的平面直角坐标系）； 步骤２ 轨迹上动点的坐标设为（狓，狔），将动点满足的条 件表示为关于狓、狔的一个方程； 步骤３ 验证以该方程的解为坐标的点都在给定的轨迹上． 这里的步骤２与步骤３分别对应曲线方程的条件（１）与条件（２）． 例２ 已知点犃、犅是距离为４的两个定点，动点犕满 → → 足犕犃·犕犅＝５．建立适当的平面直角坐标系，求动点犕的轨 迹方程． 解 如图２５１，以直线犃犅为狓轴，线段犃犅的垂直平分 线为狔轴，建立平面直角坐标系，则两定点为犃（－２，０）、犅（２，０）． → → 设动点犕的坐标是（狓，狔），则犕犃＝（－２－狓，－狔），犕犅＝ → → （２－狓，－狔）．因为犕犃·犕犅＝５，所以 （－２－狓）（２－狓）＋（－狔）（－狔）＝５， 化简，得 狓２＋狔２＝９． 这表明，动点轨迹上任意点的坐标都满足这个方程． 图２５１ 反过来，设平面上一点犖的坐标（狓，狔）满足方程，即有 １ １ 狓２＋狔２＝９，则 １ １ → → 犖犃·犖犅＝（－２－狓）（２－狓）＋（０－狔）（０－狔） １ １ １ １ ＝狓２－４＋狔２＝９－４＝５． １ １ 从而，以方程狓２＋狔２＝９的解为坐标的点都在轨迹上． 综上所述，方程狓２＋狔２＝９就是所求的动点犕的轨迹方程． 要证明一个给定的关于狓、狔的方程是一条给定曲线的方 程，有时可以把条件（１）和条件（２）放在一起验证．此时要验证的 是如下的充要条件：一点在给定曲线上当且仅当该点的坐标是给 定方程的解． 例３ 求连接定点犃（４，０）和曲线狓２＋２狔２＝１上动点犅 例３也可按步骤 ２、３证明，但不要忽略 的线段犃犅的中点犘的轨迹方程． 了步骤３：假设点犘的 解 对平面上一点犅（狓，狔），条件“犘（狓，狔）是线段犃犅 坐标是方程４（狓－２）２ 犅 犅 犘 犘 ＋８狔２＝１的解，要找 的中点”的坐标表示是 到曲线狓２＋２狔２＝１上 的一点犅，使犘是线 烄 ４＋狓 狓＝ 犅， 段犃犅的中点． 犘 ２ 烄狓＝２狓－４， 烅 即 烅 犅 犘 ０＋狔 烆狔＝２狔． 狔＝ 犅， 犅 犘 烆 犘 ２ ７ ０２．５ 曲线与方程 由所求轨迹的定义，点犘（狓，狔 ）在轨迹上当且仅当点 犘 犘 犅（狓，狔）在曲线狓２＋２狔２＝１上，即当且仅当狓２＋２狔２＝１．把 犅 犅 犅 犅 点犅的坐标用点犘的坐标替换并化简，得 狓２＋２狔２＝１４（狓－２） ２＋８狔２＝１， 犅 犅 犘 犘 所以，点犘在轨迹上当且仅当它的坐标是方程４（狓－２） ２＋８狔２＝１ 的解． 由此可见，所求的轨迹方程是４（狓－２） ２＋８狔２＝１． 练习２．５（１） １．判断下列各组两个方程是否表示相同的曲线： 狔 （１）狔＝狓， ＝１； （２）狔＝狓，狔＝槡狓２ ； （３）｜狓｜＝｜狔｜，狓２－狔２＝０． 狓 ２．已知△犃犅犆的周长为１８，且犅犆＝８．建立适当的平面直角坐标系，求顶点犃的轨 迹方程． ３．当点犃在曲线狔＝狓２＋３上运动时，连接点犃与定点犅（６，０）．求犃犅的中点犘的 轨迹方程． ２ 简单的参数方程 在求轨迹的方程时，有时根据条件很难直接建立曲线上的动 点坐标（狓，狔）所满足的方程，但如果引入合适的第三个变量，分 别建立狓、狔与第三个变量的联系，问题常常会比较容易得到 解决． 我们先来看一个熟悉的问题：假设空气阻力忽略不计，求炮 弹被击发后的运动轨迹的方程． 即使建立平面直角坐标系，炮弹的运动规律也难以直接用炮 弹位置的坐标狓与狔的方程表示出来．在物理学中，我们知道， 当发射角α、发射时的初速度狏 确定后，炮弹位置只与运行时 ０ 间狋有关，所以可以考虑引入时间狋作为第三个变量来求运动轨 迹的方程． 以炮口所在位置犗为坐标原点，水平方向为狓轴，铅垂方 向为狔轴，建立平面直角坐标系，如图２５２所示．设炮弹发射 狋ｓ后的位置在点犘（狓，狔）处．炮弹的初速度狏 可分解为水平方 ０ 向和铅垂方向的两个速度，其中在水平方向上的初速度为狏ｃｏｓα， ０ 图２５２ 在铅垂方向上的初速度为狏ｓｉｎα．由于忽略了空气阻力，炮弹在 ０ 运动过程中只在铅垂方向受到重力作用．容易求得，炮弹的位置 ７ １２ 圆锥曲线 坐标（狓，狔）与时间狋之间的关系： 烄狓＝狏狋ｃｏｓα， ０ 烅 １ （０≤狋≤狋）， 狔＝狏狋ｓｉｎα－ 犵狋２ １ 烆 ０ ２ 其中犵是重力加速度的值，狋是炮弹击中目标的时刻． １ 我们把上述方程组中的变量狋消去后，观察它表示的是什么 狓 曲线．由第一个方程得狋＝ ，代入第二个方程，消去参数 狏ｃｏｓα ０ 狋，得到炮弹运动的轨迹方程为 犵 ｓｉｎα 狔＝－ 狓２＋ 狓． ２狏２ｃｏｓ２α ｃｏｓα ０ 由于狏、α、犵都是定值，因此炮弹运动的轨迹是一条抛物线． ０ 在这个实际问题中，炮弹运动的轨迹不可能是整条抛物线． 首先，因为炮弹被击发前是静止的，必须狓≥０．又因为炮弹击 中目标后也不再按原有轨迹运动，所以我们所讨论的炮弹运动轨 迹只是狓≥０与炮弹击中目标前的一段抛物线．例如，设目标点 犵 与发射点在同一水平线上，则恒有狔≥０，从而由－ 狓２＋ ２狏２ｃｏｓ２α ０ ｓｉｎα 狏２ｓｉｎ２α 狓≥０求得狓≤ ０ ．因此，炮弹运动轨迹是上述抛物线 ｃｏｓα 犵 狏２ｓｉｎ２α 在０≤狓≤ ０ 之间的部分． 犵 由上述讨论可以看到，在求曲线方程时，我们可以先分别 求出狓、狔与某个随动点变化的变量狋所满足的方程狓＝犳（狋）， 狔＝犵（狋），得到方程组： 烄狓＝犳（狋）， 烅 烆狔＝犵（狋）， 其中狋在某个范围内变动． 如果对于狋的每一个允许值，由上述方程组所确定的点 犘（狓，狔）都在曲线犆上；反之，对于曲线犆上任意一点的坐标， 都存在狋的某个允许值使得上述方程组成立，那么上述方程组就 叫做曲线犆的参数方程（ｐａｒａｍｅｔｒｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ），变量狋叫做参变量 或参数（ｐａｒａｍｅｔｅｒ）． 相对于参数方程而言，直接给出曲线上点的坐标狓、狔之间 关系的方程犉（狓，狔）＝０叫做曲线的普通方程．如果像上例那样可 以消去参数方程中的参数狋，就可以将参数方程化为普通方程． 但在不少情况下，由曲线的参数方程并不一定能够化为曲线 的普通方程．举一个通俗的例子．假设有一只小虫在平面直角坐 ７ ２２．５ 曲线与方程 标系中爬行，小虫的位置坐标（狓，狔）是时间狋的函数： 烄狓＝犳（狋）， 烅 烆狔＝犵（狋）． 这揭示了小虫随时间狋变化的运动规律，就是小虫运动轨迹的一 个参数方程．由于小虫爬行的轨迹不似炮弹那样一直向前，而是 可以倒退及与自身相交，不可能化为普通方程，这时，用参数方 程来表示这一复杂的运动轨迹就成了唯一合理的选择了． 由此可见，用参数方程表示一个曲线，不仅可能有具体的物 理或几何意义，也更具有一般性，应用起来有时也更为简便． 狓２ 例４ 求所有斜率为１的直线被椭圆 ＋狔２＝１所截得的 ４ 线段的中点的轨迹． 解 如图２５３，设直线狔＝狓＋犫被椭圆所截得的线段的两 个端点犃、犅的坐标（狓，狔）、（狓，狔）是如下方程组的解： １ １ ２ ２ 烄狓２ ４ ＋狔２＝１， 图２５３ 烅 烆狔＝狓＋犫． 消去狔，并整理得 ５狓２＋８犫狓＋４（犫２－１）＝０． 当判别式Δ＝（８犫） ２－４×５×４（犫２－１）＝－１６（犫２－５）＞０，即 －槡５＜犫＜槡５时，上述方程有两个不同的实数解，即直线被椭圆 ８ 所截的线段存在并且线段两个端点横坐标之和为狓＋狓＝－ 犫． １ ２ ５ 设犃犅的中点为犕（狓 ，狔 ），则 犕 犕 狓＋狓 ４ 犫 狓 ＝ １ ２＝－ 犫，狔 ＝狓 ＋犫＝ ． 犕 ２ ５ 犕 犕 ５ 所以， 烄 ４ 还可用什么方法 狓 ＝－ 犫， 求解例４？ 犕 ５ 烅 （－槡５＜犫＜槡５） 犫 狔 ＝ 烆 犕 ５ 就是线段犃犅的中点犕的轨迹的参数方程． ４犫 消去犫，得狓 ＋４狔 ＝０．由－槡５＜犫＜槡５及狓 ＝－ ，可得 犕 犕 犕 ５ （ ） ４槡５ ４槡５ 狓∈ － ， ．所 以 点 犕 的 轨 迹 方 程 为狓＋４狔＝０， 犕 ５ ５ （ ） ４槡５４槡５ 狓∈ － ， ，即点犕的轨迹是直线狓＋４狔＝０在椭圆内的 ５ ５ ７ ３２ 圆锥曲线 部分． 狓２ 狔２ 例５ 已知点犕（狓，狔）在椭圆犆： ＋ ＝１上，求狓＋狔 １６ ９ 的最大值，并求狓＋狔取得最大值时点犕的坐标． 解 利用三角恒等式ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ＝１，可以验证 烄狓＝４ｃｏｓθ， 烅 θ∈犚 烆狔＝３ｓｉｎθ， 是椭圆犆的一个参数方程，所以点犕的坐标满足 （ ） ４ ３ 狓＋狔＝４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ＝５ ｃｏｓθ＋ ｓｉｎθ． ５ ５ （ ） （ ） ４ ３ ４ 因为 ２ ＋ ２ ＝１，所以可以找到锐角 φ ，使得ｓｉｎφ＝ ， ５ ５ ５ ３ ｃｏｓφ＝ ，从而 ５ 狓＋狔＝５（ｓｉｎφｃｏｓθ＋ｃｏｓφｓｉｎθ）＝５ｓｉｎ（θ＋φ ）． 当ｓｉｎ（θ＋φ ）＝１时，狓＋狔＝５最大．要取得最大值，θ＋φ＝ π π ＋２犽π，即θ＝ ＋２犽π－φ ，这里犽∈犣．此时对应的点犕的坐 ２ ２ １６ ９ 标为狓＝４ｃｏｓθ＝４ｓｉｎφ＝ ，狔＝３ｓｉｎθ＝３ｃｏｓφ＝ ，即点犕的 ５ ５ （ ） １６９ 坐标为 ， ． ５ ５ 练习２．５（２） 犪 狓＝ ，（ ） ｃｏｓα π １．设犪、犫是非零常数，参数方程 α≠犽π＋ ，犽∈犣 表示的是什么 狔＝犫ｔａｎα ２ 曲线？ ２．以原点为圆心、１为半径作一个圆．设定点犃的坐标为（２，０），犅为圆上任意一点， 犕为线段犃犅的中点．求点犕轨迹的参数方程． ３．动点犕作匀速直线运动，它在狓轴和狔轴方向的分速度分别为９和１２，运动开始 时，点犕位于犃（１，１）．求点犕的轨迹的参数方程． ３ 极坐标系与极坐标方程 通过前面的学习，我们知道，在平面直角坐标系下，可以用 一对有序实数表示平面上点的位置，进而建立曲线的直角坐标方 程，从而用代数方法研究这些曲线的性质．但是，有些简单的曲 ７ ４２．５ 曲线与方程 线，在用上述方法求它的方程时，却会遇到比较大的困难．例 如，设想平面上有一个动点犕在一条从点犗出发的射线犗犃上 做匀速运动逐渐远离点犗，而射线犗犃本身又绕点犗以固定的角 速度旋转．此时，动点犕在平面上的运动轨迹称为等速螺线（图 ２５４），它在数学内部以及机械、工程等领域有广泛的应用．如 图２５５所示的由两条对称的等速螺线拼成的心形转轮（红线所 示）就会把转轮的旋转运动转化为横杆（蓝线所示）的往复水平 图２５４ 运动． 但是，在平面直角坐标下要建立等速螺线的方程是一件比较 复杂的事：把两点的距离用点的坐标写出，需要用到二次根式； 而把旋转角用坐标表示出来，更要借助于反三角函数．因此，研 究等速螺线及其他类似曲线，需要另辟蹊径． 事实上，确定平面上点的位置，采用平面直角坐标系并不是 图２５５ 唯一的方法．现实生活中，人们也常用方向（实际上是角）和距离 来确定平面上点的位置．例如，图２５６所示的是雷达上发现北 偏西４５°方向２０ｋｍ处有不明飞行物体．这样表示平面上点的位 置就是我们将要研究的另外一种坐标系———极坐标系的基本 思想． 如图２５７，在平面上取一定点犗，以犗为端点引射线犗狓， 再选定一个单位长度和旋转角的正方向（一般规定逆时针方向为 正方向）．这时对于平面上异于点犗的任意一点犕，设 ρ＝ 图２５６ ｜犗犕｜，θ表示以射线犗狓为始边、射线犗犕为终边的角，则点 犕的位置可以用有序数对（ ρ ，θ）表示．我们把这样的坐标系叫做 极坐标系（ｐｏｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍ）． 在极坐标系中，定点犗叫做极点（ｐｏｌｅ），射线犗狓叫做极轴 （ｐｏｌａｒａｘｉｓ），（ ρ ，θ）就叫做点犕的极坐标（ｐｏｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ），其中 ρ 叫做点犕的极径（ｐｏｌａｒｒａｄｉｕｓ），θ叫做点犕的极角（ｐｏｌａｒａｎｇｌｅ）． 图２５７ 与平面直角坐标系不一样的是，在极坐标系中，点的极坐标 不唯一，如果（ ρ ，θ）是一点的极坐标，那么（ ρ ，θ＋２狀π）（狀∈犣）都 可以作为它的极坐标．我们还允许 ρ 取负值，当 ρ＜０时，规定 （ ρ ，θ）对应的点为（－ρ ，θ＋π）．此外，规定极点的坐标为（０，θ）， 其中θ可以是任意角． 不难发现，在极坐标系中，点（ ρ ，θ）与（－ρ ，θ）关于极点对 称，点（ ρ ，θ）与（ ρ ，－θ）关于极轴对称． 尽管在极坐标系中点的坐标不唯一，但是在极坐标系中，除 了极 点 外， 平 面 上 的 所 有 点 所 成 的 集 合 和 实 数 对 集 合 ｛（ ρ ，θ）｜ρ＞０，０≤θ＜２π｝是一一对应的．也就是说，如果规定极 ７ ５２ 圆锥曲线 径 ρ 取正值，极角θ取小于２π的非负值，那么极点以外的任何 点的极坐标也就唯一确定了． 例６ 如图２５８，在极坐标系中，写出犃、犅、犆、犇、 犈各点的一个极坐标． （ ） π 解 犃、犅、犆、犇、犈各点的一个极坐标可分别取为 ４， 、 ６ （ ） （ ） （ ） （ ） ５π ７π ２３π ３π ３， 、 ２， 、 ５， 、 １， ． １２ ６ １２ ４ 图２５８ 练习２．５（３） １．（１）若约定 ρ＞０，０≤θ＜２π，试写出图中犃、犅、犆、 犇、犈各点的极坐标（ ρ ，θ）； （２）若约定 ρ＜０，０≤θ＜２π，试写出图中犃、犅、犆、犇、 犈各点的极坐标（ ρ ，θ）． （ ） （ ） （ ） π π ５π ２．在极坐标系中，画出点犃３， 、犅３，－ 、犆３， ， ４ ４ ４ 并说明犃和犅、犆有怎样的位置关系． （第１题） 和平面直角坐标系的情形类似，在极坐标系中，平面上的一 条曲线可以用含 ρ 、θ这两个变量的方程犉（ ρ ，θ）＝０来表示，方 程犉（ ρ ，θ）＝０叫做这条曲线的极坐标方程．此时，曲线和方程有 如下的关系： （１）以方程犉（ ρ ，θ）＝０的解为极坐标的点都在曲线上； 在（２）中，为什么 （２）曲线上每一点的所有极坐标中，至少有一个极坐标（ ρ ，θ） 不说曲线上每一点的 所有极坐标都适合方 是方程犉（ ρ ，θ）＝０的解． 程？ 求曲线的极坐标方程，其实就是找到曲线上所有点的极径和 极角应满足的关系式． 例７ 求圆心是犆（犪，０）、半径是犪的圆的极坐标方程． 解 如图２５９，由题意知圆犆经过极点犗．设圆和极轴的 （ ） π π 另一个交点是犕，则｜犗犕｜＝２犪．设犘（ ρ ，θ）－ ＜θ≤ 是圆 ２ ２ 犆上的任意一点． 若点犘不在直线犗犕上，因为犗犕 是圆的直径，所以 ∠犗犘犕为直角．在直角三角形犗犘犕中，｜犗犘｜＝｜犗犕｜ｃｏｓθ，即 图２５９ ρ＝２犪ｃｏｓθ，这里－ π ＜θ＜ π ，θ≠０． ２ ２ ７ ６２．５ 曲线与方程 π 当θ＝０与θ＝ 时，方程 ρ＝２犪ｃｏｓθ分别给出了点犕与点犗． ２ 因此，圆犆的极坐标方程是 （ ） π π ρ＝２犪ｃｏｓθ － ＜θ≤ ． ２ ２ 例８ 如图２５１０，求经过点犕（犪，０）（犪＞０），且与极轴 夹角为 φ 的直线犾的极坐标方程． 解 设犘（ ρ ，θ）是直线犾上位于点犕上方的任意一点，则 ｜犗犘｜＝ρ ，∠犘犗狓＝θ（０＜θ＜φ ），∠犗犘犕＝φ－θ． 在△犘犗犕中，由正弦定理，得 图２５１０ ρ 犪 ＝ ， ｓｉｎ（π－φ ） ｓｉｎ（ φ－θ） 即 ρｓｉｎ（ φ－θ）＝犪ｓｉｎφ． ① 当点犘位于点犕下方或与点犕重合时，同样可推得①． 若φ＝ π ，直线犾 ２ 因此，方程①就是所求直线犾的极坐标方程． 的方程变成怎样？ 我们不仅可以建立圆、直线的极坐标方程，也可以建立圆锥 曲线的极坐标方程（见课后阅读）．下面，我们尝试建立上一小节 开头时给出的等速螺线的极坐标方程． → 例９ 设质点犕为射线犗犃上的动点，沿着犗犃方向做 匀速运动，同时射线犗犃又绕着它的端点犗作等角速度旋转．求 质点犕运动的轨迹方程． 解 如图２５１１，以射线犗犃的端点犗为极点，以射线犗犃 的初始位置为极轴，建立极坐标系．设动点的初始位置是犕（ ρ ，０）， ０ ０ 点犕在犗犃上运动的速度为狏，犗犃绕点犗转动的角速度为ω， 图２５１１ 经过时间狋后，动点到达的位置为犕（ ρ ，θ）． 因为点犕沿犗犃做匀速运动，所以 ρ＝ρ＋狏狋； ① ０ ①和②联立实际 由射线犗犃绕点犗作等角速度旋转，得 上就是此运动轨迹的 参数方程． θ＝ω狋． ② 由于从点犕 到点犕是直线运动与旋转运动的合成，因此 ０ θ 将从②式得到的狋＝ 代入①式，得 ω 狏 ρ＝ρ＋ ·θ， ０ ω 狏 其中 ρ 、狏、ω为常数．设 ＝犪，则方程可写成 ０ ω ７ ７２ 圆锥曲线 ρ＝ρ＋犪θ（θ≥０）． ０ 这就是所求轨迹的极坐标方程． 这个方程所对应的曲线（图２５１１）叫做等速螺线或者叫做 阿基米德螺线（Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎｓｐｉｒａｌ）．当 ρ＝０时，就得到特殊的 ０ 等速螺线的方程 ρ＝犪θ，此时极径与极角成正比． 练习２．５（４） １．求经过点犃（犪，０）且和极轴垂直的直线犾的极坐标方程． ２．（１）求圆心在极点犗、半径为犪的圆的极坐标方程； （ ） π （２）求圆心在犪， 、半径为犪的圆的极坐标方程． ２ ３．分别画出下列极坐标方程和直角坐标方程的曲线： （１）极坐标方程 ρ＝２，直角坐标方程狓＝２； π π （２）极坐标方程θ＝ ，直角坐标方程狓＝ ． ４ ４ ４ 极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，有时需要在它 们之间进行互相转化． 如图２５１２，把直角坐标系的原点作为极点，狓轴的正半轴 作为极轴，并且取相同的单位长度．设平面上任意一点犕的直 角坐标为（狓，狔），极坐标为（ ρ ，θ）． 当 ρ＞０时，由三角函数的定义，可以得到如下的关系式： 图２５１２ 狓＝ρｃｏｓθ，狔＝ρｓｉｎθ． ① 当 ρ＝０时，①式仍然成立． 当 ρ＜０时，如图２５１３，点犕的极坐标也可用（－ρ ，π＋θ） 表示，这时由于－ρ＞０，因此由三角函数的定义，可得 狓＝－ρｃｏｓ（π＋θ）＝ρｃｏｓθ， 狔＝－ρｓｉｎ（π＋θ）＝ρｓｉｎθ． 这说明 ρ＜０时，①式也成立． 综上所述，关系式①对于点犕的任一种表示法表示的极坐 图２５１３ 标都成立． 关系式①可以作为已知点的极坐标求该点的直角坐标的 公式． ７ ８２．５ 曲线与方程 从关系式①中解出 ρ 、θ，则有 狔 ρ２＝狓２＋狔２ ，ｔａｎθ＝ （狓≠０）． ② 狓 关系式②可以作为已知点的直角坐标求该点的极坐标的 公式． 狔 通常取 ρ 为正数，即 ρ＝槡狓２＋狔２ ；由ｔａｎθ＝ 确定角度θ 狓 时，一般根据此点所在的象限取最小正角，满足０≤θ＜２π． 例１０ 化直角坐标方程狓－狔＝０为极坐标方程． 解 将狓＝ρｃｏｓθ，狔＝ρｓｉｎθ代入狓－狔＝０，得 ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝０， 即 ρ （ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）＝０． 如果允许ρ取任 意实数，那么极坐标 解得 ρ＝０或ｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝０． π ５π 方程θ＝ 及θ＝ ４ ４ 由ｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝０，得ｔａｎθ＝１． 均表示过极点的直线． π ５π 解得 θ＝ 或θ＝ ． ４ ４ π ５π 因为 ρ＝０表示极点，而θ＝ 及θ＝ 均表示过极点的射 ４ ４ π ５π 线，所以 ρ＝０已包含在θ＝ 或θ＝ 中． ４ ４ π ５π 因此，所化的极坐标方程为θ＝ 或θ＝ ． ４ ４ 例１１ 化极坐标方程 ρ＝４ｃｏｓθ为直角坐标方程，并指出 它是什么曲线． 解 当 ρ≠０时，由 ρ＝４ｃｏｓθ，得 ρ２＝４ρｃｏｓθ． 由此得狓２＋狔２＝４狓，即 （狓－２） ２＋狔２＝４． ① 当 ρ＝０时，满足 ρ＝４ｃｏｓθ的点为极点，即直角坐标系的原 点（０，０），它也满足方程①． 所以， ρ＝４ｃｏｓθ是以（２，０）为圆心、以２为半径的圆． 练习２．５（５） （ ） π １．（１）把点犕的极坐标 ２， 化成直角坐标； ６ （２）把点犘的直角坐标（－１，槡３）化成极坐标． ２．化直角坐标方程狓２＋狔２－２犪狔＝０为极坐标方程． ３．化极坐标方程 ρ＝ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ为直角坐标方程． ７ ９２ 圆锥曲线 课后阅读 圆锥曲线的统一定义及其极坐标方程 在极坐标系中可以给出圆锥曲线的一个简洁的统一方程．不过，圆不能被这个统一方 程包括，所以本阅读材料中的圆锥曲线不包括圆． 先讨论一下圆锥曲线的统一定义． 回忆一下抛物线的定义：给定平面上的一个定点和一条定直线，抛物线是该平面上到 此定点和到此定直线距离相等的点的轨迹，也就是说，抛物线是该平面上到此定点和到此 定直线距离之比等于１的点的轨迹．我们知道，给定的定点是抛物线的焦点，给定的定直 线是抛物线的准线． 我们希望模仿抛物线的这一定义给出椭圆的定义．暂时在直角坐标系中讨论．设椭圆 的一个焦点为犉（犮，０），长半轴长为犪，则一点犕（狓，狔）在椭圆上当且仅当 槡（狓＋犮） ２＋狔２＋槡（狓－犮） ２＋狔２＝２犪． 由于圆不在考虑范围内，犮≠０，上式经变形化为等价条件 槡（狓－犮） ２＋狔２ ＝犲， 犪２ 狓－ 犮 犮 犪２ 其中犲＝ 是椭圆的离心率，我们还把直线犾：狓＝ 称为椭圆的准线．这样，上式用文字 犪 犮 犪２ 叙述就是：椭圆是到焦点犉（犮，０）与到准线犾：狓＝ 的距离之比等于离心率犲的点的轨 犮 迹，其中离心率满足０＜犲＜１． 犪２ 由类似的推导过程可知，双曲线是到焦点犉（犮，０）与到准线犾：狓＝ 的距离之比等于 犮 离心率犲的点的轨迹，此时离心率犲＞１． 由此，可以得到圆锥曲线的一个统一定义：圆锥曲线是到一个定点犉和到一条定直 线犾（犉犾）距离之比为定值犲的点的轨迹．其中，当０＜犲＜１时，轨迹为椭圆；当犲＝１ 时，轨迹为抛物线；当犲＞１时，轨迹为双曲线． 据此定义可以建立圆锥曲线的统一极坐标方程． 设定点犉到定直线犾的距离为狆（狆＞０），过定点犉作定直线犾 的垂线，垂足为犓．如图２５１４，以定点犉为极点犗，以犉犓的反 向延长线犉狓为极轴，建立极坐标系． 设动点犕的极坐标为（ ρ ，θ），则点犕到定直线犾的距离为 犱＝狆＋ρｃｏｓθ， 图２５１４ ８ ０２．５ 曲线与方程 ｜犕犉｜ 而｜犕犉｜＝ρ ，由圆锥曲线的统一定义，有 ＝犲，可得 ρ＝犲犱＝犲（狆＋ρｃｏｓθ），整理 犱 可得 犲狆 ρ＝ ． １－犲ｃｏｓθ 这就是圆锥曲线的统一极坐标方程．如图２５１５，当０＜犲＜１时， 方程表示左焦点在极点的椭圆；当犲＝１时，方程表示焦点在极 点，开口向右的抛物线；当犲＞１时，方程表示右焦点在极点的双 曲线的右支． 图２５１５ 习题２．５ 犃组 狓２ 狔２ １．写出椭圆方程推导过程中的“反过来推演”，即验证：若点犕以方程 ＋ ＝１ 犪２ 犫２ （犪＞犫＞０）的解（狓，狔）为坐标，则点犕一定在以犉（－犮，０）与犉（犮，０）为焦点的椭圆上， １ ２ 这里犮＝槡犪２－犫２． ２．给定犃（－３，２）、犅（３，－２）两点，求证：与这两点距离相等的点犘的轨迹方程是 ３狓－２狔＝０． ３．已知点犘（２，１）在方程狓２＋犽２狔２－３狓－犽狔－４＝０所表示的曲线上，求实数犽的值． ４．定长为４的线段犃犅的两端点分别在狓轴、狔轴上滑动，求犃犅中点的轨迹方程． ５．已知动点犆到点犃（２，０）的距离是它到点犅（８，０）的距离的一半，求点犆的轨迹方程． ６．证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是狓２－狔２＝０． → → ７．已知曲线犆：狔２＝狓＋１和定点犃（３，１），点犅在曲线犆上运动．求满足犃犘＝２犘犅 的点犘的轨迹方程． （ ） π ８．求过点犕２， 且平行于极轴的直线的极坐标方程． ２ ９．求极坐标方程分别是 ρ＝２ｃｏｓθ和 ρ＝２ｓｉｎθ的两个圆的圆心距． 犅组 １．作出下列方程的曲线： （１）狓２－狔２＝０； （２）狓２＋２狓狔－３狔２＝０． ２．已知圆狓２＋狔２－２狓＋２狔－３＝０和圆狓２＋狔２＋４狓－１＝０关于直线犾对称，求直线 犾的方程． ８ １２ 圆锥曲线 狓２ 狔２ 狓２ 狔２ ３．证明：椭圆犆： ＋ ＝１与椭圆犆： ＋ ＝１的四个交点共圆． １ ４ ３ ２ ３ ４ 狓２ ４．点犘在椭圆 ＋狔２＝１上运动，求它到直线犾：狓＋２狔－２＝０的距离的最大值． ４ ５．点犘到定点犉（２，０）的距离与它到直线狓＝８的距离之比为犽，请分别给出犽的某 个值，使得轨迹是椭圆、双曲线和抛物线． 狓２ 狔２ ６．已知椭圆犆： ＋ ＝１，试确定犿的取值范围，使该椭圆上有两个不同的点关于 ４ ３ 直线犾：狔＝４狓＋犿对称． ７．在极坐标系中，求曲线 ρ＝ｃｏｓθ＋１与 ρｃｏｓθ＝１的公共点到极点的距离． ８ ２内容提要 内容提要 圆锥曲线是椭圆（包括圆）、双曲线和抛物线的总称，它们都可以由平面在圆锥上截 得．圆锥曲线的方程都是二元二次方程． １．圆 （１）平面上到一定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹，叫做圆． （２）圆的标准方程是（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２ ，其中（犪，犫）是圆心坐标，狉为圆的半径． （３）圆的一般方程是狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０（犇２＋犈２－４犉＞０）． （４）直线与圆有三种位置关系：相交、相切与相离．判断直线与圆的位置关系 除了比较 圆 心 到 直 线 的 距 离 和 半 径 的 大 小 外， 还 可 以 通 过 求 解 联 立 方 程 组 烄狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０， 烅 并讨论其解的个数来解决． 烆犪狓＋犫狔＋犮＝０， （５）两个圆的位置关系，可以通过比较圆心距与两圆半径的大小来判断两圆内含、内 烄狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０， 切、相交、外切与外离；也可以通过联立方程组 １ １ １ 并讨论 烅 烆狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０， ２ ２ ２ 其解的个数来判断两圆相离、相切与相交． ２．椭圆 （１）平面上到两个定点犉、犉 的距离之和等于常数２犪（２犪＞｜犉犉｜）的点的轨迹叫 １ ２ １ ２ 做椭圆． 狓２ 狔２ （２）椭圆的焦点在狓轴上时，其标准方程是 ＋ ＝１（犪＞犫＞０）；椭圆的焦点在狔 犪２ 犫２ 狔２ 狓２ 轴上时，其标准方程是 ＋ ＝１（犪＞犫＞０）． 犪２ 犫２ 犮 （３）椭圆有两条对称轴，椭圆的扁平程度取决于其离心率犲＝ （０＜犲＜１），其中犮２＝ 犪 犪２－犫２． ３．双曲线 （１）平面上到两个定点犉、犉 的距离之差的绝对值等于常数２犪（０＜２犪＜｜犉犉｜）的 １ ２ １ ２ 点的轨迹叫做双曲线． 狓２ 狔２ （２）双曲线的焦点在狓轴上时，其标准方程是 － ＝１（犪＞０，犫＞０）；双曲线的焦 犪２ 犫２ 狔２ 狓２ 点在狔轴上时，其标准方程是 － ＝１（犪＞０，犫＞０）． 犪２ 犫２ 狓２ 狔２ 犮 （３）双曲线 － ＝１有两条对称轴，其离心率犲＝ ＞１，其中犮２＝犪２＋犫２ ，并有两 犪２ 犫２ 犪 ８ ３２ 圆锥曲线 犫 条渐近线狔＝± 狓． 犪 ４．抛物线 （１）平面上到一个定点犉和到一条定直线犾（犉不在犾上）的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线． （２）顶点在坐标原点的抛物线，焦点在狓轴的正、负半轴时，其标准方程分别为 狔２＝２狆狓，狔２＝－２狆狓（狆＞０）；焦点在狔轴的正、负半轴时，其标准方程分别为狓２＝ ２狆狔，狓２＝－２狆狔（狆＞０）． （３）抛物线有且只有一条对称轴，离心率犲＝１． ５．曲线与方程  （１）曲线犆的方程犉（狓，狔）＝０满足下列两个条件： ① 曲线犆上的点的坐标都是方程犉（狓，狔）＝０的解； ② 以方程犉（狓，狔）＝０的解为坐标的点都是曲线犆上的点． 烄狓＝犳（狋）， （２）平面上的曲线也可以用参数方程 烅 来表示，其中狋在一定范围内变动． 烆狔＝犵（狋） 如能消去参数狋，可以转化为普通方程． （３）与平面直角坐标系一样，极坐标系也可以确定平面上点的位置，建立平面曲线的 极坐标方程犉（ ρ ，θ）＝０，其中 ρ 是极径，θ为极角． 复习题 犃组 １．判断下列命题是否正确，并说明理由： （１）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为狔＝狓； （２）若△犃犅犆的三个顶点的坐标分别为犃（１，１）、犅（３，１）、犆（１，３），则边犅犆上的 中线所在直线的方程为狔＝狓； （３）与两点犃（－１，０）、犅（１，０）的连线的夹角为９０°的动点的轨迹方程为狓２＋狔２＝１． ２．讨论圆狓２＋狔２＋６狓－７＝０与抛物线狔２＝－４狓准线的位置关系． ３．对圆（狓－犪） ２＋（狔＋犫） ２＝犪２＋犫２ （犪＞０，犫＞０），下列说法是否正确，请说明理由： （１）该圆的圆心为（犪，犫）； （２）该圆过原点； （３）该圆与狓轴相交于两个不同点． 狓２ 狔２ 狓２ 狔２ ４．若椭圆 ＋ ＝１与双曲线 － ＝１有相同的焦点，求实数犪的值． ４ 犪２ 犪２ ２ ８ ４复习题 狓２ 狔２ ５．设椭圆 ＋ ＝１（犪＞犫＞０）的焦距为２犮．若犫２＝犪犮，求该椭圆的离心率． 犪２ 犫２ 狓２ ６．已知圆犆的半径为３，它与双曲线 －狔２＝１的两条渐近线均相切，且与该双曲线 ４ 的右支相交．求圆犆的方程． １ ７．已知直线狔＝狓＋犫被曲线狔＝ 狓２ 截得的弦长为４槡２，求实数犫的值． ２ → → ８．点犘是圆狓２＋狔２＝４上的动点，过点犘作狓轴的垂线，垂足为犕．若犘犙＝２犙犕， 求点犙的轨迹方程． ９．设犃犅是过抛物线狔２＝２狆狓焦点犉的一条弦，过点犃、犅分别作该抛物线准线的 π 垂线，垂足分别为犃、犅．求证：∠犃犉犅＝ ． １ １ １ １ ２ １０．已知圆犗的方程是狓２＋狔２＝１，直线犾与圆犗相切． （１）若直线犾的斜率等于１，求直线犾的方程； （２）若直线犾在狔轴上的截距为槡２，求直线犾的方程． １１．直线狓－槡３狔＝０绕原点按逆时针方向旋转３０°后所得的直线犾与圆（狓－２） ２＋狔２＝ ３的位置关系是 （ ） Ａ．直线犾过圆心； Ｂ．直线犾与圆相交，但不过圆心； Ｃ．直线犾与圆相切； Ｄ．直线犾与圆无公共点． （ ） （ ） １ １ １２．已知点犃 － ，０ ，犅是圆犆：狓－ ２ ＋狔２＝４（犆是圆心）上一动点，线段犃犅 ２ ２ 的垂直平分线交犅犆于犕．求动点犕的轨迹方程． 犅组 １．过抛物线狔２＝４狓的焦点犉作动直线交抛物线于犃、犅两点，并从原点犗作犃犅的 垂线，垂足为犕．求动点犕的轨迹方程． 狓２ 狔２ ２．已知点犘是双曲线 － ＝１右支上的一点，点犕、犖分别是圆（狓＋５） ２＋狔２＝４ ９ １６ 和（狓－５） ２＋狔２＝１上的点．求｜犘犕｜－｜犘犖｜的最大值． ３．已知圆狓２＋狔２＋狓－６狔＋犿＝０与直线狓＋２狔－３＝０相交于犘、犙两点，犗为坐 标原点．若犗犘⊥犗犙，求实数犿的值． ４．已知直线狔＝犪狓－１与曲线狔２＝２狓只有一个公共点，求实数犪的值． ５．对于实数犽的不同取值范围，讨论方程犽狓２＋狔２－２＝０所表示的曲线的形状． ６．过椭圆犫２狓２＋犪２狔２＝犪２犫２ （犪＞犫＞０）的顶点犅（０，－犫）引一条弦犅犘，求弦犅犘的最 大长度． ８ ５２ 圆锥曲线 狓２ 狔２ ７．已知定点犃（犪，０）（０＜犪＜３）到椭圆 ＋ ＝１上的点的距离的最小值为１，求犪 ９ ４ 的值． ８．据气象预报，在气象台犃处向东４００ｋｍ犅处的海面上有一个台风中心形成，测得 台风以４０ｋｍ／ｈ的速度向西北方向移动，距中心不超过３００ｋｍ的地方都会受到台风的影 响．从现在起，多少时间后气象台受到台风影响？气象台受到台风影响的时长大约是多 少？（结果精确到０．１ｈ） 拓展与思考 １．已知△犃犅犆的两个顶点犃、犅的坐标分别是（－６，０）、（６，０），且边犃犆、犅犆所在 直线的斜率之积等于犽．讨论顶点犆的轨迹方程． ２．以犘为圆心的动圆与圆犆：（狓＋２） ２＋狔２＝１和圆犆：（狓－２） ２＋狔２＝狉２ 均相切， １ ２ 请分别写出狉的某个值，使点犘的轨迹为椭圆和双曲线． １ ３．求双曲线狔＝ 的焦点坐标与准线方程． 狓 （ ） １ １ ４．请验证到点 １， 的距离和到直线狔＝－ 的距离相等的动点的轨迹方程是二次 ４ ４ 函数狔＝狓２－２狓＋１，并探究一般情况． 课后阅读 圆锥曲线简史 公元前４世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Ｍｅｎａｅｃｈｍｕｓ）为了解决倍立方问题发现了 圆锥曲线．他用垂直于母线的平面去截取顶角分别是锐角 直角 钝角的三种圆锥，得到 ! ! 三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲 线．但没有史料记载梅内克缪斯发现这三种圆锥曲线的具体方法． 梅内克缪斯在发现圆锥曲线时，并不知道圆锥曲线的更多性质．其后，亚里斯塔欧 （Ａｒｉｓｔａｅｕｓ）著有《立体轨迹》５卷，而“立体轨迹”（ｓｏｌｉｄｌｏｃｉ）即指圆锥曲线；欧几里得 （Ｅｕｃｌｉｄ）著《圆锥曲线》４卷．这两部著作对圆锥曲线有更深入系统的论述，可惜都失 传了． 相传欧几里得在另一部失传的几何著作《面轨迹》（犜犺犲犛狌狉犳犪犮犲犔狅犮犻）中不加证明地给 出过关于圆锥曲线的如下重要命题： 到定点与到定直线的距离之比等于给定比的点的轨迹是圆锥曲线．当给定比小于１ 时，它是椭圆；当给定比等于１时，它是抛物线；当给定比大于１时，它是双曲线． ８ ６复习题 亚历山大时期数学家帕普斯（Ｐａｐｐｕｓ）给出并证明了上述命题． 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》（犆狅狀犻犮狊）是数学历史上最重要的圆锥曲线专著．此书集前 人之大成，且提出很多新的性质．在这部著作中，阿波罗尼斯推广了梅内克缪斯的方法， 利用一般的斜圆锥来获得圆锥曲线．阿波罗尼斯引入了圆锥曲线的新名称“亏曲线” （ ）、“齐曲线”（ ）与“超曲线”（ ），取代在他之前使用的冗长术语 “锐角圆锥的截线”“直角圆锥的截线”与“钝角圆锥的截线”．阿波罗尼斯的三个希腊文单词 演变成了现在通用的专有名词ｅｌｌｉｐｓｅ、ｐａｒａｂｏｌａ与ｈｙｐｅｒｂｏｌａ（以英语为例），即中文的椭 圆、抛物线与双曲线． 明清之际，西方圆锥曲线的零星知识传入中国．中国数学家李善兰与英国人艾约瑟 （Ｊ．Ｅｄｋｉｎｓ）根据西方有关论著合译了《圆锥曲线说》三卷（１８５６），作为西方力学著作《重学》 的附录出版．在李善兰与英国人伟烈亚力（Ａ．Ｗｙｌｉｅ）合译的微积分课本《代微积拾级》 （１８５９）中，也涉及许多圆锥曲线的知识．那时所用的译名如椭圆、抛物线、双曲线等沿用 至今． ８ ７３ 第 章 我们已学习了平面上的向量，讨论了平面 空间向量 向量的运算规则及其坐标表示，并用于解决一 些来自数学其他分支和其他学科领域中的问 题，特别是平面几何问题． 及其应用 本章将在空间中讨论向量．本章学习和理 解的重点是空间中的向量与平面上的向量有哪 些类同和差异，包括哪些空间的问题可以转化 到平面上处理．我们将会看到空间向量的理论 为解决立体几何问题提供了一个有效手段．通 过本章的学习，大家要进一步感受数形结合、 利用代数知识解决几何问题的数学思想方法． 书书书３ 空间向量及其应用 ３．１ 空间向量及其运算 我们已经知道，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有 向线段来表示．必修课程第８章 “平面向量”中，讨论的是同一 个平面中的有向线段所表示的向量．本章将去掉这一限制，考虑 可以用空间任何有向线段表示的向量． 我们可以仿照必修课程第８章，对空间向量做一系列定义， 给出一系列法则，推导一系列性质．但这将是一个冗长而无趣的 过程，几乎原原本本地复述必修课程第８章前两节．我们放弃了 这样的做法，取而代之的是把基础框架的建立尽可能地归结到平 面上，然后再探索在空间讨论向量所遇到的新问题．归结到平面 的过程也是对必修课程第８章的复习，为同学们进一步学习空间 向量做好铺垫． 首先注意到，在必修课程第８章“平面向量”中，虽然仅仅讨 论平面上的向量，但许多定义都没有特别冠以“平面”二字，有关 的概念实际上都适合于本章的讨论，这些概念包括：向量的模、 单位向量、零向量、平行向量、相等向量、负向量等． 为进一步把空间向量问题归结到平面上讨论，需要引入共面 向量的概念：如果一组向量可以平移到同一个平面上，那么称这 组向量是共面的．显然，任意两个向量都是共面的． 一组共面向量的问题都可当作平面向量来处理和讨论．特别 地，空间中任何只涉及一个或两个向量的运算、概念和相关性质， 都可以直接运用平面向量的有关结论．这些运算和概念包括向量的 和、向量的差、实数与向量的乘法等，与这些运算相联系的运算 律也全部适用．空间中一个向量在一个非零向量方向上的投影以及 向量的夹角也可以在一个平面上实现，所以空间向量的数量积与 向量的夹角也都可以运用平面向量数量积的定义与有关的计算公 式．特别地，空间中两向量垂直的充要条件是其数量积为零． 虽然空间向量的加法结合律涉及三个向量，它们可能不共 面，但每一步加法都只涉及两个向量，可以用平面向量加法法则 来证明此定律成立：先把空间任意三个向量平移为首尾相接的向 → → → → → → → 量犃犅、犅犆与犆犇，因为犃犅与犅犆共面，犃犆与犆犇共面，我们得到 → → → → → → （犃犅＋犅犆）＋犆犇＝犃犆＋犆犇＝犃犇； → → → → → → 同理，犃犅＋（犅犆＋犆犇）＝犃犅＋犅犇＝犃犇．这就证明了空间向量 ９ ０３．１ 空间向量及其运算 的加法结合律． 有了加法结合律，我们可以求空间向量的连加，而不必顾及 式中的括号，而且向量加法的 “首尾规则”对空间向量依然成 立：若干个起点、终点依次相接的向量的和是以第一个向量的起 点为起点，以最后一个向量的终点为终点的向量．结合律的证明 过程略加推广就证明了 “首尾规则”． 例１ 如图３１１，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犈 １ １ １ １ 为棱犅犆 上任意一点．只考虑图上已作出线段所对应的向量， １ １ 分别写出： → → （１）犃犅的相等向量，犃犅的负向量； １ → （２）用另外两个向量的和或差表示犅犅； １ → （３）用三个或三个以上向量的和表示犅犈（举两个例子）． → 解 （１）根据正方体棱与棱之间的关系，犃犅的相等向量有 图３１１ → → → → → → 犃犅、犇犆、犇犆，犃犅的负向量有犅犃、犆犇． １ １ １ １ １ １ １ → （２）此小题用“首尾规则”求解．如果只在含犅犅的三角形中考 １ → → → → → → → → → 虑，有犅犅＝犅犃＋犃犅，犅犅＝犅犈＋犈犅，犅犅＝犅犃－犅犃， １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ → → → 犅犅＝犅犈－犅犈． １ １ → 如果考虑犅犅的相等向量所在的三角形，那么可以有更多的 １ 解答，请同学们自行补出． （３）此小题用“首尾规则”求解，有许多不同的答案，以下是 两个例子： → → → → 犅犈＝犅犃＋犃犅＋犅犈， １ １ １ １ → → → → → → 犅犈＝犅犅＋犅犃＋犃犇＋犇犆＋犆犈． １ １ １ １ １ １ １ １ 例２ 如图３１２，在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，点 １ １ １ １ → 犈在棱犆犆 的延长线上，且｜犆犈｜＝｜犆犆｜．设犃犃 ＝犪珗， １ １ １ １ → → 犃犅＝犫珗，犃犇＝犮珝，试用犪珗、犫珗、犮珝的线性组合表示下列向量： → → → → （１）犃犆；（２）犇犅；（３）犅犇；（４）犃犈． １ １ １ １ → → → → → → → 解 （１）犃犆＝犃犅＋犅犆＋犆犆＝犃犅＋犃犇＋犃犃 ＝犫珗＋ １ １ １ 犮珝＋犪珗． → → → → → （２）犇犅＝犃犅－犃犇＝犃犅－犃犇＝犫珗－犮珝． 图３１２ １ １ １ １ １ １ → → → → → → → （３）犅犇＝犅犃＋犃犃＋犃犇＝－犃犅＋犃犃＋犃犇＝－犫珗＋ １ １ １ １ １ 犪珗＋犮珝． → → → → → → → → → （４）犃犈＝犃犅＋犅犆＋犆犈＝犃犅＋犃犇＋２犆犆＝犃犅＋犃犇＋ １ → ２犃犃＝犫珗＋犮珝＋２犪珗． １ ９ １３ 空间向量及其应用 练习３．１（１） １．空间中有异面向量的概念吗？为什么？ ２．如图，请在图中找出三个不共面的向量． ３．化简下列算式： （１）３（２犪珗－犫珗－４犮珝）－４（犪珗－２犫珗＋３犮珝）； → ［→ → → ］ （２）犗犃－犗犅－（犃犅－犃犆）． （第２题） 向量的数量积对向量加法的分配律也涉及三个向量，它们可 能不共面，但是可以仿照平面向量中分配律的证明（见必修课程 ８．２节）给出空间向量情形的证明，见练习３．１（２）第１题． 例３ 如图３１３，已知正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 的棱 １ １ １ １ 长为犪，犈是棱犆犆 的中点． １ → → （１）求犇犇·犇犆； １ １ → → （２）求犃犈·犆犃； １ １ → → （３）求犃犈与犆犃的夹角的大小； １ １ → → （４）判断犃犈与犇犅是否垂直． 图３１３ 解 （１）由犇  犇 → ⊥犇  犆 → 与｜犇  犇 → ｜＝｜犇  犆 → ｜＝犪，得 １ １ １ １ １ １ → ｜犇犆｜＝槡犪２＋犪２＝槡２犪． １ 再根据向量数量积的定义，得 → → → → → → 犇犇·犇犆＝狘犇犇狘狘犇犆狘ｃｏｓ〈犇犇，犇犆〉 １ １ １ １ １ １ ＝犪·槡２犪·ｃｏｓ４５°＝犪２． （２）因为 → → → → → → １→ 犃犈＝犃犅＋犅犆＋犆犈＝犃犅＋犅犆＋ 犃犃， ２ １ → → → → → 犆犃＝犆犇＋犇犃＝－犃犅－犅犆， １ １ １ １ １ １ → → → → → → 并注意到犃犃⊥犃犅，犃犃⊥犅犆，犃犅⊥犅犆以及｜犃犅｜＝｜犅犆｜＝犪， １ １ 所以 （ ） → → → → １→ → → 犃犈·犆犃 ＝ 犃犅＋犅犆＋ 犃犃 ·（－犃犅－犅犆） １ １ ２ １ → → １→ → → ＝－（犃犅＋犅犆） ２－ 犃犃·（犃犅＋犅犆） ２ １ → → ＝－犃犅２－犅犆２＝－２犪２． （３）由（１）类似的方法，可得 例３（３）也可以用 → ｜犆犃｜＝槡２犪． 解三角形的方法求解． １ １ → → → 又由犃犅、犅犆与犃犃两两互相垂直且模均为犪，得 １ ９ ２３．１ 空间向量及其运算 （ ） → 槡→ → １→ ２ 狘犃犈狘＝ 犃犅＋犅犆＋ 犃犃 ２ １ 槡→ → １ → ３ ＝ 狘犃犅狘２＋狘犅犆狘２＋ 狘犃犃狘２＝ 犪． ４ １ ２ 从而 → → → → 犃犈·犆犃 －２犪２ ｃｏｓ〈犃犈，犆犃〉＝ １ １ ＝ １ １ 狘犃  犈 → 狘狘犆  犃 → 狘 ３ 犪·槡２犪 １ １ ２ ２槡２ ＝－ ． ３ 所以 → → ２槡２ 〈犃犈，犆犃〉＝π－ａｒｃｃｏｓ ． １ １ ３ → → → → → → → → （４）由于犇犅＝犃犅－犃犇＝犃犅－犅犆，且犃犅⊥犅犆，犃犃⊥ １ → → → 例３（４）可以用三 犃犅，犃犃⊥犅犆，因此 垂线定理证明，但三 １ （ ） （ ） → → → → １→ → → 垂线定理是立体几何 犃犈·犇犅＝ 犃犅＋犅犆＋ 犃犃 · 犃犅－犅犆 中有一定深度的内容， ２ １ 本身的证明比较困 ＝狘犃  犅 → 狘２－狘犅  犆 → 狘２＝犪２－犪２＝０， 难．不过，本章将用 空间向量给出三垂线 → → 由此可知犃犈⊥犇犅． 定理的一个简单证明 （本章３．４节例１）． 平面向量平行的充要条件同样适用于空间向量，即 空间中的向量犫珗与非零向量犪珗平行的充要条件是存在 实数λ，使得犫珗＝λ犪珗． 平行向量也称为共线向量． 例４ 底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体，其特点 是六个面都是平行四边形，且两两互相平行．如图３１４，在平 行六面体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，点犕在对角线犃犅上，且 １ １ １ １ １ １ １ ｜犃犕｜＝ ｜犕犅｜，点犖在对角线犃犆上，且｜犃犖｜＝ ｜犖犆｜． １ ２ １ １ ３ 求证：犕、犖、犇 三点共线． １ → → → 证明 令犃犅＝犪珗，犃犇＝犫珗，犃犃＝犮珝，则 １ → → 犇犃＝犇犃＝－犫珗， １ １ → → → 犃犅＝犃犅－犃犃＝犪珗－犮珝， 图３１４ １ １ → １→ １ 犃犕＝ 犃犅＝ （犪珗－犮珝）， １ ３ １ ３ → → → １ １ 所以，犇犕＝犇犃＋犃犕＝－犫珗＋ （犪珗－犮珝）＝ （犪珗－３犫珗－犮珝）． １ １ １ １ ３ ３ 又因为 ９ ３３ 空间向量及其应用 → → → → → 犃犆＝犃犅＋犅犆＝犃犅＋犃犇＝犪珗－犮珝＋犫珗， １ １ １ → １→ １ 犃犖＝ 犃犆＝ （犪珗－犮珝＋犫珗）， １ ４ １ ４ 所以 → → → １ １ 犇犖＝犇犃＋犃犖＝－犫珗＋ （犪珗－犮珝＋犫珗）＝ （犪珗－３犫珗－犮珝）． １ １ １ １ ４ ４ → ４→ → → 由此可知，犇犕＝ 犇犖，所以犇犕∥犇犖． １ ３ １ １ １ → → 因为点犇 为犇犕与犇犖的公共起点，所以犕、犖、犇 三 １ １ １ １ 点共线． 练习３．１（２） １．如图，棱长为犪的正四面体犃犅犆犇中，犈为棱犃犅的中 → → → → 点．求犇犆·犇犈与犅犆·犇犈． ２．设犪珗、犫珗、犮珝是三个空间向量，求证：犪珗·（犫珗＋犮珝）＝犪珗·犫珗＋ 犪珗·犮珝． （第１题） 习题３．１ 犃组 １．在长方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，｜犃犅｜＝４，｜犅犆｜＝３，｜犃犃′｜＝５．写出： → （１）与犃犆′有相等模的向量； → （２）犃犅的相等向量； → （３）与犃犃′垂直的向量． → → → → ２．如图，在直三棱柱犃犅犆犃犅犆 中，犆犃＝犪珗，犆犅＝犫珗，犆犆＝犮珝．将向量犃犅表示 １ １ １ １ １ 为犪珗、犫珗、犮珝的线性组合． （第２题） （第３题） ９ ４３．１ 空间向量及其运算 ３．如图，在正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，犈是犃′犆′的中点，点犉在犃犈上，且｜犃犉｜＝ １ → → → → ｜犈犉｜．试用向量犃犃′、犃犅与犃犇的线性组合表示犃犉． ２ ４．已知犪珗⊥犫珗，犮珝与犪珗、犫珗的夹角都是６０°，且｜犪珗｜＝１，｜犫珗｜＝２，｜犮珝｜＝３．计算： （１）（３犪珗－２犫珗）·（犫珗－３犮珝）； （２）｜犪珗＋２犫珗－犮珝｜． ５．已知空间四边形犃犅犆犇中，犃犅⊥犆犇，犃犆⊥犅犇．求证：犃犇⊥犅犆． ６．如图，在四面体犃犅犆犇中，犈、犕、犖分别是棱犃犅、 犃犆、犃犇的中点，犈、犕 、犖 分别是棱犆犇、犅犇、犅犆的 １ １ １ 中点，犌是线段犈犈 的中点．试判断下列各组中的三点是否 １ 共线： （１）犌、犕、犕； １ （２）犌、犖、犖． １ （第６题） 犅组 １．如图，犃是△犅犆犇所在平面外一点，犌是△犅犆犇的重心． → １ → → → 求证：犃犌＝ （犃犅＋犃犆＋犃犇）． ３ ２．如图，在三棱锥犇犃犅犆中，∠犇犃犆＝∠犅犃犆＝６０°， 犃犆＝１，犃犅＝２，犃犇＝３． → → （１）求犃犆·犅犇，并说明异面直线犃犆与犅犇所成的角θ的大 （第１题） 小在棱犅犇长度增大时是怎样变化的； （２）若犃犆⊥犅犆，判断点犇在平面犃犅犆上的射影是否可能在直线犅犆上，给出你的 结论并加以证明． （第２题） （第３题） → → ３．在空间中还可以讨论一个向量犃犅在一个平面α上的投影．如图，若犪珗＝犃犅，点犃 → 与点犅在平面α上的投影分别是点犃′与点犅′，则犪珗＝犃犅在平面α上的投影就是向量 → 犃′犅′．现在给定向量犪珗、平面α以及平面α上的非零向量犫珗．设向量犪珗在平面α上的投影是 向量犪珬 ′，向量犪珬 ′在向量犫珗方向上的投影是向量犪珬 ″．求证：向量犪珬 ″是向量犪珗在向量犫珗方向上 的投影． ９ ５３ 空间向量及其应用 ３．２ 空间向量基本定理 １ 向量共面的充要条件 我们在上一节中定义过的共面向量也可以用向量平行于平面 的语言来刻画：如果一个向量所在的直线平行于一个平面，那么 称这个向量平行于这个平面．一组向量共面是指它们平行于同一 个平面，也就是说，它们通过平行移动可以放到同一平面上． 我们说过空间的任意两个向量总是共面的．但是，空间中的 三个向量却不一定共面．例如，图３２１所示的平行六面体中， → 图３２１ 相交于一个顶点犃的三条棱犃犅、犃犇与犃犃 所对应的向量犃犅、 １ → → 犃犇与犃犃就是不共面的． １ 因为两个向量的和是通过平行四边形或三角形（都是平面图 形）作出的，所以两个向量的任何线性组合都与原来的两个向量 共面．反之，如果给定两个互不平行的向量，任意与这两个向量 共面的向量都是这两个向量的线性组合．这个结论是在给定的两 个向量所在的平面上使用（见必修课程８．１节）平面向量基本定理 得到的．事实上，平面向量基本定理在空间中应该叙述为如下的 向量共面的充要条件． 向量共面的充要条件 如果犲珤与犲珤是两个不平行的向 １ ２ 利用向量共面的 量，那么空间中的向量犪珗与犲珤、犲珤共面的充要条件是，存 充要条件，如何用向 １ ２ 量表达空间四点共面 在唯一的一对实数λ与 μ ，使得 的充要条件？（对比必 修课程８．３节的探究） 犪珗＝λ犲珤＋μ犲珤． １ ２ 例１ 如图３２２，在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犈 １ １ １ １ 是棱犃犃 的中点，犗是面对角线犅犆 与犅犆的交点．试判断向 １ １ １ → → → 量犈犗与犃犅、犃犇是否共面． 解 因为 → → → → 犈犗＝犈犃＋犃犅＋犅犗， 图３２２ → １ → → １ → → 犅犗＝ （犅犆＋犅犅）＝ （犃犇＋犃犃）， ２ １ ２ １ ９ ６３．２ 空间向量基本定理 所以 → １→ → １ → → 犈犗＝－ 犃犃 ＋犃犅＋ （犃犇＋犃犃） ２ １ ２ １ → １→ ＝犃犅＋ 犃犇， ２ → → → 因此，向量犈犗与犃犅、犃犇共面． 例２ 利用向量证明：如果一条直线垂直于一个平面上的 例２是必修课程 两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面（即垂直于这个平 第１０章中的直线与平 面垂直的判定定理． 面中的任何直线）． 已知 如图３２３，犪、犫是平面α上的两条相交直线，直线 犾满足犾⊥犪，犾⊥犫． 求证 犾⊥α． 证明 在平面α上任意作直线犿，并分别在直线犾、犪、犫、 犿上取非零向量犾珗、犪珗、犫珗、犿珤． 图３２３ 因为直线犪与犫相交，所以向量犪珗、犫珗不平行．由向量共面的 充要条件知，犿珤是犪珗、犫珗的线性组合，即 犿珤＝λ犪珗＋μ犫珗（λ、 μ∈犚）． 将上式两边与向量犾珗作数量积，由题意知犾珗·犪珗＝０，犾珗·犫珗＝０， 所以 犾珗·犿珤＝λ犾珗·犪珗＋μ犾珗·犫珗＝０， 从而犾⊥犿．这说明直线犾垂直于平面α上的任意一条直线，所 以犾⊥α． ２ 空间向量基本定理 已知平面上两个不共线向量的线性组合可以表示该平面上的 所有向量．是否可以做一个类推，空间三个不共面向量的线性组 合可以表示空间中的所有向量？下面的定理对此给出了肯定的 回答． 空间向量基本定理 如果犲珤、犲珤与犲珤是不共面的向量， １ ２ ３ 那么对空间中任意一个向量犪珗，存在唯一的一组实数λ、 μ 与ν，使得 犪珗＝λ犲珤＋μ犲珤＋ν犲珤． １ ２ ３ 证明：先证线性组合的存在性． ９ ７３ 空间向量及其应用 因为犲珤、犲珤与犲珤不共面，所以它们都不是零向量．我们还可 １ ２ ３ 以假设向量犪珗不与犲珤、犲珤与犲珤中的任何两个向量共面，否则，由 １ ２ ３ 向量共面的充要条件就立即给出了我们所需要的线性组合． → → 如图３２４，在空间任取一点犗，作犗犃＝犲珤，犗犅＝犲珤， １ ２ → → 犗犆＝犲珤，犗犘＝犪珗．犗犃与犗犅是不重合的相交直线，它们确定了 ３ 一个平面α；犗犆与犗犘是不重合的相交直线，它们也确定一个 平面 β．平面α与 β 不重合（否则犲珤、犲珤与犲珤共面），但有公共点 １ ２ ３ 犗，所以它们有唯一的交线犾．在犾上任取一个非零向量犫珗，则犫珗 与犲珤不共线． 图３２４ ３ → → 根据向量共面的充要条件，在平面α上，向量犫珗是犗犃与犗犅 → （即犲珤与犲珤）的线性组合；在平面 β 上，向量犪珗是向量犫珗与犗犆（即 １ ２ 犲珤）的线性组合．于是，向量犪珗是向量犲珤、犲珤与犲珤的线性组合． ３ １ ２ ３ 再证线性组合的唯一性． 设犪珗＝λ犲珤＋μ犲珤＋ν犲珤＝λ′犲珤＋μ′犲珤＋ν′犲珤，则 １ ２ ３ １ ２ ３ （λ－λ′）犲珤＋（ μ－μ′）犲珤＋（ν－ν′）犲珤＝０． １ ２ ３ 如果此式左边三个系数中有一个（比如λ－λ′）非零，那么 μ－μ′ ν－ν′ 犲珤＝－ 犲珤－ 犲珤， １ λ－λ′２ λ－λ′３ 这与犲珤、犲珤与犲珤不共面矛盾．所以三个系数必须全为零，则λ＝ １ ２ ３ λ′， μ＝μ′，ν＝ν′．所以，线性组合是唯一的． 例３ 如图３２５，在正四面体犃犅犆犇中，犖是面犃犅犆 的中心． （１）在此四面体的棱所对应的向量中找出两组各三个不共 面的向量，并把其他棱对应的向量分别表示成这两组向量的线 性组合（互为负向量的不必另行表示），要求第一组三个向量所 在的棱有公共点，第二组三个向量所在的棱没有公共点（答案 图３２５ 不唯一）； → （２）在（１）的条件下，把犇犖也分别表示为这两组向量的线 可以看出，第一 性组合． 种选择有更好的对称 → → → 解 （１）第一组向量可选犇犃＝犪珗，犇犅＝犫珗与犇犆＝犮珝，则 性． → → → 犃犅＝犫珗－犪珗，犅犆＝犮珝－犫珗，犆犃＝犪珗－犮珝． → → → 第二组向量可选犇犃＝犪珗，犇犅＝犫珗与犅犆＝犱珝，则 → → → 犃犅＝犫珗－犪珗，犇犆＝犫珗＋犱珝，犆犃＝犪珗－犫珗－犱珝． （２）如图３２５，取犈为犃犅的中点，连接犆犈，则点犖在 ９ ８３．２ 空间向量基本定理 （ ） → ２→ ２ → → ２ → １→ 犆犈上，且犆犖＝ 犆犈＝ （犆犃＋犃犈）＝ 犆犃＋ 犃犅，所以 ３ ３ ３ ２ （ ） → → → → ２ → １→ → ２→ １→ 犇犖＝犇犆＋犆犖＝犇犆＋ 犆犃＋ 犃犅＝犇犆＋ 犆犃＋ 犃犅， ３ ２ ３ ３ 分别代入（１）的结果，化简得 → １ １ １ → １ ２ １ 犇犖＝ 犪珗＋ 犫珗＋ 犮珝与犇犖＝ 犪珗＋ 犫珗＋ 犱珝． ３ ３ ３ ３ ３ ３ 练习３．２ １．下列命题是否为真命题？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． （１）设犃、犅、犆、犇是空间中的四个不同的点，直线犃犅与犆犇是异面直线，则向 → → 量犃犅与犆犇不共面； → （２）如果犪珗、犫珗是平面α上的互不平行的向量，点犆、犇不在平面α上，那么向量犆犇 与向量犪珗、犫珗不共面； （３）如果犪珗、犫珗是平面α上的互不平行的向量，点犆在平面α上，点犇不在平面α上， → 那么向量犆犇与向量犪珗、犫珗不共面． ２．如图，在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犃犅∶犃犃∶犃犇＝ １ １ １ １ １ → → ２∶１∶１，犈与犉分别是棱犃犅与犇犆的中点．设犃犃＝犪珗，犃犅＝犫珗， １ → 犃犇＝犮珝． → → （１）用向量犪珗、犫珗、犮珝表示犅犇、犃犉； １ １ → → （２）求犃犉·犅犆； １ １ → → （第２题） （３）判断犃犉与犇犈是否垂直． １ 习题３．２ 犃组 → １．如图，在平行六面体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，设犇犃＝犪珗， １ １ １ １ １ → → → 犇犅＝犫珗，犇犆＝犮珝．试用犪珗、犫珗、犮珝表示犇犅． １ １ １ １ ２．已知犪珗、犫珗是空间的非零向量，分析犪珗·犫珗＝｜犪珗｜·｜犫珗｜与 犪珗∥犫珗的关系． ３．在正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，犈是面犃′犅′犆′犇′的中 心．求下列各式中实数λ、 μ 、ν的值： （第１题） → → → → （１）犅犇′＝λ犃犇＋μ犃犅＋ν犃犃′； → → → → （２）犃犈＝λ犃犇＋μ犃犅＋ν犃犃′． ９ ９３ 空间向量及其应用 ４．如图，在棱长为１的正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犅犇 交 １ １ １ １ １ 平面犃犆犅于点犈．求证： １ （１）犅犇⊥平面犃犆犅； １ １ １ （２）｜犅犈｜＝ ｜犈犇｜． ２ １ （第４题） 犅组 １．在平面上有如下命题：“若犗为直线犃犅外的一点，则点犘在直线犃犅上的充要条 → → → 件是：存在实数λ、 μ ，满足犗犘＝λ犗犃＋μ犗犅，且λ＋μ＝１．”类比此命题，给出空间某 点在某一平面上的充要条件并加以证明． ２．如图，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犈、犉分别是 １ １ １ １ 犅犅、犇犅 的中点．求证：犈犉⊥平面犅犃犆． １ １ １ １ ３．在棱长为１的正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犈、犉分别是 １ １ １ １ １ 犇犇、犇犅的中点，点犌在棱犆犇上，｜犆犌｜＝ ｜犆犇｜，犎是 １ ４ 犆犌的中点． １ （１）求证：犈犉⊥犅犆； １ （２）求犈犉与犆犌所成角的余弦值； （第２题） １ （３）求线段犉犎的长． １０ ０３．３ 空间向量的坐标表示 ３．３ 空间向量的坐标表示 平面向量的坐标表示使得向量的运算可以转化为向量坐标的 代数运算，带来了很大的方便．空间向量也可以类似处理．但为 此要先建立空间直角坐标系． １ 空间直角坐标系 如图３３１，在正方体中，总可以找到从一个顶点出发的三 条两两互相垂直的棱，如犃犅、犃犇与犃犃．受此启示，从空间 １ 一点犗出发，可以作三条两两互相垂直的坐标轴，建立空间直 角坐标系犗狓狔狕（图３３２）． 图３３１ 图３３２ 点犗叫做坐标原点，三条坐标轴分别是横轴（即狓轴）、纵 轴（即狔轴）与竖轴（即狕轴）．我们约定坐标系采用右手制，即右 手翘起拇指、其他四指握拳做“点赞”状，当四指所指的方向是 狓轴正方向到狔轴正方向的旋转方向时，拇指所指为狕轴正方向 （图３３３）．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 狓犗狔平面，狔犗狕平面与狕犗狓平面．三个坐标平面把空间划分成 八个部分，每个部分称为一个卦限（ｏｃｔａｎｔ）（图３３４）． 图３３３ 图３３４ １ ０１３ 空间向量及其应用 给定空间一点犘，如图３３５，过点犘分别作与坐标平面 狔犗狕、狕犗狓与狓犗狔平行的平面，与坐标平面一起围出一个长方 不难看出，犃、 犅、犆分别是从点犘 体，所作的三个平面与狓轴、狔轴、狕轴的交点犃、犅、犆（它们 所作的坐标轴的垂线 犘犃、犘犅、犘犆（图上 都是上述长方体的顶点）在轴上的坐标，给出了点犘的坐标（狓，狔， 未画出）的垂足． 狕），其中狓、狔与狕分别称为点犘的横坐标、纵坐标与竖坐标． 图３３５ 有了空间直角坐标系，空间中的点与实数的有序三元组就建 立了一一对应． 例１ 在空间直角坐标系犗狓狔狕中给定点犘（７，６，４），求 该点关于坐标平面狓犗狔的对称点犘′的坐标． 解 如图３３６，过点犘分别作与三个坐标平面平行的平 面，与坐标平面一起围成了长方体犗犃犇犅犆犈犘犉，根据点犘的 坐标知道犃、犅、犆三点在轴上的坐标分别是７、６、４． 图３３６ 因为犘犇⊥平面狓犗狔，所以点犘关于坐标平面狓犗狔的对称 点犘′在犘犇延长线上，并使｜犘犇｜＝｜犇犘′｜． 为了求出点犘′的坐标，把长方体犗犃犇犅犆犈犘犉关于坐标平面 狓犗狔作对称：分别作犈犃、犆犗、犉犅的延长线到点犈′、犆′、犉′，使 ｜犈犃｜＝｜犃犈′｜，｜犆犗｜＝｜犗犆′｜，｜犉犅｜＝｜犅犉′｜，则得到长方体 犗犃犇犅犆犈犘犉关于坐标平面狓犗狔的对称长方体犗犃犇犅犆′犈′犘′犉′， １０ ２３．３ 空间向量的坐标表示 可见点犘′的坐标由点犃、犅、犆′在轴上的坐标给出．又因为点犆′在 犗狕轴上的坐标与点犆在犗狕轴上的坐标互为相反数，所以点犃、 犅、犆′在轴上的坐标分别是７、６、－４，即点犘′的坐标是（７，６，－４）． ２ 空间向量的坐标表示 模仿平面的情况，设犻珗、犼珗、犽珗分别是狓轴、狔轴、狕轴正方 向的单位向量．由于三个坐标轴两两互相垂直，因此这些向量之 间的数量积为 犻珗 ２＝犼珗 ２＝犽珗 ２＝１，犻珗·犼珗＝犼珗·犽珗＝犽珗·犻珗＝０． 给定任意一个向量狆珝．我们先通过平移把狆珝的起点放到坐标 → → 原点犗，这时得到的向量犗犘称为狆珝的位置向量．设犗犘的终点坐 标是犘（狓，狔，狕），则直接记狆珝＝（狓，狔，狕），并称向量的这种表示 法为它的坐标表示． → → → → → → → 从图３３５可以看出，犗犘＝犗犃＋犃犇＋犇犘＝犗犃＋犗犅＋犗犆， → → → 而根据点的坐标的定义，犗犃＝狓犻珗，犗犅＝狔犼珗，犗犆＝狕犽珗，所以 狆珝＝（狓，狔，狕）的实际含义是 狆珝＝狓犻珗＋狔犼珗＋狕犽珗． 有了这个表达式，就可以像平面向量那样推知：如果 （狓，狔，狕）、（狓，狔，狕）与（狓，狔，狕）是坐标表示的向量，λ是 １ １ １ ２ ２ ２ 实数，那么 （狓，狔，狕）±（狓，狔，狕）＝（狓±狓，狔±狔，狕±狕）， １ １ １ ２ ２ ２ １ ２ １ ２ １ ２ λ（狓，狔，狕）＝（λ狓，λ狔，λ狕）． 这说明：把向量用坐标表示后，两个向量相加（减），等于把它们 的对应坐标相加（减）；一个实数乘一个向量，等于把这个实数乘 它的坐标． → 一个向量狆珝＝（狓，狔，狕）的模就是它的位置向量犗犘的终点犘 与坐标原点犗的距离，所以 → ｜犗犘｜＝｜（狓，狔，狕）｜＝槡狓２＋狔２＋狕２． 如果向量不是由位置向量给出，也可以不通过位置向量 得到此向量的坐标表示：设有空间任意两点犘（狓，狔，狕）与 １ １ １ 犙（狓，狔，狕），则 ２ ２ ２ １ ０３３ 空间向量及其应用 → → → 犘犙＝犗犙－犗犘 ＝（狓，狔，狕）－（狓，狔，狕） ２ ２ ２ １ １ １ ＝（狓－狓，狔－狔，狕－狕）． ２ １ ２ １ ２ １ 即，一个向量的坐标等于这个向量的终点坐标减去它的起点 坐标． 有了上面两个公式，空间任意两点犘（狓，狔，狕）与 １ １ １ 犙（狓，狔，狕）的距离就很容易求出了，因为这两点的距离 ２ ２ ２ → → ｜犘犙｜等于向量犘犙＝（狓－狓，狔－狔，狕－狕）的模｜犘犙｜．由 ２ １ ２ １ ２ １ 此得到 → ｜犘犙｜＝槡（狓－狓） ２＋（狔－狔） ２＋（狕－狕） ２． ２ １ ２ １ ２ １ 最后，我们看两个空间向量的数量积如何用坐标表示． 给定两个向量犪珗＝（狓，狔，狕）与犫珗＝（狓，狔，狕），把它们写 １ １ １ ２ ２ ２ 成坐标轴正方向的单位向量的线性组合，就有犪珗＝狓犻珗＋狔犼珗＋ １ １ 狕犽珗与犫珗＝狓犻珗＋狔犼珗＋狕犽珗，于是 １ ２ ２ ２ 犪珗·犫珗＝（狓犻珗＋狔犼珗＋狕犽珗）·（狓犻珗＋狔犼珗＋狕犽珗）． １ １ １ ２ ２ ２ 对上式用分配律展开计算，并注意到犻珗、犼珗、犽珗是两两互相垂直的 向量，且犻珗 ２＝犼珗 ２＝犽珗 ２＝１，所以 犪珗·犫珗＝狓狓犻珗 ２＋狔狔犼珗 ２＋狕狕犽珗 ２＝狓狓＋狔狔＋狕狕． １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ 这就是我们所需要的两向量数量积公式 （狓，狔，狕）·（狓，狔，狕）＝狓狓＋狔狔＋狕狕． １ １ １ ２ ２ ２ １ ２ １ ２ １ ２ 两个非零向量犪珗＝（狓，狔，狕）与犫珗＝（狓，狔，狕）夹角的余弦 １ １ １ ２ ２ ２ 公式是 狓狓＋狔狔＋狕狕 ｃｏｓ〈犪珗，犫珗〉＝ １ ２ １ ２ １ ２ ． 槡狓２＋狔２＋狕２ 槡狓２＋狔２＋狕２ １ １ １ ２ ２ ２ 从两向量夹角的余弦公式和两向量平行的充要条件可分别得 到两个非零向量垂直与平行的充要条件： 犪珗⊥犫珗狓狓＋狔狔＋狕狕＝０； １ ２ １ ２ １ ２ 犪珗∥犫珗 存在λ∈犚，使得狓＝λ狓，狔＝λ狔，狕＝λ狕． １ ２ １ ２ １ ２ 例２ 如图３３７，给定正方体犃犅犆犇犃犅犆犇． １ １ １ １ （１）求对角线犆犃 与犆犃所成角的余弦值； 图３３７ １ （２）求证：犆犃⊥犅犇． １ １０ ４３．３ 空间向量的坐标表示 解 （１）以点犃为坐标原点，分别以射线犃犅、犃犇、犃犃 １ 为狓轴、狔轴、狕轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设正方体 的棱长为犪，可得有关点的坐标分别为犅（犪，０，０）、犇（０，犪，０）、 → → 犆（犪，犪，０）、犃 （０，０，犪），从而犆犃＝（－犪，－犪，０），犆犃 ＝ １ １ （－犪，－犪，犪）．于是 → → → → 犆犃·犆犃 犪２＋犪２ ２ 槡６ ｃｏｓ〈犆犃，犆犃〉＝ １ ＝ ＝ ＝ ． １ ｜犆  犃 → ｜｜犆  犃 → ｜ 槡犪２＋犪２槡犪２＋犪２＋犪２ 槡６ ３ １ 槡６ 所以，对角线犆犃 与犆犃所成角的余弦值为 ． １ ３ → → （２）证明：由犆犃＝（－犪，－犪，犪），犅犇＝（－犪，犪，０），得 １ → → 犆犃·犅犇＝（－犪） ２＋（－犪）犪＋０＝０． １ 所以，犆犃⊥犅犇． １ 练习３．３ １．讨论满足下列条件的点犘的坐标（狓，狔，狕）的特征： （１）点犘在坐标平面上； （２）点犘在坐标轴上． ２．求向量犪珗＝（０，１，０）与犫珗＝（１，－１，０）的夹角的大小． ３．已知向量犪珗＝（－犿，１，３）平行于向量犫珗＝（２，狀，１），求犿、狀． 习题３．３ 犃组 １．已知长方体犃犅犆犇犃犅犆犇 的棱长｜犃犅｜＝１４，｜犃犇｜＝６，｜犃犃｜＝１０，以这 １ １ １ １ １ 个长方体的顶点犃为坐标原点，分别以射线犃犅、犃犇、犃犃 为狓轴、狔轴、狕轴的正半 １ 轴，建立空间直角坐标系．求长方体各顶点的坐标． ２．已知犘犃垂直于正方形犃犅犆犇所在的平面，犕、犖分别是犃犅、犘犆的中点，且 ｜犘犃｜＝｜犃犇｜，分别以射线犃犅、犃犇、犃犘为狓轴、狔轴、狕轴的正半轴，建立空间直角 → → 坐标系．求向量犕犖、犇犆的坐标表示． ３．已知犪珗＝犻珗＋犼珗－４犽珗，犫珗＝犻珗－２犼珗＋２犽珗．求： （１）向量犪珗与犫珗的夹角的大小； （２）向量犪珗与犫珗所在直线的夹角的大小． ４．已知平行四边形犃犅犆犇中的三个顶点的坐标分别为犃（１，２，３）、犅（２，－１，５）与 犆（３，２，－５），求顶点犇的坐标． ５．设犪珗＝（犪，犪，犪），犫珗＝（犫，犫，犫），且犪珗≠犫珗．记｜犪珗－犫珗｜＝犿，求犪珗－犫珗与狓轴正方 １ ２ ３ １ ２ ３ 向向量夹角的余弦值． １ ０５３ 空间向量及其应用 犅组 → → １．在△犃犅犆中，已知犃犅＝（２，４，０），犅犆＝（－１，３，０）．求∠犃犅犆的大小． ２．给定空间三点犃（０，２，３），犅（－２，１，６），犆（１，－１，５）． → → （１）求以向量犃犅、犃犆为一组邻边的平行四边形的面积犛； → → （２）若向量犪珗与向量犃犅、犃犆都垂直，且｜犪珗｜＝槡３，求向量犪珗的坐标． ３．如图，在直三棱柱犃犅犆犃犅犆 中，｜犆犃｜＝｜犆犅｜＝１， １ １ １ ∠犅犆犃＝９０°，｜犃犃｜＝２，犕、犖分别是犃犅、犃犃的中点．建立 １ １ １ １ 适当的空间直角坐标系，解决如下问题： → （１）求犅犖的模； → → （２）求ｃｏｓ〈犅犃，犆犅〉； １ １ （３）求证：犃犅⊥犆犕． １ １ （第３题） １０ ６３．４ 空间向量在立体几何中的应用 空间向量在 ３ ．４ 立体几何中的应用 空间向量常常可为解决立体几何中的有关问题提供简捷方便 的方法．在本章３．２节的例２中就非常方便地利用向量证明了直 线与平面垂直的判定定理． 本节继续介绍空间向量在立体几何中的一些应用．如下一些 与直线和平面相关的向量是很重要的． 直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量． 平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量． 用向量方法解决有关直线和平面的问题，一般先把相应的问 题化为关于上述这些向量的问题然后加以解决．建立一个适当的 空间直角坐标系常常是有效的辅助手段，特别是在需要数值求解 的问题上． １ 判断空间直线、平面的位置关系 下面的结论是显然的： 两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两 条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直． 这样，就把直线间的平行或垂直关系化为向量的平行或垂直 关系．我们给出一个“简单”的例子———三垂线定理的向量证明， 它的关键就是把直线垂直问题化为向量垂直问题． 例１ 证明：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂 直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直． 已知 如图３４１，犘犃是平面α的一条斜线，犗犃是犘犃在 α上的投影，直线犾在平面α上． 求证 犾⊥犘犃当且仅当犾⊥犗犃． → 证明 根据投影的定义，犘犗⊥α，所以犘犗⊥犾．由于犘犗是 → 直线犘犗的方向向量，再取犾的任意一个方向向量犪珗，则犘犗⊥犪珗， 图３４１ → → → → 即犪珗·犘犗＝０．又因为犘犃＝犘犗＋犗犃，所以 → → → → → → 犪珗·犘犃＝犪珗·（犘犗＋犗犃）＝犪珗·犘犗＋犪珗·犗犃＝犪珗·犗犃． １ ０７３ 空间向量及其应用 由此推出 → → 犾⊥犘犃犪珗·犘犃＝０犪珗·犗犃＝０犾⊥犗犃． 现在我们把直线与平面的平行与垂直关系用向量描述 如下： 直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面 的法向量；不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件 是直线的方向向量垂直于平面的法向量． 上述第一个结论不过是平面法向量定义的变形．为得出第二 个结论，过直线作一个平面与给定平面相交．根据直线与平面平 行的判定定理与性质定理，直线平行于给定平面的充要条件是该 直线平行于交线；又因为交线在给定平面上，它垂直于此平面的 法向量，所以直线平行于交线的充要条件是该直线垂直于这个法 向量．于是，直线平行于一个平面的充要条件是该直线垂直于该 平面的法向量． 两个平面的垂直与平行也可以用向量描述如下： 两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直；两个 平面平行的充要条件是它们的法向量平行． 这个结论的证明留作练习题． 例２ 如图３ ４ ２，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中， １ １ １ １ 求证： （１）犃犆⊥平面犃犅犇，犃犆⊥平面犆犇犅； １ １ １ １ １ （２）平面犃犅犇∥平面犆犇犅． １ １ １ 证明 （１）设正方体的棱长为犪．以点犇为原点，分别以 → → → 犇犃、犇犆与犇犇的方向为狓、狔与狕轴的正方向，建立空间直角 １ 坐标系，则得到正方体各顶点的坐标如下： 图３４２ 犃（犪，０，０），犅（犪，犪，０），犆（０，犪，０），犇（０，０，０）， 犃（犪，０，犪），犅（犪，犪，犪），犆（０，犪，犪），犇（０，０，犪）． １ １ １ １ 据此求出直线犃犆、犃犅、犇犆、犃犇与犅犆的方向向量分别为 １ １ １ １ １ → 犃犆＝（－犪，犪，犪）， １ → → 犃犅＝犇犆＝（０，犪，－犪）， １ １ → → 犃犇＝犅犆＝（－犪，０，－犪）． １ １ １０ ８３．４ 空间向量在立体几何中的应用 计算得到 → → → → → → → → 犃犆·犃犅＝犃犆·犇犆＝犃犆·犃犇＝犃犆·犅犆＝０， １ １ １ １ １ １ １ １ 所以 犃犆⊥平面犃犅犇，犃犆⊥平面犆犇犅． １ １ １ １ １ → （２）平面犃犅犇与平面犆犇犅 有共同的法向量犃犆，所以 １ １ １ １ 这两个平面平行． 练习３．４（１） １．试证明： （１）两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直； （２）两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行． ２．如图，在平面α与平面 β 上分别有不共线的三点犃、犅、犆与犃、犅、犆，假设 １ １ １ 犃犃、犅犅 与犆犆 交于一点犗，且｜犃犗｜＝｜犗犃｜，｜犅犗｜＝｜犗犅｜，｜犆犗｜＝｜犗犆｜．求证： １ １ １ １ １ １ 平面α∥平面 β． （第２题） （第３题） 槡２ ３．如图，△犃犅犆中，犃犆＝犅犆＝ 犃犅，平面犃犅犈犇⊥平面犃犅犆，犃犅犈犇是边长为 ２ １的正方形，犌、犉分别是犈犆、犅犇的中点． 求证： （１）犉犌∥平面犃犅犆； （２）犃犆⊥平面犈犅犆． ２ 求距离 我们先证明点到平面距离的一般公式． 如果犃、犅是空间中的两个点，其中点犅在平面α上，狀珗是 平面α的一个法向量（图３４３），那么点犃到平面α的距离犱是 → → → → 犃犅在狀珗的方向上的投影犃犆＝｜犃犅｜ｃｏｓ〈狀珗，犃犅〉狀珬 的模，其中 图３４３ ０ １ ０９３ 空间向量及其应用 狀珬是狀珗的单位向量（称为平面α的单位法向量），于是 ０ → → 犱＝｜｜狀珬｜｜犃犅｜ｃｏｓ〈狀珗，犃犅〉｜． ０ 用向量的数量积表示，即 → → ｜狀珗·犃犅｜ 犱＝｜狀珬·犃犅｜＝ ． ０ ｜狀珗｜ 例３ 如图３ ４ ４，在长方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中， ｜犃犅｜＝２，｜犃犇｜＝｜犃犃′｜＝１． （１）求顶点犅′到平面犇′犃犆的距离； （２）求直线犅犆′到平面犇′犃犆的距离． 解 （１）如图３４４，建立空间直角坐标系，则可得有关点 图３４４ 的坐 标 分 别 为 犇′（０，０，０）、犃（１，０，１）、犆（０，２，１）、 → → 犅′（１，２，０）．所以犇′犃＝（１，０，１），犇′犆＝（０，２，１）． → 设平面犇′犃犆的法向量为狀珗＝（狌，狏，狑），则狀珗·犇′犃＝０， → 平面的法向量不 狀珗·犇′犆＝０．把各向量的坐标代入，计算得到狌＋狑＝０， 是唯一的，所以可以 ２狏＋狑＝０．可以取狏＝１，从而得到平面犇′犃犆的一个法向量为 给它的某个坐标一个 值，再确定其他坐标 狀珗＝（２，１，－２）． 的值． → 因为犅′犆＝（－１，０，１），根据上面得到的点到平面的距离公 式知，点犅′到平面犇′犃犆的距离为 → ｜狀珗·犅′犆｜ ｜２×（－１）＋（－２）×１｜ ４ 犱＝ ＝ ＝ ． ｜狀珗｜ 槡２２＋１２＋（－２） ２ ３ → → （２）因为犅犆′＝犃犇′，所以犅犆′∥犃犇′，从而犅犆′∥平面 犇′犃犆，问题转化为求点犆′（０，２，０）到平面犇′犃犆的距离．因 → 为犆′犆＝（０，０，１）， 所 以 直 线犅犆′到 平 面犇′犃犆的 距 离 为 → ｜狀珗·犆′犆｜ ２ ＝ ． ｜狀珗｜ ３ 求平面的平行线与平面的距离，只要求平行线上一点到平面 的距离；求两个平行平面的距离，也只要求其中一个平面上的一 如何求两条异面 直线之间的距离？ 个点到另一个平面的距离． 下一道例题继续用例２的题设．回忆一下，例２已经证明了 题中的平面犃犅犇与平面犆犇犅 是平行的． １ １ １ 例４ 设正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 的棱长为犪，求平行 １ １ １ １ 平面犃犅犇与犆犇犅 之间的距离． １ １ １ 解 求平行平面犃犅犇与犆犇犅 之间的距离，只要求平面 １ １ １ １１ ０３．４ 空间向量在立体几何中的应用 犆犇犅 上一点（例如犇）到平面犃犅犇的距离．如图３４５，建 １ １ １ １ 立空间直角坐标系，可得点的坐标 犇（０，０，０），犇（０，０，犪），犃（犪，０，犪），犅（犪，犪，０）， １ １ 于是 → → → 犇犇＝（０，０，－犪），犇犃＝（犪，０，犪），犇犅＝（犪，犪，０）． １ １ 设狀珗＝（狓，狔，狕）是平面犃犅犇的一个法向量，则 １ → 烄狀珗·犇犃＝犪狓＋犪狕＝０， １ 烅 烆狀珗·犇  犅 → ＝犪狓＋犪狔＝０． 图３４５ 因为犪≠０，所以 烄狓＋狕＝０， 烅 烆狓＋狔＝０． 不妨取狕＝１，则狓＝－１，狔＝１，就得到平面犃犅犇的一个 １ 法向量狀珗＝（－１，１，１）．这样，点犇 到平面犃犅犇的距离为 １ １ → 狀珗·犇犇 ｜（－１）×０＋１×０＋１×（－犪）｜ 槡３ 犱＝ １ ＝ ＝ 犪． 狀珗 槡（－１） ２＋１２＋１２ ３ 槡３ 因此，平行平面犃犅犇与平面犆犇犅 之间的距离为 犪． １ １ １ ３ 练习３．４（２） １．已知三棱锥犃犅犆犇的三条侧棱犃犅、犃犆、犃犇两两垂直，且｜犃犅｜＝１，｜犃犆｜＝ ２，｜犃犇｜＝３．求顶点犃到平面犅犆犇的距离． ２．在习题３．４（１）第３题的题设条件下，求直线犉犌与平面犃犅犆的距离． ３ 求角的大小 例５ 如图３４６，在正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，犈、 犉分别是犃犇、犃犅的中点．求直线犅′犈与犆′犉所成角的大小． → 解 设正方体的棱长为犪．以点犇′为原点，分别以犇′犃′、 → → 犇′犆′与犇′犇的方向为狓、狔与狕轴的正方向，建立空间直角坐 （ ） 犪 标系，则可得有关点的坐标分别为犅′（犪，犪，０）、犈 ，０，犪、 ２ （ ） 犪 犆′（０，犪，０）、犉犪， ，犪，因此，直线犅′犈与犆′犉的方向向量分 ２ 图３４６ 别是 （ ） （ ） → 犪 → 犪 犅′犈＝ － ，－犪，犪与犆′犉＝犪，－ ，犪． ２ ２ １ １１３ 空间向量及其应用 从而 → → → → 犅′犈·犆′犉 ４ ｃｏｓ〈犅′犈，犆′犉〉＝ ＝ ． ｜犅  ′犈 → ｜｜犆  ′犉 → ｜ ９ ４ 所以，直线犅′犈与犆′犉所成角的大小为ａｒｃｃｏｓ ． ９ 例５中的两条直线是异面直线．事实上，用向量方法求 两条直线所成的角时，无须区分它们是否为异面直线．但要 注意，如果两条直线犾与犾的方向向量分别是狉珤与狉珤，当求 １ ２ １ ２ π 出的方向向量的夹角〈狉珤，狉珤〉＞ 时，犾 与犾 所成的角θ是它 １ ２ ２ １ ２ 的补角π－〈狉珤，狉珤〉．因为我们约定两条直线所成角的取值在０ １ ２ π 和 之间．所以，用方向向量狉珤与狉珤表达的两条直线所成角θ ２ １ ２ 的大小的公式为 ｜狉珤·狉珤｜ ｃｏｓθ＝ １ ２ ． ｜狉珤｜｜狉珤｜ １ ２ 立体几何中常见的有关角的问题还有直线与平面所成的角和 平面与平面所成的角（二面角）．确定这两类角的大小，都可以通 过转化为直线的方向向量和平面的法向量两个向量夹角的问题加 以解决．当然，为得到最终的解答，必须知道所要讨论的角与转 化后的向量夹角的关系． 先考虑直线与平面所成的角．从图３４７可以看出，直线与 平面垂线（法向量所在直线）所成的角和直线与平面所成的角的关 系：如果直线与平面所成的角为θ，那么直线与平面垂线（法向 π 量所在直线）所成的角为 －θ．因此，如果直线的一个方向向量 ２ 图３４７ 为狉珗，平面的一个法向量为狀珗，那么直线与平面所成的角θ的大 小由如下公式确定： （ ） π ｜狉珗·狀珗｜ ｓｉｎθ＝ｃｏｓ －θ＝ ． ２ ｜狉珗｜｜狀珗｜ 例６ 如图３４８，在四棱锥犘犃犅犆犇中，犘犃⊥平面 犃犅犆犇，犃犅⊥犃犇，犅犆∥犃犇，｜犘犃｜＝｜犃犅｜＝｜犅犆｜＝１， ｜犆犇｜＝槡２，∠犆犇犃＝４５°．求直线犘犅与平面犘犆犇所成角的 图３４８ 大小． １１ ２３．４ 空间向量在立体几何中的应用 解 因为犘犃⊥平面犃犅犆犇，犃犅⊥犃犇，则可取点犃为原 → → → 点，分别以犃犅、犃犇与犃犘的方向为狓、狔与狕轴的正方向，建 立空间直角坐标系．作犆犈∥犅犃交犃犇于点犈，则｜犆犈｜＝１．又 ｜犆犇｜＝槡２，由勾股定理，易知△犆犇犈是等腰直角三角形，从而 ｜犈犇｜＝１，｜犃犇｜＝２．于是，可得有关点的坐标分别为犃（０，０，０）、 犅（１，０，０）、犆（１，１，０）、犇（０，２，０）、犘（０，０，１），所以 → → → 犘犅＝（１，０，－１）、犆犇＝（－１，１，０）、犘犇＝（０，２，－１）． → 设平面犘犆犇的法向量为狀珗＝（狌，狏，狑），则狀珗·犆犇＝０， → 狀珗·犘犇＝０．即－狌＋狏＝０，２狏－狑＝０．取狏＝１，从而得到平面 犘犆犇的一个法向量为狀珗＝（１，１，２）． （ ） π 设直线犘犅与平面犘犆犇所成角的大小为θ０≤θ≤ ，则 ２ （ ） → π ｜狀珗·犘犅｜ 槡３ ｓｉｎθ＝ｃｏｓ －θ＝ ＝ ． ２ ｜狀珗｜｜犘  犅 → ｜ ６ 槡３ 所以，直线犘犅与平面犘犆犇所成角的大小为ａｒｃｓｉｎ ． ６ 练习３．４（３） １．如图，四边形犃犅犆犇是矩形，犘犃⊥平面犃犅犆犇，犈是线段犘犃的中点．已知 ｜犘犃｜＝２，｜犃犅｜＝槡３，｜犅犆｜＝１．求异面直线犅犈与犘犆所成角的大小． （第１题） （第２题） ２．如图，在棱长为１的正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犈是棱犃犅上的动点． １ １ １ １ （１）求证：犇犃⊥犈犇； １ １ （２）确定点犈的位置，使得直线犇犃 与平面犆犈犇 所成的角是４５°． １ １ 现在考虑二面角的平面角和它的两个半平面所在平面的法向 量夹角大小的关系．如图３４９，一个平面的法向量垂直于该平 面上的所有直线，所以法向量夹角的两条边垂直于二面角的平面 角相应的边．从平面几何知道，这样两个角或者相等，或者互补． １ １３３ 空间向量及其应用 （１）θ＝φ 的情形 （２）θ＝π－φ 的情形 图３４９ 因此，如果狀珬与狀珬分别是两个平面的法向量，那么这两个 １ ２ 平面所成的锐二面角（或直二面角）θ的大小由如下公式确定： ｜狀珬·狀珬｜ ｃｏｓθ＝ １ ２ ． ｜狀珬｜｜狀珬｜ １ ２ 例７ 如图３４１０（１），在正四棱锥犘犃犅犆犇中，｜犘犃｜＝ ｜犃犅｜＝２槡２，犈、犉分别为犘犅、犘犇的中点．若平面犃犈犉与棱 犘犆交于点犌，求平面犃犈犌犉与平面犃犅犆犇所成二面角的大小． （１） （２） 图３４１０ 解 如图３４１０（２），连接犃犆、犅犇交于点犗，则犗犃、 → 犗犅、犗犘两两互相垂直．以点犗为坐标原点，分别以犗犃、 → → 犗犅、犗犘的方向为狓、狔与狕轴的正方向，建立空间直角坐 标系． 因为｜犘犃｜＝｜犃犅｜＝２槡２，由勾股定理，易知｜犗犃｜＝｜犗犅｜＝ ｜犗犘｜＝２，从而可得有关点的坐标分别为犃（２，０，０）、犅（０，２，０）、 犆（－２，０，０）、犇（０，－２，０）、犘（０，０，２）、犈（０，１，１）、犉（０，－１，１）． → → 所以犃犈＝（－２，１，１），犃犉＝（－２，－１，１）． → 设平面犃犈犌犉的法向量为狀珗＝（狌，狏，狑），由狀珗·犃犈＝０与 １１ ４３．４ 空间向量在立体几何中的应用 → 狀珗·犃犉＝０，推出关系式－２狌＋狏＋狑＝０与－２狌－狏＋狑＝０．可取 狌＝１，解得狏＝０，狑＝２，从而得到平面犃犈犌犉的一个法向量 狀珗＝（１，０，２）． 平面犃犅犆犇的法向量显然可取为犿珤＝（０，０，１），从而 犿珤·狀珗 ２ ２槡５ ｃｏｓ〈犿珤，狀珗〉＝ ＝ ＝ ． ｜犿珤｜｜狀珗｜ １×槡５ ５ ２槡５ 所以，平面犃犈犌犉与平面犃犅犆犇所成的二面角是ａｒｃｃｏｓ ５ ２槡５ 与π－ａｒｃｃｏｓ （前者是锐二面角）． ５ 练习３．４（４） １．在正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，犈、犉分别是犅犆、犆犇的中点．求二面角 犅犅′犈犉的大小． ２．如图，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，求平面犇犃犅与平面犃犅犆犇 所成二面 １ １ １ １ １ １ １ １ １ 角的正弦值． （第２题） （第３题） ３．如图，在正四棱锥犘犃犅犆犇中，底面边长为２，高为３．求二面角犃犘犅犆的 大小． 习题３．４ 犃组 １．在正四棱柱犃犅犆犇犃犅犆犇 中，｜犃犃｜＝２｜犃犅｜＝２，犈为犃犃 的中点．求异 １ １ １ １ １ １ 面直线犅犈与犆犇所成角的大小． １ ２．在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犕、犖、犘分别是犆犆、犅犆、犆犇 的中点． １ １ １ １ １ １ １ １ １ 求证：平面犕犖犘∥平面犃犅犇． １ ３．在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，求犅犅与平面犃犆犇所成角的大小． １ １ １ １ １ １ １ １５３ 空间向量及其应用 ４．如图，已知正三棱柱犃犅犆犃犅犆 的各条棱长均为犪，犇是棱犆犆 的中点．求证： １ １ １ １ 平面犃犅犇⊥平面犃犅犅犃． １ １ １ （第４题） （第５题） ５．如图，已知犘为平面犃犅犆外一点，犃犘、犃犅、犃犆两两互相 垂直，过犃犆的中点犇作犈犇⊥平面犃犅犆，且｜犈犇｜＝１，｜犘犃｜＝２， 槡３ ｜犃犆｜＝２，多面体犅犘犃犇犈的体积是 ．求平面犘犅犈与平面犃犅犆 ３ 所成二面角的大小． ６．如图，在直棱柱犃犅犆犃犅犆 中，｜犃犃｜＝｜犃犅｜＝｜犃犆｜＝２， １ １ １ １ 犃犅⊥犃犆，犇、犈、犉分别是犃犅、犆犆、犅犆的中点． １ １ １ （１）求犃犈与平面犇犈犉所成角的大小； （第６题） （２）求犃到平面犇犈犉的距离． 犅组 １．如图，在空间四边形犃犅犆犇中，｜犃犆｜＝｜犃犇｜，∠犅犃犆＝∠犅犃犇．求证：犆犇⊥犃犅． （第１题） （第２题） １ ２．如图，在三棱锥犘犃犅犆中，犘犃⊥平面犃犅犆，犃犅⊥犃犆，｜犘犃｜＝｜犃犆｜＝ ｜犃犅｜， ２ 犕、犛分别为犘犅、犅犆的中点，犖为犃犅上一点，｜犅犖｜＝３｜犖犃｜． （１）求证：犆犕⊥犛犖； （２）求二面角犘犅犆犃的大小． ３．在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，设犃犅、犇犇的中点分别为犕、犖．求直线犅犕 １ １ １ １ １ １ 与犆犖所成角的大小． １１ ６３．４ 空间向量在立体几何中的应用 ４．过边长为１的正方形犃犅犆犇的顶点犃，作长度为１的线段 犃犈⊥平面犃犅犆犇．求平面犃犇犈与平面犅犆犈所成二面角的大小． ５．如图，在棱长为１的正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犈、犉 １ １ １ １ 分别为棱犃犃、犅犅 的中点，犌为棱犃犅 上的一点．求点犌到 １ １ １ １ 平面犇犈犉的距离． １ （第５题） １ １７３ 空间向量及其应用 内容提要 １．空间向量的概念与运算 （１）空间向量的定义和相关概念（模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负 向量等）与平面向量情形相同． （２）对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用．特别地， 平面向量运算（加法、减法、与实数的乘法、数量积）的定义与性质直接适用于空间 向量． ２．向量共面的充要条件与空间向量基本定理 （１）向量共面的充要条件：如果犲珤与犲珤是两个不平行的向量，那么空间中的向量犪珗 １ ２ 与犲珤、犲珤共面的充要条件是：存在唯一的一对实数λ与 μ ，使得犪珗＝λ犲珤＋μ犲珤． １ ２ １ ２ （２）空间向量基本定理：如果犲珤、犲珤与犲珤是不共面的向量，那么对于空间中任一向量 １ ２ ３ 犪珗，存在唯一的一组实数λ、 μ 与ν，使得犪珗＝λ犲珤＋μ犲珤＋ν犲珤．也就是说，空间任意三个不 １ ２ ３ 共面的向量都组成空间向量的一个基． ３．空间向量的坐标表示 （１）空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系，把向量狆珝的起点放在坐标原点，该 向量就直接用它的终点坐标（狓，狔，狕）表示为狆珝＝（狓，狔，狕），这个表示的意义是：狆珝是坐标 轴正方向上的单位向量犻珗、犼珗与犽珗的线性组合狆珝＝狓犻珗＋狔犼珗＋狕犽珗． → （２）给定空间两点犃（狓，狔，狕）与犅（狓，狔，狕），则犃犅＝（狓－狓，狔－狔，狕－狕）． １ １ １ ２ ２ ２ ２ １ ２ １ ２ １ ４．坐标表示下的空间向量运算 设向量犪珗＝（狓，狔，狕），犫珗＝（狓，狔，狕），则 １ １ １ ２ ２ ２ （１）｜犪珗｜＝槡狓２＋狔２＋狕２ ； １ １ １ （２）犪珗±犫珗＝（狓±狓，狔±狔，狕±狕）； １ ２ １ ２ １ ２ （３）λ犪珗＝（λ狓，λ狔，λ狕），λ∈犚； １ １ １ （４）犪珗·犫珗＝狓狓＋狔狔＋狕狕． １ ２ １ ２ １ ２ ５．空间向量的夹角、平行与垂直 设向量犪珗＝（狓，狔，狕），犫珗＝（狓，狔，狕）均为非零向量，则 １ １ １ ２ ２ ２ 犪珗·犫珗 狓狓＋狔狔＋狕狕 （１）ｃｏｓ〈犪珗，犫珗〉＝ ＝ １ ２ １ ２ １ ２ ； ｜犪珗｜｜犫珗｜ 槡狓２＋狔２＋狕２ 槡狓２＋狔２＋狕２ １ １ １ ２ ２ ２ （２）犪珗∥犫珗犪珗＝λ犫珗，λ∈犚狓＝λ狓，狔＝λ狔，狕＝λ狕，λ∈犚； １ ２ １ ２ １ ２ （３）犪珗⊥犫珗犪珗·犫珗＝０狓狓＋狔狔＋狕狕＝０． １ ２ １ ２ １ ２ ６．空间向量在立体几何中的应用 空间中的直线和平面可以分别通过方向向量和法向量与空间向量联系起来，从而把立 体几何的许多问题化为向量的问题加以解决． １１ ８复习题 （１）空间直线与平面之间的平行与垂直 ① 两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它 们的方向向量垂直． ② 直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；平面外一条直线 和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量． ③ 两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量；两个平面 平行的充要条件是它们的法向量平行． （２）求距离 ① 平面外一点犃到平面的距离犱由公式 → ｜狀珗·犃犅｜ 犱＝ ｜狀珗｜ 给出，其中狀珗是平面的一个法向量，犅是平面上任意一点． ② 平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理． （３）求角的大小 ① 具有方向向量狉珤与狉珤的两条直线的所成角θ的大小由如下公式确定： １ ２ ｜狉珤·狉珤｜ ｃｏｓθ＝ １ ２ ． ｜狉珤｜｜狉珤｜ １ ２ ② 具有方向向量狉珗的直线与具有法向量狀珗的平面的所成角θ的大小由如下公式确定： ｜狉珗·狀珗｜ ｓｉｎθ＝ ． ｜狉珗｜｜狀珗｜ ③ 具有法向量狀珬与狀珬的两个平面所成的锐二面角（或直二面角）θ的大小由如下公式 １ ２ 确定： ｜狀珬·狀珬｜ ｃｏｓθ＝ １ ２ ． ｜狀珬｜｜狀珬｜ １ ２ 复习题 犃组 １．求连接点犃（狓，狔，狕）与点犅（狓′，狔′，狕′）的线段犃犅的中点犕的坐标． ２．设正四面体犃犅犆犇的棱长为犪，犈为犅犆的中点，犉为犆犇 → → 的中点．求犅犉·犃犈． ３．给定点犃（１，０，０）、犅（３，１，１）、犆（２，０，１）与点犇（５，－４，３）． → → → → （１）求犃犇在犃犅、犅犆、犆犃方向上的投影向量； （２）求点犇到平面犃犅犆的距离． ４．如图，在正三棱柱犃犅犆犃犅犆 中，｜犃犅｜＝槡２｜犃犃｜， １ １ １ １ 犇是犃犅 的中点，点犈在犃犆 上，且犇犈⊥犃犈． （第４题） １ １ １ １ １ １９３ 空间向量及其应用 （１）求证：平面犃犇犈⊥平面犃犆犆犃； １ １ （２）求直线犃犇和平面犃犅犆 所成角的大小． １ ５．已知正四棱锥的体积为１２，底面对角线的长为２槡６．求侧面与底面所成二面角的 大小． ６．如图，已知犃犅犆犇犃犅犆犇 是底面边长为１的正四棱柱，犗 是犃犆 和犅犇 １ １ １ １ １ １ １ １ １ 的交点． （１）设犃犅 与底面犃犅犆犇 所成角的大小为α，二面角犃犅犇 犃的大小为 β． １ １ １ １ １ １ １ １ 求证：ｔａｎβ＝槡２ｔａｎα； ４ （２）若点犆到平面犃犅犇 的距离为 ，求此正四棱柱的高． １ １ ３ （第６题） （第７题） ７．如图，在直三棱柱犃犅犆犃犅犆 中，∠犃犆犅＝９０°，｜犃犆｜＝｜犅犆｜＝｜犆犆｜＝２． １ １ １ １ （１）求证：犃犅⊥犅犆； １ １ （２）求点犅到平面犃犅犆 的距离． １ １ ８．如图，四棱锥犘犃犅犆犇的底面犃犅犆犇为梯形，犃犇∥犅犆，犃犅⊥犅犆，｜犃犅｜＝１， ｜犃犇｜＝３，∠犃犇犆＝４５°，且犘犃⊥平面犃犅犆犇，｜犘犃｜＝１． （１）求异面直线犘犅与犆犇所成角的大小； （２）求四棱锥犘犃犅犆犇的体积． （第８题） （第９题） ９．如图，在直三棱柱犃犅犆犃犅犆 中，∠犅犃犆＝９０°，｜犃犅｜＝｜犃犆｜＝犪，｜犃犃｜＝２犪， １ １ １ １ １ 犇为犅犆的中点，犈为犆犆 上的点，且｜犆犈｜＝ ｜犆犆｜． １ ４ １ １２ ０复习题 （１）求证：犅犈⊥平面犃犇犅； １ （２）求二面角犅犃犅 犇的大小． １ 犅组 π １．在长方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，｜犃犅｜＝｜犅犆｜＝２，犃犇与犅犆所成的角为 ．求 １ １ １ １ １ １ ２ 犅犆与平面犅犅犇犇所成角的大小． １ １ １ ２．如图，在平行六面体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，点犈、犉分别在犅犅和犇犇上，且 １ １ １ １ １ １ １ ２ ｜犅犈｜＝ ｜犅犅｜，｜犇犉｜＝ ｜犇犇｜． ３ １ ３ １ （１）求证：犃、犈、犆、犉四点共面； １ → → → → （２）若犈犉＝λ犃犅＋μ犃犇＋ν犃犃，求λ＋μ＋ν的值． １ （第２题） （第３题） ３．如图，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犈、犉分别是犅犆、犃犇 的中点． １ １ １ １ １ １ （１）求证：四边形犅犈犇犉是菱形； １ （２）求异面直线犃犆与犇犈所成角的大小． １ ４．在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犈、犉分别是犅犆、犆犆 的中点． １ １ １ １ １ （１）求证：点犇 在平面犃犈犉上； １ （２）求平面犃犈犉犇 与底面犃犅犆犇所成二面角的大小． １ 拓展与思考 １．如图，犃犅犆犇犃犅犆犇 为正方体，动点犘在对角线犅犇 １ １ １ １ １ ｜犇犘｜ 上，记 １ ＝λ． ｜犇犅｜ １ （１）求证：犃犘⊥犅犆； １ π （２）若异面直线犃犘与犇犅 所成角为 ，求λ的值； １ １ ４ （３）当∠犃犘犆为钝角时，求λ的取值范围． （第１题） １ ２１３ 空间向量及其应用 ２．如图，平行六面体犃犅犆犇犃犅犆犇 的底面 １ １ １ １ 犃犅犆犇是正方形，犗为底面的中心，犃犗⊥平面犃犅犆犇， １ ｜犃犅｜＝｜犃犃｜＝槡２． １ （１）求证：犃犆⊥平面犅犅犇犇； １ １ １ （２）求平面犗犆犅 与平面犅犅犇犇所成二面角的 １ １ １ 大小． （第２题） １２ ２４ 第 章 对数列的研究是基于现实生产、生活的需 要．例如，在若干离散的时间节点，记录某种 数量的变化，并按时间先后顺序排列起来就得 数列 到一个数列．数列是一个重要的数学概念，上 至一个国家每年的国内生产总值（ＧＤＰ），下至 一个人每年的身高或体重，都可以用数列表 示．数列也是学习微积分的一个必要的基础． 本章采用从特殊到一般、从具体到抽象的方 法，先研究两类特殊的数列———等差数列和等 比数列，再在此基础上研究一般的数列．同时， 介绍数学归纳法这一与数列有关的重要方法， 并通过给出一个利用迭代序列求平方根的方 法，揭示算法在求近似解中的重要作用． 书书书４ 数列 ４．１ 等差数列 １ 等差数列及其通项公式 在现实生活中，我们经常见到按一定顺序排列起来的一列 数，称之为数列．我们将数列中的每一个数叫做这个数列的 项．排在第一位的数称为这个数列的第１项（通常叫做首项），排 在第二位的数称为这个数列的第２项，……，排在第狀位的数称 为这个数列的第狀项，等等． 数列的一般形式可以记成 犪，犪，犪，…，犪，…， １ ２ ３ 狀 其中犪 是数列的第狀项，下标狀是犪 的序数．上面的数列常简 狀 狀 记为｛犪｝． 狀 观察以下数列，看它们有什么共同的特点． （１）月历（图４１１）最后一列数依次为： ３，１０，１７，２４，３１． ① 图４１１ 图４１２ （２）按一定规律堆放在一起的食品罐头（图４１２），共堆放 ７层，从下到上各层的罐头数依次为： ２１，１８，１５，１２，９，６，３． ② （３）全国统一的鞋号中，常见的成年女鞋的尺寸（单位：ｃｍ） 由小至大依次为： ２２．５，２３，２３．５，２４，２４．５，２５，２５．５，２６． ③ 可以看到，对于数列①，从第２项起，每一项与其前一项的 １２ ４４．１ 等差数列 差都等于７；对于数列②，从第２项起，每一项与其前一项的差都 等于－３；对于数列③，从第２项起，每一项与其前一项的差都等 于０．５． 这些数列有一个共同特点：从第２项起，每一项与其前一项 的差都等于同一个常数． 定义 如果一个数列从第２项起，每一项与其前一项的差都 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｓｅｑｕｅｎｃｅ）， 由三个数组成的 等差数列可以看成最 而这个常数叫做等差数列的公差（ｃｏｍｍｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ）．公差通常用 简单的等差数列． 小写字母犱表示． 给定一个数列犪，犃，犫．若犪，犃，犫是等差数列，由定义 犪＋犫 犪＋犫 如果三个数成等 可得犃－犪＝犫－犃，从而犃＝ ．反之，若犃＝ ，则 差数列，那么等差中 ２ ２ 项必等于其前后两项 ２犃＝犪＋犫，即犃－犪＝犫－犃，从而犪，犃，犫成等差数列． 的算术平均数． 这时，犃叫做犪与犫的等差中项． 如果等差数列｛犪｝的首项为犪，公差为犱，由定义可得 狀 １ 犪－犪 ＝犱（狀≥２）， 狀 狀－１ 从而 犪－犪＝犱， ２ １ 犪－犪＝犱， ３ ２ 犪－犪＝犱， ４ ３ … 犪－犪 ＝犱（狀≥２）． 狀 狀－１ 把这（狀－１）个等式相加得 犪－犪＝（狀－１）犱， 狀 １ 由此 犪＝犪＋（狀－１）犱（狀≥２）． 狀 １ 当狀＝１时，容易验证上面的等式也成立．因此，当狀为正 整数时，等差数列｛犪｝的第狀项可以用如下公式表示： 狀 犪＝犪＋（狀－１）犱． 狀 １ 像这种用数列的序数狀表示相应项犪 的公式称为数列｛犪｝的通 狀 狀 项公式．而上式就是等差数列｛犪｝的通项公式． 狀 例１ 已知等差数列 －５，－９，－１３，…． （１）求该等差数列的第２０项； （２）－４０１是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几 项；如果不是，请说明理由． １ ２５４ 数列 解 设该等差数列为｛犪｝，由犪＝－５，犪＝－９，得该等差 狀 １ ２ 数列的公差犱＝－９－（－５）＝－４．由等差数列的通项公式，得 犪＝－５－４（狀－１）＝－４狀－１． 狀 （１）由上述通项公式可得，该等差数列的第２０项为 犪 ＝－４×２０－１＝－８１． ２０ （２）假设－４０１是这个等差数列中的第狀项，则有 －４０１＝－４狀－１， 解得 狀＝１００． 所以，－４０１是这个等差数列的第１００项． 例２ 假设体育场一角看台的座位从第２排起每一排都比 前一排多相等数目的座位．若第３排有１０个座位，第９排有２８ 个座位，则第１２排有多少个座位？ 解 由题意可知，体育场该角看台每排的座位数成等差数 列，设该数列为｛犪｝，其公差为犱，则犪＝１０，犪＝２８．由等差 狀 ３ ９ 数列的通项公式，得 烄犪＋２犱＝１０， １ 烅 烆犪＋８犱＝２８， １ 解得 烄犪＝４， １ 烅 烆犱＝３． 所以，犪 ＝４＋（１２－１）×３＝３７． １２ 答：体育场该角看台的第１２排有３７个座位． 例３ 已知犪＝狆狀＋狇是数列｛犪｝的通项公式，其中狆和 狀 狀 狇均为常数．试判断数列｛犪｝是否为等差数列，并证明你的结论． 狀 分析 为了判断｛犪｝是否为等差数列，可以利用等差数列的 狀 定义，只要判断犪－犪 （狀≥２）的值是否为一个与狀无关的常 狀 狀－１ 数即可． 解 任取数列｛犪｝中的相邻两项犪 与犪 （狀≥２），求差得 狀 狀 狀－１ 犪－犪 ＝（狆狀＋狇）－［狆（狀－１）＋狇］＝狆（狀≥２）． 狀 狀－１ 狆是一个与狀无关的常数，所以｛犪｝是等差数列，且是以狆＋狇 狀 为首项、以狆为公差的等差数列． 练习４．１（１） １．下列数列中成等差数列的是 （ ） １ １ １ １ Ａ．０，１，３，５，７； Ｂ．１， ， ， ， ； ３ ５ ７ ９ １２ ６４．１ 等差数列 １ １ ５ Ｃ．１，槡２，槡３，２，槡５； Ｄ．１， ，－ ，－１，－ ． ３ ３ ３ ２．设数列｛犪｝为等差数列，其公差为犱． 狀 （１）已知犪＝－１，犱＝４，求犪； １ ８ １ （２）已知犪＝８，犱＝－ ，求犪； ７ ３ １ （３）已知犪＝９，犱＝－２，犪＝－１５，求狀． １ 狀 ３．已知数列｛犪｝是等差数列，正整数犿、狀、狆、狇满足犿＋狀＝狆＋狇．求证：犪＋犪＝ 狀 犿 狀 犪 ＋犪． 狆 狇 ２ 等差数列的前狀项和 据说２００多年前，著名数学家高斯的算术老师在课堂上曾经 提出了下面的问题： 求１＋２＋３＋…＋１００的值． 少年高斯用下面的方法迅速算出了正确的答案： １＋２＋３＋…＋１００＝？ １００＋９９＋９８＋…＋１＝？ 上述两式相加得：１０１＋１０１＋１０１＋…＋１０１＝２×？ 高 斯 （Ｃ．Ｆ．Ｇａｕｓｓ， １０１×１００ 所以，结果为 ＝５０５０． ２ １７７７—１８５５）德 国 数 高斯的计算方法实际上解决了求等差数列１，２，３，…， 学家．研究的内容涉 及数学的诸多领域， 狀，… 前１００项和的问题． 并对天文学和大地测 事实上，古代的中国人和希腊人也是这么求等差数列之和 量学的研究有突出贡 的．例如，宋朝数学家杨辉提出了一个问题：“今有圭垛草一堆， 献．他在世界上享有 顶上一束，底阔八束．问共几束？答：３６束．”他的计算方法可 崇高的声望，被誉为 以用图４１３表示． “数学王子”． 图４１３ 一般地，将数列｛犪｝的前狀项和记作犛，即 狀 狀 １ ２７４ 数列 ∑狀 犛＝犪＋犪＋…＋犪＝ 犪． 狀 １ ２ 狀 犻 犻＝１ 根据等差数列的通项公式，上式可以写为 犛＝犪＋（犪＋犱）＋…＋［犪＋（狀－２）犱］＋［犪＋（狀－１）犱］．① 狀 １ １ １ １ 受高斯算法的启示，我们又可将犛 表示为 狀 犛 ＝犪＋犪 ＋…＋犪＋犪 狀 狀 狀－１ ２ １ ＝犪＋（犪－犱）＋…＋［犪－（狀－２）犱］＋［犪－（狀－１）犱］．② 狀 狀 狀 狀 由①＋②，得 ２犛 ＝（犪＋犪）＋（犪＋犪）＋…＋（犪＋犪）＋（犪＋犪） 狀 烏１ 狀 １ 狀 烐 １ 狀 １ 狀烑 狀个 ＝狀（犪＋犪）． １ 狀 于是就可得到等差数列｛犪｝的前狀项和公式 狀 特别地 狀（犪＋犪） 犛＝ １ 狀 ． １＋２＋３＋…＋狀＝ 狀（狀＋１） ． 狀 ２ ２ 由于犪＝犪＋（狀－１）犱，上述公式又可以写作 狀 １ 狀（狀－１） 犛＝狀犪＋ 犱． 狀 １ ２ 例４ 设数列｛犪｝为等差数列，其前狀项和为犛． 狀 狀 （１）已知犪＝５０，犪＝１５，求犛； １ ８ ８ （２）已知犪＝０．７，犪＝１．５，求犛； １ ２ ７ （３）已知犪＝７，求犛． ４ ７ 解 （１）由等差数列的前狀项和公式，得 ８×（５０＋１５） 犛＝ ＝２６０． ８ ２ （２）设公差为犱，则犱＝犪－犪＝０．８，于是由等差数列的前 ２ １ 狀项和公式，有 ７×６ 犛＝７×０．７＋ ×０．８＝２１．７． ７ ２ （３）设公差为犱，则犪＝犪－３犱，犪＝犪＋３犱．从而 １ ４ ７ ４ ７（犪＋犪） ７［（犪－３犱）＋（犪＋３犱）］ 犛＝ １ ７ ＝ ４ ４ ＝７犪＝４９． ７ ２ ２ ４ 例５ 已知等差数列｛犪｝的前１０项和犛 ＝３１０，前２０项 狀 １０ 和犛 ＝１２２０，由此可以确定数列｛犪｝前３０项和犛 吗？ ２０ 狀 ３０ １２ ８４．１ 等差数列 解 设该等差数列｛犪｝的公差为犱．由等差数列的前狀项和 狀 狀（狀－１） 公式犛 ＝狀犪＋ 犱，可得 狀 １ ２ 烄１０犪＋４５犱＝３１０， １ 烅 烆２０犪＋１９０犱＝１２２０， １ 解得 烄犪＝４， １ 烅 烆犱＝６． ３０×（３０－１） 所以，犛 ＝３０×４＋ ×６＝２７３０． ３０ ２ 例６ 已知数列｛犪｝的前狀项和为犛＝狀２＋２狀． 狀 狀 如果一个数列 （１）求数列｛犪｝的通项公式； ｛犪｝的前狀项和为犛 狀 狀 狀 （２）求证：数列｛犪｝是等差数列． ＝狆狀２＋狇狀＋狉，其中 狀 狆、狇、狉均为常数， 解 （１）当狀≥２时， 这个数列是等差数列 吗？ 犛 ＝（狀－１） ２＋２（狀－１）， 狀－１ 从而 犪＝犛－犛 ＝狀２＋２狀－［（狀－１） ２＋２（狀－１）］＝２狀＋１． 狀 狀 狀－１ 而当狀＝１时，犪＝犛＝１２＋２×１＝３亦满足上式． １ １ 所以，数列｛犪｝的通项公式为犪＝２狀＋１． 狀 狀 （２）证明：由（１）中的结果，当狀≥２时， 犪 ＝２（狀－１）＋１＝２狀－１， 狀－１ 从而 犪－犪 ＝（２狀＋１）－（２狀－１）＝２． 狀 狀－１ 所以，数列｛犪｝是一个以３为首项、以２为公差的等差 狀 数列． 练习４．１（２） ∑狀 １．计算 ２犻． 犻＝１ ２．设数列｛犪｝为等差数列，其前狀项和为犛． 狀 狀 （１）已知犪＝－４，犪＝－１８，求犛； １ ８ ８ （２）已知犪＝－４，犪 ＝１８，求犛 ． １ １２ １５ ３．已知数列｛犪｝的前狀项和犛＝狀２－３狀，求证：数列｛犪｝是等差数列． 狀 狀 狀 １ ２９４ 数列 习题４．１ 犃组 １．分别求下列两数的等差中项： ８－槡２ ８＋槡２ （１） 与 ； ２ ２ （２）（犪＋犫） ２ 与 （犪－犫） ２． ２．设数列｛犪｝为等差数列，其公差为犱． 狀 （１）已知犪＝２，犱＝３，求犪 ； １ １０ （２）已知犪＝３，犪＝２１，犱＝２，求狀； １ 狀 （３）已知犪＝１２，犪＝２７，求犱； １ ６ １ （４）已知犪＝９，犱＝－ ，求犪． ６ ２ １ ３．已知数列｛犪｝为等差数列，其公差为犱．求证：对任意给定的正整数犿、狀，都有 狀 犪＝犪＋（狀－犿）犱． 狀 犿 ４．设数列｛犪｝为等差数列，其公差为犱． 狀 （１）已知犪＝３１，犪＝７６，求犪 及犱； ２ ７ １ （２）已知犪＋犪＝１２，犪＝７，求犪． １ ６ ４ ９ ５．设数列｛犪｝为等差数列，其公差为犱，前狀项和为犛． 狀 狀 （１）已知犪＝２０，犪＝５４，犛＝９９９，求犱及狀； １ 狀 狀 １ （２）已知犱＝ ，犛 ＝６２９，求犪 及犪 ； ３ ３７ １ ３７ ５ １ （３）已知犪＝ ，犱＝－ ，犛＝－５，求狀及犪； １ ６ ６ 狀 狀 （４）已知犱＝２，犪 ＝－１０，求犪 及犛 ． １５ １ １５ ６．设数列｛犪｝为等差数列，其前狀项和为犛． 狀 狀 （１）已知犪＝１０，犛＝５，求犛； ６ ５ ８ （２）已知犛＝２，犛＝－６，求犛 ． ４ ９ １２ ７．设数列｛犪｝为等差数列，其前狀项和为犛． 狀 狀 （１）已知犪＋犪 ＝１，求犛 ； ４ １４ １７ （２）已知犛 ＝４２０，求犪 ； ２１ １１ （３）已知犪＋犪＋犪＝－３，犪 ＋犪 ＋犪 ＝６，求犛 ； １ ２ ３ １８ １９ ２０ ２０ （４）已知犛＝２，犛＝６，求犛 ． ４ ８ １６ １３ ０４．１ 等差数列 ８．求证：“△犃犅犆三个内角的度数可以构成等差数列”是“△犃犅犆中有一个内角为 ６０°”的充要条件． ９．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根９节的竹子，自上而下各节的容积成等差 数列．若最上面４节的容积共３升，最下面３节的容积共４升，则第５节的容积为多少升？ 犅组 犪 ＋犪 １．（１）在等差数列｛犪｝中，等式犪＝ 狀－１ 狀＋１（狀≥２）是否都成立？ 狀 狀 ２ 犪 ＋犪 （２）在数列｛犪｝中，如果对于任意的正整数狀（狀≥２），都有犪＝ 狀－１ 狀＋１，那么 狀 狀 ２ 数列｛犪｝一定是等差数列吗？ 狀 ２．在等差数列｛犪｝中，其前狀项和为犛．已知公差犱＝２，犛 ＝４００． 狀 狀 ２０ （１）写出 ∑１０ 犪 的具体展开式，并求其值； ２犻－１ 犻＝１ （２）用求和符号表示犪＋犪＋犪＋…＋犪 ，并求其值． ２ ４ ６ ２０ ３．在等差数列｛犪｝中，已知犪＝－３，１１犪＝５犪．求数列｛犪｝的前狀项和犛 的最 狀 １ ５ ８ 狀 狀 小值． ４．已知等差数列｛犪｝，其前狀项和为犛．若存在两个不相等的正整数狆和狇，满足 狀 狀 犛＝狇，犛＝狆，求犛 ． 狆 狇 狆＋狇 ５．已知一个凸多边形各个内角的度数可以排列成一个公差为５的等差数列，且最小角 为１２０°，该多边形是几边形？ ６．某产品按质量分成１０个档次，生产最低档次产品的利润是８元／件．每提高一个档 次，每件产品的利润增加２元，但产量每天减少３件．如果在某段时间内，最低档次（记 作第１档次）的产品每天可生产６０件，那么在该段时间内，生产第几档次的产品可获得最 大利润？ １ ３１４ 数列 ４．２ 等比数列 １ 等比数列及其通项公式 观察以下数列，看这些数列有什么共同特点． （１）－１的１次幂、２次幂、３次幂、４次幂……依次为 －１，１，－１，１，…． ① （２）科克雪花曲线．即将一个边长为１的等边三角形的每 条边三等分，以中间一段为边向外作等边三角形，并擦去中间 一段，如图４２１，如此继续下去得到图形的每条边的长度依 次为 １ １ １ １， ， ， ，…． ② ３ ９ ２７ … 图４２１ （３）图４２１中的每个图形的边数依次为 ３，１２，４８，１９２，…． ③ 可以看到，对于数列①，从第２项起，每一项与其前一项的 比都等于－１；对于数列②，从第２项起，每一项与其前一项的 １ 比都等于 ；对于数列③，从第２项起，每一项与其前一项的比 ３ 都等于４． 这些数列有一个共同特点：从第２项起，每一项与其前一项 的比都等于同一个常数． 定义 如果一个数列从第２项起，每一项与其前一项的比都 既是等差数列又 等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ 是等比数列的数列存 在吗？如果存在，你 ｓｅｑｕｅｎｃｅ），而这个常数叫做等比数列的公比（ｃｏｍｍｏｎｒａｔｉｏ）．公 能举出例子吗？ 比通常用小写字母狇（狇≠０）表示． １３ ２４．２ 等比数列 在两个非零实数犪与犫中间插入一个数犌，使犪，犌，犫成 犌 犫 等比数列．根据等比数列的定义，有 ＝ ，从而犌２＝犪犫，即 如果三个数成等 犪 犌 比数列，那么等比中 项的平方必等于其前 犌＝槡犪犫或犌＝－槡犪犫．这两种情形下，犪，犌，犫均为等比数 后两项的积． 列．此时，犌叫做犪与犫的等比中项． 根据等比数列的定义，以犪 为首项、以狇为公比的等比数 １ 犪 列｛犪｝满足 狀 ＝狇（狀≥２）．因此，当狀≥２时，有 狀 犪 狀－１ 犪 犪 犪 犪 ２＝狇， ３＝狇， ４＝狇，…， 狀 ＝狇． 犪 犪 犪 犪 １ ２ ３ 狀－１ 犪 由此可得， 狀＝狇狀－１．所以，犪＝犪狇狀－１ （狀≥２）．而当狀＝１ 犪 狀 １ １ 时，上面的等式也显然成立． 因此，当狀为正整数时，等比数列｛犪｝的第狀项可表示为 狀 犪＝犪狇狀－１． 狀 １ 这称为等比数列｛犪｝的通项公式． 狀 例１ 设数列｛犪｝为等比数列． 狀 （１）已知犪＝３，公比狇＝－２，求犪； １ ６ （２）已知犪＝２０，犪＝１６０，求犪． ３ ６ 狀 解 （１）由等比数列的通项公式，得 犪＝３×（－２） ６－１＝－９６． ６ （２）设等比数列｛犪｝的公比为狇，那么 狀 烄犪狇２＝２０， １ 烅 烆犪狇５＝１６０． １ 解得 烄犪＝５， １ 烅 烆狇＝２． 所以，犪＝犪狇狀－１＝５×２狀－１． 狀 １ 例２ 某种放射性物质不断衰变为其他物质，设每经过一 年剩余的这种放射性物质是年初的８４％．这种放射性物质的半衰 期约为多少？（结果精确到１年） 解 设这种物质最初的质量是１，而经过狀年，剩余量是犪． 狀 由条件可知，数列｛犪｝是一个等比数列，且犪＝０．８４， 狀 １ 公比狇＝０．８４．当犪＝０．５时，则０．８４狀＝０．５． 狀 在上式两边同时取以１０为底的对数，并求解得 １ ３３４ 数列 ｌｇ０．５ 狀＝ ≈４． ｌｇ０．８４ 答：这种物质的半衰期大约为４年． 例３ （１）已知犪，犫，犮成等差数列，其公差为犱．求 证：３犪 ，３犫 ，３犮 成等比数列． （２）已知正实数犪，犫，犮成等比数列，其公比为狇．求证： ｌｇ犪，ｌｇ犫，ｌｇ犮成等差数列． 证明 （１）因为犪，犫，犮成等差数列，所以２犫＝犪＋犮．从而 ３２犫＝３犪＋犮＝３犪 ·３犮 ， ３犫 所以，３犪 ，３犫 ，３犮 成等比数列，其公比为 ＝３犫－犪＝３犱． ３犪 （２）因为正实数犪，犫，犮成等比数列，所以犫２＝犪犮．在上式 两边同时取以１０为底的对数，得 ２ｌｇ犫＝ｌｇ犪＋ｌｇ犮， 犫 所以，ｌｇ犪，ｌｇ犫，ｌｇ犮成等差数列，其公差为ｌｇ犫－ｌｇ犪＝ｌｇ ＝ 犪 ｌｇ狇． 练习４．２（１） １．下列数列中成等比数列的是 （ ） １ １ １ Ａ．１， ， ， ； Ｂ．１，１，－１，－１； ４ ９ １６ 槡２ １ 槡２ １ １ Ｃ．１， ， ， ； Ｄ． ，２， ，２． ２ ２ ４ ２ ２ ２．设数列｛犪｝为等比数列，其公比为狇． 狀 （１）已知犪＝－３，狇＝２，求犪； １ ５ （２）已知犪＝１，狇＝２，犪＝１６，求狀； １ 狀 １ （３）已知犪＝ ，犪＝９，求狇； １ ３ ７ ３ （４）已知狇＝－ ，犪＝－２７，求犪． ２ ４ １ ３．已知数列｛犪｝是等比数列，正整数犿、狀、狊、狋满足犿＋狀＝狊＋狋．求证：犪·犪＝ 狀 犿 狀 犪·犪． 狊 狋 ２ 等比数列的前狀项和 国际象棋起源于古代印度．发明者将棋盘划分为８行８ 列，构成６４个方格．相传国王要奖励该发明者，问他有什么 １３ ４４．２ 等比数列 要求．发明者说：“请在棋盘的第１个格子里放上１颗麦粒， 在第２个格子里放上２颗麦粒，在第３个格子里放上４颗麦 粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放 的麦粒数的２倍，直到放完６４个格子为止．请给我足够的麦 粒以实现上述要求．”这位发明者要了多少颗麦粒？国王能实 现他的要求吗？ 这实际上是求以１为首项、以２为公比的等比数列的前６４ 项的和： 犛 ＝１＋２＋２２＋…＋２６２＋２６３． ６４ 如果用公比２乘上述等式的两边，就得到 ２犛 ＝２＋２２＋２３ …＋２６３＋２６４． ６４ 可以发现，上面两式中有许多相同的项，两式相减可以消去这些 项，得到 犛 ＝２６４－１． ６４ 这是一个二十位数，将这些小麦折算成质量 （每千粒麦子的 质量设为４０ｇ），会超过７０００亿吨．即使到小麦年产量比较高的 现代，全世界小麦年总产量也远低于１０亿吨，国王根本满足不 了发明者的要求． 一般地，设等比数列｛犪｝的公比为狇，其前狀项和为 狀 犛＝犪＋犪狇＋犪狇２＋…＋犪狇狀－１． 狀 １ １ １ １ 将上式两边同乘公比狇，可得 狇犛＝犪狇＋犪狇２＋犪狇３＋…＋犪狇狀． 狀 １ １ １ １ 将两式相减，可得 犛－狇犛＝犪－犪狇狀 ， 狀 狀 １ １ 即 （１－狇）犛＝犪（１－狇狀 ）． 狀 １ 由此得到，当狇≠１时，等比数列｛犪｝的前狀项和为 狀 犪（１－狇狀 ） 犛＝ １ ． 狀 １－狇 综上所述，可以得到以犪 为首项、以狇（狇≠１）为公比的等 １ 比数列的前狀项和公式为 犪（１－狇狀 ） 犛＝ １ （狇≠１）． 狀 １－狇 因为犪＝犪狇狀－１ ，所以上式又可写为 狀 １ 犪－犪狇 犛＝ １ 狀 （狇≠１）． 狀 １－狇 １ ３５４ 数列 而当狇＝１时，因为犪＝犪＝…＝犪，所以犛＝狀犪． １ ２ 狀 狀 １ 例４ 设数列｛犪｝为等比数列，其前狀项和为犛． 狀 狀 １ （１）已知犪＝－４，公比狇＝－ ，求犛 ； １ ２ １０ １ １ （２）已知犪＝２７，犪＝ ，公比狇＝－ ，求犛． １ 狀 ２４３ ３ 狀 解 （１）根据等比数列的前狀项和公式，得 （ ） 熿 １ １０燄 －４× １－ － 燀 ２ 燅 ３４１ 犛 ＝ （ ） ＝－ ． １０ １ １２８ １－ － ２ （２）根据等比数列的前狀项和公式，得 （ ） １ １ ２７－ × － 犪－犪狇 ２４３ ３ ４９２１ 犛＝ １ 狀 ＝ （ ） ＝ ． 狀 １－狇 １ ２４３ １－ － ３ ７ 例５ 在等比数列｛犪｝中，其前狀项和为犛．已知犛＝ ， 狀 狀 ３ ２ ６３ 犛＝ ，求犪． ６ ２ 狀 解 设该等比数列的公比为狇．若狇＝１，则犛＝２犛．这与 ６ ３ 已知条件矛盾，所以狇≠１．从而有 犪（１－狇３ ） ７ 犛＝ １ ＝ ， ３ １－狇 ２ 犪（１－狇６ ） ６３ 犛＝ １ ＝ ， ６ １－狇 ２ 将上面两个等式相除，得 １＋狇３＝９． １ 于是狇＝２，从而由上面关于犛 的式子就可得犪＝ ，因此 ３ １ ２ １ 犪＝ ×２狀－１＝２狀－２． 狀 ２ 例６ 已知数列｛犪｝的前狀项和为犛＝３狀＋犪．当常数犪 狀 狀 若数列｛犪｝的前 狀项和为犛＝犃 狀 狇狀＋犅 满足什么条件时，数列｛犪｝是等比数列？ 狀 狀 （狇≠０、１），当犃、犅 解 当狀＝１时，可得犪＝犛＝３＋犪．而当狀≥２时， 满足什么条件时，数 １ １ 列｛犪 狀 ｝是等比数列？ 犪＝犛－犛 ＝（３狀＋犪）－（３狀－１＋犪）＝２×３狀－１． 狀 狀－１ 狀 从而 犪 ２×３狀 狀＋１＝ ＝３，狀≥２． 犪 ２×３狀－１ 狀 １３ ６４．２ 等比数列 犪 于是，当且仅当 ２＝３时，数列｛犪｝是等比数列．由上式， 犪 狀 １ 犪 犪＝３＋犪，而犪＝６，由 ２＝３，解得犪＝－１． １ ２ 犪 １ 因此，当犪＝－１时，数列｛犪｝是等比数列． 狀 练习４．２（２） １．设数列｛犪｝为等比数列，其前狀项和为犛． 狀 狀 （１）已知犪＝３，公比狇＝２，求犛； １ ６ １ １ （２）已知犪＝－２．７，公比狇＝－ ，犪＝ ，求犛． １ ３ 狀 ９０ 狀 ２．已知等比数列｛犪｝的前５项和为１０，前１０项和为５０．求这个数列的前１５项和． 狀 ３．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不 为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思 为：有一个人要走３７８里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前 一天的一半，走了６天后到达目的地．请问第二天走了多少里． 中国古代庄周所著的《庄子·天下篇》说：“一尺之棰，日取其 半，万世不竭．”其含义是：一根一尺长的木棒，每天截取其一半， 这样的过程可以无限进行下去．如果从第一天开始截取，把木棒每 天剩余的长度记录下来，可得到下面一个数列： （ ） １ １ １ １ １ 狀 ， ， ， ，…， ，…． ２ ４ ８ １６ ２ 一个数列｛犪｝中， （ ） 如果当狀无限增 狀 大时， １ 随着狀无限增大，此数列的第狀项犪＝ 狀的值越来越趋近于 犪的值越来越趋近于 狀 ２ 某 狀 个确定的数犪，那 么称这个数列的极限 零，从而犪 的极限为零．记作ｌｉｍ犪＝０． 狀 狀 为犪，记作ｌｉｍ犪＝犪， 狀→＋∞ 狀→＋∞ 狀 上述数列的前狀项之和为 其中记号ｌｉｍ是英文 （ ） 单词ｌｉｍｉｔ（极限）的缩 １ １ １ １ 狀 写． 犛 ＝ ＋ ＋ ＋…＋ 狀 ２ ４ ８ ２ （ ） １熿 １ 狀燄 １－ ２燀 ２ 燅 ＝ １ １－ ２ （ ） １ 狀 ＝１－ ． ２ （ ） １ 随着狀无限增大， 狀的值越来越趋近于零，犛 的值越来越趋 ２ 狀 近于１，从而犛 的极限为１，记作ｌｉｍ犛＝１． 狀 狀 狀→＋∞ １ ３７４ 数列 更一般地，对于首项为犪、公比为狇的等比数列： 犪＝犪狇狀－１ （狀为正整数）， 狀 当０＜｜狇｜＜１时，此数列的前狀项和为 犛 ＝犪＋犪狇＋…＋犪狇狀－１ 狀 犪 ＝ （１－狇狀 ）． １－狇 随着狀无限增大，狇狀 的值越来越趋近于零，犛 的值越来越趋近 狀 犪 犪 犪 于 ，从而犛 的极限为 ，记作ｌｉｍ犛＝ ． １－狇 狀 １－狇 狀 １－狇 狀→＋∞ 综上所述，以犪为首项、狇为公比的等比数列，当公比０＜ 如果一个数列｛犪｝ ｜狇｜＜１时，有 狀 的前狀项和为犛，则 狀 ∑＋∞ 犪表示ｌｉｍ犛． 犻＝１ 犻 狀→＋∞ 狀 ∑＋∞ 犪狇犻－１＝ 犪 ． １－狇 犻＝１ 例７ 化下列循环小数为分数： ·· ·· （１）０．２９； （２）０．４３１． 解 （１）０．２ · ９ · ＝０．２９＋０．２９×０．０１＋０．２９×（０．０１） ２＋…＋ ０．２９×（０．０１） 狀－１＋…． 相应的无穷等比数列是０．２９，０．２９×０．０１，０．２９×（０．０１） ２ ，…， 类似地，我们可 ０．２９×（０．０１） 狀－１ ，…，其首项是０．２９，公比是０．０１，于是有 以证明：０．９·＝１． ０．２９ ２９ ·· ０．２９＝ ＝ ． １－０．０１ ９９ ·· （２）０．４３１＝０．４＋０．０３１＋０．０３１×０．０１＋０．０３１×（０．０１） ２＋…＋ ０．０３１×（０．０１） 狀－１＋…． 上述等式的右边除０．４外，相应的无穷等比数列是０．０３１，０．０３１× ０．０１，０．０３１×（０．０１） ２ ，…，０．０３１×（０．０１） 狀－１ ，…，其首项是 ０．０３１，公比是０．０１，于是有 ０．０３１ ４ ３１ ４２７ ·· ０．４３１＝０．４＋ ＝ ＋ ＝ ． １－０．０１ １０ ９９０ ９９０ 例８ 如图４２２，正方形犃犅犆犇的边长等于１，连接 这个正方形各边的中点得到一个小正方形犃犅犆犇；又连 １ １ １ １ 接正方形犃犅犆犇 各边的中点得到一个更小的正方形 １ １ １ １ 犃犅犆犇；如此无限继续下去．求所有这些正方形的周长的 ２ ２ ２ ２ 和与面积的和． 图４２２ 解 由题设，可得到第１个正方形的边长犪＝１，第２个 １ １３ ８４．２ 等比数列 槡２ 正方形的边长犪＝ ，……，第狀个正方形的边长犪＝ ２ ２ 狀 （ ） （ ） 犪 犪 槡２犪 槡 ２ ２ 狀－１ ＋ 狀－１ ＝ 狀－１（狀≥２）． ２ ２ ２ 所有这些正方形的边长组成的数列为 （ ） 槡２ １ 槡２ 槡２ 狀－１ １， ， ， ，…， ，…， ２ ２ ４ ２ 从而所有这些正方形的周长组成的数列为 （ ） 槡２ 狀－１ ４，２槡２，２，槡２，…，４· ，…． ２ 槡２ 这是一个以４为首项、以 为公比的等比数列，因此所有这些 ２ 正方形的周长的和为 （ ） ∑＋∞ 槡２ 犻－１ ４ ４· ＝ ＝８＋４槡２． ２ 槡２ 犻＝１ １－ ２ 所有这些正方形的面积组成的数列为 （ ） １ １ １ １ 狀－１ １， ， ， ，…， ，…． ２ ４ ８ ２ １ 这是以１为首项、以 为公比的等比数列，因此所有这些正方形 ２ 的面积的和为 （ ） ∑＋∞ １ 犻－１ １ ＝ ＝２． ２ １ 犻＝１ １－ ２ 练习４．２（３） （ ） １．计算 ∑＋∞ １ 犻 ． ３ 犻＝１ ２．化下列循环小数为分数： ·· （１）０．１３； ·· （２）１．３３２． ３．如图，已知等边三角形犃犅犆的面积等于１，连接这个三角形 各边的中点得到一个小的三角形犃犅犆，又连接三角形犃犅犆 各 １ １ １ １ １ １ 边的中点得到一个更小的三角形犃犅犆，这样的过程可以无限继续 ２ ２ ２ 下去．求所有三角形犃犅犆（犻＝１，２，３，…）的面积的和． 犻 犻犻 （第３题） １ ３９４ 数列 习题４．２ 犃组 １．求下列各组数的等比中项： （１）槡３＋１与槡３－１； （２）犪４＋犪２犫２ 与犫４＋犪２犫２ （犪≠０，犫≠０）． ２．设数列｛犪｝为等比数列，其公比为狇． 狀 （１）已知犪＝８，犪＝１，求犪、狇； ５ ８ １ （２）已知犪＝２，狇＝－１，求犪 ； ３ １５ （３）已知犪＝１２，犪＝６，求犪 ． ４ ８ １２ ３．已知数列｛犪｝为等比数列，其公比为狇．判断下列数列是否为等比数列．如果是， 狀 求其公比；如果不是，请说明理由． （１）数列｛２犪｝； 狀 （２）数列｛犪＋犪 ｝． 狀 狀＋１ ４．已知数列｛犪｝和数列｛犫｝为项数相同的等比数列，公比分别为狇 和狇．求证：数 狀 狀 １ ２ 列｛犪犫｝为等比数列，其公比为狇狇． 狀狀 １ ２ ５．已知直角三角形的斜边长为犮，两条直角边长分别为犪和犫（犪＜犫），且犪，犫，犮 成等比数列．求犪∶犮的值． ６．某产品经过４次革新后，成本由原来的１０５元下降到６０元．如果这种产品每次革新 后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是多少？（结果精确到０．１％） ７．设数列｛犪｝为等比数列，其公比为狇，前狀项和为犛． 狀 狀 （１）已知犪＝５，狇＝３，求犛； １ ５ １ １ （２）已知犪＝ ，狇＝ ，求犛； ８ １６ ２ ８ １ １ （３）已知犪＝－２，狇＝－ ，犪＝ ，求犛； １ ２ 狀 １０２４ 狀 １８９ １ （４）已知犛＝ ，狇＝ ，求犪． ６ ４ ２ １ ８．设等比数列｛犪｝的公比狇＜１，前狀项和为犛．已知犪＝２，犛＝５犛，求数列｛犪｝ 狀 狀 ３ ４ ２ 狀 的通项公式． ９．一个球从１００ｍ高处自由落下，假设每次着地后又跳回到原高度的一半再落下． （１）当它第１０次着地时，求它经过的总路程； （２）它可能在某次着地时，经过的总路程超过３００ｍ吗？如果可能，请说明是第几次 着地首次超过３００ｍ；如果不可能，请说明理由． １４ ０４．２ 等比数列 犅组 犪＋犫＋犮 犪犫＋犫犮＋犮犪 槡 １．已知犫是犪与犮的等比中项，且犪、犫、犮同号．求证： ， ， ３ ３ 槡３犪犫犮成等比数列． ２．已知犪≠犫，且犪、犫都不为０．设狀为正整数，写出∑狀 犪狀－犻犫犻 的具体展开式，并证 犻＝０ 明 ∑狀 犪狀－犻犫犻＝ 犪狀＋１－犫狀＋１ ． 犪－犫 犻＝０ １－狇狀 ３．已知对任意给定的正整数狀，数列｛犪｝的前狀项和犛＝ （狇≠０且狇≠１）．判 狀 狀 １－狇 断｛犪｝是否为等比数列，并说明理由． 狀 （ ） １ 犪 ４．已知数列｛犪｝为等差数列，数列｛犫｝满足犫＝ 狀（狀为正整数）． 狀 狀 狀 ２ （１）求证：数列｛犫｝为等比数列； 狀 ２１ １ （２）若犫＋犫＋犫＝ ，犫犫犫＝ ，求数列｛犪｝的通项公式． １ ２ ３ ８ １ ２ ３ ８ 狀 ５．如图，已知直角三角形犃犗犅的两条直角边犃犗和犅犗的长 分别为５和１２，点犗、犗、…、犗、…在边犗犅上，半圆犗 １ ２ 狀 １ 与犃犗和犃犅所在直线均相切，半圆犗、犗、…、犗、…与犃犅 ２ ３ 狀 所在直线相切，且与半圆犗、犗、…、犗 、…分别外切．设 １ ２ 狀－１ 这些半圆的半径分别为狉、狉、…、狉、…． （第５题） １ ２ 狀 （１）求证：数列｛狉｝为等比数列； 狀 （２）求前狀个半圆弧长的总和犔； 狀 （３）利用前狀个半圆弧长的总和犔 的表达式，计算ｌｉｍ犔． 狀 狀 狀→＋∞ １ ４１４ 数列 ４．３ 数列 １ 数列的概念与性质 除了我们前面学过的等差数列、等比数列这两类特殊的数列 外，在现实世界中，许多事物的数量也可以排成一列数． （１）如图４３１，能够表示成三角形点阵的点数依次为 １，３，６，１０，１５，２１，２８，…． ① … 图４３１ （２）如图４３２，能够表示成正方形点阵的点数依次为 １，４，９，１６，２５，…． ② … 图４３２ （３）目前通用的第五套人民币纸币的面额（单位：元）按照从 大到小的顺序排列依次为 １００，５０，２０，１０，５，１． ③ （４）医生要对病人的体温进行２４小时监控，某天从０时开 始记录，每隔４小时记录一次，共记录７次，监测到病人的体温 （单位：℃）依次为 ３９．２，３８．３，３７．５，３７．０，３６．８，３７．２，３７．６． ④ 槡２的不足近似值： （５）将槡２的不足近似值按小数位数从少到多的顺序排列依次为 按照所需要的精确度 截取指定数位后，直接 １，１．４，１．４１，１．４１４，１．４１４２，１．４１４２１，…． ⑤ 略去后面的数位，就得 像这样，按照一定顺序排列的一列数称为一个数列 到了一个小于槡２的近似 值，称为槡２的不足近似 （ｎｕｍｂｅｒｓｅｑｕｅｎｃｅ）．数列与以往学过的数集相比，有下述不同 值． 点：集合中的元素是无序的，而数列的项必须按一定顺序排列， １４ ２４．３ 数列 即为有序的；此外，集合中的元素要求互异，而数列的项可以是 相同的． 给定一个数列｛犪｝，当项的序数狀确定时，相应的项犪 也 狀 狀 就确定了．于是，项犪 与项的序数狀之间存在着对应关系，这 狀 种对应关系可描述如下 项的序数 １ ，２ ，３ ，４ ，…，狀，…． ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 项 犪 ，犪 ，犪 ，犪 ，…，犪 ，…． １ ２ ３ ４ 狀 项数有限的数列叫做有穷数列（ｆｉｎｉｔｅｓｅｑｕｅｎｃｅ）；项数无限的 数列叫做无穷数列（ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｅｑｕｅｎｃｅ）．从第２项起，每一项都不小 公差为正数的等 差数列为严格增数列； 于其前一项的数列｛犪｝叫做增数列，此时犪 ≥犪 （狀为正整 公差为负数的等差数 狀 狀＋１ 狀 列为严格减数列；公 数）成立．特别地，从第２项起，每一项都大于其前一项的数列 差为零的等差数列为 ｛犪｝叫做严格增数列，此时犪 ＞犪 （狀为正整数）成立．相应 常数列． 狀 狀＋１ 狀 地，从第２项起，每一项都不大于其前一项的数列｛犪｝叫做减数 狀 列，此时犪 ≤犪 （狀为正整数）成立．特别地，从第２项起，每 狀＋１ 狀 一项都小于其前一项的数列｛犪｝叫做严格减数列，此时犪 ＜犪 狀 狀＋１ 狀 （狀为正整数）成立．增数列和减数列统称为单调数列．各项均相等 的数列叫做常数列． 给定数列｛犪｝，如果可以用一个关于序数狀的公式来表示数 狀 列中的任一项犪，那么这个公式就称为数列｛犪｝的通项公式 狀 狀 （ｇｅｎｅｒａｌｔｅｒｍ）．有了数列的通项公式，就可以算出数列中的 各项． 实际中，也常用列表法来表示数列．例如，对于数列④，我 们可以用下表直观地表示： 表４１ 监测次数（狀） １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ 体温（犪） ３９．２ ３８．３ ３７．５ ３７．０ ３６．８ ３７．２ ３７．６ 狀 注：体温单位为℃（摄氏度）． 例１ 已知数列｛犪｝的通项公式，写出这些数列的前５项： 狀 狀－２ （１）犪＝ ； 狀 狀＋１ （ ） １ 狀 （２）犪＝１＋ － ． 狀 ２ 解 我们可根据相应的通项公式，用列表法分别写出这两个 数列的前５项． １ ４３４ 数列 表４２ 狀 １ ２ ３ ４ ５ 狀－２ １ １ ２ １ 犪＝ － ０ 狀 狀＋１ ２ ４ ５ ２ （ ） １ 狀 １ ５ ７ １７ ３１ 犪＝１＋ － 狀 ２ ２ ４ ８ １６ ３２ 例２ 给出数列｛犪｝的下述通项公式，判断这些数列是否 狀 为单调数列，请说明理由． （ ） １ 狀 （１）犪＝１＋ ； 狀 ２ １ （２）犪＝狀－ ． 狀 狀 解 （１）因为 （ ） （ ） 熿 １ 狀＋１燄 熿 １ 狀燄 犪 －犪＝ １＋ － １＋ 狀＋１ 狀 燀 ２ 燅 燀 ２ 燅 （ ） １ ＝－ 狀＋１ ＜０， ２ 所以犪 ＜犪．从而数列｛犪｝为严格减数列． 狀＋１ 狀 狀 （２）因为 （ ） （ ） １ １ 犪 －犪＝狀＋１－ － 狀－ 狀＋１ 狀 狀＋１ 狀 １ ＝１＋ ＞０， 狀（狀＋１） 所以犪 ＞犪．从而数列｛犪｝为严格增数列． 狀＋１ 狀 狀 （ ） ９ 狀－１ 例３ 已知数列｛犪｝的通项公式是犪＝（狀＋１） ． 狀 狀 １０ 试问：该数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有， 试说明理由． 解 因为 （ ） （ ） ９ 狀 ９ 狀－１ 犪 －犪＝（狀＋２） －（狀＋１） 狀＋１ 狀 １０ １０ （ ） （ ） ９ 狀－１ ８－狀 ＝ · ， １０ １０ 所以当狀≤７时，犪 ＞犪；当狀＝８时，犪 ＝犪；当狀≥９ 狀＋１ 狀 狀＋１ 狀 时，犪 ＜犪． 狀＋１ 狀 ９８ 于是，数列｛犪｝的最大项为第８项和第９项，其值为 ． 狀 １０７ １４ ４４．３ 数列 练习４．３（１） １．根据数列｛犪｝的通项公式填表： 狀 狀 １ ２ … ５ … … 狀 … 犪 … … １５６ … 狀（狀＋１） … 狀 ２．图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形．在下图四个三角形图案中，着色的小三角 形的个数依次排列成一个数列的前四项，请写出其前四项，并给出这个数列的一个通项 公式． （第２题） ３．已知数列｛犪｝的通项公式是犪＝｜２狀－７｜．试问：该数列是否有最小项？若有，指 狀 狀 出第几项最小；若没有，试说明理由． ２ 利用递推公式表示数列 等差数列｛犪｝，其中犪＝２，公差犱＝３，可以用下面的公 狀 １ 式表示： 烄犪＝犪 ＋３（狀≥２）， 狀 狀－１ 烅 烆犪＝２． １ 等比数列｛犪｝，其中犪＝２，公比狇＝３，可以用下面的公式 狀 １ 表示： 烄犪＝３犪 （狀≥２）， 狀 狀－１ 烅 烆犪＝２． １ 如果数列｛犪｝的任一项犪 可由其前一项犪 （或前几项）通 狀 狀 狀－１ 过一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的一个递推公 式．它也是表示数列的一种方法．有时，数列通项公式不容易被 发现，但可通过数列的递推关系来描述该数列． 例４ 在平面上画狀条直线，假设其中任意２条直线都相 交，且任意３条直线都不共点．设这狀条直线将平面分成了犪 狀 个部分． １ ４５４ 数列 （１）写出数列｛犪｝的一个递推公式； 狀 （２）写出数列｛犪｝的一个通项公式． 狀 解 （１）我们先通过观察狀＝１、２、３时的图形来探究犪 的 狀 情况． 狀＝１ 狀＝２ 狀＝３ 图４３３ 从图４３３中可以看出： 当狀＝１时，第１条直线将平面分为两个部分，所以 犪＝２． １ 当狀＝２时，第２条直线与前面的１条直线相交，有１个交 点．这个交点将第２条直线分成２段，且每一段将原有的平面部 分进一步多分出两个部分，所以 犪＝犪＋２． ２ １ 当狀＝３时，第３条直线与前面的２条直线都相交，有２个 交点．这２个交点将第３条直线分成３段，且每一段将原有的平 面部分进一步多分出三个部分，所以 犪＝犪＋３． ３ ２ 依此类推：第狀（狀≥２）条直线与前面的 （狀－１）条直线都相交， 有 （狀－１）个交点．这 （狀－１）个交点将第狀条直线分成狀段，且 每一段将原有的平面部分进一步多分出狀个部分，所以 犪＝犪 ＋狀（狀≥２）． 狀 狀－１ 这样，数列｛犪｝可以用下面的递推公式表示： 狀 烄犪＝犪 ＋狀（狀≥２）， 狀 狀－１ 烅 烆犪＝２． １ （２）由上述递推公式，有 犪＝犪＋２， ２ １ 犪＝犪＋３， ３ ２ 犪＝犪＋４， ４ ３ … 犪＝犪 ＋狀（狀≥２）． 狀 狀－１ １４ ６４．３ 数列 由上述等式以及犪＝２，可得 １ 犪＝犪＋２＋３＋４＋…＋狀 狀 １ （狀＋２）（狀－１） ＝犪＋ １ ２ 狀２＋狀＋２ ＝ （狀≥２）． ２ 当狀＝１时，由于犪＝２，上面的等式也成立． １ 狀２＋狀＋２ 所以，数列｛犪｝的通项公式为犪＝ ． 狀 狀 ２ 烄犪＝２犪 ＋１（狀≥２）， 例５ 已知数列｛犪｝的递推公式为 烅 狀 狀－１ 狀 烆犪＝１． １ （１）求证：数列｛犪＋１｝为等比数列； 狀 （２）求数列｛犪｝的通项公式． 狀 解 （１）证明：已知递推公式犪＝２犪 ＋１（狀≥２）． 狀 狀－１ 在上述等式两边同时加１，得 犪＋１＝２犪 ＋２＝２（犪 ＋１）（狀≥２）． 狀 狀－１ 狀－１ 由递推公式，易证犪＞０（狀≥１），于是犪 ＋１＞０（狀≥２）， 狀 狀－１ 犪＋１ 故 狀 ＝２（狀≥２）．所以，数列｛犪＋１｝是以犪＋１＝２为首 犪 ＋１ 狀 １ 狀－１ 项、以２为公比的等比数列． （２）因为数列｛犪＋１｝是以犪＋１＝２为首项、以２为公比的 狀 １ 等比数列，所以 犪＋１＝２狀 （狀≥１）， 狀 从而犪＝２狀－１（狀≥１），这就是数列｛犪｝的一个通项公式． 狀 狀 练习４．３（２） １．已知数列｛犪｝对任意正整数狀，均满足犪犪…犪＝狀２． 狀 １ ２ 狀 （１）写出数列｛犪｝的前五项； 狀 （２）求数列｛犪｝的通项公式． 狀 狀 ２．在数列｛犪｝中，犪＝２，且犪＝犪 ＋ｌｇ （狀≥２）．求数列｛犪｝的通项公式． 狀 １ 狀 狀－１ 狀－１ 狀 ３．已知数列｛犪｝满足犪＝１，犪＝２犪 ＋３（狀≥２）． 狀 １ 狀 狀－１ （１）求证：数列｛犪＋３｝为等比数列； 狀 （２）求数列｛犪｝的通项公式． 狀 １ ４７４ 数列 课后阅读 神奇的斐波那契数列 １２０２年，意大利数学家斐波那契（Ｌ．Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ）出版了一部著作《算盘全书》（犔犻犫犲狉 犃犫犪犮犮犻）．他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题：一对新生的小兔子（一雄一雌），到 第３个月开始每月新生一对（一雄一雌）小兔子．在假设不发生死亡的情况下，问：从第一 对新生小兔子开始，到第１０个月底会有多少对兔子？ 第１个月，只有１对小兔子；第２个月，那对小兔子长成熟了；第３个月，成熟的兔 子生下１对小兔子，这时有２对兔子；第４个月，成熟的兔子再生１对小兔子，而另１对 小兔子长成熟了，共有３对兔子；如此推算下去，我们可以得到下面的表格： 表４３ 时间（月） 初生兔子（对） 成熟兔子（对） 兔子总数（对） １ １ ０ １ ２ ０ １ １ ３ １ １ ２ ４ １ ２ ３ ５ ２ ３ ５ ６ ３ ５ ８ ７ ５ ８ １３ ８ ８ １３ ２１ ９ １３ ２１ ３４ １０ ２１ ３４ ５５ 如果时间不限于１０个月，在理想的情境下，这个问题引出如下的无穷数列： １，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，…， 这就是斐波那契数列，其中的每一个数都称为斐波那契数．它有这样的特点：从第三项开 始，每一项都是其前两项的和．如果用犉 表示第狀个斐波那契数，那么有 狀 犉＝犉 ＋犉 （狀≥３）． 狀 狀－１ 狀－２ 可以证明（有兴趣的同学，可查阅有关的课外阅读资料），其通项公式为 （ ） （ ） １熿１＋槡５ １－槡５ 燄 犉＝ 狀 － 狀 ． 狀 槡５燀 ２ ２ 燅 １４ ８４．３ 数列 人们在研究斐波那契数列的过程中，发现该数列在自然界竟是如此普遍．例如，考虑 树木枝条的数量．某种树木第１年长出幼枝，第２年幼枝长成粗干，第３年粗干可生出幼 枝．如图４３４，每条树枝都按照这个规律成长，则每年的分枝数正好构成斐波那契数列． 图４３４ 在数学上，斐波那契数列有许多奇妙的性质．其任一给定项 与其后一项的比交替地大于或小于黄金比例，并且该比值无限趋 黄金比例又称为 黄金分割数，是指点 近于黄金比例，即有 犘把线段犃犅分割成 犃犘和犘犅两段，使得 犉 槡５－１ 犃犘是犃犅和犘犅的比 ｌｉｍ 狀 ＝ ． 犉 ２ 例中项．其中，犃犘与 狀→＋∞ 狀＋１ 槡５－１ 只要你的心中有“数”，随处可见斐波那契数列．它蕴含在自 犃犅的比值 称为 ２ 黄金比例，也叫黄金 然界中，也出现在文艺作品里．它是解开不少数学谜题的钥匙， 分割数，它是被公认 更在诸多科学领域中有着广泛的应用．经由斐波那契数列的镜 的最具有审美意义的 比例数． 像，我们的世界竟是如此五彩缤纷！ 习题４．３ 犃组 １．已知下列数列｛犪｝的通项公式，写出它的前４项． 狀 ｃｏｓ狀π （１）犪＝狀２－５狀； （２）犪＝ ． 狀 狀 ２ 狀２＋狀－１ ２ ２．已知数列｛犪｝的通项公式为犪＝ ，７９ 是否是该数列中的项？若是，是 狀 狀 ３ ３ 第几项？ ３．已知数列｛犪｝的通项公式为犪＝狀２－８狀＋５． 狀 狀 （１）写出这个数列的前５项； （２）这个数列有没有最小项？如果有，是第几项？ （ ） ３ ４．已知数列｛犪｝的通项公式为犪＝（３狀－２） 狀 ，试问：该数列是否有最大项、最 狀 狀 ５ １ ４９４ 数列 小项？若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由． ５．已知数列｛犪｝的首项犪＝１，且犪＝２狀－１ ·犪 （狀≥２）．求数列｛犪｝的通项公式． 狀 １ 狀 狀－１ 狀 烄犪烌 ６．已知数列｛犪｝满足犪＝３３，且犪－犪 ＝２（狀－１）（狀≥２）．求数列 烅狀烍 的最 狀 １ 狀 狀－１ 烆狀烎 小项． ７．一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①； 再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得 图②；如此继续下去…… （１）图③中共挖掉了多少个正方形？ （２）求每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式． ① ② ③ （第７题） 犅组 狀－槡９７ １．已知数列｛犪｝的通项公式为犪＝ ，试问：该数列是否有最大项、最小项？ 狀 狀 狀－槡９８ 若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由． ２．已知数列｛犪｝的通项公式为犪＝狀２＋λ狀，其中λ是常数．若数列｛犪｝为严格增数 狀 狀 狀 列，求λ的取值范围． ３．已知数列｛犪｝的前狀项和为犛，且犪＝１，犪 ＝２犛 （狀为正整数）．求数列｛犪｝的 狀 狀 １ 狀＋１ 狀 狀 通项公式． （ ） ２ 狀 ４．已知数列｛犪｝的前狀项和为犛＝１２－１２· ． 狀 狀 ３ （１）求数列｛犪｝的通项公式； 狀 （２）若数列｛犫｝满足犫＝（２狀－１）犪，问是否存在正整数犿，使得犫≥９成立，并说 狀 狀 狀 犿 明理由． ５．某皮革厂第１年初有资金１０００万元，由于引进了先进的生产设备，资金年平均增 长率可达到５０％．每年年底定额扣除下一年的消费基金后，将剩余资金投入再生产．这家 皮革厂每年应扣除多少消费基金，才能实现资金在第５年年底扣除消费基金后达到２０００ 万元的目标？（结果精确到１万元） １５ ０４．４ 数学归纳法 ４．４ 数学归纳法 １ 数学归纳法 犪 已知数列｛犪｝满足犪＝１，且犪 ＝ 狀 （狀为正整 狀 １ 狀＋１ １＋犪 狀 １ １ 数）．利用数列的递推公式，可以得到犪＝１，犪＝ ，犪＝ ， １ ２ ２ ３ ３ １ １ 犪＝ ，…，进而猜想数列｛犪｝的通项公式应为犪＝ ． ４ ４ 狀 狀 狀 像这种由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法．用归纳法可 以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律．但是，仅根据有限 的特殊事例归纳得出的结论，不能确定它对后续的项也成立，所 以上面这个猜想需要加以证明．自然地，我们会想到从狀＝５开 始再一个个往下验证，但不仅当狀较大时，验证起来会很麻烦， 而且证明狀取所有正整数都成立时，逐一验证是不可能的．因 此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推 理，证明相应命题对狀取所有正整数时都成立． 我们先从多米诺骨牌说起．这是一种码放骨牌的游戏，码 放时要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则后一 块骨牌也要跟着倒下．因此，只要推倒第一块骨牌，由于第一 块骨牌倒下，可以导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下， 又可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能 全部倒下．综上所述，在这个游戏中欲使所有多米诺骨牌全部 倒下，只需满足以下两个条件： （１）第一块骨牌倒下； （２）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块 倒下． １ 类似地，为证明前述数列的通项公式是犪＝ 的这个猜想， 狀 狀 可类比多米诺骨牌这个游戏，将 １ ５１４ 数列 证得犪＝１ 类似于 第一块骨牌倒下； １ １ 证得犪＝ 类似于 第二块骨牌倒下； ２ ２ …… １ 证得犪＝ 类似于 第狀块骨牌倒下． 狀 狀 １ １ 因此，为证明数列｛犪｝的通项公式是犪＝ ，即犪＝ 对 狀 狀 狀 狀 狀 于一切正整数狀均成立，就类似于要使所有的骨牌均倒下．在 狀＝１时猜想成立，就相当于游戏的条件（１），而类似于条件（２）， 就要证明下面的一个递推关系： １ 如果狀＝犽（犽为正整数）时上述猜想成立，即犪＝ 成立， 犽 犽 １ 那么当狀＝犽＋１时该猜想也成立，即犪 ＝ 成立． 犽＋１ 犽＋１ １ 事实上，如果犪＝ ，那么 犽 犽 １ 犪 犽 １ 犪 ＝ 犽 ＝ ＝ ， 犽＋１ １＋犪 １ 犽＋１ 犽 １＋ 犽 即狀＝犽＋１时猜想也成立． 这样，就可以得到对任意的正整数狀，猜想都成立，即数列 １ ｛犪｝的通项公式为犪＝ ． 狀 狀 狀 一般地，证明一个与正整数狀有关的命题，可按下列步骤 进行： （１）证明当狀取第一个值狀 （狀 为正整数）时，命题成立； ０ ０ （２）假设当狀＝犽（犽≥狀，犽为正整数）时命题成立，证明 ０ 当狀＝犽＋１时命题也成立． 那么，命题对于从狀 开始的所有正整数狀都成立．这种证明方 ０ 法叫做数学归纳法（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎ）． 数学归纳法是证明有关正整数命题的一种方法．步骤（１）是 命题论证的基础，而步骤（２）是判断命题的正确性能否递推下去 的保证．这两个步骤是缺一不可的． 例１ 用数学归纳法证明： １＋３＋５＋…＋（２狀－１）＝狀２ （狀为正整数）． １５ ２４．４ 数学归纳法 证明 （１）当狀＝１时，左边＝１，右边＝１，等式成立． （２）假设当狀＝犽（犽为正整数）时，等式成立，即有 １＋３＋５＋…＋（２犽－１）＝犽２． 在数学归纳法的 那么当狀＝犽＋１时，就有 证明中，由狀＝犽时等 式成立，到狀＝犽＋１ １＋３＋５＋…＋（２犽－１）＋［２（犽＋１）－１］ 时等式也成立，最后 ＝犽２＋［２（犽＋１）－１］ 到对所有正整数狀等 式都成立．请注意“等 ＝犽２＋２犽＋１ 式成立”“等式也成立” “等式都成立”之间的 ＝（犽＋１） ２ ， 递推关系和逻辑关系， 以及“也”和“都”这两 等式也成立． 个副词的作用． 根据（１）和（２），由数学归纳法就可以断定１＋３＋５＋…＋ （２狀－１）＝狀２ 对任意正整数狀都成立． 例２ 用数学归纳法证明： 熿狀（狀＋１）燄２ １３＋２３＋３３＋…＋狀３＝ （狀为正整数）． 燀 ２ 燅 （ ） １×２ 证明 （１）当狀＝１时，左边＝１３＝１，右边＝ ２ ＝１， ２ 等式成立． （２）假设当狀＝犽（犽为正整数）时，等式成立，即有 熿犽（犽＋１）燄２ １３＋２３＋３３＋…＋犽３＝ ． 燀 ２ 燅 那么当狀＝犽＋１时，就有 １３＋２３＋３３＋…＋犽３＋（犽＋１） ３ 熿犽（犽＋１）燄２ ＝ ＋（犽＋１） ３ 燀 ２ 燅 犽２ （犽＋１） ２＋４（犽＋１） ３ ＝ ４ （犽＋１） ２ （犽２＋４犽＋４） ＝ ４ （犽＋１） ２ （犽＋２） ２ ＝ ４ 熿（犽＋１）（犽＋２）燄２ ＝ ， 燀 ２ 燅 等式也成立． 根据（１）和（２），由数学归纳法就可以断定１３＋２３＋３３＋…＋ 熿狀（狀＋１）燄２ 狀３＝ 对任意正整数狀都成立． 燀 ２ 燅 １ ５３４ 数列 练习４．４（１） １．请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （１）设狀为正整数，求证：２＋４＋６＋…＋２狀＝狀２＋狀＋１． 证明：假设当狀＝犽（犽为正整数）时等式成立，即有 ２＋４＋６＋…＋２犽＝犽２＋犽＋１． 那么当狀＝犽＋１时，就有 ２＋４＋６＋…＋２犽＋２（犽＋１） ＝犽２＋犽＋１＋２（犽＋１） ＝（犽＋１） ２＋（犽＋１）＋１． 因此，对于任意正整数狀等式都成立． （２）设狀为正整数，求证：１＋２＋２２＋…＋２狀－１＝２狀－１． 证明：①当狀＝１时，左边＝１，右边＝１，等式成立． ② 假设当狀＝犽（犽为正整数）时，等式成立，即有 １＋２＋２２＋…＋２犽－１＝２犽－１． 那么当狀＝犽＋１时，由等比数列求和公式，就有 １＋２＋２２＋…＋２犽－１＋２犽 １×（１－２犽＋１ ） ＝ １－２ ＝２犽＋１－１， 等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定１＋２＋２２＋…＋２狀－１＝２狀－１对任意正整数狀都 成立． ２．用数学归纳法证明： －１＋３－５＋…＋（－１） 狀 （２狀－１）＝（－１） 狀狀（狀为正整数）． ３．用数学归纳法证明： 狀（狀＋１）（狀＋２） １×２＋２×３＋３×４＋…＋狀（狀＋１）＝ （狀为正整数）． ３ ２ 数学归纳法的应用 我们已经学习了用数学归纳法证明一些命题，但是这些命 “大胆猜想、小心 题又是如何得到的呢？在数学的探索中，为了寻求一般的规 求证”是科学研究的基 本方法．纵观数学发 律，往往先考虑一些特例，进行归纳，形成猜想，再去证明这 展的历史，很多著名 的数学结论都经历了 些猜想正确与否．一般与正整数有关的命题也可以通过这样的 先猜想再证明的过程． 途径得到． １５ ４４．４ 数学归纳法 烄 狀 犪 ＝犪＋ ， 例３ 已知数列｛犪｝满足 烅 狀＋１ 狀 犪 尝试通过计算 狀 狀 烆犪＝１． １ 数列｛犪｝的前四项，猜想数列｛犪｝的通项公式，并用数学归纳法 狀 狀 加以证明． 解 已知犪＝１，利用递推公式计算得 １ １ 犪＝犪＋ ＝２， ２ １ 犪 １ ２ 犪＝犪＋ ＝３， ３ ２ 犪 ２ ３ 犪＝犪＋ ＝４， ４ ３ 犪 ３ 由此猜想，对任意正整数狀，都有犪＝狀． 狀 下面用数学归纳法证明这一猜想． （１）当狀＝１时，犪＝１，所以猜想成立． １ （２）假设狀＝犽（犽为正整数）时，猜想成立，即有 犪＝犽． 犽 那么当狀＝犽＋１时，就有 犽 犪 ＝犪＋ ＝犽＋１， 犽＋１ 犽 犪 犽 猜想也成立． 根据（１）和（２），由数学归纳法就可以断定犪＝狀对任意正整 狀 数狀都成立，这就是该数列的通项公式． 例４ 是否存在常数犪、犫、犮，使等式 １２＋２２＋３２＋…＋狀２＝犪狀３＋犫狀２＋犮狀 对任意正整数狀都成立？ 解 假设存在常数犪、犫、犮，使上述等式对任意正整数狀都 成立．当狀＝１时，有 １２＝犪·１３＋犫·１２＋犮·１， 即 １＝犪＋犫＋犮； ① 当狀＝２时，有 １２＋２２＝犪·２３＋犫·２２＋犮·２， 即 ５＝８犪＋４犫＋２犮； ② 当狀＝３时，有 １２＋２２＋３２＝犪·３３＋犫·３２＋犮·３， 即 １４＝２７犪＋９犫＋３犮． ③ １ ５５４ 数列 联立①②③，解关于犪、犫、犮的三元一次方程组得 １ １ １ 犪＝ ，犫＝ ，犮＝ ． ３ ２ ６ 由此猜想 １ １ １ １２＋２２＋３２＋…＋狀２＝ 狀３＋ 狀２＋ 狀 ３ ２ ６ 狀（狀＋１）（２狀＋１） ＝ ６ 对任意正整数狀都成立． 下面用数学归纳法证明这一猜想． １×２×３ （１）当狀＝１时，左边＝１２＝１，右边＝ ＝１，等式 ６ 成立． （２）假设当狀＝犽（犽为正整数）时，等式成立，即有 犽（犽＋１）（２犽＋１） １２＋２２＋３２＋…＋犽２＝ ． ６ 那么当狀＝犽＋１时，就有 １２＋２２＋３２＋…＋犽２＋（犽＋１） ２ 犽（犽＋１）（２犽＋１） ＝ ＋（犽＋１） ２ ６ 犽（犽＋１）（２犽＋１）＋６（犽＋１） ２ ＝ ６ （犽＋１）（２犽２＋犽＋６犽＋６） ＝ ６ （犽＋１）（犽＋２）（２犽＋３） ＝ ６ （犽＋１）［（犽＋１）＋１］［２（犽＋１）＋１］ ＝ ， ６ 等式也成立． 根据（１）和（２），由数学归纳法可以断定１２＋２２＋３２＋…＋狀２＝ 狀（狀＋１）（２狀＋１） 对任意正整数狀都成立． ６ 练习４．４（２） １ １ １ １ １．已知数列： ， ， ，…， ，…，设犛 为该数列的前狀项 １×２ ２×３ ３×４ 狀（狀＋１） 狀 和．计算犛，犛，犛，犛 的值；根据计算的结果，猜想 １ ２ ３ ４ １ １ １ １ 犛＝ ＋ ＋ ＋…＋ （狀为正整数） 狀 １×２ ２×３ ３×４ 狀（狀＋１） 的表达式，并用数学归纳法加以证明． １５ ６４．４ 数学归纳法 ３犪 ２．已知数列｛犪｝满足犪＝１，犪 ＝ 狀 ，犪≠０． 狀 １ 狀＋１ 犪＋３ 狀 狀 （１）求犪，犪，犪； ２ ３ ４ （２）猜想数列｛犪｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 狀 ３．是否存在常数犪、犫，使等式 １２＋３２＋５２＋…＋（２狀－１） ２＝犪狀３＋犫狀 对任意正整数狀都成立？证明你的结论． 习题４．４ 犃组 １－犪狀＋２ １．用数学归纳法证明１＋犪＋犪２＋…＋犪狀＋１＝ （犪≠１，狀为正整数）．在验证 １－犪 狀＝１等式成立时，等式左边为 （ ） Ａ．１； Ｂ．１＋犪； Ｃ．１＋犪＋犪２ ； Ｄ．１＋犪＋犪２＋犪３． ２．用数学归纳法证明： １×２＋２×５＋…＋狀（３狀－１）＝狀２ （狀＋１）（狀为正整数）． ３．用数学归纳法证明： １ １ １ １ 狀 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ （狀为正整数）． １×３ ３×５ ５×７ （２狀－１）（２狀＋１） ２狀＋１ ４．已知数列｛犪｝满足犪＝１，设该数列的前狀项和为犛，且犛，犛 ，２犪 成等差 狀 １ 狀 狀 狀＋１ １ ２狀－１ 数列．用数学归纳法证明：犛＝ （狀为正整数）． 狀 ２狀－１ 犅组 １．用数学归纳法证明： １ １·狀＋２·（狀－１）＋３·（狀－２）＋…＋狀·１＝ 狀（狀＋１）（狀＋２）（狀为正整数）． ６ １ ２．已知数列｛犪｝满足犪＝ ，且对任意正整数狀，犪＋犪＋…＋犪＝狀２犪 成立．试 狀 １ ２ １ ２ 狀 狀 １ 用数学归纳法证明：犪＝ ． 狀 狀（狀＋１） １ １ １ ３．设犪＝１＋ ＋ ＋…＋ （狀为正整数），是否存在一次函数犵（狓）＝犽狓＋犫，使得 狀 ２ ３ 狀 等式 犪＋犪＋犪＋…＋犪 ＝犵（狀）（犪－１） １ ２ ３ 狀－１ 狀 对大于１的正整数狀都成立？证明你的结论． １ ５７４ 数列 用迭代序列求 ４ ．５  的近似值 现实生活中，大量复杂的方程很难得到精确解．而从应用上 我国古代数学的 的需要看，求得一个具有适当高精度的近似解就已足够．为了得 成就灿烂辉煌，早在 公元前一世纪，我国 到解的近似值，我们可以通过选取适当的首项与递推公式，得到 经典数学著作《九章算 一个越来越趋近于精确解的数列，这就形成了一个相应的算法 术》就介绍了笔算开平 方的算法． （ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）．具体地说，记犃为某个方程的解，选定一个函数 犳（狓）以及一个首项狓，然后利用下面的递推公式 １ 狓 ＝犳（狓） 狀＋１ 狀 重复地计算．如果狓 越来越趋近于犃，即ｌｉｍ狓＝犃，就得到 狀 狀 狀→＋∞ 一个求犃的算法．在此算法中，我们把首项狓 称为初值，数列 １ ｛狓｝称为迭代序列，而这个方法就称为迭代算法． 狀 下面以求槡２的近似值为例来说明迭代算法．我们可以通过求 方程狓２＝２的正根来计算槡２．容易看到，方程狓２＝２可等价地变 形为 （ ） １ ２ 狓＝ 狓＋ ， ２ 狓 （ ） １ ２ 即取犳（狓）＝ 狓＋ ．为了求解，我们任取一个初值狓＞０， ２ 狓 １ 并构造递推公式 （ ） １ ２ 狓 ＝ 狓＋ 狀＋１ ２ 狀 狓 狀 古巴比伦王国是 世界四大文明古国之 来形成一个迭代序列 ｛狓｝．这就是计算槡２的巴比伦算法 狀 一．古巴比伦人掌握 （Ｂａｂｙｌｏｎｉａｎｍｅｔｈｏｄ）． 许多计算方法，特别 是开平方根的算法非 这样构造出来的迭代序列｛狓｝，当狀→＋∞时，狓 会越来 常成熟．对于正数犃， 狀 狀 通过将（狓２＝犃变）形为 越趋近于一个值吗？ １ 犃 狓＝ 狓＋ 得到 如选取初值狓＝１，通过计算器操作，迭代序列前５项结果 ２ 狓 １ 递推公式，再通过迭 如下表所示： 代运算求解狓平方根 的方法称为巴比伦算 表４４ 法． 狀 狓 狀 可以借助计算器的 １ １ Ａｎｓ键求解迭代序列． ２ １．５ １５ ８４．５ 用迭代序列求２的近似值 （续表） 狀 狓 狀 ３ １．４１６６６６６６７ ４ １．４１４２１５６８６ ５ １．４１４２１３５６２ … … 注：划线部分是槡２的不足近似值． 我们发现，当狀越来越大时，狓 与狓 的值越来越接近． 狀＋１ 狀 且存在一个正的常数犃，满足当狀越来越大时，狓 越来越趋近 狀 于犃，即ｌｉｍ狓＝犃成立．从而由递推公式 狀 狀→＋∞ （ ） １ ２ 狓 ＝ 狓＋ ， 狀＋１ ２ 狀 狓 狀 可知犃是方程 （ ） １ ２ 犃＝ 犃＋ ２ 犃 的解，即犃＝槡２，而迭代序列｛狓｝中的项狓，当狀足够大时， 狀 狀 就给出了槡２的近似值． 我们也可以选取狓２＝２的其他变形来构造相应的迭代序 列．需要说明的是，并非所有的变形都能形成有效的算法．例如， 方程狓２＝２也可等价地变形为 ２ 狓＝ ． 狓 如果据此构造递推公式 ２ 狓 ＝ ， 狀＋１ 狓 狀 我们同样可以得到一个迭代序列｛狓｝．但如仍取初值狓＝１，通 狀 １ 过计算器操作，迭代序列前５项结果如下表所示： 表４５ 狀 狓 狀 １ １ ２ ２ ３ １ １ ５９４ 数列 （续表） 狀 狓 狀 ４ ２ ５ １ … … 该迭代序列绝不会趋近于槡２． 方程狓２＝２还可以等价地变形为 １ 狓＝１＋ ． 狓＋１ 任取一个初值狓＞０，据此构造相应的递推公式 １ １ 狓 ＝１＋ ， 狀＋１ 狓＋１ 狀 我们仍可以得到一个迭代序列｛狓｝．如仍选取初值狓＝１，通过 狀 １ 计算器操作，迭代序列前８项结果如下表所示： 表４６ 狀 狓 狀 １ １ ２ １．５ ３ １．４ ４ １．４１６６６６６６７ ５ １．４１３７９３１０３ ６ １．４１４２８５７１４ ７ １．４１４２０１１８３ ８ １．４１４２１５６８６ … … 注：划线部分是槡２的不足近似值． 这个迭代序列也可以用来提供槡２的近似值．但与表４４比 较可以发现，该迭代序列趋近于极限槡２的速度远比巴比伦算法 慢，因此巴比伦算法更为优秀． 本节我们说明了用迭代序列计算槡２的近似值的算法．实际 １６ ０４．５ 用迭代序列求２的近似值 上，算法中递推公式的设计与初值的选取常常要基于实际问题的 背景，并经过实践的检验． 在现今的信息时代，算法的作用进一步得到凸显，一些优秀 的企业甚至明确提出了“算法是其核心竞争力”．这充分说明，算 法值得引起高度重视． 练习４．５ １．在计算槡２的巴比伦算法中，若选取初值狓＝－２，通过计算器操作，写出迭代序 １ 列的前５项． １ ２．选取初值狓＝－２，利用递推公式狓 ＝１＋ ，通过计算器操作，写出迭代 １ 狀＋１ 狓＋１ 狀 序列的前８项． ３．仿照计算槡２的巴比伦算法，构造计算 槡３的迭代算法的递推公式，并选取初值 狓＝１，通过计算器操作，列出该迭代序列的前５项． １ １ ６１４ 数列 内容提要 １．等差数列：设狀为正整数，若数列｛犪｝满足犪 －犪＝犱，则｛犪｝为等差数列； 狀 狀＋１ 狀 狀 等差数列｛犪｝的通项公式：犪＝犪＋（狀－１）犱； 狀 狀 １ 狀（犪＋犪） 狀（狀－１） 等差数列｛犪｝的前狀项和公式：犛＝ １ 狀 或犛＝狀犪＋ 犱． 狀 狀 ２ 狀 １ ２ 犪 ２．等比数列：设狀为正整数，若数列｛犪｝满足 狀＋１＝狇（狇≠０），则｛犪｝为等比数列； 狀 犪 狀 狀 等比数列｛犪｝的通项公式：犪＝犪狇狀－１ ； 狀 狀 １ 犪（１－狇狀 ） 犪－犪狇 等比数列｛犪｝的前狀项和公式：犛＝ １ （狇≠１）或犛＝ １ 狀 （狇≠１）； 狀 狀 １－狇 狀 １－狇 犛＝狀犪（狇＝１）． 狀 １ ３．数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列． ４．用数学归纳法证明命题的一般步骤是： （１）证明当狀取第一个值狀 时，命题成立； ０ （２）假设当狀＝犽（犽≥狀）时命题成立，证明当狀＝犽＋１时命题也成立． ０ 那么，命题对于从狀 开始的所有正整数都成立． ０ 复习题 犃组 １．填空题： （１）已知数列｛犪｝是等差数列，下面的数列中必为等差数列的序号是 ． 狀 ① ｛犪 ｝ ② ｛犪＋犪 ｝ ③ ｛３犪＋１｝ ④ ｛｜犪｜｝ ２狀 狀 狀＋１ 狀 狀 （２）已知数列｛犪｝是等比数列，下面的数列中必为等比数列的序号是 ． 狀 烄１烌 ① ｛犪２｝ ② ｛犪＋犪 ｝ ③烅 烍 ④ ｛２犪 ｝ 狀 狀 狀＋１ 烆犪烎 狀 狀 ２．选择题： （１）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加 增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座７层塔共挂了３８１盏灯，且相邻两 层中的下一层灯的盏数是上一层灯的盏数的２倍，则塔的顶层灯的盏数是 （ ） Ａ．１； Ｂ．３； Ｃ．５； Ｄ．９． １６ ２复习题 （２）已知数列｛犪｝，若犪＝３，犪＝６，且犪 ＝犪 －犪 （狀为正整数），则数列的 狀 １ ２ 狀＋２ 狀＋１ 狀 第３５项为 （ ） Ａ．６； Ｂ．－３； Ｃ．－１２； Ｄ．－６． １ ３．在等差数列｛犪｝中，已知公差犱＝ ，且犪＋犪＋犪＋…＋犪 ＝６０．求犪＋犪＋ 狀 ２ １ ３ ５ ９９ １ ２ 犪＋…＋犪 ＋犪 的值． ３ ９９ １００ ３ ４．已知存在常数狋，使得等差数列｛犪｝的前狀项和为犛＝狋狀２＋（狋－９）狀＋狋－ ．求该 狀 狀 ２ 数列｛犪｝的通项公式． 狀 烄犛烌 ５．设犛 为等差数列｛犪｝的前狀项和，求证：数列 烅 狀烍 是等差数列． 狀 狀 烆狀烎 ６．已知数列｛ｌｏｇ犪｝是等差数列，且ｌｏｇ犪＋ｌｏｇ犪＋…＋ｌｏｇ犪 ＝１０．求犪犪． ３ 狀 ３ １ ３ ２ ３ １０ ５ ６ ７．已知等差数列｛犪｝的前狀项和为犛，且满足犪＝２９，犛 ＝犛 ．这个数列的前多 狀 狀 １ １０ ２０ 少项和最大？并求此最大值． ８．在２与９之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列．试写出 这个数列． ９．已知数列｛犪｝是等比数列，且犪，犪，犪 成等差数列．求数列｛犪｝的公比． 狀 １ ２ ４ 狀 １０．用数学归纳法证明： １ ２ ３ 狀 狀＋２ ＋ ＋ ＋…＋ ＝２－ （狀为正整数）． ２ ２２ ２３ ２狀 ２狀 １１．（１）依次计算下列各式的值： １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ ， ＋ ， ＋ ＋ ， ＋ ＋ ＋ ． １ １ １＋２ １ １＋２ １＋２＋３ １ １＋２ １＋２＋３ １＋２＋３＋４ （２）根据（１）中的计算结果，猜想 １ １ １ １ 犛＝ ＋ ＋ ＋…＋ （狀为正整数） 狀 １ １＋２ １＋２＋３ １＋２＋３＋…＋狀 的表达式，并用数学归纳法证明相应的结论． 犅组 １．选择题： （１）已知犪，狓，犫和犫，狔，犮均为等差数列，而犪，犫，犮为等比数列，且狓狔≠０， 犪 犮 则 ＋ 的值等于 （ ） 狓 狔 Ａ．１； Ｂ．２； Ｃ．３； Ｄ．４． 犃 ７狀＋４５ （２）已知两个等差数列｛犪｝和犫｛ ｝的前狀项和分别为犃 和犅，且满足 狀＝ ， 狀 狀 狀 狀 犅 狀＋３ 狀 犪 则使得 狀为整数的正整数狀的个数为 （ ） 犫 狀 Ａ．２； Ｂ．３； Ｃ．４； Ｄ．５． １ ６３４ 数列 ２．已知犛 是等比数列｛犪｝的前狀项和，且犛，犛，犛 成等差数列．求证：犪，犪， 狀 狀 ３ ９ ６ ２ ８ 犪 成等差数列． ５ ３．已知在等差数列｛犪｝中，犪 ＝０． 狀 １０ （１）求证：犪＋犪＋…＋犪＝犪＋犪＋…＋犪 对一切小于１９的正整数狀都成立； １ ２ 狀 １ ２ １９－狀 （２）类比上述性质，在等比数列犫｛ ｝中，若犫＝１，可以得到什么结论？ 狀 ９ １ 犪 ４．已知数列｛犪｝的各项均为正数，犪＝ ，且犪＝ 狀－１ （狀≥２）． 狀 １ ３ 狀 ２犪 ＋１ 狀－１ 烄１烌 （１）求证：数列 烅 烍 是等差数列； 烆犪烎 狀 烄２，狀＝１， （２）若数列｛犫｝满足犫＝烅 求数列｛犫｝中的最大项与最小项． 狀 狀 烆狀犪，狀≥２， 狀 狀 狀（犪＋犪） ５．已知数列｛犪｝的前狀项和为犛，且犛＝ １ 狀 ．求证：数列｛犪｝为等差数列． 狀 狀 狀 ２ 狀 ６．用数学归纳法证明： １ １ １ １ １ １ １ １ １－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ （狀为正整数）． ２ ３ ４ ２狀－１ ２狀 狀＋１ 狀＋２ ２狀 ７．是否存在常数犪、犫、犮，使等式 １·（狀２－１２ ）＋２·（狀２－２２ ）＋…＋狀·（狀２－狀２ ）＝犪狀４＋犫狀２＋犮 对任意正整数狀都成立？证明你的结论． 拓展与思考 １．如图所示，有三根直杆和套在一根直杆上的若干金属片，把金属片按下列规则从一 根直杆上全部移到另一根直杆上： ① 每次只移动１个金属片； ② 较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 试推测：把狀个金属片从１号直杆移到３号直杆，最少需要移动多少次？ （第１题） １６ ４复习题 ２．如图，将一个边长为１的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角 形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线．将下面的图形依次 记作犕、犕、犕、…、犕 、…． １ ２ ３ 狀 … 犕 犕 犕 … １ ２ ３ （第２题） （１）求犕 的周长； 狀 （２）求犕 的面积； 狀 （３）当狀→＋∞时，科克雪花曲线所围成的图形是周长无限增大而面积却有极限的图 形吗？若是，请求出其面积的极限；若不是，请说明理由． １ ６５后记 后 记 本套高中数学教材根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（２０１７年版 ２０２０年修订）》编写并经国家教材委员会专家委员会审核通过． 本教材是由设在复旦大学和华东师范大学的两个上海市数学教育教学研 究基地（上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地）联合主持编写的． 编写工作依据高中数学课程标准的具体要求，努力符合教育规律和高中学生 的认知规律，结合上海城市发展定位和课程改革基础，并力求充分体现特 色．希望我们的这一努力能经得起实践和时间的检验，对扎实推进数学的基 础教育发挥积极的作用． 本册教材是选择性必修第一册，共为四章，各章编写人员分别为 曾国光（第１章） 虞涛、李英（第２章） 王华、施洪亮（第３章） 叶莎莎、许亚善（第４章） 上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会专家工作委员会、上海市教育委 员会教学研究室全程组织、指导和协调了教材编写工作．在编写过程中，两 个基地所在单位给予了大力支持，基地的全体同志积极参与相关的调研、讨 论及评阅工作，发挥了重要的作用．上海市不少中学也热情地参与了有关的 调研及讨论工作．上海教育出版社有限公司不但是编辑出版单位，而且自始 至终全面介入了编写工作．我们对所有这些单位和相关人员的参与、支持和 鼓励表示衷心感谢． 限于编写者的水平，也由于新编教材尚缺乏教学实践的检验，不妥及疏 漏之处在所难免，恳请广大师生及读者不吝赐教．宝贵意见请通过邮箱 ｇａｏｚｈｏｎｇｓｈｕｘｕｅ＠ｓｅｐｈ．ｃｏｍ．ｃｎ反馈，不胜感激． ２０２０年７月 书书书普通高中教科书 普 通 高 选择性必修 中 教 科 书 第 一 册 上 海 教 育 出 版 社 上 海 教 育 出 版 社 数 学 选 择 性 必 修 S H U X U E SHUXUE 普通高中教科书 选择性必修 第 一 册 第 一 册 定 价： 13.60元